aplicacion descomposicion nrc 1444
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19 de Mayo de 2015
Problema de DescomposicionBryan Lagua1*Luis Mena1**Marcelo Naranjo1***Santiago Pazmino1****
AbstractSe establece un modelo matemamtico basado en ecuaciones diferenciales ordinarias de un sistema o de unfenomeno con el fin de imitar una realidad en terminos matematicos. El objetivo es explicar, comprender yresolcer problemas tecnicos y cientficos.
KeywordsDescomposicion - radioactiva - aplicacion - ecuacion diferencial
1Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Politecnica del Ejercito,Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,NRC 1444, Sangolqu, Ecuador* [email protected]** [email protected]*** [email protected]**** [email protected]
1. IntroduccionExisten en el mundo fsico, en biologa, medicina, demografa, economa, entre otras, cantidades cuya rapidez de crecimiento odescomposicion varia en forma proporcional1 a la cantidad presente, es decir:
dQdx
= kQ; Q(t0) = Q0 (1)
En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenomenos donde intervienen crecimeintoo decrecimiento(desintegracion). En fsisca, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo paracalcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva.
2. Resolucion de la ecuacion diferencial del modeloSiendo nuestra ecuacion diferencial:
dQdt
= kQ; Q(t0) = Q0
Procedemos a resolverla separando variables
dQQ
= kdt
Integramos dQQ
=
kdt
Utilizamos las condiciones para tomar los limites de la integral. QQ0
dQQ
= t
t0kdt
1Proporcion: Relacion de correspondencia entre partes y el todo, o entre varias cosas relacionadas entre s, en cuanto a tamano,cantidad, dureza, etc.
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Problema de Descomposicion 2/3
En t0 = 0 QQ0
dQQ
= t
0kdt
Utilizando el teorema fundamental del caluclo tenemos que:
ln(Q) ln(Q0) = kt
Simplificando
ln(
QQ0
)= kt
QQ0
= ekt
Q = Q0ekt
La ecuacion queda:
Q(t) = Q0ekt
3. EjercicioEjercicio 3.1Si el 5% de una sustancia radiactiva se descompone en 50 anos, Que porcentaje habra al final de 500 anos?Solucion
Q(t) = Q0ekt
Donde:
Q0sustanciaal100%Q0 = 1
5% se descompone:Queda un 95%=0.95Entonces tenemos:
0.95 = 1ek50
0.95 =ek50
/ln
ln(0.95) = ln(ek50)
ln(0.95) = 50k
ck =ln(0.95)
/50
k =0,00102Q(t) = Q0e0,00102t
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Problema de Descomposicion 3/3
Final de 500 anos Q0 = 1
Q(500) = 1e0,00102500
Q(500) = 0,600
El porcentaje que habra de materia al final de 500 anos es de un 60%.
4. ConclusionesLos fenomenos fsicos, biologicos, demograficos pueden ser representados por ecuaciones diferenciales, estos son planteados atraves de valores inciales, resolviendose por variables separables.
References[1] M. Tenebaum, Ordinary Diferential Equations, Harper, Row, 1919[2] https://www.youtube.com/watch?v=j4KV5D4Li3Y
IntroduccinResolucin de la ecuacin diferencial del modeloEjercicioResolucinConclusionesReferences