3.5 Descomposicin modal

3.5 Descomposicin modalDescomposicin ModalLa solucin de la ecuacin de estado pertenece a un espacio vectorial.

Los vectores propios de A se pueden emplear como base de dicho espacio vectorial. Esta es la es composicin modal del sistema. Solucin de la Ecuacin de EstadoPara el caso estacionario (invariante en el tiempo), es decir: A, B, C, D constantes se debe determinar la solucin x(t) de la ecuacin:Ec. de Estado:

Para un estado inicial x(0) y entrada u(t), t 0 dados. Empleando el procedimiento del factor integrante:

de la integracin de esta ltima ecuacin entre 0 y t se obtiene:

Como la inversa de eAt es eAt y e0 = I , la solucin es

La ecuacin anterior es la solucin general de la ecuacin de estado. Se conoce como la frmula de variacin de los parmetros. La substitucin de dicha solucin en la ecuacin de salida (y = Cx + Du) genera y(t):

Ec. de Salida y = Cx + Du

Descomposicin ModalSea {ei} el conjunto de n vectores propios LI, incluyendo vectores propios generalizados. En trminos de esta base las soluciones se pueden representar como:

Los son los modos del sistema, y son funciones del tiempo

Y el trmino Bu(t), tambin se puede descomponer como:

Reemplazando en la ecuacin original de estado:

Como {ei} es un conjunto de vectores propios Linealmente independientes:

Conjunto de n ecuaciones lineales, escalares, independientes e invariantes:

Los modos son equivalentes a una nueva variable de estado:

La nueva matriz M-1AM es diagonal y para valores propios diferentes es desacoplada La solucin modal:

La solucin es sencilla de obtener debido a la forma desacoplada de las ecuaciones.

Para regresar a la representacin original:

X= M

Descomposicin modal permite evaluar:ControlabilidadObservabilidadEstabilidad

Si se retienen los modos dominantes el sistema se puede aproximar por uno de ms bajo orden