CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIORExtensión Santa Marta

Departamento de Matemáticas - Programa: Ingeniería de SistemasÁrea: Formación Básica - Ciclo de formación: Técnico- Tecnólogo - Profesional

Curso: Cálculo Integral Problemas de Aplicación Docente: José F. Barros Troncoso

Unidad: Aplicación de la Derivada Fecha:5 de Septiembre de 2009

Aplicación de la Derivada

1. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación

R(x) = 100x – x2, x ≥ 0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

2. Un fondo de inversión genera rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula R(x)=-0.002x2+0.8x-5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede invertir? ¿cuál es la máxima rentabilidad que se puede obtener?

3. Un estudio de eficiencia realizado para una compañía que fabrica aparatos eléctricos mostró que el número de Walkies-Talkies ensamblados por el trabajador promedio t horas después de iniciar su jornada de trabajo a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 ≤ t ≤ 4)

a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Explique c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

4. Una fábrica de calculadoras programables determina que el costo C(x) diario de producción de estas calculadoras (en dólares) es

C(x) =0.0001x3 – 0.08x2 + 40x + 5000, donde x representa el número de calculadoras producidas.a. Encuentre los valores críticos de esta una función

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b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Explique c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

5. Una fábrica de termómetro para interiores y exteriores, estima que la ganancia(en dólares) que puede lograr la compañía por la fabricación y venta de x unidades de termómetros por semana es

P(x) = -0.001x2 + 8x – 5000

a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Explique

c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

Derivada de las funciones Exponenciales y Logaritmicas

1. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1), donde x es el número de unidades producidasa. Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x))b. Encuentre el costo marginal cuando se producen 200

unidades e interprete el resultado

2. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) = 2500 x

ln (10 x+10)

a. Encuentre la función ingreso marginalb. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100

unidades e interprete el resultado

3. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3) cientos de dólares por unidad

a. Encuentre la función ingreso (x*p(x)) y de ingreso marginal (p´(x)).b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?

4. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-

0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p

2

dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?

5. Para una empresa, la producción diaria en el día t de una corrida de producción está dada por

q=500(1−e−0.2 t)Encuentre la razón de cambio de la producción q con respecto a t en el décimo día.

6. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación

S= ln5

3+e−I

a. Encuentre la propensión marginal al consumo como una función del ingreso

b. ¿Cuál es el ingreso nacional cuando la propensión

marginal al ahorro es de 18

Derivada Implícita

1. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen

384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3

Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificada en una hora

2. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se relaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha y , de acuerdo con

300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y

Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres

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3. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad esta dada por

p(q + 1)2 = 200 000

Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80. Interprete el resultado

4. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad esta dada por

p2(2q + 1) = 100 000

Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado.

5. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación

S2+ 14I 2=SI+ I

, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12

Elasticidad en la Demanda

En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de precio el ingreso total:

1. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=62. pq=81 cuando el precio p=33. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 45024. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=205. p = 100℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10

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