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APUNTES DE

ESTADISTICA

INSTRUMENTAL

Conceptos y Definiciones Básicas

Carreras: Administración Comercial

Gerencia Tributaria

Mercadeo y Publicidad

Recursos Humanos

Profesor: Andrés Scott

Según Syllabus del I.U.G.T.

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TÍTULO I

Capítulo I

ESTADISTICA RESUMEN DE CONCEPTOS Y DEFINICIONES

1. Estadística

Es la ciencia que establece los métodos para recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar información para orientar en la toma de decisiones más efectivas.

1.1- Tipos de estadísticas.

1.1.1.– Estadística Descriptiva o Deductiva: La cual define el conjunto de métodos para recopilar, organizar, resumir y presentar los datos de manera informativa.

1.1.2.- Estadística Inferencial o Inductiva: La cual define el conjunto de métodos para determinar algún atributo medible acerca de una población en base a una muestra representativa de la misma.

1.1.2.1 Población: Es el conjunto de todos los individuos, objetos o medidas de interés o a estudiar.

1.1.2.2 Parámetro: Característica asociada a una población. 1.1.2.3 Muestra: Es una porción o parte representativa de la

población de interés sometida a estudio. 1.1.2.4 Estadístico: Característica asociada a una muestra 1.1.2.5 Estadígrafo o Estimador: Es la descripción

numérica de una característica correspondiente a cualquier elemento de una muestra.

1.1.2.6 Atributo: Característica no mensurable, pero si cuantificable de una población o muestra.

2. Variable

Es una de tantas características de la población que se está estudiando o analizando.

2.1 Variable Cualitativa: Variable que presenta observaciones no numéricas.

2.2 Variable Cuantitativa: Variable que presenta observaciones numéricas.

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2.2.1 Variable Cuantitativa Discreta: Variable numérica que representa valores claramente contables, generalmente números enteros (individuos y objetos).

2.2.2 Variable Cuantitativa Continua: Variable numérica que toma cualquier valor dentro de los infinitos valores de un rango determinado.

3. Escala de Medidas o Niveles de Medición

Es la manera de clasificar los datos para su presentación

3.1 Medidas en Escala Nominales: Escala no numérica de nombres o clasificaciones que se utilizan para presentar datos en categorías distintas y separadas.

3.2 Medidas en Escala Ordinales: Escala no numérica de nombres o clasificaciones que se utilizan para presentar los datos en categorías distintas y separadas pero siguiendo un orden significativo.

Para definir las medidas en escalas de intervalo debe conocerse las propiedades siguientes: a) de la MUTUA EXCLUSION: propiedad de un grupo o conjunto de categorías por la cual un individuo, objeto o medición se incluye en una sola categoría y b) del EXHAUSTIVO COLECTIVO: propiedad de un grupo o conjunto de categorías según la cual cada uno de los individuos, objetos o mediciones deben integrarse por lo menos a una de las categorías.

3.3 Medidas en Escala de Intervalos: Son escalas numéricas donde el valor cero se toma de manera arbitraria, siendo significativa la diferencia entre sus valores.

3.4 Medidas en Escala de Razón: Son escalas numéricas, que a diferencia de la escala de intervalo el valor cero será fijo.

Capítulo II

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA TABLAS Y GRAFICAS ESTADISTICAS

1. Distribución de Frecuencia: Son tablas estadísticas donde se presentan los datos organizado en categorías mutuamente excluyente (clases o los datos como tal) mostrando el número de observaciones de cada una de las categorías.

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Cuando estudiamos una distribución de frecuencia de datos nos agrupados o sueltos (Máximo 10 datos; convenio) haremos su graficación a través de barras o representación dentro de un circulo o diagrama de torta o pastel. Cuando la distribución de frecuencia sea de datos agrupados (más de 10 datos, se agrupa; convenio) haremos su graficación a través de histograma, polígonos de frecuencia y ojiva.

2. Pasos a seguir para desarrollar o crear una distribución de frecuencia (se ordenan los datos en orden creciente o decreciente según sea el caso, por lo general en orden creciente) 2.1. Datos no agrupados o sueltos

PRIMERO: Determinar la frecuencia absoluta (fi) de cada dato. Es el número de veces que se repite un dato, o es el número de observaciones que de él se tiene. SEGUNDO: Determinar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) de cada dato. Esta frecuencia se obtiene partiendo de la primera frecuencia absoluta y luego acumulando de manera sucesiva el resto de las frecuencias. TERCERO: Determinar la frecuencia relativa (hi) de cada dato. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de las observaciones de la serie de datos o la suma de las frecuencias absolutas. CUARTO: Determinar la frecuencia relativa acumulada (Hi) de cada dato. Esta frecuencia se obtiene partiendo de la primera frecuencia relativa y luego acumulando de manera sucesiva el resto de las frecuencias relativas.

2.2. Datos agrupados

PRIMERO: Determinar el rango ( R) de la serie de datos R= DM – Dm + 1 DM= Dato mayor; Dm: Dato menor SEGUNDO: Determinar el número de intervalos de clases o clase (NIC)

1) Método Emperico: Lo determina la experiencia del profesional que realiza el estudio.

2) Método del Exponencial 2

5

5

;

3) Método de Sturges

N= Tamaño de la población n= Tamaño de la muestra

TERCERO: Determinar la amplitud del intervalo de clase (IC)

; IC es un valor constante

CUARTO: Definir los intervalos de clase o clase.

Cada intervalo de clase tendrá límites inferiores y superiores siendo estos aparentes y reales. Aparentes cuando el límite superior de un intervalo no es igual al límite inferior del intervalo siguiente y así sucesivamente. Reales cuando el límite superior de un intervalo es igual al límite inferior del intervalo siguiente y así sucesivamente. Con el método empírico obtenemos directamente los límites reales, mientras que con los restantes métodos (Exponencial 2 y Sturge) obtenemos límites aparentes (convenimiento) VER DESARROLLO DE UN EJERCICIO

QUINTO: Determinar la marca de clase (Xmi) de cada intervalo de clase o clase. La marca de clase se obtiene a través de la semi suma de cualquiera de los tipos de los límites reales o aparentes de un intervalo de clase.

Xs= Límite aparente superior XI = Límite aparente inferior Ls = Límite real superior LI = Límite real inferior

SEXTO: Determinar la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase o clase.

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Se obtiene para cada intervalo de clase o clase sumando las frecuencias absolutas de los datos contenidos en ese intervalo de clase o clase.

SEPTIMO: El resto de las frecuencias (Fi, hi, Hi) se obtienen siguiendo el patrón observado para los datos no agrupados.

3. Propiedades de las frecuencias: 3.1. Las frecuencias absolutas siempre son valores enteros. 3.2. La suma de las frecuencias absolutas son igual a N (tamaño de la

población) o n (tamaño de la muestra) 3.3. Las frecuencia relativas son siempre valores fraccionarios es decir

0 <hi < 1 3.4. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. 3.5. El último valor de la frecuencia absolutas acumuladas es igual a N

(tamaño de la población) n (tamaño de la muestra). 3.6. El último valor de las frecuencias relativas acumuladas es igual a 1.

4. Tablas o cuadros estadísticos

Las tablas o cuadros estadísticos corresponden a arreglos sistemáticos de los datos por filas y columnas. El desarrollo o la creación de una distribución de frecuencias cualquiera se presentan a través de cuadros o tablas.

5. Graficas estadísticas: Son figuras que se pueden originar de los cuadros o tablas estadísticas y que sirven para visualizar mejor la información.

5.1. Diagrama de Barras: Gráfica en las cuales las marcas de clases se

llevan al eje horizontal y las frecuencias de cada clase al eje vertical, las cuales serán las alturas de las barras las que se dibujaran cada una separadas de las otras.

5.2. Histograma: Gráfica en las cuales las marcas de clases se llevan al eje horizontal y las frecuencias de cada clase al eje vertical, las cuales serán las alturas de rectángulos los cuales se graficarán cada uno colindante al otro.

5.3. Polígono de Frecuencia: Es una gráfica formada por segmentos de líneas que partiendo del límite real inferior del primer intervalo de clase o clase va conectando los puntos formados por las intersecciones de las marcas de clase y frecuencia de clase, concluyendo en el límite real superior del último intervalo de clase o clase.

5.4. Polígono de Frecuencia Acumulada u Ojiva: Es una gráfica formada por segmentos de línea que conectan los puntos formados por las

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7

intersecciones de los puntos de las marcas de clase y las frecuencias acumuladas de cada intervalo de clase o clase.

5.5. Diagrama de Torta o Pastel: Es una gráfica circular donde el circulo queda repartido en parte cuyo tamaño lo define la magnitud de la frecuencia relativa. Para establecer cada parte se realiza: =360 hi ; y ese valor se lleva a

la parte interna del círculo.

Problemas propuestos para los Capítulos tratados en

el Título I

Problema 01.- Se toma dentro de un colegio un grupo de 25 alumnos cuya edad esté comprendida entre los 7 y 12 años para darle un juguete como regalo de navidad. La selección se hizo por un sorteo quedando los siguientes alumnos según sus edades: 9-7-12-10-9-8-7-7-11- 10-9-8-9-7-8-10-12-11-11-8-7-9-10-11-12.

Se pide: a) ¿Será muestra o población?, b) la característica asociada a esta distribución, ¿Será un parámetro o un estadístico?, c) Al ordenar estos datos en el orden que sea y construir la respectiva distribución de frecuencias, ¿Qué nivel de medición o escala de medida estamos utilizando?, d) ¿Qué tipo de variable cuantitativa se está utilizando?, e) ¿Cuántos datos y cuántas observaciones presenta esta distribución de frecuencias?, f) Elaborar la respectiva distribución de frecuencias, y determinar; número de categorías, frecuencia absoluta de la segunda categoría, frecuencia absoluta acumulada de la cuarta categoría, frecuencia relativa de la sexta categoría, frecuencia relativa acumulada de la tercera categoría y el rango de la distribución y g) Elaborar las gráficas de esta distribución.

Problema 02.- En cada enunciado que se presenta a continuación, determinar, tipo de variable cuantitativa: a) El sueldo de un presidente de la república está por el orden de Bs. 12.000,00, _________________;b) Un estudiante de estadística hace un estudio sobre el promedio general de las notas de los estudiantes del I.U.G.T. y con siguió que éste fue de 12,8 puntos,_______________; c) En una encuesta realizada entre 500 personas adultas se encontró que el 42% de ellos tienen armas de fuego,_______________ y d) Se probaron 50 aparatos de televisión y 4 de ellos presentaron defectos,_______________.

Problema 03.- Determinar si el valor dado es un parámetro o un estadístico: a) La Asamblea Nacional consta de 165 diputados, ________; b) Se selecciona un grupo de estudiantes y el número promedio de textos comprados por ellos este período es de 3,8; c) El número de miembros promedio de una familia venezolana es de 5 y d)

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En un estudio realizado se constató que de los 2223 pasajeros del Titanic solamente sobrevivieron 706.

Problema 04.- Al final se presentan cinco (5) Distribuciones; señalar los tipos de variables contenida en cada una, bien sea Cuantitativa o Cualitativa: a) Distribución de alumnos por mes de nacimiento,__________; b) Distribución de profesionales por estatura y peso,__________; c) Distribución de comerciantes por nacionalidad,__________ d) Distribución de obreros por salarios,__________ y e) Distribución de accidentes por causa___________.

Problema 05.- Al final se presentan cinco (5) Distribuciones, señalar que tipo de variable cuantitativa representan: a) Distribución de empleados por sueldos,__________; b) Distribución de fallecimientos por edades,__________; c) Distribución de alumnos por número de hermanos,__________; d) Distribución de alumnos por estatura,__________ y e) Distribución de gallinas por posturas de huevos__________.

Problema 06.- Los directivos de una fábrica de refresco están pensando lanzar al mercado un nuevo producto. Realizada una encuesta a objeto de medir la aceptación del producto, en una muestra de 30 niños y utilizando una escala de 0 a 10 puntos para medir el grado de aceptación; este fue el resultado obtenido:2-6-8-7-4-5-10-6-6-7-6-7-3-8-7-6-8-6-5-4-7-8-5-7-6-7-2-7-2-7. La muestra tomó 15 niñas y 15 niños, con edades comprendidas entre los 5 y 12 años de edad, residentes en un barrio de la ciudad de Caracas. Se pide: a) Estructurar una tabla de Distribución de Frecuencias, b) Definir, ¿Cuál es la población y cuál es la muestra?, c) ¿Qué variables se utilizaron?, d) ¿Cuál es la variable?, e) ¿De qué tipo es la variable?, f) ¿Qué tipo de escala se ha utilizado en la medición de la variable?, g) ¿Cuál es la Frecuencia Absoluta de la cuarta clase o categoría?, h) ¿Cuál es la Frecuencia Relativa de la segunda clase o categoría?, i) ¿Cuál es la Frecuencia Absoluta Acumulada de la sexta clase o categoría?, j) ¿Cuál es la Frecuencia Relativa Acumulada de la quinta clase o categoría? Y k) Elaborar la respectiva gráfica de barras y de torta o pastel.

Problema 07.- Leer el siguiente texto: “Una vez recolectados los datos en forma

ordenada, es necesario en forma tal que se facilite su comprensión y su posterior

análisis y utilizaciones. Para ello se ordenan en cuadro numéricos y luego se

representan en gráficos, para variable discreta mediante diagramas de frecuencias

tanto para absolutas ó relativas”. Se pide: a) Considerando a rr y ll como letra única, formar una tabla de Distribución de Frecuencias de Datos Agrupados en Clases ó Intervalos de Clases, tomando como base el número el número de letras que forma cada palabra, b) Elaborar; Histograma y Polígono de Frecuencias y Ojiva.

Problema 08.- (Modelo para datos sueltos).- Un grupo de productores de maíz del Estado Guárico entrega su producción en toneladas, a una planta receptora del producto, y 20 de ellos entregaron el siguiente tonelaje: 29 24 35 42 25 24 29 27 27 38 44 25 40 42 42 32 35 32 44 32.

Se pide: a) Elaborar una tabla de distribución de frecuencias señalando; frecuencia absoluta de la quinta categoría, frecuencia absoluta acumulada de la octava categoría , la frecuencia relativa de novena categoría y la frecuencia relativa acumulada para la cuarta categoría. b) Calcular el porcentaje de productores que entregaron menos de 29 toneladas, el porcentaje

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de los productores que entregaron 32 o más toneladas y el porcentaje de los productores que entregaron entre 27 y 35 toneladas y c) Elaborar gráficas (Barras y Torta).

Problema 09.- (Modelo para datos agrupados).-Dentro de los televidentes del país se seleccionaron 50 que ven R.C.T.V. entre personas mayores de 18 años, a las cuales se le consultaron sus edades;

49 26 33 25 19 48 19 52 48 38 38 34 25 21 38 40 40 46 38 20 36 22 38 25 42 19 38 20 23 33 41 20 24 38 41 36 28 34 40 51

21 33 25 24 20 23 20 38 28 31.

Se pide: a) Elaborar la tabla estadística para La Distribución de Frecuencias, b) Señalar; Número de Intervalos de Clase o Clases, amplitud o tamaño de cada Clase, Frecuencia Absoluta de la tercera Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada de la cuarta clase, Frecuencia Relativa de la segunda Clase, Frecuencia Relativa Acumulada de la quinta Clase, Límite Aparente Inferior de la sexta Clase, Límite Aparente Superior de la tercera Clase, Límite Real Inferior de la segunda Clase, Límite Real Superior de cuarta Clase y la Marca de Clase de la tercera Clase, c) Calcular un aproximado del número de personas que tienen menos de 28 años y el porcentaje de personas que tienen 36 o más años y d) Elaborar gráficas (Histograma, Polígono de Frecuencias y Ojiva).

Problema 10.- Se seleccionaron 30 estudiantes del I.U.G.T. de acuerdo a sus edades y luego de realizados los cálculos, se presentaron las Marcas de Clases con sus respectivas Frecuencias Absolutas:

Xmi 18 22 26 30 34

fi 6 7 10 5 2

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y señalar; Número de Intervalos de Clase, amplitud de los Intervalos de Clases, Límite Aparente Inferior de la cuarta Clase, Límite Real Superior de la tercera Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuencia Relativa de la quinta Clase, b) Elaborar gráficas, Histograma, Polígono de Frecuencias y Ojiva.

Problema 11.- Un profesor de Estadística General para instruir a sus alumnos sobre todo lo referente a la Distribución de Frecuencias en cuanto a Datos Sueltos o No Agrupado en Intervalos de Clase, tomó las notas de un trabajo previo al primer examen parcial las cuales fueron: 16 08 14 10 07 11 11 14 10 11 14 13 12 11 10 08 13 12 07 12.

Se pide: a) Tabla de Distribución de Frecuencias y b) Elaborar gráficas de Barras y Pastel o Torta.

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Problema 12.- El cuadro anexo al finalizar nos presenta la clasificación de un grupo de niños por estatura. Se pide: a) Elaborar el cuadro completo de la distribución de frecuencias y determinar de ella; frecuencia absoluta de la tercera clase, frecuencia absoluta acumulada de la cuarta clase, frecuencia relativa de la segunda clase, frecuencia relativa acumulada de la quinta clase, límite real inferior de la segunda, límite real superior de la quinta clase y la marca de clase de la sexta clase y b) Elaborar las respectivas gráficas.

Problema 13.- Se da una clasificación (extraídas del último censo) de mujeres de 50 a 54 años de edad según el número de hijos vivos:

Se pide: a) El estudio será sobre una población o una muestra, sobre qué sector se realiza el estudio sobre la s mujeres o los niños, b) Completar la tabla de distribución de frecuencias y c) Elaborar las gráficas respectivas.

Problema 14.- Tomadas las edades de los estudiantes del curso diurno del I.U.G.T. de Estadística Instrumental de las carreras Recursos Humanos y Mercadeo y Publicidad, con las cuales se elaboró una distribución de frecuencias, la cual se muestra a continuación definida por sus frecuencias absolutas y marcas de clases:

fi 5 7 10 16 10 7 5

Xmi 13 18 23 28 33 38 43

Problema 15.- A continuación se presenta número de obreros que laboran en 40 empresas de construcción que contratan con el sector público:

Estatura

(centímetros)

Número de

niños

De 85 a 90

De 90 a 95

De 95 a100

De 100 a 105

De 105 a 110

De 110 a115

3

15

22

18

12

5

Número de hijos 0 1 2 3 4

Número de mujeres (%) 19 25 23 14 19

11

11

53 58 63 56 53 62 95 98 83 97

56 59 64 71 84 96 102 57 76 69

57 85 93 83 68 72 79 81 80 56

61 80 70 77 80 63 60 59 78 74

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y señalar; Número de Intervalos de Clase, amplitud de los Intervalos de Clases, Límite Aparente Inferior de la cuarta Clase, Límite Real Superior de la tercera Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuencia Relativa de la sexta Clase y b) Elaborar gráficas (Histograma, Polígono de Frecuencias y Ojiva.

Problema 16.- Un productor de cítricos hizo 60 entregas de sacos de naranjas californias en el Mercado al por Mayor de Coche, relación de entregas que se presenta a continuación, sacos entregados:

67 56 52 56 73 79 64 72 72 58 73 69 54 67 51

59 58 59 76 66 79 57 69 64 69 60 68 63 74 67

63 61 74 67 70 63 71 64 75 71 67 59 76 67 71

64 72 67 57 58 58 68 73 58 74 72 60 59 69 60

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y señalar; Número de Intervalos de Clase, amplitud de los Intervalos de Clases, Límite Aparente Inferior de la tercera Clase, Límite Real Superior de la sexta Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada de la cuarta Clase y Frecuencia Relativa de la segunda Clase y b) Elaborar gráficas (Histograma, Polígono de Frecuencias y Ojiva.

Problema 17.- Un matadero industrial estableció una clasificación de los frigoríficos a los cuales les suministra sus productos, tomando como referencia el pesaje de los pedidos por mes. Luego de hacer un estudio estadístico estableció sus Marcas de Clase con sus respectivas Frecuencias Absolutas:

Kilogramos despachados (Xmi): 216,5 256,5 296,5 336,5 376,5 416,5

Frigoríficos receptores del producto (fi) 10 15 30 25 15 05

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y señalar; Número de Intervalos de Clase, amplitud de los Intervalos de Clases, Límite Aparente Inferior de la cuarta Clase, Límite Real Superior de la tercera Clase, Frecuencia Absoluta Acumulada de la segunda Clase y Frecuencia Relativa de la quinta Clase y b) Elaborar gráficas (Histograma, Polígono de Frecuencias y Ojiva.

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TÍTULO II

Capítulo III

MEDIDAS ESTADISTICAS

Medidas de tendencia Central: Son medidas estadísticas cuyos valores son promedios que se ubican hacia el centro del rango de una serie de datos previamente ordenados

Medidas de tendencia central

1. Media Aritmética: Es una medida de tendencia central que

resulta de promediar los valores de los datos de una distribución o serie de datos; y se obtiene dividendo la suma total de los valores de los datos entre el número de observaciones que se tienen de los mismos POBLACION MUESTRA DATOS SUELTOS O NO AGRUPADOS

DATOS AGRUPADOS

Media Ponderada

1.1.1 Propiedades de la media aritmética Desvíos o desviaciones: Son diferencias que se presentan entre los valores de los datos y un valor fijo establecido, generalmente la media aritmética o en todo caso un valor de origen del trabajo.

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a) Todos los valores de una serie de datos participan en el cálculo de la media aritmética, la cual es única.

b) La suma de las desviaciones del valor de la cada dato respecto de la media aritmética, siempre será cero (0).

c) Si realizamos una partición de dos o más sub-muestras de una serie de datos, el valor de la media aritmética de la serie de datos será igual a la suma de las medias aritméticas ponderadas de todas las sub-muestras de la partición.

d) Si a todos los valores de los datos de la suma de datos se le suma o resta un número constante o mismo número, la media aritmética queda aumentada o disminuidas en ese mismo número.

e) Si a todos los valores de los datos de una serie de datos se le multiplica o divide por un número constante o mismo número, la media aritmética queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

1.1.2 Características de la media aritmética a) Es el promedio más usual, el más conocido, y el

de manejo más fácil para su cálculo. b) Los valores de datos extremos influyen de manera

importante en el valor de la media aritmética, distorsionándola.

c) No se puede calcular en serie de datos ordenados cuyos extremos se consideren abiertos.

1.2 Media Geométrica: Es una medida de tendencia central que resulta de promediar fundamentalmente datos que responda a crecimientos geométricos, como tasas porcentuales, razones y tasa o índices de crecimientos. 1.2.1 Propiedad de la media geométrica.

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En su cálculo intervienen todos los datos de la serie de datos y es única.

1.2.2 Características de la media geométrica a) Cuando en una serie de datos existe un valor nulo

(0) ó negativo, la media geométrica no se calcula; ya que no responde a la realidad de la serie datos, la cual tiene que dar algún valor promedio real positivo.

b) En serie de datos los valores extremos, la media geométrica se distorsiona en menor cuantía que la media aritmética.

c) Cuando los valores ordenados de los datos responden a un crecimiento geométrico se recomienda el uso de la media geométrica.

d) El valor de la media geométrica siempre es menor que el de la media aritmética.

1.2.3 Su cálculo

G=

G=

Aplicando logaritmo

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15

Para cualquier caso: G=

Capítulo IV

MEDIDAS DE POSICION O DE UBICACIÓN

1. Medidas de Posición Son medidas estadísticas cuyos valores se ubican en cualquier lugar del rango originado por los valores de la serie de datos y que responde a definiciones o patrones pre-establecidos.

Modo o Moda (Mo)

Medidas de posición Mediana (Md)

Fractiles Cuartiles (Qi)

Deciles (Di)

Centiles o Percentiles (Pi)

1.1. Modo o Moda: Es el valor del dato que mas se repite, es decir el valor del dato que presenta, el mayor numero de observaciones o la mayor frecuencia absoluta. De acuerdo a este concepto pueden existir series de datos multimodales.

1.1.1. Su cálculo: a) Para serie de datos sueltos o no agrupados, la definición nos da el cálculo b) Para datos agrupados

=

= Limite real inferior del intervalo de clase o clase donde se ubica la

frecuencia modal.

= –

= frecuencia modal

= frecuencia anterior a la frecuencia modal

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= frecuencia posterior a la frecuencia modal

Característica del modo o moda

a) Es un concepto de muy fácil manejo para su calculo b) Los valores extremos no la afectan c) En una serie de datos agrupados su valor no es muy preciso, por lo

tanto no es confiable. d) En una serie de datos agrupados, su valor depende de cómo se

estructuren los intervalos de clase o clase. e) Algunos profesionales de la estadística consideran a la moda o modo

como la mejor medida de posición.

1.2. Fractiles: Son medidas de posición que se ubican en cualquier parte o lugar del rango originado por los valores de los datos de la serie de datos, luego de ordenados, y atendiendo a fraccionamiento de este rango con patrones pre-establecidos. Si se fracciona en dos partes iguales, el punto medio es la mediana; si es en cuatro partes iguales, los puntos de cada cuarto es el cuartil; si es en diez partes iguales; el punto de cada decimo es el decil; y si es en cien partes iguales, el punto de cada centésimo es el centil o percentil.

1.2.1. Mediana: Es el valor del punto medio de los valores de una serie de datos previamente ordenados en orden creciente o decreciente.

1.2.1.1. Propiedad de la mediana: Se ubica en todo el medio de la recta originada por el rango de los valores de la serie de datos y es única.

1.2.1.2. Características de la mediana a) Es un concepto fácil de manejar para su cálculo b) Los valore extremos no influyen para su calculo c) Se puede obtener en series abiertas de datos d) Sustituye a la media aritmética en series abiertas de datos.

1.2.2. Calculo de los fractiles. Datos no agrupados o sueltos

Formula General

Número de observaciones

= Percentil deseado

De esta fórmula se obtiene el resto de las fórmulas de las fractiles

Lugar del valor del percentil buscado

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Datos agrupados

= Frecuencia absoluta acumulada anterior

= índice del fractil a calcular.

Capítulo V

Medidas de Desviación o de Dispersión 1. Medidas de Dispersión: Son medidas estadística que determinan, como se

agrupan o se alejan los datos alrededor de un promedio.

Desvío Medio (Dµ, Dx) Desvíos Desvío Mediano (DMd) Varianza (σ2, S2 ) y Desviac. Estándar (σ , S )

Medidas de Dispersión Rango propiamente dicho ( R )

de Desviación Rangos Rango Intercuartílico ( RQ )

Desvío o Amplitud Semi-intercuartílica ( AQ )

Rango Interdecílico ( RD )

1.1 Rango: Es la medida de dispersión que mide la oscilación o recorrido en una serie de datos desde el dato de menor valor al dato de mayor valor inclusive

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R= Dm – Dm + 1 1.2 Desvío medio: Es la medida de dispersión que se determina a través de la media aritmética de los valores absolutos de los desvíos respecto a la media aritmética. POBLACION MUESTRA

DATO SUELTOS O D� D

NO AGRUPADOS

DATOS

AGRUPADOS D D

1.3 Desvío Mediano: Es la medida de dispersión que se determina a través de la media aritmética de los valores absolutos de los desvíos respecto a la mediana.

DATO SUELTOS O

NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS

1.4 Varianza y Desviación Estándar o Típica: Son medidas de dispersión que describe la cantidad de variación en una distribución de frecuencia o serie de datos. La desviación estándar o típica siempre será la raíz cuadrada de la poblacional o muestral de datos no agrupados o agrupados

POBLACION MUESTRA

DATO SUELTOS O

NO AGRUPADOS

DATOS

AGRUPADOS

19

19

1.5. Rango intercuartilico: Es la medida de dispersión que mide la oscilación o recorrido en una serie de datos desde el cuartil uno hasta el cuartil tres.

1.6. Desviación o Amplitud semi-Intercuartílico: Es la medida de dispersión que toma como valor la mitad del rango intercuartilico.

1.7. Rango Interdecílico: Es la medida de dispersión que mide la oscilación o recorrido en una serie de datos desde el decil uno al decil nueve.

Capítulo VI

Análisis de la curva originada por el polígono de frecuencias de una distribución de frecuencias de clases

1. Para el análisis de la curva originada por el polígono de frecuencias, se debe observar su comportamiento hacia los lados (comportamiento lateral), así como también su comportamiento hacia su parte superior (comportamiento de agudeza o apuntamiento). 1.1 Análisis de simetría: Analiza el comportamiento lateral y se apoya en los

coeficientes de asimetría de Pearson.

POBLACION:

SERIE MODAL

MUESTRA:

Una curva será simétrica o normal; cuando la media aritmética, la mediana y modo o moda sean iguales, la curva presenta una forma de campana. Una curva será asimétrica si presenta sesgo o inclinación a los lados. Si se inclina a la derecha, presenta asimetría positiva, es decir

según sea el caso y ésto ocurre cuando: la media es

mayor que la mediana y ésta mayor que el modo o moda. Si se inclina a la izquierda, presenta asimetría negativa, es decir según sea el caso, y esto ocurre cuando: la media

es menor que la mediana y ésta menor que el modo o moda.

20

20

1.2 Análisis de la agudeza o el apuntamiento: Analiza la curva observando

su comportamiento hacia la parte superior; y para realizar el análisis nos apoyaremos en el coeficiente de Kurtosis.

K= ; =

Una curva será: a) Puntiaguda o Leptocúrtica si K>0,263 b) Normal o Mesocúrtica si K = 0,263 c) Achotada o Platicúrtica si K < 0,263

RESUMEN DE LAS FORMULAS DE LAS

MEDIDAS ESTADISTICAS

1.- Media Aritmética

Datos No Agrupados = (Media Muestral)

�= (Media Poblacional)

= (Media Ponderada)

Datos Agrupados X= (Media Muestral)

�= (Media Poblacional)

2.- Media Geométrica

Datos No agrupados G=

G= ;

Datos agrupados G=

G= ;

3. - Modo

Datos No Agrupados El dato que más se repite o presenta el mayor

Número de observaciones

21

21

Datos Agrupados Mo=

4.- Mediana

Datos No Agrupados L

Datos Agrupados

5.- Cuartiles:

Datos No Agrupados L

L

L

Datos Agrupados IC

6.- Deciles

Datos No Agrupados L

L

L

Datos Agrupados IC

7.- Percentiles

Datos No Agrupados L

Datos Agrupados I

8.- Rango R= DM – Dm + 1

22

22

9.- Desviación Media

Datos No Agrupados (Poblacional)

(Muestral)

10.- Desviación Mediana

Datos No Agrupados

Datos Agrupados

11.- Varianza

Datos No Agrupado (Poblacional)

(Muestral)

Datos Agrupados (Poblacional)

(Muestral)

12.- Desviación Estándar o Típica

(Poblacional)

(Muestral)

13.- Rango Intercuartílico

14.- Desviación o Amplitud Semi – intercuartilica

15.- Rango Interdecílico

DEFORMACION Y APUNTAMIENTO O AGUDEZA DE LA CURVA ORIGINADA POR EL POLIGONO DE FRECUENCIA

Deformaciones laterales:

Coeficiente de Asimetría

(Poblacional) (Muestral)

23

23

Usado cuando la serie presenta una sola moda

(Poblacional) (Muestral)

Usado cuando la serie presenta más de dos modas

> 0 (+) = 0

0 (-)

> 0 (+) = 0

0 (-)

Asimetría Positiva Simétrica o normal Asimetría Negativa

Sesgo a la derecha Sesgo a la izquierda

Apuntamiento o agudeza

Coeficiente de Kurtosis

K ; K ; K ; K

Puntiaguda o K > 0,263

K=0,263 Leptocúrtica

Normal o K = 0,263

Mesocúrtica

Achatada o

Platicúrtica K < 0,263

24

24

Problemas propuestos para los Capítulos tratados en

el Título II

Problema 01.- Los directivos de una fábrica de refresco están pensando lanzar al mercado un nuevo producto. Realizada una encuesta a objeto de medir la aceptación del producto, en una muestra de 30 niños y utilizando una escala de 0 a 10 puntos para medir el grado de aceptación; este fue el resultado obtenido:2-6-8-7-4-5-10-6-6-7-6-7-3-8-7-6-8-6-5-4-7-8-5-7-6-7-2-7-2-7. La muestra tomó 15 niñas y 15 niños, con edades comprendidas entre los 5 y 12 años de edad, residentes en un barrio de la ciudad de Caracas. Se pide: a) Estructurar una tabla de Distribución de Frecuencias y b) Calcular; media aritmética, mediana, modo, cuartil uno y tres, decil uno y nueve, el percentil 42, la varianza y la desviación estándar o típica

Problema 02.- Leer el siguiente texto: “Una vez recolectados los datos en forma

ordenada, es necesario en forma tal que se facilite su comprensión y su posterior

análisis y utilizaciones. Para ello se ordenan en cuadro numéricos y luego se

representan en gráficos, para variable discreta mediante diagramas de frecuencias

tanto para absolutas ó relativas”. Se pide: a) Considerando a rr y ll como letra única, formar una tabla de Distribución de Frecuencias de Datos Agrupados en Clases ó Intervalos de Clases, tomando como base el número el número de letras que forma cada palabra y b) Analizar la curva originada por el Polígono de Frecuencias.

Problema 03.- (Modelo para datos sueltos).- Un grupo de productores de maíz del Estado Guárico entrega su producción en toneladas, a una planta receptora del producto, y 20 de ellos entregaron el siguiente tonelaje: 29 24 35 42 25 24 29 27 27 38 44 25 40 42 42 32 35 32 44 32.

Se pide: a) Elaborar una tabla de distribución de frecuencias. b) Calcular el porcentaje de productores que entregaron menos de 29 toneladas y el porcentaje de los productores que entregaron 32 o más toneladas c) Calcular las medidas estadísticas más importantes de tendencia central, de posición y de dispersión.

Problema 04.- (Modelo para datos agrupados).-Dentro de los televidentes del país se seleccionaron 50 que ven R.C.T.V. entre personas mayores de 18 años, a las cuales se le consultaron sus edades;

49 26 33 25 19 48 19 52 48 38 38 34 25 21 38 40 40 46 38 20 36 22 38 25 42 19 38 20 23 33 41 20 24 38 41 36 28 34 40 51

21 33 25 24 20 23 20 38 28 31.

Se pide: a) Elaborar la tabla estadística para La Distribución de Frecuencias, b) Calcular un aproximado del número de personas que tienen menos de 28 años y el porcentaje de personas que tienen 36 o más años, c) Calcular las medidas estadísticas más importantes de Tendencia Central, de Posición y de Dispersión y f) Estudiar la curva originada por el Polígono de Frecuencias.

25

25

Problema 05.- Se seleccionaron 30 estudiantes del I.U.G.T. de acuerdo a sus edades y luego de realizados los cálculos, se presentaron las Marcas de Clases con sus respectivas Frecuencias Absolutas:

Xmi 18 22 26 30 34

fi 6 7 10 5 2

Se pide: a) Calcular las Medidas Estadísticas y b) Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias.

Problema 06.- Un profesor de Estadística General para instruir a sus alumnos sobre todo lo referente a la Distribución de Frecuencias en cuanto a Datos Sueltos o No Agrupado en Intervalos de Clase, tomó las notas de un trabajo previo al primer examen parcial las cuales fueron: 16 08 14 10 07 11 11 14 10 11 14 13 12 11 10 08 13 12 07 12.Se pide: a) Tabla de Distribución de Frecuencias y b) Calcular las medidas de Tendencia Central, las medidas de Posición y las medidas más usuales de Dispersión

Problema 07.- La tabla que se presenta anexa, representa los salarios diarios cancelados por una empresa constructora a sus obreros. Se pide; A.- Determinar: a) Salario máximo y mínimo entre los cuales se encuentra 40% central de la cantidad de obreros de la empresa, b) El salario diario que comprende el 50% de la cantidad de obreros de la empresa, c) El porcentaje de la cantidad de obreros con salarios inferiores al Modo y el número de obreros con salarios superiores a la Media Aritmética de la Distribución de Frecuencias representada por la Tabla Estadística, d) El presupuesto anual original y el presupuesto anual modificado luego que los dueños de la empresa concedieran un aumento diario del 10% sobre los salarios de los obreros; y B.- Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias, trazando un esbozo de misma sobre el Histograma o Polígono de Frecuencias elaborados.

Ingresos

Diarios

Número de

Obreros

20 30

30 40

40 50

50 60

60 70

70 80

80 90

50

60

80

100

60

40

10

400

26

26

Problema 08.- Obtenidas las Marcas de Clases de una Distribución de Frecuencias tomadas de la vida de unas 40 baterías de automóviles, las cuales se presentan al final, se pide: a) Porcentajes del número de baterías tomadas que son inferiores a la Media Aritmética y el número de las mismas que son superiores al Modo, b) Límites entre los cuales se ubican el 50% y el 28% central de las baterías según su vida útil y c) Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias trazando un esbozo de misma.

Años de vida útil (Xmi): 1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 4,2 4,7

Número de baterías (fi): 2 1 4 10 15 5 3

Problema 09.- Una línea aérea a través de su departamento de control estadístico lleva una relación del número de pasajeros que se movilizaron durante los últimos 40 días entre Maiquetía y Maracaibo, Distribución de Frecuencias la cual originó las Marcas de Clases que se presentan al final; se pide: a) Porcentajes del número de pasajeros movilizados que son superiores a la Media Aritmética y el número de las mismos que son inferiores al Modo, b) Límites entre los cuales se ubican el 30%y central de los pasajeros movilizados durante los 40 días y c) Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias trazando un esbozo de misma.

Movimiento de Pasajeros (Xmi): 56,5 64,5 72,5 80,5 88,5 96,5 104,5

Día en que se hizo el estudio (fi): 11 6 6 10 1 5 1

Problema 10.- A continuación se presenta número de obreros que laboran en 40 empresas de construcción que contratan con el sector público:

53 58 63 56 53 62 95 98 83 97

56 59 64 71 84 96 102 57 76 69

57 85 93 83 68 72 79 81 80 56

61 80 70 77 80 63 60 59 78 74

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y señalar, b) Calcular las Medidas Estadísticas más usuales y c) Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias.

Problema 11.- Un productor de cítricos hizo 60 entregas de sacos de naranjas californias en el Mercado al por Mayor de Coche, relación de entregas que se presenta a continuación por sacos entregados:

67 56 52 56 73 79 64 72 72 58 73 69 54 67 51

59 58 59 76 66 79 57 69 64 69 60 68 63 74 67

63 61 74 67 70 63 71 64 75 71 67 59 76 67 71

64 72 67 57 58 58 68 73 58 74 72 60 59 69 60

27

27

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y b) Calcular las Medidas Estadísticas para analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias, dar la conclusión de este análisis..

Problema 12.- Un matadero industrial estableció una clasificación de los frigoríficos a los cuales les suministra sus productos, tomando como referencia el pesaje de los pedidos por mes. Luego de hacer un estudio estadístico estableció sus Marcas de Clase con sus respectivas Frecuencias Absolutas:

Kilogramos despachados (Xmi): 216,5 256,5 296,5 336,5 376,5 416,5

Frigoríficos receptores del producto (fi) 10 15 30 25 15 05

Se pide: a) Desarrollar la Distribución de Frecuencias y b) Calcular las Medidas Estadísticas y con éstas analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias y dar la conclusión.

Problema 13.- Los estudiantes Pedro Pérez, Zulgrey González y Jenny Rodríguez hacen tres consultas diferentes a un profesor de Estadísticas: a) Pedro Pérez, entrega al profesor las ponderaciones y las notas obtenidas en los cinco exámenes parciales en la materia consultada, quiere saber si aprueba la materia, b) Zulgrey González quiere saber cuánto debe obtener en el último examen parcial para aprobar con 12 puntos la materia consultada y c) Jenny Rodríguez, llegó a un acuerdo con el profesor de la materia sometida a consulta para presentar al final del período el segundo examen parcial, y quiere saber cuánto debe obtener en ese parcial para aprobarla. Dadas ponderaciones y notas de cada uno de esos estudiantes se pide dar respuestas a sus interrogantes:

Pedro

Pérez

Zulgrey

González

Jenny

Rodríguez

Problema 14.- Los datos que se presentan al final, representan las exportaciones de determinado producto en toneladas métricas (T.M.) en un lapso de 30 días: 5 6 5 8 9 9 7

Parcial 01 02 03 04

Pond. 3/10 7/25 11/501/5

Nota 07 12 07 13

Parcial 01 02 03 04

Pond. 3/10 7/25 11/5 1/5

Nota 08 11 12 X

Parcial 01 02 03 04

Pond. 3/10 7/25 11/5 1/5

Nota 06 X 12 10

28

28

6 4 3 2 1 6 5 4 8 9 3 2 2 5 4 6 7 1 2 8 9 7 6. Se pide: a) Agrupar los datos, b) Obtener la Media Aritmética y la Mediana c) Calcular el porcentaje de días con exportaciones superiores a 3 T. M. y con exportaciones inferiores a 6 T. M. y con exportaciones que estén entre 4 a 8 T. M. y c) Analizar el comportamiento lateral y el apuntamiento o agudeza de la curva originada por el Polígono de Frecuencias

Problema 15.- Una empresa textilera posee 20 empleados los cuales se beneficiarán del Decreto Gubernamental que establece un aumento lineal del 10%. El Departamento de personal lleva una relación de los ingresos mensuales de sus empleados los cuales se presentan en cuadro final. ¿Cuánto recurso tendría que disponer la empresa en un año para satisfacer este aumento?, ¿cuánto sería el presupuesto anual original y cuánto sería el presupuesto nuevo presupuesto modificado?

Ingresos Número de

Mensuales Empleados

1.500-2.000 2

2.000-2.500 3

2.500-3.000 10

3.000-3.500 2

3.500-4.000 3

Problema 16.- Se dispone de los índices de precios del consumidor del área metropolitana de Caracas. Si se pretende obtener un índice de precios promedio: a) Razonando su respuestas, ¿qué Medida Estadística utilizaría? Y b) Determinarla.

Año: 1.977 1.978 1.979 1.980 1.981 1.982

Índice General 160,7 172,2 193,4 235,4 273,1 300,2

Problema 17.- El Profesor Scott tomó el promedio de sus cursos de Estadísticas del I. U.G T. el cual dio como resultado 13 puntos. Él desea saber, ¿Cuál es el promedio de sus cursos de Estadística Instrumental, si conoce los promedios de las notas de sus estudiantes de Estadística I, Estadística II y Estadística General (Ver cuadro)

Materia: Estadística I Estadística II Estadística Inst. Estadística Gral.

Estudiantes: 40 20 138 42

Promedios: 11 08 X 16

Problema 18.- Se observa un determinado déficit de viviendas para el año 2.010. Si se asume que el 25% de las familias demanda vivienda, y partiendo de la base que cada familia está formada por un promedio de 6 miembros. Se pide determinar el déficit de

29

29

viviendas para el año 2.010, si los datos interanuales fueran los que se presentan en tabla anexa.

Año: 1.998 1.999 2.000 2.001 2.002 2.003

Población (Millones de habitantes): 19,7 19,9 20,4 20,8 21,6 22,2

Problema 19.- Se tiene pensado construir una edificación para una Unidad Educativa en Guayabal, estado Guárico en el año 2.012. Las poblaciones estimadas se presentan al final. El porcentaje de menores de edad que van de los 7 a los 13 años se conoce que es del 3%. De acuerdo a la norma cada aula debe tener una capacidad útil para 50 alumnos. ¿Cuántas aulas debe tener la edificación a construir?

Años: 2.001 2.002 2.003 2.004 2.005 2.006

Población (Miles de habitantes): 10,1 10,3 10,6 10,9 11,5 11,9

Problema 20.- Una empresa de comida rápida desea determinarla tasa de crecimiento promedio en los ingresos con base a las cifras dadas en la tabla anexa. Si la tasa de crecimiento promedio es menor que el promedio industrial del 10%, entonces se realizará una campaña publicitaria para mejorar los ingresos, ¿cuál será la decisión?

Año: 1.992 1.993 1.994 1.995 1.996

Ingresos: 1,10 1,13 1,18 1,23 1,48

Problema 21.- La recuperación de la inversión obtenida por una empresa de construcción durante cuatro años fue: 30%, 20%, -40%, y 200%. ¿Cuál es la tasa media geométrica de recuperación?

Problema 22.- En el año 1.998 la población del Municipio Mellado se estimó en 38.000 y en el año 2.004 en 44.000. ¿Cuál será el aumento medio geométrico anual para el período?

Problema 23.-Una empresa grande de equipos deportivos está probando el efecto de dos publicitarios planes sobre ventas en los primeros cuatro mese del año. Dadas las ventas que se ven en el cuadro anexo; ¿cuál programa de publicidad parece producir el crecimiento promedio más alto en ventas mensuales?

Mes Plan 1 Plan 2

Enero

Febrero

Marzo

Abril

5.251,05

6.293,70

7.141,05

10.810,80

14.915,25

15.878,00

17.258.85

17.605,50

Problema 25.- El Director Ejecutivo de una empresa de transporte aéreo desea determinar la tasa de crecimiento promedio en los ingresos anuales en base a la información que se refleja en tabla anexa. Si la tasa promedio es menor al promedio industrial del 10% se

30

30

asumirá una nueva campaña publicitaria. Se pide: a) ¿Será necesaria una nueva campaña publicitaria?, b) Razonar ¿por qué? se utiliza el promedio geométrico para este tipo de estudio comparándolo con el crecimiento aritmético.

Año Ingresos (Bs)

1.992

1.993

1.994

1.995

1.996

500.000

550.000

660.000

600.000

780.000

Problema 26.- Dada la siguiente distribución de frecuencias de las notas obtenidas por 66 estudiantes de un liceo de Caracas, según se muestra en tabla anexa, se pide responder: a) Porcentaje y número de estudiantes por encima de la mediana, b) Porcentaje y número de estudiantes inferiores a la media aritmética, c) Las calificaciones entre las cuales se encuentra el 50% de la parte central de la distribución y d) Analizar la curva originada por el polígono de frecuencia y comprobar con esbozo de la misma que el análisis se corresponde.

XI XS fi

01 04 3

05 08 5

09 12 7

13 16 10

17 20 14

21 24 15

25 28 6

29 32 4

33 36 1

37 40 1

31

31

TÍTULO III

Capítulo VII

INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES

1. Definiciones Fundamentales 1.1 Probabilidad: Es la posibilidad o viabilidad numérica medida entre cero y

uno, de que ocurra un evento de manera relativa.

Interpretación y comentario: Puede ser interpretado como algo indefinible, pero utilizado para expresar, de algún modo, un grado de creencia que se tiene de la ocurrencia de un suceso o evento; evento que puede suceder con base en la experiencia que se tenga de la ocurrencia de uno similar en el pasado, o en base de la consecuencia de un experimento en particular.

Cuando la probabilidad es igual a uno (1) es una probabilidad de certeza absoluta; ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que alguna persona muera? Cuando la probabilidad es igual a cero (0) es una probabilidad de imposibilidad absoluta; ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que alguna persona atraviese nadando el océano atlántico?

1.2. Evento, Suceso o punto muestral: Es el conjunto de uno o más resultados de un experimento.

1.3. Resultado: Es la consecuencia de un experimento en particular, es decir es la respuesta a alguna prueba.

1.4. Experimento o Prueba: Es el proceso que lleva a la ocurrencia de uno y solo uno de varias observaciones posibles.

1.5. Espacio Universal: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, y lo designaremos por U.

1.6. Espacio Muestral: Es el conjunto de todas las probabilidades

posibles de un espacio universal particular originado por un experimento, y lo designaremos por S. De esta definición se desprende que S siempre será igual a uno ( S = 1)

1.7. Resultados Posibles: Es la suma de todos los resultados de eventos que pueden derivarse de un espacio universal (EP0).

1.8. Resultado Probable: Son resultados que se derivan de la ocurrencia de eventos en particular y que forman parte de un espacio universal( EPR).

32

32

2. Modelos para estudiar las probabilidades :

Modelo Objetivo Probabilidades Clásicas

Modelos Probabilidades Empíricas o Relativas

Modelo Subjetivo

2.1 .- Modelo Objetivo: Establece un proceso para estudiar el cálculo de probabilidades a través de experimentaciones con resultados reales o tomando experiencias en la ocurrencia de eventos en el pasado para aplicarla a la ocurrencia de eventos similares en el presente.

2.1.1 Probabilidad Clásica: Se obtiene el valor de la probabilidad basándose en la suposición de que los resultados de un experimento son igualmente variable.

( )EPR

P EEPO

≅

2.1.2 Probabilidad Empírica o Relativa: Se obtiene el valor de la probabilidad basándose en la ocurrencia de un evento en el pasado para tomarlo como modelo para determinar la ocurrencia de eventos similares en el presente. Eventos totales ocurridos (ETO). Evento en particular que se estudia para su posible ocurrencia (EPE).

( )EPE

P EETO

≅

2.2 Modelo Subjetivo: Estudia la probabilidad de la ocurrencia de un evento en particular al asignar un individuo basándose en la información disponible.

3 Algunos eventos y sus respectivas probabilidades:

3.1 Eventos Independientes: Son eventos en los cuales la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia del otro.

3.2 Eventos Dependientes: Son eventos los cuales deben su ocurrencia a que previamente haya ocurrido el otro.

3.3 Evento Complementario: Son aquellos eventos que de no ocurrir; los otros si deben ocurrir.

3.4 Eventos Mutuamente excluyentes: Son eventos que al ocurrir da como consecuencia que ninguno de los otros eventos ocurran en ese mismo momento.

3.5 Eventos Colectivamente exhaustivos: Por lo menos uno de los eventos de un espacio muestral debe ocurrir al realizarse un experimento.

3.6 Probabilidad a Priori: Se considera como la probabilidad inicial basada en un nivel de información actual.

3.7 Probabilidad a Posteriori: Se considera como una probabilidad revisada en base a información adicional.

3.8 Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran al mismo tiempo (Evento no mutuamente excluyente)

33

33

3.9 Probabilidad Condicional: Es la probabilidad cuya ocurrencia depende a que previamente haya ocurrido otro evento (Evento dependiente)

3.10 Probabilidad Complementaria: Es la probabilidad que se obtiene restando a la unidad de que el evento ocurra.

4.- Reglas de la probabilidad

4.1. Reglas de la adición o suma: Matemáticamente se define como la unión de conjunto y gramaticalmente con la conjunción disyuntiva “o”.

4.1.1 Regla general de la adición o suma: Aplica para eventos no mutuamente excluyentes.

P (A U B)

= P (A) + P (B) – P (A y B)

P (A ó B)

4.1.2 Regla especial de la adición o suma: Aplica para eventos mutuamente excluyentes.

P (A U B)

= P (A) + P (B)

P (A ó B)

4.2 Reglas de la multiplicación: Matemáticamente se define como la intersección de conjuntos y gramaticalmente por la conjunción copulativa “y”.

4.2.1 Regla general de la multiplicación: Aplica para eventos dependientes.

P (A ∩ B)

= P(A) x P (B/A)

P (A y B)

4.2.2. Regla especial de la multiplicación: Aplica para eventos independientes

P (A ∩ B)

= P(A) x P (B)

P (A y B)

34

34

5.- Instrumentos de apoyo a las probabilidades

5.1 Tablas de contingencias: Tablas que se utilizan para clasificar las observaciones de la muestra de acuerdo con dos o más características que se puedan identificar. Estas tablas dan origen a las tablas de probabilidades y tablas de probabilidades condicionales, útiles en la elaboración del diagrama del árbol y en la aplicación para el cálculo del teorema de Bayes.

5.2 Diagrama del árbol: Es una gráfica que se utiliza para organizar los cálculos que comprenden varias etapas, cada etapa se representa por ramas las cuales se ponderan por medio de probabilidades.

5.3 Teorema de Bayes: Una probabilidad condicional a posteriori, se obtiene partiendo de una probabilidad a priori inicial basada en un nivel de información en el momento la cual es revisada tomando como sustento información adicional.

P(An/Bk) =

5.4 Técnicas de conteo: Pudiendo contar todos los eventos posibles y determinando a través de ciertos mecanismos el número de veces la ocurrencia de algún evento, podemos determinar probabilidades a través de técnicas muy sencillas enriquecidas con la teoría combinatoria, que nos crea las técnicas del conteo.

5.4.1 Formula de la multiplicación: Las maneras posibles de llegar a un resultado final partiendo de una punto inicial, transitando por caminos diferentes y teniendo otros posibles puntos intermedios. P= a x b x c………

5.4.2 Permutaciones absolutas: Es una forma de arreglar u ordenar a la totalidad de los elementos de un conjunto nPn = n! = n(n-1)8n-2)…..2.1

5.4.3 Permutaciones relativas o variaciones: Es una forma de arreglar u ordenar una parte preestablecidas de los elementos que componen un conjunto.

( )

!Pr

!

nn

n r≅

−

n= totalidad de elementos

r = una parte de los elementos.

5.4.4 Combinaciones: Son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se dispongan y evitando que cada arreglo de las partes nos hagan igualdades.

( )

!r

! !

nnC

n r r≅

−

5.4.5 Del exponente: Los casos posibles se obtienen tomando como base el número de elementos que presenta el instrumento de

35

35

experimentación y como exponente el numero de instrumentos utilizados o el numero de veces que se experimenta un instrumento Maneras posibles:

Capítulo VIII

Distribución de Probabilidad

1. Distribución de probabilidad: Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad relacionada con cada uno de ellos.

2. Variable Aleatoria: Resultado obtenido al azar de un experimento y que puede asumir diferentes valores. 2.1 Tipos de variable aleatoria.

2.1.1. Variable aleatoria discreta: Variable aleatoria que puede asumir solamente valores claramente contables.

2.1.2. Variable aleatoria continua: Variable aleatoria que supone un número infinito de valores dentro de un rango dado.

3. Esperanza matemática, valor esperado o media de una distribución de probabilidad discreta: Es un valor típico que se utiliza para representar la ubicación central de una distribución de probabilidad, es decir, es un valor esperado de una variable aleatoria a través de una media ponderada de todos los posibles resultados en los cuales lo pesos son las respectivas probabilidades de tales resultados.

µ = ∑ [

3.1 Varianza y Desviación Estándar: La varianza es un valor que describe la cantidad de dispersión o variación de una distribución cualquiera, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

Varianza:

Desviación:

Capítulo IX

Distribución de probabilidades de variables aleatorias discretas

1. Distribución de Probabilidades Binomial “Es una distribución de variables discreta donde existe un número fijo de ensayos repetidos (n) y donde cada uno al experimentarlos concluye en sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, favorables (éxito) o

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desfavorable (fracaso); el resultado de éxito de un evento es fijo, los ensayos se realizan con reemplazo, siendo independientes, interesándonos el número de éxito en n pruebas”

P ( x ) =

Valor esperado: = ; Varianza:

= Operación de combinación

= Número de ensayos o pruebas

= Variable aleatoria definida como el número de éxito

= Probabilidad de éxito en cada ensayo o prueba

= Probabilidad de fracaso en cada ensayo o prueba y

2. Distribución de probabilidades Hipergeométrica “Es una distribución de variable discreta asociada generalmente con un proceso de muestreo sin reemplazo o sin reposición en una población finita conocida que contiene una proporción relativamente grande (0,05 N < n) de esa población, de tal manera que la probabilidad de éxito sea perceptible alterada de una prueba a la siguiente, lo que hace que el resultado de un ensayo dependa del anterior.

Valor esperado:

Varianza:

N: Tamaño de la población

n: Tamaño de la muestra

X: Probabilidad de éxito en cada ensayo o prueba

S: Tamaño de lo favorable o exitoso dentro de la población

3. Distribución de probabilidades de Poisson “Es una distribución de probabilidades discreta que describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo especifico, el cual puede ser de tiempo, distancia, área o volumen”.

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Valor esperado: Varianza:

� = Número de ocurrencias exitosas de la medida en un intervalo especifico.

e= 2,718281; número base de los logaritmo neperianos

X= número de éxitos.

Capítulo X

Distribuciones continuas y teorías del muestreo

Distribuciones de probabilidades de variables

aleatorias continúas

1. Distribuciones de Probabilidad Normal:

Una distribución normal la define las características que muestra su gráfica, la cual presenta una forma de campana que tiene una sola cima o vértice en el centro de la distribución, por donde pasa un eje vertical que la divide en dos partes iguales para apoyarse en un punto sobre el eje horizontal que lo define la media; esta condición la hace simétrica y estas partes se expanden o caen a ambos lados llegando a estar infinitamente cerca del eje horizontal por lo cual es una gráfica asintótica; la distribución normal se determina a través de la media, µ y la dispersión, variación o extensión por medio de la desviación estándar

1.1 Distribución Normal Estándar “Z”:

No existe solo una distribución de probabilidad normal, sino más bien una familia de ellas. Cada situación en particular presenta su propia distribución normal, lo cual dificulta su uso. Sin embargo y por fortuna un miembro de la familia puede utilizarse para determinar las probabilidades de todas las distribuciones normales, la que conocemos con el nombre de Distribución Normal Estándar la cual es única ya que se define como: “La distribución normal que presenta una media de 0 y una desviación estándar de 1”

Cualquier distribución normal puede llevarse a una distribución normal estándar a través del Valor Tipificado de Z o Variación Normal Estándar; el cual se define como “el numero de desviaciones estándar a los que una observación está por encima o por debajo de la media es decir mide la distancia entre un

valor seleccionado (X) y la media aritmética (µ, ) dividida entre la desviación

estándar, σ

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Ilustración de la grafica de una desviación estándar normal. Eje de Simetría

σ = 1 Cola a la Izquierda

Cola a la Derecha

0,5 0,5

Eje Horizontal

- ∞ + ∞

- Z + Z

µ = Md = Mo = O

La razón de utilizar una campana (Gauss) con las características señaladas en la gráfica (grafica de una distribución continua estándar normal) para el cálculo de probabilidades de una distribución continua estriba en que el área encerrada por su gráfica se corresponde con una gran aproximación a la correspondiente probabilidad. El área total de la curva es igual a 1, distribuida en mitades simétricas de 0,5. el área igual a 1 coincide con el espacio muestral que es igual a 1 de todos los eventos posibles de un experimento.

1.2 Aproximación de la distribución normal a la binomial: Para calcular el éxito o el fracaso de una serie de n ensayos de una distribución binomial recurrimos a su fórmula o su respectiva tabla; sin embargo si n es demasiado grande, que exceda a los confines de cualquier tabla, debemos ir a la aplicación de una fórmula lo cual resulta altamente engorrosa, y es por ello que se diseñó el método alternativo de usar la distribución normal para aproximarse a la distribución binomial. Esta aproximación se considera lo

suficiente precisa si y Si esta próximo a

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0,50, valor que se toma como factor de corrección de continuidad, f.c.c. = 0,5 y se define como “el valor de 0,5 restado o sumado, según sea el caso, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidades binomial (discreta) se calcula por medio de una distribución de probabilidad normal (continua)”

Manera de aplicar el f.c.c.

No. Probabilidad Vocablo Forma Consideración

1 Probabilidad De que al menos ocurra X ( x – 0,5 ) Ya que X >

2 Probabilidad De que a lo más que ocurra X ( x + 0,5 ) Ya que X <

3 Probabilidad De que por lo menos ocurra X ( x – 0,5 ) Ya que X <

4 Probabilidad De que por lo más ocurra X ( x + 0,5 ) Ya que X >

2. Distribución de probabilidades “t” de Student: Al igual que la distribución normal, la distribución “t” presenta en su gráfica una forma de campana simétrica, pero más achatada y con mayor área en los extremos o colas donde se encuentran las zonas críticas o de rechazo. No existe una sola distribución “t”, sino una familia de ésta debido a que las desviaciones estándar se modifican a medida que aumenta el tamaño de la muestra, acercándose a la distribución normal.

Esta distribución se utiliza bajo las condiciones siguientes:

a) la muestra es pequeña, es decir n<30

b) la desviación estándar poblacional (σ) es desconocida, si fuera conocida se emplearía la distribución normal estandarizada “Z” aún siendo la muestra pequeña

c) la población es normal o casi normal.

Mientras la distribución “Z” presenta una varianza (σ2) igual a uno (1), la varianza de la distribución “t” es mayor que uno (1) y esto la hace mas achatada, más alargada y más dispersa que la distribución “Z” varianza :

2.1 Grados de libertad: En estudios posteriores realizados sobre la distribución “t” se introdujo este termino para mejorarla entendiéndose como: “el numero de observaciones menos el numero de restricciones impuestas sobre tales observaciones”.

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Problemas propuestos para los Capítulos tratados en

el Título III

Problema 01.- Definir el espacio muestral en los siguientes experimentos: a) Lanzar un dado previamente calibrado. b) Lanzar tres monedas y ver la manera como caen respecto a las caras, c) Familia con tres hijos respecto al sexo, d) Lanzar dos dados previamente calibrado y e) Al extraer dos bolitas que contiene: 4 azules, 3 blancas y 2 coloradas.

Problema 02.- Al lanzar un dado previamente calibrado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca en su cara superior: a) Un valor par y b) Un número mayor que dos?

Problema 03 .- Al lanzar dos dados previamente calibrados, ¿cuál será la probabilidad de que salgan en su caída valores tales que al sumarlos den como resultado: a) Exactamente 3. b) Mayor que 4. c) Menor o igual a 9 y d) Un múltiplo de 3?

Problema 04.- Se tienen tres lápices cuadrados, (azul, blanco y colorado) cuyos lados están numerados del 1 al 4, determinando el respectivo espacio muestral se pide obtener la probabilidad de que: a) Una de las caras expuestas presente exactamente el número 2. b) Dos de las caras expuesta presenten el número 2 y c) Las tres caras sea el número 2.

Problema 05.- Se introducen en una caja, 4 bolitas azules, 6 blancas, 5 coloradas y 8 doradas, ¿cuál es la probabilidad de ganar o perder, si las premiadas son las azules y las doradas?

Problema 06.- Se tiene un juego de naipes españoles lo suficientemente barajados, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer del mazo una carta ésta sea: a) Un as o un rey. b) Una espada o una sota. c) Un cinco de copa o un oro y d) Una figura o un basto?

Problema 07.-Una agencia de viaje con el fin de promover el turismo abre un plan vacacional para 90 personas para que visiten a Canaima y a Los Roques, 44 reservaron cupo con pasaje incluido para ir a Los Roques, 46 a Canaima y 30 a ambos lugares. Si de manera aleatoria seleccionamos una persona, ¿ cuál es la probabilidad de que viaje a Los Roques o a Canaíma?

Problema 08.-Se tienen dos juegos de naipes españoles, calcular las siguientes probabilidades al extraer dos barajas de manera conjuntas una de un juego y la otra del otro juego: a) ¿ Qué las dos sean reyes? b) ¿ Qué sean una sota y un basto? y c) ¿ Qué sean un caballo de oro o una espada.

Problema 09.- Se lanzan dos monedas y dos dados previamente calibrados, ¿cuál es la probabilidad de caiga cara-sello y un múltiplo de 3 al sumar los dos números de las caras superiores de los dados?

Problema 10.- Se tiene un juego de naipes españoles y se realizan tres extracciones sin reposición o sin reemplazo estudiar, ¿cuál es la probabilidad de que en los experimentos siguientes se extraiga: a) Un rey y una sota y un as. b) Un caballo y un

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siete y un caballo. c) Un as de oro y un oro y seis de copa o de basto y d) Un oro y una espada y un rey de copas.

Problema 11.-En una caja se introducen 4 bolitas azules, 5 blancas y 6 coloradas y se realizan de la caja tres extracciones sin reposición o sin reemplazo, calcular la probabilidad en los experimentos siguientes: a) De que salga una bolita blanca y una azul y una blanca. b) Todas coloradas. c) Una colorada y colorada y azul y d) Colorada y blanca y azul.

Problema 12.- En una caja se introducen 4 bolitas azules, 3 blancas y 2 coloradas, si extraemos de la caja dos bolitas, ¿Cuál es la probabilidad de que sean: a) Del mismo color. b) Las dos azules. c) Una blanca y la otra colorada y d) Una azul y la otra colorada?

Problema 13.- En una caja se introducen las mismas bolitas del problema anterior, si se extraen de la caja tres bolitas, ¿cuál es la probabilidad de que sean: a) Del mismo color. b) Dos azules y una blanca. c) Una azul y dos coloradas y d) todas azules.

Problema 14.- En una caja se introducen 9 bolitas azules y 6 blancas, si de la caja extraemos 3 bolitas, ¿cuál es la probabilidad de que sean: a) De igual color. b) De colores diferentes. c) Dos azules y d) Dos blancas.

Problema 15.- Un juego de naipes españoles consta de 40 barajas y lo vamos a dividir de manera arbitraria en dos partes iguales. Determinar las probabilidades de los eventos siguientes: a) Cada parte contenga dos caballos. b) Una parte no contiene ningún caballo, la otra parte contiene 4 caballos y c) Una parte contiene un caballo, la otra parte contiene 3 caballos.

Problema 16.- En el torneo de baloncesto profesional local participan 10 equipos, de los cuales al azar se forman dos grupos de 5 equipos cada uno. Entre los equipos se consideran 3 de de mayor calidad. Determinar las probabilidades de los siguientes eventos: a) Los equipos considerados de mayor calidad se encuentran en el mismo grupo y b) En un grupo se encuentran 2 de mayor categoría y 1 en el otro.

Problema 17.- Un profesor lanza dos dados sobre una mesa, observa los números que salieron y los tapa con la mano para que sus alumnos no los vean, y les formula las preguntas siguientes: a) Probabilidad que uno de los dados muestre un seis o un dos y b) Suponiendo que el profesor les dijo a los estudiantes que en uno de los dados salió el dos, probabilidad que el otro dado muestre el seis.

Problema 18.- En un grupo de 25 estudiantes del I.U.G.T. hay nueve que viajan a Valencia todos los viernes y seis a Maracay y cuatro a ambas ciudades (incluidos entre los anteriores). Si seleccionamos un estudiante al azar y se comprueba que viaja a Maracay, ¿Cuál es la probabilidad de que también viaje a Valencia?

Problema 19.- Se realizó un estudio sobre el consumo de café en el area metropolitana y se seleccionaron de manera aleatoria 300 personas consumidoras del producto para ser encuestadas. Al recibir el material del estudio realizado éste estaba incompleto, sin embargo con la información obtenida se puede completar la tabla de datos, (Tabla incompleta al final).

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Se pide: A.- a) Completar la Tabla de Contingencia. b) Elaborar la respectiva Tabla de Probabilidades c) Elaborar las Tablas de Probabilidades Condicionales y d) Elaborar un diagrama del árbol.

B.- Si de manera aleatoria se selecciona un consumidor, ¿cuál es la probabilidad: a) De que éste tenga entre 40 y 50 años? b) De que tenga un consumo moderado de café? c)De que tenga un consumo bajo de café y su edad sea menor de 30 años? d) De que tenga un consumo alto de café y cuya edad esté comprendida entre los 30 y 40 años e) Consumidor moderado de café ó que su edad sea menor de 30 años y f) Consumidor bajo ó alto de café

C.- Responder: a) ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar un consumidor de café que lo consuma moderadamente si tiene más de 50 años? y b) ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar un consumidor de café cuya edad esté entre 40 y 50 si lo consume de manera alta.?

C.- Responder: a) ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar un consumidor de café que lo consuma moderadamente si tiene más de 50 años? y b) ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar un consumidor de café cuya edad esté entre 40 y 50 si lo consume de manera alta.?

Problema 20.- Se consultaron las opiniones de 500 economistas que laboran en: la academia, la industria privada y el sector público sobre el futuro de la economía del país, si ésta sería: estable, se expandiría ó se contraería en un futuro próximo. Sin embargo parte de la información se extravió, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial:

Consumo de café

Edad (Años)

Bajo

(B1)

Moderado

(B2)

Alto

(B3)

Total

Menos de 30 (A1) 32 24 92

De 30 a 40 (A2) 75

De 40 a 50 (A3) 24 20

Más de 50 (A4) 26 24 79

Total 90 100

Economistas

Sector

Estable

(B1)

Expansión

(B2)

Contracción

(B3)

Total

Academia (A1) 125 100

43

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.

Se pide: A.- a) Completar la Tabla de Contingencia. b) Elaborar la Tabla de Probabilidades. c) Elaborar las Tablas de Probabilidades Condicionales y d) Desarrollar el Diagrama del Árbol.

B.- Si de manera aleatoria seleccionamos un economista, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea.: a) Del sector privado? b) Que opine que la economía se va a contraer? c) Del sector público y que opine que va a ver expansión en la economía? d) Del sector público ó del sector académico? y e) De la opinión que la economía va estar estable ó es del sector privado?.

C.- Responder: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la opinión sea de que la economía se expande si esta opinión proviene del sector público? Y b) ¿Cuál es la probabilidad que una opinión provenga del sector académico si se opina que la economía se contrae?

Problema 21.- El equipo de béisbol profesional Leones del Caracas, juega el 70,00% de

sus partidos por la noche y el 30,00 durante le día; ganando el 60,00% de los juegos nocturnos y el 70,00% de los juegos diurnos. Según las páginas deportivas de los periódicos ganaron el partido de ayer; ¿cuál es la probabilidad de que el partido jugado haya sido nocturno?

Problema 22.- Una cuarta parte de los residentes de la Urbanización Las Abejitas de San Juan de los Morros dejan la puertas de sus garajes abiertas no estando en casa. El vigilante de la entrada a la urbanización estima que el 5% de las casa con garajes con las puertas abiertas son robados y el 1% de las casas con los garajes de puertas cerradas. Si hay un robo en un garaje; ¿cuál es la probabilidad de que el garaje robado haya tenido la puerta abierta?

Problema 23 .- Se lanzan 3 monedas sobre una mesa, tomando como referencia como cae respecto a cara, se pide: a) Estructurar una Distribución de probabilidades. b) Obtener la Esperanza Matemáticas ó Valor Esperado y c) Calcular la Varianza y la Desviación Estándar ó Desviación Típica.

Problema 24.- Un dado se lanza 50 veces, donde cada cara cayó como se muestra:

Sec. Privado (A2) 35 110

Sec. Público (A3) 25 40 65

Total 200

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Cara 1 2 3 4 5 6

Veces 7 8 5 9 11 10

Se pide: a) Crear una Tabla de Distribución de Probabilidades. b) Obtener la Esperanza Matemática y c) Calcular la Desviación Estándar.

Problema 25.-Pedro Martínez vende automóviles para una agencia concesionaria. Pedro vende el mayor número de vehículos los días Sábados y obtiene la Distribución de Probabilidad para el número de automóviles que espera vender un día Sábado en particular:

Vehículos vendidos 0 1 2 3 4

Probabilidad: P(x) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

a) ¿Qué tipo de distribución es ésta? b) ¿Cuántos automóviles espera vender Pedro en un Sábado típico c) ¿Cuál es la Varianza y la Desviación Estándar de la distribución?

Problema 26 .- De las tres tablas que se presentan al final siendo de variables aleatoria solo una responde a una Distribución de Probabilidad. a) Identificar la que responde a una Distribución de Probabilidad y explicar el ¿por qué? De su respuesta y b) Obtener de la verdadera Distribución de Probabilidad, su Esperanza Matemática o Valor Esperado, su Varianza y su Desviación Estándar.

Tabla 1 Tabla 2 Tabla

x 5 10 15 20 x 5 10 15 20 x 5 10 15 20

P(x) 0,3 0,3 0,2 0,4 P(x) 0,1 0,3 0,2 0,4 P(x) 0,5 3 -0,2 0,4

Problema 27.- El servicio de correspondencia de un banco informa que el 85% de los documentos enviados dentro el área metropolitana se entregan en un período de 3 días a partir del momento en que se envían. Se enviaron 7 cartas de manera aleatoria a diferentes partes de la ciudad. ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Exactamente 7 lleguen en tres días? b) Exactamente 5 lleguen en tres días? c) Al menos 5 lleguen en tres días? d) A lo sumo 4 lleguen en tres días? y e) Calcular la Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar del número de documentos enviados que llegarán en un plazo de tres días.

Problema 28.- Las normas de garantías establecida por la industria automotriz sugiere que 20% de los nuevos vehículos se les dé un plazo de garantía de año y medio. Una agencia de ventas de vehículos del área metropolitana el día sábado vendió 9 vehículos los cuales están dentro de cualquier tipo de garantías. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno de los vehículos vendidos tengan garantía de año y medio? b) Exactamente uno tengan esta garantía? c) Menos de cuatro la requieran? d) Cuatro o más la requieran y e) Calcular la Esperanza Matemática, Media o Valor Esperado; La Varianza y la Desviación Típica o Estándar de esta distribución.

Problema 29.- Sólo el 20% de los empleados de la población civil que presta sus servicios en una base militar portan su carnet de identificación personal. Si llegan diez

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empleados, ¿cuál es la probabilidad de el guardia de seguridad encuentre: a) Ocho empleados con carnet? b) Cuatro empleados con carnet? c) Por lo menos cuatro con carnet? d) A lo sumo 5 empleados con carnet y e) Entre cuatro y siete empleados inclusive con carnet?

Problema 30.- Resolver el problema anterior pero partiendo de la base que sólo el 55% de los empleados portan el carnet.

Problema.- 31 Al Jefe de Recursos Humanos de una empresa comercializadora de materias primas, la Gerencia General lo autorizó par que contrataran 12 personas entre 35, de las cuales 24 tienen títulos universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que 7 de las personas que se contraten tengan un título universitario?

Problema 32.- Cuarenta trabajadores han recibido para su oficina nuevos computadores. Veintisiete trajeron incorporados quemadores de C.D. Si se seleccionan de manera aleatoria 10 trabajadores; ¿ cuál es la de probabilidad de que el equipo de computación de 3 trabajadores tengan quemador de C.D.? y ¿la probabilidad de que el equipo de 7 no lo tengan?

Problema 33.- En un curso de Estadística Instrumental que tiene una matrícula de 72 estudiantes se resuelve nombrar un equipo integrado por 7 estudiantes para que evalúe unas guías teóricas que contienen los concepto que van a ser base de los exámenes parciales. Si el curso posee 46 mujeres; ¿cuál es la probabilidad de que 5 mujeres integren el equipo a nombrar? Y ¿ 3 hombres?

Problema 34.- Un promedio 16 automóviles cada dos minutos ingresan a la parroquia Coche desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribución de ingreso responde a una Distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ningún automóvil ingrese en 30 segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en un minuto?

Problema 35.- La central telefónica del I.U.G.T. atiende un promedio de dos llamadas telefónicas por minuto y se sabe que sigue una Distribución de Poisson. Si la operadora se distrae por un minuto; ¿cuál es la probabilidad de que: a) El número de llamadas no respondidas sea ninguna? b) Por lo menos una? Y c) Entre 3 y 5 inclusive?

Problema 36.- En el problema anterior suponga que la operadora se distrae por cuatro minutos, responder las mismas preguntas.

Problema 37.- Repuestos Pernía C.A. compra repuestos para motores de arranque a uno de sus proveedores que presentan defectos de 3 por cada 100 repuestos. Saúl Pernía el dueño, necesita comprar 150 repuestos pero no aceptará una probabilidad de más del 50% de que más de dos repuestos sean defectuosos. ¿Saúl Pernía le compraría a dicho proveedor?

Problema 38.- El peso medio de las cajas de frutas de un gran cargamento es de 15 Kgs., con una desviación estándar de 1,62 Kgs.; si sus pesos están distribuidos normalmente, ¿Qué porcentaje tendrá un peso: a) Entre 15 y18 Kgs.,b) Entre 17y 19 Kgs., c) Menos de 13 Kgs., d) Menos de 16 Kgs. y e) Entre 14 y 17 Kgs.

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Problema 39.- Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Se pide calcular la probabilidad de un valor: a) Entre 44 y 55, b) Mayor que 55 y c) Entre 52 y 55.

Problema 40.- Una población normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. Se pide calcular la probabilidad de un valor: a) Entre 75 y 90, b) 75 o menos y c) Entre 55 y 70.

Problema 41.- Una máquina expendedora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 250 gramos por vaso, con una desviación estándar de 3,57. La distribución de cantidades servidas sigue una distribución normal. Se pide calcular la probabilidad de que la máquina sirva: a) Entre 253,57 y 258,93 gramos, b) 258,93 o más gramos y c) Entre 242,86 y 258,93 gramos.

Problema 42.- Un número reciente de una revista especializada sugirió que las parejas que están planeando su boda deben que dos terceras partes de las personas que se les envía una invitación respondan que si asistirán. Pedro y María tienen planeado casarse más adelante este año y piensan enviar 197 invitaciones. Responder: a) ¿Cuántos invitados deben esperar que esperen la invitación?, b) ¿Cuál es la desviación estándar?, c) ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o más acepten la invitación? y d) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 140 acepten la invitación?

Problema 43.- Según los últimos estudios realizados por una empresa especialista la tasa real de desempleo está por el orden del 9,2%. Si se seleccionan de manera aleatoria 100 aptas para trabajar; ¿Cuál será: a) La cantidad esperada de desempleados?, b) La varianza y la desviación estándar de desempleados?, c) La probabilidad que exactamente 5 estén desempleados? y d) La probabilidad de que cuando menos 4 estén desempleados?

Problema 44.- Un hotel del área metropolitana tiene 120 habitaciones. En los meses de poco movimiento, alquila un promedio del 75% de sus habitaciones. Responder; ¿ Cuál es la probabilidad de qué: a) Al menos se ocupe la mitad de las habitaciones de las habitaciones en cierto día?, b) 100 o más habitaciones en cierto día? y c) 80 o menos habitaciones en cierto día?

Problema 45.- Se lanza una moneda 500 veces. Calcular la probabilidad de que el número de caras no difiera de 250 por: a) Más de 10 veces y b) Más de 30.

Problema 46.- Los paquetes de cereal de Comercializadora Johan C.A vienen en cajas de 36 Kg, que tienen una desviación estándar de 1,9 Kg. Se piensa que los pesos están distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad que la caja pese: a) Menos 34,8 Kg b) Más 34,8 Kg c) Entre 34,3 Kg y 38,8 Kg d) Entre 39,5 Kg y 41,1 Kg?.

Problema 47.- El 45% de todos los empleados del Consorcio La China C.A tienen títulos universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que de 150 empleados seleccionados aleatoriamente: a) 72 tengan título universitario y b) Más de 70? Problema 48.- El Consejo Académico del I. U. G. T. designó un equipo de profesores para que realizara un estudio del comportamiento en el rendimiento académico de los estudiantes que han hecho su vida estudiantil en la institución. Se observó que la

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estructura de los datos sigue una distribución normal. El promedio de las notas de la población estudiantil en el tiempo fue de 13,45 con una desviación estándar de 1,93. Se quiere responder las siguientes interrogantes: a) ¿Porcentaje de estudiantes que estarían por debajo 11 puntos?, b)¿Cuál sería la probabilidad de que un estudiante seleccionado de manera de manera aleatoria obtenga una nota de 12 15 puntos?, c) De 500 estudiantes, ¿Cuántos aprobarían la materia con una nota de 14 a16 puntos y d) Si el Consejo Académico resuelve otorgar becas estudiantiles al 10% de aquellos estudiantes que obtenga las mayores notas, ¿Cuál sería la mínima nota a obtener para optar a esta beca? Problema 49.- Un estudio realizado por el Instituto de Tierras de Venezuela ha concluido que las precipitaciones diarias de los Andes Venezolanos parecen estar distribuidas normalmente con una media de 55,88 mm. durante la estación lluviosa. Se determinó que la desviación estándar era de 20,32mm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que llueva más de 83,82 mm. en un día durante la estación lluviosa?, b) que llueva más de 33,02 mm?, c) que las precipitaciones estén entre 68,58 y 76,20 y d) ¿Cuánta precipitación debe presentarse para exceder el 12% de las precipitaciones diarias? Problema 50.- El 72% de los empleados entre obreros, administrativos y académicos que laboran en el I. U. G.T. poseen títulos académicos. Se seleccionan de manera aleatoria 35 empleados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 19 tengan títulos académicos?, b) Más de 28? y c) Menos de 22? Problema 51.- Si se lanza una moneda equilibrada 160 veces, ¿Cuál será la probabilidad de que se obtengan caras entre el 40% y el 55% de las veces?

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TÍTULO IV

Capítulo XI

Teoría del Muestreo y Teorema del Limite Central

1. Definiciones Importantes 1.1. Estadística Inferencial: Estudia métodos y técnicas involucrando el uso de un

estadístico (muestra) para llegar a conclusión o inferencia sobre el parámetro (población) correspondiente.

1.2. Teoría del Muestreo: Estudio que nos enseña la técnica para analizar una población a través de una muestra representativa de la misma.

1.3. Distribución muestral de medias o distribuciones muestrales: Es una distribución de probabilidades de todas las medias posibles de muestras de un determinado tamaño de la población, es decir es una lista de todos los valores posibles para un estadístico (media) y las probabilidades relacionadas con cada valor.

2. Errores Dentro de un Estudio de Muestreo: 2.1. Error de Muestreo: Un error que se establece entre la muestra y población,

definido como, “la diferencia entre el estadístico muestral y el parámetro poblacional correspondiente”

Error de Muestreo:

2.2. Error Estándar de la Muestra: Es un error intrínseco de la propia muestra y depende de la normalización de cualquier distribución de probabilidad en estudio. Es una medida de la dispersión de las medias muestrales alrededor de la media poblaciones (µ) por lo tanto mide la tendencia a sufrir del error de muestreo, en el esfuerzo por estimar a la media poblacional.

2.3. Para definir este error debemos desarrollar el Teorema del Limite Central que nos señala: “Si todas las muestras de un particular tamaño se selecciona de cualquier población, la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal, es decir a medida que el tamaño de la muestra crece la distribución de medias muestrales se aproximan a una distribución normal, donde la media de medias (Gran Media) es igual a la media poblacional y, y el error estándar es igual a la desviación estándar o típica dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra

Error estándar de la muestra:

Gran media o media de media:

Luego:

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Varianza:

2.2.1Conclusiones Importantes del Teorema del Limite Central:

2.2.1.1 Población Grande n ≥30, para un estudio muestral se usa la distribución Z (Distribución Normal).

2.2.1.2. Población Pequeña n <30, para un estudio muestral se usa la distribución t (Distribución No Normal)

Observación: Si la población es normal aún cuando su tamaño sea pequeña (n<30) se usa distribución Z

3. Factor de corrección para poblaciones finitas: La expresión es apropiada si el muestreo se realiza con reemplazo,

o si la muestra se toma de una población muy grande virtualmente infinita. Si el muestreo se realiza sin reemplazo y si el tamaño de la muestra cumple que n>0,05N debe aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas, en este caso:

4. Proporción muestral de la Distribución Muestral:

Valor esperado o esperanza matemática:

Error estándar:

Error estándar corregido si n>0,05 N:

5. Métodos de Muestreo:

5.1 Muestreo Aleatorio Simple: Método donde la muestra se selecciona de manera tal que cada elemento o persona en la población tiene la misma oportunidad de ser seleccionado. 5.2 Muestreo Aleatorio Sistemático: Método donde se selecciona un punto de inicio aleatorio y después se elige cada K miembro de la población.

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5.3 Muestreo Aleatorio Estratificado: Método donde la población a estudiar se divide el sub-grupos, llamados estratos, y se selecciona de manera aleatoria un elemento de cada estrato atendiendo al tamaño de cada uno. 5.4 Muestreo Aleatorio por Conglomerados: Método donde se divide la población en grupos o conglomerados utilizando los límites naturales geográficos o de otros tipos; seguidamente los grupos se seleccionan al azar y se recopila una muestra a elegir en forma aleatoria de cada grupo.

Capítulo XII

ESTIMACION CON INTERVALO DE CONFIANZA

1. Estimación: Una estimación es el proceso mediante el cual se obtiene un estimador. 1.1 Estimador Puntual: Estadístico que se calcula a partir de la información

de la muestra y se utiliza para estimar el parámetro de la población, el cual es un único valor.

1.2 Estimación por intervalos de confianza: Es el rango de valores creado a partir de los datos de la muestra, de modo que el parámetro poblacional es probable que ocurra dentro de ese rango dentro de una probabilidad específica.

1.3 Nivel o Coeficiente de Confianza: Es la probabilidad especifica que define el rango dentro del cual debe estar el parámetro poblacional desconocido.

2. Intervalos de Confianza para Medias Poblacionales (����). 2.1 Población Grande (n≥30)

• Se utiliza Z. • IC de � =

• LIC = Limite inferior de confianza • LSC = Limite superior de confianza • LIC = X – ; LSC = X +

2.2 Población Pequeña (n<30)

• Se utiliza t. • LIC = X -

Debe cumplirse también para usar que la desviación estándar

poblacional sea desconocida entonces se usa la desviación estándar

muestral y que además la población sea normal o casi normal.

3. Intervalos de Confianza para Proporciones Poblacionales

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3.1 Población Grande (n≥30) • Se utiliza Zo. • LIC = X – ; LSC = X +

3.2 Población Pequeña (n<30) • Se utiliza to. •

4. Determinación del tamaño apropiado de la muestra

Seleccionado todo el nivel de confianza, en el tamaño muestral dos factores importantes influyen: (1) la varianza de la población y (2) el tamaño del error tolerable. 4.1 Tamaño de la muestra para estimar una media poblacional (����))))

4.2 Tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional

Eπ = p - π

Si se maximizará n, lo hacemos más confiable para la investigación, y ésto se logra para

por lo que .

4.3 Tamaño óptimo para poblaciones finitas

Si

5. Propiedades de un buen estimador: 5.1 Estimador insesgado: Un estimador es insesgado, si la medias de su de

distribución muestral es igual al parámetro correspondiente. 5.2 Estimador eficiente: Dado todo estimador insesgado, el más eficiente es

aquel que tenga la menor varianza 5.3 Estimador consistente: Un estimador es consistente si, a medida que n

aumenta el valor del estadístico se acerca al parámetro 5.4 Estimador suficiente: Un estimador es suficiente si ningún otro estimador

puede proporcionar más información sobre el parámetro.

Capítulo XIII

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PRUEBA DE HIPOTESIS

1. Definiciones básicas 1.1. Hipótesis: Afirmación o enunciado acerca de un parámetro o población

que se desarrolla o elabora con el propósito de probar. 1.2. Prueba de Hipótesis: Procedimiento basado en la evidencia muestral

y la teoría de la probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

2. Procedimiento de Hipótesis de cinco pasos para probar una hipótesis 2.1 Primer Paso: Establecer la hipótesis

2.1.1. Hipótesis Nula (Ho): Afirmación acerca del atributo numérico de un parámetro poblacional.

2.1.2. Hipótesis Alternativa: Afirmación que se acepta si los datos de la muestra proporciona suficiente evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

2.2 Segundo paso: Seleccionar un nivel de significancia

2.2.1. Nivel de Significancia: Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera.

2.2.2. Error Tipo I: Rechazar la hipótesis nula siendo verdadera.

2.2.3. Error Tipo II: Aceptar la hipótesis nula siendo falsa

2.2.4. Tipos de Prueba

a) Prueba de dos colas: Se presenta cuando

ZONA

DE

Z- ACEPTACION Z+

ZONA DE RECHAZO:

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53

b) Prueba de una cola: Se presenta cuando (cola a la derecha) ó

cuando (cola a la izquierda)

Zona de rechazo

Zona de α=α0 Zona de

Z- Aceptación Z+ Z- Aceptación Z+

2.3. Tercer Paso: Determinar el estadístico de prueba

2.3.1 Estadístico de Prueba: Valor determinado a partir de la información de la muestra que se utiliza para definir si se rechaza la o se acepta la hipótesis nula.

2.3.2 Casos que se presentan para probar hipótesis

A) Para una población (Muestra Grande; n≥30, µ y p)

En medias poblacionales (µ) En proporciones poblacionales (p)

Cuando no se conocen se asume la desviación estándar de la

muestra S y p.

B) Para una población (Muestra pequeña; n<30,

2.4 Cuarto Paso: Formular una regla de decisión

Si la prueba es de dos colas, para aceptar la hipótesis nula debe cumplirse que (Muestra grande) ó – to< t < to (Muestra

pequeña) de lo contrario se rechaza Si la prueba es de una cola a la derecha, debe cumplirse que Z ≤ Zo (Muestra grande) ó t < to (Muestra pequeña) ya

Si la prueba es de una cola a la izquierda, debe cumplirse que – Zo Z

(muestra grande) o t < to (muestra pequeña), ya que

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2.5 Quinto Paso: La toma de decisión:

Estudiados y analizados los supuestos de los cuatro pasos anteriores, se toma la decisión y se redacta en base a los resultados obtenidos.

3. Valores p: Uso e interpretación, en una prueba de hipótesis

3.1 Valor p: Es la probabilidad de observar un valor de muestra tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera

3.2 Uso e interpretación: El valor p se usa para probar hipótesis, y es un valor del área según la tabla de distribución normal correspondiente a Z (A).

Si lo prueba es de dos colas se acepta la hipótesis nula, ya que A = 0,5 – A, de

lo contrario se rechaza.

Si la prueba es de una cola se acepta la hipótesis nula, de lo contrario se

rechaza.

Problemas propuestos para los Capítulos tratados en

el Título IV

Problema 01.- Una librería-papelería tiene 7 trabajadores y los ingresos mensuales en bolívares son: 900; 960; 1.020; 900; 1.050; 1.200 y 1.020. Se pide: a) Calcular la media poblacional, la varianza y la desviación estándar; b) Con los ingresos mensuales dados elaborar una distribución muestral o distribución de medias si organizamos los datos de la población a estudiar en muestras de tamaño constante de tres (3) miembros, c) Calcular la gran media o media de medias, la varianza y la desviación estándar de la distribución muestral o distribución de medias. Comentar y d) Elaborar la gráfica de barras de la distribución dada y la distribución muestral o distribución de medias elaborada. Comentar

Problema 02.- Las ventas de una empresa de líneas blancas en miles de bolívares durante los últimos cinco meses fueron: 176,7; 189,6; 168,0; 209,1 y 187,2. Asumiendo que estos cincos meses constituyen la población, se pide: a) Calcular la media poblacional, la varianza y la desviación estándar; b) Con los movimientos económicos mensuales dados elaborar una distribución muestral o distribución de medias si organizamos los datos de la población a estudiar en muestras de tamaño constante de tres (3) miembros, c) Calcular la gran media o media de medias, la varianza y la desviación estándar de la distribución muestral o distribución de medias. Comentar y d) Elaborar la gráfica de barras de la distribución dada y la distribución muestral o distribución de medias elaborada. Comentar.

Problema 02.- Las latas de refresco vendidas en la refresquería Pedroso S.R.L tienen un promedio 16,11 onzas con una desviación estándar de 1,2 onzas. Si se tenía una

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muestra de 200 latas de refresco ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea: a) Menor que 16,27 b) Por lo menos 15,93 y c) Entre 15,9 y 16,3. Problema 04.- Una población normal tiene una media de 85 y una desviación estándar de 17. Si selecciona una muestra de 16, calcular la probabilidad de que la media de las medias muéstrales sea: a) Mayor que 90, b) Menor que 75 y c) Entre 75 y90. Problema 05.- Una población cuya forma no se conoce tiene una media de 75 con una desviación estándar de 5. Si se selecciona una muestra de 40, calcular la probabilidad de que la media de las medias muestrales sea: a) Mayor que 77, b) Menor que 74, c) Entre 74 y 76 y d) Entre 76 y 77. Problema 06.- Según estudio realizado por SENIAT, los contribuyentes personas naturales tardan 330 minutos en promedio en preparar, copiar y archivar en un medio electrónico la planilla modelo para este tipo de declaración. Una empresa gestora que orienta a los consumidores en el preparado de estas planillas, seleccionó una muestra de 40 de sus clientes y comprobó que el tiempo requerido para preparar, copiar y archivar la planilla les llevó un promedio de 320 minutos. a) ¿Cuál es el error estándar?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las medias muestrales sea mayor que 325 minutos?, c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las medias muestrales se encuentre entre 320 y 350? y d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de medias muestra esa mayor que 350? Problema 07.- Una encuesta realizada por una empresa especializada reveló que los estudiantes de último año de secundaria ven televisión en un promedio de 37,2 horas por semana. Se asume una desviación estándar de 5,4 horas. En una muestra de 500 estudiantes de secundaria, qué tan probable es que la media muestral sea: a) ¿Más de 38 horas?, b) ¿Menos de 36,6 horas? Y c) ¿Entre 36,4 y 37,9? Problema 08.- El consumo diario de agua en San Juan de los Morros, promedia 92,2 litros por hogar, con una desviación estándar de 17,56 litros. El Alcalde de la ciudad desea estimar esta media no conocida con una muestra de 100 hogares, ¿Qué tan probable es que el error de muestreo exceda los 1,89 litros? Problema 09.- El 30% de los empleados tienen formación avanzada. Si una muestra de 500 empleados menos del 27% estaban preparados de forma adecuada, todos los nuevos empleados contratados necesitarán inscribirse en un programa de formación. ¿Cuál es la probabilidad de que se inicie el programa? Problema 10.- La proporción de todos los clientes Pizza Spósito C. A. que comen en el sitio es del 75%. En una muestra de 100 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 20% lleven su comida a casa? Problema 11.- Una empresa elabora cables con una resistencia media de 800 Kgs. Y una desviación estándar de 60 Kgs. ¿Qué probabilidad debe existir si se toma una muestra de 16 cables del mismo tipo, de tengan resistencia: a) Más de 820 Kgs.? y b) Menos de 785? Problema 12.- De 314 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Se pide: a) Probabilidad de qué la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años. Problema 13.- Si la desviación estándar de las notas de los estudiantes de un curso de Estadística Instrumental del I. U. G. T. es de 1,6 puntos. Si se toma una muestra de

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36 estudiantes de estos estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que se presente un error de muestreo de 0,6 puntos o más? Problema 14.- Para estimar el gasto promedio de los clientes de un restaurant de comida rápida, los estudiantes de una clase toman una muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de 5,67 Bs. con una desviación estándar del 1,10 Bs. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para los gastos promedio de todos los clientes? Interpretar resultados.

Problema 15.-En una sala de conferencia, una tertulia estudiantil popular vende vasos de tizana de 16 onzas. Diez estudiantes compran un total de 22 vasos y utilizando su propia taza de medida estiman los contenidos promedios, la media muestral es de 15,2 onzas con una desviación estándar muestral de 0,86. ¿Con un nivel de confianza de 95% los estudiantes creen que su dinero vale? Interprete el intervalo. Problema 16.- Cien latas de 453,58 grs. de salsa de tomate de una reconocida marca nacional tienen un promedio de 430,91 grs. La desviación estándar poblacional en peso es de 27,22 grs. Dentro de un nivel de confianza del 95%, ¿Las latas parecen estar llenas realmente con un promedio de 453,58? Problema 17.- Las bonificaciones para 10 jugadores de la Liga Nacional de las Grandes Ligas se utilizan para estimar la bonificación promedio para todos los nuevos jugadores. La media muestral es de $ 65.890,00 con S = $ 12.300,00. ¿Cuál es su estimación con un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional? Problema 18.- Una empresa especializada informó que el 68% de todos los estudiantes de secundaria tenían computadoras en su casa. Si una muestra de 1.020 estudiantes revela que 673 tienen computadoras caseras. ¿Será que dentro de un intervalo del 99% apoya a esa empresa especializada? Problema 19.- Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores reveló que la media muestral es de Bs. 20 y una desviación estándar muestral de Bs. 5. a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explicar que indica y b) Utilizando el nivel de confianza de 95%, determinar el intervalo de confianza para la media poblacional. Explicar que indica. Problema 20.- El dueño de una granja avícola quiere calcular el número medio de huevos que pone una gallina. Una muestra de 20 gallinas indican que ponen un promedio de 20 huevos al mes con una desviación estándar de 2 huevos por mes. a) ¿Cuál es el valor de la media poblacional? ¿Cuál es el mejor estimador de este valor? b) Explicar ¿Por qué? se necesita usar la distribución t, ¿Qué suposición debe hacer?, c) Para un intervalo de confianza del 95%, ¿Cuál es el valor de t?, d) Desarrolle el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional y e) ¿Sería razonable llegar a la conclusión de que la media de la población es 21 huevos, ¿Qué tal 25 huevos?

Problema 21.- Una embotelladora de agua potable proporciona el producto en botellones de 25 litros a un sector de una parroquia caraqueña. El gerente desea estimar el número promedio de botellones que una casa consume en un mes. Se toma una muestra de 75 viviendas y se registra el número de botellones consumidos, proporcionando una media de 3,2 botellones con una desviación estándar de 0,78. Se desea investigar: a) ¿Qué revelará un Nivel de Confianza del 92%? b) ¿Cuántas viviendas se deben tomar en cuenta para estar el 97% seguro de que el Intervalo de Confianza no esté errado en más de 0,10 de botellones de agua?, c) Al seleccionar una muestra más pequeña de 10 viviendas para estimar el promedio de miembros de

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la familia por vivienda, arrojó los resultados siguientes: 1, 3, 4, 7, 2, 2, 3, 5, 6 y 6, personas por cada vivienda; ¿cuáles serán los resultados para un Nivel de Confianza del 97% para el número promedio de miembros de la familia por viviendas donde la Desviación Estándar es 4,1 botellones de agua. d) De las 75 viviendas de la muestra 22 tienen filtros de agua en su vivienda, ¿cuál será el estimado para un Nivel de Confianza del 95% de la proporción de todas las viviendas en el sector de la parroquia que tienen filtros de agua? y e) Con el Nivel de Confianza anterior de todas las viviendas que tienen filtros de agua y carece de precisión, ¿cuál será el tamaño de la muestra para producir un Intervalo de Confianza del 10%?

Problema 22 .- Para estimar gastos promedio de los clientes de un local de Mc Donald s, los estudiantes de estadística toman una muestra de de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de Bs16,25, con una desviación estándar de Bs 3,15. ¿Cuál es el intervalo de confianza para los gastos promedio de todos los clientes dentro de un nivel de confianza del 95%? Interpretar resultados.

Problema 23.- Una agencia de turismo tomó muestras de las personas que en vacaciones participaban en cruceros por El Caribe y que visitaban a Puerto Rico. Dentro de un nivel de confianza de 96%, ¿Cuál será el intervalo de confianza para la proporción de vacacionistas venezolanos si de las 1822 personas encuestadas 531 eran venezolanos?

Problema 24.- ¿Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de una muestra para que proporcione una estimación del 90% del número promedio de graduados de las universidades nacionales con un error de muestreo de 2.000 estudiantes si una muestra piloto reporta una desviación estándar de 8.659? Problema 25.- Para realizar un estudio se requiere un nivel de confianza del 95% para la tasa de rendimiento promedio de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar capital. ¿Cuántos proyectos debe tener la muestra, si su supervisor especifica un error máximo de sólo del 5% y una desviación estándar de 2,3%? Problema 26.- Un investigador está interesado en estimar la ganancia en peso total, en 0 a4 semanas de 1.000 pollitos alimentados con una nueva ración. Obviamente, pesar cada ave sería tedioso y llevaría demasiado tiempo. Por lo tanto, se debe determinar el número de pollitos a seleccionar en una muestra, para estimar el total con un límite para el error de estimación igual a 1.000 gramos. Muchos estudios similares sobre nutrición de pollitos se han llevado a cabo en el pasado. Usando datos de estos estudios, el investigador encontró que la varianza es, aproximadamente de 36 gramos. Determinar el tamaño de muestra requerido, con un nivel de confianza del95%. Problema 27.-Para una población de 123.318 electores se desea calcular el tamaño de una muestra para una encuesta donde el nivel de confianza debe ser del 98% con un error permisible del 2%. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

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Problema 28 .- El fabricante de un nuevo auto compacto sostiene que este promediará un consumo de 14Km./lit. en carreteras normales. En 40 corridas de prueba el auto promedió13,9 Km. /lit. de consumo con una desviación estándar de 0,933 Km. / lit. ¿Podrá rechazarse la afirmación del fabricante dentro de un nivel de significancia del 5%? Problema 29.- Doris de Comida C. A. construirá un nuevo establecimiento en una localidad propuesta solo si durante ciertas horas pasa por ella más de 200 automóviles por hora. En 20 horas aleatoriamente muestreadas durante el horario establecido, el número promedio que pasan es de 208,5; con una desviación estándar muestral 30,0. Se supone que estadística es aproximadamente normal. Dentro de un nivel de significancia del 5%, ¿Se podrá rechazar la hipótesis nula?. Problema 30.- El encargado para colocar en el mercado de trabajo a los graduados del I. U. G. T. sostuvo que al menos el 50% de los nuevos graduados habían cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Supongamos que reúne una muestra aleatoria de 30 estudiantes próximo a graduarse y que solo 10 de ellos señalan haber cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Dentro de un nivel de significancia del 5%; ¿ Se podrá rechazar que sostiene el encargado del I. U. G T para la colocación en el mercado de nuevos graduado? Problema 31.- Se estudia la ubicación de un centro comercial y se consideran las alternativas de dos localidades tomando en cuenta el ingreso económico mensual de los miembros de la comunidad. Se desea probar la hipótesis de que no existe diferencia entre el ingreso económico medio de ambas comunidades y se supone que la desviaciones estándar de ese ingreso medio también son iguales. En una muestra de 30 hogares de la primera comunidad el ingreso mensual promedio es de Bs. 8.150,00 con una desviación estándar de Bs. 332. En una muestra de 40 hogares en la segunda comunidad, el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.790,00 con una desviación estándar de Bs. 430. Para un nivel de significancia del 5%, ¿Se cumplirá la hipótesis planteada? Problema 32.- En problema anterior considere: Comunidad 01 n1 = 16, X1 = Bs. 8.000,00; S1 = 0,326 Comunidad 02 n2 = 25; X2= Bs. 7.750,00; S2 = 0,428 α = 0,05 Problema 33.- Un fabricante evalúa dos tipos de equipos para la fabricación de un componente; los datos de la investigación se presentan al final. El índice de fabricación de ambas marcas es el mismo. Sin embargo debido a que el costo de la primera marca es sustancialmente menor, el fabricante le concede el beneficio de la duda y formula la tesis de que π1 < π2. Para un nivel de significancia del 5% probar la hipótesis planteada.

n Defectuoso

Equipo 01 50 5

Equipo 02 80 6

Problema 34.- Un profesor de Estadística Instrumental del I. U. G. T. sugiere dos textos de estudios para los cursos donde dicta la materia y quiere probar que el texto de estudio 01 da mejor rendimiento que el texto de estudio 02, y toma apoyo un reciente estudio realizado, el cual se muestra en cuadro anexo, donde se presenta el número

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de estudiantes aprobados según el texto utilizado. Dentro de un nivel de confianza del1%; ¿Será que el profesor de estadística estará en lo cierto?

Problema 35.-En 1997 una empresa de inversiones informó que los empresarios en un país desarrollado invierten un promedio de 18.600 Bs. cada mes en el mercado de títulos. Si esta afirmación está apoyada en un nivel de significancia del 5% y tomamos una muestra de 36 meses que nos presenta una media de inversión de Bs. 17.100 y una desviación estándar de 2.400 Bs. ¿Será que la información que presenta la empresa de inversiones es cierta?

Problema 36.-Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis que las ventas por mes se estiman en más de Bs. 12 si seleccionamos una muestra de 10 meses donde se reporta una media de Bs 11,277 y una desviación estándar de Bs 3,772. Para un nivel de significancia del 5% será cierta la aseveración del distribuidor de bebidas.

Problema 37.- Como gerente de compras la Señora Rosa María Cavero debe decidir si se actualizan o no las computadoras de la oficina. A ella se le informado que el costo promedio de las computadoras es de Bs 2.100,00. Una muestra de 64 minoristas revela un promedio de 2.251,00, con una desviación estándar de Bs 812,00. Si tomamos un nivel de significancia del 5%; ¿Será correcta la Información?

Problema 38.- Debido a los retardos que se producen en el tiempo para que los estudiantes lleguen a tiempo a clase en el I. U. G. T., el Director Académico desea plantear una revisión de los horarios de clase. Él considera que el tiempo promedio de de los estudiantes para llegar a clase es de 50 minutos. Encuestados 70 estudiantes se constato que ellos tardan un promedio de 47,2 minutos con una desviación estándar de 18,9 minutos. Para un nivel de significancia del 1%, ¿Será que el Director Académico está en lo cierto?

Curso

Texto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Equipo 01 12 10 15 09 14 15 14 14 11 114

Equipo 02 13 10 16 10 11 13 12 12 14 111