análisis de pórticos con el uso del método de la rigidez

Anlisis Estructural II

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ANLISIS DE PRTICOS CON EL USO DEL MTODO DE LA RIGIDEZ

CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE: TEPE ATOCHE, Vctor Manuel

INTEGRANTES: CAMPOS UGAZ, Walter CSPEDES PACHERRES, Gabriel SUXE PEREZ, Lenin TINEO CAMIZA, Jorvy

TORRES LEONARDO, Diego URBINA GALLO Carol Ysela

SEMESTRE: 2015 - I

2015

UNIVERSIDAD DE CHICLAYO

CHICLAYO, FEBRERO 2015


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Contenido ANLISIS DE PRTICOS CON EL USO DEL MTODO DE LA RIGIDEZ ....... 3

INTRODUCCIN ................................................................................................................ 3

1. Identificacin de miembros y nudos: ............................................................... 3

Coordenadas de miembro y globales. ................................................................... 3

Grados de libertad: ....................................................................................................... 4

Carga intermedia de un miembro........................................................................... 4

2. Matriz de rigidez de un miembro de un marco: ............................................... 5

Desplazamiento x ........................................................................................................ 6

Desplazamiento y. ....................................................................................................... 6

Rotaciones z................................................................................................................... 6

3. Matrices de transformacin de desplazamiento y fuerzas. ......................... 8

Matriz de transformacin de desplazamientos. ............................................... 8

Matriz de transformacin de fuerzas. ................................................................... 9

4. Matriz de rigidez global de un miembro de un prtico. .............................. 10

5. Aplicacin del mtodo de la rigidez al anlisis de prticos. ...................... 11

Matriz de rigidez de la estructura. ....................................................................... 11

Procedimiento de anlisis. ...................................................................................... 11

Desplazamientos de cargas. .................................................................................... 12

EJERCICIO DE APLICACIN: .................................................................................... 13


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ANLISIS DE PRTICOS CON EL USO DEL

MTODO DE LA RIGIDEZ

1. INTRODUCCIN

Antes de mostrar cmo se aplica el mtodo de la rigidez a prticos, veremos

conceptos y definiciones preliminares relacionadas.

Identificacin de miembros y nudos:

Para aplicar el mtodo de la rigidez a vigas y prticos, debemos primeramente

determinar cmo subdividir la estructura en sus componentes de elementos

finitos. En general, los nudos de cada elemento se localizan en un soporte, en una

esquina o un nudo, en los que se aplica una fuerza externa o donde va a

determinarse el desplazamiento lineal o rotacional en un punto (o nodo). Por

ejemplo, considere el prtico en la figura 1-1. Mediante el mismo esquema

empleado para las armaduras, los cuatro nodos se especifican mediante un

nmero en un cuadrado. Observe tambin que los extremos cercano y alejado de cada miembro se identifican mediante las flechas marcadas a lo largo de cada

miembro.

Coordenadas de miembro y globales.

El sistema coordenado global o de la estructura se identificar con el uso de ejes

x, y, z que tienen generalmente su origen en un nodo y estn posicionados de

manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas

positivas, figura 1-1b. Las coordenadas locales o de miembro x, y, z, tienen su

origen en el extremo cercano de cada miembro y del eje x positivo est dirigido hacia el elemento 3. En ambos casos hemos usado un sistema coordenado rgido

por la regla de la mano derecho, de modo que, si los dedos de la mano derecha se

curvan del eje x (x) hacia el eje y (y), el pulgar sealara en la direccin positiva

del eje z (z), que seala hacia afuera de la pgina.


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Grados de libertad:

Una vez identificados los nmeros y nodos y que se ha establecidos el sistema

global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la

estructura.

Marcos: al derivar los mtodos clsicos de anlisis, despreciamos la

deformacin en los miembros del prtico causada por fuerza axial y fuerza

cortante y consideremos solo el efecto de la flexin. Esto es justificarse ya que las

fuerzas axiales o cortantes, en general, no contribuyen en forma considerable a la

deflexin de los miembros del prtico. Sn embargo, en el anlisis que sigue,

podemos proporcionar fcilmente un anlisis ms exacto del prtico

incorporando los desplazamientos por flexin y fuerza axial en el mtodo de la

rigidez. En consecuencia, cada nodo de un miembro del prtico tendr tres grados

de libertad, cada uno de los cuales se identifica por medio de un nmero de

cdigo. Como es el caso de las armaduras, los nmeros de cdigo ms pequeo se

usan para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no

restringidos 9 y los nmeros mayores se usan para identifica los desplazamientos

conocidos (grados de libertad restringidos). Un ejemplo de la etiquetacin con

nmeros de cdigo para un prtico se muestra tambin en la figura 1-1a. Aqu el

prtico tiene 12 grados de libertad, para los cuales los nmeros del cdigo del 1 al

8 representan desplazamientos desconocidos y del 9 al 12 representan

desplazamientos conocidos, que en este caso son iguales a cero.

Carga intermedia de un miembro

Si un elemento de un prtico o viga soporta una carga lateral entre sus nodos,

ser conveniente para un anlisis matricial que los efectos de esta carga e

conviertan a una carga equivalente en los nodos. Estos se deben a que el mtodo

de la rigidez, igual que todos los mtodos de desplazamientos, se basa en plantear

ecuaciones de equilibrio en los nodos y, por lo tanto, si se hace esta conversin de

carga, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma sencilla.

Para mostrar cmo tratar un caso de carga lateral, consideraremos el elemento

de la viga o prtico sometido a una carga distribuida constante como se muestra

en la figura 1-2a. Por el principio de superposicin, esta carga puede

representarse por (1) el elemento cargado con los momentos de empotramiento

y las fuerzas cortantes en los nodos del elemento, figura 1- 2b, y (2) el elemento,

que se supone esta empotrado y sometido a la carga real y a sus reacciones en los

empotramientos, figura 1-2c. El anlisis matricial se efecta solo para la carga

mostrada en la figura 1-2b, ya que las carga en el caso de los extremos empotrados

pueden determinarse directamente. En la figura 1 -2b, las cargas internas y

desplazamientos reales en puntos a lo largo del elemento pueden obtenerse por

superposicin de los efectos causados por las fuerzas nodales, figura 1-2b, y as

cargas distribuida y por las reacciones en los empotramientos, figura 1-2c, Las

reacciones en los empotramientos para otros casos de carga se dan en el fondo

interior de la cubierta. La aplicacin de este procedimiento se ilustra

numricamente e los ejemplos 1-1 y 1-2.

El desarrollo del mtodo de la rigidez para vigas y prticos es igual que el

procedimiento utilizado para armaduras. Primero debemos establecer las


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matrices de rigidez de los miembros y luego las matrices de transformacin para

desplazamiento y cargas. Combinando estas matrices, podemos formar el matiz

de rigidez de la estructura a partir de la cual podemos determinar las cargas

internas y los desplazamientos desconocidos.

2. Matriz de rigidez de un miembro de un marco:

En esta seccin desarrollaremos la matriz de rigidez de un miembro de un marco

referido a un sistema de coordenadas locales x, y, z figura 1-3. El origen se

coloca en el extremo cercano N y el eje x positivo se extiende hacia el extremo alejado F. en cada extremo del elemento hay tres reacciones, que consisten en

fuerzas axiales xN

q y xF

q en fuerzas cortantes yN

q y yF

q y en momentos flexionantes

zNq y

zFq son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, ya que segn

la regla de la mano derecha, estn dirigidos a lo largo del eje positivo z que es

hacia afuera de la pgina. Los desplazamientos lineales y angulares asociados con

esas cargas siguen tambin la misma convencin del signo positivo.

Impondremos ahora por separado esos desplazamientos y luego determinaremos

las cargas que actan en el miembro como consecuencia de cada desplazamiento.


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Desplazamiento x

Si el miembro sufre un desplazamiento xN

d o un desplazamiento xF

d se generan

las fuerzas axiales en los extremos del miembro mostradas en las figuras 1-4a y 1-

4b.

Desplazamiento y.

Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes que se generan cuando

se impone un desplazamiento positivo yN

d mientras todos los otros posibles

desplazamientos estn impedidos, se muestran en la figura 1-5a. Igualmente,

cuando se impone yF

d las fuerzas cortantes y momentos requeridos son los

mostrados en la figura 1-5b.

Rotaciones z.

Si se impone una rotacin positiva zN

d mientras que todos los que todos los otros

posibles desplazamientos estn impedidos, las fuerzas cortantes y momentos

requeridos para esta deformacin son como se muestra en la figura 1-6a.

Igualmente, cuando se impone yF

d las cargas resultantes son como se muestra en

la figura 1-6b.


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Por superposicin, si se suman los resultados anteriores en las figuras 1-4 a 1-6,

las seis relaciones carga- desplazamiento para el miembro pueden expresarse en

forma matricial como:

(Ec. 1-1)

Estas ecuaciones pueden escribirse en forma abreviada como:

dkq (Ec. 1-2)

A la matriz simtrica k en la ecuacin 1-1 se le llama matriz de rigidez de

miembro. Los 36 coeficientes de influencia k0 que contiene, toman en cuenta las

fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionante por desplazamientos del

miembro. Fsicamente, estos coeficientes representan la carga sobre el miembro

cuando este sufre un desplazamiento unitario especfico. Por ejemplo si 1xN

d ,

figura 1-4a, mientras todos los otros desplazamientos son cero, el miembro estar

sometido solo a las fuerzas LAEqxN y LAEq

xF , como se indica en la

primera columna de la matriz k. De manera similar, las otras columnas de la

matriz k son las cargas en el miembro por desplazamientos unitarios

identificados por la codificacin de los grados de libertad indicada arriba de las


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columnas. En el desarrollo, se ha satisfecho tanto el equilibrio como la

compatibilidad de los desplazamientos.

3. Matrices de transformacin de desplazamiento y fuerzas.

Como en el caso de la armadura, debemos transformar las cargas internas q de

miembro as como las deformaciones d de coordenadas locales x, y, z a

coordenadas globales x, y, z. por esto se requieren matrices de transformacin.

Matriz de transformacin de desplazamientos.

Considere el miembro de marco mostrado en la figura 1-7a. Se ve aqu que un

desplazamiento de coordenadas global xN

D genera desplazamientos de

coordenadas locales.

xNN xXDd cos

yNN xy Dd cos

Igualmente un desplazamiento de coordenadas global yN

D figura 1-7b, genera

desplazamientos de coordenadas locales.

yNN yXDd cos

xNN yy Dd cos

Finalmente, como los ejes z y z coinciden, esto es, estn dirigidos hacia fuera de

la pgina, una rotacin de zN

D se imponen alrededor de z genera una

correspondiente rotacin zN

d alrededor de z. As entonces: D zN

zN

d

De manera similar, si desplazamiento globales zF

D en la direccin x, yN

D en la

direccin Y, y una rotacin zN

D , se imponen sobre el extremo alejado del

miembro, las ecuaciones de transformacin resultante don, respectivamente.

xFF xX Dd cos yFF xy Dd cos


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yFF yX Dd cos xFF yy Dd cos

D zF

zF

d

Si xx cos y yy cos , representan los cosenos directores del miembro,

podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como:

(Ec. 1-3)

TDd (Ec. 1-4)

Por inspeccin, T transforma los seis desplazamientos globales D en x, y, z en los

seis desplazamientos locales d en x, y, z. Por esto, a T se le llama matriz de

transformacin de los desplazamientos.

Matriz de transformacin de fuerzas.

Si ahora aplicamos cada componente de carga al extremo

cercano del miembro, podemos determinar cmo

trasformar las componentes de carga, de coordenadas

locales a globales. Si aplicamos xN

q figura 1-8a. Vemos

que:

xNN xX qQ cos yNN xy qQ cos

Si aplicamos yN

q figura 1-8b, sus componentes son

entonces:

yNN yX qQ cos xNN yy qQ cos

Finalmente, como zN

q tenemos:

q zN

zN

Q

De manera similar, las cargas extremas de xN

q , yN

q y zN

q

darn las siguientes componentes respectivas:

xFF xX qQ cos yFF xy qQ cos

yFF yX qQ cos xFF yy qQ cos

q zF

zF

Q


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Estas ecuaciones, agrupadas en forma matricial con xx cos , yy cos dan:

(Ec. 1-5)

qTQT (Ec. 1-6)

Aqu como se estableci antes TT transforma las seis cargas de miembro

expresadas en coordenadas locales a las seis cargas expresadas e coordenadas

globales.

4. Matriz de rigidez global de un miembro de un prtico.

Los resultados de la seccin anterior combinaran ahora para determinar el matiz

de rigidez de un miembro que relacione as cargas globales Q con los

desplazamientos globales D. para ello, sustituiremos la d de la ecuacin 1-2

(q=kd) por la ecuacin 1-3(d=TD), de modo que tenemos:

TDkq (Ec. 1-7)

Aqu, las fuerzas q de miembros se relacionaron con los desplazamientos globales

D. si se sustituye, este resultado por la q de la ecuacin 1-6 qTQ T , se obtiene el

resultado final:+

TDkTQ T O kDq (Ec. 1-8)

Donde:

TkTkT (Ec. 1-9)

Aqu, k representa la matriz de rigidez global del miembro, podemos obtener su

valor en forma generalizada por medio de las ecuaciones 1-5,1-1 y 1-3 y efectuando

las operaciones matriciales. Esto da el resultado final:

(Ec. 1-10)


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Observe que esta matriz de 6x6 es simtrica. Adems la posicin de cada elemento

est asociada con la codificacin en el extremo cercano zyx NNN ,, seguida de la

del extremo alejado zyx FFF ,, , que se muestran en la parte superior de las

columnas y a lo largo de los renglones. Igual que la matriz k, cada columna de la

matriz k representa las cargas en coordenadas globales sobre los nodos del

miembro, necesarias para resistir un desplazamiento unitario en la direccin

definida por el nmero codificado de la columna. Por ejemplo, la primera

columna de k representa las cargas en coordenadas globales en los extremos

cercano y alejado causadas por un desplazamiento unitario en el extremo cercano

en la direccin x, esto es NX.

5. Aplicacin del mtodo de la rigidez al anlisis de prticos.

Ahora que se ha desarrollado k. podemos formular un procedimiento para aplicar

el mtodo de la rigidez a problemas de prticos.

Matriz de rigidez de la estructura.

Una vez que se han encontrado todas las matrices de rigidez de los miembros,

debemos ensamblarlas en la matriz de rigidez de la estructura k. Este

procedimiento depende primero en conocer la posicin de cada elemento en la

matriz de rigidez de miembro. A este respecto, recuerde que los renglones y

columnas de cada matriz K (ecuacin 1-10) se identifican por los 3 nmeros de

cdigo en el extremo cercano del miembro ( zyx NNN ,, ) seguidos por los del

extremo alejados ( zyx FFF ,, ). Por lo tanto al ensamblar las matrices, cada

elemento debe colocarse en la misma posicin de la matriz K. De esta manera, k

tendr un orden que ser igual al nmero de cdigo mayor asignado a la

estructura ya que representa el nmero total de grados de libertad en la

estructura. Cuando varios miembros se conectan a un nodo, ellos tendrn la

misma posicin en la matriz K y por lo tanto esos coeficientes de influencia de

rigidez de miembro deben sumarse algebraicamente ente si para determinar el

coeficiente de influencia de rigidez nodal para la estructura. Esto es necesario ya

que cada coeficiente representa la resistencia nodal de la estructura en una

direccin particular (x, y, o z) cuando ocurre un desplazamiento unitario (x, y, o

z) en el mismo u otro nodo. Por ejemplo k16 representa la carga en la direccin y

en la posicin del nmero de cdigo 2 cuando ocurre un desplazamiento unitario en la direccin y en la posicin del nmero del cdigo 6.

Procedimiento de anlisis.

El siguiente mtodo proporciona un medio para determinar los desplazamientos,

las reacciones en los soportes y las cargas internas para los miembros o elementos

finitos de una viga o prtico estticamente determinado o indeterminado.

Notacin: divida la estructura en elementos finitos e identifique arbitrariamente

cada elemento y sus nodos. Use un nmero escrito dentro de un crculo para un

nodo y un nmero encerrado en un cuadrado para un miembro. Por lo general,

un elemento se extiende entre puntos de soporte, puntos de cargas concentradas,

esquina o nudos, o donde las cargas internas o desplazamientos deben


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determinarse. Especifique los extremos cercano y alejado de cada elemento con

una flecha trazada a lo largo del elemento y con los puntos dirigidos hacia el

extremo alejado.

Establezca el sistema de coordenadas globales x, y, z, con el origen en un punto

nodal de uno de los elementos y los ejes localizados de manera que todos los

nodos tengan coordenadas positivas. En cada punto nodal de un prtico,

especifique numricamente las tres componentes codificadas x, y, z. si se

considera una viga continua sus volados del patn o desplazamientos

transversales de sus soportes, y si los nodos estn en los soportes, use un nmero

de cdigo solo para identificar el desplazamiento angular en cada soporte. En

todos los casos use los nmeros ms bajos para identificar los grados de libertad

no restringidos y los nmeros mayores para identificar los grados de libertad

restringidos. De acuerdo con el problema, establezca los desplazamientos

conocidos DL y las cargas externas conocidas DK.

Desplazamientos de cargas.

Subdivida la matriz de rigidez segn la ecuacin anterior. El desarrollo conduce,

entonces a:

kuu

kuK

DKDKQ

DKDKQ

2221

1211

Estas ecuaciones expresan el equilibrio por fuerzas y momentos de cada nodo.

Los desplazamientos desconocidos uD se determinan con la primera de esas

ecuaciones. Por medio de esos valores, las reacciones uQ en los soportes se

calculan con la segunda ecuacin. Finalmente, las cargas internas q en los

extremos de los miembros pueden calcularse combinando las ecuaciones 1-2 y1-

4, lo que da:

TDkq


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EJERCICIO DE APLICACIN:

Determine las cargas en los nudos de prtico de dos miembros que se muestra en

la figura 1-9a. Considere I=500 in4, A=10 in2 y E=29(103) Ksi para ambos

miembros.

SOLUCIN:

Notacin: por inspeccin, el marco tiene 2 elementos y tres nodos que se

identifican como se muestran en la figuara1-9b. El origen del sistema coordenado

global se ha fijado en (1). Los nmeros de cdigo de los nodos se especifican con

los grados de liberta no restringidos numerados primero. De las restricciones en

(1) y (3) y de las cargas aplicadas, tenemos:


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Matriz de rigidez de la estructura: los siguientes trminos son comunes a

ambas matrices de rigidez:

mK

L

EI

mKL

EI

mKL

EI

mKL

EI

mKL

AE

/)10(83.120)12(20

)500)(10(2922

/)10(7.241)12(20

)500)(10(2944

/4.1510)12(20

)500)(10(2966

/6.12)12(20

)500)(10(291212

/3.1208)12(20

)10(2910

33

2

33

2

3

2

3

3

3

3

Miembro1:

120

020

0

20

00

Se sustituyen los datos en la ecuacin 1-10 y tenemos:

Las columnas y renglones de esta matriz de 6x6 estn identificados por los 3

nmeros de cdigo x, y, z, primero en el extremo cercano y luego en el extremo

alejado, esto es 4, 6, 5, 1, 2, 3, respectivamente, figura 1-9b. Esto se hace as para

el posterior ensamble de los elementos.

Miembro 2:

020

2020

1

20

020


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Sustituyendo los datos en la ecuacin 1-10 se obtiene

Como siempre, la identificacin de columnas y renglones se hace por medio de

los nmeros de cdigo en la secuencia x, y, z para los extremos cercanos y lejanos,

respectivamente, esto es 1, 2, 3 y luego 7, 8, 9, figura 1-9b.

La matriz de rigidez de la estructura se determina ensamblando k1 y k2. El

resultado, mostrado subdividido, ya que kDQ , ES:

Desplazamiento y cargas: Si desarrollamos, para determinar los desplazamientos,

obtenemos:

Despejando y resulta


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Con estos resultados se determinan las reacciones a partir de la ecuacin (1) como

sigue:

Las cargas internas en el nodo (2) pueden determinarse aplicando la ecuacin 1-

6 al miembro21. Aqu k1 est definida por la ecuacin 1-1 y T1, por la ecuacin 1-

3.as:

Note el arreglo apropiado de los elementos en las matrices como se indica por el

nmero de cdigo a lo largo de la columna y renglones. Al despejar se obtiene:

Los resultados anteriores se muestran en a figura 1-9c. Las direcciones de esos

vectores estn de acuerdo con las direcciones positivas definidas en as figura 1-3.

Adems el origen de los ejes locales x, y, z est en el extremo cercano del

miembro. El diagrama de cuerpo libre del miembro 2 se muestra en la figura 1-

9d.


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análisis de pórticos con el uso del método de la rigidez

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