pórticos y ejercicios

DIPLOMADO EN CÁLCULO Y DISEÑO ESTRUCTRUAL APLICADO A EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO Y ALBAÑILERÍA

Análisis matricial de pórticos con cargas en barras

Resolver los siguientes problemas del texto: 7.2, 7.6, 7.9, 7.15,

7.16 (carga uniforme parcial), 7.26 y 7.28. En todos los casos,

verificar manualmente algunos resultados clave y luego verificar

todos los resultados usando Matlab o MASTAN2.

Resolver detalladamente el ejemplo 7.12, con I = 300x106 mm4, R

= 10 m, P = 100 kN. Verificar los resultados obtenidos usando

MASTAN2.

Problema 7.2

Formular la función de forma para el elemento axial de 4 nudos

usando:

Solución

La función de forma del elemento mostrado se define como:

tal que: ...(a)

o expresado matricialmente:

M.I. José Velásquez Vargas – [email protected]


donde:

La función que define el desplazamiento axial de cualquier punto

debe satisfacer las condiciones de borde.

Es decir,

Pa

ra ... (1)

Pa

ra ... (2)

Pa

ra

... (3)

Pa

ra

... (4)

Combinando las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

... (2)

... (3)



...(5)


... (2)

... (4)

...(6)

Ahora bien, combinamos las ecuaciones (5) y (6) para despejar

...(5)

...(6)

Reemplazando en (5), se tiene:

Asimismo reemplazando y en (2), se tiene:



Entonces el desplazamiento axial del elemento viene expresado

como:

Agrupando en forma conveniente se tiene:

De acuerdo a la expresión (a), se tiene que las funciones de forma

para este elemento axial son:



Problema 7.6

Formular la matriz de rigidez del elemento sometido a flexión

mostrado, ensamblando la función de forma a partir del polinomio

cuártico siguiente:

Solución

(a) Funciones de forma

La función de forma del elemento mostrado se define como:

tal que: ...(a)

o expresado matricialmente:

donde:



Se tiene por definición que el desplazamiento vertical y la rotación

de cualquier punto dentro del elemento están dados por:

...(b)

... (c)

Las condiciones de borde a satisfacer son las siguientes:

Pa

ra ... (1)

... (2)

Pa

ra ... (3)

... (4)

Pa

ra

... (5)


... (3)

... (4)

... (6)



Combinando las ecuaciones (3) y si (5) se tiene:

... (3)

... (5)

... (7)

Ahora bien, combinamos las ecuaciones (6) y (7) para despejar

... (6)

... (7)

Reemplazando en (6), se tiene:

Reemplazando y en (3), se tiene:



Luego de calcular las constantes, reemplazando en (b) se tiene:

Y agrupando en forma conveniente se tendrá:

De acuerdo a la expresión (a) se tiene que las funciones de forma y

sus segundas derivadas son:



(b) Matriz de Rigidez

Según el Principio de Desplazamientos Virtuales se tiene que la

matriz de rigidez de un elemento está definido como:

O si se quiere se tiene que cada coeficiente de la matriz de rigidez

está dado por:

Aprovechando la simetría de la matriz de rigidez, calculamos los

coeficientes de la triangular inferior, de la sgte. manera:



Finalmente, la matriz de rigidez de la viga viene dada en la

siguiente expresión:



Problema 7.9

La ecuación diferencial que gobierna la flexión en una viga, que

representa la condición de equilibrio vertical, es .

Verificar la función de forma y la variación del momento de inercia

usado en el ejemplo 7.3 del texto si satisface esta condición.

Solución

Según el ejemplo 7.3 del texto, se tiene que la variación del

momento de inercia está dada por:

... (1)

El ejemplo 7.3 calcula el desplazamiento vertical del nudo usando

una formulación aproximada basada en las funciones de forma de

viga de sección uniforme (considerando que el miembro está

empotrado en el nudo 2).

Considerando , se tiene que la función de forma utilizada

es:



Y por lo tanto la curvatura estará dada por:

... (2)

La ecuación diferencial que representa el equilibrio vertical está

dada por:

...(3)

En este caso podemos ver que “q” se refiere a la carga repartida

sobre la viga, que por hipótesis del problema debe ser nula,

entonces evaluemos el primer miembro de la ecuación (3).

Reemplazando (1) y (2) en el miembro izquierdo de la ecuación (3)

se tendrá:

Se observa que la función entre llaves corresponde a la

multiplicación 2 polinomios, uno de grado 3º y otro de grado 1º

cuyo producto es un polinomio de grado 4º. En forma simplificada

se tiene que:



donde: son valores constantes.

Se concluye que la función de forma asumida y la variación del

momento de inercia no satisfacen la condición de equilibrio vertical

en la viga, ya que ésta está únicamente sometida a cargas en sus

extremos, y sin embargo, al plantear la ecuación diferencial de

equilibrio vemos que la viga está sometida a una carga distribuida

que corresponde a una función de grado 2º de la forma:

Por lo tanto, no se satisface la condición de equilibrio vertical,

debido a que “q” no siempre es igual a cero tratándose de una

función cuadrática. Sin embargo, siempre y cuando las longitudes

de estos elementos tiendan a ser menores, debido a la división que

se hace en una análisis más refinado, el error en el equilibrio se

hace más pequeño y nos acercamos más a la solución exacta.



Problema 7.15

Un elemento axial está sometido a las cargas distribuidas que se

ilustran. Las funciones de forma para el Caso (a) son las

expresiones lineales y ; y para el Caso (b) son ,

y . Discutir la relación entre los resultados

obtenidos y aquellos que se calculan por simple prorrateo de las

fuerzas en los nudos.

(a) (b)

Solución

(a) Carga axial distribuida q1

Como el desplazamiento horizontal viene dado por:

Entonces las funciones de forma son:



Para calcular las fuerzas nodales equivalente, consideramos que

éstas producen el mismo trabajo virtual que las cargas en las

barras durante un desplazamiento virtual arbitrario. Esto nos lleva

a la sgte. formulación:

de donde se tiene que:

Asimismo, se tiene que:



Se verifica que la suma de las fuerzas nodales debe ser

estáticamente equivalente a la fuerza total en la barra.

(b) Carga axial distribuida q2

Como el desplazamiento horizontal viene dado por:



Entonces las funciones de forma son:

Las fuerzas equivalentes se calculan con:

de donde se tiene que:

Observando la expresión anterior podemos notar que todas las

fuerzas equivalentes tienen integrales de la forma:

tratándose de funciones periódicas. Por lo

tanto todas las fuerzas equivalentes son nulas, y en consecuencia

la resultante de la carga distribuida también es nula.



Ejemplo 7.12

Para el arco circular mostrado, resolver detalladamente usando

I=300x106 mm4, R=10m, P = 100 kN. Verificar los resultados

obtenidos usando MASTAN2.

Solución

Aprovechando la simetría, podemos simplificar el problema

trabajando con la mitad de la estructura, de la sgte. manera:

Por el principio de los trabajos virtuales se sabe que la matriz de

flexibilidad viene dada por:



O también:

Se sabe entonces que para un sección genérica, el momento flector

estará dado por:

Entonces la matriz de flexibilidad será:

Desarrollando se tiene que:

...(1)

Para hallar la matriz de rigidez ampliamos los grados de libertad y

determinamos la matriz de equilibrio:

Por lo tanto se tiene que la matriz de equilibrio está dada por:

...(2)



Y la matriz de rigidez, finalmente será:

...(3)

Reemplazando y reordenando los grados de libertad se tiene que la

matriz de rigidez es :

257250185 -236226925 -257250185 56907100 236226925 -77930361-236226925 257250185 236226925 -77930361 -257250185 56907100

k = -257250185 236226925 257250185 -56907100 -236226925 7793036156907100 -77930361 -56907100 32752812 77930361 -11729551236226925 -257250185 -236226925 77930361 257250185 -56907100-77930361 56907100 77930361 -11729551 -56907100 32752812

Teniendo en cuenta que las fuerzas y los desplazamientos tienen la

forma:

Particionando se obtiene el desplazamiento vertical en el punto c.

vc = -19.44mm

Y las reacciones, finalmente serán:


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