conociendo pórticos

Author: nelorosa

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  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    1/32

    Prticos

    Ejercicio N12

    Determinar las reacciones de los apoyos en el siguiente prtico cargado

    como se muestra en la Figura 39.

    Figura 40

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad

    Para determinar la Estaticidad en los prticos se mantiene el mismo criterio

    que se utiliza para vigas, es decir:

    B = 3 ; R = 3 ; N = 4 ; C = 0

    Al sustituir, se tiene:

    NI = 3B+R; NI = 3(3) + 3 = 12NE = 3N+C; NE= 3(4) + 0 = 12

    Como NI = NE, el prtico es isosttico

    Paso 2: Realizar el DCL

    Para puntualizar la carga distribuida se aplica la formula del rea de un

    rectngulo, A = b x h

    Donde:;b: base y h: altura

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    2/32

    F = 10 m x 10 Ton/m = 100 Ton

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir a la mitad

    de 10 m, 10 / 2 = 5 m

    Figura 41

    Incgnitas

    RAv =?

    RDv =?

    RDh =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    Para proceder al clculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de

    equilibrio esttico, las cuales son

    FH = 0 MA = 0 Fv = 0

    En primer lugar se aplica la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontales

    para obtener el valor de RDh. es decir

    [+ FH = 0] : 100 Ton - RDh = 0

    RDh =100 Ton

    RDh=100 Ton

    Para determinar las otras dos incgnitas conviene emplear primero la ecuacin

    de momentos, para ello se elige el apoyo A. ya que si se aplica la ecuacin Fv

    = 0 apareceran las dos valores incgnitas RAv

    y RDv

    .

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    3/32

    Ahora se aplica la ecuacin de momento M = P x d

    [+ MA = 0]: 100 Ton x 5 m + 5 Ton x 5 m RDv x 10 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejando RBv

    ; se tiene:500 Ton.m + 25 Ton.m RD

    v x 10 m = 0

    525 Ton.m = RDv x 10 m

    RDv = 525 Ton.m /10 m

    RDv= 52.5 Ton

    Ahora bien, solo falta conocer el valor de RAv , para ello, se realizara la

    sumatoria de fuerzas verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia

    arriba ser positiva

    [+ Fv = 0] : RAv + RD

    v 5 Ton = 0

    Al sustituir; se tiene:

    RAv + 52.5 Ton 5 Ton = 0

    Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :

    RAv = 5 Ton 52.5 Ton

    RAv = 47.5 Ton

    RAv = - 47.5 Ton

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

    Figura 42

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    4/32

    Resumen

    Se observa que la estructura simplemente apoyada esta en equilibrio, es

    asimtrica razn por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales

    son diferentes RAv = - 47.5 Ton y RD

    v = 52.5 Ton, siendo el valor de la reaccin

    en el apoyo A negativa, la cual indica que el sentido es contrario al asumido en

    el diagrama ver Fig.41, mientras que RDh = 100 Ton, debido a que la carga

    distribuida acta en forma horizontal.

    Ejercicio N13

    Determinar las reacciones de los apoyos de la siguiente estructura cargada

    como se muestra en la Figura 43.

    Figura 43

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad

    Para determinar la Estaticidad se mantiene el mismo criterio del ejercicio

    anterior:

    B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0

    Al sustituir, se tiene:

    NI=3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    5/32

    NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 0

    Como NI = NE, la estructura es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula

    del rea de un rectngulo, A = b x h

    Donde:

    b: base y h: altura

    F = 4 m x 100 Kg/m = 400 Kg

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir a la mitad

    de 4 m, 4/2 = 2 m

    Con la carga triangular se aplica la formula del rea de un triangulo,

    A = (b x h)/2

    F = (6 m x 40 Kg/m) / 2 = 120 Kg

    Y la carga acta a 2/3 de la base del lado mas bajo del triangulo, es decir a

    6x2 / 3 = 4 m

    Figura 44

    Incgnitas

    RAv =?

    RAh =?

    RCv =?

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    6/32

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    Para proceder al clculo de las reacciones se aplican las tres ecuaciones de

    equilibrio esttico:

    FH = 0 MA = 0 Fv = 0

    Primeramente se aplica la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontales

    para determinar el valor de RAh.

    [+ FH = 0] : 120 Kg + RAh = 0

    Al despejar, se tiene:

    RAh = - 120 Kg

    RA = - 120 Kg

    Para determinar las otras dos incgnitas conviene emplear primero la

    ecuacin de momentos en el apoyo A. ya que si se aplica la ecuacin

    Fv = 0 apareceran las dos valores incgnitas RAv y RC

    v.

    [+ MA = 0]: 120 Kg x 4 m + 400 Kg x 2 m RCv

    x 4 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejando RCv; se tiene:

    480 Kg.m + 800 Kg.m RCv x 4 m = 0

    1280 Kg.m RCv x 4 m = 0

    RCv = 1280 Kg.m / 4 m

    RCv = 320 Kg

    RCv

    = 320 Kg

    Ahora bien, solo falta conocer el valor de RAv, por lo que se realizara la

    sumatoria de fuerzas verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia

    arriba ser positiva

    [+ Fv = 0] : RAv + RC

    v 400 Kg = 0

    Al sustituir RCv; se tiene:

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    7/32

    RAv + 320 Kg 400 Kg = 0

    Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :

    RAv = 80 Kg

    RAv = 80 Kg

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

    Figura 45

    Resumen

    La estructura simplemente apoyada esta en equilibrio, se observa que es

    asimtrica razn por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales

    son diferentes RAv = 80 Kg y RC

    v = 320 Kg, mientras que RAv = - 120 Kg, siendo

    el valor de la reaccin horizontal en el apoyo A negativa, la cual indica que el

    sentido es contrario al asumido en el diagrama, debido a que la cargadistribuida de tipo triangular acta en forma horizontal.

    Ejercicio N14

    Determinar las reacciones de los apoyos en la estructura ABC cargada

    como se muestra en la Figura 46.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    8/32

    Figura 46

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la EstaticidadPara determinar la Estaticidad se mantiene el mismo criterio del ejercicio

    anterior:

    B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0

    Al sustituir, se tiene:

    NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9

    NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 0Como NI = NE, la estructura es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    La estructura tiene una carga de tipo trapezoidal, para puntualizar las cargas

    se divide en una de tipo rectangular y otra de tipo triangular

    Figura 47

    Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula

    del rea de un rectngulo, A = b x h

    Donde:

    b: base y h: altura

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    9/32

    F = 6 m x 300 Kg/m = 1800 Kg

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir a la mitad

    de 6 m, 6 / 2 = 3 m

    Con la carga triangular se aplica la formula del rea de un triangulo,

    A = (b x h)/2

    F = (6 m x 600 Kg/m) / 2 = 1800 Kg

    Y la carga acta a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a

    6 / 3 = 2 m

    Para la carga de la barra inclinada BC de tipo rectangular, la cual para

    puntualizarla se requiere determinar la distancia de BC, recordando la ecuacin

    de Pitgoras dp1p2=(x2 + y2)

    Donde:

    d: distancia inclinada entre dos puntos

    X: distancia horizontal

    Y: distancia Vertical

    Al sustituir;

    dBC = ((4 m)2 + (3 m)2)

    dBC = (16 m2 + 9 m2)

    dBC = (25m2) = 5 m

    Para puntualizar la carga distribuida de la barra BC

    P = 5 m x 600 Kg/m = 3000 Kg

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir a la mitad 5

    m, 5 / 2 = 2.5 m

    Para determinar el ngulo de inclinacin, se realiza: = tan-1(3/4)= 36.87

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    10/32

    El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:

    FY = 3000 Kg Cos36.87 = 2400 Kg

    FX = 3000 Kg Sen36.87 = 1800 Kg

    Una vez realizado los clculos de las fuerzas, se dibuja el DCL

    Figura 48

    Incgnitas

    RAv =?

    RAh =?

    RCv =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    Para proceder al clculo de las reacciones se aplican las tres ecuaciones de

    equilibrio esttico:

    FH = 0 MA = 0 Fv = 0

    Primeramente se aplica la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontales

    para determinar el valor de RAh.

    [+ FH = 0] : - 1800 Kg + RAh = 0

    Al despejar, se tiene:

    RAh = 1800 Kg

    RAh= 1800 Kg

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    11/32

    Para determinar las otras dos incgnitas conviene emplear primero la

    ecuacin de momentos en el apoyo A. ya que si se aplica la ecuacin

    Fv = 0 apareceran las dos valores incgnitas RAv y RC

    v.

    [+ MA = 0]: 1800 Kg x 2 m + 1800 Kg x 3 m + 2400 Kg x 8 m + 1800 Kg x 1.5

    m RCv x 10 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejando RCv ;se tiene:

    3600 Kg.m + 5400 Kg.m + 19200 Kg.m + 2700 Kg.m RCv x 10 m = 0

    30900 Kg.m RCv x 10 m = 0

    RCv = 30900 Kg.m /10 m

    RCv = 3090 Kg

    RCv= 3090 Kg

    Ahora bien, para conocer el valor de RAv , se aplica la sumatoria de fuerzas

    verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba ser positiva

    [+ Fv = 0] : RAv + RC

    v 1800 Kg 1800 Kg 2400 Kg = 0

    Al sustituir RCv; se tiene:

    RAv + 3090 Kg 1800 Kg 1800 Kg 2400 Kg = 0

    RAv + 3090 Kg 6000 Kg = 0

    RAv 2910 Kg = 0

    Al despejar RAv :

    RAv = 2910 Kg

    RAv = 2910 Kg

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    12/32

    Figura 49

    Resumen

    La estructura simplemente apoyada esta en equilibrio, es asimtrica razn

    por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales son diferentes

    RAv = 2910 Kg y RC

    v = 3090 Kg, mientras que, se cumpla con el equilibro

    horizontal el valor de reaccin RAv = 1800 Kg, debido a que es igual al valor de

    la componente Fx de la carga distribuida rectangular que acta en la barra BC.

    Ejercicio N15

    Determinar las reacciones en los apoyos de la estructura cargada como se

    muestra en la Figura 50.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    13/32

    Figura 50

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad

    Para determinar la Estaticidad se mantiene el mismo criterio del ejercicio

    anterior:

    B = 3 ; R = 3 ; N = 4 ; C = 0

    Al sustituir, se tiene:

    NI = 3B+R; NI = 3(3) + 3 = 12

    NE = 3N+C; NE = 3(4) + 0 = 12

    Como NI=NE, la estructura es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    Para puntualizar la carga que esta en la barra inclinada BC, se requiere

    determinar la distancia inclinada de BC, se aplica la ecuacin de Pitgoras

    dp1p2=(x2 + y2)

    Donde:

    d: distancia inclinada entre dos puntos

    X: distancia horizontal

    Y: distancia Vertical

    Al sustituir;

    dBC = ((8 m)2 + (2 m)2)

    dBC = (64 m2 + 4 m2)

    dBC = (68m2) = 8.25 m

    Para puntualizar la carga distribuida de la barra BC

    F = 8.25 m x 100 KN/m = 825 KN

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    14/32

    Figura 51

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir, 8.25/2 =

    4.125 m

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir, 8.25/2 =

    4.125 m

    Para determinar el ngulo de inclinacin, se realiza:

    = tan-1(2/8)= 14.04

    El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:

    FY = 825 KN Cos14.04 = 800.35 KN

    FX = 825 KN Sen14.04 = 200.14 KN

    Figura 52

    Una vez realizado los clculos de las fuerzas, se dibuja el DCL

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    15/32

    Figura 53

    Incgnitas

    RAv =?

    RDh =?

    RDv =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    Para proceder al clculo de las reacciones se aplican las tres ecuaciones de

    equilibrio esttico:

    FH = 0 MA = 0 Fv = 0

    Primeramente se aplica la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontales

    para determinar el valor de RAh.

    [+ FH = 0] : 30 KN + 200.14 KN + 60 KN - RDh = 0

    Al despejar, se tiene:

    RDh = 290.14 KN

    RD = 290.14 KN

    Para determinar las dos incgnitas se emplea primero la ecuacin de

    momentos en el apoyo A. debido a que si se aplica la ecuacin Fv = 0

    apareceran los dos valores incgnitas RAv y RC

    v.

    [+ MA = 0]: 30 KN x 6 m + 200.14 KN x 7 m + 800.35 KNx4 m + 60 KN x 8 m

    RDv x 8 m = 0

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    16/32

    Efectuando las operaciones y despejando RDv; se tiene:

    180 KN.m + 1400.98 KN.m + 3201.4 KN.m + 480 KN.m RDv x 8 m = 0

    RDv = 5262.38 KN.m / 8 m

    RDv = 657.80 KN

    RDv= 657.80 KN

    Ahora bien, para finalizar se calcula el valor de RAv , la cual se aplica la

    sumatoria de fuerzas verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia

    arriba ser positiva

    [+ Fv = 0] : RAv + RD

    v 800.35 KN= 0

    Al sustituir RDv; se tiene:

    RAv + 657.80 KN 800.35 KN= 0

    RAv 142.55 KN = 0

    Al despejar RAv :

    RAv = 142.55 KN

    RAv = 142.55 KN

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

    Figura 54

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    17/32

    Resumen

    La estructura simplemente apoyada esta en equilibrio, es asimtrica razn

    por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales son diferentes

    RAv = 142.55KN y RD

    v = 657.80KN, y a su vez esta en equilibro

    horizontalmente RAh = 290.14 KN siendo el valor igual al de la componente Fx

    de la carga distribuida de tipo rectangular acta en la barra BC en forma

    horizontal como las otras dos fuerzas de 30 KN y 60 KN que estn

    respectivamente en el nodo B y C de la estructura.

    Ejercicio N16

    Determinar las reacciones en los apoyos de la estructura cargada como se

    muestra en Figura 55.

    Figura 55

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad

    Para determinar la Estaticidad se mantiene el mismo criterio del ejercicio

    anterior:

    B = 2 ; R = 4 ; N = 3 ; C = 1

    Al sustituir, se tiene:

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    18/32

    NI = 3B+R; NI = 3(2)+ 4 = 10

    NE = 3N+C; NE = 3(3) + 1 = 10

    Como NI=NE, la estructura es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    La carga distribuida de tipo rectangular se divide en dos partes iguales una

    para la barra AB y otra para la barra BC.

    Al puntualizar la carga distribuida se tiene:

    F = 3 m x 100 KN/m = 300 KN

    La carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir, 3/2=1.5 m

    Una vez realizado los clculos de las fuerzas, se dibuja el DCL

    Figura 56

    Incgnitas

    RAv =?

    RAh =?

    RCh =?

    RCv =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    Para la estructura con una rotula, para determinar las reacciones

    desconocidas, se aplican cuatro ecuaciones independiente de la esttica, a

    saber tres de equilibrio y una de condicin, as como:

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    19/32

    MA = 0 Fv = 0 MBC = 0 FH = 0

    Se comenzara por determinar el valor de las reaccin RCv, con aplicar la

    ecuacin de sumatoria de momento en el apoyo A, y se consideran todas las

    fuerzas que actan en la estructura.

    [+ MA = 0]: 300 KN x 1.5 m + 300 KN x 4.5 m - RC

    v x 6 m = 0

    Efectuando las operaciones, se tiene:

    1800 KN.m- RCv x 6 m = 0

    Despejar RCv , se tiene:

    RCv = 300 KN

    RCv = 300 KN

    Una vez determinada la primera reaccin vertical RCv, ahora con la ecuacin

    de sumatoria de fuerzas verticales se determina RAv.

    [+F

    v= 0] : R

    A

    v + RC

    v

    300 KN

    300 KN = 0

    RAv + 300 KN 300 KN 300 KN = 0

    Al realizar la suma algebraica y despejando RAv

    RAv 300 KN = 0

    RAv = 300 KN

    RAv = 300 KN

    Ahora se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B a la derecha, es

    decir al apoyo C, y as determinar la incgnita RCh , considerar el diagrama de

    la Figura 57

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    20/32

    Figura 57

    [+ MBC = 0]: 300 KN x 1.5 m + RCh x 2 m - RC

    v x 3 m = 0

    Al sustituir RCv

    = 300 KN, se tiene:300 KN x 1.5 m + RC

    h x 2 m 300 KN x 3 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejar la incgnita,se tiene:

    RCh x 2 m 450 KN.m = 0

    RCh = 450 KN.m / 2 m

    RCh = 225 KN

    RCh

    = 225 KN

    Para finalizar se aplica la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontalespara

    obtener el valor de RAh.

    [+ FH = 0] : RAh - RC

    h = 0

    RAh - 225 KN = 0

    Al despejar:RA

    h = 225 KN

    RA = 225 KN

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    21/32

    Figura 58

    Resumen

    Para la estructura con una articulacin interna, para determinar las

    reacciones, se aplicaron cuatro ecuaciones independiente de la esttica, a

    saber tres de equilibrio y una de condicin, primeramente se aplic la

    ecuacin de momento en el apoyo A, se considero toda las fuerzas que actan

    en la estructura para as, determinar el valor de las reacciones verticales R Cv =

    300 KN, luego con la ecuacin de sumatoria de fuerzas verticales se obtuvo la

    reaccin vertical en el apoyo A, RAv = 300 KN, para aplicar la ecuacin de

    condicin MBC , se dividi la estructura en la rotula y as obtener la reaccin RCh

    = 225 KN.

    Bien para finalizar con las incgnitas de las reacciones horizontales, se

    utilizo la ecuacin de sumatoria de fuerzas horizontales para obtener el valor de

    RAh = 225 KN. Adems se observa que la estructura es simtrica por lo cual los

    valores de las reacciones horizontales y reacciones verticales son iguales en

    los apoyos A y C respectivamente.

    Ejercicio N17

    Determine las reacciones en los apoyos de la estructura cargada como se

    muestra en la Figura 59.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    22/32

    Figura 59

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad,

    B = 4 ; R = 5 ; N = 5 ; C = 2

    Al sustituir, se tiene:

    NI = 3B+R; NI = 3(4) + 5 = 17NE = 3N+C; NE = 3(5) + 2 = 17

    Como NI=NE, La viga es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se divide en dos

    rectngulos iguales.

    F 1 = F 2 = (3 m x 30 KN/m) = 90 KN

    Y la carga acta a la mitad de la base del rectngulo, es decir a 3/2=1.5 m

    F = (9 m x 6 KN/m)/2 = 27 KN

    Y la carga acta a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a

    9/3 = 3 m

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    23/32

    Figura 60

    Incgnitas

    RAh =?

    RAv =?

    MA =?

    REv

    =?RE

    h =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    En esta estructura, para determinar las reacciones desconocidas, se aplican

    cinco ecuaciones independiente de la esttica, a saber tres de equilibrio y dos

    de condicin, as como:

    MCE = 0 MBE = 0 FH = 0 Fv = 0 MA = 0Primeramente se aplicara la sumatoria de momento en la rotula C a la

    derecha, es decir al apoyo E, y obtener una ecuacin con las dos incgnitas

    REv y RE

    h.

    [+ MCE = 0] : 90 KN x 1.5 m + 3 KN.m + REh x 9 m - RE

    v x 3 m = 0

    Efectuando las operaciones y ordenando los trminos; se tiene la primeraecuacin :

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    9 REh 3 RE

    v = 138

    9 REh 3 RE

    v = - 138 ecuacin (1)

    Ahora bien, se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B,considerando toda las fuerzas que actan a la derecha de B en la estructura

    ver Figura 57, para obtener la segunda ecuacin con las mismas incgnitas de

    la anterior ,y as utilizar el mtodo de sustitucin para determinar los valores de

    las reacciones

    Figura 61

    [+ MBE = 0]:

    90 KN x 1.5 m + 90 KN x 4.5 m + 3 KN.m + REh x 9 m - RE

    v x 6 m = 0

    Efectuando las operaciones y ordenando los trminos; se tiene la segunda

    ecuacin :

    9 REh 6 REv = 543

    9 REh - 6 RE

    v = - 543 ecuacin (2)

    Con la relacin de las dos ecuaciones obtenidas, se aplica el mtodo de

    simplificacin para as determinar las incgnitas

    Se multiplica por (-1) la ecuacin (1), luego se le resta a la ecuacin (2)

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    25/32

    9 REh + 3 RE

    v = 138

    9 REh 6 RE

    v = 543

    3 REv = 405

    Al despejar REv; se tiene:

    REv = 135 KN

    REv= 135 KN

    Se sustituye el valor de REv en la ecuacin (1),

    9 REh 3 (135) = 138

    9 REh 405 = 138

    Despus de realizar las operaciones matemticas correspondientes, se

    obtiene REh:

    REh = 267 KN.m / 9m

    REh = 29.67 KN

    RE = 29.67 KN

    Al aplicar la ecuacin de sumatorias de fuerzas horizontalesse obtiene el

    valor de RAh.

    [+ FH = 0] : RAh + 27 KN + 10 KN - RE

    h = 0

    RAh + 27 KN + 10 KN 29.65 KN = 0

    Al realizar la suma algebraica y despejando RAh

    RAh + 37 KN 29.65 KN = 0

    RAh = 7.35 KN

    RAh = - 7.35 KN

    Ahora para determinar RAv se aplica la ecuacin de sumatoria de fuerzas

    verticales

    [+ Fv = 0] : RAv + RE

    v 90 KN 90 KN = 0

    RAv + 135 KN 90 KN 90 KN = 0

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    26/32

    Al realizar la suma algebraica y despejando RAv

    RAv 45 KN = 0

    RAv = 45 KN

    RAv = 45 KN

    Ahora bien, para finalizar se aplicara la sumatoria de momento en el

    empotramiento A, considerando toda las fuerzas que actan en la estructura.

    [+ MA = 0] : MA + 27 KN x 3 m + 90 KN x 1.5 m + 90 KN x 4.5 m + 10 KN x 9

    m + 3 KN.m RE

    v x 6 m = 0

    MA + 714 KN.m 135 KN x 6 m = 0

    MA 96 KN.m = 0

    MA = 96 KN.m

    MA = - 96 KN.m

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

    Figura 62

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    27/32

    Resumen

    Para la estructura con dos articulacin interna, en la cual se aplicaron cinco

    ecuaciones independiente de la esttica, a saber tres de equilibrio y dos de

    condicin, para determinar las reacciones, primeramente se dividi la

    estructura en la rotula C y as aplicar la primera ecuacin de condicin MCE y

    se obtiene en funcin de las dos incgnitas del apoyo fijo E, Luego para aplicar

    la segunda ecuacin de condicin MBE, en la rotula B y determinar la segunda

    ecuacin en funcin de las mismas incgnitas del apoyo fijo E, esto con el fin

    de utilizar el mtodo de sustitucin y determinar el valor de las reacciones REv =

    135 KN y REh = 29.67 KN.

    Ahora bien una vez determinadas las dos reacciones del apoyo fijo E, con la

    ecuacin de sumatorias de fuerzas verticales y horizontales se obtienen los

    valores de RAh = -7.33 KN y RA

    v = 45 KN respectivamente, el singo negativo de

    la reaccin horizontal en el empotramiento indica que el sentido es contrario al

    asumido, sea hacia la izquierda , para finalizar se aplic la quinta ecuacin,

    sumatoria de momento en el apoyo A, considerando toda las fuerzas que

    actan en la estructura, la cual resulto MA= - 96 KN.m, el singo negativo del

    momento en el empotramiento indica que el sentido es contrario al asumido, es

    decir gira en sentido horario.

    Ejercicio N18

    Determinar las reacciones en los apoyos de la estructura cargada como se

    muestra en la Figura 63.

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

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    Figura 63

    Solucin:

    Paso 1: Determinar la Estaticidad

    Para determinar la Estaticidad se mantiene la misma ecuacin:

    B = 5 ; R = 4 ; N = 6 ; C = 1

    Al sustituir, se tiene:

    NI = 3B+R; NI = 3(5) + 4 = 19

    NE = 3N+C; NE = 3(6) + 1 = 19

    Como NI=NE, la estructura es isosttica

    Paso 2: Realizar el DCL

    Para puntualizar la carga que esta en la barra inclinada BC, se requiere

    primero determinar la distancia inclinada de BC, la cual se aplicara la ecuacin

    de Pitgoras dp1p2=(x2 + y2).

    Donde:

    d: distancia inclinada entre dos puntos

    X: distancia horizontal

    Y: distancia Vertical

    Al sustituir;

    dBC = ((4 m)2 + (3 m)2)

    dBC = (16 m2 + 9 m2)

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

    29/32

    dBC = (25m2) = 5 m

    Para puntualizar la carga distribuida de la barra BC

    F = 5 m x 10 KN/m = 50 KN

    Figura 64

    Y la carga acta en el centro de la base del rectngulo, es decir, 5 / 2 = 2.5

    m

    Para determinar el ngulo de inclinacin, se realiza:

    = tan-1(3/4)= 36.87

    El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:FY = 50 KN Cos36.87 = 40 KN

    FX = 50 KN Sen36.87 = 30 KN

    Una vez realizado los clculos de las fuerzas, se dibuja el DCL

  • 8/23/2019 Conociendo Prticos

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    Figura 65

    Incgnitas

    RAv =?

    RAh =?

    REh =?

    REv =?

    Paso 3: Calcular las Reacciones

    En esta estructura, para determinar las reacciones desconocidas, se aplican

    cuatro ecuaciones independiente de la esttica, a saber tres de equilibrio y una

    de condicin, as como:

    MCE = 0 FH = 0 Fv = 0 MA = 0

    Para determinar la incgnita REv se emplea primero la ecuacin de

    momentos en el apoyo A.

    [+ MA = 0]:

    3 KN x 4 m + 30 KN x 5.5 m + 40 KN x 2 m + 40 KN x 6 m 30 KN x 5.5 m + 8

    KN x 9 m REv x 8 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejando REv; se tiene:

    12 KN.m + 165 KN.m + 80 KN.m + 240 KN.m 165 KN.m + 72 KN.m 8 REv = 0

    404 KN.m 8 REv = 0

    REv = 404 KN.m / 8 m

    REv = 50.5 KN

    REv= 50.5 KN

    Ahora bien, calcular el valor de RAv, se aplica la sumatoria de fuerzas

    verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba ser positiva

    [+ Fv = 0] : RAv + RE

    v 40 KN 40 KN 8 KN= 0

    Al sustituir REv; se tiene:

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    RAv + 50.5 KN 88 KN= 0

    RAv 37.5 KN = 0

    Al despejar RAv :

    RAv = 37.5 KN

    RAv = 37.5 KN

    Para determinar la incgnitas REh, se emplea aplica la ecuacin de

    condicin MCE = 0 , de la rotula C a la derecha.

    [+ MCE = 0]:40 KN x 2 m + 30 KN x 1.5 m + 8 KN x 5 m RE

    v x 4 m + REh x 7 m = 0

    Efectuando las operaciones y despejando REh; se tiene:

    80 KN.m + 45 KN.m + 40 KN.m 202 KN.m + 7 REh = 0

    37 KN.m + 7 REh = 0

    REh = 37 KN.m / 7 m

    REh = 5.28 KN

    RE = 5.28 KN

    Ahora, para finalizar se calcula el valor se aplica la ecuacin de sumatorias

    de fuerzas horizontalespara determinar el valor de RAh.

    [+ FH = 0] : RAh + 3 KN + 30 KN 30 KN - RE

    h = 0

    RA

    h + 3 KN + 30 KN 30 KN 5.28 KN = 0

    Al despejar, se tiene:

    RAh = 2.28 KN

    RAh= 2.28 KN

    Con lo que queda terminado el ejercicio.

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    Figura 66

    Resumen

    La estructura esta en equilibrio, para puntualizar la carga distribuida de tipo

    rectangular, se dividi en dos rectngulos iguales por ser simtrica, para la

    cual, se aplic la ecuacin de Pitgoras para obtener el valor de la distancia

    inclinada de la barra BC, y as conseguir la componente vertical y horizontaldel vector inclinado, que se aprecian en el DCL, las reacciones desconocidas,

    se determinaron aplicando cuatro ecuaciones independiente de la esttica, a

    saber tres de equilibrio y una de condicin, como la estructura es asimtrica,

    motivo por la cual, los valores de los vectores de reacciones verticales y

    horizontales son diferentes RAv = 37.5 KN y RE

    v = 50.5 KN, RAh = 2.28 KN y

    REh = 5.28 KN.