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Valores Propios

Valores y Vectores Propios

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Metodos Computacionales

Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21

Valores Propios

CONTENIDO

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DEFINICIONES Y PROPIEDADES

I A matriz cuadrada n× nI v vector dimension nI λ escalar

Objetivo: Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que

Av = λv⇒{λ valor propio de Av vector propio asociado a λ

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Definicion

p(λ) = det(A− λI)

los valores propios de A son las raıces del polinomio caracterıstico

λ valor propio⇔ p(λ) = 0

Calculo de vectores propiosPara cada valor propio λ resolvemos

(A− λI)v = 0

que debe ser un sistema compatible indeterminado.

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DIAGONALIZACION

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EJEMPLO

EjemploDada la matriz

A =

3 −1 0−1 2 −10 −1 3

Calcule:

1. Valores Propios2. Vectores Propios3. Diagonaliza la matriz A

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SOLUCION

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Valores Propios

EJEMPLO:

Consideremos la matriz

A =

−5 12 0−4 9 0−2 4 1

Determinar los valores propios de la matriz A.

Solucion:Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico esp(λ) = |A− λ.I| = (1− λ)(λ2 − 4λ+ 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1

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Valores Propios

EJEMPLO:

Consideremos la matriz

A =

−5 12 0−4 9 0−2 4 1

Determinar los valores propios de la matriz A.Solucion:Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico esp(λ) = |A− λ.I| = (1− λ)(λ2 − 4λ+ 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1

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TEOREMA

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EJEMPLOPara la matriz 5 −2 0

−2 3 −10 −1 1

Localice todos sus valores propios:

Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri

Z1 = {z ∈ C |z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = {z ∈ C |z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}Z3 = {z ∈ C |z− 1| ≤ |0|+ |1|}

Por lo tanto los valores propios estan localizados en:

0 ≤ z ≤ 7

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Valores Propios

EJEMPLOPara la matriz 5 −2 0

−2 3 −10 −1 1

Localice todos sus valores propios:Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri

Z1 = {z ∈ C |z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = {z ∈ C |z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}Z3 = {z ∈ C |z− 1| ≤ |0|+ |1|}

Por lo tanto los valores propios estan localizados en:

0 ≤ z ≤ 7

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CIRCULOS DE GERSGORIN

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METODO DE LA POTENCIA

Definicion (Valor Propio Dominante)Es el de mayor modulo. Si

|λ1| > |λ2| > |λ1| . . . > |λn|

entonces λ1 es el valor propio dominante.

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Definicion (Vector Normalizado)

v =

v1v2...

vn

vj es una componente dominante. Si |vj| = ||v||∞Si vdom es una componente dominante de v, entonces el vectornormalizado v es

v = 1vdom

.v

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METODO DE POTENCIA

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EJEMPLO:

Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 21