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UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
ANÁLISIS DE VALORES PROPIOS ASOCIADOS A
SISTEMAS MINIMALES DE CANTOR DE TIPO TOEPLITZ
DE RANGO FINITO
ALONSO ARIEL SILVA ALLENDE
2006
UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
ANÁLISIS DE VALORES PROPIOS ASOCIADOS A SISTEMAS
MINIMALES DE CANTOR DE TIPO TOEPLITZ DE RANGO FINITO
ALONSO ARIEL SILVA ALLENDE
COMISIÓN EXAMINADORA CALIFICACIONES:NOTA (n◦) (Letras) FIRMA
PROFESOR GUÍA :SR. ALEJANDRO MAASS
PROFESOR CO-GUÍA :SR. SERVET MARTÍNEZ
PROFESOR INTEGRANTE :SR. PABLO DARTNELL
NOTA FINAL EXAMEN DE TÍTULO :
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DEINGENIERO CIVIL MATEMÁTICO
SANTIAGO - CHILEOCTUBRE - 2006
RESUMEN DE LA MEMORIAPARA OPTAR AL TÍTULO DEINGENIERO CIVIL MATEMÁTICOPOR: ALONSO ARIEL SILVA ALLENDEFECHA: 27 DE OCTUBRE DE 2006PROF. GUÍA: SR. ALEJANDRO MAASS
ANÁLISIS DE VALORES PROPIOS ASOCIADOS A SISTEMASMINIMALES DE CANTOR DE TIPO TOEPLITZ DE RANGO FINITO
El objetivo de este trabajo es estudiar los valores propios medibles y valores propios continuos de sistemas
minimales de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito. En particular, la existencia de valores propios mediblesque no son continuos en estos sistemas.
Este estudio se aborda con técnicas utilizadas durante la última década que consisten en aprovechar lasestructuras de torres (particiones) de Kakutani-Rohlin que se asocian a los sistemas minimales de Cantor desde
el trabajo pionero de Herman, Putnam y Skau. En particular, en este trabajo se utilizan las construcciones
desarrolladas en Bressaud, Durand y Maass.
Nuestro estudio particular se motiva por el resultado siguiente:
Teorema. Sea (X,T ) un sistema minimal de Cantor y sea µ una medida de probabilidad T -invariante.
Sea (P(n);n ∈ N) una sucesión de particiones abiertas-cerradas de Kakutani-Rohlin propias. Un número
complejo λ = exp(2πiα) es un valor propio de (X,T ) con respecto a µ si y sólo si existen funciones realesρn : {1, . . . , C(n)} → R, para todo n ∈ N, tales que
α(rn(x) + ρn ◦ τn(x)) converge modZ
µ-c.s. cuando n tiende a infinito, donde rn(x) es el primer tiempo de entrada de x al techo de nivel n de la
torre y τn(x) es la torre a la que pertenece x en el nivel n.
Se sabe que los valores propios continuos de un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz se determinan
conociendo la sucesión característica asociada a su factor odómetro. Sin embargo, los valores propios medibles
dependen fuertemente del orden en que las torres de Kakutani-Rohlin se apilan y de otros objetos algebraicosa determinar.
En esta memoria se demuestra que en un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito, silas funciones (ρn(j); 1 ≤ j ≤ C(n), n ∈ N) que aparecen en el teorema precedente son constantes en ambas
variables, entonces los valores propios medibles coinciden con los valores propios continuos del sistema.
En relación a los valores propios medibles se demuestra que si se dan dos números enteros d ≥ 2 y 1 < q ≤ d
tales que mcd(d, q) = 1, entonces siempre es posible encontrar un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz
de rango finito d en el cual un número complejo de la forma λ = exp(2πiα) con α = 1/q es valor propio
medible no continuo, donde las funciones (ρn(j); 1 ≤ j ≤ C(n), n ∈ N) son constantes en la variable n.
Este resultado muestra que la estructura de las funciones (ρn(j); 1 ≤ j ≤ C(n), n ∈ N) es un buen objeto de
estudio en lugar del orden, que permite abordar la construcción de los valores propios medibles.
“Un ejército de invisibles manos ha labrado la tierra,
ha levantado tu casa, ha servido tu mesa, para que tú puedas aprender.
Ahora, esas innumerables manos - las más desposeídas - se tienden hacia ti
con el gesto de la necesidad. Te piden simplemente lo que les pertenece.”
Cristián del Campo, Doctor en Economía, chileno.
Índice general
1. Introducción y Motivación 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Preliminares: Definiciones Básicas 4
2.1. Elementos de Dinámica Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Elementos de Teoría Ergódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Elementos de Dinámica Simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Particiones de Kakutani-Rohlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Diagramas de Bratteli-Vershik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Resultados para Sistemas Linealmente Recurrentes 16
3.1. Resultados Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Sistemas Linealmente Recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Valores Propios de Sistemas Linealmente Recurrentes . . . . . . . . . . . . . 22
4. Valores Propios de Sistemas de Tipo Toeplitz de Rango Finito 24
4.1. Resultados Generales en Sistemas Minimales de Cantor . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Sistemas Minimales de Cantor de Rango Finito . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
4.3. Sistemas de Tipo Toeplitz de Rango Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación 49
Bibliografía 50
ii
Capítulo 1
Introducción y Motivación
1.1. Introducción
La teoría espectral de sistemas dinámicos abstractos es uno de los tópicos fundamentalesde la teoría ergódica y la dinámica topológica cuando el sistema dinámico abstracto vienedado por un sistema dinámico topológico (i.e. de un homeomorfismo de un espacio métricocompacto en sí mismo).
Por un lado, este estudio ha permitido clasificar sistemas dinámicos abstractos en el sentidode la conjugación, y por otro lado entender propiedades globales del sistema como la débilmezcla.
El estudio de los valores propios asociados al Operador de Koopman en el contexto de siste-mas dinámicos abstractos y de sistemas dinámicos topológicos exhibe un gran paralelismo,sin embargo, existen importantes diferencias. Un ejemplo de lo anterior, es que un sistemadinámico abstracto es débil mezclador si y sólo si las únicas funciones propias son las funcio-nes constantes; en el caso topológico un sistema minimal es topológicamente débil mezcladorsi y sólo si las únicas funciones propias continuas que posee son las funciones constantes.
El propósito de esta memoria es enfrentar el problema de los valores propios medibles yvalores propios continuos (i.e. cuyas funciones propias asociadas tienen versiones continuas)de sistemas minimales de Cantor (i.e. actuando sobre un dominio Cantor). Este problematiene una larga historia, aunque el número de resultados no es abundante. Uno de los trabajosmás relevantes y precursores es el de Bernard Host [Hos86]. En ese trabajo se demuestra quelos valores propios medibles y continuos coinciden para sistemas substitutivos. Descripcionesexplícitas de los valores propios para este tipo de sistemas aparecen en [FMN96].
1
La aparición de la representación de sistemas minimales de Cantor a través de diagramas deBratteli-Vershik en [GPS95] y [HPS92] abrió una nueva línea de trabajo en este tema. Ahorafue posible re-entender el trabajo de Host en relación a sucesiones de particiones de Kakutani-Rohlin del espacio que se refinan en el tiempo. Es así como en [CDHM03] y [BDM05] se dancondiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea valor propio de sistemaslinealmente recurrentes (que incluyen los sistemas substitutivos).
Si bien era conocida la existencia de sistemas dinámicos topológicos topológicamente débilmezcladores pero no débilmente mezcadores en medida, en los trabajos anteriores se constru-yen explícitamente estos ejemplos en una clase que es apenas más general que los subshiftssubstitutivos como son los sistemas linealmente recurrentes.
Quizás el hecho más sorprendente de la clase linealmente recurrente es que las condicionespara ser valor propio continuo o medible, sólo dependen de las matrices asociadas a lasparticiones de Kakutani-Rohlin, no así del orden en que las torres son visitadas por la órbitade un punto.
Nos interesamos en sistemas minimales de Cantor dados por un diagrama de Bratteli-Vershikde rango finito de tipo Toeplitz. Es sabido de [BDM06], que los valores propios mediblesno continuos son racionales. En este trabajo profundizamos en esta pregunta construyendoejemplos de sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitz que exhiben valores propiosracionales no continuos y probando resultados técnicos que impiden este comportamiento.
El próximo capítulo está orientado a recordar los conceptos básicos sobre los que se basa lamemoria, poniendo especial énfasis en la sucesión de particiones de Kakutani-Rohlin asocia-das a un sistema minimal de Cantor, así como la representación de Bratteli-Vershik asociadaal sistema.
El Capítulo 3 revisa los principales resultados que se han obtenido para un tipo particularde sistema minimal de Cantor como lo son los sistemas linealmente recurrentes, dentro delos cuales, se encuentran condiciones necesarias y suficientes para ser valor propio medibley valor propio continuo del sistema en relación con la sucesión de matrices enteras positivasasociadas al sistema.
El Capítulo 4 comienza revisando los resultados que se han podido obtener para valorespropios medibles en sistemas minimales de Cantor en general, para luego abordar los sistemasminimales de Cantor de rango finito y finalmente considerar los resultados que hemos obtenidopara sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito.
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Finalmente, en el Capítulo 5 se dan las conclusiones y preguntas interesantes de abordar, quepor tiempo y/o dificultad, no han podido ser respondidas en la presente memoria.
3
Capítulo 2
Preliminares: Definiciones Básicas
En este capítulo se darán nociones básicas necesarias para la comprensión de los objetosprincipales sobre los que trata esta memoria. En primer lugar, se habla sobre los elementosde dinámica topológica, posteriormente sobre elementos de teoría ergódica y su relación conla dinámica topológica. Después se analiza un ejemplo importante de sistema dinámico comoes la dinámica simbólica, siendo tan importante como para considerarlo en un subcapítulo.Se explican con posterioridad las particiones de Kakutani-Rohlin y los diagramas de Bratteli-Vershik, así como las relaciones que existen entre ambos objetos.
2.1. Elementos de Dinámica Topológica
Los objetos principales de esta memoria son los sistemas dinámicos. En su forma más simpleun sistema dinámico es una estructura matemática capaz de modelar órbitas. Una funciónde un espacio en sí mismo logra este objetivo. Según el tipo de propiedades dinámicas delsistema a estudiar se pide que este sistema tenga más estructura, de forma que la dinámicasea compatible con esta estructura. Por ejemplo, se estudia la teoría ergódica o dinámicamedible, la dinámica topológica o la dinámica diferenciable, dependiendo si nuestro interéses probabilista, topológico o geométrico.
En esta memoria, nos interesamos en los casos topológicos y probabilistas. Comencemos pordefinir lo que entenderemos por sistema dinámico topológico:
Definición. Se dice que (X, T ) es un sistema dinámico topológico (se denotará s.d.t.) si Xes un espacio métrico compacto y T : X → X es un homeomorfismo (i.e. T es biyectiva,continua y su inversa es continua).
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Dentro de las características más importantes de un sistema dinámico topológico se encuen-tran la transitividad, la débil mezcla y la mezcla fuerte. Para analizar esas características senecesita definir la órbita de un punto del sistema.
Dado un s.d.t. (X, T ) y un punto x ∈ X se define la órbita de x como sigue:
orbT (x) = {T nx ;n ∈ Z}.
Definición. Sea (X, T ) un sistema dinámico topológico.
- Se dirá que (X, T ) es topológicamente transitivo si existe x ∈ X tal que X = orbT (x).
- Se dirá que (X, T ) es topológicamente débil mezclador si (X ×X, T × T ) es topológi-camente transitivo.
- Se dirá que (X, T ) es topológicamente mezclador si para todos U, V ⊆ X abiertos novacíos, existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N tenemos que U ∩ T−nV 6= ∅.
Otra propiedad interesante y que se considerará como hipótesis a través de toda la memoriaserá la minimalidad de un sistema dinámico topológico.
Definición. Un s.d.t. (X, T ) es minimal si el único conjunto Z ⊆ X cerrado y no vacío queverifica T (Z) = Z es X.
Una condición equivalente a la anterior es que para todo punto x ∈ X, la órbita asociada adicho punto sea densa en X.
Una noción importante de equivalencia entre dos sistemas dinámicos topológicos y que sirvepara clasificarlos, es la conjugación topológica.
Definición. Dados dos sistemas dinámicos topológicos (X1, T1) y (X2, T2), decimos que sontopológicamente conjugados si existe un homeomorfismo φ : X1 → X2 llamado conjugacióntal que φ ◦ T1 = T2 ◦ φ, es decir, que el diagrama siguiente conmuta:
X1 X1
X2 X2.
T1
T2
φ φ
En el caso en que la función φ es continua pero sólo sobreyectiva diremos que (X2, T2) esfactor de (X1, T1) o que φ es un factor entre X1 y X2.
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Es importante notar que la transitividad, la minimalidad y la débil mezcla topológica soninvariantes bajo conjugación.
2.2. Elementos de Teoría Ergódica
Un sistema dinámico abstracto (se denotará s.d.a.) es una cuádrupla (X,B, µ, T ) donde(X,B, µ) es un espacio de probabilidad y T : X → X es una función B-B medible quepreserva µ, es decir que µ(A) = µ(T−1(A)) para todo A ∈ B. Si µ es una medida quesatisface la propiedad anterior, diremos que µ es una medida T -invariante.
Se denota M(X) al conjunto de las medidas de probabilidad sobre (X,B) y se denota MT (X)al conjunto de las medidas de probabilidad T -invariantes.
Dada µ ∈ MT (X), un conjunto B ∈ B se llama invariante con respecto a µ o simplementeinvariante cuando la medida se comprenda del contexto si µ(T−1B △ B) = 0.
La medida µ se dice ergódica si cada conjunto invariante tiene medida 0 o 1.
Diremos que el s.d.a (X,B, µ, T ) es ergódico cuando su medida µ sea ergódica.
El siguiente teorema caracteriza la ergodicidad de la medida.
Teorema 2.1. Sea µ ∈ MT (X). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. µ es ergódica.
2. Para todo conjunto A ∈ B, 1n
n−1∑
k=0
1A ◦ T k(x) −→n→∞
µ(A) µ-c.s.
3. Para toda función f ∈ L1(X,B, µ), 1n
n−1∑
k=0
f ◦ T k(x) −→n→∞
∫
X
fdµ µ-c.s.
4. ∀A,B ∈ B, lımn→∞
| 1n
n−1∑
k=0
µ(A ∩ T kB)− µ(A)µ(B)| = 0.
Existen otras propiedades de los sistemas dinámicos topológicos que tienen que ver con lasmedidas que se le asocian. Dentro de estas propiedades tenemos la de débil mezcla y la demezcla fuerte.
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Definición. Se dice que el s.d.a. (X,B, µ, T ) es débil mezclador si
∀A,B ∈ B, lımn→∞
1
n
n−1∑
k=0
|µ(A ∩ T−k(B))− µ(A)µ(B)| = 0. (2.1)
Definición. Se dice que el s.d.a. (X,B, µ, T ) satisface la propiedad de mezcla fuerte si
∀A,B ∈ B, µ(A ∩ T−n(B)) −→n→∞
µ(A)µ(B). (2.2)
Al igual que en sistemas dinámicos topológicos, en teoría ergódica existe una noción deequivalencia entre sistemas dinámicos abstractos que permite clasificarlos.
Definición. Sean X = (X,B, µ, T ) e Y = (Y,A, ν, S) dos sistemas dinámicos abstractos.Diremos que Y es factor de X, o que X es extensión de Y si existe π : X → Y , B-A mediblesobreyectiva tal que
- πµ = ν, es decir, para todo A ∈ A, µ(π−1(A)) = ν(A).
- π ◦ T = S ◦ π.
O sea, que el diagrama siguiente conmuta:
(X,B, µ) (X,B, µ)
(Y,A, ν) (Y,A, ν).
T
S
π π
Se dice que X es conjugado con Y si π es biyectivo y bi-medible.
Uno de los resultados que relacionan la teoría ergódica con la dinámica topológica es elTeorema de Krylov-Bogolubov, que nos permite analizar los resultados que se obtienen alagregar una medida a un sistema dinámico topológico.
Teorema 2.2 (Krylov-Bogolubov). Dado un sistema dinámico topológico (X, T ) siemprees posible encontrar una medida de probabilidad µ tal que µ(A) = µ(T−1A) para todoA ∈ B(X), donde B(X) es el conjunto de los borelianos del espacio métrico X.
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El resultado anterior es consecuencia de la compacidad para la topología débil* del conjuntode las medidas de probabilidad M(X) sobre (X,B(X)). Además, el conjunto MT (X) delas medidas de probabilidad T -invariantes es compacto en la topología débil* y resulta serconvexo. Luego, para cada µ ∈ MT (X) podemos considerar el sistema dinámico en medi-da (X,B(X), µ, T ). Los puntos extremos del convexo MT (X) son exactamente las medidasergódicas cuyo conjunto se denota como Me
T (X). Si MT (X) = {µ} decimos que el sistema(X, T ) es únicamente ergódico.
La transformación T induce sobre L2(X,B, µ) el Operador de Koopman que se define acontinuación:
Definición (Operador de Koopman). Se llamará Operador de Koopman a la función UT ,definida como sigue:
UT : L2(X,B, µ) −→ L2(X,B, µ)f 7−→ UT (f) = f ◦ T.
Definición. Un número λ ∈ C se dice valor propio del operador UT o valor propio del sistemadinámico abstracto (X,B, µ, T ), si existe f 6= 0 en L2(X,B, µ) tal que UT (f) = λf .
En este caso, se llamará a f función propia asociada a λ. Si (X, T ) es un sistema dinámicotopológico y la función propia asociada a λ tiene una versión continua, se dice que λ es unvalor propio continuo.
Una observación importante es que dado que UT es una isometría, sus valores propios sonnúmeros complejos de módulo 1.
El Operador de Koopman es importante, porque muchas propiedades dinámicas del sistema(X,B, µ, T ) son espectrales, esto quiere decir que pueden ser descritas a partir de propiedadesdel espectro del Operador de Koopman.
Una de las propiedades que nos entrega el Operador de Koopman es la siguiente:
Teorema 2.3. El sistema (X,B, µ, T ) es ergódico si y sólo si las funciones propias del ope-rador UT asociadas a 1 son las constantes.
Si f es una función propia, entonces |f | es una función propia asociada al valor propio 1.
A partir del teorema anterior se deduce que las funciones propias de un sistema ergódicotienen módulo constante.
Otras propiedades relevantes que nos entrega el Operador de Koopman son las siguientes:
Teorema 2.4. El sistema dinámico abstracto (X,B, µ, T ) es débil mezclador si y sólo si lasúnicas funciones propias del sistema son las constantes.
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Teorema 2.5. El sistema dinámico topológico minimal (X, T ) es topológicamente débilmezclador si y sólo si las únicas funciones propias continuas del sistema son las constantes.
Se observa de lo anterior que es importante estudiar los valores propios medibles y valorespropios continuos de un sistema dinámico topológico dotado de una medida invariante. Enesta memoria nos concentraremos en el caso en que (X, T ) es un sistema dinámico topológicominimal de Cantor.
Definición. Se dice que (X, T ) es un sistema de Cantor si X es un espacio de Cantor,es decir, X tiene una base numerable de su topología que consiste en conjuntos abiertos ycerrados y es tal que no posee puntos aislados.
2.3. Elementos de Dinámica Simbólica
Un ejemplo relevante de tipos de sistemas dinámicos topológicos son los sistemas dinámicossimbólicos. Para una mayor comprensión de ellos se necesita una serie de definiciones que sedan a continuación.
Sea A un conjunto finito que llamaremos alfabeto. Los elementos de A los denominaremossímbolos. Una palabra w definida sobre A será en este contexto una sucesión finita de símbolosdel alfabeto A. El conjunto de todas las palabras sobre A se denotará por A+. A su vez, lapalabra vacía se designará por ε.
El largo de una palabra w = w0 . . . wn−1 es |w| = n donde wi ∈ A para 0 ≤ i < n, es decir,el largo de una palabra es el número de símbolos que la constituyen.
La concatenación de dos palabras en A, v = v1 . . . vn y w = w1 . . . wm, es la palabra vw =v1 . . . vnw1 . . . wm. Se denotará por |w|a al número de ocurrencias de una letra a ∈ A en unapalabra w ∈ A+.
Se define el conjunto X = AZ = {x = (xi)i∈Z ; ∀i ∈ Z xi ∈ A} que resulta ser un espaciométrico compacto con la métrica
ρ(x, y) =∑
i∈Z
δ(xi, yi)
2|i|,
donde x = (xi)i∈Z e y = (yi)i∈Z y
δ(xi, yi) =
{
1 xi 6= yi0 xi = yi.
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Definición. Una substitución es una función τ : A → A+ que puede ser extendida a palabraspor concatenación de la siguiente forma τ(uv) = τ(u)τ(v). Se puede extender de forma similara una función sobre AZ de la manera siguiente:
Dado u = . . . u−2u−1.u0u1u2 . . . ∈ AZ entonces τ(u) = . . . τ(u−2)τ(u−1).τ(u0)τ(u1)τ(u2) . . .,donde . indica la posición cero de la sucesión en AZ.
Definición. Dada τ una substitución sobre el alfabeto A. Se define la matriz de incidenciade la substitución τ , Mτ ∈ M|A|×|A|(N), como Mτ (a, b) = |τ(b)|a para a, b ∈ A.
Definición. Una substitución τ se dice primitiva si existe n ∈ N tal que a aparece en τn(b)para todo a, b ∈ A, es decir, existe una potencia de la matriz de incidencia con entradasestrictamente positivas.
Un homeomorfismo relevante dentro de los sistemas simbólicos es el llamado shift que sedefine como sigue:
σ : AZ −→ AZ
x = (xi)i∈Z 7−→ (σ(x))i = xi+1 ∀i ∈ Z.
Se dice que un sistema dinámico X ⊆ AZ es un subshift si es cerrado y verifica σ(X) = X.Cuando se comprenda del contexto, también se denominará subshift al sistema dinámicotopológico (X, σ|X).
Definición. Si τ es una substitución en el alfabeto A, el subshift generado por τ , (Xτ , σ)de AZ (con σ la transformación shift) es el subconjunto más pequeño de AZ cerrado y σ-invariante, que admite todas las subpalabras de {τn(a) : n ∈ N, a ∈ A}.
Los sistemas dinámicos substitutivos forman parte de la clase de sistemas llamados de bajacomplejidad, esto es, el número de palabras de tamaño n contenidas en puntos del subshiftcrece linealmente con n. Es por esta razón que la extensión natural de esta clase de sistemasson los sistemas linealmente recurrentes definidos en el próximo capítulo.
En [Que87] se demostró que en un sistema dinámico substitutivo en el caso donde la substitu-ción es primitiva resulta ser minimal y únicamente ergódico, es decir existe una única medidade probabilidad σ-invariante. En [Hos86] se demostró que en los sistemas substitutivos (cla-se particular de sistema minimal de Cantor) las funciones propias medibles del sistema soncontinuas.
2.4. Particiones de Kakutani-Rohlin
En [HPS92] y [GPS95] aparece la representación de sistemas minimales de Cantor a travésde diagramas de Bratteli-Vershik, lo que permite comprender bajo una nueva perspectiva
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esta clase de sistemas. Un paralelo a los diagramas de Bratteli-Vershik viene dado por lasparticiones de Kakutani-Rohlin, que permite estudiar los sistemas minimales de Cantor pormedio de una sucesión de particiones del espacio que se refinan a través del tiempo.
Una partición de Kakutani-Rohlin de un s.d.t. (X, T ) es una partición de X de la forma
P = {T−jBk ; 0 ≤ j < hk, 1 ≤ k ≤ C}
donde
- C y hk son enteros positivos.
- Tk = {T−jBk; 0 ≤ j < hk} diremos que es la torre k-ésima de la partición.
- B =⋃
1≤k≤C
Bk diremos que es el techo de la partición.
- hk diremos que es la altura de la k-ésima torre.
Cuando los elementos de una partición de Kakutani-Rohlin son abiertos-cerrados hablamosde una partición de Kakutani-Rohlin abierta-cerrada y se denotará partición CKR.
Es fácil probar usando el Teorema de Kac, que un sistema minimal de Cantor siempre tieneuna partición de este tipo.
Definición. Dadas dos particiones P1 y P2 de X, decimos que P1 es más fina que P2 lo quedenotamos P1 ≻ P2, si cada elemento de P1 está contenido en un elemento de P2.
Lema 2.6. Sea B ⊆ X un conjunto abierto-cerrado y sea P ′ una partición finita de X.Entonces, existe una partición CKR P = {T−jBk; 0 ≤ j < hk, 1 ≤ k ≤ C} tal que
1.-⋃
1≤k≤C
Bk = B
2.-⋃
1≤k≤C
T−hkBk = B
3.- P ≻ P ′
Este último lema y el Teorema de Kac permiten probar el siguiente teorema.
Teorema 2.7. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor. Entonces, existe una secuencia(P(n) = {T−jBk(n); 0 ≤ j < hk(n), 1 ≤ k ≤ C(n)};n ≥ 1) de particiones K-R abiertascerradas de X que satisface las siguientes condiciones:
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(KR1).- B(n + 1) ⊆ B1(n).
(KR2).- P(n + 1) ≻ P(n).
(KR3).- |∞⋂
n=0
B(n)| = 1.
(KR4).- La secuencia de particiones genera la topología de X.
De la minimalidad de (X, T ) podemos construir una subsucesión {P(nk)}k≥1 ⊆ {P(n)}n∈Nque además de verificar las condiciones anteriores satisface
(KR5).- Para todo n ∈ N y para todo (k, k′) ∈ {1, . . . , C(n)} × {1, . . . , C(n+ 1)}, existe0 ≤ j < hk′(n+ 1) tal que T−jBk′(n + 1) ⊆ Bk(n).
Definición. Sea (P(n) = {T−jBk(n) ; 0 ≤ j < hk(n), 1 ≤ k ≤ C(n)} ; n ≥ 1) una secuenciade particiones CKR. Diremos que su secuencia de matrices enteras positivas asociadas paran ≥ 1 es
M(n) = (M(n)i,j ; 1 ≤ i ≤ C(n + 1), 1 ≤ j ≤ C(n)),
dondeM(n)i,j = |{0 ≤ k < hi(n + 1) ; T−kBi(n+ 1) ∩Bj(n) 6= ∅}|.
Para todo n ∈ N, sea H(n) = (hl(n); 1 ≤ l ≤ C(n))T . Entonces se tiene que H(n) =M(n)H(n− 1) para n > 0. Para n > m ≥ 0 se define
P (n,m) =M(n)M(n− 1) . . .M(m+ 1), P (n) = P (n, 1). (2.3)
Notemos de lo anterior que
P (n,m)H(m) = H(n) = P (n)H(1). (2.4)
Estas propiedades serán utilizadas tanto en los resultados obtenidos para sistemas linealmenterecurrentes, como para nuestro objeto de estudio (sistemas minimales de Cantor de tipoToeplitz de rango finito).
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..... .....
h1(n) hC(n)(n)hk(n)
TC(n)(n)
T
Bk(n)B1(n)
T1(n) Tk(n)
BC(n)(n)
Figura 2.1: Partición CKR de nivel n: (a) X es particionado en C(n) torres. Cada torre Tk(n),1 ≤ k ≤ C(n), esta compuesta por hk(n) conjuntos disjuntos, llamados peldaños de la torre.La etapa superior de una torre es el techo Bk(n). (b) La dinámica de T consiste en subirde una etapa a la otra de la torre hasta el techo. Los puntos en el techo son enviados a lasetapas inferiores de las torres; dos puntos en el mismo techo pueden ser enviados a diferentestorres.
2.5. Diagramas de Bratteli-Vershik
Un diagrama de Bratteli-Vershik es un grafo dirigido B = (V,E) donde
- V es el conjunto de vértices.
- E es el conjunto de arcos.
- V = V0 ∪ V1 ∪ . . . disjuntos a pares, donde para cada n ∈ N tenemos que Vn es finito yno vacío y V0 = {v0}.
- E = E1 ∪ E2 ∪ . . . disjuntos a pares, donde para cada n ≥ 1 tenemos que En es finito,no vacío y tenemos que Ek es el conjunto de arcos uniendo vértices de Vk−1 con vérticesen Vk para todo k ≥ 1.
- Existen funciones r, s : E → V que nos indicaran el término y el inicio de cada arcorespectivamente y son tales que r(En) ⊆ Vn y s(En) ⊆ Vn−1 con n ≥ 1.
Se asume que s−1(v) es no vacío para todo v en V y r−1(v) es no vacío para todo v enV \V0, es decir, que cada vértice en Vk es el término de algún arco en Ek para k ≥ 1 yel inicio de algún arco en Ek+1 para k ∈ N.
13
Para k ∈ N, llamaremos nivel k al subgrafo que contiene los vértices en Vk ∪ Vk+1 y los arcosEk+1 entre estos vértices.
El nivel 0 es llamado el sombrero del diagrama de Bratteli-Vershik y es el único determinadopor el vector de enteros H(1) = (h1(1), . . . , hC(1)(1))
T ∈ N
C(1), donde cada componenterepresenta el número de arcos uniendo v0 y un vértice de V1. Usualmente se asume y así serealizará en esta memoria que H(1) = (1, . . . , 1)T ∈ NC(1).
Para k ≥ 1, describiremos el conjunto de arcos Ek usando una matriz de incidencia M(k) deVk×Vk−1 componentes, donde la entrada (i, j) es el número de arcos en Ek uniendo el vérticej en Vk−1 con el vértice i en Vk.
Dado un diagrama de Bratteli-Vershik (V,E) y números enteros no-negativos k < l, denota-remos Ek,l al conjunto de todos los caminos desde Vk hasta Vl, es decir:
Ek,l = {(ek+1, . . . , el); ei ∈ Ei k < i ≤ l, tal que r(ei) = s(ei+1) k < i < l}.
Se define r : Ek,l → Vl por r(ek+1, . . . , el) = r(el) y s : Ek,l → Vk por s(ek+1, . . . , el) = s(ek+1).
La contracción de un diagrama de Bratteli-Vershik B = (V,E) asociada a la secuencia denúmeros enteros 0 = m0 < m1 < . . ., es el diagrama de Bratteli-Vershik B′ = (V ′, E ′) dondeV ′n = Vmn
y E ′n = Emn+1,mn+1 para todo n ≥ 0.
Un diagrama de Bratteli-Vershik ordenado es una tripleta (V,E,�) donde (V,E) es un dia-grama de Bratteli-Vershik y � es un orden parcial sobre E tal que dos arcos son comparablessi y sólo si r(e) = r(e′).
El orden parcial en E, induce otro orden parcial que denotaremos de igual forma en Ek,l dadopor (ek+1, . . . , el) � (fk+1, . . . , fl) si y sólo si existe k < i ≤ l tal que ei � fi y ej = fj parai < j ≤ l. Lo que produce un nuevo diagrama de Bratteli-Vershik ordenado.
Dado un diagrama de Bratteli-Vershik ordenado B = (V,E,�) se define XB como el conjuntode caminos infinitos (e1, e2, . . .) partiendo en v0 tal que para todo i ≥ 1, el vértice de términode ei ∈ Ei es el vértice de inicio de ei+1 ∈ Ei+1. Daremos una topología a XB postulandocomo base de abiertos a la familia de cilindros
[e1, e2, . . . , ek] = {(x1, x2, . . .) ∈ XB tal que xi = ei para todo 1 ≤ i ≤ k}.
Notemos que [e1, e2, . . . , ek] es también cerrado y que XB es un espacio metrizable compactototalmente disconexo.
Cuando hay un único x = (x1, x2, . . .) ∈ XB tal que xi es maximal para todo i ≥ 1 y unúnico y = (y1, y2, . . .) ∈ XB tal que yi es minimal para todo i ≥ 1, se dirá que B = (V,E,�)es un diagrama de Bratteli-Vershik adecuadamente ordenado.
14
0 0
10 02
1
1
2
10 0
Figura 2.2: Diagrama de Bratteli-Vershik: los números sobre los arcos representan el ordenparcial del diagrama.
Dado un diagrama de Bratteli-Vershik adecuadamente ordenado, se define la dinámica VB so-bre XB llamada función de Vershik. La función VB se define como sigue: dado x ∈ XB\{xmax}y sea k ≥ 1 el entero más pequeño tal que xk no es un arco maximal. Sea yk el sucesor de xky sea (y1, . . . , yk−1) el único camino minimal en E0,k−1 conectando v0 con el punto inicial deyk. Entonces fijamos VB(x) = (y1, . . . , yk−1, yk, xk+1, . . .) y VB(xmax) = xmin.
El sistema dinámico (XB, VB) generado por B = (V,E,�), es llamado sistema de Bratteli-Vershik . El sistema dinámico inducido por una contracción de B es topológicamente conju-gado con (XB, VB).
En [HPS92] se demostró que todo sistema minimal de Cantor (X, T ) es topológicamenteconjugado a un sistema de Bratteli-Vershik (XB, VB). Diremos que (XB, VB) es una repre-sentación de Bratteli-Vershik de (X, T ). En lo que sigue, identificaremos (X, T ) con una desus representaciones de Bratteli-Vershik.
15
Capítulo 3
Resultados para Sistemas LinealmenteRecurrentes
En este capítulo se analizan los principales resultados que se han obtenido para sistemasminimales de Cantor, para centrarse luego en los sistemas minimales de Cantor linealmenterecurrentes y se dan definiciones que se utilizaron para obtener dichos resultados y que secontinuarán utilizando en lo subsiguiente.
3.1. Resultados Generales
En el contexto de sistemas minimales de Cantor, dado que a un sistema de este tipo podemosasociarle una partición de Kakutani-Rohlin, nos encontramos con una serie de definicionesy propiedades que aprovechan este tipo de representación, así como resultados que se hanobtenido en función de las matrices asociadas al sistema.
De las definiciones que se dieron en el capítulo precedente, se tiene la propiedad que sigue.
Propiedad 3.1. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor con una secuencia de particionesCKR asociada (P(n) = {T−jBk(n); 0 ≤ j < hk(n), 1 ≤ k ≤ C(n)};n ∈ N) que satisfacelas propiedades (KR1)-(KR5) (es decir, (KR1),(KR2),(KR3),(KR4),(KR5)), con matrices deincidencia asociadas (M(n) = (ml,k(n); 1 ≤ l ≤ C(n), 1 ≤ k ≤ C(n− 1));n ≥ 1). Sea µ unamedida de probabilidad T -invariante.
16
Entonces para 1 ≤ k ≤ C(n− 1) con n ≥ 1, se satisface que
µ(Bk(n− 1)) =
C(n)∑
l=1
ml,k(n)µ(Bl(n)), (3.1)
C(n)∑
k=1
hk(n)µ(Bk(n)) = 1. (3.2)
Para n ≥ 1, denotaremos µ(n) = (µ(Bt(n)); 1 ≤ t ≤ C(n))T al vector de medidas de lostechos del nivel n.
De la Propiedad 3.1 notamos que para 1 ≤ k < n, se tiene que
µ(n− k) =MT (n− k + 1) · · ·MT (n)µ(n). (3.3)
Para aprovechar la estructura propia de las torres de Kakutani-Rohlin asociadas se defineuna serie de funciones cuyo objetivo principal será estudiar e identificar variables de las cualesdepende que un número complejo sea valor propio medible o valor propio continuo.
La función de primer tiempo de entrada al techo B(n) se define como
rn : X −→ N
x 7−→ rn(x) = mın{j ≥ 0;T j(x) ∈ B(n)}.
Como observación, notemos que al ser (X, T ) un sistema dinámico topológico minimal y B(n)un conjunto abierto-cerrado, entonces rn es finito y continuo.
También se define la función torre de nivel n como sigue
τn : X −→ N
x 7−→ τn(x) = k ⇔ x ∈ Tk(n) para algún 1 ≤ k ≤ C(n).
Una ecuación importante para determinar los valores propios de un sistema minimal deCantor que satisface la función de primer tiempo de entrada y que se deduce de las definicionesdadas con anterioridad es la siguiente:
rn(Tx)− rn(x) =
{
−1 si x /∈ B(n)hk(n)− 1 si x ∈ B(n) y τn(T (x)) = k.
(3.4)
17
La ecuación anterior sumada al hecho de que la medida de la base de nivel n, tiende a ceroa medida que n crece (si hk(n) crece), será fundamental en la búsqueda de valores propiosmedibles.
Siguiendo con las definiciones, consideremos n ≥ 1 y 1 ≤ t ≤ C(n). De la hipótesis (KR5),varios peldaños en la torre Tt(n) están incluídas en el techo B(n−1), en particular el peldañoBt(n). El número de tales peldaños es
mt(n) =
C(n−1)∑
k=1
mt,k(n) = |{0 ≤ j < ht(n);T−jBt(n) ⊆ B(n− 1)}|. (3.5)
Se denota {e1, e2, . . . , emt(n)} = {0 ≤ j < ht(n);T−jBt(n) ⊆ B(n − 1)} donde se puede
considerar y así lo haremos, que ht(n) > e1 > e2 > . . . > emt(n) = 0.
Para una mayor comprensión de estos nuevos objetos, observemos que e1, . . . , emt(n) son losprimeros tiempos de entrada de puntos pertenecientes a Tt(n)∩B(n− 1) en Bt(n). Más aún,para todo 1 ≤ l ≤ mt(n), hay un único k ∈ {1, . . . , C(n− 1)} tal que
T−elBt(n) ⊆ Bk(n− 1). (3.6)
Se denota este k por θtl (n − 1). Observemos de la propiedad (KR1) que se satisface queθtmt(n)
(n − 1) = 1. Notemos también que el − el+1 es la altura de la torre θtl+1(n − 1)-ésimade P(n− 1) para 1 ≤ l < mt(n), de donde
el =
mt(n)∑
k=l+1
hθtk(n−1)(n− 1). (3.7)
18
Ahora bien, la torre Tt(n) puede ser descompuesta como la unión disjunta de las torres deP(n− 1) que intersecta. De forma más precisa,
Tt(n) =
mt(n)⋃
l=1
El,t(n− 1), (3.8)
donde
El,t(n− 1) =
el⋃
j=el−1−1
T−jBt(n) =
hθtl(n−1)
(n−1)−1⋃
j=0
T−j−elBt(n). (3.9)
Para todo n ≥ 1 y x ∈ X se define sn−1(x) = (sn−1,t(x); 1 ≤ t ≤ C(n− 1)) por
sn−1,t(x) = |{j; rn−1(x) < j ≤ rn(x), Tjx ∈ Bt(n− 1)}|. (3.10)
Para x ∈ X se denota ln(x) al único entero en {1, . . . , mτn(x)(n)} tal que x ∈ Eln(x),τn(x)(n−1).
Se observa entonces que
sn−1,t(x) = |{j; ln(x) < j ≤ mτn(x)(n), θτn(x)j (n− 1) = t}|. (3.11)
En otras palabras, el vector sn−1(x) cuenta, en cada coordenada 1 ≤ t ≤ C(n−1), el númerode veces que la torre Tt(n − 1) es cruzada por un punto x, después de su primer tiempo deretorno al nivel (n− 1) y antes de alcanzar el techo de la torre de nivel n a la cual pertenece.Observemos que sn−1(x) no considera el orden en el cual las torres son visitadas.
Un cálculo directo produce el siguiente lema que será utilizado en el Capítulo 4.
Lema 3.2. Para todo x ∈ X y para todo n ≥ 2 se tiene que
r1(x) = s0(x); rn(x) = rn−1(x) + 〈sn−1(x), H(n− 1)〉; (3.12)
rn(x) =
n−1∑
j=2
〈sj(x), P (j)H(1)〉+ 〈s1(x), H(1)〉+ s0(x). (3.13)
Es un resultado conocido que existen subshifts de substitución, por lo tanto sistemas lineal-mente recurrentes, que son débilmente mezcladores [Que87]. Para la construcción explícita de
19
sistemas dinámicos topológicos topológicamente débil mezcladores pero no débil mezcadoresen medida dados en [CDHM03] fue necesario caracterizar la existencia de valores propios notriviales (i.e. distintos de 1).
La siguiente proposición nos entrega una condición necesaria y suficiente para ser valor propiocontinuo de un sistema minimal de Cantor general.
Proposición 3.3. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor dado por una representaciónde Bratteli-Vershik B = (V,E,�). Sea (M(n);n ≥ 1) la secuencia de matrices de incidenciaasociadas. Sea λ = exp(2πiα) un número complejo de módulo 1. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:
(1) λ es un valor propio continuo del sistema minimal de Cantor (X, T ).
(2) (λrn(x);n ≥ 1) converge uniformemente en x, es decir, la sucesión (αrn(x);n ≥ 1)converge modZ uniformemente en x.
De la proposición anterior se desprende el siguiente corolario que nos da condiciones asintó-ticas sobre las alturas de las torres:
Corolario 3.4. Sea λ = exp(2πiα) un número complejo de módulo 1. Si λ es un valor propiocontinuo de (X, T ), entonces
lımn→∞
λhjn (n) = 1,
uniformemente en (jn;n ∈ N) ∈∏
n∈N
{1, . . . , C(n)}.
A continuación se dará una serie de definiciones para demostrar condiciones necesarias ysuficientes para ser valor propio medible y valor propio continuo, en función de las matricesasociadas a un sistema mimimal de Cantor. Estas definiciones serán utilizadas especialmenteen sistemas linealmente recurrentes.
Para cada número real x, denotamos |||x||| a la distancia de x al número entero más cercano.Para un vector V = (v1, . . . , vm)
T ∈ Rm, denotaremos
‖V ‖ = max1≤j≤m
|vj| y |||V ||| = max1≤j≤m
|||vj |||.
El siguiente lema demostrado en [CDHM03], se utilizará en el Teorema 3.6 para tener unaaproximación de donde buscar los valores propios del sistema.
20
Lema 3.5. Sea u ∈ RC(1) un vector real tal que |||P (n)u||| → 0 cuando n → ∞. Entonces,existe m ≥ 2, un vector de enteros w ∈ ZC(m) y un vector real v ∈ RC(m) con
P (m)u = v + w y ‖P (n,m)v‖ → 0 cuando n→ ∞. (3.14)
Teorema 3.6. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor dado por una representación deBratteli-Vershik B = (V,E,�). Sea λ = exp(2πiα) un valor propio continuo de (X, T ).Entonces, existen m ∈ N, v ∈ RC(m) y w ∈ ZC(m) tales que
αP (m)H(1) = v + w y P (n,m)v −→n→∞
0. (3.15)
Es decir, para estudiar α es necesario entender las variedades estables de P (n,m) en cadam ∈ N y el llamado grupo de dimensión de la secuencia de matrices (M(n);n ∈ N).
3.2. Sistemas Linealmente Recurrentes
Un tipo particular de sistemas minimales de Cantor son los sistemas linealmente recurrentes,que extienden la noción de subshifts de substitución en el sentido de que la secuencia dematrices no negativas asociadas a un sistema minimal de Cantor posee una cantidad finitade estos elementos.
Definición. Un sistema minimal de Cantor (X, T ) se dice linealmente recurrente si existeuna secuencia de particiones CKR asociada (P(n) = {T−jBk(n); 0 ≤ j < hk(n), 1 ≤ k ≤C(n)};n ∈ N) que satisface las hipótesis (KR1)-(KR5) y la condición siguiente:
(LR) Existe L > 0 tal que ∀ 1 ≤ k ≤ C(n + 1) ∀ 1 ≤ k′ ≤ C(n) hk(n+ 1) ≤ Lh′k(n).
Notemos del lema siguiente cuya demostración se encuentra en [CDHM03] que los sistemaslinealmente recurrentes están contenidos en los sistemas minimales de Cantor de rango finitoque se definen en el próximo capítulo.
Lema 3.7. Sea (X, T ) un sistema linealmente recurrente y (P(n);n ∈ N) una secuenciade particiones CKR que satisfacen las propiedades (KR1)-(KR5) y la propiedad (LR) conconstante L. Entonces se tienen las siguientes propiedades:
(1) Para cada n ∈ N, se tiene que C(n) ≤ L.
(2) Para cada n ∈ N, 1 ≤ k ≤ C(n) y 1 ≤ k′
≤ C(n), se tiene que hk(n) ≤ Lhk′ (n).
21
De este lema se deduce además que el conjunto {M(n);n ≥ 1} es finito. De la proposiciónsiguiente se observa que en realidad es una condición necesaria y suficiente para la linealrecurrencia.
Proposición 3.8. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor. El sistema (X, T ) es linealmenterecurrente si y sólo si existe una secuencia de particiones CKR (P(n);n ∈ N) satisfaciendo(KR1)-(KR5), y una constante K tal que para todo n ≥ 1 y para todo (l, k) ∈ {1, . . . , C(n)}×{1, . . . , C(n− 1)}, se tiene que
1 ≤ ml,k(n) ≤ K
donde M(n) = (ml,k(n); 1 ≤ l ≤ C(n), 1 ≤ k ≤ C(n − 1)) para n ≥ 1, es la secuencia dematrices de incidencia.
3.3. Valores Propios de Sistemas Linealmente Recurren-
tes
Una propiedad interesante de los sistemas linealmente recurrentes vista en [CDHM03] vienedada por la siguiente proposición.
Proposición 3.9. Los sistemas linealmente recurrentes no son fuertemente mezcladores.
Observemos de este hecho que la débil mezcla pasa a ser una pregunta relevante, motivandode esta forma el estudio de los valores propios de un sistema linealmente recurrente.
La siguiente proposición nos permite concluir el teorema que nos dará una condición necesariay suficiente para ser valor propio medible de un sistema linealmente recurrente, así como unacondición necesaria y suficiente para ser valor propio continuo del mismo, en función de lasmatrices asociadas al sistema.
Proposición 3.10. Sea λ = exp(2πiα) un número complejo de módulo 1. Las siguientespropiedades son equivalentes:
(1) λ es un valor propio continuo del sistema minimal de Cantor (X, T ).
(2) Existe n0 ∈ N, v ∈ R
C(n0), z ∈ Z
C(n0), tal que αP (n0)H(1) = v + z, P (n, n0)v → 0cuando n→ ∞ y las series
∑
j≥n0+1
〈sj(x), P (j, n0)v〉
convergen para todo x ∈ X.
22
(3)∑
n≥2
|||αP (n)H(1)||| <∞.
En [CDHM03] se demuestra que (3) implica (1). Para las otras equivalencias consultar[BDM05].
Observamos de lo anterior que obtener un valor propio continuo de un sistema minimal deCantor linealmente recurrente, no depende del orden en que las torres son visitadas por laórbita de un punto, sino sólo de las matrices asociadas al sistema.
El siguiente teorema que es revisado en detalle en [BDM05] nos permite asimismo concluirque los valores propios medibles siguen el mismo patrón descrito en el párrafo anterior.
Teorema 3.11. Sea (X, T ) un sistema linealmente recurrente dado por una sucesión crecientede particiones CKR con matrices asociadas (M(n);n ≥ 1), y sea µ su única medida invariante.Sea λ = exp(2πiα). Entonces se tiene que
(1) λ es un valor propio de (X, T ) con respecto a µ si y sólo si
∑
n≥2
|||αP (n)H(1)|||2 <∞. (3.16)
(2) λ es un valor propio continuo de (X, T ) si y sólo si
∑
n≥2
|||αP (n)H(1)||| <∞. (3.17)
En conclusión, del teorema precedente se obtiene que los valores propios medibles y losvalores propios continuos de un sistema minimal de Cantor linealmente recurrente pueden serobtenidos por medio de las matrices que se le asocian al sistema al considerar las particionesde Kakutani-Rohlin, y no dependen del orden en que son visitadas las sub-torres del nivelanterior por la órbita de un punto.
Este último hecho pone en relieve la pregunta de si los valores propios de sistemas minimalesde Cantor son intrínsecamente algebraicos, es decir, sólo dependen de las matrices de inci-dencia de algún diagrama de Bratteli-Vershik asociado. Este trabajo en parte se motiva poresta pregunta.
23
Capítulo 4
Valores Propios de Sistemas de TipoToeplitz de Rango Finito
En el presente capítulo, se entregan resultados generales relacionados con los valores propiosde los sistemas minimales de Cantor. Posteriormente se presentan resultados que se obtienenpara sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitz, en particular de rango finito, así comoejemplos de estos últimos sistemas, dentro de los cuales es posible encontrar valores propiosmedibles que no son continuos.
4.1. Resultados Generales en Sistemas Minimales de
Cantor
Recordemos del Capítulo 2 que un valor propio λ se puede tomar de la forma λ = exp(2πiα),por lo que la convergencia módulo Z será relevante en los cálculos que siguen.
Definición. Se dice que una secuencia de números reales (xn;n ∈ N) converge a cero móduloZ si su distancia a Z tiende a cero.
Comencemos por recordar algunos resultados de [BDM05] (Teorema 4.1, Proposición 3.3,Corolario 3.4), que serán de utilidad para resultados posteriores y que los motivan.
Una condición necesaria para ser valor propio medible de un sistema minimal de Cantor cuyademostración se entrega a continuación, es la que sigue.
Teorema 4.1. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor y sea µ una medida de probabilidadT -invariante. Sea (P(n);n ∈ N) una sucesión de particiones CKR que verifican (KR1)-(KR5).
24
Un número complejo λ = exp(2πiα) es un valor propio de (X, T ) con respecto a µ si y sólosi existen funciones reales ρn : {1, . . . , C(n)} → R, para todo n ∈ N, tales que
α(rn(x) + ρn ◦ τn(x)) converge modZ (4.1)
µ-c.s. cuando n tiende a infinito.
Demostración. Sea λ = exp(2πiα) un número complejo de módulo 1, tal que satisface lacondición (4.1) y sea g la función límite correspondiente a la convergencia. Consideremosx /∈
⋂
n∈N
B(n), luego de (3.4) se tiene que a partir de un cierto N ∈ N, para todo n ≥ N
exp(2πig(Tx))
exp(2πig(x))= lım
n→∞λrn(Tx)−rn(x) = λ−1. (4.2)
Esto implica que λ es un valor propio de (X, T ) con respecto a µ.
Para la recíproca, asumamos que λ es un valor propio de (X, T ) con respecto a µ y seag ∈ L2(X,B(X), µ) una función propia asociada.
Sea (P(n);n ∈ N) la sucesión de particiones CKR que definen el sistema (X, T ) y considere-mos para todo n ∈ N, φn = λ−rn y ψn = g
φn.
La función φn así definida es P(n) medible y acotada, entonces
φnEµ(ψn|P(n)) = Eµ(φnψn|P(n)) = Eµ(g|P(n)) −→n→∞
g (4.3)
µ-casi en todo punto x ∈ X.
Dado que ψn◦T−j
ψn= λrn◦T
−j−rn−j la restricción de ψn a cada torre de nivel n es invariantebajo la acción de T . Se tiene por lo tanto que Eµ(ψn|P(n)) es constante en cada peldaño deestas torres, siendo de esta forma igual al promedio de ψn en cada torre.
Para concluir, basta con definir para 1 ≤ i ≤ C(n) la función ρn(i) de forma tal que
Arg(
λ−ρn(i))
= Arg
(
1
µ(Bi(n))
∫
Bi(n)
ψndµ
)
. (4.4)
Lo que termina la demostración. �
25
4.2. Sistemas Minimales de Cantor de Rango Finito
Los sistemas minimales de Cantor de rango finito son interesantes dado que es una claseque contiene a los sistemas linealmente recurrentes, pero es mucho más grande y natural.Esta última afirmación viene del hecho de que algunos sistemas de este tipo aparecen comola representación simbólica de clases de sistemas dinámicos ampliamente estudiados, comoes el caso de las transformaciones de cambio de intervalos [GJ02] y además, porque losresultados que se han alcanzado en esta clase de sistemas son relativamente pequeños. Unade sus principales (y recientes) propiedades es que estos sistemas o bien son expansivos oequicontinuos [DM06], es decir, corresponden a una clase nueva de subshifts minimales.
Definición. Se dice que un sistema minimal de Cantor (X, T ) es (topológicamente) de rangofinito d ≥ 1 si admite una representación de Bratteli-Vershik tal que el número de vérticespor nivel verifica que C(k) ≤ d para todo k ≥ 1.
Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de rango finito d y sea µ una medida T -ergódica.A través de una contracción del diagrama de Bratteli-Vershik asociado, uno siempre puedesuponer que existe I ⊆ {1, . . . , d} tal que:
(1) Para todo k ∈ I, lım infn→∞
µ{τn = k} > 0.
(2) Para todo k ∈ IC ,∑
n≥1
µ{τn = k} <∞.
Un diagrama de Bratteli-Vershik verificando estas propiedades será llamado limpio.
Consideremos una función propia f : X → C asociada al valor propio λ = exp(2πiα) con|f | = 1 µ-c.s. Para n ≥ 1 definimos
fn = E(f |P(n)) =
d∑
k=1
hk(n)−1∑
j=0
1T−jBk(n)
1
µk(n)
∫
Bk(n)
λ−jfdµ (4.5)
donde se identifica la partición finita con la σ-álgebra que genera.
Utilizaremos la notación siguiente:
Fijamos ck(n), ρk(n) tal que
1
µk(n)
∫
Bk(n)
fdµ = ck(n)λρk(n) (4.6)
26
con ck(n) ≥ 0.
El Lema 4.2 siguiente, probado en [BDM06], nos entrega mayor información sobre el compor-tamiento asintótico de los ck(n). El Teorema 4.3 entrega un nuevo tipo de condición necesariapara ser valor propio medible de un sistema minimal de Cantor de rango finito.
Lema 4.2. Para todo 1 ≤ k ≤ d tal que lım infn→∞
µ{τn = k} > 0 se tiene que
lımn→∞
ck(n) = 1. (4.7)
Definición. Para n ≥ 1 y k, l ∈ {1, . . . , d} se define
Sn(l, k) = {sn(x); x ∈ X, τn(x) = l, τn+1(x) = k}. (4.8)
Teorema 4.3. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de rango finito d y µ una medidade probabilidad T -ergódica. Asumamos que (X, T ) viene dado por una representación deBratteli-Vershik limpia. Si λ = exp(2πiα) es un valor propio de (X, T, µ), entonces paran ≥ 1 existen números reales ρ1(n), . . . , ρd(n) tales que la serie siguiente converge,
∑
n≥1
max(l,k)∈J
1
Mk,l(n + 1)
∑
s∈Sn(l,k)
|1− λ〈s,H(n)〉−ρk(n+1)+ρl(n)|2 (4.9)
donde J = {(l, k) ∈ {1, . . . , d}2; lım infn→∞
µ{τn = l, τn+1 = k} > 0}.
4.3. Sistemas de Tipo Toeplitz de Rango Finito
Definición. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor dado por una representación deBratteli-Vershik B = (V,E,�). Diremos que (X, T ) es un sistema minimal de Cantor detipo Toeplitz o simplemente sistema de tipo Toeplitz, si para todo n ≥ 1 y para vérticesu, v ∈ Vn, el número de arcos terminando en u coincide con el número de arcos terminandoen v.
Denotaremos el número de arcos terminando en un vértice del nivel n por qn y definiremospn = qnqn−1 · · · q1. Diremos de esta forma que (qn;n ≥ 1) es la sucesión característica deldiagrama. Esta definición es motivada por la caracterización de subshifts Toeplitz dada en[GJ00].
Es sabido en la literatura, que cualquier subgrupo de S1 = {exp(2πiα);α ∈ [0, 1[} puedeser el conjunto de los valores propios medibles de un sistema de tipo Toeplitz pero sin lacondición de rango finito [Dow05].
27
El siguiente teorema, demostrado en [BDM06], es un resultado conocido que entrega condi-ciones necesarias y suficientes para ser valor propio continuo en un sistema de tipo Toeplitz,a través de la sucesión característica del sistema en cuestión.
Teorema 4.4. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz dado por unsistema de Bratteli-Vershik con sucesión característica (qn;n ≥ 1). Entonces, exp(2πiα) esun valor propio continuo de (X, T ) si y sólo si α = a
pnpara algún a ∈ Z y n ≥ 1.
Los dos teoremas siguientes vistos en [BDM06] nos entregan características de los sistemasde tipo Toeplitz en el caso linealmente recurrente y en el de rango finito. En el Teorema 4.5se prueba que en los sistemas de tipo Toeplitz linealmente recurrentes los valores propiosmedibles y los valores propios continuos coinciden, mientras que en el Teorema 4.6, vemosque los valores propios medibles de un sistema de tipo Toeplitz de rango finito son racionales.
Teorema 4.5. Sea (X, T ) un sistema linealmente recurrente de tipo Toeplitz y sea µ la únicamedida de probabilidad T -invariante. Sea (qn;n ≥ 1) la sucesión característica del diagramade Bratteli-Vershik asociado. Entonces exp(2πiα) es un valor propio de (X, T, µ) si y sólo siα = a
pmpara algún a ∈ Z y m ∈ N. En particular, todos ellos son valores propios continuos.
Teorema 4.6. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito dy sea µ una medida de probabilidad T -ergódica. Entonces todos los valores propios mediblesde (X, T, µ) son racionales.
Demostración. Realizando una contracción del diagrama de Bratteli-Vershik si fuese necesa-rio, se asume que (X, T ) es representado por un diagrama de Bratteli-Vershik limpio.
Sea (qn;n ≥ 1) la sucesión característica del diagrama y sea λ = exp(2πiα) un valor propiomedible de (X, T, µ).
Del Teorema de martingalas tenemos que fn → f cuando n → ∞ µ-c.s. y dado que eldiagrama de Bratteli-Vershik dado por (X, T ) es limpio, entonces del Lema 4.2 se tiene que:
µ{x ∈ X ; lımn→∞
∣
∣cτn(x)(n)∣
∣ = 1} = 1.
Entonces, por el Teorema de Egoroff, para ρ < 18d2
existe A ∈ B(X) tal que µ(A) > 1 − ρcon fn convergiendo a f y
∣
∣cτn(x)(n)∣
∣ convergiendo a 1 cuando n→ ∞, uniformemente en A.
Sea ε = 18d4
. Entonces para todo n < N suficientemente grande y x ∈ A, se tiene que|fn(x)− fN (x)| ≤ ε y
∣
∣cτn(x)(n)∣
∣ > 2/3.
Usando la fórmula fn = Eµ(f |P(n)), se obtiene que∣
∣
∣
∣
cτN (x)(N)
cτn(x)(n)− (λpn)sn,N (x)
∣
∣
∣
∣
≤ε
∣
∣cτn(x)(n)∣
∣
28
para todo x ∈ A, donde sn,N(x) =N−1∑
i=1
qn+1 · · · qisi(x).
Definiendo Qn,N = qn+1 · · · qN , se tiene que 0 ≤ sn,N < Qn,N .
Asumamos que α es irracional. Para cualquier intervalo L ⊆ S1, por la única ergodicidad dela rotación por λpn, se tiene que
dn,N(L) =1
Qn,N
|{0 ≤ s < Qn,N : λpns ∈ L}| −→N→∞
|L|
uniformemente en L.
Sea L un intervalo en S1 tal que |L| = 14d2
y fijemos N tal que dn,N(L) >|L|2
.
Además, se asume un intervalo L disjunto del conjunto { ci(n)cj(n)
: 1 ≤ i, j ≤ d} y que la distancia
entre L y { ci(n)cj(n)
: 1 ≤ i, j ≤ d} es más grande que 2ε, entonces
µ{x ∈ X ;λpnsn,N (x) ∈ L} =∑
i=1
µi(N)pnQn,Ndn,N(L)
= dn,N(L) >|L|
2> ρ.
Esto implica que µ{x ∈ A;λpnsn,N (x) ∈ L} > 0 y por lo tanto, existe x ∈ A tal que λpnsn,N (x) ∈L, mientras
2ε ≤
∣
∣
∣
∣
cτN (x)(N)
cτn(x)(n)− (λpn)sn,N (x)
∣
∣
∣
∣
≤ε
cτn(x)(n).
Por lo que se tendría que∣
∣cτn(x)∣
∣ ≤ 12, lo cual es una contradicción. De donde se concluye que
α es racional. �
Recordemos que un diagrama de Bratteli-Vershik (V,E,�) tiene un orden local en E, tal quelos arcos e y e′ son comparables, si y sólo si r(e) = r(e′), por lo que se dice que hay un ordenlineal en cada conjunto r−1(v) con v ∈ V \V0.
Sin pérdida de generalidad, supondremos que dicho orden lineal es de la forma 0, 1, . . . y paraun arco e ∈ En denotaremos on(e) = i con i ∈ {0, . . . , |r−1(r(e))|−1} a su orden lineal dentrodel conjunto r−1(r(e)).
29
Un orden clásico donde se espera tener mejores resultados, aunque aún no exista evidenciade teoremas, se define como sigue. Una representación de Bratteli-Vershik de un sistemaminimal de Cantor posee un orden de izquierda a derecha si para n ≥ 1 en el conjunto r−1(u)donde u ∈ Vn se satisface que dados e, f ∈ r−1(u) se tiene que on(e) ≤ on(f) (i.e. e � f) si ysólo si s(e) se encuentra a la izquierda de s(f) en dicha representación.
Sea b ≥ 2 un entero y sea i ∈ {0, . . . , b − 1}. Veamos una proposición que nos da una ideadel comportamiento asintótico en n, de la medida de la función orden on(x) = imod b conb ≥ 2, que será relevante para lo que sigue.
Proposición 4.7. Sea (X, T ) un sistema de tipo Toeplitz de rango finito d ≥ 2 y sea bun entero positivo tal que existe n0 ∈ N, a partir del cual para todo n ≥ n0 se tieneque b < qn. Sea µ una medida de probabilidad T -ergódica. Entonces, para toda sucesión(in ∈ {0, . . . , b− 1};n ∈ N) se satisface que
1
b(b+ 1)≤ µ{on(x) = in mod b} ≤
2b+ 1
b(b+ 1)∀n ≥ n0. (4.10)
Demostración. En nuestro caso estamos suponiendo que para todo m ≥ 1 se tiene queC(m) = d y como el sistema es de tipo Toeplitz, dado m ≥ 1, para todo 1 ≤ k ≤ d se tieneque hk(m) = pm.
Sea n ≥ n0 y notemos que dado 1 ≤ k ≤ d, el conjunto T−lBk(n+1) para todo 0 ≤ l < pn+1
tiene igual medida µk(n+ 1).
Dado que on+1(e) de las aristas e con r(e) = k toma valores en {0, 1, . . . , qn+1 − 1}, entonces
⌊qn+1
b
⌋
≤ |{e ∈ En+1; on+1(e) = i mod b, r(e) = k}| ≤⌊qn+1
b
⌋
+ 1, (4.11)
donde i ∈ {0, . . . , b− 1}.
De lo anterior, tenemos que se satisface
d∑
k=1
µl(n+ 1)pn
(qn+1
b− 1)
≤ µ{on+1(x) = in+1 mod b} ≤d∑
k=1
µl(n+ 1)pn
(qn+1
b+ 1)
.
(4.12)
Recordando que qn+1pn = pn+1 y de la ecuación (3.2), tenemos que
1
b−
1
qn+1
≤ µ{on+1(x) = in+1 mod b} ≤1
b+
1
qn+1
. (4.13)
30
Y como por hipótesis b < qn+1, entonces se tiene que
1
b(b+ 1)≤ µ{on+1(x) = in+1 mod b} ≤
2b+ 1
b(b+ 1). (4.14)
�
Sea ahora (X, T ) un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito d, dado porun sistema de Bratteli-Vershik con sucesión característica (qn;n ≥ 1). Sea (P(n);n ∈ N) unasucesión de particiones CKR que verifican (KR1)-(KR5).
Del Teorema 4.6, para verificar si λ = exp(2πiα) es valor propio medible, consideraremos αracional de la forma α = p
qcon mcd(p, q) = 1.
En el caso medible general, sabemos del Teorema 4.1 que λ = exp(2πiα) es valor propiomedible si y sólo si existen funciones reales ρn : {1, . . . , C(n)} → R tales que
α(rn(x) + ρn ◦ τn(x)) converge modZ (4.15)
µ-c.s. cuando n tiende a infinito, donde rn(x) es la función de retorno al techo B(n). Entoncesse obtiene la siguiente relación:
α(rn+1(x)− rn(x) + ρn+1 ◦ τn+1(x)− ρn ◦ τn(x))n→∞−→modZ
0 µ− c.s. (4.16)
Del Lema 3.2 tenemos que:
rn(x) =
n−1∑
i=1
〈si(x), H(i)〉, (4.17)
donde estamos suponiendo que H(1) = (1, . . . , 1)T , por lo que s0 = 0. Luego
rn+1 − rn(x) = 〈sn(x), H(n)〉. (4.18)
De la ecuación anterior y como en los sistemas de tipo Toeplitz las alturas de las torres deun mismo nivel son constantes H(n) = qnqn−1 · · · q1H(1) = pnH(1), la ecuación (4.16) setraduce en
α(pnsn(x) + ρn+1 ◦ τn+1(x)− ρn ◦ τn(x))n→∞−→modZ
0 µ− c.s. (4.19)
31
donde sn(x) = 〈sn(x), H(1)〉 = qn+1 − on+1(x)− 1.
Luego,
α(pn(qn+1 − on+1(x)− 1) + ρn+1 ◦ τn+1(x)− ρn ◦ τn(x))n→∞−→modZ
0 µ− c.s. (4.20)
Supongamos por el momento que para todo n ∈ N y para todo 1 ≤ j ≤ C(n) se tiene queρn(j) es constante en ambas variables. Entonces se tiene de la ecuación (4.20) que
αpn(qn+1 − on+1(x)− 1)n→∞−→modZ
0 µ− c.s. (4.21)
De esta expresión deduciremos, inspirados en la Proposición 3.3, que los valores propiosmedibles coinciden con los valores propios continuos.
Teorema 4.8. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finitod ≥ 2 y sea µ una medida de probabilidad T -ergódica. Sea λ ∈ C un valor propio medibley las funciones (ρn;n ∈ N) dadas por la Proposición 3.3. Si tenemos que para todo n ∈ Ny para todo 1 ≤ j ≤ C(n) las funciones ρn(j) son constantes, entonces λ es valor propiocontinuo.
Demostración. Sabemos del Teorema 4.6 que un valor propio medible es racional. Sea λ =exp(2πiα) donde α = p
q∈]0, 1[ con mcd(p, q) = 1. Como p
q∈]0, 1[, entonces q ≥ 2.
Supongamos que λ es un valor propio medible no continuo de (X, T, µ), entonces 1q
y mcd(q,pn)q
serán valores propios medibles no continuos del sistema con q ≥ 2.
De lo anterior se puede suponer que p = 1 y que existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 setiene que mcd(q, pn) = 1.
Luego la condición (4.21) resulta
32
pnq(qn+1 − on+1(x)− 1)
n→∞−→modZ
0 (4.22)
33
µ-c.s., donde on+1(x) ∈ {0, 1, . . . , qn+1 − 1}.
De la ecuación anterior tenemos que
pn(qn+1 − on+1(x)− 1)n→∞−→mod q
0 µ-c.s. (4.23)
Luego, existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que
pn(qn+1 − on+1(x)− 1) = 0 mod q µ-c.s. (4.24)
Pero como se puede suponer que mcd(q, pn) = 1, es decir, que q y pn son primos relativos,entonces existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que
qn+1 − on+1(x)− 1 = 0 mod q µ-c.s. (4.25)
Notemos que llamando in+1 = qn+1 − 1mod q al representante de la clase, tenemos que{x ∈ X : qn+1 − on+1(x) − 1 = 0mod q} = {x ∈ X : on+1(x) = in+1 mod q}, pero de laProposición 4.7 deducimos que para todo in+1 ∈ {0, . . . , q − 1} se satisface que
µ{on+1(x) = in+1 mod q} ≤2q + 1
q(q + 1)< 1 ∀q ≥ 2
Lo que contradice la convergencia µ-c.s. �
El teorema anterior muestra que ejemplos de sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitzde rango finito con valores propios medibles no continuos dependen de la elección de lasfunciones (ρn;n ∈ N).
El teorema siguiente, probado en [BDM06], sirve de motivación a nuestro resultado principalde la sección.
Teorema 4.9. Sea (X, T ) un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finitod y µ una medida de probabilidad T -ergódica. Sea (qn;n ≥ 1) la sucesión característica deldiagrama asociado. Si λ = exp(2πi(p/q)) con mcd(p, q) = 1, es un valor propio medible nocontinuo de (X, T, µ), entonces para todo n suficientemente grande, q
mcd(q,pn)≤ d.
Teorema 4.10. Sean d ≥ 2 y 1 < q ≤ d tales que mcd(q, d) = 1. Entonces siemprepodemos encontrar un sistema minimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito d tal queλ = exp(2πiα) con α = 1/q es valor propio medible no continuo del sistema.
34
Demostración. Sea d ≥ 2 y sea 1 < q ≤ d tal que mcd(q, d) = 1. Construiremos un sistemaminimal de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito d tal que λ = exp(2πiα) con α = 1/q seavalor propio medible no continuo del sistema.
Para ello comencemos por considerar una sucesión estrictamente creciente (ln;n ≥ 1) denúmeros enteros con l1 = 0. El sistema de Bratteli-Vershik asociado tendrá como sucesióncaracterística (qn = dln;n ≥ 1).
Del Teorema 4.4 se sabe que exp(2πiα1) es un valor propio continuo de (X, T ) si y sólo siα1 = a
pnpara algún a ∈ Z y n ≥ 1. Como en nuestro caso, la sucesión característica es
qn = dln, entonces pn = dLn con Ln =n∑
i=1
li, luego si α = 1/q fuese valor propio continuo,
existiría a ∈ Z y n ≥ 1 tal que 1q= a
dLn, de donde a = dLn
q. Pero, como el mcd(q, d) = 1 con
q > 1 entonces a /∈ Z, lo cual es una contradicción. Entonces λ no es valor propio continuodel sistema.
Siguiendo con la construcción, definamos para todo n ≥ 1 y para todo 1 ≤ t ≤ d las funcionesρt(n) : {1, . . . , d} → R como
ρt(n) = ρt = t− 1 mod q. (4.26)
Consideremos además las funciones fn : X → R definidas como
fn(x) = λ−l+ρt (4.27)
si x ∈ T−lBt(n) con 1 ≤ t ≤ d y 0 ≤ l < pn.
Dado n ∈ N, para 1 ≤ k, t ≤ d con 0 ≤ j ≤ pn − 1 y 0 ≤ l ≤ pn+1 − 1, consideremosx ∈ T−jBk(n) ∩ T
−lBt(n+ 1). Luego se obtiene que
fn+1(x)
fn(x)= exp[2πiα((ρt − ρk)− (l − j))]. (4.28)
De la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ d) se tiene que
ρt − ρk = t− k mod q (4.29)
35
Tt(n+ 1)
Tk(n)j
l
Figura 4.1: x ∈ T−jBk(n) ∩ T−lBt(n+ 1)
De la ecuación (4.18) observemos que
l − j = pn〈sn(x), H(1)〉 (4.30)
Recordemos de (3.10) que (relativo a la Figura 4.1)
sn,t(x) = |{rn(x) < j ≤ rn+1(x);Tjx ∈ Bt(n)}| (4.31)
Se asume que H(1) = (1, . . . , 1)T por lo que
〈sn(x), H(1)〉 =d∑
t=1
sn,t(x) = |{rn(x) < j ≤ rn+1(x);Tjx ∈ B(n)}| (4.32)
Es decir, que 〈sn(x), H(1)〉 cuenta la cantidad de sub-torres del nivel n que son visitadasdespués de la sub-torre de nivel n a la que pertenece x.
Por lo tanto, la ecuación (4.30) nos indica que l − j no depende de la etapa de la sub-torrede nivel n a que pertenece x, sino sólo de la sub-torre en sí.
Concatenaremos torres del nivel n por cada torre de nivel (n+1), o sea, si fijamos 1 ≤ t ≤ ddaremos la serie de sub-torres del nivel n que componen la torre Tt(n + 1).
Se darán a continuación, una serie de definiciones cuya lógica es:
1.- Hacer crecer la importancia de las sub-torres de nivel n donde sus elementos x sean talesque fn+1(x) = fn(x) por medio de (ln;n ∈ N), de forma que el conjunto donde fn+1 y fndifieren, tienda a un conjunto de medida nula.
36
2.- Para satisfacer la condición (KR1), cada torre del nivel (n + 1) tendrá como primeraconcatenación a la sub-torre 1 de nivel n.
3.- Para satisfacer la condición (KR5), se concatenarán una cantidad acotada de sub-torresde nivel n que tenderán a un conjunto de medida nula.
Se define e = ⌊d/q⌋ y como q ≤ d se tiene que e ≥ 1 y se descompone d de la formad = eq + r con 0 ≤ r < q.
Sea A = {1, . . . , eq, . . . , d}. Para manejar el orden en que aparecen las sub-torres de nivel nen una torre de nivel (n + 1) se define la permutación cíclica σ : Aeq → Aeq tal que dadoa1 . . . aeq ∈ Aeq se tiene que
σ(a1 . . . aeq) = a2a3 . . . aeqa1. (4.33)
Para satisfacer (KR5), dados c, d ∈ A se define la substitución τ(c,d) : A → A tal que
τ(c,d) =
{
x si x ∈ A\{c}d si x = c
Dado u = a1 . . . aeq ∈ Aeq y 0 ≤ s ≤ eq, se define
u|s =
{
ε si s = 0a1 . . . as ∼
(4.34)
Sea n ∈ N y 0 ≤ s ≤ eq − 1 tal que s = dln − 1mod eq.
Para 1 ≤ t ≤ d, se construye la torre t-ésima de nivel (n+1) por concatenación de sub-torresde nivel n de la siguiente forma
t→ 1[σt(wt)]tn−1w∗
t [σt(wt)|s]
donde
w∗t = τ(1,eq+1) ◦ · · · τ(r−1,eq+r−1) ◦ τ(r,d)[σ
t(wt)].
La palabra wt la tomaremos de forma que cada número en el conjunto {1, . . . , eq} aparezcaen una y sólo en una ocasión.
37
Definimos entonces
tn =dln − 1− s
eq(4.35)
y notemos que escogido de esta forma, tn ∈ N.
En la torre t-ésima del nivel (n+ 1) se puede elegir k11 ∈ {1, . . . , q} de forma tal que
t− k11 = (1− t)pn mod q. (4.36)
Inductivamente para v ∈ {1, . . . , q} podemos elegir kuv ∈ {(u−1)q+1, . . . , uq} para 1 ≤ u ≤ ede forma tal que
t− kuv = (v − t)pn mod q. (4.37)
Por hipótesis, el mcd(q, d) = 1 y por lo tanto el mcd(q, pn) = 1, por lo que pn es generadoren (Zq,+) para cada v ∈ {1, . . . , q}. Luego, el conjunto de los (kuv mod q; 1 ≤ v ≤ q) tienecada elemento de {1, . . . , eq} en una ocasión.
Luego definimos wt = k11k12 . . . k
1qk
21k
22 . . . k
2q . . . k
e1k
e2 . . . k
eq que satisface las condiciones que
necesitamos. En efecto:
Caso 1: Sea 1 ≤ t ≤ d y sea x ∈ (Tt(n+ 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n) con 1 ≤ k ≤ eq.
Como 1 ≤ k ≤ eq, tenemos que existe 1 ≤ v ≤ q y 1 ≤ u ≤ e tal que k = kuv .
De la concatenación se tiene que si x ∈ T−jBk(n) ∩ T−lBt(n + 1)
〈sn(x), H(1)〉 = v − t mod q (4.38)
y de la ecuación (4.30) y (4.37) se satisface que
l − j = (v − t)pn = t− k mod q. (4.39)
De la ecuación (4.28) y (4.29) se obtiene que
fn+1(x) = fn(x). (4.40)
38
Notemos que esto se tiene para todo conjunto {x ∈ X ; x ∈ Tk(n)∩Tt(n+1)} con 1 ≤ k ≤ eqy 1 ≤ t ≤ d.
Caso 2: Sea x ∈ Emt(n+1),t(n).
Recordemos que la ecuación (3.9) nos decía que
El,t(n− 1) =
el⋃
j=el−1−1
T−jBt(n) =
hθtl(n−1)
(n−1)−1⋃
j=0
T−j−elBt(n). (4.41)
De lo anterior tenemos que en nuestro caso
µ
(
d⋃
t=1
Emt(n+1),t(n)
)
≤d∑
t=1
pnµt(n+ 1) =1
qn+1
=1
dln+1−→n→∞
0. (4.42)
Caso 3: Sea eq < k ≤ d y 1 ≤ t ≤ d. Consideremos x ∈ (Tt(n+ 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n).
Como µ{τn = k, τn+1 = t} =Mt,k(n + 1)hk(n)µt(n+ 1) se tiene que
µ
(
d⋃
k=eq
d⋃
t=1
µ{τn = k, τn+1 = t}
)
=
d∑
k=eq+1
d∑
t=1
Mt,k(n+ 1)pnµt(n+ 1) (4.43)
= rpn
d∑
t=1
µt(n + 1) =r
qn+1−→n→∞
0. (4.44)
De los casos anteriores tenemos que definiendo An = {x ∈ X ; fn+1 = fn} se tiene que
µ(
lım infn→∞
An
)
≤ lım infn→∞
µ(An) = lım infn→∞
(
1− µ(ACn ))
(4.45)
≤ 1− lım supn→∞
µ(ACn ) = 1. (4.46)
Luego, obtenemos que fn → f µ-c.s. Además f ◦ T = λf µ-c.s., lo que prueba que λ es unvalor propio medible del sistema que no es continuo.
�
39
Notemos de lo anterior que hemos probado que existe una cantidad importante de casos en loscuales es posible encontrar sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito conun valor propio medible no continuo, pero no lo hemos demostrado para todos, en particular,falta demostrar para los casos en que el mcd(q, d) 6= 1. Sin embargo, la construcción indicaque este caso debería ser abordable.
Ejemplos aclaratorios.
A continuación se analizan algunos casos que permiten una mayor comprensión de los sistemasde tipo Toeplitz de rango finito en que existen valores propios medibles que no son continuos.
Sea (ln;n ≥ 1) una sucesión estrictamente creciente de números enteros con l1 = 0. Conside-remos un sistema de tipo Toeplitz de rango finito d dado por un diagrama de Bratteli-Vershikcon sucesión característica (qn = dln;n ≥ 1) y sea λ = exp(2πiα) con α = 1/q.
Se define para todo n ≥ 1 y para todo 1 ≤ t ≤ d las funciones ρt(n) : {1, . . . , d} → R como
ρt(n) = ρt = t− 1 mod q. (4.47)
Consideremos además las funciones fn : X → R definidas como
fn(x) = λ−l+ρt (4.48)
si x ∈ T−lBt(n) con 1 ≤ t ≤ d y 0 ≤ l < pn.
Dado n ∈ N, para 1 ≤ k, t ≤ d con 0 ≤ j ≤ pn − 1 y 0 ≤ l ≤ pn+1 − 1, consideraremos en losejemplos que siguen que x ∈ T−jBk(n) ∩ T
−lBt(n + 1).
Notemos de esta forma que
fn+1(x)
fn(x)= exp[2πiα((ρt − ρk)− (l − j))].
En los ejemplos que se dan a continuación se consideran casos en los cuales, por el Teorema4.4, λ no es valor propio continuo del sistema.
Ejemplo 1.- Caso d = 3 con q = 2.
De la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ 3) que se tiene el siguiente cuadro:
40
ρt − ρk mod 2 k = 1 k = 2t = 1 0 1t = 2 1 0t = 3 0 1
Notemos que e = ⌊3/2⌋ = 1, entonces se tiene que r = 1. Como 3ln = 1mod 2 para todon ∈ N, entonces pn = 1mod 2 y s = 0. De donde, para todo 1 ≤ t ≤ 3 se tiene queσt(wt)|s = ε, la palabra vacía.
Sea n ∈ N y como kuv = t(pn + 1) − vmod q, entonces para t = 1 se tiene que dado queu = {1} y v ∈ {1, 2}, entonces k11 = 1 y k12 = 2. Luego w1 = 12, de donde σ1(w1) = 21.
Procediendo de igual forma w2 = 12 y w3 = 12 y luego σ2(w2) = 12 y σ3(w3) = 21.
De lo anterior, se construye cada torre de nivel (n + 1) por concatenación de sub-torres denivel n de la forma
1 → 1(21)tn−123
2 → 1(12)tn−132
3 → 1(21)tn−123
donde qn = 2tn + 1 ya que la matriz M(n + 1) tiene las entradas
M(n + 1) =
tn tn 1tn tn 1tn tn 1
.
Notemos que la sucesión (tn;n ∈ N) siempre se puede elegir, pues 3 elevado a cualquierpotencia es igual a 1 módulo 2.
Notemos de las concatenaciones que si x /∈3⋃
t=1
Emt(n+1),t(n) se tiene que:
l − j mod 2 τn = 1 τn = 2τn+1 = 1 0 1τn+1 = 2 1 0τn+1 = 3 0 1
41
De donde obtenemos el siguiente cuadro de relaciones entre fn+1 y fn:
τn = 1 τn = 2τn+1 = 1 fn+1 = fn fn+1 = fnτn+1 = 2 fn+1 = fn fn+1 = fnτn+1 = 3 fn+1 = fn fn+1 = fn
Recordemos que la ecuación (3.9) nos decía que
El,t(n− 1) =
el⋃
j=el−1−1
T−jBt(n) =
hθtl(n−1)
(n−1)−1⋃
j=0
T−j−elBt(n). (4.49)
De lo anterior tenemos que en nuestro caso
µ
(
3⋃
t=1
Emt(n+1),t(n)
)
≤3∑
t=1
pnµt(n+ 1). (4.50)
Definiendo An = {x ∈ X ; fn+1 = fn} se tiene que
µ(
lım infn→∞
An
)
≤ lım infn→∞
µ(An) = lım infn→∞
(
1− µ(ACn ))
(4.51)
≤ 1− lım supn→∞
µ(ACn ) = 1, (4.52)
pues como µ{τn = k, τn+1 = t} =Mt,k(n+ 1)hk(n)µt(n + 1), se obtiene que
µ(ACn ) ≤3∑
t=1
Mt,3(n + 1)pnµt(n+ 1) +
3∑
t=1
pnµt(n+ 1) (4.53)
= 2pn
3∑
t=1
µt(n+ 1) =2
qn+1−→n→∞
0, (4.54)
luego obtenemos que fn → f µ-c.s. Además f ◦ T = λf µ-c.s., lo que prueba que λ es unvalor propio medible del sistema que no es continuo.
42
Notemos que este último argumento puede realizarse (de hecho fue realizado en la demostra-ción del Teorema 4.10) para cualquier sistema de los analizados en estos ejemplos, por lo queno será reiterado en lo que sigue.
Ejemplo 2.- Caso d = 4 con q = 3.
De la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ 4) se satisface el cuadro:
ρt − ρk mod 3 τn = 1 τn = 2 τn = 3τn+1 = 1 0 2 1τn+1 = 2 1 0 2τn+1 = 3 2 1 0τn+1 = 4 0 2 1
En este caso e = 1 y s = 0. Como 4ln = 1mod 3, al igual que en el caso anterior pn = 1mod 3.Utilizando nuevamente que kuv = t(pn + 1) − vmod q se obtiene que w1 = k11k
12k
13 = 132,
w2 = 321, w3 = 213 y w4 = 132. Notemos que en este caso, a diferencia del caso anterior laspalabras dependen de la torre a la que están asociadas.
De lo anterior, la construcción de cada torre de nivel (n+ 1) vendrá dada por concatenaciónde sub-torres de nivel n como
1 → 1(321)tn−1324
2 → 1(132)tn−1432
3 → 1(213)tn−1243
4 → 1(321)tn−1324
donde qn = 3tn + 1. Notemos que la sucesión (tn;n ∈ N) siempre se puede elegir, pues 4elevado a cualquier potencia es igual a 1 módulo 3.
Notemos de las concatenaciones que:
l − j mod 3 τn = 1 τn = 2 τn = 3τn+1 = 1 0 2 1τn+1 = 2 1 0 2τn+1 = 3 2 1 0τn+1 = 4 0 2 1
43
Para 1 ≤ t ≤ 4 y x ∈ (Tt(n + 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n) con 1 ≤ k ≤ 3 se tiene que
fn(x) = fn+1(x).
Se concluye de igual forma que en el Ejemplo 1 que λ es valor propio medible no continuo.
Ejemplo 3.- Caso d = 5 con q = 2.
Notemos que de la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ 5) se tiene el siguiente cuadro:
ρt − ρk mod 2 τn = 1 τn = 2 τn = 3 τn = 4τn+1 = 1 0 1 0 1τn+1 = 2 1 0 1 0τn+1 = 3 0 1 0 1τn+1 = 4 1 0 1 0τn+1 = 5 0 1 0 1
En este caso, a diferencia de los anteriores, notemos que e = ⌊5/2⌋ = 2, luego r = 1. Además,tenemos que s = 0 y pn = 1.
Se obtiene entonces que como u ∈ {1, 2} y v ∈ {1, 2}, entonces del hecho que pn = 1mod 2se tiene que wt = k11k
12k
21k
22 = 1234 para todo 1 ≤ t ≤ 5.
Luego, se construye cada torre de nivel n por concatenación de torres del nivel anterior de laforma que sigue.
1 → 1(2341)tn−153412
2 → 1(3412)tn−134153
3 → 1(4123)tn−141534
4 → 1(1234)tn−115341
5 → 1(2341)tn−153412
donde qn = 4tn + 1. Notemos que la sucesión (tn;n ∈ N) siempre se puede elegir, pues 5elevado a cualquier potencia es igual a 1 módulo 2.
Notemos de las concatenaciones que:
44
j − lmod 2 τn = 1 τn = 2 τn = 3 τn = 4τn+1 = 1 0 1 0 1τn+1 = 2 1 0 1 0τn+1 = 3 0 1 0 1τn+1 = 4 1 0 1 0τn+1 = 5 0 1 0 1
Para 1 ≤ t ≤ 5 y x ∈ (Tt(n + 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n) con 1 ≤ k ≤ 4 se tiene que fn(x) =fn+1(x).
Se concluye de igual forma que en el Ejemplo 1 que λ es valor propio medible no continuo.
Ejemplo 4.- Caso d = 5 con q = 3.
Notemos que de la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ 5) se tiene el siguiente cuadro:
ρt − ρk mod 3 τn = 1 τn = 2 τn = 3τn+1 = 1 0 2 1τn+1 = 2 1 0 2τn+1 = 3 2 1 0τn+1 = 4 0 2 1τn+1 = 5 1 0 2
Este caso, será dividido en sub-casos dependiendo de si ln es par o impar y si Ln es par oimpar.
En el caso en que ln y Ln son pares, se tiene que como ln es par, entonces 5ln = 1mod 3, porlo tanto s = 0, y como Ln es par, entonces pn = 1mod 3.
Como u ∈ {1} y v ∈ {1, 2, 3}, entonces se tiene que w1 = 132, w2 = 321, w3 = 213, w4 = 132y w5 = 321.
Para los niveles en que ln y Ln son par se construye cada torre de nivel n+1 por concatenaciónde sub-torres de nivel n de la forma que sigue.
1 → 1(321)tn−1354
2 → 1(132)tn−1435
3 → 1(213)tn−1543
4 → 1(321)tn−1354
5 → 1(132)tn−1435
45
donde qn = 3tn + 1. Notemos que la sucesión (tn;n ∈ N) siempre se puede elegir, pues 5elevado a cualquier potencia par, es igual a 1 módulo 3.
Para los niveles en que ln es par, pero Ln es impar, entonces s = 0 y pn = 2mod 3
Se tiene entonces que wt = 213 para todo 1 ≤ t ≤ 5.
Entonces, para los niveles en que ln es par y Ln es impar se construye cada torre de niveln+ 1 por concatenación de sub-torres de nivel n de la forma que sigue.
1 → 1(132)tn−1435
2 → 1(321)tn−1354
3 → 1(213)tn−1543
4 → 1(132)tn−1435
5 → 1(321)tn−1354
Para los niveles donde ln es impar y Ln es par, lo que cambia es que s = 1, por lo que seconstruye cada torre de nivel n por concatenación de torres del nivel anterior de la forma
1 → 1(321)tn−13543
2 → 1(132)tn−14351
3 → 1(213)tn−15432
4 → 1(321)tn−13543
5 → 1(132)tn−14351
Finalmente, para el caso en que ln es impar y Ln es par, se construye cada torre de nivel npor concatenación de torres del nivel anterior de la forma
1 → 1(132)tn−14351
2 → 1(321)tn−13543
3 → 1(213)tn−15432
4 → 1(132)tn−14351
5 → 1(321)tn−13543
De esta forma obtenemos el siguiente cuadro
46
l − jmod 3 τn = 1 τn = 2 τn = 3τn+1 = 1 0 1 2τn+1 = 2 2 0 1τn+1 = 3 1 2 0τn+1 = 4 0 1 2τn+1 = 5 2 0 1
Para 1 ≤ t ≤ d y x ∈ (Tt(n + 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n) con 1 ≤ k ≤ eq se tiene quefn(x) = fn+1(x).
Al igual forma que en el Ejemplo 1, se tiene que λ es valor propio medible no continuo.
Ejemplo 5.- Caso d = 5 con q = 4.
Notemos que de la definición de las funciones (ρt; 1 ≤ t ≤ 5) se tiene el siguiente cuadro:
ρt − ρk mod 4 τn = 1 τn = 2 τn = 3 τn = 4τn+1 = 1 0 3 2 1τn+1 = 2 1 0 3 2τn+1 = 3 2 1 0 3τn+1 = 4 3 2 1 0τn+1 = 5 0 3 2 1
Se construye cada torre de nivel n por concatenación de torres del nivel anterior de la formasiguiente:
1 → 1(4321)tn−14325
2 → 1(1432)tn−15432
3 → 1(2143)tn−12543
4 → 1(3214)tn−13254
5 → 1(4321)tn−14325
donde qn = 4tn + 1. Notemos que la sucesión (tn;n ∈ N) siempre se puede elegir, pues 5elevado a cualquier potencia es igual a 1 módulo 4.
Notemos de las concatenaciones que:
47
l − jmod 4 τn = 1 τn = 2 τn = 3 τn = 4τn+1 = 1 0 1 2 3τn+1 = 2 3 0 1 2τn+1 = 3 2 3 0 1τn+1 = 4 1 2 3 0τn+1 = 5 0 1 2 3
Para 1 ≤ t ≤ d y x ∈ (Tt(n + 1) ∩ Tk(n))\Emt(n+1),t(n) con 1 ≤ k ≤ eq se tiene quefn(x) = fn+1(x).
Se concluye de igual forma que en el Ejemplo 1 que λ es valor propio medible no continuo.
48
Capítulo 5
Conclusiones y Líneas Futuras deInvestigación
La Proposición 3.3 probada en [BDM05] nos da una idea de cómo atacar el problema deencontrar los valores propios medibles de un sistema minimal de Cantor por medio de lacomprensión del comportamiento de las funciones de retorno al techo de las particiones deKakutani-Rohlin asociadas, pero no entrega una interpretación sobre las funciones reales ρn(t)que aparecen asociadas a la condición necesaria y suficiente para ser valor propio medible.
En este trabajo se demuestra que en el caso de sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitzde rango finito si dichas funciones son constantes en ambas variables, los valores propiosmedibles coinciden con los valores propios continuos.
Además, en el caso de sistemas minimales de Cantor de tipo Toeplitz de rango finito, si seconsidera que dichas funciones son constantes sólo en la variable de nivel n, se dan contra-ejemplos en los cuales existen valores propios medibles del sistema que no son valores propioscontinuos.
Una investigación futura de interés consistiría en seguir caracterizando estas funciones tantoen los sistemas de tipo Toeplitz de rango finito como para determinarlos en casos más gene-rales, para de esta forma obtener condiciones necesarias y suficientes para ser valor propiomedible de un sistema minimal de Cantor en general.
49
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