superficies cuÁdricas

SUPERFICIES CUÁDRICAS

CÁLCULO IV (ING)Prof. Antonio Syers

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Definición

Una Superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

0JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx 222 Donde A,B,C,…;J son constantes, pero usando traslaciones y rotaciones la ecuación se puede llevar a una de las dos formas canónicas siguientes o ,0JCzByAx 222

0CzByAx 22

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Tipos de cuádricas

A) Elipsoides

B) Hiperboloides B.1) Hiperboloide de una hojaB.2) Hiperboloide de dos hoja

C) Conos

D) Paraboloides D.1) Paraboloide elíptico

D.2) Paraboloide hiperbólico

E) Cilindros

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Elipsoide

La superficie cuádrica con la ecuación

12c

2z2b

2y2a

2x

Se denomina Elipsoide, ya que sus trazas son elipsesTrazas:

elipse 12c

2z2b

2y 0x Si

elipse 12c

2z2a

2x 0 ySi

elipse 12b

2y2a

2x 0z Si

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Elipsoide

X

Y

Z

ElipsePlano

paralelo

al YZ

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Hiperboloides

La superficie cuádrica con la ecuación

12c

2z2b

2y2a

2x

Se denomina hiperboloide de una hoja.

Hiperbola 12c

2z2b

2y 0x Si

Hiperbola 12c

2z2a

2x 0 ySi

Elipse 12b

2y2a

2x 0z Si

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Hiperboloides

X

Y

Z

Plano paralelo al XY

Plano paralelo al YZ

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Hiperboloides

La superficie cuádrica con la ecuación

12c

2z2b

2y2a

2x

Se denomina Hiperboloide de dos hoja.

hiperbola 12b

2y2c

2z 0x si

hiperbola 12a

2x2c

2z 0 ysi

gráfica hay no !!imposible! 12b

2y2a

2x 0z si

Trazas:

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Hiperboloides

X

Y

Z

Plano paralelo al XY

Plano paralelo

al YZ

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Hiperboloides

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Paraboloides

La superficie cuádrica con la ecuación

c

z2b

2y2a

2x

Se denominan paraboloides elipticos. Sus trazas son:

parábola c

z2b2y c

z2b

2y 0x Si

parábola c

z2a2x c

z2a

2x 0 ySi

Círculo ba si y,Elipse c

k2b

2y2a

2x K z Si

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

X

Y

Z

Paraboloides

Plano paralelo al XZ

Plano paralelo al XY

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

ParaboloidesLa superficie cuádrica que tiene por ecuación

c

z2b

2y2a

2x

Se denomina paraboloide hiperbólico

parábolas c

z2b

2y 0x si

parábolas c

z2a

2x 0 ysi

!rectas! Dos yba

x 02b

2y2a

2x 0z si

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

X

Y

Z

ParaboloidesPlano paralelo al XZ

Plano paralelo

al YZ

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

ConosLa superficie cuádrica que tiene por ecuación

2c

2z2b

2y2a

2x

Se denomina Cono

rectas Dos zca

x 2c

2z2a

2x 0 ySi

rectas Dos zcb

y 2c

2z2b

2y 0x Si

b?a si ¿Y Elipse, 2c

2k2b

2y2a

2xK z si

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Cono

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

X

Y

Z

Conos

Plano paralelo al XY

Plano YZ

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

CilindrosCuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:

222 ayx

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

a

x

Y

En el plano: En el Espacio:

x

y

z

Cilindros

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

x

z

a

x

y

z222 azx

Cilindros

Cálculo IV (ING) PROF. ANTONIO SYERS

Cuadro ResumenSuperficie Ecuación Diferencia Observación

ElipsoideHiperboloide

2 hojasHiperboloid

e 1 hoja

ParaboloideParaboloid

e hiperbólico

Cono

Cilindros

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

cz

b

y

a

x2

2

2

2

cz

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x