unidad n°6: geometrÍa en el espacio y cuÁdricas

UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 1

MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO

UNIDAD N°6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS

6.1- NOCIONES DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Una manera de describir la posición de un punto P en el plano,

consiste en asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales (o perpendiculares), llamados ejes x e y.

Si P es el punto de intersección de la recta x = a (perpendicular al eje x) y la recta y = b (perpendicular al eje y), entonces se dice que los elementos de la pareja ordenada (a; b) son las coordenadas cartesianas rectangulares del punto.

En el espacio de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama origen (O). Estos ejes se denominan mediante la regla de la mano derecha: “Si los dedos extendidos de la mano derecha señalan en la dirección positiva del eje x, y luego se encorvan apuntando hacia el eje y (positivo), entonces el pulgar apuntará en la dirección de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x e y. Este nuevo eje se designa como el eje z. Las líneas punteadas de la figura representan los ejes negativos.

Ahora bien, si: 𝑥 = 𝑎; 𝑦 = 𝑏; 𝑧 = 𝑐 Son tres planos perpendiculares al eje x; eje y y eje z respectivamente; el punto P en el cual se

cortan dichos planos se puede representar por una tríada ordenada de números (a; b; c) llamados coordenadas cartesianas rectangulares del punto. Los puntos a; b y c se denominan coordenadas x; y; z de P(a; b; c) respectivamente.

Cada pareja (o par) de ejes coordenados determina un plano coordenado. Los ejes x e y determinan el plano xy, los ejes x y z determinan el plano xz y así sucesivamente. Los planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante. No existe ningún acuerdo para denominar a los otros siete octantes.

La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto que se encuentre en un eje coordenado o en un plano coordenado. Es también posible describir, por ejemplo, el plano xy mediante la simple ecuación z = 0, como se ve en la tabla. De manera semejante, el plano xz es y = 0, y el plano yz es x = 0.

Regla de la mano derecha

Ejes Coordenadas Plano Coordenadas

x y z

(a; 0; 0) (0; b; 0) (0; 0; c)

xy xz yz

(a; b; 0) (a; 0; c) (0; b; c)



Los ángulos ; ; son los ángulos de la dirección 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , y sus cósenos se llaman directores de

𝑂𝑃̅̅ ̅̅ .

Distancia entre dos puntos: P1(x1; y1; z1) ; P2(x2; y2; z2)

𝒅 = √(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝟐

Ecuación del Plano: Toda ecuación lineal en (x; y; z) representa un plano. Su ecuación general es:

Ax + By + Cz + D = 0 A, B y C Coeficientes directores del plano. No nulos simultáneamente

El plano queda identificado por su recta normal “n” que tiene coeficientes A, B y C

La ecuación de la familia de planos que pasa por un punto P0(x0; y0; z0) es:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Dos planos Paralelos:

Dos planos Perpendiculares:

Sí: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 - n1 (A1; B1; C1)

- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 - n2 (A2; B2; C2)

Sí: A1 = B1 = C1 =K A2 B2 C2

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 - n1 (A1; B1; C1)

- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

- n2 (A2; B2; C2)

z

Q

S y x

z

0 M y

N

x

P(x; y; z)

2

n2 n1

1

1

2

n2 n1



La Recta en el Espacio: Viene definida por la intersección de dos planos:

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1; y1; z1) y P2(x2; y2; z2):

x - x1 = y - y1 = z - z1 X2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

(u; v y w son coeficientes directores de la recta que son números cualesquiera

proporcionales a los cósenos directores de la recta) u = x2 - x1 ; v = y2 - y1 ; w = z2 - z1

Dos rectas son Paralelas:

Sí: u1 = v1 = w1 = K u2 v2 w2

Dos rectas son Perpendiculares:

Sí: u1.u2 + v1.v2 + w1.w2 = 0

a) Si la recta es Perpendicular al eje x: y - y1 = z - z1

. v w x = x1

b) Si la recta es Perpendicular al eje y: x - x1 = z - z1

. u w y = y1

c) Si la recta es Perpendicular al eje z: x - x1 = y - y1

. u v z = z1

d) Si la recta es Perpendicular a los dos ejes: x = x1 y = y1

r a los ejes x e y

y = y1 z = z1

r a los ejes y y z

x = x1 z = z1

r a los ejes x y z

Recta Perpendicular a un plano: Sean (u; v; w) las componentes o coeficientes directores de una recta; para que ésta sea

perpendicular al plano de ecuación:

Ax + By + Cz + D = 0

Se ha de verificar que dichas componentes sean proporcionales a los coeficientes de (x; y; z) de la ecuación del plano que son A; B y C.

Es decir:

1 2

Recta en el E3



u = v = w .=K A B C

Recta Paralela a un plano: La condición es:

u . A + v . B + w . C = 0

Puesto que la recta paralela (//) al plano es perpendicular a la normal del plano.

6.2- SUPERFICIES CUADRICAS Generación de las mismas Está definida por una ecuación de segundo grado en 3 (tres) variables. Una sección plana (corte)

de una cuádrica es una cónica o una forma degenerada o límite de ésta. Ecuación general

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Rotación Translación

Por Rotación o Translación de ejes, o bien por ambas transformaciones (cálculo bastante

complejo que trata el “Álgebra Lineal” y que en la actualidad está en programas de computación) se analizan las diversas superficies Cuádricas surgidas de la combinación de 3; 2 o 1 término cuadrático.

La ecuación general puede tomar una de las siguientes formas:

I - Ax2 + By2 + Cz2 = D Cuádricas con centro

II - Ax2 + By2 = Iz Cuádricas sin centro

n (A; B; C) r (u; v; w)

n (A; B; C) r (u; v; w)



Si ninguna de las constantes de las ecuaciones I ó II es nula, las ecuaciones se pueden escribir de estas dos maneras:

De la I De la II

SUPERFICIES CUADRICAS

ESFERA 2222 rzyx

ELIPSOIDE

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

HIPERBOLOIDE DE 1 HOJA

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

PARABOLOIDE

czb

y

a

x2

2

2

2

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

czb

y

a

x2

2

2

2

CONO RECTO

0c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

CILINDRO

cyx 22

Traza de una superficie: Una traza de una superficie es una línea (curva o recta) formada por la intersección de una superficie y un plano coordenado, y proporciona a la gráfica características particulares.

x2 y2 z2 = 1 a2 b2 c2

Dependiendo de los signos que tome la ecuación, puede representar 3 superficies esencialmente distintas y simétricas con respecto al origen.

x2 + y2 + z2 = 1 a2 b2 c2 x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2 x2 - y2 - z2 = 1

a2 b2 c2

x2 y2 = z . a2 b2 c

Las dos superficies esencialmente distintas que puede representar, son:

x2 + y2 = z . a2 b2 c

x2 - y2 = z .

a2 b2 c



Análisis de las Superficies cuádricas Las Cuádricas se clasifican según sus formas, ecuaciones y propiedades: ELIPSOIDE

La forma canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es: 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Un ejemplo real

Trazas sobre los planos coordenados

Cortadas por el plano

coordenado Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) x2 + y2 = 1 Elipse

a2 b2

xz (y = 0) x2 + z2 = 1 Elipse

a2 c2

yz (x = 0) y2 + z2 = 1 Elipse

b2 c2 La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica característica.

x2 + y2 + z2 = 1

a2 b2 c2



Secciones con planos paralelos a los coordenados Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse

(en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación que se da arriba):

Sobre el plano xy: z=k

kz

c

k1

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

si ck1c

0c

12

2k

2

2k

Elipses reales en planos paralelos al xy

si ck1c

0c

12

2k

2

2k

Elipses Puntuales

si ck1c

0c

12

2k

2

2k

Elipses Imaginarias

Sobre el plano xz: y = k

ky

b

k1

c

z

a

x2

2

2

2

2

2

si bk1b

0b

12

2k

2

2k

Elipses en planos paralelos al xz

Para 0<k<c Para k=0



Si bk1b

0b

12

2k

2

2k

Elipses puntuales (cuando el plano es tangente al elipsoide)

Si bk1b

0b

12

2k

2

2k

Elipses Imaginarias (no existe intersección real).

Sobre el plano yz: x=k

kx

a

k1

c

z

b

y2

2

2

2

2

2

Si ak1a

0a

12

2k

2

2k

Elipses reales en planos paralelos al yz

x= k=0



Si ak1a

0a

12

2k

2

2k

Elipses puntuales

Si ak1a

0a

12

2k

2

2k

Elipses Imaginarias

.

En particular si en la ecuación del elipsoide se tiene a=b=c queda 2222 rzyx , que es la ecuación de una esfera de radio r y centro en el origen de

coordenadas. ESFERA Definición: Una esfera es el conjunto de todos los puntos P del espacio tridimensional que

equidistan de un punto fijo llamado centro (c). El radio (r) de la esfera denota una distancia fija al centro de la misma.

En el caso de que el centro (c) de la esfera fuera un punto P(x0; y0; z0) en lugar del origen. Su ecuación será:

(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = a2 Esta ecuación representa una esfera

con centro en P(x0; y0; z0) y radio a.

Traza de la superficie



xy (z = 0) x2 + y2 = a2 Circunferencia

xz (y = 0) x2 + z2 = a2 Circunferencia

yz (x = 0) y2 + z2 = a2 Circunferencia

La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica característica.

Si el centro del elipsoide es el punto P(x0; y0; z0) y sus ejes son paralelos (//) a los coordenados, la ecuación es:

Si a b, pero a = c, el elipsoide es de revolución.



(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = 1 a2 b2 c2

Es un Elipsoide con centro en P(x0; y0; z0).

HIPERBOLOIDES DE UNA Y DOS HOJAS HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA La gráfica de una ecuación de la forma:

x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2

a 0; b 0; c 0 Es un Hiperboloide de una hoja con centro en el origen.

La cuádrica que obtenemos es el Hiperboloide de una hoja en el caso de que el signo de uno

de lo coeficientes tengan signo negativo y las otras dos con signo positivo. Si a = b, la superficie cuádrica es el Hiperboloide de revolución de una hoja. Las secciones paralelas al plano xy son Elipses, excepto en el caso del Hiperboloide de

revolución en el que son circunferencias. Un ejemplo real



Traza de la superficie En este caso, analizaremos la primera de las ecuaciones. Con un plano z = x0, paralelo (//) al

plano xy, corta la superficie en secciones transversales elípticas (ó circulares, si a = b). La elipse más pequeña, z0 = 0, corresponde a la traza en el plano xy.



xy (z = 0) x2 + y2 = 1 Elipse

a2 b2

xz (y = 0) x2 - z2 = 1 Hipérbola

a2 c2

yz (x = 0) y2 - z2 = 1 Hipérbola

b2 c2 En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación: Un método para graficar el Hiperboloide de una hoja aproximadamente es determinar el eje

principal de desarrollo, que vendrá dado por el término negativo (-) de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados Los cortes del Hiperboloide de una hoja por planos paralelos a los coordenados son curvas

cónicas (hipérbolas y elipses). Se supone que el Hiperboloide de una hoja está centrado en el origen

de coordenadas y tiene la ecuación: 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Sobre el plano xy: z=k

kz

c

k1

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Siempre 0c

12

2k

Elipses reales en planos paralelos al xy. La elipse de menores semiejes

será para z=0.



Corte con plano z=k=0 . Se obtiene la elipse de garganta

.

Cortes por planos z =k para k>0

Cortes sobre el plano yz: x =k

kx

a

k1

c

z

b

y2

2

2

2

2

2

Dividiendo ambos términos en 2

2

a

k1 ,obteniendo la ecuación de una

hipérbola:

kx

1

)a

k1(c

z

)a

k1(b

y

2

22

2

2

22

2

Esta hipérbola tendrá eje real y si 2

2

a

k1 >0, es decir si ak .

La hipérbola tendrá eje real z si 2

2

a

k1 <0, es decir si ak



Se tendrá asíntotas si 2

2

a

k1 =0, esto sucederá cuando ak

Para k <a, en este caso

k=0 Para k >a

Cortes por planos zx: y =k

La línea obtenida es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Su ecuación es de la forma:

−𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐−

𝒛𝟐

𝒄𝟐= 𝟏

La orientación dependerá de que variable presenta signos positivos

Recuerde que no existen las hipérbolas ni imaginarias ni puntuales, es decir son todas reales.



Traza de la superficie Las secciones paralelas a los planos xy e yz son Hipérbolas. Las secciones paralelas al plano xz son Elipses; excepto en el caso del Hiperboloide de dos

hojas de revolución en el que son Circunferencias.



xy (z = 0) - x2 + y2 = 1 Hipérbola

a2 b2

xz (y = 0) Ninguna

xz (y 0) x2 + z2 = 1 Familia de Elipses

a2 c2

yz (x = 0) y2 - z2 = 1 Hipérbola

b2 c2 En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:

- x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2

Hiperboloide de dos hojas



Un método para graficar un Hiperboloide de dos hojas aproximadamente es determinar el eje

principal de desarrollo, que vendrá dado por el término (+) de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados

Los cortes de un hiperboloide de ecuación: 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

por planos paralelos a los

coordenados son curvas cónicas, como se demuestra a continuación

Cortes por planos z =k

El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones

kz

c

k1

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

esta intersección da una hipérbola con eje real x en un plano xy, esta

hipérbola será 1

)c

k1(b

y

)c

k1(a

x

2

22

2

2

22

2

(hipérbola con eje real en x)



Corte por planos y = k El resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z

Cortes por planos yz: x =k

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1 y se dejan las variables a la izquierda y las constantes a la derecha se tiene la siguiente ecuación:

kx

1a

k

c

z

b

y2

2

2

2

2

2

Ecuación que representa una elipse

Si |k| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse real.

Si |k| = a, entonces la curva intersección será una elipse puntual (el plano es tangente a la superficie).

Si |k| < a, entonces la intersección será una elipse imaginaria ( no hay intersección e real entre la superficie y el plano).

X=|k| > a X=|k| > a

ky

b

k1

c

z

a

x2

2

2

2

2

2

esta

intersección da una hipérbola con eje real x en un plano xz, esta

hipérbola será

1

)b

k1(c

z

)b

k1(a

x

2

22

2

2

22

2



( x=k= 0 )

PARABOLOIDES

PARABOLOIDE ELIPTICO

Su ecuación es de la forma : czb

y

a

x2

2

2

2

La orientación del Paraboloide elíptico

dependerá de la variable que aparece lineal.




Tomando la ecuación

Las secciones obtenidas por los planos z = k son Elipses, cuyas dimensiones van

aumentando a medida que el plano se aleja del plano xy. Las secciones correspondientes a los planos paralelos a los coordenados xz o yz son

Parábolas.

Si c 0 la cuádrica está, toda ella, por encima del plano xy.

Si c 0 está toda ella por debajo de dicho plano xy.

Cortadas por el plano coordenado

Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) (0; 0) Punto (Elipse puntual)

Si z 0

x2 + y2 = cz sí a b Familia de Elipses a2 b2

x2 + y2 = cz sí a = b Familia de Circunferencias a2 b2

xz (y = 0) x2 = cz Parábola

a2

yz (x = 0) y2 = cz Parábola

b2

En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:



Secciones con planos paralelos a los coordenados

Tomando la ecuación se obtiene:

Cortes por planos z = k

kz

ckb

y

a

x2

2

2

2

si k > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes proporcionales a a y

b con ecuación 1ckb

y

cka

x2

2

2

2

si k = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.

si k < 0, entonces no existe intersección.



(k < 0)

Cortes por planos x = k

kx

a

kcz

b

y2

2

2

2

La intersección de la superficie con el plano x=k dará siempre una parábola de

ecuación )a.c

kz(cby

2

222

(corte por plano x =k >0 )

( k> 0 )



Cortes por planos y = k

ky

b

kcz

a

x2

2

2

2

La intersección de la superficie con el plano y=k dará siempre una

parábola de ecuación )b.c

kz(cax

2

222

y = k = 0

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

Esta superficie responde a una ecuación del tipo:

czb

y

a

x2

2

2

2



czb

y

a

x2

2

2

2

axb

y

c

z2

2

2

2


Las secciones por los planos z = k (donde k 0) son Hipérbolas cuyos ejes real e imaginario son paralelos respectivamente a los ejes coordenados x e y; y cuyas dimensiones aumentan a medida que lo hace k.

Si k 0, los ejes reales e imaginarios son paralelos a los xy respectivamente. Si k = 0, la sección degenerada es el par de rectas: x2 - y2 = 0 (5to Factoreo) a2 b2 Las secciones correspondientes a los planos y = k son Parábolas abiertas hacia abajo. Las secciones correspondientes a x = k son Parábolas abiertas hacia arriba.



Si z 0 Hipérbolas cuyos ejes transversales son // al eje y.

xy (z = 0) y = a x Rectas b

Si z 0 Hipérbolas cuyos ejes transversales son // al eje x.

xz (y = 0) - x2 = cz Parábola b2

yz (x = 0) y2 = cz Parábola a2




Un método para graficar el Paraboloide Hiperbólico aproximadamente es determinar el eje

principal de desarrollo, que vendrá dado por el término positivo de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados

Cortes por planos z =k

kz

ckb

y

a

x2

2

2

2

si k= 0, entonces la curva intersección es un par de rectas (asíntotas), que se cortan en el origen de coordenadas

si k>o la hipérbola tendrá eje real paralelo al eje y, como se muestra en las dos primeras figuras,

si k<0 entonces la hipérbola tiene eje real paralelo al eje x como se muestra en las dos figuras correspondiente.



(k > 0)

(k < 0)

(k = 0)



Cortes por planos y = k

La curva intersección son parábolas:

ky

b

kcz

a

x2

2

2

2

ky

)cb

kz(cax

2

222

Es la ecuación de una parábola trasladada

y=k=0 y=k<0

Cortes por planos x = k

La curva intersección son parábolas:

kx

a

kcz

b

y2

2

2

2

Es la ecuación de una parábola trasladada

kx

)ca

kz(cby

2

222

X=k=0 x=k>0



CONOS Y CILINDROS

CONO RECTO

La gráfica de una ecuación de la forma:

x2 + y2 = z2 . a2 b2 c2

a 0; b 0; c 0 Es un Cono Recto Elíptico (ó Circular si a = b)

Esta superficie se puede considerar generada por la rotación de la recta y = kx alrededor del eje

z.

x2 + y2 – c2z2 = 0 Es como la I - Ax2 + By2 + Cz2 = D pero en ésta A

= B; y Cz2 es negativo y D = 0

Traza de una superficie Las secciones horizontales producidas por los planos paralelos al plano coordenado xy son

Elipses, excepto cuando a = b que son Circunferencias. Las secciones correspondientes a planos paralelos (//) al yz o al xz son Hipérbolas.



xy (z = 0) (0; 0) Punto

xz (y = 0) z = c x Rectas a

Si y ó 0 Hipérbolas cuyo eje real es // al eje z.

yz (x = 0) z = c x Rectas b

Si x ó 0 Hipérbolas cuyo eje real es // al eje z.




SUPERFICIES CILINDRICAS

En el espacio bidimensional la gráfica de x2 + y2 = 1 es una circunferencia con centro en el origen. Sin embargo, en el espacio de tres dimensiones es posible interpretar la gráfica del conjunto como una superficie, que es el cilindro circular recto, o también llamada cilindro Está generada por una recta que se desplaza paralelamente a otra fija y que se apoya constantemente en forma perpendicular a una curva también fija. La recta móvil es la generatriz. La curva fija es la directriz de la superficie en cuestión. Una superficie cilíndrica cuya generatriz es paralela (//) a uno de los ejes coordenados y cuya directriz es una curva en el plano coordenado que es perpendicular a la generatriz, tiene la misma ecuación que la directriz.

En general una ecuación que contenga dos variables, si representa una curva en el plano de dichas variables, será la ecuación de una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable faltante.

Cilindros elípticos:

Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje z.

1b

y

a

x2

2

2

2

Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje y.

1c

z

a

x2

2

2

2

Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje x.

1b

y

c

z2

2

2

2

Cilindros Parabólicos:

Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje x.

czy2

Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje y.

czx 2

Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje z.

byx2



Cilindros Hiperbólicos

Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje z.

1b

y

a

x2

2

2

2

Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje y.

1c

z

a

x2

2

2

2

Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje x.

1c

z

b

y2

2

2

2

Se analizara un cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje x. En el caso de un cilindro elíptico o circular, si la directriz es paralela al eje z las correspondientes ecuaciones son:

a b Elipse x2 + y2 = 1 a2 b2

La ecuación del Cilindro

es

x2 + y2 = 1 a2 b2

a=b=r Circunferencia x2 + y2 = r2 La ecuación del Cilindro

circular es x2 + y2 = r2

Traza de una superficie Cortados por el plano coordenado Las trazas obtenidas:

Plano xy: z = 0 Elipse de ecuación 1

b

y

a

x2

2

2

2

Plano yz: x = 0 Par de rectas paralelas y = b

Plano xz: y = 0 Par de rectas paralelas: x = a

x e y están relacionadas por:

x2 + y2 = r2 z es arbitraria.

Cilindro Circular



SUPERFICIES REGLADAS

Las superficies cuádricas se pueden clasificar también en superficies regladas o no regladas.

Pueden ser simplemente regladas o doblemente regladas.

Una superficie cuadrica se dice simplemente reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta íntegramente contenida en ella. Ejemplo: cilindros y cono.

Una superficie se dice que es doblemente reglada si por cada uno de sus puntos pasan dos rectas íntegramente contenidas en la superficie. Por ejemplo, Paraboloide hiperbólico e Hiperboloide de una hoja.

EJERCITACIÓN

1.RECTAS EN EL ESPACIO

1.1:

Dada los puntos:

2;1;0

3;2;1

2

1

P

P

a) Encontrar la ecuación de la recta:

EC. GRAL DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

W

12

1

V

12

1

U

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

32

3

21

2

1

1

zyx

1

3z

1

2y

1

1x

1w1v1u 111

b) Encontrar la ecuación de una recta paralela que pase por: 1;2;3P

Condición de paralelismo entre rectas

2

1

2

1

2

1

w

w

v

v

u

u

2

1z

2

2y

2

3x



c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por: 3;5;1P

Condición de perpendicularidad entre rectas

0wwvvuu 212121

En esta ecuación hay tres incógnitas, dando valores, por ejemplo, a 22 vyu , se puede calcular

2w .

Adoptando 1v1u 22 ; ?w 2

0wwvvuu 212121 0w.11.11.1 2

0.111 2 w

0w.12 2

2w 2

2

3z

1

5y

1

1x

1.2:

Dada la recta que pasa por los puntos: 1;4;0P1;2;3P 21

a) Encontrar la ecuación de la recta. Graficar

b) Encontrar la recta paralela que pase por: 4;5;3P . Graficar

c) Encontrar la recta perpendicular que pase por: 5;4;2P . Graficar

PLANOS EN EL ESPACIO

1.3:

Dada la siguiente ecuación: 012z3y4x6

Obtener:

a) Gráfica aproximada.

ECUACIÓN GRAL. DEL PLANO

0DCzByAx

3y4

12y

2x6

12x

4z3

12z

x y z

0 0 4 P1

2 0 0 P2

0 3 0 P3

P2

P1

P3

x

y

z

o



b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: 3;1;2P1

ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR UN PUNTO 1111 z;y;xP 0zzCyyBxxA 111111

Condición de paralelismo entre planos

111 C

C

B

B

A

A

0zz3yy4xx6 111 03z31y42x6

c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: 1;2;3P2

ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR UN PUNTO 2222 z;y;xP

0zzCyyBxxA 222222

Condición de Perpendicularidad entre planos

0CCBBAA 222

En esta ecuación hay 3 incógnitas, dando valores, por ejemplo a 22 ByA , se puede calcular 2C .

Adoptando 1B;1A 22

6 . 1 + 4 . 1 + 3 . 2C = 0

6 + 4 + 3 . 2C = 0

2C =3

10

01z3

102y3x

1.4:

Dada la ecuación del plano: 010z5y2x

a) Graficar aproximadamente

b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: 1;4;2P

c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: 1;2;3P

1.5:

Dado el plano 01z4

1y2x

3

1

a) Graficar aproximadamente

b) Encontrar la ecuación de una recta paralela al plano dado que pase por el punto 4;2;1P

c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular al plano dado que pase por el origen de

coordenadas



1.6:

Dado la recta en el espacio 2

5z

3

1y

4

2x

a) Encontrar la ecuación de un plano paralelo a la recta dada que pase por el punto 0;4;2P

b) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto 3;4;1P

1.7:

Encuentre las ecuaciones pedidas en los siguientes ítems.

a) Plano xy.

b) Plano xz.

c) Plano yz.

d) Planos paralelos al plano coordenado xy.

e) Planos paralelos al plano coordenado xz.

f) Planos paralelos al plano coordenado yz.

g) Planos paralelos a los planos coordenados que pasen por el punto 4;3;2P

h) Plano que contenga al eje x.

i) Plano que contenga al eje y.

j) Plano que contenga al eje z.

k) Plano paralelo al eje x, y, z.

CUÁDRICAS

2.1: Analice las siguientes superficies cuádricas. Identifique las líneas resultantes de la intersección de la superficie con los planos paralelos a los coordenados y trace una gráfica aproximada de la superficie.

a) Esfera

9zyx222

Se realiza la intersección de la superficie con planos paralelos a los coordenados, analizando las líneas resultantes podemos conocer con mayor aproximación la superficie.

Intersección con planos paralelos al plano xy.

Un plano con estas características tiene una ecuación del tipo, z=k, siendo k la coordenada donde el

plano corta al eje z.

kz

9zyx222

Este sistema de ecuaciones se resuelve de las formas conocidas, en este caso lo resolvemos por

sustitución, reemplazamos z=k de la segunda ecuación en la primera, se obtiene:

9kyx 222 .

Como k es un número real para un plano determinado, conviene agrupar las partes numéricas en el

segundo miembro: 222 k9yx



Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 9–k2, se obtendrán circunferencias

reales, puntuales o imaginarias.

Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias reales

Esto ocurre para todo 3k (-3<k<3)

Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias puntuales

Esto ocurre para 3k 3k

Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias imaginarias (no hay intersección con la superficie

cuádrica)

Esto ocurre para todo 3k ( 3ko3k )

Intersección con planos paralelos al plano xz.

Este tendrá una ecuación del tipo y=k. Trabajando de manera similar a la intersección anterior, se

obtiene:

ky

9zyx222

9zkx 222

222 k9zx

Dependiendo del valor que tome k, será el tipo de circunferencia que se obtenga

si :

imaginarianciaCircunfere3k3

puntualnciaCircunfere3k

realnciaCircunfere3k3

Intersección con planos paralelos al plano yz.

Este tendrá una ecuación del tipo x=k Se trabaja en forma similar al primero.

kx

9zyx222

9zyk 222

222 k9zy

Se obtiene una circunferencia en el plano yz; el tipo de circunferencia variará según que valores tome

k



si :

imaginarianciaCircunfere3k3

puntualnciaCircunfere3k

realnciaCircunfere3k3

La cuádrica analizada se denomina esfera

b) Paraboloide

z44

y

9

x22

Intersección con planos paralelos al plano xy z=k, siendo k la coordenada donde el plano corta al

eje z.

kz

z44

y

9

x22

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

k44

y

9

x 22

Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 4k, se obtendrán elipses reales,

puntuales o imaginarias.

Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses reales

Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses puntuales

Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses imaginarias (no hay intersección con la superficie

cuadrica)

Intersección con planos paralelos al plano xz. Este tendrá una ecuación del tipo y=k

ky

z44

y

9

x22



z44

k

9

x 22

4

kz4

9

x 22

16

kz36x

22

Esta última ecuación representan parábolas en el plano xz que abrazan al eje z positivo para todo valor

de k.

Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está

trasladado en 16

kz

2

0

Intersección con planos paralelos al plano yz. Este tendrá una ecuación del tipo x=k

kx

z44

y

9

x22

z44

y

9

k 22

9

kz4

4

y 22

36

kz16y

22

Esta última ecuación representan parábolas en el plano yz que abrazan al eje z positivo para todo valor

de k.


trasladado en 36

kz

2

0

Al revisar los cortes vemos que al cortar con x=k se obtiene parábola, con y=k también se tiene

parábola, y con z=k se tiene una elipse; Estas líneas son las que generan el nombre de la superficie:

Paraboloide elíptico o simplemente Paraboloide



c) Paraboloide hiperbólico

zyx

49

22

Intersección con planos paralelos al plano xy. Un plano con estas características tiene una ecuación

del tipo , z=k,

kz

z4

y

9

x22

k4

y

9

x 22

Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir k, se obtendrán hipérbolas o rectas

Si 0k , se obtienen hipérbolas que abrazan al aje x

Si 0k , se obtienen dos rectas (asíntotas)

Si 0k , se obtienen hipérbolas que abrazan al eje y

Intersección con planos paralelos al plano xz. Este tendrá una ecuación del tipo y=k

ky

z4

y

9

x22

z4

k

9

x 22

4

kz

9

x 22

4

kz9x

22



Esta última ecuación representan parábolas en el plano xz que abrazan al eje z positivo para todo valor

de k.


trasladado en 4

kz

2

0

Intersección con planos paralelos al plano yz. Este tendrá una ecuación del tipo x=k

kx

z4

y

9

x22

z4

y

9

k 22

9

kz

4

y 22

9

kz4y

22

Esta última ecuación representan parábolas en el plano yz que abrazan al eje z negativo para todo valor

de k.

El nombre de esta superficie es: Paraboloide hiperbólico

2.2:

Analice las siguientes superficies cuádricas.

1. 136

z

25

y

9

x 222

2. 43

z

4

y

9

x 222

3. 16

z

15

y

3

x222



4. 08

z

16

y

9

x222

5. y68

z

3

x22

6. zyx 22

7. 364369 222 zyx

8. 144936 222 zyx

9. yzx 224

2.3:

Analizar las siguientes superficies cilíndricas. Graficar en forma aproximada

1. y8x2

2. 49

y

4

x 22

3. z4y2

4. 112

z

7

x 22

5. 4yx 22

2.4: Graficar en forma aproximada las siguientes superficies trasladadas.

1.

116

)4z(

9

)1y(

4

2x222

2.

z49

)2y(

4

4x22

3.

0)4z(9

)1y(

4

2x 222

4.

116

)3y(

9

1x 22

unidad n°6: geometrÍa en el espacio y cuÁdricas

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