reporte de teoria de conjuntos
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I. RESUMEN:
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones más elementales
son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y estructuras de interés en
matemáticas: números, funciones, figuras geométricas; y junto con
la lógica permite estudiar los fundamentos de esta.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que
comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda
mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría
cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos
de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios
del siglo XX.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del
lenguaje matemático en ella ayudaremos que los niños puedan agrupar objetos de
su entorno y puedan llegar a resolver problemas con conjuntos.
IV.FUNDAMENTACIÓN:
Un conjunto es la reunión, grupo de elementos u objetos bien definidos y diferenciables
entre sí, que se llaman elementos del mismo y de los cuales se puede afirmar con certeza
si pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras
mayúsculas.
Cuando un elemento “x” pertenece a un conjunto “A” se expresa de forma
simbólica como: x ∈ A
En el caso de que un elemento “y” no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza
la notación: y ∉ A
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración:
Los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el
conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión:
Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
En este caso se emplea el símbolo “/” que significa “tal que". En forma simbólica es:
A = {x P(x) }= {x1, x2, x,3, ⋅⋅⋅ ,xn }
3) Diagramas de Venn:
Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las
relaciones entre conjuntos.
TEORÍA DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
4) Por descripción verbal:
Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se
denota por medio de los símbolos η o #.
De los conjuntos anteriores: η (V) = 5, η(F ) = 3 , η(P) = 9 y η(S ) = 2
• Un conjunto vacío o nulo:
Es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto
vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
• Un conjunto universal
Es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U.
Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
• Un conjunto finito:
Es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
• Un conjunto infinito:
Es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no
está definida.
• Dos conjuntos son iguales:
Si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.
• Dos conjuntos son desiguales:
Si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los
mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.
CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS
• Dos conjuntos son equivalentes:
Si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma
cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈.
Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o
biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada
elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren
elementos en ningún conjunto.
• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los
elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B.
Esto es: A∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}
• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también
pertenecen a B y se denota como A∩ B.
Esto es: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}
• El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de
todos los elementos de U que no están en A y se denota como A´.
Esto es: A´ = {x ∈U x∉ A}
• La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B.
Esto es: A − B = {x / x ∈ A y x ∉ B}
Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:
A − B = A ∩ 'B
A − B = φ, sí y sólo sí : A ⊂ B
A − B = B − ,A sí y sólo sí : A = B
A − B = ,A sí y sólo sí : A∩ B = φ
OPERACIONES CON CONJUNTOS
(A − B) ⊂ A
A − φ = A
A − B = B'−A'
Sean los conjuntos, A, B, C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las
operaciones con esos conjuntos son las siguientes:
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
Idempotencia A A = A A A = A
Conmutativa A B = B A A B = B A
Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C
Identidad A∪ φ = A / A∪U = U A∩U = A / A∩φ = φ
Distributiva A ( B C ) = ( A B )
( A C )
A ( B C ) = ( A B )
( A C )
Complementariedad A A' = U A A' =
Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de
sus complementos.
(A ∪ B)' = 'A ∩ 'B
Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de
sus complementos:
(A ∩ B)' = 'A ∪ 'B
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
LEYES DE D´MORGAN
PRODUCTO CARTESIANNO DE DOS CONJUNTOS Y
Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas
ordenadas:
Dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su
posición, es decir, primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el
otro y luego el uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la
inicialmente considerada.
La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir
dentro de un paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda
componente, por ejemplo:
(y, x) es la pareja ordenada, en donde “x” es la primera componente y “y” es la
segunda componente.
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares
ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que
pertenezca a A, y como segunda componente a un elemento que pertenezca a B.
El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A× B y se lee “A cruz B”.
A× B = {(y, x) x∈ A y y ∈ B }
La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B, son la
parejas ordenadas (y, x) tal que “x” pertenece al conjunto A y “y” pertenece al conjunto B.
Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de
todas las parejas ordenadas de números reales, que corresponden en sí al producto
cartesiano R x R.
Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten
perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro
regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical
como eje y.
V.JUICIO CRÍTICO:
La teoría de conjuntos nos ayuda a simplificar los problemas, a poder resolver los
problemas de conjuntos por medio del grafico de Venn Euler , también por
extensión y por comprensión y por ultimo con las Leyes D”Morgan. La teoría de
conjuntos tiene tipo de conjuntos y propiedades de conjuntos en los cuales
tenemos que aplicar de acuerdo al tipo de problemas que se nos presente, gracias
a la teoría de conjuntos podemos aplicar de manera segura las propiedades y
resolver de diferentes formas nuestros problemas para llegar a un resultado, el
cual aveces es cuestionado ya que aún esta teoría de conjuntos es mucho mas
compleja.
VI.CONCLUSIONES
Un conjunto es la reunión, grupo de elementos u objetos bien definidos y
diferenciables entre sí.
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar
objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de
cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara,
parcelas, campesinado, familia, etc.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se
da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de
colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se
consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
VII. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
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