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MATEMATICAS FINANCIERAS

INTERES SIMPLE

MATEMATICAS FINANCIERAS

• La Matemática Financiera la podemos asociar con dos símbolos es decir el de los números (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de allí la asociación.

MATEMATICAS FINANCIERAS

• Las Matemáticas Financieras tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa.

INTERÉS

Cuando un inversionista presta dinero a un prestatario, éste se compromete a pagar el dinero que pidió prestado así como los honorarios que se cobran por el uso del dinero ajeno, siendo el nombre mas apropiado para éste, Interés.

INTERÉS

Al dinero prestado mas el interes se le conoce como:•Capital (C)•Valor actual (VA)•Valor presente (VP)•Principal (P)

Por lo tanto:C = M

( 1+ it)

INTERÉS

Al dinero que se tiene que devolver al final se le conoce como:•Monto (M)•Valor futuro o valor final (VF)•Futuro (F)Por lo tantoM = C ( 1+ it)

INTERÉS

El interés “I” no es otra cosa que la diferencia entre lo que se tiene que devolver al final menos lo que se nos dio al comienzo, es decir :

I = M – C

INTERÉS

El interés “I” es una cantidad de dinero. Existen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.

En el interés simple, el capital inicial no varía período a período, es decir, el cálculo del interés para un período no considera el interés que el capital ganó en el período anterior.

INTERÉS

En el caso del interés compuesto, el interés que el capital gana en un período pasa a formar parte del capital para efectos del cálculo del interés en el período siguiente. A este proceso se le denomina Capitalización

Comparando ambos tipos de interés podemos decir que , en el interés simple no hay capitalización , en el interés compuesto si lo hay.

INTERÉS

Para determinar el interés simple hay que considerar, el capital inicial “C”, la tasa de interés ”i” y el tiempo “t”.

Tasa de Interes:

Para determinar el interés compuesto, además de considerar el capital inicial “C”, la tasa de interés “i” y el tiempo “t”, se debe tomar en cuenta el tipo de capitalización.

𝒊=

𝐌𝑪−𝟏

𝒕

INTERÉS SIMPLE

El interés simple “I” se calcula en base al Capital Inicial “C”, la tasa de interés “i” y el tiempo “t” con la siguiente fórmula:

I = C* i * t

Es importante hacer notar que existe una íntima relación entre la tasa “i” y el tiempo “t”. Por ejemplo, si la tasa es semestral, “t” tiene que ser número de semestres. Si la tasa es mensual, “t” tiene que ser número de meses y así sucesivamente.

INTERÉS SIMPLEEquidad entre el tiempo y la tasa:- La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la misma unidad de base.

- La tasa es la que condiciona la expresión del tiempo.

En este tipo de interés podemos también aplicar una fórmula para calcular rápidamente el monto al final:

M = C + I

M = C ( 1+ i * t)

INTERÉS SIMPLE

En función al conteo del tiempo, hay dos maneras de calcular el interés simple: exacto y ordinario.

El interés simple exacto (real) se calcula sobre la base de 365 días.

El interés simple ordinario (aproximado) se calcula sobre la base de 360 días.

Descuento

Es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, que consta en que estas adquieren letras de cambio o pagares, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha de vencimiento. Con esta operación se anticipa el valor real del documento.

Dos formas de calcular el descuento:☼ Descuento comercial ☼Descuento Real o Justo

Descuento ComercialEn este caso la cantidad que se descuenta D se calcula sobre el valor nominal del documento M y se aplica la siguiente formula

D=MdtDonde: D= descuento bancarioM=valor nominal del descuentod=tasa nominal del descuentot=tiempo

D=Mit

Descuento RealA diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa C, y no sobre el valor nominal M y se aplica para su calculo la formula del monto simple:

M = C ( 1 + d t ) = C ( 1 + i t )

Cuando se desconoce el valor nominal M y se conoce el importe del prestamo C se deduce la siguiente formula:

PROBLEMAS

Desarrolle los problemas presentados en la entregada a continuación

DatosC 180000t 160 diasi 15% anual

M ?

Solucion

M= C(1+it)M=180,000(1+(0.15)(160/360)M=180,000(1+0.06666667)M=192,000

Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días con 15% de interés simple. ¿Qué cantidad debe pagar al vencerse su deuda?

María Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Suponeque el enganche que tendrá que pagar en esas fechas será de $60 000.Si desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿qué suma debe invertir en su deposito de renta fija que rinde 0.8% de interés simple mensual?Datos:M=60,000 Valor a pagar dentro de 2 añosPlazo= 2 añosi=0.8% mensual simple=0.008 mensual simpleC=?

60,0001+(0.008)(24)

60,0001+0.19260,0001.192

C= 50,335.57

Solucion

C=

C=

C=

Valor a invertir hoy para reunir el enganche en 2 años

Una persona adquiere hoy un automóvil que cuesta $220 000. Sisuponemos que el vehículo aumenta su valor en forma constante y razón de 0.2% mensual, ¿cuál será su valor después de 2 meses?DatosC=220,000I=0.2% mensualM=Valor del automovil

NOTA: Como el automóvil aumenta su valor de manera constante, calculamosmes a mes ese aumento, de tal manera que su valor final será:M = C + I1 +I2 donde I1 e I2 representan el aumento de cada mes.

I=Cit I2=C1+itI1= 220,000(0.002)(1) I2= 220,440(0.002)(1)I1=440 I2= 440.88I1= C+I1 M=C+I1+I2I1=220,000+440=220,440 M=220,000+440+440.88

M=220,880.88

M=C+I1+I2

Solucion

Valor del auto despues de dos meses de adquirido.

Para terminar de saldar una deuda, una persona debe pagar $3 500el 15 de julio. ¿Con qué cantidad pagada hoy, 13 de marzo, liquidaríasu deuda si se considera un interés de 6% anual?Se calcula el tiempo exacto del 13 de marzo al 15 de julio:18+30+31+30+15 = 124 días t=124 diasDatosI=6% anual M=3,500 cantidad a pagar el 15 de julioC=? A pagar hoy 13 de marzo

3,5001+(0.06)(124/365)

3,5001+0.020383561

3,5001.020383562

C= 3,430.08

C=

C=

C=

Solucion

Cantidad a pagar hoy

Teresa tiene 2 deudas:a) Le debe $80 000 a un banco que cobra 1.5% mensual.b) Compró a crédito un automóvil; pagó determinado enganche y lequedó un saldo de $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses;mientras tanto, debe pagar 12% de interés simple anual durante eselapso.¿Cuánto pagará en los próximos seis meses por concepto de intereses?Datosa) c=80,000 deuda con el banco, i=1.5%b) C=125,000 adeudo del automovilt=8 mesesi=12% simple

Como tiene dos deudas, hay que calcular los intereses de cada una por separado. La suma de ambos intereses serán los intereses totales, considerando 6 meses de plazo.

b)

I=Cit I=Cit I=I1+I2I=(80,000)(0.015)(6) I=(125,000)(0.12)(6/12) I=7,200+7,500I=7,200 I=7,500 I=14,700

Soluciona)

Una bicicleta cuesta $800. Un comprador paga $500 al contado y elresto a 60 días, con un recargo de 5% sobre el precio al contado.¿Qué tasa de interés anual simple le aplicaron?Datos:Costo=800Pago inicial o enganche 500t=60 dias = 2 mesesi=?

Recargos = 0.05 (800.00) = 40.00costo (a crédito) = $840.00

pago inicial = $500.00saldo = 800.00 – 500.00 = $300.00pago a 60 días = $340.00

I=Cit40

(300)(2)40

600i= 0.06666666i= 6.67

i=

i=

Solucion

Nota: Para convertirla a tasa anual se multiplica por 12:i = 0.066666667 x 12 = 0.80 = 80% anual simplei = 80% anual simple

I=M-C M=C(1+it)

I=440-400 440=(400)[ 1+ i 4] 440I=40 440=(400)[ 1+ 4 i ] 400I=Cit 440 / 400 = 1 + 4 i

40 1.1= 1 + 4 i 0.100 (400)(4) 1.1-1 = 4i 4

40 0.1/4 = i i= 0.0251600 I = 0.025

i= 0.025 i=2.50% i= 2.50%i= 2.50%

i=

-1i=

4

i=

Solucion

i=

Una persona le prestó $400 a un amigo, y 4 meses después le cobró$410. ¿Qué tasa anual de interés pagó el amigo?Datos:C=400M=440t= 4 mesesi=?

𝒊=

𝐌𝑪−𝟏

𝒕

Nota: Utilizando las 3 formulas para determinar la tasa de interes tenemos:

i = 2.5% mensual simple Para calcular la tasa anual, este resultado se multiplica por 12:i = 0.025 x 12 = 0.30 = 30% anual simple

Una señora reembolsa $205.08 por un pagaré de $185 firmado el 10de mayo con 38% de interés simple anual. ¿Cuándo lo pagó?Datos:M=205.08C=185.00FI=10 de mayFv=?

Nota: Para resolverlo debemos encontrar el plazo que estuvo vigente el pagaré, considerando la tasa de interés del 38% simple anual.

𝑡=

MC−1

𝑖M=C+I1+I2

205.08=(185)[ 1+(0.38)t] 205205.08=(185)[ 1+0.38t] 185205.08 / 185 = 1 + 0.38 t1.108540541 - 1 = 0.38 t 0.108108108 0.108540541 / .038 = t 0.380.285633001 años t= 0.284495021

-1

0.38

t=

Solucion

t=

Para encontrar el plazo en días exactos, se multiplica por 365:0.285633001 x 365 = 104.2560455 días (aproximadamente 104 días)La fecha de vencimiento se encuentra en el calendario, sumando 104 días al 10 de mayo, es decir:21 + 30 +31 + 22 = 104 días

fecha de vencimiento = 22 de agosto

¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentrode 5 meses, y que tiene un valor nominal de $3 850, si se le descuenta a una tasa de 18% tres meses antes de su vencimiento?Datos:D=? Descuento comercial y realt= 3 meses M=3,850 valor nominal del documentod=18% tasa de descuento comercial

Nota: Como la tasa es anual, el tiempo debe expresarse en unidades de año.En este caso, se divide 3 meses entre 12 meses por año:t = 3/12 años

D Mdt 3D= (3850)(0.18) 12

D=173.25Descuento comercial

Datos:D=? Descuento comercial y realt= 3 meses M=3,850 valor nominal del documentoi=18% tasa de descuento real

Para calcular el descuento real primero se determina el valor actual del documento:

3,8501+(0.18)(3/12)

3,8501+0.045

3,8501.045

C= 3,684.21

Solucion

C=

C=

C=

El descuento real se obtiene restando el valor actual del valor nominal:D = M – C = 3 850.00 – 3 684.21 = $165.79D = $165.79 (descuento real del documento)

Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio, los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el valor actual del documento.

Descuento comercial

D=MdtD= (11500)(0.20)(3/12)

D=575

Valor nominal 11500Menos el descuento 575Valor anticipado 10925

Entonces el señor López recibe $10 925 que es el valor comercial del documento hasta la fecha que anticipo el pago; el descuento de calculó en base al valor nominal del pagaré