la hiperbola profesora: eva saavedra g.. la hipérbola aplicaciones en el mundo real para diseño de...
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LA HIPERBOLALA HIPERBOLA
Profesora: Eva Saavedra G.Profesora: Eva Saavedra G.
La HipérbolaLa HipérbolaAPLICACIONES EN EL MUNDO REAL
Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.
Puede ser definida como una curva plana que es el camino Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro
punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.hipérbola por su simetría, tiene dos focos.
La HipérbolaLa Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de todos los La hipérbola es el lugar geométrico de todos los
puntos P(x,y) del plano ubicados de tal manera, que puntos P(x,y) del plano ubicados de tal manera, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de él, es constanteél, es constante
teconsFPdFPd tan),(),( 12
Elementos de la hipérbolaElementos de la hipérbola FocosFocos: Los puntos y: Los puntos y
Recta FocalRecta Focal: La recta a la que pertenecen : La recta a la que pertenecen los focos. los focos.
Recta Secundaria o imaginariaRecta Secundaria o imaginaria: La simetral del : La simetral del segmento .segmento .
Centro:Centro: El punto de intersección de las rectas El punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos.focal y secundaria y que equidista de los focos.
VérticesVértices: Son los puntos de intersección de la : Son los puntos de intersección de la hipérbola con la recta focal. Se designan: yhipérbola con la recta focal. Se designan: y
1F 2F
21VV
21FF
1V
2V
Eje realEje real: El segmento , que se considera de : El segmento , que se considera de longitud longitud 2a2a; ; aa es el valor del semieje real . es el valor del semieje real .
Eje imaginarioEje imaginario: El segmento que se : El segmento que se considera de longitud considera de longitud 2b2b; ; bb es el valor del es el valor del semieje imaginario.semieje imaginario.
Distancia focalDistancia focal: La medida del segmento que : La medida del segmento que se considera de longitud se considera de longitud 2c.2c.
Lado rectoLado recto: La cuerda focal perpendicular al : La cuerda focal perpendicular al eje focal o eje de simetría, cuya medida eseje focal o eje de simetría, cuya medida es
. .
21VV
21BB
21FF
21CC
a
b22
AsíntotasAsíntotas: Rectas y que limitan a la : Rectas y que limitan a la curva. Se acercan paulatinamente a la curva sin curva. Se acercan paulatinamente a la curva sin llegar a intersectarla. llegar a intersectarla.
1A 2A
1A 2A
Valor de la constante y excentricidad de la Valor de la constante y excentricidad de la hipérbolahipérbola
aFPdFPd 2),(),( 12
222 cba
a
ce
Valor de la constante= 2a
Ecuación canónica de la hipérbolaEcuación canónica de la hipérbola
Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje X, sus Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje X, sus focos son los pares ordenados (c,0) y (-c,0).focos son los pares ordenados (c,0) y (-c,0).
12
2
2
2
b
y
a
x
Ecuaciones de las asíntotas:
xa
by x
a
by
Ecuación canónica de la hipérbolaEcuación canónica de la hipérbola
Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, sus focos Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, sus focos son los pares ordenados (0,c) y (0,-c).son los pares ordenados (0,c) y (0,-c).
12
2
2
2
b
x
a
y
Ejemplo 1Ejemplo 1 Determinemos los elementos de la hipérbola de Determinemos los elementos de la hipérbola de
ecuaciónecuación
Como la ecuación es de la forma Como la ecuación es de la forma
1169
22
yx
12
2
2
2
b
y
a
x
392 aa
4162 bb
5252222 ccbac
Por ser el eje focal coincidente con el eje X, las coordenadas Por ser el eje focal coincidente con el eje X, las coordenadas de los focos sonde los focos son
y y
Eje realEje real: 2a = 2·3=6: 2a = 2·3=6
Eje imaginarioEje imaginario: 2b=2·4=8: 2b=2·4=8
Lado rectoLado recto: :
Excentricidad: Excentricidad:
Vértices: Vértices: (3,0) y (-3,0) (3,0) y (-3,0)
)0,5(1F )0,5(2 F
3
32
3
16·22 2
a
b
3
5
a
ce
Ecuaciones de las Asíntotas:Ecuaciones de las Asíntotas:
xyA3
4:1 xyA
3
4:2
Ejemplo 2Ejemplo 2 Determinemos la ecuación de la hipérbola de Determinemos la ecuación de la hipérbola de
focos (0,10) y (0,-10) y semieje imaginario 6.focos (0,10) y (0,-10) y semieje imaginario 6. Solución: Solución: Eje focal coincide con el eje YEje focal coincide con el eje Y
Ecuación hipérbola: Ecuación hipérbola:
c =10, b= 6 a= 8c =10, b= 6 a= 8
Luego, la ecuación pedida es:Luego, la ecuación pedida es:
12
2
2
2
b
x
a
y
13664
22
xy
Ecuación principal y general de la hipérbolaEcuación principal y general de la hipérbola
Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado C(h,k)C(h,k)
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación Principal de la hipérbola con centro en (h,k) y eje focal paralelo al eje X
Ecuación General de la Hipérbola
022 FDyCxByAx
Ecuación principal y general de la hipérbolaEcuación principal y general de la hipérbola Eje focal paralelo al eje YEje focal paralelo al eje Y
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky
Ecuación Principal de la Hipérbola
Ecuación General de la Hipérbola
022 FDyCxBxAy
Ejemplo 1Ejemplo 1
Determinemos los elementos de la hipérbola de Determinemos los elementos de la hipérbola de ecuaciónecuación
01243236169 22 yxyx
Solución:
19
1
16
2 22
yx
Luego, h=2 y k=-1, C(2,-1)
525
39
416
2
2
2
cc
bb
aa
La hipérbola ha sido trasladada con respecto a su posición La hipérbola ha sido trasladada con respecto a su posición canónica, su eje focal también se ha trasladado en canónica, su eje focal también se ha trasladado en h = 2h = 2 unidades, las coordenadas de los unidades, las coordenadas de los focos focos son :son :
)1,3(),1,7(1,21,2 2121 FFcyFcF
Vértices :
Eje real:
Eje imaginario:
Lado recto:
)1,2();1,6( 21 VV
84·22 a
63·22 b
2
9
4
18
4
9·22 2
a
b
ExcentricidadExcentricidad::
Asíntotas:Asíntotas:
4
5
a
ce
2
5
4
3:)( 1 xyAhx
a
bky
2
1
4
3:2 xyA
Ejemplo 2Ejemplo 2 Determinemos la ecuación de la hipérbola con Determinemos la ecuación de la hipérbola con
centro (1,-2), uno de los vértices en (-3,-2) y centro (1,-2), uno de los vértices en (-3,-2) y excentricidadexcentricidad
Ubicamos el punto centro y el vértice . El eje focal Ubicamos el punto centro y el vértice . El eje focal es paralelo al eje X, la ecuación es de la formaes paralelo al eje X, la ecuación es de la forma
4
5
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
a =4
9
54
5
222
acb
ca
ce
La ecuación pedida es:La ecuación pedida es:
Ecuación general Ecuación general
de la hipérbolade la hipérbola
1
9
2
16
1 22
yx
Ecuación Principal de la hipérbola
01996418169 22 yxyx
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