circunferencia (1)

Las circunferencias son figuras de muy frecuente aparición en la

vida cotidiana y que desde el punto de vista de las matemáticas seprestan a multitud de razonamientos que pueden servir paradespertar la curiosidad y fomentar la creatividad de los estudiantesingeniería.

Después de la recta, la línea más familiar del estudiante es lacircunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios degeometría elemental. En esta exposición haremos un estudiodetallado de la ecuación de la circunferencia y deduciremosalgunas de sus propiedades especiales.

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos lospuntos del plano que equidistan de un punto interior, llamadocentro de la circunferencia. La distancia común se llama radio

INTRODUCCION

Se conoce como circunferencia a la línea cerrada de formato curvoy apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes delpunto central que se localiza en el mismo plano.

En geometría, el radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia.

La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los radios de una figura geométrica poseen la misma longitud.

Radio

segmento de recta que compone un par de radios alineados

Diámetro

El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Arco

Cuerda

Es un segmento que une dos puntos de lacircunferencia sin pasar por su centro. Una cuerdadefine un arco.

Es la recta que

corta al círculo endos partes, con lapropiedad de quetoda recta secante,que pasa por elcentro, es un eje desimetría.

Recta secante

Recta tangente

• Es la recta que tocaal círculo en unsolo punto; esperpendicular alradio cuyo extremoes el punto detangencia.

CIRCUNFERENCIA CONCÉNTRICA.

Son aquellas que tiene el mismo centro. En la ecuación general se diferencian únicamente en el último número.

Las circunferencias concéntricas no tienen ningún punto.

Una circunferencia puede ser concéntrica a un polígono si el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia

CLASIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

CIRCUNFERENCIAS SECANTES.

La circunferencia tiene dos puntos en común. Es decir que dos circunferencias son secantes si se cortan (se intersectan) una a la otra en dos puntos.

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.

EXTERIOR. La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia.

INTERIOR. La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios.

El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común.

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.

La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de los radios.

Las circunferencias no tienen puntos en común.

CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.

La distancia entre los centros es mayor que cero y menor que la diferencia entre los radios.

Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no tienen puntos en común.

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Es la circunferencia que pasa por todos los vértices de una figura plana y contiene completamente a dicha figura en su interior.

El centro de la circunferencia circunscrita se llama circuncentro y su radio circunradio.

Un polígono que tiene una circunferencia circunscrita se llama polígono cíclico. Todos los polígonos simples regulares, todos los triángulos y todos los rectángulos son cíclicos.

En todo polígono cíclico, el circuncentro se halla en el punto de intersección de las mediatrices de los lados del polígono

CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Una circunferencia inscrita en un polígono regular es aquella que, siendo interior, es tangente a todos sus lados. Al radio de una circunferencia inscrita en un polígono se le denomina inradio.

Las bisectrices de los ángulos internos del triángulo se intersecan en un punto del mismo llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita a dicho triángulo. Es uno de los elementos secundarios del triángulo.

Ecuación en coordenadas cartesianas

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar lasiguiente ecuación para determinar el valor de "y"correspondiente a un valor de "x".

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Ecuación Canónica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de lacircunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar lasiguiente ecuación para determinar el valor de "y"correspondiente a un valor de "x".

La circunferencia con centro en el origen y de radio launidad, es llanada circunferencia goniométrica,circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene porecuación vectorial:

Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, sedescribe en coordenadas polares como: 𝑟, 𝜃

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto yel radio es c, la ecuación se transforma en:

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

, donde t recorre todos los valores reales y se llama parámetro.

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

• Para llegar ala ecuación general de la recta partiremos de la

ecuación ordinaria.

𝑥 − ℎ ² + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟²(1)

• Desarrollando la ecuación , obtendremos:

𝑥2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0

• La cual puede escribirse de la forma

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0(2) ;

𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −2𝑘 𝑦 𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN

PROBLEMÁTICA

¿Cómo saber que la ecuación de la forma general forma una circunferencia?

Para ello pasaremos la ecuación general a la ordinaria, por el método de completar el cuadrado.

• Reordenamos la ecuación general

𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝑦2 + 𝐸𝑦 = −𝐹

• sumando 𝐷2

4+

𝐸2

4a ambos miembros

𝑥2 + 𝐷𝑥 +𝐷2

4+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +

𝐸2

4=

𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

4 ;

𝑥 +𝐷

2

2

+ 𝑦 +𝐸

2

2

=𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

4(3)

PUNTOS A CONSIDERAR

a) Si 𝐷2+ 𝐸2 − 4𝐹 > 0 => Existe circunferencia

b) Si 𝐷2+ 𝐸2 − 4𝐹 = 0 => Existe un punto de r = 0 (circulo punto)

c) Si 𝐷2+ 𝐸2 − 4𝐹 < 0 => No existe ningún lugar geométrico

C −𝐷

2, −

𝐸

2y R = 1 2 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

La ecuación general de una circunferenciax2+y2+Ax+Bx+C=0 tiene 3 parámetros a determinarque son A, B y C.

Así pues, los 3 puntos dados que sabemos que sonde la circunferencia los debemos sustituir en laecuación general y de eso resultarán tres ecuacionescon incógnitas A, B y C.

Ecuación de la Circunferencia que pasa por 3 puntos

La ecuación general de la circunferencia es:

x²+y²+Ax+Bx+C=0

La cual tiene 3 parámetros a determinar que son A, B y C.

Por ende se hace un sistema de ecuaciones de 3x3

Para el punto 1 , se sustituye para obtener

(x1)²+(y1)²+Ax1+Bx1+C=0

POR RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES

Para el punto 2 , se sustituye para obtener:

(x2)²+(y2)²+Ax2+Bx2+C=0

Para el punto 3 , se sustituye para obtener:

(x3)²+(y3)²+Ax3+Bx3+C=0

Reescribiendo se tiene un sistema de la forma:

Ax1+Bx1+C= -(x1)²-(y1)²

Ax2+Bx2+C= -(x2)²-(y2)²

Ax3+Bx3+C=-(x3)²-(y3)²

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve por el método deseado y las soluciones encontradas D, E y F se reemplazan en la ecuación general.

Circunferencias que reúnen uno, dos o tres parámetros iguales.

CIRCUNFERENCIAS QUE TIENEN EL MISMO CENTRO

• Familia de circunferencias concéntricas

• Ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

• Un parámetro r > 0

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA EN UN PUNTO FIJO

• Familia de circunferencias tangentes a los ejes coordenados

• Centro C(h, h)

• Ecuación 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − ℎ 2 = ℎ²

• Un parámetro h > 0

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR EL ORIGEN

• Familia formada por todas las circunferencias que pasan por el origen de coordenadas

• Ecuación 𝑥2+𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 0

• Dos parámetros: D ∧ E ∈ R

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LAS INTERSECCIONES DE DOS

CIRCUNFERENCIAS

• Familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos circunferencias

• Ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1 +𝑘 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2 = 0

• Eje radical

Recta tangente a una circunferencia en un punto de la misma

La recta tangente o también llamada recta exterior a unacircunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma esla recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior