Producto Punto

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Determinantes

Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas.

Determinante de orden uno

|a11| = a11

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 − a 12 a 21

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −

− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo

(cambian su signo).

Ejemplo

=

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63