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ALGEBRA II 1er Curso de Algebra Lineal

Resumen de Conceptos, Resultados Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) Hay que hablar de la matriz ampliada (A,b) F Campo (,,) Ax b A matriz de orden m n , es la matriz de coeficientes. n incognitas o variables, m ecuaciones. x matriz de orden 1n columna de variables, n variables: ix . b matriz de orden 1m columna de m trminos independientes. ijA a , jb b , ix x ; 1, ,i n , 1, ,j m . Solucin de un SEL: es una columna ic c , con ic F , tal que Ac b . Conjunto de soluciones o conjunto solucin S del SEL, es el conjunto de las c con esta propiedad. Soluciones de un SEL: Una ecuacin lineal de la forma 1 20 0 0 nx x x b se dice degenerada. Proposicin: Dada una ecuacin lineal degenerada, tenemos:

1. No tiene solucin s 0b ; 2. Tiene una infinidad de soluciones s 0b .

Ahora consideremos una ecuacin lineal no degenerada

1 1 2 2 n na x a x a x b con n incgnitas o variables, esto es 0ia para algn i; y sea p el primer ndice para el cual 0pa , entonces decimos que px es la incognita o variable principal y pa el coeficiente principal de la ecuacin. Proposicin: Considrese la ecuacin lineal no degenerada 1 1 2 2 n na x a x a x b , con variable principal px , esto es 0pa . Entonces:

1. Asignado valores a las variables ,ix i p , obtenemos una solucin de la ecuacin. 2. Todas las soluciones de la ecuacin se obtienen de 1.

Las incognitas ,ix i p son las variables libres. Definicin: Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes: dos SELs son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Proposicin: La equivalencia de SELs es una relacin de equivalencia: es reflexiva, simtrica y transitiva. Observacin: La idea de equivalencia de SELs viene del hecho de tener dos SEL equivalentes, en donde uno de ellos es ms sencillo de resolver que el otro.

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La aplicacin de operaciones elementales sobre las ecuaciones, o sobre las filas de la matriz de coeficientes, transforma el SEL original a un nuevo SEL equivalente que es ms sencillo de resolver. Operaciones elementales sobre las ecuaciones 1 2, , , mE E E :

1. Intercambiar ecuaciones. Intercambiar la ecuacin i-sima con la j-sima: i jE E . 2. Multiplicar una ecuacin por una constante distinta de cero. Multiplicar la i-sima ecuacin

por una constante 0c : i iE cE . 3. Sustituir la i-sima ecuacin por c ( 0c ) veces la j-sima ecuacin ms d veces la i-sima

ecuacin: i j iE cE dE . Definicin: Un SEL est en forma escalonada si no tiene ecuaciones degeneradas y la variable principal de cada ecuacin est a la derecha de la variable principal de la ecuacin anterior. El siguiente SEL est en forma escalonada:

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 2

1 1r r r r

j j j j j j j j n n

j j j j j j n n

rj j rj j rn n r

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b

Donde 1 21 rj j j y 1 21 20, 0, , 0rj j rja a a . Aqu necesariamente r n . Las variables 1 2, , ,

rj j jx x x son las variables principales del SEL,

1 21 20, 0, , 0

rj j rja a a son los coeficientes

principales, las otras variables son las variables libres. Teorema: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada. Entonces hay dos casos:

i) r n . Hay tantas ecuaciones como incgnitas. Entonces el sistema tiene solucin nica. ii) r n . Hay menos ecuaciones que incgnitas. Entonces podemos asignar valores arbitrarios a

las n r variables libres y obtener una solucin del sistema. Proposicin: Aplicando operaciones elementales sobre las ecuaciones de un SEL se puede obtener un SEL en forma escalonada o se obtiene una ecuacin degenerada que no tiene solucin. Teorema: Dado un SEL se tiene lo siguiente:

1. Tiene solucin y tal caso decimos que es consistente. En este caso hay una nica solucin o hay infinidad de soluciones.

2. No tiene solucin y tal caso decimos que es inconsistente. Observacin: Decimos que la matriz de coeficientes de un SEL en forma escalonada, es una matriz escalonada. Aplicando operaciones elementales a las filas de una matriz m n se puede transformar en una matriz escalonada m n con ( )r n filas no cero. Especficamente se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Todas las filas nulas, si las hay, estn en la parte inferior de Ia matriz. 2. Cada entrada principal no nula est a la derecha de la entrada principal no nula de la fila

precedente.

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ijA a es una matriz escalonada de orden m n si existen entradas distintas de cero 1 21 2, , ,

rj j rja a a con r n , 1 21 rj j j ; y 0ija para i) , ii r j j y ii) i r .

1 21 2, , ,

rj j rja a a son las entradas principales de la matriz escalonada. Definicin: Sean A y B matrices m n , decimos que B es equivalente por filas a la matriz A, si se puede obtener de A aplicando operaciones elementales sobre sus filas. Observacin: La importancia de este concepto es porque las matrices A y B son las matrices de SELs equivalentes. Proposicin: La equivalencia por filas de matrices m n es una relacin de equivalencia. Definicin: Decimos que un SEL es homogneo si (0)ib b , esto es, en cada ecuacin su trmino independiente es igual a cero. Proposicin: Para un SEL homogneo se tiene

1. Siempre tiene una solucin: (0)ic c (la solucin nula o trivial, donde cada incgnita es igual a cero).

2. Si tiene ms incgnitas que ecuaciones, tiene una infinidad de soluciones (y por supuesto una solucin no nula o trivial).

Espacio Vectorial V Conjunto: vectores F Campo (,,) Dos operaciones: suma de vectores (+) y multiplicacin por un escalar ():

, , : ,v u V r F v u V r v V La suma de vectores es: 1) asociativa 2) tiene elemento identidad o cero: 0 3) cada elemento tiene inverso: :v V v V 4) Es conmutativa El campo tiene sus operaciones usuales (suma y multiplicacin). La multiplicacin por un escalar tiene las siguientes propiedades: 1) Asociativa: para , ,r s F v V tenemos: ( )r s v rs v 2) Distributiva: , , ,r s F v u V tenemos: y r s v r v s v r v u r v r u 3) Multiplicacin por 1 F : 1 v v . Definicin: Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V, si con las operaciones de suma de vectores y multiplicacin por escalares es el mismo un espacio vectorial. Notacin: Sea W V un subconjunto de un espacio vectorial V, escribimos W V si W es subespacio vectorial de V.

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Proposicin: Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si y solo si: 1. W . 2. Es cerrado bajo la suma de vectores. 3. Es cerrado bajo la multiplicacin por escalares.

Corolario: Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si y solo si:

1. 0 W , 2. Para ,v u W y ,r s F : r v s u W .

Proposicin: La relacin ser subespacio vectorial de es una relacin de orden parcial: U, W, Z subespacios vectoriales de V,

1. Reflexiva: W W 2. Antisimtrica: si W U y U W entonces W U 3. Transitiva: si W U y U Z entonces W Z .

Definicin: Sean U y W subespacios vectoriales de V, entonces | ,U W u w u U w W , es la suma de los subespacios vectoriales U y W . Proposicin: Sean U, W subespacios vectoriales de V, entonces U W y U W son subespacios vectoriales de V. Para la interseccin de subespacios vectoriales tenemos: Proposicin: Sea |iW i I una familia (no vaca) de subespacios vectoriales de V, entonces

ii I

W V

. La suma de los subespacios vectoriales de la familia |iW i I est definida en el caso de que sea finita. Observacin: En trminos del orden parcial tenemos:

1. U W es el mximo subespacio vectorial de V contenido en U y W. 2. U W es el mnimo subespacio vectorial de V que contiene a U y W. 3. i

i I

W es el mximo subespacio vectorial de V contenido en cada ,iW i I .

Observacin: En general la unin de dos subespacios vectoriales no es un subespacio. Se tiene la siguiente: Proposicin: Sean U, W subespacios vectoriales de V . Si U W es subespacio vectorial de V, entonces W U o U W . Definicin: Una combinacin lineal de los vectores 1 2, , , kv v v V es un vector de la forma

1 1 2 2 k kr v r v r v , donde 1 2, , , kr r r F . Proposicin: El conjunto W de las combinaciones lineales de los vectores 1 2, , , kv v v V es un subespacio vectorial de V.

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Definicin: 1. El subespacio de de las combinaciones lineales de los vectores 1 2, , , kv v v V se denota por

1 2, , , kv v v , y decimos que es el subespacio generado por el conjunto (finito) 1 2, , , kS v v v . Tambin escribimos S .

2. Sea S un subconjunto de V, el subespacio (de V) generado por S es el conjunto de las combinaciones lineales de vectores en S y se denota por S :

1 1 2 2 1 2 1 2| , , , ; , , ,k k k kS rv r v r v v v v S r r r F Si S , entonces 0S .

Proposicin: Sea S un subconjunto de V, entonces: 1. El conjunto de las combinaciones lineales de los vectores en S, es un subespacio vectorial de V :

S V . 2. El subespacio S es la interseccin de los subespacios de V que contienen a S:

|S W V S W . Observacin: S es el mnimo subespacio vectorial de V que contiene al subconjunto S. Definicin: Sea W un subespacio de V, decimos que el subconjunto S genara a W si W S . Tambin decimos que S genera a W. Si S es finito decimos que W es finitamente generado. Definicin: Decimos que los vectores 1 2, , , kv v v V son linealmente dependientes si existen escalares 1 2, , , kr r r F no todos cero tales que 1 1 2 2 0k kr v r v r v , en caso contrario decimos que son linealmente independientes, esto es: si 1 1 2 2 0k kr v r v r v entonces 1 2 0kr r r . Definicin: Un subconjunto S de V es linealmente dependiente (LD) si tiene un subconjunto finito de vectores linealmente dependientes, en caso contrario decimos que es linealmente independiente (LI), esto es, cualquier subconjunto finito de vectores de S es linealmente independiente. Observaciones:

1. Si 1 20 , , , kv v v entonces 1 2, , , kS v v v es un conjunto linealmente dependiente. 2. Si 0v , entonces S v es un conjunto LI. 3. Si un vector v es mltiplo de un vector w, entonces ,S v w es un conjunto LD. 4. Si 1 2, , , kS v v v es un conjunto LI entonces cualquier reordenamiento

1 2, , , ( )ki i iv v v S es un conjunto LI. 5. Si S es un conjunto de vectores LI entonces cualquier subconjunto de S es un conjunto LI.

Proposicin: Supongamos que dos o ms vectores 1 2, , , kv v v V no nulos son linealmente dependientes. Entonces uno de los vectores es una combinaci6n lineal de los precedentes, esto es, existe un 1j tal que

1 1 2 2 1 1j j jv r v r v r v , con 1 2 1, , , jr r r F .

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Definicin: Un subconjunto 1 2, , , nS v v v del espacio vectorial V es una base si: 1. S es LI . 2. V S .

Definicin (alternativa): Un subconjunto 1 2, , , nS v v v del espacio vectorial V es una base si todo vector de V se puede escribir de manera nica como combinacin lineal de vectores de S. En tal caso, decimos que V es un espacio vectorial de dimensin finita (sobre F). Observacin: La dimensin de un espacio vectorial depende del campo de escalares. Proposicin (de sustitucin): Supongamos que 1 2, , , nv v v generan al espacio vectorial V, y sea 1 2, , , mw w w un subconjunto de V linealmente independiente. Entonces m n y V es generado por un conjunto de la forma 1 21 2, , , , , , , n nm i i iw w w v v v . En particular 1n , o ms, vectores de V son linealmente dependientes. Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensin finita. Entonces todas las bases de V tienen el mismo nmero de elementos. Definicin: El nmero comn de elementos de las bases de V es la dimensin del espacio vectorial (sobre F). Notacin: dimF V , si no hay ambigedad sobre el campo de escalares, escribimos dim V. Proposicin: Sea V un espacio vectorial de dimensin finita n. Entonces

i. 1n o ms vectores en V son linealmente dependientes. ii. Todo conjunto linealmente independiente S con n elementos es una base de V.

iii. Todo conjunto generador R de V, con n elementos, es una base de V. Proposicin: Supongamos que S genera un espacio vectorial V. Entonces

i. Cualquier nmero mximo de vectores linealmente independientes en S es una base de V. ii. Si se suprime de S todo vector que sea combinaci6n lineal de los precedentes, los vectores

que quedan constituyen una base de V. Proposicin: Sean V un espacio vectorial de dimension finita y 1 2, , , kS v v v un conjunto de vectores linealmente independientes en V. Entonces S es parte de una base de V, es decir, S puede extenderse a una base de V. Proposicin: Sea W un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensin n. Entonces dimW n , y si dimW n se tiene W V . Teorema: Sean U y W subespacios de dimensin finita del espacio vectorial V, entonces U W es un subespacio de dimensin finita y

dim dim dim dimU W U W U W .

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Definicin: Sean U y W subespacios del espacio vectorial V, decimos que Z es suma directa de los subespacios si para cada vector v Z existen vectores u U y w W nicos tales que v u w . Notacin: Z U W . Proposicin: Sean U, W y Z subespacios del espacio vectorial V. Entonces Z es suma directa de los subespacios U y W si y solo si i) Z U W y ii) 0U W . Definicin: Sea V un espacio vectorial. Un subespacio Z es suma directa de los subespacios

1 2, , , kW W W si cada elemento v Z existen vectores , 1, 2, ,i iw W i k nicos, tales que 1 2 kv w w w . Escribimos 1 2 kZ W W W .

Proposicin: Sean Z y 1 2, , , kW W W subespacios de un espacio vectorial V. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Z es suma directa de los subespacios 1 2, , , kW W W . 2. 1 2 kZ W W W y 1 0 , 1, 2, ,j kZ W W W j k . 3. Si 1 20 kw w w , con , 1, 2, ,i iw W i k , entonces 0, 1,2, ,iw i k . 4. Si iS es una base de , 1, 2, ,iW i k , entonces 1 2 kS S S S es una base de Z. 5. Para cada 1,2, ,i k existe una base iS de iW tal que 1 2 kS S S S es una base de Z. 6. 1 2dim dim dim dim kZ W W W

Definicin: Sea V un espacio de dimensin finita n y 1 2, , , nB e e e una base (ordenada) de V. Sea , entonces para v V existen escalares (nicos) 1 2, , , na a a F tales que 1 1 2 2 n nv a e a e a e . Decimos que los escalares 1 2, , , na a a F son las coordenadas de v V con respecto a la base B. Escribimos:

1

2B

n

aa

v

a

.

Es una matriz columna 1n . Es el vector (columna) de coordenadas de v V . Observacin: El orden de los vectores de la base es crucial en esta definicin, por eso se habla de base ordenada. Si 1 2, , , nB e e e es una base de V, entonces, por ejemplo, 2 1, , , nC e e e tambin es base (se intercambiaron el primero y segundo vector) de V, entonces:

2

1C

n

aa

v

a

y, en estricto sentido, los vectores Bv y Cv son distintos.

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CAMBIO DE BASE Sean 1 2, , , nB e e e y 1 2, , , nC f f f bases de V, entonces existen escalares

, 1, 2, , ; 1, 2, ,ijc i n j n , nicos, tales que: 1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

e c f c f c fe c f c f c f

e c f c f c f

Tenemos 11

121

1

C

n

cc

e

c

,

21

222

2

C

n

cc

e

c

, ,

1

2

n

nn C

nn

cc

e

c

. La matriz cuyas columnas son estos vectores

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

n n nn

c c cc c c

P

c c c

es la matriz de cambio de base de la base C a la base B, y tiene la propiedad siguiente: Proposicin: Sea P la matriz de cambio de base de una base C a otra base B en un espacio vectorial V. Entonces tenemos para todo vector v V , tenemos B CP v v . Transformaciones Lineales Definicin: Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo F. Una funcin :T V W es una transformacin lineal si satisface: i) para , :v w V T v w Tv Tw , y ii) para v V y c F : T cv cTv .

Proposicin: Sea :T V W una transformacin lineal y sean U V y Z W , entonces T U W y

1T Z V . En particular, Im T T V W , la imagen de T, y 1Ker 0T T V , el kernel o ncleo. Proposicin: Sea :T V W una transformacin lineal entonces:

1. T es inyectiva si y solo si Ker 0T . 2. T es suprayectiva si y solo si Im T W .

Proposicin: Sea :T V W una transformacin lineal y S un subconjunto del espacio vectorial V, entonces T S T S . En particular, si B es una base de V, entonces Im T T B .

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Teorema: Sean V y W espacios vectoriales, 1 2, , , nB v v v una base de V y 1 2, , , nw w w un subconjunto de W. Entonces existe una nica transformacin lineal :T V W tal que

, 1, 2, ,i iTv w i n . Corolario: Sean V y W espacios vectoriales, 1 2, , , nB v v v una base de V, y , :T U V W dos transformaciones lineales tales que , 1, 2, ,i iTv Uv i n , entonces T U . Teorema (de la dimensin): Sea :T V W una transformacin lineal. Si V es de dimensin finita entonces dim dim Im dim KerV T T . Definicin: dim ImR T T es el rango de T, dim KerN T T es la nulidad de T. En estos trminos el teorema anterior dira que la dimensin de V es igual al rango ms la nulidad de T. Teorema: Sea :T V W una transformacin lineal. Si dim dimV W y es finita entonces son equivalentes:

1. T es inyectiva 2. T es suprayectiva 3. dimR T V

Definicin: Sean V, W y Z espacios vectoriales y :T V W , :U W Z transformaciones lineales, :U T V Z es la composicin usual de funciones: para v V U T v U T v .

Proposicin: :U T V Z es una transformacin lineal. La funcin identidad :VI V V es una transformacin lineal, adems VT I T y WI T T . Notacin: Hom ,F V W es el conjunto de las transformaciones lineales de V a W;

End Hom ,F FV V V es el conjunto de endomorfismos del espacio vectorial V, tambin decimos que son los operadores sobre V. Definicin: En Hom ,F V W definimos dos operaciones: suma de transformaciones lineales y la multiplicacin por un escalar. Sean , Hom ,FT U V W y c F :

1. Definimos :T U V W por T U v Tv Uv , para v V . 2. Definimos :c T V W por c T v c Tv , para v V .

Proposicin: :T U V W y :c T V W son transformaciones lineales, y con estas operaciones

Hom ,F V W es un espacio vectorial sobre F. Proposicin: Sean 1 2, , :T T T V W , 1 2, , :U U U W Z transformaciones lineales, entonces

1. 1 1 2 1 1 1 2U T T U T U T 2. 1 2 1 1 1 2 1U U T U T U T 3. c U T c U T y U c T c U T .

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Observacines: El conjunto de operadores End Hom ,F FV V V sobre un espacio vectorial V, es un espacio vectorial y est definido un producto o multiplicacin, la composicin de operadores: si

:T V V y :U V V son elementos de EndF V entonces :U T V V es un operador sobre V. Por la proposicin anterior se tienen leyes distributivas de la suma con respecto a la composicin, y asociatividad con respecto a la multiplicacin por escalares. Un espacio vectorial con un producto que cumpla estas condiciones es un lgebra sobre el campo F. Nota: Sea :f A B una funcin. 1 , | ,f b a B A a b f en general no es una funcin. Para que 1f sea funcin es necesario i) que su dominio sea B, esto implica que f es suprayectiva

1dom ranB f f , y ii) si 1, , ,b a b c f entonces a c , esto implica que f es inyectiva: 1, , ,b a b c f entonces , , ,a b c b f , esto es f a b f c a c . Por tanto, 1f es una funcin de B en A si f es inyectiva y subrayectiva (biyectiva). En este caso tenemos dos funciones

:f A B y 1 :f B A con la propiedad de que 1 Af f I y 1 Bf f I , y si otra funcin :g B A satisface esta condiciones entonces 1g f . En este caso decimos que f es invertible.

Definicin: Decimos que una transformacin lineal :T V W es un isomorfismo si T es una funcin biyectiva. Proposicin: Sea :T V W un isomorfismo entonces la funcin inversa 1 :T W V tambin es una transformacin lineal. Observacines: El conjunto de matrices 1n 1( )nM F con entradas en F, con las operaciones usuales es un espacio vectorial sobre F. Sea ahora V un espacio vectorial y 1 2, , , nB v v v una base, entonces la correspondencia Bv v define un isomorfismo 1_ : ( )nB V M F .