algebra ii

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFACULTAD DE INGENIERIA

Ano 2015 - 1er Cuatrimestre

ALGEBRA II A (61.08)

Resumen de Algebra II

INTEGRANTE:Maria Ines Parnisari - [email protected]

Menendez, Martn Nicolas - [email protected]

INDICE

Indice1. Matrices 3

1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Propiedades de la inversa, la traza y la traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Subespacios fila, columna y null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Espacios vectoriales 62.1. Propiedades de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Coordenadas de un vector en una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7. Teorema de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Producto interno 83.1. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. Producto interno canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Matriz asociada al producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Proyecciones y matrices de proyeccion 114.1. Propiedades de la proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2. Proyeccion y reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1. Proyeccion y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2. Reflexion y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3. Matriz de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4. Rotaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6. Matrices de proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.7. Inversas y pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.8. Cuadrados mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.8.1. Norma mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.9. Regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Transformaciones lineales 165.1. Condiciones para las Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2. Nucleo e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3. Clasificacion de las Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.1. Monomorfismo(Inyectividad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.2. Epimorfismo(Sobreyectividad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3. Isomorfismo(Biyectividad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4. Matriz asociada a una Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5. Teorema fundamental de las Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6. Composicion de Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.7. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Autovalores y Autovectores 206.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2. Autovalores complejos de matriz real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3. Multiplicidad geometrica y algebraica de un Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.5. Autovalores y Autovectores de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Algebra II (61.08) Pagina 1 de 35

INDICE

6.6. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.6.1. Matrices trivialmente diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.6.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6.3. Diagonalizacion de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7. Matrices hermticas y simetricas 237.1. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2. Descomposicion espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3. Subespacios invariantes por una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8. Formas cuadraticas 258.1. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2. Optimizacion restringida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9. Descomposicion en Valores Singulares (DVS) 279.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2. Subespacios de las DVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.3. Propiedades de las DVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.4. DVS reducida y Pseudoinversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10. Ecuaciones diferenciales 3010.1. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.2. Identidad de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.3. Existencia y unicidad de Problemas de Valores Iniciales (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.4. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.5. Lineales de 1er orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.6. Diferencial exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.7. Lineales homogeneas de orden superior con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.8. Lineales no homogeneas de orden superior con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 33

11. Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales 3311.1. Sistemas homogeneos con A diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.2. Sistemas no homogeneos con A diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.3. Sistemas homogeneos con A no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


1 Matrices

1. Matrices

1.1. Propiedades generales

Dadas las matrices A,B,C se tiene que:

A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C

(A+B) = A+ B

(+ )A = A+ A

(A) = ()A

A+ 0n = A

A+ (A) = 0nA(B + C) = AB +AC

(A+B)C = AC +BC

A(BC) = (AB)C

(AB) = (A)B = A(B)

A0n = 0n

Propiedades de matrices

1.2. Propiedades de la inversa, la traza y la traspuesta

Dadas las matrices A,B,C se tiene que:

Propiedades de la inversa:(A1

)1(AB)

1= B1A1

(A)1

=A1

, 6= 0

(An)1

=(A1

)nA1 =

adj(A)|A|

Propiedades de la traza:

tr(A+B) = tr(A)+tr(B)

tr(AB) = tr(BA)

tr(A) = tr(A)

tr(AT ) = tr(A)

Propiedades de la traspuesta:

(A+B)T

= AT +BT

(AB)T

= BTAT(AT)T

= A

(A)T

= AT(AT)1

=(A1

)T

Propiedades de matrices


1.3 Propiedades de los determinantes

1.3. Propiedades de los determinantes

Sean A,B Rnm AT = |A| (1.1)|AB| = |A| |B| (1.2)

Si B la obtengo de sumar k veces una fila de A sobre otra:

|B| = |A| (1.3)

Si B la obtengo de intercambiar k veces las fila de A:

|B| = (1)k |A| (1.4)

Si B la obtengo de multiplicar por k, n veces las filas de A:

|B| = kn |A| (1.5)

Si A es una matriz triangular:

|A| =ni=1

aii (1.6)

Propiedades de determinantes

1.4. Subespacios fila, columna y null

Sean A Rnm , B Rrn, se define:Espacio Fila: Fif(A) = {x Rm|x es combinacion lineal de las filas de A}Espacio Columna: Col(A) = {b Rn|Ax = b para alguna x}Espacio nulo: Nul(A) = {x Rm|Ax = 0}

Espacio fila,columna y nulo de matrices


1.4 Subespacios fila, columna y null

Propiedades:

Nul(A) = Nul(ATA) = Fil(A) (1.7)

Nul(AT ) = Nul(AAT ) = Col(A) (1.8)

rango (A) = rango(ATA

) ATA (1.9)Dim(Col(A)) = Dim(Fil(A)) (1.10)

Col(A)

Col(A) = Rn (1.11)

Fil(A)

Fil(A) = Rm (1.12)

rango (A) + dim Nul(A) = m (1.13)Col(BA) Col(B), Iguales si rango (A) = n (1.14)Nul(A) Nul(BA), Iguales si rango (B) = n (1.15)Si rango (A) = n rango (BA) = rango (B) (1.16)Si rango (B) = n rango (BA) = rango (A) (1.17)

Col(A)Col(B) ATB = 0 (1.18)

De (1.15) se ve que ATA invertible A invertible

Propiedades de los espacios definidos

Dos matrices A y B son equivalentes si existen otras dos matrices E y F regulares tal que:

A = EBF (1.19)

Dos matrices equivalentes pueden pensarse como dos descripciones de una misma Transformacion Lineal,pero con respecto a bases distintas.

Matrices equivalentes

Dos matrices cuadradas A y B son semejantes (notamos A B) si y solo si existe una matriz P inversibletal que:

B = P1AP ,o (1.20)

A = PBP1 (1.21)

Matrices semejantes

Dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de un mismo operador lineal, pero conrespecto a bases distintas. Estas dos matrices cumplen que:

|A| = |B| (1.22)tr(A) = tr(B) (1.23)

rango (A) = rango (B) (1.24)pA() = pB() (A) = (B) (1.25)

Propiedades de matrices semejantes


2 Espacios vectoriales

2. Espacios vectoriales

2.1. Propiedades de los subespacios

S es un subespacio vectorial del espacio VK si y solo si:

0V S (2.1)(X + Y ) S, X,Y V y K (2.2)

Propiedades de los subespacios

2.2. Independencia lineal

El vector x es una combinacion lineal de v1, v2, . . . , vn si:

x =ni=1

ivi (2.3)

Y si a1, . . . , an no son todos nulos.

Combinacion lineal

x es linealmente independiente si:

ni=1

ivi = 0 , y (2.4)

ai = 0i (2.5)

Dos vectores son linealmente dependientes si son proporcionales. Un subconjunto de un conjunto lineal-mente dependiente sigue siendo linealmente dependiente

Independencia lineal

2.3. Operaciones con subespacios

Interseccion: S =ni=1

Si = {x V |x Si , i = 1, . . . , n}

Suma: S =ni=1

Si = gen

{mi=1

Bi

}, donde Bi es una base de Si

Union: S = S1 S2 es un subespacio cuando S1 S2 o S2 S1Suma directa: S1, . . . , Sk estan en suma directa la union de sus bases es base de V

Dos subespacios son suplementarios cuando estan en suma directa y su suma es todo el espacio.

Operaciones con subespacios


2.4 Bases

2.4. Bases

Si Dim(V ) = n, {v1, . . . , vn} es base de V si y solo si:

{v1, . . . , vn} genera V (2.6){v1, . . . , vn} son linealmente independientes (2.7)

Bases

2.5. Coordenadas de un vector en una base

Si {v1, . . . , vn} es base de un espacio vectorial B y x =ni=1

ivi, entonces CB(x) = (1, . . . , n)

Dado un vector y una base, las coordenadas de ese vector en esa base son unicas.

v,w V y k K:

CB(v + w) = CB(v) + CB(w) (2.8)CB(k v) = k CB(v) (2.9)

Finalmente {v1, . . . , vn} son linealmente independientes {CB(v1), . . . , CB(vn)} lo son para cualquierbase de B.

Coordenadas de un vector en una base

2.6. Matriz de cambio de base

Sean B = {v1, . . . , vn} y C = {w1, . . . ,wn} bases del espacio V . Las matrices de cambio de base son:

CBC =

| | |CC(v1) CC(v2) . . . CC(vn)| | |

(2.10)CCB =

| | |CB(w1) CB(w2) . . . CB(wn)| | |

= C1BC (2.11)Si B y C son bases ortonormales, entonces CBC es una matriz ortogonal.

Matriz de cambio de base

2.7. Teorema de la dimension

Dados los subespacios S,H y T :

Dim(S +H) = Dim(S) + Dim(H) Dim(S H) (2.12)Dim(S +H + T ) = Dim(S) + Dim(H) + Dim(T ) Dim(S (H + T )) Dim(H T ) (2.13)

Teorema de la dimension


3 Producto interno

3. Producto interno

3.1. Axiomas

Sea : VK VK R un producto interno:1. (x, y) K y x, y V2. (x, y) = (y, x) , x, y V3. (x, y) = (x, y) , x, y V y K4. (x, y) = (x, y) , x, y V y K5. (x, y + z) = (x, y) + (x, z) , x, y, z V6. (x, x) 0, (x, y) = 0 x = 0

Axiomas del producto interno

3.2. Producto interno canonico

Se definen los siguientes productos internos para los siguientes espacios vectoriales:

Vectores reales: Rn : (x, y) = xT y

Vectores complejos: Cn : (x, y) = xHy

Matrices reales: Rnm : (A,B) = tr(ATB)

Matrices complejas: Cnm : (A,B) = tr(AHB)

Funciones reales: PR[a, b] : (p, q) = ba

p(t)q(t)dt

Funciones complejas: PC [a, b] : (p, q) = ba

p(t)q(t)dt

Producto interno canonico

3.3. Definiciones

Dados x, y:

(x, y) = 0 xy (3.1)

Los elementos pueden ser de cualquier espacio vectorial, se utilizaron vectores por comodidad.

Ortogonalidad


3.3 Definiciones

Se define la norma de un vector como:

|x|2 = (x, x) (3.2)

La norma de un vector depende del producto interno, pero cumple las siguientes propiedades:

|x| Rx V|x| 0 (|x| = 0 x = 0)|k x| = |k| |x|Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

|(x, y)| |x| |y| , x, y VK (3.3)

La igualdad se cumple si x yDesigualdad triangular:

|x + y| |x|+ |y| (3.4)

Teorema de pitagoras: Si xy entonces:

|x + y|2 = |x|2 + |y|2 (3.5)

La recproca solo vale para R

Identidad del paralelogramo:

|x + y|2 + |x y|2 = 2(|x|2 + |y|2

),x, y V (3.6)


norma de un vector

Dado x, y:

cos() =(x, y)|x| |y| (3.7)

Con [0, pi],x, y 6= 0 para espacios vectoriales reales con producto interno.


Angulo entre dos vectores

Sea A VK A = {x VK |(x, y) = 0,y A}

Para el calculo del complemento ortogonal a un subespacio de dimension finita, alcanza con exigir laortogonalidad a un sistema de generadores


Complemento ortogonal


3.4 Matriz asociada al producto interno

Dados x,y, se define la funcion distancia como:

d : VR VR R+ : d(x, y) = |x y| = |y x| (3.8)


Distancia entre vectores

3.4. Matriz asociada al producto interno

Sea B = {v1, . . . , vk} base de VK . Entonces G Kkk, gij = (vi, vj) es la matriz de producto interno:

G =

|v1|2

. . . (v1, vk)...

. . ....

(vk, v1) . . . |vk|2

(3.9)Si B es base de VK y G es la matriz del producto interno en esa base, entonces x, y V :

(x, y) = CHB (x) G CB(y) (3.10)

Matriz de producto interno

Dada la matriz G de producto interno se tiene que:

gii 0,i = 1, . . . , k (3.11)GH = H (3.12)

G es definida positiva (3.13)

G1 (3.14)G de una Base Ortogonal (BOG) es una matriz diagonal (3.15)G de una Base Ortonornal (BON) es una matriz identidad (3.16)

Propiedades de la matriz de producto interno


4 Proyecciones y matrices de proyeccion

4. Proyecciones y matrices de proyeccion

4.1. Propiedades de la proyeccion

Sea S V yS su complemento ortogonal, entonces x V :

x = uS

+ vS

= PS(x) + PS (x) (4.1)

Se definen las siguientes propiedades:

PS(x) es el vector de S mas proximo a x

PS(v) = v v S y ademas PS(w) = 0 w S

Por pitagoras: |x|2 = |PS(x)|2 +PS (x)2 ,x V

|PS(x)| |x|. Si |PS(x)| = |x| entonces x Sd(x, S) =

PS (x)d(x, S) = |PS(x)|

Propiedades de la proyeccion

4.2. Proyeccion y reflexion

Sea S un subespacio de V , y B = {v1, . . . , vk} una base ortogonal (BOG) de S. Entonces x V :

PS(x) =ki=1

(vi, x)(vi, vi)

vi (4.2)

RS(x) = 2PS(x) x = 2PS(x)(PS(x) + PS (x)

)= PS(x) PS (x) = x 2PS (x) (4.3)

Proyeccion y reflexion


4.2 Proyeccion y reflexion

4.2.1. Proyeccion y transformaciones lineales

Sea T : VK VK una transformacion lineal tal que:

Im(PS) = S (4.4)

Nul(PS) = S (4.5)

Y sea B = {v1, . . . , vq S

, vq+1, . . . , vn S

} una base de V, entonces la matriz de la transformacion lineal es:

[PS ]B =

1 . . . 0. . .

...1

0...

. . .0 . . . 0

(4.6)

Tantos 1 como la dimension del espacio sobre el cual proyecto, y tantos 0 como la dimension del comple-mento ortogonal.

Nota: La matriz de un operador proyeccion en una Base Ortonormal (BON) es una matriz de proyeccion. Encualquiera otra base, no lo es.

Proyecciones y Transformaciones lineales

4.2.2. Reflexion y transformaciones lineales

Sea T : VK VK una transformacion lineal tal que:

T (v) = v,v S (4.7)T (v) = v,v S (4.8)

Y sea B = {v1, . . . , vq S

, vq+1, . . . , vn S

} una base de V, entonces la matriz

de la transformacion lineal es:

[T ]B =

1 . . . 0. . .

...11

.... . .

0 . . . 1

(4.9)

Tantos 1 como la dimension del espacio sobre el cual proyecto, y tantos-1 como la dimension del complemento ortogonal.

Nota: La matriz de un operador proyeccion en una Base Ortonormal(BON) es una matriz de proyeccion. En cualquiera otra base, no lo es.

Proyecciones y Transformaciones lineales

Figura 4.1: Proyeccion y reflexion


4.3 Matriz de Householder

4.3. Matriz de Householder

La matriz de reflexion sobre un subespacio de dimension n 1 que es ortogonal a un vector w en un espaciode dimension n se puede obtener mediante la expresion:

H = Id 2w wT

wT w (4.10)

Dicha matriz tiene las siguientes propiedades:

Es involutiva: H H = IdEs simetrica: HT = H

Es inversible: H1 y H1 = HEs ortogonal: HTH = HHT = Id

Propiedades de la proyeccion

4.4. Rotaciones en R3

Sea B = {v1, v2, v3} una Base Ortonormal (BON) de R3 y sea T la rotacion grados alrededor del eje vi:

Rotacion sobre v1 : [T ]B =

1 0 00 cos() sin()0 sin() cos()

(4.11)Rotacion sobre v2 : [T ]B =

cos() 0 sin()0 1 0sin() 0 cos()

(4.12)Rotacion sobre v3 : [T ]B =

cos() sin() 0sin() cos() 00 0 1

(4.13)(4.14)

Rotaciones en R3

4.5. Proceso de Gram-Schmidt

Dada una base {x1, x2, . . . , xp} para un subespacio W Rn defina:1. v1 = x1

2. v2 = x2 x2 v1v1 v1 v1

3. vp = xp p1i=1

xp vivi vi vi

Entonces {v1, v2, . . . , vp} es una Base Ortogonal (BOG) de W .

Si luego se divde a cada componente por la norma de la base se obtiene una Base Ortogonal (BON) de W .

Proceso de Gram-Schmidt


4.6 Matrices de proyeccion

4.6. Matrices de proyeccion

Utilizando el producto interno canonico de sobre Kn, con K = R o K = C.

P Knn es una matriz de proyeccion si y solo si:

P 2 = P (4.15)

PH = P (4.16)

Dicha matriz tiene las siguientes propiedades:

Col(P ) = Nul(P )

P y = y y Col(P )Si PS es matriz de proyeccion sobre S y PS es matriz de proyeccion sobre S

entonces PS+PS = Id

Las columnas de P son una base del espacio sobre el cual proyectan

rango (P ) = tr(P )

detP 6= 0 si P 6= IdSi P1 y P2 son matrices de proyeccion y P1 P2 = P2 P1 = 0, entonces P1 + P2 es matriz deproyeccion y rango (P1 + P2) = rango (P1) + rango (P2)

Obtencion de la matriz de proyeccion:

1. SeaQ una matriz cuyas columnas son una Base Ortonormal (BON) de S V . Entonces la unica matrizde proyeccion sobre S es [PS ] = Q QT . La matriz de proyeccion sobre S es [PS ] = Id [PS ]

2. Sea B = {v1, . . . , vq} una base de S, y A la matriz que tiene por columnas a v1, . . . , vq . Entonces launica matriz de proyeccion sobre S se obtiene mediante [PS ] = A

(AHA

)1AH = AA#

Matriz de proyeccion

4.7. Inversas y pseudoinversas

Sea A Knq|rango (A) = q. La matriz pseudoinversa de A es A# = (AHA)1AH :Si A es cuadrada invertible, A1 = A#

A# Rqn

A#A = Id(q)

AA# = [P ]Col(A)

Nul(AA#) = [Col(A)]

Propiedades de la pseudoinversa


4.8 Cuadrados mnimos

4.8. Cuadrados mnimos

Sea A Knq, x Kq,b Rn. Si Ax = b tiene una solucion extra, entonces b Col(A). Sib / Col(A), intentamos hallar una solucion x Kq (la solucion por cuadrados mnimos) tal que:Ax b < Au b, u Kq

d(Ax,b) d(Au,b), u KqAx b (Son iguales si b Col(A))Ecuaciones normales de cuadrados mnimos: ATAx = ATb =b

Ax = b = PCol(A)(b) si y solo si:

Ax Col(A) (4.17)bAx Col(A) (4.18)

Figura 4.2: Cuadrados mnimos

Cuadrados mnimos

1. Si x = 0 entonces b [Col(A)]. La recproca solo es cierta si A es invertible.2. Si las columnas de A son linealmente independientes, la solucion por cuadrados mnimos es unica y

se obtiene mediante:

x = (ATA)1ATb = A#b (4.19)

Si las columnas deA son linealmente dependientes, el sistemaATAx = AT b tiene infinitas soluciones,y estas son de la forma x = xp + xn

Nul(A)

3. Si b Col(A), entonces toda solucion de Ax = b es una solucion exacta y por cuadrados mnimos

4. El error de aproximacion es igual ab b

Propiedades de Cuadrados mnimos

4.8.1. Norma mnima

La solucion por cuadrados mnimos de norma mnima pertenece al espacio Fil(A)y se obtiene como:

x = A+b (4.20)

Siendo A+ la pseudoinversa de Moore-Penrose de A.

Pseudoinversa de Moore-Pensore


4.9 Regresion lineal

4.9. Regresion lineal

Sean los puntos Pi = (xi, yi) con i = 1, 2, . . . , n. La recta que mejor aproxima a los puntos es:

y = 01 + 1x (4.21)

Y los coeficientes i se obtienen resolviendo el sistema:1 x11 x2...

...1 xn

[01

]=

y1y2...yn

(4.22)Si se aproxima por una parabola se agrega otro nivel de complejidad, con y = 2x2 + 1x + 0, lo queimplica una columna adicional a la matriz para los terminos cuadraticos, una fila adicional para la constante2 en la variable.

Se siguen agregando columnas a la matriz y filas al vector tantas veces como grados de complejidad senecesiten.

Regresion lineal

5. Transformaciones linealesSea T `(VK ,WK) y A = [T ]BC con B base de V y C base de W la matriz de T .

5.1. Condiciones para las Transformaciones lineales

Para que una transformacion se considere lineal debe cumplir:

1. T (u + v) = T (u) + T (v), con u, v V2. T (u + v) = T (u) + T (v), con u, v VK y , K3. T (0VK ) = 0VK

Condiciones para ser Transformacion lineal

5.2. Nucleo e Imagen

Nucleo: Nul(T ) = {v VK | T (v) = 0W } = C1B (Nul(A)).Imagen: Im(T ) = {w WK | T (v) = w con v VK} = C1C (Col(A)).

Ambos son subespacios vectoriales.

La imagen de una Transformacion Lineal puede obtenerse como lo que generan los transformados de unabase del espacio de partida.

Nucleo e Imagen


5.3 Clasificacion de las Transformaciones lineales

Sea T `(V,W ) y sea Dim(V ) = n (finita). Entonces:

Dim(V ) = Dim(Nul(T )) + Dim(Im(T )) (5.1)

Teorema de la dimension

5.3. Clasificacion de las Transformaciones lineales5.3.1. Monomorfismo(Inyectividad)

Una Transformacion lineal es inyectiva si verifica:

v1 6= v2 T (v1) 6= T (v2) , v1, v2 V (5.2)Nul(T ) = {0V } Dim(Im(T )) = Dim(V ) (5.3)

Una Transformacion Lineal Inyectiva transforma conjuntos Linealmente Independientes a conjuntosLinealmente Independientes.

La recproca tambien es cierta: si A es un conjunto Linealmente Independiente y es transformado en otroconjunto Linealmente Independiente, la Transformacion Lineal es inyectiva. Es decir: Si T es inyectiva y Aes Linealmente Independiente, T (A) es Linealmente Independiente.

Las matrices asociadas a Transformaciones Lineales inyectivas tienen sus columnas Linealmente Indepen-dientes.

Si Dim(V ) > Dim(W ), T no puede ser inyectiva.

Monomorfismo

5.3.2. Epimorfismo(Sobreyectividad)

Una Transformacion lineal es sobreyectiva si y solo si:

Im(T ) = W (5.4)

Las matrices asociadas a Transformaciones lineales sobreyectivas tienen sus filas Linealmente Independien-tes.

Si Dim(W ) > Dim(V ), T no puede ser sobreyectiva.

Epimorfismo


5.4 Matriz asociada a una Transformacion lineal

5.3.3. Isomorfismo(Biyectividad)

Una Transformacion lineal es biyectiva si y solo si:

Dim(W ) = Dim(V ) (5.5)Nul(T ) = {0V } (5.6)

Es decir, si es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez.

T es biyectiva si {v1, . . . , vn} es base de V {T (v1), . . . , T (vn)} es base de WLa matriz asociada a una Transformacion lineal biyectiva tiene sus filas y columnas Linealmente Inde-pendientes, o sea que es una matriz inversible, es decir, existe una transformacion lineal inversa T1 = [T ]1

Si Dim(V ) = Dim(W ), entonces o bien T es inyectiva y sobreyectiva, o no es ninguna de las dos.

Biyectividad

5.4. Matriz asociada a una Transformacion lineal

Sea T `(VK ,WK), sea B = {v1, . . . , vq} base de V y C = {w1, . . . ,wm} base de W . Entonces T sepuede escribir como T (x) = Ax, con A Kmq tal que:

A = [T ]BC =

| | |CC(T (v1)) CC(T (v2)) . . . CC(T (vq))| | |

(5.7)Dicha matriz posee las siguientes propiedades:

[T ]BC CB(v) = CC(T (v)) ,v Vv Nul(T ) CB(v) Nul(A)w Im(T ) CC(w) Col(A)Dim(Im(T )) = rango (A)

Matriz de la Transformacion lineal

Sean V y W K-espacios vectoriales (K = R o C). Sea T : V W .

Si B1 y B2 son bases ordenadas de V , y C1 y C2 son bases ordenadas de W , entonces:

rango ([T ]B1C1) = rango ([T ]B2C2) (5.8)

Teorema para matrices de Transformacion lineal


5.5 Teorema fundamental de las Transformaciones lineales

5.5. Teorema fundamental de las Transformaciones lineales

Sea B = {v1, . . . , vn} base de V y w1, . . . ,wn vectores deW . Entonces existe y es unica la Transformacionlineal que verifica:

T (vi) = wi , i = 1, . . . , n (5.9)

Ademas, dada una Transformacion lineal y un par de bases, existe una unica matriz asociada.

La recproca tamben es verdadera: dada una matriz y un par de bases, existe una unica Transformacion linealasociada.

Teorema fundamental de las Transformaciones lineales

5.6. Composicion de Transformaciones lineales

Sea f `(V,W ) y g `(W,H) g f (V,H). Podemos encontrarla siguientes propiedades:

Nul(f) Nul(g f) (5.10)Im(g f) Im(g) (5.11)

Composicion de Transformaciones lineales

Figura 5.1: Composicion

5.7. Operadores lineales

Un operador lineal es una Transformacion lineal que va de un espacio en si mismo, se escrbe como T `(V )y cuenta con las siguientes propiedades:

Si T1 `(V ) y T2 `(V ), entonces T1 T2 `(V )Si T `(V ), Tn = T T . . . T

n veces

Operadores lineales


6 Autovalores y Autovectores

6. Autovalores y Autovectores

6.1. Definiciones basicas

Autovector: Un vector v 6= 0 es autovector de A Knn K | Av = v

Autoespacio: El autoespacio de A asociado a un autovalor es S(A) = Nul(A I)

Polinomio caracterstico: El polinomio caracterstico de una matriz A Knn es pA() = |A I|, ytiene grado n. Si K = R el polinomio tiene a lo sumo n races. Si K = C tiene exactamente n races.

Autovalor: Los autovalores de una matriz son las races de su polinomio caracterstico.

Espectro de una matriz: (A) = { K | es autovalor de A}.

Definiciones basicas

6.2. Autovalores complejos de matriz real

Supongamos que v es un autovector de A Rnn asociado a = a+ b con a, b R, b 6= 0.Entonces v es tambien un autovector de A Rnn asociado a = a b.

En particular si {v1, . . . , vn} es una base de S, entonces {v1, . . . , vn} es una base de S

Autovalores complejos

6.3. Multiplicidad geometrica y algebraica de un Autovalor

Se define:

mg() = Dim(S(A))

ma().= numero de veces que aparece como raz del polinomio caracterstico.

Siempre se verifica que:

1 mg() ma() (6.1)

Multiplicidad de Autovalores


6.4 Propiedades

6.4. Propiedades

Sea A Knn:A es singular 0 es un autovalor de A mg(0) = n k rango (A) = k < nDos autovectores asociados a autovalores distintos son Linealmente Independientes

Si A K2x2, entonces pA() = 2 tr(A)+ |A|Si todas las filas o columnas de A sumas s, entonces s es autovalor de A.

Sea p(t) un polinomio de grado k. Si es autovalor de A, entonces se cumple que p() es autovalorde p(A), y para cada autovalor de p(A) existe un autovalor de A tal que p() = .

Si es autovalor de A:

es autovalor de AT 1 es autovalor de A1 y S1

(A1

)= S(A)

r es autovalor de r A k es autovalor de Ak, con k N + r es autovalor de A+ r I

Propiedades de Autovalores y Autovectores

6.5. Autovalores y Autovectores de operadores lineales

T : VK VK . Un vector v 6= 0 es autovector de T T (v) = v, con autovalor de T .S(T ) = {x V | T (x) = x y autovalor de T} = Nul(T I). Si B es base de V y A es la matriz deT en esa base, entonces:

(A) = (T )B base de V (6.2)x es autovector de T CB(x) es autovector de [T ]B = A (6.3)

Se deducen las siguientes propiedades:

T (x) = x Tn(x) = nx, n NSi es autovalor de T , 1 es autovalor de T1

Si h es un polinomio en K y T (x) = Ax, entonces:

[h(A)] = h[(A)] (6.4)Sh()h(A) = S(A) (6.5)

T : VK VK es regular 0 / (T )

Autovalores y Autovectores de Operadores lineales


6.6 Diagonalizacion

6.6. Diagonalizacion

Los siguientes enunciados son equivalentes para definir si A Knn es diagonalizable:A D una base de Kn compuesta por autovectores de AA tiene n autovalores Linealmente Independientes

mg() = ma() (A)P invertible y D diagonal tal que:

A = PDP1 (6.6)

Siendo P la matriz de autovectores y D la matriz diagonal de autovalores.

Diagonalizacion

6.6.1. Matrices trivialmente diagonalizables

Matriz nula:

Autovalores: 0 Autovectores: Cualquier vector no nulo

Matriz identidad:

Autovalores: 1 Autovectores: Cualquier vector no nulo

Matriz diagonal:

Autovalores: aii, los elementos de la diagonal Autovectores: Los que tienen sus componentes nulas, excepto la n-esima.

Matriz escalar:

Autovalores: k R Autovectores: Cualquier vector no nulo

Matriz de proyeccion:

Autovalores: 1 con ma(1) = mg(1) = Dim(S) y 0 con ma(0) = mg(0) = Dim(S) Autovectores: Los vectores de S asociados a 1 y los asociados a S a 0

Matriz de reflexion:

Autovalores: 1 con ma(1) = mg(1) = Dim(S) y -1 con ma(0) = mg(0) = Dim(S) Autovectores: Los vectores de S asociados a 1 y los asociados a S a -1

Diagonalizaciones triviales


7 Matrices hermticas y simetricas

6.6.2. Propiedades

Si A es diagonalizable entonces An es diagonalizable (DnA = DAn y (An) = n(A)). La recproca

es falsa

Si A Cnn tiene n autovalores distintos entonces A es diagonalizable. La recproca es falsa

|A| =ni=1

i = pA(0)

tr(A) =ni=1

i

Propiedades de la diagonalizacion

6.6.3. Diagonalizacion de transformaciones lineales

Los siguientes enunciados son equivalentes para decir que T `(VK) con Dim(VK) = n, es diagonalizable:B base de VK tal que [T ]B es diagonalB base de VK formada por autovectores de TT tiene n autovectores Linealmente Independientes

Esa base B y [T ]B = diag((T )).

Si A = [T ]H , H cualquiera base, entonces T es diagonalizable si y solo si A es diagonalizable.

Diagonalizacion de Transformaciones Lineales

7. Matrices hermticas y simetricas

7.1. Diagonalizacion

Matriz antisimetrica: Si A Rnn es antisimetrica (AT = A) entonces:Los autovalores de A son imaginarios puros o nulos

Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

A es diagonalizable unitariamente.

Matriz antisimetrica


7.1 Diagonalizacion

Matriz simetrica(hermtica): Si A Rnn es simetrica (B Cnn es hermtica) si y solo si:A es diagonalizable ortogonalmente:

A = PDPT (7.1)

B es diagonalizable unitariamente:

B = PDPH (7.2)

Con D real.


A y B tienen n autovalores reales

Los elementos de la diagonal de A y B son reales

|A| RDim(S(A)) = ma() (A)Dim(S(B)) = ma() (B)Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

Matriz simetrica(hermtica)

Matriz ortogonal(unitaria): Si A Rnn es ortogonal (B Cnn es unitaria) si y solo si:

AAT = ATA = Id (7.3)

AT = A1 (7.4)o BB

H = BHB = Id (7.5)

BH = B1 (7.6)

Las columnas de A y B son Base Ortonormal de Rn y Cn respectivamente.


|A| = 1. Si |A| = 1, A es la matriz de rotacionLos autovalores tienen modulo 1 y pueden ser reales o complejos

Son matrices unitariamente diagonalizables

Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales

Preservan los productos internos: (Ax, Ay) = (x, y)

Preservan las normas asociadas al producto interno: |Ax| = |x|Si C es unitaria, BC y CB son unitarias tambien.

Matriz ortogonal(unitaria)


7.2 Descomposicion espectral

7.2. Descomposicion espectral

Si A = PDP1 = PDPT , las columnas de P son autovectores ortonormales u1, . . . ,un de A y losautovalores correspondientes 1, . . . , n estan en la matriz diagonal D. Entonces:

A =

ni=1

iuiuTi (7.7)

Descomposicion espectral de matrices simetricas

7.3. Subespacios invariantes por una transformacion lineal

S Kn es invariante por A Knn x S | Ax SS V es invariante por T `(V ) x S | T (x) S


Si es autovalor de T , entonces S(T ) es un subespacio invariante por T , puesto que:

x S(T ) T (x) = x S(T ) (7.8)

No todo subespacio invariante es un autoespacio de T , pero s los de dimension 1

Subespacios invariantes por una transformacion lineal

8. Formas cuadraticas

Una forma cuadratica en Rn es una funcion Q : Rn R tal que:

Q(x) = xTAx (8.1)

Donde A es una matriz simetrica Rnn.

Formas cuadraticas

Sea A una matriz simetrica Rnn. Entonces existe un cambio ortogonal de variable, x = Py, donde P esuna matriz ortogonal tal que |P | = +1 e y es el nuevo vector, que transforma la forma cuadratica xTAx auna forma cuadratica yTDy sin terminos cruzados:

xTAx = (Py)T A (Py) = yT PTAP D

y = yTDy = g(y) (8.2)

Teorema de los ejes principales


8.1 Clasificacion

Sea la forma cuadratica Q(x) = xTAx, con A = PDPT .

El conjunto de todas las x Rn | xTAx = c es una elipse, una hiperbola, dos rectas, un punto o ninguno.

Si A es diagonal, la grafica esta en posicion estandar. Si A no es diagonal, la grafica esta girada hasta salirsede la posicion estandar. Los ejes principales son los autovectores deA y son el nuevo sistema de coordenadaspara los cuales la grafica esta en posicion estandar.

Perspectiva geometrica de los ejes principales

8.1. Clasificacion

Una forma cuadratica Q(x) = xTAx es:

Definicion Criterio I Criterio II

Definida positiva Q(x) > 0,x 6= 0a11 > 0,|A| > 0 Autovalores de A positivos

Semidefinida positiva Q(x) 0,x|Ak| 0,

k = 1, . . . , nAutovalores de A positivos o nulos

Definida negativa Q(x) < 0,x 6= 0a11 < 0,|A| > 0 Autovalores de A negativos

Semidefinida negativa Q(x) 0,x|Ak| 0,

k = 1, . . . , nAutovalores de A negativos o nulos

Indefinida Q(x) 0 Autovalores de A negativos y/o positivos

Clasificacion de las formas cuadraticas


8.2 Optimizacion restringida

8.2. Optimizacion restringida

Sea la forma cuadratica Q(x) = xTAx, con A simetrica. Se verifica:

min(A) Q(x) x 2 max(A) (8.3)

Sea extremar una forma cuadratica f : Rn R, f(x) = xTAx, (A simetrica), sujeto a la restriccion |x| = .

El maximo de f es max(A)2 y se alcanza en M = {x Smax(A) | |x| = }

El mnimo de f es min(A)2 y se alcanza en m = {x Smin(A) | |x| = }

Sea extremar una forma cuadratica f : Rn R, f(x) = xTAx,(A simetrica), sujeto a la restriccionxTBx = 2, y sea B definida positiva tal que B = PBDBPTB . Mediante el cambio de variable y =DBP

TB x x =

D1B PBy, esto es equivalente a extremar g(y) = y

T

(D1B

T

PTBAPB

D1B

)y

sujeto a la restriccion |y| = . Entonces:

Max g(y) = Max f(x) (8.4)mn g(y) = mn f(x) (8.5)

Los x en donde se alcanza ese extremo se hallan realizando x = PBy

Teorema de Rayleigh

9. Descomposicion en Valores Singulares (DVS)

9.1. Definicion

Valores singulares: Se define como:

V S(A) =i , i (ATA) (9.1)

Sea A una matriz de m n con rango r. Entonces existe una matriz , y existen una matriz U ortogonal demm y una matriz V ortogonal de n n tales que A = UV T donde:

Rmn es tal que =[D 00 0

], y la matriz diagonal D tiene como elementos a los primeros r

valores singulares de ATA, ordenados en forma descendente i . . . r > 0.V Rnn es una matriz cuyas columnas son unas Base Ortonormal (BON) de autovectores{v1, . . . , vn} asociados a los autovalores de ATA.

U Rmm es una matriz cuyas primeras r columnas son los vectores Av11

, . . . ,Avrr

. Las otras

columnas se obtienen completando la Base Ortonormal (BON) de Rm. Las columnas de U son auto-vectores de AAT

Descomposicion en Valores Singulares (DVS)


9.2 Subespacios de las DVS

9.2. Subespacios de las DVS

Sea A Kmn:

A =

| |u1 . . . um| |

mm

D . . . 0... . . . 00 0 0

mn

| |v1 . . . vn| |

T

nn

(9.2)

Si rango (A) = r entonces:

{ u1, . . . ,ur BON de Col(A)

,

BON de Col(A) ur+1, . . . ,um} (9.3)

{ v1, . . . , vr BON de Fil(A)

,

BON de Fil(A) vr+1, . . . , vm} (9.4)

Subespacios de la DVS


9.3 Propiedades de las DVS

9.3. Propiedades de las DVS

rango (A) = rango () = rango(T)

= #V S(A)>0

A Rnn es inversible A tiene n V S positivosV S(A)>0 = V S(A

T )>0

Si A Rnn |A| =ni=1

V Si(A)

Si A es cuadrada y definida positiva (A) = V S(A)Si A B V S(A) = V S(B)Si B es ortogonal A,AB y BA tienen los mismos valores singularesSi A es cuadrada y simetrica V Si(a) = |i(A)|Si las filas de A son una Base Ortonormal (BON), los valores singulares no nulos de A son 1

Si las columnas de A son una Base Ortonormal (BON), los valores singulares de A son 1

La matriz ATA (Matriz de Gram de A) es siempre simetrica y semidefinida positiva, con lo cual nun-ca tendra valores singulares negativos. Sera definida positiva cuando A tenga columnas LinealmenteIndependientes.

Sea T : Rm Rn una transformacion lineal tal que T (x) = Ax. Sea la forma cuadratica f(x) =|T (x)|2 = xT (ATA)x. Entonces: El maximo de f(x) sujeto a |x| = 1 es max

(ATA

). Entonces el maximo de |T (x)| es

V Smax(A) y se alcanza en M = {x Rm | x Smax(ATA

), |x| = 1}

El mnimo de f(x) sujeto a |x| = 1 es min(ATA

). Entonces el mnimo de |T (x)| es V Smin(A)

y se alcanza en m = {x Rm | x Smin(ATA

), |x| = 1}

Propiedades de la DVS

9.4. DVS reducida y Pseudoinversa

Sea A Rnm. Si A = UV T y rango (A) = r. Entonces una Descomposicion en Valores Singularesreducida (DVSr) de A es:

A = UrrVTr (9.5)

Siendo Ur Rnr,r Rrr,V Tr Rrm

DVS reducida


10 Ecuaciones diferenciales

Se define la pseudoinversa de Moore-Pensore como:

A+ = Vr1r U

Tr (9.6)

Sea A Rnm, se deducen las siguientes propiedades:A+ = A# cuando rango (A) = m

A+A = VrVTr = PFil(A)

AA+ = UrUTr = PCol(A)

Pseudoinversa de Moore-Penrose

10. Ecuaciones diferenciales

10.1. Wronskiano

SeaA = {f1, . . . , fq} funciones definidas en un invervalo I R, a valores en C, con derivada hasta el ordenq 1 continua en I . La matriz de Wronski de A es,para cada x I

MwA(x) =

f1(x) . . . fq(x)f 1(x) . . . f

q(x)

f 1 (x) . . . fq (x)

......

f(q1)1 (x) . . . f

(q1)q (x)

(10.1)

Se define al Wronskiano como:

wA(x) = |MwA | =

f1(x) . . . fq(x)f 1(x) . . . f

q(x)

f 1 (x) . . . fq (x)

......

f(q1)1 (x) . . . f

(q1)q (x)

(10.2)


Si existe un x0 I tal que wA(x0) 6= 0, entonces las funciones f1, . . . , fq son Linealmente Indepen-dientes

Si un conjunto es Linealmente Dependiente en I , su wronskiano es la funcion nula. La recproca esfalsa; es verdadera solo si las funciones que componen el wronskiano son soluciones de una EcuacionDiferencial lineal de orden superior

La derivada del wronskiano es el determinante obtenido derivando la ultima fila.

La derivada del wronskiano es la suma de q determinantes.

Matriz de Wronski


10.2 Identidad de Abel

10.2. Identidad de Abel

Sea la ecuacion diferencial y(x)(n)+an1 y(x)(n1)+ . . .+a1 y(x)+a0 y(x) = 0 en un intervalo I R,sea S = {y1, . . . , yn} el conjunto de las soluciones de la ecuacion diferencial, y sea Ws el Wronskiano deeste conjunto. Entonces se verifica que:

W s(x) = an1 Ws(x) (10.3)

Identidad de Abel

10.3. Existencia y unicidad de Problemas de Valores Iniciales (PVI)

Sea el problema any(x)(n) + an1 y(x)(n1) + . . . + a1 y(x) + a0 y(x) = f(x) sujeto a la condicioninigial y(x0) = y0. La condicion de existencia y unicidad de la solucion del problema de valores iniciales es:

Ecuacion diferencial normal en I : an 6= 0,x I (10.4)x0 I (10.5)

Problemas de Valores Iniciales

10.4. Variables separables

y(x) =f(x)g(y)

dy

dx=f(x)g(y)

g(y)dy = f(x)dxG(y) = F (x) + c

Ecuacion diferencial

Derivada con diferenciales

Separo las variablesIntegro

Variables separables

10.5. Lineales de 1er orden

Obtenemos primero la solucion general de la homogenea yH y luego una particular de la no homogenea yP .La solucion buscada sera yG = yH + yP

La solucion de la ecuacion homogenea asociada a y = p(x)y = 0 es de variables separables, unasolucion es yH(x) = e

p(x)dx

La solucion no homogenea se obtiene multiplicando toda la ecuacion por el factor integrante de La-grange:

u(v) = ep(x)dx (10.6)

Y la ecuacion a resolver sera [u(v) y(x)] = u(v) q(x)

Lineales de 1er orden


10.6 Diferencial exacta

10.6. Diferencial exacta

Son del tipo P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0.

Es diferencial exacta si existe f(x, y) tal que df = P (x, y)dx+Q(x, y)dy, es decir si:

df

dx= P (x, y) (10.7)

df

dy= Q(x, y) (10.8)

En ese caso, la solucion general es f(x, y) = C. Se cumple que la ecuacion anterior es diferencial exacta si

y solo sidP

dy=dQ

dx

Se dice ademas que (x, y) es un factor integrante de la ecuacion P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 si al multiplicarla ecuacion por (x, y) la ecuacion resulta diferencial exacta.

Diferencial exacta

10.7. Lineales homogeneas de orden superior con coeficientes constantes

Son del tiponi=0

ai y(i)(t) = 0, t I .

Polinomio caracterstico: p() =ni=0

aini

Espectro de la ecuacion diferencial: (p) = { C | p() = 0}

yH(t) = tket es una solucion de la Ecuacion diferencial si (p), con multiplicidad m,

k = 0, 1, . . . ,m 1

Si la ecuacion diferencial es de coeficientes reales, las races del polinomio caracterstico apareceran conju-gadas. Es decir: 1,2 = .Luego:

y1(t) = et (cos(t) + sin(t))

y2(t) = et (cos(t) sin(t))

Entonces, gen{y1, y2} = gen{et cos(t), et sin(t)}

Lineales homogeneas de orden superior con coeficientes constantes


10.8 Lineales no homogeneas de orden superior con coeficientes constantes

10.8. Lineales no homogeneas de orden superior con coeficientes constantes

Son del tiponi=0

ai y(i)(t) = f(x).

La solucion es de la forma yG(x) = yH(x) + yP (x), donde yH(x) se obtiene del caso anterior, e yP (x) seobtiene mediante algunos de estos metodos:

Metodo de variacion de parametros: Aplicable en cualquier caso.

yP (t) =

ni=1

ui(x) yi(x), siendo yi(x) las soluciones de yH(x), y ui(x) las funciones que satisfacen:

y1 y2 . . . yny1 y

2 . . . y

n

......

. . ....

y(n)1 y

(n)2 . . . y

(n)n

u1u2...un

=

00...

f(x)

an

(10.9)

Metodo de coeficientes indeterminados: Aplicable cuando f(x) es exponencial, polinomica otrigonometrica.

Siendo a2y(t) + a1y(t) + a0y(t) = f(x), con f(x) =ki=1

pi(x) emix, yP (t) =ki=1

qi(x) emix

Si emkx no es solucion de la Ecuacion diferencial ordinaria homogenea asociada (i.e. mk no essolucion de a22 + a1+ a0 =), qk es un polinomio de grado pk con coeficientes a determinar

Si emkx si es solucion de la Ecuacion diferencial ordinaria homogenea asociada (i.e. mk no essolucion de a22 + a1+ a0 =), qk es un polinomio de un grado mayor que pk con coeficientesa determinar

Una vez armada la yP (t) se reemplaza en la ecuacion diferencial original, e igualando los termi-nos semejantes se hallan los coeficientes indeterminados.

Lineales no homogeneas de orden superior con coeficientes constantes

11. Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales{x(t) = a11x+ a12y + b1y(t) = a21x+ a22y + b2

[x

y

]=

[a11 a12a21 a22

] [xy

]+

[b1b2

] X = AX +B

11.1. Sistemas homogeneos con A diagonalizable

La solucion de X = AX +B, (A Knn, con i autovalor de A y vi autovector de A asociado a i,es:

X =

ni=1

civieit =

| |v1e1t . . . vnent| |

(t)Knn

c1...cn

C

(11.1)

Sistemas homogeneos con A diagonalizable


11.2 Sistemas no homogeneos con A diagonalizable

11.2. Sistemas no homogeneos con A diagonalizable

Sea el sistema X = AX +B. La solucion es XG = XH +XP con:

XH =

ni=1

civieit = (t)C

XP = (t) u(t), siendo u(t) tal que (t) u(t) = B

Sistemas no homogeneos con A no diagonalizable

11.3. Sistemas homogeneos con A no diagonalizable

Sea el sistemaX = AX . ConA no diagonalizable, proponemos una factorizacion de la formaA = PJP1,donde J Cnn es la matriz de Jordan de A que tiene la siguiente estructura en bloques:

J =

J1 0 0 00 J2 0 0...

.... . . 0

0 0 . . . Jl

(11.2)Donde cada bloque Ji es una matriz de ki ki de la forma:

Ji =

i 1 0 00 i 1 0...

.... . . 1

0 0 . . . i

(11.3)Para algun autovalor i de A.

Dado un autovalor i, su multiplicidad geometrica es el numero de bloques de Jordan correspondientes a i,y su multiplicidad algebraica es la suma de los tamanos de los bloques correspondientes a ese autovalor.

Luego: X = AX X=PY PY = PJP1PY Y = JY . Resolvemos este sistema y la solucion general

del problema se expresara como X(t) = PY (t)

Sistemas no homogeneos con A diagonalizable

A necesariamente posee un autovalor doble R de multiplicidad geometrica 1, con lo cual la matriz Jposee un solo bloque correspondiente a :

J =

[ 10

](11.4)

Respecto de la matriz P = [v1, v2] debe ser inversible y AP = PJ . La matriz P se obtiene hallandoun par de vectores v1 y v2 Linealmente Independientes que satisfagan las condiciones (A I) v1 = 0 y(A I) v2 = v1. Observamos que v1 es autovector de A asociado a

Sistemas no homogeneos con A R22 no diagonalizable


11.3 Sistemas homogeneos con A no diagonalizable

1. A tiene un autovalor triple R de multiplicidad geometrica 1. En este caso:

J =

1 00 10 0

(11.5)Respecto de P = [v1, v2, v3], estos autovectores deben ser Linealmente independientes y satisfacer lascondiciones:

(A I) v1 = 0 (11.6)(A I) v2 = v1 (11.7)(A I) v3 = v2 (11.8)

Observemos que v1 es autovector de A asociado a

2. A tiene un autovalor triple R de multiplicidad geometrica 2. En este caso:

J =

1 00 00 0


(A I) v1 = 0 (11.10)(A I) v2 = v1 (11.11)(A I) v3 = 0 (11.12)

Observemos que v1 y v3 son autovectores de A asociados a

3. A tiene un autovalor doble R de multiplicidad geometrica 1 y un autovalor R simple. En estecaso J debe tener dos bloques de Jordan

J =

1 00 00 0


(A I) v1 = 0 (11.14)(A I) v2 = v1 (11.15)(A I) v3 = 0 (11.16)

Observemos que v1 y v3 son autovectores de A asociados a y respectivamente.

Sistemas no homogeneos con A R33 no diagonalizable


algebra ii

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