algebra de 2do año secundaria ii bimestre

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Propiedades a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Determinado Indeterminado se cumple se cumple 2 1 2 1 b b a a 2 1 2 1 2 1 c c b b a a Compatible Incompatible se cumple 2 1 2 1 2 1 c c b b a a SISTEMA DE ECUACIONES Es un conjunto de ecuaciones que verifican para una solución común. Clasificación Ejemplo: 3x – y = 3 x + y = 1 Solo se cumple cuando: x = 1; y = 0 Compatible Determinado Indeterminad o Tiene una cantidad limitada de soluciones Ejemplo: x + 2 = 2 2x + 2y = 4 Se cumple para: x = 1y = 1 x = 2y = 0 x = 3y = - 1 x = -1y = 3 Tiene una cantidad ilimitada de soluciones Tiene solución Incompatibl e No tiene solución llamado también absurda. Ejemplo: x + y = 2 x + y = 5 No se cumple para ningún valor de x e y.

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Algebr para segundo año

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Page 1: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

Propiedadesa1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

Determinado Indeterminado

se cumple se cumple

2

1

2

1b

b

a

a

2

1

2

1

2

1c

c

b

b

a

a

Compatible Incompatible

se cumple

2

1

2

1

2

1c

c

b

b

a

a

SISTEMA DE ECUACIONESEs un conjunto de ecuaciones que verifican para una solución común.

Ejemplo:

x + y = 2

x + y = 5

No se cumple

No tiene solución llamado también absurda.

Incompatible

Tiene solución

Tiene una cantidad ilimitada de soluciones

Ejemplo:

x + 2 = 2

2x + 2y = 4

Se cumple para:

x = 1 y = 1

Tiene una cantidad limitada de soluciones

IndeterminadoDeterminado

Compatible

Ejemplo:

3x – y = 3

x + y = 1

Solo se cumple

Clasificación

Page 2: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre
Page 3: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

I. Resuelve los siguientes sistemas:

1){x+ y=7 ¿ ¿¿¿

2){3 x+2 y=9 ¿¿¿¿

3){5 x+4 y=31 ¿ ¿¿¿

4){6 x−6 y=60 ¿¿¿¿

5){−3 x−2 y=7 ¿ ¿¿¿

6){x+13

= y ¿¿¿¿

7){x+3y =2 ¿ ¿¿¿

8){x=2 y+3 ¿¿¿¿

9){2 x+5 y=−1¿ ¿¿¿

10){2( x+ y−3 )=0 ¿ ¿¿¿

11){30−(8−x )=2 y+80 ¿ ¿¿¿

12){(x− y )−(6 x+8 y )=−(10 x+5 y+3 )¿ ¿¿¿

13){12( x+2 y )−8 (2x+ y )=2(5 x−6 y ) ¿ ¿¿¿

14){35 x−14 y=2 ¿¿¿¿

15){x+52

+2( y−1 )3

=x+ y2

¿¿¿¿

1.- Resolver:x + y = 5

x – y = 7 Indicar: 3x + y

a) 18 b) 19 c) 17

d) 20 e) 5

2.-Resolver:x + y = 8

x – y = 10 Indicar el valor de “y”

a) 9 b) 8 c) 18

d) 1 e) -1

3.-Resolver:2x + y = 3

y + x = 2 Indicar: E = x - y

a) 1 b) 2 c) 3

d) 0 e) -1

4.-Resolver:3x + 2y = 5

2x + 3y = 5 Indicar el valor de: E= x

y

a) 2 b) 5 c) 3

d) 1 e) 0

5.- Resolver:5x + 7y = 17

2x + y = 5 Indicar: 3x + 6y

a) 3 b) 6 c) 8

d) 12 e) -2

6.- Resolver:17x + 2y = 36

x + y = 3 Hallar: x - y

Page 4: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) 4

1. Resolver:4m

+ 2n=6

3m

+ 2n=5

e indicar “m + n”

a) 0 b) -1 c) 1

d) 2 e) -2

2.- Resolver:5x+2 y3

=1………..(1)

2x+ y2

=1………..(2) e indicar el valor

de y/x

a) 1 b) 1/2 c) 1/3

d) 2 e) 3

3.- Sea el sistema incompatible:(n + 3)x + ny = 1

5x + 2y = 2 Indicar: “n + 2”

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4.- Sea el sistema compatible determinado:(3m + 1)x + my = 2

12x + 3y = 1 Indicar lo correcto:

a) m 2 b) m 1 c) m 3

d) m -1 e) m -2

5.- Sea el sistema indeterminado:(a + 1)x + (b + 2)y = 12

2x + 3y = 4 Indicar: “a + b”

a) 2 b) 5 c) 7

d) 12 e) 3

6.- Resolver:3x+1

− 1y+1

=7

1x+1

− 1y+1

=13Indicar el valor de “x”

a) 35 b)

45 c)

−45

d) 34 e) N.A.

7.- Resolver:2abx + by = 1

ax + y = 2Indicar el valor de “x”

a) 1 – 2b b) ab c) b−aab

d) 1−2bb e)

1−2bab

8.- Resolver:

3√ x+3−√ y+2=44 √x+3+2√ y+2=12 Indicar: “x - y”

a) 1 b) -1 c) 0

d) -2 e) 2

9.- Si el sistema:mx + ny = 3

3x + 2y = 1

tiene infinitas soluciones.

Indicar el valor de: E =m−n

3

a) 3 b) 9 c) 1

d) -1 e) -3

10.- Sea el sistema incompatible:(a + 2)x + 2y = 7 ……..(1)5x + 3y = 8 ……..(2)Indicar el valor de “a”a) 3/4 b) 3/5 c) 4/3d) 1/3 e) 3

11.- Sea el sistema incompatible:(m + 1)x + ny = 52x + 3y = 8Indicar el valor de: “3m – 2n”

a) 3 b) 5 c) -3

Page 5: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

d) -5 e) -1

12.- Sea el sistema compatible determinado:2x + 3ay = 73x + y = 8Indicar el valor que “a” no puede tomar:

a) 5/4 b) 2/7 c) 2/9d) 3/9 e) 9/3

Page 6: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Por el año 800, Omar Janamina empezó con el desarrollo de lo que son las expresiones algebraicas, lo mismo por el siglo XII.

RECORDAMOS:“Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo”.

Ejemplo: ¡AHORA TU!+ 2 + 4 = 6 3 + 4 =-3 – 7 = -10 -13 – 9 =

I. “Si dos números son de signos diferente se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”Ejemplo: ¡AHORA TU!3 - 2 = +1 7 - 5 =-4 + 2 = -2 -13 + 8 =

1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO.- Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son:Parte Constante: Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente

mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 43

Parte Variable: Es aquella que varia y se representa generalmente por letras (x, y, z, …). Ejemplo: x2, xyz, x5y7.La unión de dichas partes origina el Término Algebraico.

Así:

−2 x5 y4

No se coloca, se sobreentiende

Parte Variable

Bases

Parte Constante

Exponente

E. Antigua E. Media

XII

E. Moderna

Descubrimiento América

En el Mundo

En el Perú

1453

1492

800476

300

6

Page 7: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

AHORA

Término Algebraico

Parte Constante

Parte Variable Bases Exponentes

-3xy4xyz

-3abc7M2n3

-4abc3

-x5

-44xyzt4

-3x2z3

2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte Variable.Ejemplo:

3x4y5 es semejante con −2 x4 y5 porque tiene la misma parte variable.

AHORA TÚ

4x3y4; -x3y4 ………… son semejantes x5y3 ; x7y3 ………… son semejantes -a3b4 ; -3b4a3 ………… son semejantes

OBS.:Un término algebraico NO puede tener como exponentes a:a) Números Irracionales

Ejemplos:

4 x√3 y√4 z√5 ……………………. no es término algebraico.

2 xy3 z√2 ……………………. no es término algebraico.

b) LetrasEjemplos: -xxyyzz ……………………. no es término algebraico. -2x2y3za ……………………. no es término algebraico.

Vocabulario: Semejantes: Entes que guardan algo en común. Términos: Expresión unitaria que conforma un tono. Álgebra: Estudio de la unión de parte variable con parte constante y sus diversas operaciones.

1. Relacionar los términos que son semejantes: a) 4x2y5 ( ) x7ay4

7

Page 8: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

b) 5x7y4a ( ) 2za3b4

c) -3a3b4z ( ) 5abzxd) 15xabz ( ) 3y5x2

2. Completar:Término Algebraic

o

ParteConstante

Parte Variable

Término Semejant

e

–12x4 y3

7xabn

27

54z2

√3 x2 y2

3. Son términos semejantes:I. 4xy2; -2x2y II. 3abc; -3a2b2cIII. 15m2n3; 3n3m2 IV. -20z2; 2z2xa) I b) II c) IIId) IV e) N.A.

4. Colocar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):I. En un término algebraico los exponentes de

las variables no pueden ser letras. ( )

II. 5 x√3 yz es un término algebraico. ( )III. 5x4y3z2; -2x4y3z2 son términos semejantes.

( )

5. Si los términos t1 y t2 son semejantes.t1 = 30x4 t2 = 4xa

Calcular: M=√a+5a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

6. Dado los términos semejantes :

23am+3 ; −√2a14 .

Calcular: A=m+1

2

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

7. Si los siguientes términos son semejantes:4xa+3y4 ; -5x8yb+5

Calcular: R=√a+ba) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

8. Dados los términos semejantes:

2xa+8yb+5 ; 3x12ya+2b

Calcular: R = a . ba) 1 b) 0 c) 3d) 4 e) 5

9. Dados los términos semejantes:

t1=(2a+b )x 4 yb+3 t2=(b−3a )x2 a y6

Calcular: La suma de coeficientes.a) 10 b) 4 c) 12d) 7 e) -3

10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:

-13axa+8y7 4bx9y3b

a) -13 y 4 b) -26 y 16 c) -13 y 16d) -26 y 4 e) N.A.

11. Dados los términos algebraicos semejantes:(c + 4)ac+3bd+4 ; (d+2)a2c+1b2d+2

Calcular: √c+da) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Calcular de los términos semejantes:(a + 4)x5 ; (2 + a)xa+2

Los coeficientes:a) 7 y 5 b) 5 y 3 c) 3 y 2d) 4 y 5 e) N.A.

13. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3xayb+1zc+2 son semejantes. Calcular: A = a + b + ca) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

14. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes:

(a + 4)xayb+3 ; 7xay7

Calcular la suma de los exponentes.a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

15. Dados los términos semejantes:7xa+1yb+2zc+3 ; -4xb+1yc+2z7

Calcular: A=a+b+c

3

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

8

Page 9: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

VALOR NUMÉRICOCuando más variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numérico.Ejemplo:1. P(x) = 4x + 14

P(1) = 4 . 1 + 14 = 18P(1) = 18

P(2) = 4 . 2 + 14 = 22P(2) = 22

P(3) = 4 . 3 + 14 = 26P(3) = 26

2. M(x; y) = 4x2y3

M(2, 1) x = 2 y = 1M(2, 1) = 4(2)2 (1)3

M(2, 1) = 16

3. P(x, y) = 4x + 5xy P(2, 3)x = 2 y = 3P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3)P(2, 3) = 38

Ahora inténtalo tu:4. P(x, y) = 4xy + 2x2y

P(2, 1) =P(1, 2) =P(1, 1) =

5. M(x) = 4xM(2) =M(3) =M(4) =

1. Sabiendo que: a = 1; b = -2; c = 3; m = -1;

n=12 ; p =

23 . Halle el valor numérico de las

expresiones siguientes:a) 3a + 3b + 5c.b) ac + bc + c2

c) 5a2−2bc−3m

d) am+bn+cp

e) 3b3 n2+2c3 p3+ (np )−m

2. Si: P(x) = x2 + x + 4Halle P(2)

3. Si: Q(y) = 10 + 2y – y2

Halle: Q(4)

4. Si: F ( x ; y )=x4−3 x2 y3+ y 4

Halle: F(2; 3)

5. Si: P(m; n) = 2n + 3n2 – m2

Halle: P (3 ; 13 )

6. Si: Q( x )=3x2 √2−2 x √2Halle: Q(4)

7. Si: M ( x )=( x+1 )( x )( x−1)( x+9 )

Calcular: “A”Si: M(x) = 4x

A=M (1 )+M (2 )M ( 4 )

Si: P(x) = x2 + 3x + 4Calcular: P(2) + P(3)

P(x) = 2x + 4A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )

Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3Calcular: P ( Q ( x ) )

A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5Calcular: A (R (x) )

9

Page 10: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

1. Monomio :

Cuando se refiere a un solo término.

Ejemplo:

M(x, y, z) 4x3y4z5

Parte Variable

Parte Constante (Coeficiente)

10

Page 11: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión.

Ejemplo: Sea:

M(x, y) = 135x4y3

GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”

GR(x) = 4 (exponente de x)

GR(y) = 3 (exponente de y)

b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:

M(x, y) 135x4y3

GA = 4 + 3

GA = 7

Monomio

M(x, y, z)

Parte Constante

(Coeficiente)Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z)

39x3y

-4

– √3 x4 z

5x2yz3

18z

-4x5y4

8

Exponente de Variable x

Exponente de Variable y

¡Qué fácil!

11

Page 12: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

2. Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.

Ejemplo: P(x; y) 2xy3 + 4y4 – 3x + 2

Polinomio de 4 términos

P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________

P(y) = ax2 + bx + c Polinomio de ________________

P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( )

a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada

monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.

P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2

Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4

Ahora te toca a ti:P(x, y) 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y

GR(x) =…………… GR(y) =………………..

b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al

mayor.

P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2

GA = 8

Término Independiente

GR(x) = 3

GR(y) = 4

GR(x) =5

GR(y) =3

GR(x) = 1

GR(y) = 2

GA = 7 GA = 8 GA = 3

12

Page 13: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)

x6 + xy + x3y4z

x + y + z

zxy + x2y3 + 4

a + abx + bx2

3x3 + 4y4

-x3y4 + x5 + y8

4z3 + 4z – 3

Dado el monomio: M(x, y) = -3abxa+3yb

Sabemos que GR(x) = 7 y GA = 10Calcular: El coeficientea) -36 b) 36 c) 12d) -12 e) N.A.

Si el siguiente monomio: M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4

Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)Calcular: “a . b”a) 15 b) 10 c) 5d) 3 e) 6

Si el monomio: M(a; b) = -4xyax+2by+5

Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7Calcular: “El coeficiente”a) 24 b) -24 c) 25d) 26 e) 12

Si en el monomio: M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+26

El GA = 17 y GR(w) = 5Calcular: “El coeficiente”

a) 512 b) 251 c) -512d) 251 e) 521

Si: GA = 15GR ( x )=

GR ( z )2

=GR ( y )3

=2

De: M(x, y, z) = -4xayb+2zc+3. Calcular:

A=a+b+c7

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio:P(x, y) = 4xa+1yb + 5xa+2yb+1 + 3xayb+2

Calcular: A = a + ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

Dado el polinomio:P(x, y) = xayb+2 + xa+1yb+4 + xa+5yb + ab

Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6Calcular el término independiente:a) 5 b) 6 c) 7d) 12 e) N.A.

Si: P(x, y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3 + cxa+b+3yc + abcEs de GR(x) = 14 GR (y) = 6Calcular la suma de coeficientes:

13

Page 14: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) N.A.

Dado el polinomio:P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a

Calcular el término independiente si GA = 8

Dado el monomio:M(x, y) = 4abxayb

Si: GR(x) = 2 GA = 7Calcular: “El Coeficiente”a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

En el siguiente monomio:M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2

GA = 12 GR(x) = GR(y)Calcular: m . Pa) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

Si el monomio:M(,) = 2xyx+4y+2

Donde: GR() = 7 GR() = 5Calcular el coeficiente:a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 24

Si el monomio:M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3

Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4Calcular el coeficiente:a) 2 b) 4 c) 5d) 16 e) 14

Si: GA = 24GR( y )=

GR( x )5

M(x, y) = 2xa+bya-b

Calcular: a . ba) 96 b) 108 c) 64d) 25 e) 15

Si: P(x) = axa + (a + 1)xa+1 + (a + 2)xa-4

Es de GA = 5Calcular la suma de coeficientes:a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc

GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3Calcular el grado absoluto.a) 1 b) 14 c) 12

d) 10 e) N.A

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIO HOMOGÉNEO

14

Page 15: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

P(x, y) 4x3y4 – 3x7 + 2xy6 – x5y2

P(x, y) = 2x3y5 + 5xay2 + 3xby7

3 + 5 = a + 2 = b + 7

POLINOMIOS IDÉNTICOS

Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.Ejemplo:

P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1

P(0) = Q(0) = 1

P(1) = Q(1) = 4

P(x) y Q(x) son idénticos.

Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.

Ejemplo:

P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x) = Ax2 + 5x – B

Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).

P(x) = 0x2 + 0x + 0

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) ….. = P(1000) = 0

Así si tenemos:

Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.

Entonces: A = 2; B = 3; C = -2

¡AHORA TU!Si son idénticos:

GA = 7 GA = 7 GA = 7 GA = 7

a = 6

b = 1

B = 3

A = 4

Observa que cuando es

idénticamente nulo el

15

Page 16: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x) = 2x2 + 5x + 3

Entonces:

A = B = C =

AHORA

Si: P(x) = ax3 + (b - 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14

Es idénticamente nulo.

a = c = b = d =

8. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y) = 2xay3 + 3x5y7 – xby8

Calcular: (a + b)a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

9. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y, z) = 5xyz – x2ya + zb + xc

Calcular: a + b + ca) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Si el polinomio es homogéneo:P(x, y) = 3xa+2yb+8 + xd+3y7 + 2x8y5

Calcular: a + b + da) 1 b) 13 c) 6d) 5 e) 8

11. Dado el polinomio homogéneo:P(x, y) = axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10

Calcule la suma de coeficientes.a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) N.A.

12. Dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb+7yCalcular la suma de coeficientes.a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) N.A.

13. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:P(x) = ax5 + 3x2 – 4Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + bCalcular : a + b + ca) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) N.A.

14. Si : R(x) = 2x2 + 5x – 3Es idéntica con :S(x) = (a2 - 2)x2 + (b2 + 1)x + cCalcular: a + b + ca) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) N.A.

15. Dados los polinomios homogéneos:P(x) = 4x2 + bx + 7Q(x) = cx2 + 3x + 7R(x) = (d + 1)x2 + 3x – aCalcular : a + b + c + d

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Recuerda estas

16

Page 17: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

16. Dado: P(x) = (4 + a)x + 5c + dQ(x) = 4c + 3 + (2a + 2)x

Son idénticos.Calcule: a + c + da) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.

17. Si los siguientes polinomios son idénticos.P(x) = mx2 + nx + p y Q(x) = ax2 + bx + c

Calcular: A=m+n+ p

a+b+c

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Dado el polinomio idénticamente nulo:P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3Calcular: a . b . ca) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) N.A.

19. Dado el polinomio idénticamente nulo:Q(x) = 3x2 + 5x – 3 + ax2 + bx – cCalcular: a + b + ca) -10 b) -11 c) -12d) -13 e) N.A.

20. Si el polinomio es nulo:R(x) = 3x2 + (a2 - 1)x2 + cx – 2x + d – 4Calcular: a . c . da) 1 b) 2 c) 16d) 15 e) N.A.

21. Dado el polinomio nulo:P(x) = (a2 + 1)x2 + (b2 + 1)x + c2 – 1 – 2x2 – 10xCalcular: a + b + ca) 1 b) 5 c) 9d) 10 e) N.A.

22. Si el siguiente polinomio es nulo:P(x) = (m2 - a)x2 + (n2 – b)x + p2 – c

Calcular:

m2+n2+ p2

a+b+ca) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

1. Si el polinomio:P(x, y) = 3x3ya + 2x2y7 – x9; es homogéneo

Calcular: √a+3a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

2. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y) = 2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7

Calcular: a . ba) 48 b) 24 c) 12d) 10 e) N.A.

3. Dado el polinomio homogéneoP(x, y) = 3xay2 – xby4 + 5x5y6

Calcular: a + ba) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) N.A.

4. Dado el polinomio homogéneoP(x) = axa + bxb – cxc + 2x2

Calcular la suma de coeficientesa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

5. El polinomio homogéneoP(x, y) = axayb + bxcyd + (c + d)x5

Tiene como suma de coeficientes a:a) 10 b) 11 c) 20d) 15 e) N.A.

6. Si: R(x) y Q(x) son idénticosR(x) = bx2 + 3x + cQ(x) = (2b - 2)x2 + ax + 2Calcular: a + b + c

17

Page 18: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) N.A.

7. Si: R(x) = 12x4 – 5x + 7 es idéntico con:Q(x) = abx4 – 5x + a + b (Nota: a > b)Calcular: a – ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

8. Dados los polinomios idénticos:P(x, y) = 5x5 – 2x3 + 4R(x, y) = ax3 + c – bx5

Calcular: a . b . c

a) 40 b) -40 c) 10d) -10 e) N.A.

9. Dados los polinomios idénticos:P(x) = (a2 - 1)x2 + (b - 1)x + c + 2Q(x) = 8x2 + 7 + 5xCalcular: a + b + ca) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A.

10. Dados los polinomios idénticos:R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4

Q(x) = 3x3 + e + xCalcular: a + b + c + d + ea) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) N.A.

Dados los polinomios idénticamente nulos. Calcular: A, B y C

11. (A - 3)x2 + (C + 2)x + B – 5 P(x)

12. R(x) = (A2 - 4)x2 + (B3 - 8)x + C – 2

13. Q(x) = (A + 3)x2 – 5x + 4 – x2 + Bx – C

14. Si: P(x) = mx2 + nx + p es idéntico con Q(x) = cx2 + dx + e

Calcular:

c+d+em+n+ p

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

15. Si: P(x) = (a - b)x2 + (c - d)x + e – fEs idénticamente nulo.

Calcular: A=a

b+ cd

+ ef

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:

Una manera de entender este tema es mediante un ejercicio:

Sean: P(x) = 2x3 - 5x2 + 7x - 3

Q(x) = x3 + 3x2 - 9x + 8

R(x) = 3x3 - 2x2 - 2x + 7

Hallar: [P(x) + Q(x)] - R(x)

* Reemplazando los polinomios:

18

Page 19: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

* Luego tenemos:

2x - 5x + 7x - 3 + x + 3x - 9x + 8 - 3x + 2x + 2x - 73 2 23 23

* Eliminando términos semejantes nos queda:-3 + 8 - 7 = -2

1. Si: P(x) = 7x5 + 3x3 - x2 + 1

Q(x) = 8x3 - 5x2 + 9Efectuar: P(x) + Q(x)

RESOLUCIÓN:

P(x) + Q(x) = (7x5 + 3x3 - x2 + 1) + (8x3 - 5x2 + 9)

Eliminando los paréntesis:

7x5 + 3x3 - x2 + 1 + 8x3 - 5x2 + 9

Reduciendo términos semejantes:

Rpta: P(x) + Q(x) = 7x5 + 11x3 - 6x2 + 10

2. Del polinomio:

(5a2b2 - 8a2b + 6ab2) restar (3a2b2 - 6a2b + 5ab2)RESOLUCIÓN:Tenemos:

(5a2b2 - 8a2b + 6ab2) - (3a2b2 - 6a2b + 5ab2)

5a2b2 - 8a2b + 6ab2 - 3a2b2 + 6a2b - 5ab2

Reduciendo términos semejantes:

Rpta: 2a2b2 - 2a2b + ab2

3. Efectuar las operaciones siguientes:

(4x4 - 5x3 + 8x - 10) - (-5x4 + 7x2 - 4x - 12) +

(-6x4 + 10x3 + x2 - 12)RESOLUCIÓN:

Eliminando los paréntesis y cambiando de signo:

4x4 - 5x3 + 8x - 10 + 5x4 - 7x2 + 4x + 12 - 6x4 + 10x3

+ x2 - 12Luego ponemos uno debajo de otro completando las potencias que faltan con coeficientes nulos:

-4x4 -- 5x3 + 0x2 + 8x - 10

-5x4 + 0x3 - 7x2 + 4x + 12

-6x4 + 10x3 + x2 + 0x - 12_____________________________

3x4 + 5x3 - 6x2 + 12x - 10

Cuando alguno de los polinomios fuese incompleto escribir las potencias que faltan con coeficientes nulos.

4. Si: P(x) = 4a2x3 - 6bx2 + ax

Q(x) = 7a - 8a2x3 - 3ax

R(x) = 4ax - 2a - 5a2x3 - 2bx2

Efectuar: P(x) - Q(x) - R(x)Resolución:Ordenando y completando:

P(x) = -4a2x3 - 6bx2 + ax + 0

Q(x) = -8a2x3 + 0x2 - 3ax + 7a

R(x) = -5a2x3 - 2bx2 + 4ax - 2a

Piden: P(x) - Q(x) - R(x)

4a2x3 - 6bx2 + ax + 0

8a2x3 + 0x2 + 3ax - 7a

Ahí tienes algunos ejemplos

Observa:

19

Page 20: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

5a2x3 + 2bx2 - 4ax + 2a_______________________

17a2x3 - 4bx2 + 0x - 5a

Rpta: P(x) - Q(x) - R(x) = 17a2x3 - 4bx2 - 5a

5. Si: P(x) = x5 + 2x - 1

Q(x) = -8x3 + 2x2 - 6x + 2

R(x) = 4x4 - 2x3 + 6x2 + x - 6Hallar: P(x) - Q(x) + 2R(x)Resolución:Completando y ordenando se tiene:

+ x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x - 1

+ 8x3 - 2x2 + 6x - 2

+ 8x4 - 4x3 + 12x2 + 2x - 12__________________________________

+ x5 + 8x4 + 4x3 + 10x2 + 10x - 15Rpta:

P(x) - Q(x) + 2R(x) = x5 + 8x4 + 4x3 + 10x2 - 15

I. Dados los polinomios:

P(x) = 4x5 - x4 + 2x3 - 7x - 8

Q(x) = 7x2 - 7x5 - 8x3 - 3

R(x) = 3 + 6x - x2 + 5x3 + 9x4

S(x) = 4x5 - 6x4 + 2x2 - x - x3 + 12CALCULAR:1. P(x) + Q(x)

2. R(x) + S(x)

3. Q(x) + S(x)

4. 2S(x) + Q(x)

5. R(x) + P(x)

6. [P(x) + Q(x)] + R(x)

7. Q(x) + [R(x) + S(x)]

8. 2P(x) + 3Q(x)

20

Page 21: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

II. Si tenemos los polinomios:

P(x) = 2x - 2x3 + 3x2 - 5x4 + 6Q(x) = 7x3 + 10x2 + 5 + 2x4

R(x) = -3x4 - 2x3 + 4x2 + x - 3

S(x) = -8 - 6x + x2 - 8x3

CALCULAR:9. Q(x) - R(x)

10.P(x) - S(x)

11.R(x) - S(x)

12.[Q(x) - R(x)] - P(x)

13.R(x) - P(x)

14.P(x) - R(x)

15.[P(x) + S(x)] - R(x)

16.P(x) - [R(x) - S(x)]

21

Page 22: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

Considerando los siguientes polinomios:

1x2

1x

4

3P 3

)x(

3x3

1x

6

5Q 2

)x(

3x3

1x

6

5Q 2

)x(

1x2

1x

3

2S 2

)x(

DETERMINAR EL RESULTADO DE:1. R(x) + Q(x)

2. 6[S(x) + Q(x)] + 4P(x)

3. P(x) + Q(x) + R(x)

4. 3[Q(x) + S(x)]

5. 2S(x) + 3Q(x)

6. 6S(x) + 3R(x)

7. [2P(x) + 4R(x)] - 2R(x)

8. 2[P(x) + R(x)] - S(x)

1. Si: A = 4a - 5b + 2c - d B = 3a - 7b + 2c + dHallar: 2A - 2B

a) 2(a + 2b - 2d) b) 2(a + 2b - 2c)c) 2(a + b + c) d) 2(a - b + c)e) a + b + c

2. Si: P(x) = 5x2 - 4x + 15 - 7x3

Q(x) = 6x2 - 4x3 - 3Efectuar: P(x) - Q(x)

a) -3x3 - x2 - 4x + 16 b) -3x3 + x2 - 14x + 18

c) -3x3 - x2 - 4x + 18 d) -3x3 - x2 - 4x + 20

e) -3x3 - x2 - 4x + 20

3. Si: P(x) = 4x2 - 5y2 + x

R(x) = 6x2 - 3x - (y2 - x)Efectuar: P(x) - R(x)

TAREA DOMICILIARIA

22

Page 23: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

a) -2x2 - 4y2 + 3x b) 2x2 + 4y2 - 3x

c) -2x2 - 4y2 + x d) 2x2 + y2 + x

e) x2 + y2 + x

4. Si: P(x) = 5 - 9x + 8x2 - 7x3 + 6x4

Q(x) = -5x4 + 8x3 - 7x2 + 9x - 4Efectuar: P(x) + Q(x)

a) x3 + x2 + x + 1 b) x4 + x3 + x2 + x + 1

c) x4 + x2 + x + 1 d) x4 + x3 + x2 + 1

e) x2 + x + 1

5. Si: P = 5x - 7t + 30Q = -10t + x - 4t + 20R = x - t + x - 11 + 12t

Hallar: P - Q - Ra) 2x + t - 2t b) 2x + 4t - 21c) 2x - 4t + 21 d) 2x - t - 21e) x + t + 1

6. Dados los polinomios:

P(x) = x4 + 6x - 1

Q(x) = x4 - 2x3 - x2 + 6

R(x) = -4x3 + x2 + 6x + 11Efectuar: P(x) - Q(x) - R(x)

a) 6(x3 + 1) b) 6(x3 - 2)

c) 6(x3 - 3) d) 6(x3 + 1)e) N.A.

7. Si: A = x2 + 6x + 1

B = 3x2 - 5x + 2

C = 4x2 - 6x - 1

Efectuar: 2A - 3B + 5C

a) 10x2 - 3x - 9 b) 11x2 - 3x - 9

c) 12x2 - 3x - 9 d) 13x2 - 3x - 9

e) 14x2 - 3x - 9

8. Si:

A(x) = 2x3 - x2 + 6x - 1

B(x) = x3 + x2 + 3x - 2Efectuar: 6A(x) - 12B(x)

a) -18x2 - 18 b) -17x2 + 27

c) -17x2 d) -17x2 + 17

e) -18x2 + 18

9. Dados los polinomios:

A = x2 + x + 1

B = x2 - x + 1

C = x2 - 6Efectuar: A + B - 2C

a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

10.Si: P(x) = 7x3 - 8x2 - 10

Q(x) = 6x2 - 5Efectuar: P(x) - Q(x)

a) 7x3 - 14x2 - 5 b) 7x3 - 14x - 5

c) 7x2 - 14x - 5 d) 7x3 + 14x2 + 5

e)7x3+14x2-5

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN

23

Page 24: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

Para multiplicar polinomios, es necesario tener

en cuenta la siguiente propiedad:

a . a = a ; "a" , "m" y "n" IR INm n m+n

• El producto de dos polinomios se realiza,

multiplicando cada término de uno de ellos por

todos los términos del otro. Luego se reducen

los términos semejantes.

• En el caso de que hayan más de dos polinomios,

puedes coger a los dos primeros, los multiplicas

y el resultado multiplicarlo por el siguiente

polinomio. Este nuevo resultado lo multiplicas

por el cuarto polinomio y así sucesivamente.

Ejemplo 1

Multiplicar: (2x + 5x2) (x - 1) (x + 3)

Solución:

( 2x + 5x ) ( x - 1 ) ( x + 3)2

= 2x.x - 2x.1 + 5x .x - 5x .1

= 2x - 2x + 5x - 5x

2 2

2 23

= (-3x - 2x + 5x ) (x + 3)2 3

Observa comose ha usado laprop iedad

Observa también como se multiplican los

coeficientes.

Observa tambiéncomo se multiplicanlos coeficientes.

= -3x .x - 3x .3 - 2x.x - 2x.3 + 5x .x + 5x .32 32 3

= -3x - 9x - 2x - 6x + 5x + 15x3 2 32 4

= 5x + 12x - 11x - 6x34 2

Ejemplo 2

Efectuar y reducir: (x + 5)(x + 3) - (x + 1)(x + 7)

SOLUCIÓN:

Observa como multiplicamos:

x2 + 3x + 5x + 15 - (x2 + 7x + x + 7)

Atención; ha aparecido un paréntesis ¿Por qué? + 3x + 5x + 15 - - 7x - x - 7

Eliminando términos semejantes tenemos:

= + 15 - - 7

= 15 - 7 = 8

1. Multiplicar (x5) por (3x2 -2x + 1)

SOLUCIÓN:

(x5) . (3x2 -2x + 1)

Aplicando la propiedad distributiva:

Algunos problemas resueltos

(x + 5) (x + 3) - (x + 1) (x + 7)

24

Page 25: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

= x5(3x2) - x5(2x) + x5(1)

Rpta: 3x7 - 2x6 + x5

2. Multiplicar (x2 + x3) por (2x3 - x2 + 2x - 1)

SOLUCIÓN:

(x2 + x3)(2x3 - x2 + 2x - 1)

Aplicando la propiedad distributiva:

x2(2x3 - x2 + 2x - 1) + x3(2x3 - x2 + 2x - 1)

Efectuando la multiplicación:

2x5 - x4 + 2x3 - x2 + 2x6 - x5 + 2x4 - x3

Reduciendo términos semejantes:

Rpta: 2x6 + x5 + x4 + x3 - x2

3. Efectuar:

(x2 + 2xy + y2)(x2 - 2xy + y2)SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad distributiva:

x2(x2 - 2xy + y2) + 2xy(x2 - 2xy + y2) + y2(x2 - 2xy +

y2)

x4 - 2x3y + x2y2 + 2x3y - 4x2y2 + 2xy3 + x2y2 - 2xy3

+ y4

Reduciendo términos semejantes se tiene:

x4 + x2y2 - 4x2y2 + x2y2 + y4

Finalmente: x4 - 2x2y2 + y4

4. Efectuar:

(5x3 - 3x2 + 6x - 8)(4x2 - 7x - 9)

SOLUCIÓN:

5x3 - 3x2 + 6x - 8

- 4x2 - 7x - 9 __________________________

20x5 - 12x4 + 24x3 - 32x2

- 35x4 + 21x3 - 42x2 + 56x

- 45x3 + 27x2 - 54x + 72 _________________________________

20x5 - 47x4 + 0x3 - 47x2 + 2x + 72

6. Efectuar:

(10x2 - 2 + 9x3 + 5x)(3x - 8 + 2x2)

SOLUCIÓN:

(9x3 + 10x2 + 5x - 2)(2x2 + 3x - 8)

Luego:

9x3 +10x2 + 5x - 2

2x2 + 3x - 8 _____________________________ 18x5 + 20x4 + 10x3 - 4x2

+ 27x4 + 30x3 + 15x2 - 6x

- 72x3 - 80x2 - 40x + 16_________________________________

8x5 + 47x4 - 32x3 - 69x2 - 46x + 16

25

Page 26: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

PRACTIQUEMOS1. Determina el valor de las siguientes expresiones:

a) 2x . (5x - 6)

b) (8x + 5) (3x + 2)

c)(3x + 5y) (2x - 3y)

d) (y - 2) (y - 1) (2y - y - 1)

E) (x + 2) (x + 4) (x + 6x + 7)

5. Si: A(x) = 3x2 + 6x - 1; B(x) = x4 - x2; el

coeficiente de "x4" en el producto A(x).B(x) es:

a) 3 b) -4 c) 5

d) -6 e) 8

1. Multiplicar: 2x + 3y4 por 5x2 - y. Indicar el menor coeficiente del resultado.

a) 10 b) -2 c) 15

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

26

Page 27: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

d) -3 e) 1

2. Efectuar: 3x(x + 3)(x - 2)(x + 1).

Indicar el mayor coeficiente del resultado.

a) 3 b) 6 c) -15

d) -18 e) 1

3. Al multiplicar: (3x2 - 5xy + y3)(-2x3y4) se obtiene

el siguiente resultado:

- x y + x y - x y3 7

Determinar: + +

a) 2 b) 6 c) 8

d) 0 e) 18

4. Si multiplicas:

(5xy2 - 3z2)(25x2y4 + 9z4 + 15xy2z2)

Obtienes: x y - z3 6 6

Determina:

a) 125 b) 98 c) 117

d) 16 e) 25

5. Reducir la expresión:

(x + y)(x - y) + (3x - 2y)(2y + 3x)

a) 10x2 + 4y2 b) 10x2 - 5y2

c) 2x2 - 5y2 d) x2 - 4y2

e) 9x2 - y2

6. Simplificar la expresión:

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 6x(x2 + 1)

a) x4 + 11x2 b) 6x3 + 6x

c) x2 - 6x3 d) 11x2 + 6x

e) x4

7. Reducir la expresión:

(x + 5)(2x - 3) - (2x + 1)(x - 4)

a) 14x + 11 b) 11x - 14

c) 11x + 14 d) 14x - 11

e) 0

8. Simplificar:

(2x3 + 5xy)(x - y) - (x3 + xy)(2x - 5y)

a) 3x3y + 10x2y b) 10x3y - 3x2y

c) 3x2y + 10x3y d) 10x2y - 3x3y

e) 3x3y + 3x2y

9. Si efectuamos: (2xm - 3xn)(xa - xb), uno de los

términos del resultado es:

a) 2xma b) -2xm - b c) 3xn+a

27

Page 28: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

d) -3xn+b e) -2xm+b

EFECTUAR:

a) (5a2b2) por (-4ab4) =

b) (8ab2c5) por (-5b4c10) =

c) (2x2y) por (-3y2z) por (4xy2z3) =

d) -6x(-3x + 4xy2 - 6z3) =

e) 10abcd3(-3a2b - 3b2c + 5c2d3) =

f) - 5xy2z(-2x2yz2 + 5xy2z - 4xyz) =

2. Efectuar: (5x - 4)(5x + 4)

a) 25x2 - 16 b) 25x2 + 10

c) 25x2 - 4 d) 25x2 + 1

e) 5x2 - 16

3. Halla el producto: (a2 - 4a + 4)(a2 - 2a)

a) a4 - 6a3 + 6a2 - 8a

b) a4 - 6a3 - 8a

c) a4 + 6a3 + 12a2 + 8a

d) a4 + 6a3 - 12a2 + 8a

e) a4 - 6a3 + 12a2 - 8a

4. Efectuar: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12)

a) x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24

b) x4 + 10x3 + 35x2 + 25x + 24

c) x4 + 8x3 + 35x2 + 50x + 24

d) x4 + 6x3 + 33x2 + 48x + 24

e) x4 + 24

5. Efectuar: (x2 - xy + y2 - 1) (x + y)

a) x3 - y3 - x – y b) x3 + y3 + x + 1

c) x3 + y3 - x - y d) x3 - y3 - x + y

e) x3 - y3 - 1 - x

6. Efectuar: (2x - 3)(7x - 2)(x + 4)

a) 14x3 + 31x2 - 94x + 24

b) 14x3 + 31x2 - 94x + 12

c) 14x3 + 30x2 - 94x + 24

d) 14x3 + 21x2 - 94x + 24

e) 14x3 + 10x2 - 94x + 24

7. Efectuar:

[(2x)3 - 3(2x)2 + 3(2x) - 1] por (4x2 + 4x + 1)

a) 35x5 - 10x4 + 16x3 - 8x2 + 2x - 1

b) 35x5 - 16x4 + 16x3 - 8x2 - 2x - 1

c) 32x5 - 1

d) 32x5 + 16x4 + 16x3 + 8x2 + 2x - 1

e) 32x5 - 16x4 - 16x3 + 8x2 + 2x - 1

8. Efectuar: (x2 - 1)(x2 - 4)

a) x4 + x2 + 4 b)x4 + 3x2 + 4

28

Page 29: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

c) x4 - 5x2 + 4 d)x4 + 5x2 + 4

e) x2 + 4

9. Sea: A = a3 + x3 + 3ax(a + x)

B = (a + x)(a2 - ax + x2)

Hallar: A - B

a) 3a2x + 3ax2 b) -3a2x + 3ax2

c) -3a2x - 3ax2 d) 3a2x - 3ax2

e) 0

PRODUCTOS NOTABLES I

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación.

I. trinomio cuadrado perfecto

Es el resultado que se obtiene en forma directa al elevar un binomio suma o bino diferencia al cuadrado. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (Trinomio cuadrado perfecto)

Ejemplos:(x + 3)2 = x2 + 2(x)(3) = 32

= x2 + 6x + 9

(x - 5)2 = x2 - 2(x)(5) + 52

= x2 - 10x + 25

II. DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b) (a - b) = a2 - b2

Ejemplos: (x + 3) (3 - x) = 32 - x2

= 9 - x2

(m + np) (m - np) = m2 - (np)2

= m2 - n2p2

III.MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN(IDENTIDAD DE STEVEN)

U n B ino mio es la s uma

de do s M o no mio s .

U n T rino mio e s la s uma

de tres M o no mio s .

29

Page 30: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

EjemploS:

(x + 3)(x - 5) = x2 + (3 - 5)x + (3)(-5)

= x2 - 2x - 15

(x - 4)(x - 7) = x2 + (-4 - 7)x + (-4)(-7)

= x2 - 11x + 28

PRÁCTICA

(x + 1)2 = x2 + 2(x) . 1 + 12 = x2 + 2x + 1

(x + 2)2 = x2 + 2(x) . 2 + 22 = x2 + 4x + 4

(x - 3)2 = x2 - 2(x)(3) + 32 = x2 - 6x + 9

(x - 4)2 = x2 - 2(x)(4) + 42 = x2 - 8x + 16

(2x + 1)2 = (2x2) + 2(2x) . 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1

(3x2 - 2)2 = (3x2)2 + (2)(3x2)(-2) + 22 = 9x4 - 12x2 + 4

(4xy3 + 3y5)2 = (4xy3)2 + 2(4xy3)(3y5) + (3y5)2 = 16x2y6 + 24xy8 + 9y10

Relacionar correctamente:

a) (x + 5)2 ( ) x2 + 4x + 4

b) (x + 3)2 ( ) x2 + 10x + 25

c) (x + 2)2 ( ) x2 + 6x + 9

2. Indicar la relación correcta:

a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100

b) (x - 6)2 ( ) x2 - 14x + 49

c) (x - 7)2 ( ) x2 - 12x + 36

3. Dar la respuesta en cada caso:

a) (2x + 1)2 = ________________________

b) (4x2 - x)2 = ________________________

4. Desarrollar cada caso:

a) (m + 2)(m - 2) =

b) (2a + 3)(2a - 3) =

c) (x2 + 3x)(x2 - 3x) =

5. Resolver cada caso:

a) (x + 2)2 + (x - 2)2 =

b) (x + 1)2 - (x - 1)2 =

c) (m + 5)2 + (m - 5)2 =

d) (p + 7)2 - (p - 7)2 =

6. Si: (2x + 8)2 = mx2 + nx + p

Hallar: m + n + pa) 94 b) 96 c) 100

d) 98 e) 102

7. Simplificar: (x + 1)2 + (x - 2)2

Dar como respuesta la suma de coeficientes.a) 0 b) 2 c) 4

30

Page 31: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

d) 5 e) -4

8. Reducir: (x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2)

Dar por respuesta el mayor coeficiente.a) 2 b) -13 c) 13

d) -2 e) 8

9. La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2)Se reduce a: mx + nHallar: m + na) 13 b) 17 c) 6

d) 18 e) 19

10. Luego de simplificar:

(x + 2)2 + (x - 2)2 + (x + 3)2 - (x - 3)2

Indicar el menor coeficiente.

a) 2 b) 8 c) 4

d) 12 e) 1

11. Si: m2 + n2 = 5 y mn = 2Hallar: m + na) 2 b) 3 c) 5

d) 1 e) 4

12. Simplificar: (3ax + 2by) (3ax - 2by)

Sabiendo además que: a2x2 = 1 y b2y2 = 2a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

13. Si: (x + 1)2 = 3

Calcular: x2 + 2x - 2a) 3 b) 0 c) 2

d) 1 e) -2

14. Cuál es el grado del siguiente polinomio:

P(x) = (2x + 3)2 - 8x2 + (2x - 3)2 + xa) 2 b) 0 c) 3

d) 1 e) 4

15. Reducir la expresión:

(x + 1)2 + (x + 3)2 - (x - 1)2 - (x - 3)2

a) 2x b) 3x c) 10x

d) 12x e) 16x

1. Indicar la relación correcta:

a) (x + 5)2 ( ) x2 + 12x + 36

b) (x + 4)2 ( ) x2 + 8x + 16

c) (x + 6)2 ( ) x2 + 10x + 252. Relacionar correctamente:

a) (x - 2)2 ( ) x2 - 6x + 9

b) (x - 3)2 ( ) x2 - 8x + 16

c) (x - 4)2 ( ) x2 - 4x + 4

3. Desarrollar cada caso:

a) (x2 - 2)2 = ________________________

b) (3x3 + 1)2 = ________________________

4. Resolver cada caso:

a) (p + 3)(p - 3) =b) (3b + 2)(3b - 2) =

c) (2x + x2)(2x - x2) =

5. Dar la respuesta en cada caso:

a) (m + 3)2 + (m - 3)2 =

b) (b + 4)2 - (b - 4)2 =

c) (x + 6)2 + (x - 6)2 =

d) (a + 2)2 - (a - 2)2 =

6. Si: (x + n)2 = x2 + 16x + 64Calcular:

a) 6 b) 2 c) 3d) 4 e) -2

7. Reducir: (x - 3)2 - (x - 1)2

Dar la suma de coeficientes.

a) 0 b) 8 c) 16d) -16 e) -8

31

Page 32: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

8. Simplificar:(x + 1) (x - 1) - (x + 5) (x - 5)

a) 12 b) 0 c) 14d) 24 e) 1

9. Luego de reducir: (x + 4) (x - 4) - (x - 2)2

Se obtiene: mx + nCalcular:

a) 5 b) -20 c) 2d) -5 e) -2

10. Reducir:

M = (x + 1)2 - (x - 1)2 - [(x + 2)2 + (x - 2)2]e indicar el menor coeficiente.

a) -8 b) -2 c) 4d) -1 e) 0

11. Si: m2 + n2 = 20 y mn = 2Hallar: m - n

a) 2 b) 3 c) -2d) 4 e) 0

12. Si: (a + 3b) (a - 3b) = 0Calcular:

a) 3 b) 7 c) 9d) 27 e) 1

13. Si: (x - 2)2 = 5 Calcular: x2 - 4xa) 2 b) 4 c) 0d) -1 e) 1

14. Cuál es el grado del siguiente polinomio:

Q(x) = (x - 5)2 + 4 - 20x - (x - 5)2

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

15. Simplificar:

(x + 3)2 - (x - 2)2 + (x + 2)2 - (x - 3)2

a) 12x b) 20x c) 8xd) 28x e) 16x

1.- Sabiendo a + b = 11; ab = 20

Calcular: 22 ba4

a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

2. Si: x + y = 3 xy = 1

Indicar el valor de: (x - y)2

a) 2 b) 4 c) 5d) 7 e) 1

3. Si: . 3

x

1x

Calcular: 22

x

1x

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

4. Si: . 5

x

1x

Dar el valor de: 44

x

1x

a) 5 b) 7 c) 25d) 13 e) 10

5. Si: 10

1b.a

Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Reducir:A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) +

y16

a) x b) 2x2 c) x4

d) x16 e) x8

7. Reducir la siguiente expresión:K = (m - n2)(m + n2)(m2 + n4)(m4 + n8) - m8

a) n16 b) n8 c) -n8

d) -n16 e) 0

8. Dar el valor mas simple de:16 16842 1)15)(15)(15)(15(26T

a) 5 b) 10 c) 25d) e) 15

9. Simplificar: 22

22

)162()162(

)37()37(R

a) 1 b) 0.2 c) 0.4d) 0.5 e) 2

32

Page 33: Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre

10.Simplificar: x)4x)(10x(

x2)8x)(5x(P

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4

11.Sabiendo que: x2 + 5x + 3 = 0Hallar:

K = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 6

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

12.Reducir la siguiente expresión:

1)4x)(3x)(2x)(1x(R a) x2 + 5x - 5 d) x2 - 5x - 5b) x2 + 5x + 5 e) N.A.c) x2 - 5x + 5

33