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MECÁNICA OSCILACIONES Y ONDAS

VECTORES

Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 2


Captura del simulador 3D. Se aprecian las partes principales: robot, objetivo y obstáculos. (http://147.96.80.209/SI_09_10/Herramientasutilizadas.html)


¿Qué es cantidad?

¿Qué es magnitud?

¿Qué es dirección?

¿Qué entiendes por vector?


Logros de la sesión:

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y

problemas con vectores de forma gráfica y analítica, utilizando

propiedades operacionales y la representación geométrica, en

base a una secuencia lógica, el uso adecuado de la notación

vectorial y a una representación correcta de un vector y sus

componentes.


MAGNITUDES ESCALARES

• Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman: ESCALARES

• Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.


MAGNITUDES VECTORIALES

• Un vector, es un ente matemático utilizado para representar una magnitud física la cual necesita estar caracterizada por los siguientes elementos:• Módulo: o longitud siempre positivo por definición.• Dirección: determinado por el ángulo que forma el vector

con los ejes coordenados.

Módulo

Dirección


SISTEMA DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA

Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio consta:

Origen

O

Ejes coordenados

x

y

O

x

y

zEn 2D En 3D

18/04/2023 Mecánica, Oscilaciones y Ondas - Dpto. Ciencias 9

EJEMPLO 1: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL

Sea el punto O(0,0) y P(3,4) representar el vector:


EJEMPLO 2: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL

Intentalo: Sea el punto M(2,1) y N(6,5) representar el vector:


EJEMPLO 3: REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Represente el vector


MÓDULO DE UN VECTOR: EN 2D

En general: sea el vector,

x

y

yx

yx

u

uarctg

uuu

uuu

:Dirección

:Módulo

),(

22

x

y


EJEMPLO 4:

Sea el punto O(0,0) y P(5,2) representar el vector: y determinar su módulo y dirección


EJEMPLO 5

Intentalo: Sea el vector: , determine su módulo y dirección.


MÓDULO DE UN VECTOR: EN 3D

222 :Módulo

),,(

zyx

zyx

vvvv

vvvv

x

y

z

cos

:directores cosenos

v

vx

cos v

vy

vvzcos


EJEMPLO 6

Represente el vector , determine el módulo y dirección del vector así como sus cosenos directores.


EJEMPLO 7

Inténtalo: Represente el vector , determine el módulo y dirección del vector así como sus cosenos directores.


VECTOR UNITARIO

x

y

𝜃

¿𝑟∨¿

��=𝑟|𝑟|

|𝑟|=1

El vector unitario se obtiene:


VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS

x

y

z

i

jk

)0,0,1(ˆ i)0,1,0(ˆ j)1,0,0(ˆ k

Ejemplo 5.- sea u=(1,3,2); exprese el vector en función de los vectores cartesianos,

kjiu ˆ2ˆ3ˆ1


DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL:

O

𝑨𝐴𝑦

𝐴𝑥𝜃

𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��


DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL:

x

y

O

𝑨𝐴𝑦

𝐴𝑥𝜃

𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��

𝐴𝑥=|𝑨|cos𝜃

𝐴𝑦=|𝑨|sin 𝜃

|𝑨|=√ 𝐴𝑥𝟐+ 𝐴𝑦

𝟐


SUMA DE VECTORES: MÉTODO ANALÍTICO

𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��

𝑨+𝑩=? ?

𝑩=𝐵𝑥 ��+𝐵𝑦 ��

𝑨+𝑩=( 𝐴𝑥+𝐵𝑥 ) ��+ (𝐴𝑦+𝐵𝑦 ) ��

x

y

O𝐴𝑥

𝐴𝑦

𝜃𝐴

𝑨

𝑩

𝐵𝑥

𝐵𝑦

𝜃𝐵


SUMA DE VECTORES: MÉTODO GRÁFICO

x

y

O𝜃𝐴

𝑨

𝑩

𝑨+𝑩=? ?

𝜃𝐵

𝜃𝐵

𝑨+ 𝑩


EJEMPLO 8

Hallar gráfica y analíticamente el vector

x

y

O45 °

𝑨

𝑩30 °

2𝑚

2𝑚


MÓDULO DEL VECTOR RESULTANTE

θ

El módulo del vector resultante se puede determinar a través de:

𝑹

|𝑹|=√|𝑨|𝟐+|𝑩|𝟐+𝟐|𝑨||𝑩|𝒄𝒐𝒔𝜽


DIFERENCIA DE VECTORES: MÉTODO ANALÍTICO

x

y

O

𝑨=𝐴𝑥 ��+ 𝐴𝑦 ��

𝐴𝑥

𝐴𝑦

𝜃𝐴

𝑨

𝑩

𝑨−𝑩=??

𝑩=𝐵𝑥 ��+𝐵𝑦 ��

𝑨−𝑩=(𝐴𝑥−𝐵𝑥 ) ��+( 𝐴𝑦−𝐵𝑦 ) ��

𝐵𝑥

𝐵𝑦

𝜃𝐵


DIFERENCIA DE VECTORES: MÉTODO GRÁFICO

x

y

O𝜃𝐴

𝑨

𝑩

𝑨−𝑩=??

𝜃𝐵

𝑨−𝑩


EJEMPLO 9

Hallar gráfica y analíticamente el vector

x

y

O45 °

𝑨

𝑩30 °

2𝑚

2𝑚


PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO

θ

Obviamente:


EJEMPLO 10

Dados los vectores encontrar

(2,2,4)

(2, 1, 5)

u

v

u v

v u

; ;


PROYECCIÓN DE UN VECTOR

θ

La proyección de sobre :

𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑩𝑨

𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑩𝑨=

𝑨 ∙𝑩

|𝑩|𝟐∙𝑩


PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL

A

B

A

B


EJEMPLO 10

Dados los vectores encontrar

(2,2,4)

(2, 1, 5)

u

v

; ;

v u w


EVALUACIÓN:

1. Las cantidades vectoriales poseen:

a) Magnitud b) Magnitud y dirección c) Dirección

2. Del producto punto entre dos cantidades vectoriales resulta:

a) Un vector unitario b) Un vector perpendicular c) Un escalar

3. Del producto cruz entre dos cantidades vectoriales resulta:

a) Un vector perpendicular b) Un escalar c) Un vector

4. ¿Por qué es importante realizar descomposición vectorial?

5. ¿Por que es importante el uso de vectores?

6. ¿Por qué a los vectores unitarios se les llama vectores base?

7. ¿Qué propiedades cumplen dos vectores paralelos ?

8. ¿Qué propiedades cumplen dos vectores perpendiculares?


GRUPOS DE TRABAJO


¿Qué aprendieron en esta sesión?

¿Cuándo podemos hacer uso del producto escalar?

¿Cuándo podemos hacer uso del producto vectorial?

¿Qué dificultades has tenido para utilizar el producto vectorial y escalar?


Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de MEOSON, semestre 2014 – II. Universidad Privada del Norte.

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