Act 8: Lectura Captulo 4

Conceptualizacin de relaciones y funciones

Relaciones:

En el mundo que nos rodea, existen relaciones entre dos conjuntos, por ejemplo la relacin entre Temperatura y Altitud, la cual establece que a mayor altitud, menor temperatura. Otro caso es la relacin entre el nmero de kilmetros recorridos y el costo del servicio en un taxi, el cual est relacionado que a mayor kilometraje, mayor costo del servicio. As existen muchas relaciones entre dos conjuntos.

El concepto de relacin est asociado a una condicin entre dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde un o varios elementos del conjunto de llegada.

Las relaciones se pueden representar por medio de los diagramas de Venn.

Las parejas ordenadas graficadas son:

(a, 5), (b, 4), (c, 2), (d, 1), (f, 6), ( g, 3)

Segn la teora:

A = Conjunto de partida

B = Conjunto de llegada

R = Relacin entre cada para ordenado.

Componentes de Una Relacin:

Toda relacin presenta varios componentes.

Dominio: Corresponden a todos los elementos que conforman el conjunto de partida; es decir, los elementos del conjunto A.

Codominio Rango: Corresponde a los elementos que conforman el conjunto de llegada; es decir, los elementos del conjunto B.

Regla o Norma: Corresponde a la forma en que se asocian los elementos del dominio y el Codominio, generalmente se representa con la R.

Funciones:

Uno de los conceptos ms importantes en Matemticas es el de Funcin, ya que en las ciencias puras y aplicadas son fundamentales para analizar diferentes fenmenos. En Biologa el crecimiento de los organismos es modelado por una funcin exponencial, en Economa para la descripcin del costo utilidad de un artculo, en Fsica el anlisis del movimiento se modela por funciones polinmicas, etc.

Dentro del anlisis de funciones, hay algunos conceptos que son pertinentes mencionar.

Variables: Se puede decir que es todo aquello que cambia a travs del tiempo o espacio, el mismo espacio y tiempo se consideran variables. La clave de este concepto es que ocurre cambio, ya que si esto sucede, se dice que ocurri variacin. En el estudio de funciones se conocen dos tipos de variables. VARIABLE INDEPENDIENTE: Se considera aquella que se define por si misma, una de esas por su naturaleza es el tiempo, pero existen otras. Esta variable por lo general se ubica en el eje de las abscisas del plano cartesiano; es decir, en el eje x. VARIABLE DEPENDIENTE: Como su nombre lo indica, son aquellas que quedan definidas a partir de otra; es decir, depende de otra para quedar definida. Esta variable es ubicada en el eje de las ordenadas en el plano cartesiano; eje y. Cuando se dice que el rea de un crculo es funcin del radio, lo que se quiere decir es que el rea depende del radio. A = f (R)

Constantes: Son trminos que tienen valores fijos; es decir, tiene valores fijos, lo que indica que no cambia en ninguna circunstancia. Los valores numricos son el ejemplo tpico de constantes.

En la antigedad se utilizaban las vocales para indicar las variables y las consonantes para indicar las constantes. En la actualidad por convencin general, las primeras letras del alfabeto se utilizan para indicar las constantes y las ltimas letras para indicar las variables.

Con estos elementos se puede hacer una definicin de funcin.

DEFINICIN: Una funcin es una relacin donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

En funciones al conjunto de partida se le llama Dominio y al conjunto de llegada se le llama imagen. En el plano cartesiano los elementos del dominio son ubicados en el eje x y los elementos de la imagen son ubicados en le eje y.

Por la definicin, se puede inferir que todas las funciones son relaciones, pero NO todas las relaciones son funciones. (Discutir esta conclusin con los compaeros del grupo colaborativo)

Para determinar si una relacin es funcin, basta con observar en el diagrama de Venn, que todos los elementos del dominio estn relacionados con algn elemento del rango, pero solo con uno. Grficamente, que de todos los elementos del dominio salga solo una flecha.

Hay dos casos donde la relacin no es funcin: Cuando un solo elemento del dominio no est relacionado con alguno del rango o si algn elemento del dominio est relacionado con ms de un elemento del rango.

Existen 4 formas de definir una funcin, en el trabajo con funciones estas formas se trabajan indistintamente, lo que indica que se deben conocer y dominar adecuadamente.

1. DESCRIPTIVA: Es la descripcin verbal del fenmeno que se estudia, en esta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos. Por ejemplo: La ganancia G que resulta de vender x artculos, en la cual el valor unitario es de $200.

2. NUMRICA: Consiste en hacer una tabla de valores con los datos obtenidos del fenmeno al hacer las mediciones correspondientes. Por ejemplo:

3. GRFICA: Por medio de una representacin grfica, ubicando pares ordenados en el plano cartesiano, se puede observar la forma de la curva que muestra la funcin dada.

Los puntos ubicados en el plano son los descritos en la parte numrica.

En el eje x se representan los artculos vendidos y en el eje y la ganancia por ventas.

4. ANALTICA: Tambin es llamada Matemtica, es aquella que por medio de un modelo matemtico se describe el fenmeno, para el ejemplo que estamos analizando seria:

G = 20 x

El modelo describe la ganancia (G) en funcin de nmero de artculos vendidos (x).

ELEMENTOS DE UNA FUNCIN:

En toda funcin se pueden encontrar 3 elementos.

Dominio: Son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos de x, que corresponden a la variable independiente. En el ejemplo modelo la variable independiente son el nmero de artculos vendidos. Anteriormente se hizo aclaracin que los elementos del dominio se ubican en el eje x del plano cartesiano.

Imagen: Son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos de y, que corresponden a la variable dependiente. En el ejemplo modelo es la ganancia G. Tambin por convencin los elementos de la imagen se ubican en el eje y del plano cartesiano.

Regla o Condicin: Se considera a la forma en que se relacionan los elementos de x e y. Cada funcin tiene una regla que relaciona las dos variables. Solo se debe tener presente que a cada elemento de x le corresponde solo uno de y.

Dominio e Imagen de una funcin

Determinacin del Dominio e Imagen de una funcin:

En el anlisis de funciones, es importante identificar el dominio e imagen de la funcin, lo cual se puede hacer de dos maneras.

A Partir de la Grfica:

Con la observacin detallada de la grfica, se puede identificar el dominio y la imagen de una funcin, veamos dos ejemplos modelos.

Grfica A

Grfica B

Grfica A. Se observa que la curva se desplaza a lo largo del eje x, tomando valores positivos y negativos, luego el dominio son todos los valores reales. Para la imagen, la curva se desplaza en la parte positiva del eje y, luego la imagen son todos los reales positivos.

La notacin ser: f: R R+

Grfica B: En la curva se observa que la grfica puede tomar valores positivos o negativos en el eje x, igual para el eje y, luego el dominio e imagen de la funcin son todos los reales.

La notacin ser: f: R R

A Partir del Modelo Matemtico: (frmula matemtica)

Dada el modelo matemtico, se puede determinar los valores que pueden tomar la variable independiente y la variable dependiente. Con algunos ejemplos modelos se puede comprender la situacin.

Sea y = x3 + 2x2 - x + 1 .Segn el modelo se puede inferir que la variable x puede tomar valores positivos, negativos incluso cero, luego el dominio son todos los reales. As se observa que la variable y tendr valores positivos y negativos e incluso cero, luego la imagen son todos los reales; es decir es una funcin de reales en reales.

Sea y - 1/x .Se puede ver que la variable x puede tomar valores positivos y negativos, pero NO puede tomar el valor de cero, luego el dominio sern todos los reales diferentes de cero. La variable y ser positiva si x es positiva y viceversa, pero nunca ser cero, luego la imagen son todos los reales diferentes de cero.

Sea y = x.La variable x puede tomar valores positivos y cero, pero No puede tomar valores negativos, ya que la raz cuadrado de nmeros negativos no es real, as el dominio sern los reales positivos y el cero (reales no negativos). Los valores que puede tomar y sern positivos y cero negativos, pero no los dos; para que se pueda consideran una funcin, luego la imagen son los reales no negativos los reales negativos.

En general el Dominio de una funcin sern los valores que pueda tomar la variable x sin que se presenten ambigedades en el momento de hacer la operacin matemtica.

La imagen se determina despejando x del modelo matemtico y se observa qu valores puede tomar la variable y.

NOTA: Con la prctica y muchos ejercicios se ganar destreza para determinar el dominio e imagen de una funcin.

Funciones Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Como se sabe en las funciones hay una interaccin entre los elementos del dominio y rango. De acuerdo al tipo de interaccin existen tres clases de funciones.

Funcin Inyectivas: Tambin llamada Funcin Uno a Uno, son aquellas donde los elementos del rango que son imagen de algn elemento del dominio, solo lo hacer una vez. Las funciones crecientes y decrecientes son inyectivas.

DEFINICIN:

Sea la funcin y = f(x), dados dos elementos del dominio x1 y x2,

Si x1 x2, y f (x1) f (x2), entonces la funcin es inyectiva

Funcin Sobreyectivas: Las funciones y = f(x), donde "Todos los elementos del rango" son al menos imagen de uno o varios elementos del dominio. Lo anterior quiere decir que todos los elementos del rango se relacionan con algn o algunos elementos del dominio.

Funcin Biyectiva: Una funcin y = f(x) es Biyectiva si, solo si, es inyectiva y Sobreyectiva.

Clasificacin de funciones

Clasificar la gran cantidad y variedad de funciones no es tarea fcil, anteriormente analizamos que segn el tipo de relacin hay funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Pero existen otros criterios para clasificar funciones, el ms general es clasificar las funciones segn el tipo de expresin matemtica que la describe. Por ejemplo la ecuacin lineal describe funciones lineales, las ecuaciones cuadrticas describen funciones cuadrticas, los logaritmos describen las funciones logartmicas y as sucesivamente.

El criterio descrito es muy pertinente, ya que de esta manera se puede involucrar la mayora; por no decir todas las funciones que existen y puedan existir.

Bajo este contexto las funciones se clasifican en Algebraicas, Trascendentales y Especiales.

Funciones especiales

Se consideran a las funciones cuyo modelo matemtico no tiene un patrn definido, ms bien son muy particulares.

Funcin Constante:

Sea f(x) = b. Siendo b una constante. Esta funcin indica que para todo valor de x, su imagen siempre ser b. La funcin constante es lineal.

La notacin: f : R R fijo

Su dominio son todos los reales y su imagen un nico valor b; quizs esto es lo que la hace ver especial.

Es una funcin par, ya que

f (- x ) = f ( x ), luego es simtrica respecto al eje y.

La funcin que se presenta en la grfica muestra que el dominio es cualquier real y la imagen para este caso es y = 3.

Esta funcin no es creciente, tampoco decreciente, por lo cual no se considera montona.

Funcin idntica

Se le llama idntica ya que para cualquier valor del dominio, su imagen es precisamente el mismo valor.

Sea f(x) = x. Esta funcin tambin es lineal, solo que el valor del dominio e imagen es el mismo, aqu es donde se le da la connotacin de especial. La notacin f : R R

Esta funcin es impar, ya que se cumple f ( -x ) = - f ( x ).

Por ser una funcin impar, la funcin idntica es simtrica respecto al origen.

En la grfica se observa que la funcin es creciente, esto porque el coeficiente de la variable x es positivo, pero si dicho coeficiente es negativo la funcin ser decreciente, as esta funcin es montona.

Funcin valor absoluto

Esta funcin cumple con los principios del valor absoluto.

Sea . El dominio son todos los reales, ya que el valor absoluto se aplica a cualquier valor real. La imagen son los reales no negativos, debido a que el valor absoluto por definicin siempre ser positivo o a lo ms cero. La notacin

f : R R*

Es una funcin par ya que f (- x ) = f ( x ), por lo cual es Simtrica respecto al eje y.

La funcin es creciente en el intervalo [0, ) y decreciente en el intervalo (-, 0).

Funcin parte entera

Es una funcin muy especial ya que presenta una discontinuidad notoria. Algunos la llaman funcin escalonada, en la grfica se ver porque.

Sea .Cuyo significado es el valor mximo entero menor o igual

que x, ms comn parte entera. Por ejemplo , ya que 0,2 es mayor menor o igual que 0.

Ms explcitamente:

Para -1 x < 0, su imagen es -1

Para 0 x < 1, su imagen ser 0

Para 1 x < 2, su imagen es 1. As sucesivamente.

El dominio de esta funcin son todos los reales y su imagen los enteros. f : R Z

No tiene simetra, tampoco monotona, su caracterstica ms notoria es su discontinuidad para cada x entero.

Funcin definida por partes

Es una funcin que combina parte de diversas funciones, puede ser definida por una parte constante y otra idntica, una parte lineal y otra trascendental, etc. En general la funcin definida por partes se muestra por una regla compuesta por dos o ms expresiones matemticas. Aunque no hay una forma general, podemos ilustrar con algn ejemplo, pero se tendr ms oportunidad de analizar este tipo de funciones a lo largo del curso.

Grficas de funciones

SIMETRA DE LAS FUNCIONES:

La simetra es el comportamiento de la curva respecto a los ejes coordenados. Una curva es simtrica respecto al eje y, si la parte derecha es la imagen especular de la parte izquierda, ser simtrica respecto a x si la parte superior es la imagen especular de la parte inferior.

Simetra respecto a eje x Simetra respecto al eje y

Simetra respecto al origen de coordenadas

La simetra de las funciones esta relacionado con el concepto de funcin par e impar, veamos en que consisten dichos principios.

Funcin Par: Una funcin f (x) es par si para todo x en su dominio: f ( - x ) = f ( x ). Este tipo de funciones son simtricas respecto al eje y. El ejemplo tpico son las funciones cuadrticas.

Funcin Impar: Una funcin f ( x ) es impar si para todo x en su dominio:

f ( - x ) = - f ( x ). Este tipo de funciones son simtricas respecto al origen de coordenadas. El ejemplo tpico son las funciones cbicas.

Act 8: Lectura Captulo 5

ngulos y el crculo trigonomtrico

ngulos

En Geometra se estudiaron los ngulos, clases, propiedades y dems. Se analizaron diversas definiciones de ngulos, aqu solo se dar una definicin muy sencilla y particular.

Un ngulo se forma cuando dos segmentos de recta se cortan en un punto llamado Vrtice. A los segmentos de recta se le conocen como lado inicial y lado Terminal.

V = Vrtice

a = lado inicial

b = Lado Terminal

= ngulo formado

Se puede decir que un ngulo es el "Espacio formado" por los segmentos de recta que se cruzan en el vrtice. Por convencin un ngulo es positivo cuando se mide

en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando se mide en sentido de dichas manecillas.

Por lo general para simbolizar los ngulos se usan letras griegas como , , , entre otras, o letras latinas maysculas A, B, C, otros.

La grfica muestra que el ngulo es positivo hacia arriba y negativo hacia abajo.

Medida de loa ngulos: La medida de los ngulos depende de la abertura o separacin que presenten las dos semirrectas. Existen dos sistemas bsicos para medir los ngulos. El Sistema Sexagesimal cuya unidad son los Grados y el sistema Circular cuya unidad es el Radian. Estos tienen referencias, vemoslo en la grfica siguiente.

Sistema Sexagesimal Sistema Circular

Una vuelta equivale a 3600 en el sistema sexagesimal y 2 en el sistema circular.

Existe un sistema de conversin entre los sistemas, segn las equivalencias que se pueden ver en las grficas.

Para convertir de radianes a grados:

Para convertir de grados a radianes.

ngulos notables

ngulos existen muchos, pero para facilitar el anlisis de los mismos, se han establecido unos ngulos que se les han denominado ngulos notables, ya que a partir de estos se puede analizar cualquier otro. En el sistema de coordenadas rectangulares, el primer cuadrante est comprendido entre los ngulos 0 y / 2. El segundo cuadrante est comprendido entre / 2 y , el tercer cuadrante entre y 3 / 2 y el cuarto cuadrante est comprendido entre 3 /2 y 2.

Los ngulos notables se obtienen cuando se divide la unidad en 6 partes, as se obtienen 6 ngulos ya que 180 / 6 = 30, entonces se obtiene 6 ngulos con una medida de 300 cada uno en la parte superior del plano, de la misma manera en la parte inferior.

Los ngulos son: 00, 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600.

Pero tambin se pueden dividir en cuatro partes: 180 / 4 = 45, entonces se obtiene 4 ngulos con una medida de 450 cada uno. As los ngulos son: 00, 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600.

Las lneas azules muestras las 6 divisiones de la parte superior y 6 divisiones de la parte inferior. Las lneas cafs muestras las 4 divisiones de la parte superior y las 4 de la parte inferior. De esta manera se muestran los ngulos notables en grados.

Para el caso de radianes, la divisin es de la forma. / 6, as cada parte es 1/6 por la parte superior igual para la parte inferior del plano.

Los ngulos sern: 0, / 6, 2 / 6, 3 / 6, 4 / 6, 5 / 6, 6 / 6, 7 / 6, 8 / 6, 9 / 6, 10 / 6, 11 / 6, 12 / 6.

Haciendo 4 divisiones se obtienen las siguientes partes: 0, / 4, 2 / 4, 3 / 4, 4 / 4, 5 / 4, 6 / 4, 7 / 4, 8 / 4.

Las lneas azules muestran la divisin en 6 partes y la lnea caf muestra la divisin en 4 partes.

Resumiendo la construccin de los ngulos notables, en la siguiente tabla se presentan aquellos en los cuadrantes correspondientes.

Cuadrante / Sistema Sexagesimal Circular

Primer cuadrante 00 300 450 600 900 0 /6 /4 /3 /2

Segundo Cuadrante 1200 1350 1500 1800 2/3 3/4 5/6

Tercer Cuadrante 2100 2250 2400 2700 7/6 5/4 4/3 3/2

Cuarto Cuadrante 3000 3150 3300 3600 5/3 7/4 11/6 2

Circulo trigonomtrico

Por ser las funciones trigonomtricas de tipo trascendental, la obtencin de las parejas ordenadas para hacer la grfica es muy particular. El camino es recurrir a la circunferencia unidad, la cual tiene como radio uno. Por otro lado, hay un teorema que permite identificar los valores de los lados en un tringulo rectngulo.

CIRCUNFERENCIA UNIDAD (R=1)

Identidades trigonomtricas

En trigonometra existen unas ecuaciones muy particulares a las cuales se le llama identidades trigonomtricas, dichas ecuaciones tiene la particularidad que se satisfacen para cualquier ngulo. Dentro de este contexto se analizarn varias clases de identidades, las bsicas, las de suma y diferencia, las de ngulo doble y las de ngulo mitad.

Identidades bsicas

Dentro de las identidades bsicas se presentan 6 categricas, las cuales analizaremos a continuacin:

1. Identidad Fundamental: Partiendo del teorema de Pitgoras, la relacin de los lados del tringulo y el crculo trigonomtrico, se puede obtener dicha identidad.

2. Identidades de Cociente: Estas se obtienen por la definicin de las relaciones trigonomtricas

a)

b)

3. Identidades Recprocas: Se les llama de esta manera debido a que a partir de la definicin, al aplicar el recproco, se obtiene nuevos cocientes.

a)

Recprocamente

b)

Recprocamente

c)

Recprocamente

4. Identidades Pitagricas: a partir de la identidad fundamental y las identidades de cociente, se obtienen otras identidades llamadas pitagricas. Aunque varios autores llaman a la identidad fundamental tambin pitagrica.

a)

b)

5. Identidades Pares - Impares: Cuando se defini la simetra de las funciones trigonomtricas, se hizo referencia a las funciones pares e impares, de este hecho se obtiene las funciones pares e impares.

Pares: cos (-) = cos y sec (-) = sec ()

Impares: sen (-) = - sen () tan (-) = - tan ()

cot (-) = - cot () csc (-) = - csc ()

6. Identidades de Cofuncin: Cuando a /2 se le resta un ngulo cualquiera, se obtiene la cofuncin respectiva.

a)

b)

Ecuaciones trigonomtricas

Anteriormente se deca que las identidades trigonomtricas son igualdades que se cumple para cualquier ngulo. Existen ciertas identidades que se cumplen para ngulos especficos, a dichas identidades se les llama ecuaciones trigonomtricas.

DEFINICIN:

Las ecuaciones trigonomtricas, son identidades que satisfacen solo ciertos ngulos. La solucin se expresa en medidas de ngulos, puede ser en grados o radianes.

La resolucin de ecuaciones trigonomtricas requiere de un buen manejo de las funciones trigonomtricas inversas; adems, de los principios de lgebra y trigonometra.

Para que la ecuacin sea ms fcil de desarrollar, es pertinente reducir toda la expresin a una sola funcin, generalmente seno o coseno, para que se pueda obtener el ngulo o los ngulos solucin.

Es importante aclarar que si no se dice otra cosa, la solucin para nuestro caso se dar solo para la circunferencia unidad: 0 x 2. Algunos autores acostumbrar a dar al solucin general, recordemos que las funciones trigonomtricas son peridicas, ay que se repiten cada p intervalo.

Resolucin de problemas de tringulos rectngulos

La trigonometra sirve para solucionar problemas en muchas reas del saber. La Astronoma, la Fsica, la Geografa y otras se sirven de la trigonometra para resolver sus problemas.

Las herramientas para trabajar problemas con trigonometra son conocer claramente el Teorema de Pitgoras, buenos principios de funciones trigonomtricas, una calculadora cientfica para apresurar los clculos; ojo NO para simplificarlos. Es pertinente que todos los clculos se planteen metdicamente para comprender el problema y su solucin sea la pertinente.

ngulo de elevacin

Cuando un observador ubicado en un punto dado, observa un objeto que est a mayor altura que la visual de ste, el ngulo formado se le conoce como ngulo de elevacin.

S = Observador

O = Objeto a observar

= Angulo de elevacin.

ngulo de depresin

Es el formado por la visual y la horizontal, cuando el observador est a mayor nivel que el objeto observado.

S = Observador

O = Objeto observado

= Angulo de depresin

Resolucin de problemas con tringulos no rectngulos

En los apartes anteriores se han analizado situaciones de los tringulos rectngulos, pero existen diversos fenmenos que no siguen este patrn, la base de un telescopio del observatorio internacional, las velas de un barco, las caras de las pirmides de Egipto, no tienen forma de tringulos rectngulos, sabemos que a este tipo de tringulo se les llama "Tringulos No Rectngulos".

EL trabajo que se desarrollar en este aparte es el anlisis de tringulos no rectngulo. El soporte del estudio est en los llamados teoremas de seno y coseno, los cuales permiten determinar los lados y ngulos de tringulos no rectngulos.

Teorema del seno

Para un tringulo con lados a, b, c y ngulos opuestos A; B, C. respectivamente, se cumple:

Teorema del coseno

Existen situaciones donde el teorema de seno no se puede aplicar de manera directa, en casos como tener dos lados y el ngulo entre ellos o tener los tres lados. Para estos casos y otros, la solucin es el teorema del coseno.

Para un tringulo con lados a, b, c y ngulos opuestos A; B, C. respectivamente, se cumple:

Actividad 8: Lectura Captulo 6

Hipernometra

La palabra HIPERNOMETRA, se acuo en este contexto haciendo referencia a el anlisis de las funciones Hiperblicas, de la misma manera como al anlisis de las funciones trigonomtricas se le denomina Trigonometra, es posible que la palabra no sea muy tcnica, pero la idea es que con ella; en este material, se identifique el anlisis de las funciones hiperblicas.

En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperblicas, sus principios y caractersticas. As las funciones hiperblicas tienen unas identidades bsicas.

Identidades bsicas

Dentro de las identidades bsicas se presentan las siguientes categricas:

1. Identidad Fundamental: Anlogamente a la identidad fundamental de las trigonomtricas.

2. Identidades de Cociente: Estas se obtienen por las relaciones de seno hiperblico y coseno hiperblico.

a)

b)

3. Identidades Recprocas: Se les llama de esta manera debido a que a partir de la definicin, al aplicar el recproco, se obtiene nuevos cocientes.

a)

Recprocamente

b)

Recprocamente

c)

Recprocamente

4. Identidades Cuadrticas: a partir de la identidad fundamental y las identidades de cociente, se obtienen otras identidades llamadas cuadrticas.

a)

b)

Identidades de suma y diferencia

a-)

b-)

Identidades de ngulo doble

a)

b)

Identidades al cuadrado

a)

b)