abc de las finanzas 1

ABC DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

PARTE 1

Interés Simple

Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de $10.000.

Interés Simple

Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.

Interés SimplePero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.

LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado.

A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.

Interés Simple

En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general.

Así abreviaremos :

No confundas interés con tasa de interés. Comoves son muy diferentes. Cuando ustedes consultanpor rentabilidad, puedes asociarla con el concepto

de TASA DE INTERÉS.

Interés SimpleEJEMPLO : Imagina que vas al banco y ..............

Interés SimpleVeamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.

CC

II

ii

Interés SimpleA continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..

REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :

Interés Simple

En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el

interés permanece invariable en el tiempo.

Interés SimpleAnalicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años :

Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :

Interés Simple

En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.

Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos.

Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:

II

CCii

nn

I = C I = C xx ii xx n nInterés SimpleInterés Simple

CapitalCapital

Tasa de interésTasa de interés

PeríodoPeríodo

Interés Simple

El interés Simple posee las siguientes características :

A mayorA mayorC A P I T A LC A P I T A L

A mayor A mayor TASA DE INTERÉSTASA DE INTERÉS

A mayorA mayorN° DE PERÍODOSN° DE PERÍODOS

Mayor INTERÉSMayor INTERÉS



Interés SimpleEjercicio 1 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?

Seleccionamos la fórmula :Seleccionamos la fórmula :

I = C x i x nI = C x i x n

Reemplazando los valores en la fórmula :Reemplazando los valores en la fórmula :

I = 100.000 x 0.06 x 5I = 100.000 x 0.06 x 5

Efectuando los cálculos se obtiene :Efectuando los cálculos se obtiene :

I = $ 30.000I = $ 30.000

Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresaen porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, esnecesario expresarla en decimales.

Por Ejemplo :6% = 0,06 (6 Dividido por 100)

Interés SimpleA modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :

¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ 24.000 de Interés ?

¿ Qué fórmula usaras ?

Verificando fórmula.....Verificando fórmula.....

Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la

fórmula seleccionada.

En este caso “n” = 6 meses o paraEn este caso “n” = 6 meses o para““homogeneizar”, 0,5 años.homogeneizar”, 0,5 años.

¡Muy bien!¡Muy bien!$200.000 es el$200.000 es el

CAPITALCAPITAL

Interés SimpleEjercicio 2 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 días...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?


I = C x i x n / 360I = C x i x n / 360


I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360


I = $ 83,3I = $ 83,3

El interés que obtendría usted es deEl interés que obtendría usted es de$83$83

Interés Simple

OJO :OJO :

Debemos igualar las unidades de tiempo enDebemos igualar las unidades de tiempo enque están expresadas la tasa y el período.que están expresadas la tasa y el período.

BIENVENIDO

ALAL

INTERÉS COMPUESTOINTERÉS COMPUESTO

Interés Compuesto

El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.

Al final de cada Al final de cada período el capital período el capital

varía, y por varía, y por consiguiente, el consiguiente, el interés que se interés que se generará será generará será

mayor.mayor.

Interés CompuestoLo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.

Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

Recuerda que el exponente deRecuerda que el exponente de(1+i) es igual al número de(1+i) es igual al número de

períodos.períodos.

Interés Compuesto

Un concepto importante que debes recordar,Un concepto importante que debes recordar,se refiere a la se refiere a la CAPITALIZACIÓNCAPITALIZACIÓN de los intereses, de los intereses,es decir, cada cuánto tiempo el interés ganadoes decir, cada cuánto tiempo el interés ganadose agrega al Capital anterior a efectos dese agrega al Capital anterior a efectos decalcular nuevos intereses.calcular nuevos intereses.

En general la En general la CAPITALIZACIÓNCAPITALIZACIÓN se efectúa a se efectúa aIntervalos regulares :Intervalos regulares :• DiarioDiario• MensualMensual• TrimestralTrimestral• CuatrimestralCuatrimestral• SemestralSemestral• AnualAnual

Interés CompuestoSe dice entonces :Se dice entonces :

que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleque el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleen capital, en consecuencia, también gana interésen capital, en consecuencia, también gana interés

El interés aumenta periódicamente duranteEl interés aumenta periódicamente duranteel tiempo que dura la transacción.el tiempo que dura la transacción.

El capital al final de la transacción se llama El capital al final de la transacción se llama MONTOMONTOCOMPUESTOCOMPUESTO y lo designaremos y lo designaremos MCMC..

A la diferencia entre el A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO MONTO COMPUESTO y ely el CAPITAL (C) CAPITAL (C) se le conoce como se le conoce como INTERÉSINTERÉSCOMPUESTOCOMPUESTO y lo designaremos por y lo designaremos por ICIC..

Obtenemos entonces la siguiente fórmula :Obtenemos entonces la siguiente fórmula :

IC = MC – CIC = MC – CInterés Compuesto = Monto Compuesto - CapitalInterés Compuesto = Monto Compuesto - Capital

Interés CompuestoDe acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:

Monto CompuestoMonto Compuesto, al, alfinal del periodo “n”final del periodo “n”estaría dado por :estaría dado por :

MC = C*(1+i)^nMC = C*(1+i)^n

En los problemas deEn los problemas deInterés Compuesto elInterés Compuesto elPrincipio fundamentalPrincipio fundamentalEstablece que la Tasa Establece que la Tasa De Interés y el TiempoDe Interés y el Tiempodeben estar en la mismadeben estar en la mismaunidad que estableceunidad que establecela capitalización.la capitalización.

El factorEl factor

(1+i)^n(1+i)^n

Se denomina FACTOR DESe denomina FACTOR DECAPITALIZACIÓN COMPUESTOCAPITALIZACIÓN COMPUESTO

Interés CompuestoEjercicio 1 :

¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000 depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?


MC = C * (1+i)^nMC = C * (1+i)^n


MC = 250.000 * (1+0.02)^8MC = 250.000 * (1+0.02)^8


MC = $ 292.915MC = $ 292.915

PARE :PARE :

Recuerde respetar las prioridadesRecuerde respetar las prioridadesOperacionales :Operacionales :

1° Resolvemos el paréntesis.1° Resolvemos el paréntesis.2° Multiplicamos.2° Multiplicamos.


Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?


N = Log MC – Log C / Log (1+i)N = Log MC – Log C / Log (1+i)


N = Log 237.537 – Log 200.000N = Log 237.537 – Log 200.000/ Log 1,035/ Log 1,035


N = 5,375731267 – 5,301029996N = 5,375731267 – 5,301029996/ 0,01494035 / 0,01494035 = 4,999969739 = 5= 4,999969739 = 5


Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?


i = (MC / C ) ^ 1/n - 1i = (MC / C ) ^ 1/n - 1


i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1


i = 1,187685 ^ 1/5 - 1i = 1,187685 ^ 1/5 - 1 i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035

Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %mensual.mensual.


¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.


C = MC / (1 + i)^nC = MC / (1 + i)^n


C = 250.000 / (1 + 0,12)^2C = 250.000 / (1 + 0,12)^2


C = 250.000 / 1,2544C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298 = $ 199.298

Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue deEntonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de$ 199.298$ 199.298

Inflación y tasas de interés

Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC

Inflación:

En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.

$100 $100Si π = 25%

Periodo 0(Año 0)

Periodo 1 (Año 1)


La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:

Donde i = tasa de interés nominalr = tasa de interés real = Tasa de inflación

ri 1*11 AB

La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:

A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)

...continuación...

RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)

* Poder adquisitivo (inflación)

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%


$1100 $1375

Año 1 Año 1Si π = 25%

$1000 $1100

Año 0 Año 1Si r = 10%

...continuación...


Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.

¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?

Ejemplo:

...continuación...

Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )

Donde =0,25 y i =0,375

Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10%

Si el capital inicial es C0 = $ 500

Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5

Inflación y tasas de interés...continuación...

Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo

La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.

Valor del dinero en el tiempo

Periodo 0(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1(Año 1)

Valor del dinero en el tiempo ...continuación...

EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.

a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

Valor del dinero en el tiempo ...continuación

Si : Sólo hay sólo 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un año (C0, C1) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10%

b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?

Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880

EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r) 0

200

400

600

800

1.000

1.200

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.00

0

Periodo 0

Peri

odo

1

(200, 880)

(500, 550)

(800, 220)

1.100

Consumo total= 200 + 880 = 1.080

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

31111* rVArrrVAVF

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Si son 3 periodos

Caso General: nrVAVF 1*

VALOR FUTURO

rVAVF 1*

0 1

VFVA

Año:

Sólo 1 periodo

Donde:r = tasa de interés


311*1*1 r

VFrrr

VFVA

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Caso 3 periodos

Caso General: nrVF

VA

1

VALOR ACTUAL

...continuación...

rVF

VA

1

0 1

VFVA

Año:

Caso 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

Ejemplos VF y VA:


a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405

VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Alternativamente:

...continuación...

Ejemplos VF y VA:


b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 3.300 / 1,749 = 1.886,8

Alternativamente:

...continuación

Ejemplos VF y VA:


Caso especialc) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

...continuación

VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) =

(1,64)1/3

1+r = 1,18 r = 0,18

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