5.-_modulo_ii-cap-v_

7/31/2019 5.-_MODULO_II-CAP-V_

1/20

Teora de conjuntos

CONJUNTOS

1. NOCION DE CONJUNTO:Entendemos por conjunto, a una reunin, coleccin, agrupacin, clase, conglomerado o familia, de objetos

bien definidos, reales o abstractos llamados elementos.Los conjuntos se denotan con letras maysculas (A; B; C; ...) y sus elementos, separados por comas (o punto

y coma en el caso de nmeros), encerrados entre llaves.

2. DETERMINACIN DE UN CONJUNTO

1) Por Comprensin o de Forma Constructiva: Cuando se define al conjunto enunciando una propiedad comnque caracterizan a los elementos de dicho conjunto.

Ejemplo: A = {x / x es un nmero natural par menor que 19}B = {x / x es una vocal}

2) Por Extensin o de Forma Tabular o Enumerativa: Cuando nombran explcitamente los elementos de dichoconjunto.

Ejemplo: A = { 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }B = { a, e, i, o, u}

Ejemplo:Denotar por comprensin el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999; 999999}Solucin:

99 = 100 1 = 102 1999 = 1000 1 = 103 1

9999 = 10000 1 = 104 1

99999 = 100000 1 = 10

5

1999999 = 1000000 1 = 106 1Luego entonces, si llamamos n al exponente de 10 podremos decir que este n N, donde 1 < n < 7

As, el conjunto denotado por comprensin sera:B = { 10n 1 / 1 < n < 7 ; n N }

CONJUNTO UNIVERSAL (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situacin particular, esposible elegirlo de acuerdo a lo que se trate.

CONJUNTOS NUMRICOS

1) Conjunto de los Nmeros Naturales (N):

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...............}

2) Conjunto de los Nmeros Enteros (Z):

Z = {- ..............., -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ............ ; + }

59


2/20

3) Conjunto de los Nmero Racionales (Q):

+=

=

............,b

a.,..........1,,..........,

2

1......,,0.......,,

2

1........,,1,......,

b

a.......,,-Q

0b;zba,/b

aQ

Q1

-77-Q

1

55 ==

- Los nmeros decimales finitos son racionales.Ejemplos:

Q100

2121,0 =

- Los nmeros decimales infinitos peridicos son racionales- Los nmeros peridicos puros y peridicos mixtos son racionales

Q99

4343,0 =

Q990

239

990

2-241241,0 ==

4) Conjunto de los Nmeros Irracionales (I):

- Est formado por los nmeros decimales infinitos no peridicos.Ejemplos:

I 5 I 3 I

I = ........,........,e,........,,3........,,2-........,,5-........,,........,3

Donde = 3,14159....... e = 2,718281.........

5) Conjunto de los Nmeros Reales (R):

R = Q U ISu grfica:

- 0 +

R = + .........,4e,.........,,7.........,.........0,.........,e,-,5-.........,,-.........,,

6) Conjunto de los Nmeros Complejos (C):

C = Rb,a,,1-i/bia =+

1) 3 C 2) - 7 C 3) i C 4) 2 - i Cporque: porque: porque: porque:3 = 3 + 0i -7 = -7 + 0i i = 0 + 1i 2 - i = 2 + (-1)i

De forma anloga:

5) C 6) e C 7) 4 - 5 C 8) 3 C

Cualquier nmero real es complejo.

60


3/20

R C

61


4/20

Conclusin:

i) N Z Q R Cii) I es disjunto de N, Z, Q

Conjunto de los Nmeros Pares

= { - ; ......... ; -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ................... ; + } = {2K / K Z}

Conjunto de los Nmeros Impares

= { - ; ......... ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ................... ; + } = {2K 1 / K Z}

Conjunto de los Nmeros Positivos

= { x R / x > 0}

Conjunto de los Nmeros Negativos

= { x R / x < 0}

3. RELACIN DE PERTENENCIAUn elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento nopertenece () a un conjunto si no cumple con la condicin anterior. Esta relacin vincula un elemento con unconjunto, ms no vincula elementos o conjuntos entre s.

Ejemplo 1: Dado el conjunto: A = {4; 6; 7; 9}Entonces: 4 A (4 pertenece a A)

9 A (9 pertenece a A)5 A (5 no pertenece a A)

Ejemplo 2: Dados los conjuntos:A = { 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 } y B = { a, e, i, o, u}

Se tiene que:8 A o B11 A g B

4. CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es el nmero entero, no negativo, que indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto. El cardinalde un conjunto A se denota: n(A).

62

Q

CN

Z

I


5/20

Ejemplos: A = {7; 4; 6; 3} n(A) = 4B = {2; 4; 6; 8; 10} n(B) = 5C = {6; 4: 4; 6; 4} n(C) = 2

Ejemplo: Se dan los conjuntos M, N, Q, tales que se cumplen las siguientes

condiciones: M N, N Q, mM, bQ, qN, qM, sN, tQ,sQ, U = universo = {m,b,q,s,t}

Cul es el mayor valor de K = n(M) + n(N) + n(Q) + n(U) ?Solucin:Graficando los conjuntos correspondientes y distribuyendo en ellosadecuadamente los elementos se nos presentan las siguientesposibilidades:

Q U n(M) = 2 n(N) = 3N M n(Q) = 4 n(U) = 5

m b q s tK =2 + 3 + 4 + 5 = 14

Q U n(M) = 1 n(N) = 3n(Q) = 4 n(U) = 5

N M bm q s t K = 1 + 3 + 4 + 5 = 13

Q U n(M) = 1 n(N) = 2

N n(Q) = 4 n(U) = 5q bM m s t K = 1 + 2 + 4 + 5 = 12

como piden mx( K ) , entonces la respuesta es 14

RELACIONES CON CARDINALES

(I) Si A y B son disjuntos:

n(A B) = n(A) + n(B)

(II) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

(III) Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C:

n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(AC) - n(BC) + n(ABC)

63


6/20

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) Inclusin : Se dice que un conjunto A est incluido en otro conjunto B, cuando todos los elementos de Apertenecen a B. Se denota por A B y simblicamente se define la inclusin as:

A B x A x B

Si A = { p , q } y B = { m , n , p , q , r } , entonces A B .

AdentosuperconjuesB*

AacontieneB*

AaincluyeB*

:leese,A

BdeosubconjuntesA*

BdeparteesA*

BencontenidoestA*

BenincluidoestA*

:leese,B

B

A

Nota: Si algn elemento del conjunto A, no pertenece a B entonces decimos que A no est incluido en B y sedenota: A B.Ejemplo:

A = { ; 1 ; {2 ; 3} ; 4 ; 5 ; 6 } B = { ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }

{2 ; 3} A {2 ; 3} B

Entonces : A BAdems:{} A ......... F {2 ; 3} A ......... F A ... V1 A ......... F 4 A ......... V A ... V

2) Igualdad de Conjuntos

A = B A y B tienen los mismos elementos

3) Conjuntos Comparables

A es comparable con B, si A B o B A

4) Conjuntos Disjuntos

Los conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

64


7/20

5) Conjunto Potencia

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjuntodado.

Conjunto Potencia de A: P (A)

P(A) es el conjunto de todos los subconjuntos de A:

P(A) = { X / X A }

Es decir: X P(A) X A

Si "n" es el nmero de elementos del conjunto A n [P(A)] = 2n

i) P(A) , puesto que ; A

ii) A P(A) , puesto que ; A A

Ejemplo: Dado A = {7; 5; 3}, los subconjuntos de A son:, {7}, {5}, {3}, {7; 5}, {7; 3}, {5; 3}, {7; 5; 3}

Entonces el conjunto potencia de A es:P(A) = { , {7}, {5}, {3}, {7; 5}, {7; 3}, {5; 3}, {7; 5; 3} }

Nota: Si n(A) es el cardinal del conjunto A, se verifica que:

# de subconjuntos de A # de elementos P(A) = 2n(A)

n[ P(A)] = 2n(A)

Ejemplo:

Para dos conjuntos M y N se cumple que n(M N) = 8adems : n[P(M)] + n[P(N)] =160.Determine n[P(M N)]

Solucin

sea n[P(M)] = 2n(M) y n[P(N)] = 2n(N)

entonces en :

n[P(M)] + n[P(N)] = 1602n(M) + 2n(N) = 1602n(M) + 2n(N) = 32 + 1282n(M) + 2n(N) = 25 + 27

lo que significa que reemplazando estos resultados en la frmula: n(M N) = n(M) + n(N) - n(M N) tendremos:

8 = 5 + 7 - n(M N) n(M N) = 4

POR LO TANTOn[P(M N)] = 2n(M N) = 24

Respuesta: 16

65


8/20

SUBCONJUNTO PROPIO ( )

Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado, no es igual a ste.

Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 6; 8}, sus subconjuntos son:

, {2}, {6}, {8}, {2; 6}, {2; 8}, {6; 8}, {2; 6; 8}

Luego, sus subconjuntos propios son:

, {2}, {6}, {8}, {2; 6}, {2; 8}, {6; 8}

Nota: Si n(A) representa el cardinal del conjunto A:

# de subconjuntos propios de A = 2 n(A) - 1

Ejemplo: Si un conjunto tiene 2047 subconjuntos propios. Cuntos elementostiene dicho conjunto?

Solucin:# de subconjuntos propios de A = 2 n(A) 1

2047 = 2 n(A) 12048 = 2n(A)

211 = 2n(A) , entonces : n ( A ) = 11

PROPIEDADES DE CONJUNTO POTENCIA

1) P() = {}

2) P(A) P(B) A B

3) P(A) = P(B) A = B

4) P(A) U P(B) P(A U B)

5) P(A) P(B) = P(A B)

6) P(A) , A P(A)

6) OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIN: Dados dos conjuntos A y B, la uninde ellos es el conjunto formado por aquellos elementos quepertenecen por lo menos a uno de esos conjuntos A o B. Se denota A B y se define:

A B = {x / x A x B}

Ejemplo: Dados: A = {6; 8; 2}B = {3; 7}

A B = {2; 3; 6; 7; 8;}

66


9/20

Diagramas:

A B A B A B

A B A B BA

Conjuntos Disjuntos Conjuntos Comparables

2. INTERSECCIN: Para dos conjuntos A y B, la interseccinde ellos es elconjunto formado por los elementos comunes de A y B.

Se denota A B y se define.

A B = { x / x A x B }

Ejemplo:

Dados: A = {x; &; 5}B = {&; 3; @; 5; 7}

A B = { & ; 5}Diagramas:

A B A B = A B = AA B A B B

A


3. DIFERENCIA: La diferenciade dos conjuntos A y B ( en ese orden), es el conjunto formado por loselementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota por A - B y se define:

A - B = { x / x A x B }

Ejemplo:

Dados A = {6; &; 4; 7; @}B = {3; 4; 5; 6; 7}

A - B = { & ; @ }

Importante:La diferencia de conjuntos no es conmutativa; esto es: si A B

A B B - ADiagramas:

A B A B BA

A B A - B = A A - B =

67


10/20


4. DIFERENCIA SIMTRICA: Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simtricade ellos es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

Se denota por A B y se define:

A B = { x / x (A - B) x (B - A) }

Ejemplo: Sea A = {0; &; 2; 8}B = {3; &; 5; 0; 7}

A B = {2; 8; 3; 5; 7}

Diagramas:

A B

A B B A

A B A B A B


5. COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos del conjuntouniversal U que no pertenecen a A. Se denota por: Ac, A', o C(A) y se define:

A' = {x / x Ux A} = U A

Ejemplo: Sea: U = {x / x Z+x < 8}A = {2; 3; 5}

: A' = {1; 4; 6; 7}

Diagrama:

AA'

5. PRODUCTO CARTESIANO: Llamado tambin conjunto producto de dos conjuntos A y B, es aquelconjunto cuyos elementos son pares ordenados donde las primeras componentes pertenecen a A y lassegundas componentes pertenecen a B.

Se denota A x B y se define:

A x B = {(a; b) / a A b B}

Ejemplo: Si: A = {1; 2; 3}B = {m; n}

A x B = {(1; m), (1; n), (2; m), (2; n), (3; m), (3; n)} B x A = {(m; 1), (m; 2), (m; 3), (n; 1), (n; 2), (n; 3)}

Ntese que si A B:

68


11/20

A x B B x AObservacin: este es un conjunto cuya utilidad la veremos en el siguiente captulo

Ejemplo: Doa Socorro comi helados de fresa o coco durante todas las maanas en los meses de enero,febrero y marzo de 1996. Si comi helados de coco durante 49 maanas y comi helados defresa 53 maanas. Cuntas maanas comi helados de los dos sabores?

Solucin: 1996 fue un ao bisiesto

F C luego: Enero = 31 dasFebrero = 29 das 91 das

x y z Marzo = 31 dasentonces: x + y + z = 91

adems:

x + y = 53y + z = 49

x+y+z+y =102 91 + y = 102

Rpta. y = 11 das

LEYES Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

1. REFLEXIVAS

1A. A

A = A1B. A A = A

2. CONMUTATIVAS2A. A B = B A2B. A B = B A2C. A B = B A

3. ASOCIATIVAS3A. A (B C) = (A B) C3B. A (B C) = (A B) C3C. A (B C) = (A B) C

4. DISTRIBUTIVAS4A. A (B C) = (A B) (A C)4B. A (B C) = (A B) (A C)4C. (A B) C = (A C) (B C)4D. (A B) C = (A C) (B C)

5. DE LA INCLUSIN

Si:

=

=

=

=

A-BBA

B-A

ABA

BBA

BA

6. DE LA EXCLUSINSi A y B son disjuntos

= =

=

BABAAB-A

BA

7. ELEMENTO NEUTRO7A. A = A7B. A = 7C. A U = U7D. A U = A

8. DEL COMPLEMENTO8A. (A')' = A8B. A A' = U8C. A A' =

8D. ' = U8E. U' =

9. DE LA DIFERENCIA9A. A - B = A B'9B. A - B = B' - A'

10. LEYES DE MORGAN10A. (A B)' = A' B'10B. (A B)' = A' B'

11. DE ABSORCIN12A. A (A B) = A12B. A (A B) = A12C. A (A' B) = A B

69


12/20

12D. A (A' B) = A B

Ejercicios Complementarios:

1. En un avin viajan 120 personas, de las cuales:

- Los de ellas no beben

- Los 4/5 de ellas no fuman

- 72 no fuman ni beben

Cuntas personas fuman y beben o no fuman ni beben?

Solucin :

Con los datos

a + 72 = 80 a = 8

c + 72 = 96 c = 24

De la figura:

8 + b + 24 + 72 = 120

b = 16

Nos piden: 16 + 72 88

2. De un grupo de 100 alumnos. 49 no llevan el curso de sociologa y 53 no siguen el curso de

filosofa. Si 27 alumnos no siguen filosofa ni sociologa. Cuntos alumnos llevan solo uno

de tales cursos?

Solucin :

70

Fuman Beben

a

Fuman

a

b

c

No beben: (120) = 80

No fuman (120) = 96

S F

x

zy


13/20

Datos:

x + y = 49 = 100 x + z = 51 .. (1)

y + z + 53 = 100 y + z = 47 .. (2)

Sumando (1) y (2)

x + y + z = 98

100 - 27 + z = 90 z = 25

3. De los 100 alumnos de un saln, 70 aprobaron el curso M, 80 aprobaron H y 78

aprobaron el curso N. si los 90 aprobaron exactamente 2 cursos; Cuntos aprobaron los

tres cursos?

Solucin:

De la figura:

a + n + m + x = 70 (1)

b + n + p + x = 80 (2)

c + m + p + x = 79 (3)

Sumando (1), (2) y (3)

(a + b + c + m + n + p + x) + ( m + n + p) + 2x = 228

100 90

71

M =70

H =80

a

n

b

c

m

p

x


14/20

Luego: 100 + 90 + 2x = 228

De donde: x = 19

4. En una poblacin: 50% toma leche, el 40% come carne, adems solo los que comen carne

o solo los que toman leche son el 54%, Cul es el porcentaje de los que no toman leche ni

comen carne?

Solucin :

Dato: (50 - n)% + (40 - n )% = 54%

36% = 2n n = 18%

Con el total:

(50 - 18)% + 18% + (40 - 18)% + x = 100%

De donde: x = 28%

5. De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natacin y 135 se

inscribieron en gimnacia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades,

Cuntas se inscribieron en ambas disciplinas?

Solucin :

De la figura:

(160 x ) + x + ( 135 - x ) + 30 = 300

De donde: x = 25

72

N =160

G =

160 - X x135 X

30

L =50%

C =

50 nx

40 n

x


15/20

6. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmtica, 6 hombres aprobaron

literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningn curso, hay 16 hombres en total, 5

aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron solo aritmtica, Cuntas mujeres aprobaron solo

literatura?

Solucin :

De la figura:

(4 + y) + (5 - y) + x + 8 = 19

De donde: x = 2

7. De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se observ que los que estudian solo

ingles es el triple de los que estudian ingles y francs. Los que estudian solo francs son la

mitad de los que estudian ingles y 4 no estudian ingles ni francs, Cuntos estudian solo

ingles?

Solucin:

De la figura: 3x + x + 2x = 60

De donde: x = 10

Solo ingles: 3(10) = 30

73

x = mujeres que aprobaron literatura

y = hombres que aprobaron aritmtica

y literatura

I =4x F

3x

x 2x

4

Total =64

6 y

5 y

4 + y

y

7 y

x

5

A

L

H =16

M =19


16/20

8. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fabrica A, 33 trabajan en la fabrica B, 40

laboran en la fabrica C y 7 trabajadores estn contratados en las tres fabricas. Cuntas

personas trabajan en dos de estas fbricas solamente?

Solucin :

x + y + z + a + b + c + 7 = 62

(x + y + z) + (a + b + c) = 55 .. (1)

x+ a + b = 18

y + a + c = 26

z + b + c = 33

(x + y + z) + 2(a + b + c) = 77 .. (2)

Resultado: (2) (1):

(a + b + c) = 77 55

a + b + c = 22

9. De un grupo de 80 personas:

- 27 lean la revista A, pero no lean la revista B

- 26 lean la revista B, pero no C

- 19 lean C pero no A

- 2 las tres revistas mencionadas

Cuntos preferan otras revistas?

Solucin :

74

+

A B

a

m

b

c

n

p

2

C


17/20

Con los datos:

a + n = 27

b + m =26

c + p = 19

a + b + c + n + m + p = 72 . (1)

De la figura:

a + b + c + n + m + p + 2 + x = 80

72

De donde: 72 + 2 + x = 80

Luego: x = 6

10. En un aula de 75 alumnos de la I.E. Complejo La Alborada, el 32% sonmujeres. Al 64% del saln la biblioteca les presta su libro de aritmtica y 8mujeres tuvieron que comprar el libro. Cuntos hombres prestaron el libro dearitmtica, si todos los alumnos tienen libros?a) 25 b) 28 c) 32 d)38 e)40

SolucinCompletamos la tabla segn los datos dados.Sea # de hombres que prestaron el libro: x

Luego: x = 51-19= 32 .Rpta: c

11. De un grupo de 70 mujeres de la I.E. Vctor Francisco Rosales Ortega:

a. 24 tienen ojos azules pero no tienen 15 aos.b. 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 aos.

c. De los que no son mayores de 18 aos, 14 no tienen ojos azules ninegros.

75

Hombres Mujeres total

Prestaron x ? 64%(75)=48

Compraron

27-8=19 8 75-48=27

Total 75-24=51 32%(75)=24 75

+


18/20

Cuntas quinceaeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todaslas que tienen ojos negros?.

a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e)8

SolucinCompletando la tabla:

De la 1 premisa y la tabla: a+c=24 (1)

De la 3 premisa y la tabla: x+y=14 (2) De la condicin y la tabla : 3b = p+q+z (3) El total de mujeres es 70 (dato) y de la tabla :

Total = (a+p+8)+(b+q+x)+(c+z+y) = 70(a+c)+(p+q+z)+(x+y)+b+8 = 70 (4)

Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) se tiene:b = 6 Rpta: c

12.Si A = {mujeres}B = {gente que fuma}

Cmo se expresa el enunciado hombres que no fuman?

a) A B b) A' B' c) A' B d) (A B)' e) A B'

Solucin:A' = {hombres}B' = {gente que no fuma}

A' B' (sector comn o gente con ambas caractersticas) A' B' = {hombres que no fuman}

Rpta b.

76

Edad Azules Negros Otros colores Total

Mayores de 18 A p 8 a+p+8

15 aos b? q x b+q+x

Menores de 18 C z y c+z+y

Total p+q+z 70


19/20

Problemas Propuestos:

1. En una conferencia hay 6 abogados y 8 literatos; de los 6 abogados, 3 son literatos, y de

los 8 literatos, 3 son abogados, Cuntos tienen una sola profesin?

A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12

2. De los 15 alumnos de una clase, 3 siempre llegan a ella caminando, 6 usan mnibus, 7

usan bicicleta. Cuntos alumnos van en mnibus y en bicicleta?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemticas 30, fsica 30, castellano 35, matemtica

y fsica 18, fsica y castellano 19, matemticas y castellano 20 y 10 alumnos aprueban los

tres cursos. Cuntos no aprueban ninguno de los tres cursos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. En un saln de clases de 80 alumnos, 60 estn matriculados en fsica y 50 en matemtica,

Cuntos alumnos estn matriculados en los dos cursos?

A) 28 B) 18 C) 30 D) 24 E) 32

5. De 95 alumnos que dieron exmenes de historia y geografa, se observo que 40 aprobaron

historia, 50 aprobaron geografa y 20 no aprobaron ninguno de los dos cursos, Cuntos

aprobaron los dos cursos?

A) 14 B) 16 C) 17 D) 15 E) 18

6. De los 600 baistas se supo que 250 iban a la playa, 220 iban a la piscina, 100 iban a la

playa y a la piscina, Cuntos no iban a la playa ni a la piscina?

A) 230 B) 250 C) 240 D) 210 E) 190

7. De un grupo de 40 personas se sabe que:

- 15 no estudian ni trabajan

- 10 no estudian

- 3 estudian y trabajan

Cuntos realizan solo una de las dos actividades?

A) 20 B) 23 C) 21 D) 24 E) 22

77


20/20

8. De 100 personas encuestadas sobre si practican futbol y bsquet: 20 no practicaban estos

dos deportes, 30 no practicaban ftbol y 60 no practican bsquet, Cuntos practican

futbol y bsquet?

A) 18 B) 21 C) 30 D) 20 E) 24

9. De 106 personas se sabe que los que hablan solo ingles son tantos como los que hablan

ingles y francs, adems los que hablan solo francs es la quinta parte de los que hablan

ingles. Si 10 personas no hablan ninguno de estos idiomas, Cuntos hablan solo francs?

A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 40

10. De 140 personas 60 no leen y 50 no escriben, sabiendo que 30 solo leen, Cuntas

personas leen y escriben?

A) 45 B) 60 C) 50 D) 62 E) 52

11. En una encuesta realizada a 100 personas, por la preferencia de los artculos A y B; 56 no

prefieren A, 58 no prefieren B y 28 no prefieren ningu8no de los dos. Determinar el nmero

de personas que prefieren los dos.

A) 13 B) 12 C) 16 D) 14 E) 18

12. En un grupo de 50 alumnos, 24 no llevan lenguaje y 28 no llevan matemticas, si 14

estudiantes no llevan matemticas ni lenguaje, determinar, cuantos estudiantes llevan

exactamente uno de tales cursos.

A) 14 B) 28 C) 24 D) 30 E) 20

Usted, Yo y todos los seres

humanos estamos aqu para

contribuir en algo nico, En

cada uno de nosotros mismos

yace un don especial.

DESCUBRALO Y SERA

GRANDE

5.-_modulo_ii-cap-v_

Documents