4. introducción a la física moderna. 4.1 4
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4 Introduccioacuten a la Fiacutesica Moderna
41 Radiacioacuten de cuerpo negro Formula de Planck
42 Efecto fotoeleacutectrico
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broiglie
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
A finales del siglo 19 los cientiacuteficos creiacutean que habiacutean desarrollado la mayor parte de leyes de Fiacutesica que permiten describir el mundo que lo
que nos rodea Leyes de Newton y su teoriacutea de la gravitacioacuten universal la obra teoacuterica de Maxwell en unificador la electricidad y el
magnetismo y las leyes de la termodinaacutemica y la teoriacutea cineacutetica meacutetodos matemaacuteticos empleados para explicar con eacutexito una amplia variedad
de fenoacutemenos Sin embargo al pasar al siglo 20 una gran revolucioacuten sacudioacute el mundo de la fiacutesica En 1900 Planck proporciona las ideas
baacutesicas que llevaron a la teoriacutea cuaacutentica y en 1905 Einstein formuloacute su teoriacutea de la relatividad La emocioacuten producida por estos
descubrimientos fue sentildealada en las propias palabras de Einstein Fue una maravillosa tiempo de estar vivordquo Ambas ideas iban a tener un
profundo efecto en nuestra comprensioacuten de la naturaleza En unas pocas deacutecadas estas teoriacuteas inspiraron nueva la evolucioacuten y las teoriacuteas en
el campo de la atoacutemica nuclear y la teoriacutea materia condenada Aunque la fiacutesica moderna ha dado lugar a una multitud de importantes logros
tecnoloacutegicos la historia es auacuten incompleta Descubrimientos seguiraacuten siendo hechos durante nuestra vida muchas de las cuales se
profundizaraacute o refinar nuestra comprensioacuten de la naturaleza y el mundo que nos rodea Todaviacutea es un tiempo maravilloso estar vivordquo El
funcionamiento de la mayoriacutea de dispositivos opto y micro-electroacutenicos solo puede entender teniendo en cuenta algunas ideas de teoriacutea
cuaacutentica la cual como ciencia surgioacute al inicio del siglo XX iquestCuaacuteles son Oriacutegenes de Teoriacutea Cuaacutentica
ldquoCreo que puedo afirmar con toda seguridad que nadie entiende la mecaacutenica cuaacutenticardquo Asiacute de tajante fue en una ocasioacuten el Premio Noacutebel
de fiacutesica Richard Feynman Y es que ciertamente esta teoriacutea fundamental no es una herramienta sencilla para los fiacutesicos y mucho menos
para las personas que no han dedicado mucho tiempo a estudiarla No obstante cualquiera de nosotros puede hacerse una idea general sobre
este tema Fiacutesicos tambieacuten estaban llegando a estas ideas un poco extrantildeos paso a paso
MAX PLANCK Y LOS CUANTOS Todo comenzoacute en el antildeo 1900 cuando el fiacutesico alemaacuten Max Planck se
enfrentaba a enormes dificultades para medir la radiacioacuten que emiten los cuerpos negros los cuales son objetos
teoacutericos que absorben toda la radiacioacuten que incide sobre ellos y posteriormente la emiten Un ejemplo cotidiano
aproximado seriacutea un metal al rojo vivo que tras recibir mucho calor comienza a emitir luz roja Algo parecido a esta
luz roja es lo que intentaba medir Max Planck pero se encontroacute con que habiacutea demasiadas variaciones a nivel
microscoacutepico como para calcular la cantidad total con exactitud El paso de gigante que dio Planck consistioacute en
considerar que la energiacutea no era emitida como algo continuo sino que pensoacute que era mucho maacutes faacutecil si se imaginaba
pequentildeos paquetes de energiacutea saliendo al exterior Seriacutea algo asiacute como medir el volumen de un vaso de agua llenaacutendolo de arroz
sabiendo cuanto granos hay y cuanto ocupa cada uno sabriacuteamos el volumen total maacutes faacutecilmente que usando el agua para tal fin Estos
pequentildeos paquetes de energiacutea fueron llamados cuantos y Planck formuloacute que el tamantildeo de ellos contaba con un valor fijo Este valor
se llama ahora Constante de Planck Es importante tener en cuenta que esto en aquella eacutepoca se consideroacute un afortunado artificio
teoacuterico pero que no se correspondiacutea con la realidad fiacutesica Nadie consideraba auacuten que realmente la energiacutea pudiera estar compuesta por
pequentildeos paquetes
ALBERT EINSTEIN Y EL EFECTO FOTOELEacuteCTRICO Poco despueacutes en 1905 este genio alemaacuten mientras
estudiaba la naturaleza de ciertos metales que emiten electricidad cuando reciben luz se dio cuenta de que el
desarrollo de Planck le serviacutea tambieacuten a eacutel llegando a la sorprendente conclusioacuten de que se podiacutea considerar la luz
como un conjunto de pequentildeos paquetes que golpeaban a los electrones y les haciacutean abandonar el metal Calculoacute que
la energiacutea de los cuantos de luz (en la actualidad llamados fotones) tambieacuten se mediacutea a partir de la constante de
Planck Fue gracias a este estudio por el que Einstein recibioacute el Premio Nobel por la descripcioacuten del llamado efecto
fotoeleacutectrico el cual ahora utilizamos en aparatos como placas solares o ceacutelulas fotoeleacutectricas siendo el silicio el
mejor material fotosensible utilizado
NIELS BOHR Y EL AacuteTOMO Por su parte el daneacutes Niels Bohr en el antildeo 1913 encontroacute otra interesante
ldquocoincidenciardquo en la naturaleza relacionada con la constante de Planck Se hallaba estudiando la naturaleza del aacutetomo
concretamente del aacutetomo de hidroacutegeno por ser el maacutes simple y tratarse de un campo nuevo en su eacutepoca Un aacutetomo
de hidroacutegeno consta de un electroacuten que gira alrededor de un nuacutecleo compuesto solamente por un protoacuten Bohr propuso
que cada electroacuten podiacutea orbitar a distintas distancias de su nuacutecleo dependiendo de lo caliente que se hallara el gas
Pero lo realmente importante era que estas distancias no podiacutean ser cualesquiera sino que eran proporcionales a
muacuteltiplos enteros de la constante de Planck Una vez maacutes esa constante que auacuten se consideraba un artificio
matemaacutetico veniacutea ligada a un fenoacutemeno natural a escala minuacutescula
LOUIS DE BROGLIE Y LA DOBLE NATURALEZA DE LA MATERIA El siguiente avance esencial vino de
mano del franceacutes Louis de Broglie quien en 1924 expuso su tesis doctoral en la cual propugnaba que el electroacuten en
movimiento teniacutea una doble naturaleza por un lado era una partiacutecula pero tambieacuten presentaba las caracteriacutesticas de
una onda Para ello partioacute de la explicacioacuten cuaacutentica de Einstein sobre la luz y vio que se podiacutea aplicar a cualquier
tipo de cuerpo no soacutelo a los paquetes o cuantos de luz En 1927 se llevoacute a cabo un experimento cuyo resultado se
ajustaba a esta hipoacutetesis Se comproboacute que los electrones experimentan difraccioacuten una caracteriacutestica de las ondas
Este fue el primer paso para comprender que la materia tiene una doble naturaleza onda y partiacutecula asiacute como que las ondas presentan
tambieacuten comportamiento de partiacuteculas Es lo que se llama dualidad onda partiacutecula y no soacutelo se da en los electrones y demaacutes partiacuteculas
subatoacutemicas se cumple en cualquier cuerpo desde un baloacuten de fuacutetbol pasando por una persona o un edificio y hasta los planetas o el
Sol Lo que ocurre es que la longitud de onda es menor cuanto mayor es el objeto y por tanto es inapreciable a escala mayor que la de
los aacutetomos
41 Radiacioacuten de cuerpo negro Formula de Planck
La radiacioacuten de ondas electromagneacuteticas por los cuerpos (emisioacuten) puede realizarse a cuenta de diferentes tipos de energiacutea Lo
maacutes difundida es la radiacioacuten de calor o sea la emisioacuten de ondas electromagneacuteticas provocada por la energiacutea interna do los cuerpos
Todas las demaacutes variedades de emisioacuten estimulada por otros tipos de energiacutea excepto la interna (caloriacutefica) se unen bajo el nombro
comuacuten de laquoluminiscenciaraquo El foacutesforo que so oxida en el aire resplandece como resultado de la energiacutea que se libera do la
transformacioacuten quiacutemica Esa clase de radiacioacuten se denomina quimioluminiscencia La emisioacuten que surge de diferentes clases de
descargas autoacutenomas en un gas lleva el nombre de electroluminiscencia La luminiscencia de los soacutelidos provocada por el bombardeo
con electrones es denominada catodolumlniscencia y provocada por la absorcioacuten de radiacioacuten electromagneacutetica fotoluminiscencia
La radiacioacuten de calor tiene lugar a cualquier temperatura sin embargo a bajas temperaturas se emiten praacutecticamente soacutelo ondas
electromagneacuteticas largas (infrarrojas)
Rodeemos el cuerpo emisor con una envoltura de superficie reflectora ideal (Fig 411)
Evacuemos el aire de la envoltura La radiacioacuten que se refleja en la misma al caer en el cuerpo se
absorbe por esto (completamente o en parte) Por lo tanto ocurre un intercambio ininterrumpido de
energiacutea entre el cuerpo y la radiacioacuten que llena la envoltura Si la distribucioacuten de la energiacutea entre el
cuerpo y la radiacioacuten permanece invariable para cada longitud de onda el estado del sistema cuerpo-
radiacioacuten seraacute de equilibrio La experiencia muestra que el uacutenico tipo de radiacioacuten que puede
encontrarse en equilibrio con los cuerpos emisores es la radiacioacuten de calor Todas las demaacutes variedades
de radiacioacuten resultan ser desequilibradas
La capacidad de la radiacioacuten de calor de encontrarse en equilibrio-con los cuerpos emisores
estaacute condicionada por que su intensidad crece con el aumento de la temperatura Supongamos que el
equilibrio entre el cuerpo y la radiacioacuten haya sido alterado y el cuerpo emita maacutes energiacutea que la que
absorbe Entonces la energiacutea interna del cuerpo decreceraacute lo que conllevaraacute a la disminucioacuten de la
temperatura Esto a su vez provocaraacute la reduccioacuten de la cantidad de energiacutea emitida por el cuerpo La
temperatura del mismo iraacute decreciendo hasta que la cantidad de energiacutea emitida no sea igual a la de energiacutea absorbida Si el equilibrio
se altera hacia el otro lado o sea la cantidad de energiacutea emitida resulta ser menor que la absorbida la temperatura del cuerpo iraacute
aumentando hasta que se restablezca el equilibrio De esta manera la alteracioacuten del equilibrio en el sistema cuerpo-radiacioacuten provoca
el surgimiento de procesos que lo restablecen De todas las clases de radiacioacuten la uacutenica que puede ser equilibrada es la radiacioacuten de
calor
La intensidad de la radiacioacuten de calor se caracteriza mediante la magnitud del flujo de energiacutea medido en vatios El flujo de
energiacutea R emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en unidad de tiempo en todas las direcciones se denomina luminosidad
energeacutetica del cuerpo La luminosidad energeacutetica es una funcioacuten de la temperatura T La radiacioacuten ademaacutes se compone de ondas de
diferentes frecuencias (o longitudes de onda λ ) El flujo de energiacutea emitida por la unidad de superficie del cuerpo en el intervalo de
frecuencias d entre y d mediante dR es proporcional al ancho de este intervalo
dR T r T d (411)
La magnitud r se llama el poder emisor del cuerpo La radiacioacuten puede ser caracterizada por la longitud de onda λ en vez de la
frecuencia ν En este caso la relacioacuten (411) se reemplaza por la siguiente
dR T r T d
(412)
El intervalo de longitudes de onda d λ
corresponderaacute al sector del espectro d Las magnitudes d λ
y d definen una misma
regioacuten y estaacuten vinculadas por una relacioacuten simple2 2
d c d d c d que se deriva de la foacutermula
c (c es la
velocidad de la luz83 10 c m s 83 10 c m s ) El signo menos en esta expresioacuten no tiene un significado sustancial e indica
solamente que con el aumento de una de las magnitudes la otra disminuye Las magnitudes dR T y dR T deben coincidir
y por eso
2
2
cr T r T r T
c
(413)
Con ayuda de la foacutermula (413) se puede pasar de r T a r T y viceversa
En las investigaciones de la composicioacuten espectral del poder emisor maacutes faacutecil analizar teoacutericamente un cuerpo negro para el
cual se cumple la condicioacuten de igualdad entre la energiacutea emitida y energiacutea absorbida Un cuerpo negro es un objeto ideal que absorbe
toda la luz y toda la energiacutea radiante que incide sobre eacutel Nada de la radiacioacuten incidente se refleja o pasa a traveacutes del cuerpo negro A
Fig 411 Equilibrio entre radiacioacuten y emisioacuten
pesar de su nombre el cuerpo negro emite luz y constituye un modelo ideal fiacutesico para el estudio del emisor de radiacioacuten
electromagneacutetica El nombre cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862 La luz emitida por un cuerpo negro se
denomina radiacioacuten de cuerpo negro Todo cuerpo emite energiacutea en forma de ondas electromagneacuteticas siendo esta radiacioacuten que se
emite incluso en el vaciacuteo tanto maacutes intensa cuando maacutes elevada es la temperatura del emisor La energiacutea radiante emitida por un cuerpo
a temperatura ambiente es escasa y corresponde a longitudes de onda superiores a las de la luz visible (es decir de menor frecuencia)
Al elevar la temperatura no soacutelo aumenta la energiacutea emitida sino que lo hace a longitudes de onda maacutes cortas a esto se debe el cambio
de color de un cuerpo cuando se calienta Los cuerpos no emiten con igual intensidad a todas las frecuencias o longitudes de onda sino
que siguen la ley de Planck que vamos a discutir maacutes adelante A igualdad de temperatura la energiacutea emitida depende tambieacuten de la
naturaleza de la superficie asiacute una superficie mate o negra tiene un poder emisor mayor que una superficie brillante Asiacute la energiacutea
emitida por un filamento de carboacuten incandescente es mayor que la de un filamento de platino a la misma temperatura La ley de
Kirchhoff establece que un cuerpo que es buen emisor de energiacutea es tambieacuten buen absorbedor de dicha energiacutea Asiacute los cuerpos de color
negro son buenos absorbedores y el cuerpo negro es un cuerpo ideal no existente en la naturaleza que absorbe toda la energiacutea
En la naturaleza no existen cuerpos absolutamente negros Sin embargo pueden crearse artificios que por sus propiedades sean
tan proacuteximos como se quiera al cuerpo negro Ese dispositivo puede ser representado por una cavidad
provista de un pequentildeo orificio (Fig 412) La radiacioacuten que penetra hacia el interior a traveacutes del orificio
antes de salir del mismo sufre una reflexioacuten repetida Parte de la energiacutea es absorbida en cada reflexioacuten
como resultado de lo cual toda la radiacioacuten de cualquier frecuencia se absorbe en esa cavidad De acuerdo
con la ley de Kirchhoff el poder emisor de ese dispositivo es muy proacuteximo a la funcioacuten r T de un
cuerpo negro significando T la temperatura de las paredes de la cavidad De esta manera si mantenemos
las paredes de la cavidad a cierta temperatura T del orificio la o saldraacute una radiacioacuten bastante cercana por
su composicioacuten espectral a la del cuerpo negro a esa misma temperatura T
La explicacioacuten teoacuterica de las leyes de la radiacioacuten del cuerpo negro tuvo un significado enorme
en la historia do la Fiacutesica ya que condujo al concepto de los cuantos de energiacutea Durante mucho tiempo
los intentos por obtener la forma teoacuterica do la funcioacuten r T no daban la solucioacuten general del problema
Stefan (1879) analizando los dalos experimentales llegoacute a la conclusioacuten do que la luminosidad energeacutetica R (poder emisor integral)
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta Sin embargo mediciones posteriores maacutes exactas mostraron la
inexactitud de sus conclusiones Boltzmann (1884) partiendo do consideraciones termodinaacutemicas obtuvo en forma teoacuterica el siguiente
valor para la luminosidad energeacutetica del cuerpo negro
4
0
r T d T
R (414)
donde es una magnitud constante y T la temperatura absoluta De esta forma la conclusioacuten a la que llegoacute Stefan para cualquier
cuerpo (eacutel no experimentoacute con cuerpos negros) resultoacute correcta soacutelo para los cuerpos negros La relacioacuten (414) entre la luminosidad
energeacutetica del cuerpo negro y su temperatura absoluta recibioacute el nombre de la ley de Stefan mdash Boltzmann La constante se denomina
constante de Stefan- Boltzmann Su valor experimental es igual a
8 2 457 10 W m K (415)
Ejemplo iquestEn cuaacutentas veces se incrementa la radiacioacuten de un cuerpo negro al subir
la temperatura desde 27degC hasta 327degC
Solucioacuten
Respuesta En 16 veces
Maacutes tarde Wien (1893) utilizando las ideas de la termodinaacutemica y de la
teoriacutea electromagneacutetica mostroacute que las curvas de poder emisor en funcioacuten de la
longitud de onda deben tener una forma de campana que arrancan en origen de las
coordenadas pasan por un maacuteximo y despueacutes tienden a cero para grandes longitudes
de onda asiacute como lo muestra Fig 413 Seguacuten la Ley de desplazamiento de Wien
hay una relacioacuten inversa entre la longitud de onda en la que se produce el maacuteximo
de emisioacuten de un cuerpo negro y su temperatura
max 00028976b
b m KT
(416)
donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y λmax es la longitud de
onda del pico de emisioacuten en metros Las consecuencias de la ley de Wien es que el
maacuteximo de la curva de poder emisor con el aumento de temperatura se desplaza hacia
longitudes de ondas electromagneacuteticas maacutes cortas es decir cuanta mayor sea la
temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite Por ejemplo la temperatura de la fotosfera solar es de
5780 K y el pico de emisioacuten se produce a 475 nm o 4750 Aring Como el rango visible se extiende desde 4000 Aring hasta 7400 Aring esta longitud
de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde Sin embargo debido a la difusioacuten de Rayleigh de la luz azul por la
atmoacutesfera la componente azul se separa distribuyeacutendose por la boacuteveda celeste y el Sol aparece amarillento
44 4 4
1 1 2 2 2 1 2 1 2 16E T E T E E T T
Fig 413 Poder emisor de un cuerpo negro
en funcioacuten de la longitud de onda para
diferentes temperaturas
Fig 412 Modelo de
cuerpo negro
Ejemplo La longitud de onda corresponde al maacuteximo del poder emisor de un cuerpo negro se desplazoacute desde 1 500nm haciacutea
2 400nm iquestEn cuaacutento se incrementoacute la temperatura de superficie
Solucioacuten
1 2 2 1 2 1 2 11 2
9 9 9
00028976 00028976
00028976 100 10 500 10 400 10 1449
T T T T C
K
El siguiente paso en el estudio de la radiacioacuten de un cuerpo negro hicieron
Rayleigh y Jeans los en los comienzos del siglo XX quienes trataron de determinar la
densidad do equilibrio de la radiacioacuten partiendo del teorema de la estadiacutestica claacutesica
sobro la equiacuteparticioacuten de la energiacutea por los grados de libertad Ellos supusieron que a
cada oscilacioacuten electromagneacutetica le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos
mitades de kT una mitad corresponde a la energiacutea eleacutectrica y la otra a la magneacutetica de
la onda (recordamos que seguacuten las concepciones claacutesicas a cada grado de libertad
oscilatorio le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos mitades de kT) La
radiacioacuten de equilibrio en la cavidad no es maacutes que un sistema de ondas estacionarias
Sin tener en cuenta las posibles formas de polarizacioacuten la cantidad de ondas
estacionarias referentes a la unidad de la superficie de la cavidad con las frecuencias
entre y d es igual a 2 22dn c d donde c es la velocidad de la
luz A cada de estas ondas estacionarias Rayleigh y Jeans les atribuyeron una
energiacutea kT Multiplicando esta energiacutea por el nuacutemero de las ondas
estacionarias obtendremos la foacutermula para el poder emisor de un cuerpo negro
2
2
2r T kT
c
(417)
La expresioacuten (417) se llama foacutermula de Reyleigh-Jeans La foacutermula (417) puede ser presentada en una forma diferente para el poder
emisor en funcioacuten de longitud de onda usando las relaciones (413)
2 4
2
c cr T r T kT
(418)
Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900 una derivacioacuten maacutes completa
la cual incluiacutea una constante de proporcionalidad fue presentada por Rayleigh y Sir James Jeans en 1905 Eacutesta agregaba unas medidas
experimentales para diferentes longitudes de onda que concordaban satisfactoriamente con la formula (418) soacutelo para longitudes de
onda muy largas y divergen considerablemente con esta foacutermula para longitudes de onda cortas (veacutease Fig 414 donde la curva
experimental ha sido representada por un trazo continuo y la curva construida seguacuten la foacutermula de Rayleigh -Jeans por una liacutenea de
puntos) Ademaacutes al integrar la expresioacuten (417) por en los liacutemites desde 0 hasta obtendremos para la densidad de equilibrio de
la energiacutea emitida por un cuerpo negro un valor infinitamente grande Este resultado que fue denominado cataacutestrofe ultravioleta
tambieacuten se encuentra en contradiccioacuten con el experimento el cual muestra que el poder emisor se tiende a cero para longitudes de ondas
electromagneacuteticas emitidas muy cortas (ultravioletas) es decir 0 para 0r T
En el antildeo 1900 Planck pudo encontrar una forma para la dependencia de poder emisor de un cuerpo negro r T de la
frecuencia y de temperatura que concordaba exactamente con los datos experimentales Para esto eacutel se vio obligado a hacer una
suposicioacuten completamente ajena a los conceptos claacutesicos que la radiacioacuten electromagneacutetica se emite en forma de porciones aisladas de
energiacutea (cuantos) cuya magnitud es proporcional a la frecuencia de la radiacioacuten
h (419)
El factor de proporcionalidad h se denominoacute posteriormente constante de Planck Su valor experimental es igual a 346626 10h J s (4110)
Si la radiacioacuten se emite en porciones h su energiacutea n deberaacute ser muacuteltiplo de esta magnitud
01 23n n h n (4111)
En estado de equilibrio lo distribucioacuten de las oscilaciones por valores do energiacutea deberaacute cumplir con la ley do Boltzmann seguacuten la cual
la probabilidad nP de que la energiacutea de oscilacioacuten de frecuencia tenga un valor n se determina por la expresioacuten
exp
exp
nnn
n
n
kTNP
N kT
(4112)
Conociendo la probabilidad de los diferentes valores de la energiacutea de oscilacioacuten podemos hallarse el valor medio de esta energiacutea
0 exp 1n n
n
hP
h kT
(4113)
Fig 414 Comparacioacuten de las curvas experimenta-les
del poder emisor de un cuerpo negro en funcioacuten de
longitud de onda con el resultado de la teoriacutea claacutesica
Aquiacute nosotros hemos omitido los caacutelculos de sumas que despueacutes de sustitucioacuten de (4110) y (4111) en (4111) conducen a la formula
(4113) (no son difiacuteciles pero un poco largos) Hay que anotar que cuando 0h (el limite claacutesico cuando cuantos se hacen
muy pequentildeitos y la energiacutea se varia en forma continua) la foacutermula (4113) se convierto en la expresioacuten claacutesica kT Podemos
convencernos de esto haciendo exp 1h kT h kT lo que se cumple maacutes exactamente mientras menor sea h kT De esta
manera si la energiacutea pudiera tomar una serie continua de valores su valor medio seriacutea igual a kT
Ahora podemos corregir la foacutermula de foacutermula de Reyleigh-Jeans (417) reemplazando la energiacutea promedia de las ondas
estacionarias kT por la expresioacuten (4113)
2
2
2
exp 1
hr T
h kTc
(4114)
La expresioacuten (4114) se denomina formula de Planck Esta uacuteltima concuerda perfectamente con los datos experimentales en
todo el intervalo de frecuencias desde 0 hasta La funcioacuten (4114) ademaacutes cumple las leyes de Wien (416) y de Stefan Boltzmann
(414) De esta manera la foacutermula de Planck da una descripcioacuten completa de la radiacioacuten de equilibrio do calor
42 Efecto fotoeleacutectrico
Se denomina efecto fotoeleacutectrico la emisioacuten de electrones por una sustancia bajo lo accioacuten de la luz Esto fenoacutemeno fue descubierto
por Hertz en el antildeo 1887 El observoacute que el paso de una chispa entre las esferas de un chispero do electrodos esfeacutericos se facilita
considerablemente al iluminar una de ellas con rayos ultravioletas 10 antildeos despueacutes (en 1898)
Lenard y Thomson al medir la carga especiacutefica de las partiacuteculas emitidas bajo el efecto de la
luz establecieron que las mismas eran electrones
Lenard y otros investigadores perfeccionaron el experimento colocando los electrodos
en un baloacuten al vacioacute (Fig 421) La luz al pasar a traveacutes de una ventanilla de cuarzo ilumina
el caacutetodo C confeccionado con el material a investigar Los electrones emitidos a consecuencia
del fotoefecto se mueven bajo la accioacuten del campo eleacutectrico hacia el aacutenodo A Como resultado
en el circuito del aparato aparece corriente fotoeleacutectrica que se mide por el galvanoacutemetro C La
tensioacuten entre el aacutenodo y el caacutetodo puede variarse con ayuda del potencioacutemetro P
La caracteriacutestica corriente-tensioacuten obtenida en este aparato (o sea la dependencia
de la corriente fotoeleacutectrica I de la tensioacuten entre los electrodos V se muestra en la Fig 422
Por supuesto dicha caracteriacutestica se obtiene para un flujo de luz invariable En el graacutefico
puede observarse que a cierta tensioacuten no muy alta la corriente fotoeleacutectrica llega a la
saturacioacuten o sea todos los electrones emitidos por el caacutetodo caen sobre el aacutenodo Por
consiguiente la intensidad de la corriente de saturacioacuten sI se define por la cantidad de
electrones emitidos por el caacutetodo en la unidad de tiempo bajo la accioacuten de la luz La caiacuteda
suave do la curva indica que los electrones se arrancan del caacutetodo a diferentes velocidades
Parte de los electrones que responden a la intensidad de la corriente 0I poseen velocidades
suficientes para llegar al aacutenodo laquopor siacute mismosraquo o sea sin la accioacuten del campo Para que la
intensidad do la corriente alcance el valor cero hay que aplicar un potencial de frenado rV
A este potencial ninguno de los electrones incluso aquellos que al salir del caacutetodo tienen la
mayor velocidad maxv puede vencer el campo rV y alcanzar el aacutenodo Por esta razoacuten puede
escribirse que2maxv 2 rm eV
donde m es la masa del electroacuten De esta manera al medir la tensioacuten de retardo Ur so puedo determinar el valor maacuteximo de la velocidad
de los fotoelectrones
Hacia el antildeo 1905 fue establecido que la velocidad maacutexima de los fotoelectrones no depende de la intensidad do la luz sino
soacutelo de su frecuencia o sea el aumento de la frecuencia conlleva al incremento de la velocidad Estas dependencias que fueron
establecidas experimentalmente contradicen los conceptos claacutesicos Por ejemplo la velocidad de los fotoelectrones seguacuten las ideas
claacutesicas debe aumentarse con la amplitud y por consiguiente con la intensidad de la onda electromagneacutetica incidente
En el antildeo 1905 A Einstein mostroacute que todas las leyes del efecto fotoeleacutectrico se explican faacutecilmente si se supone que la luz
se absorbe por las mismas porciones h (cuantos) por las cuales seguacuten Planck la mismo se emite Seguacuten la idea de Einstein la energiacutea
que obtiene el electroacuten lo llega en forma de cuanto h que es asimilado completamente por el mismo Parte de esta energiacutea igual a la
funcioacuten de trabajo (el miacutenimo de la energiacutea necesaria para la salida del electroacuten desde el material) se gasta para que el electroacuten pueda
abandonar el cuerpo Si el electroacuten se libera por la luz no en la superficie misma sino a cierto profundidad parte de la energiacutea igual a
E puede perderse a consecuencia de los choques casuales en la sustancia El resto de la energiacutea se convierte en energiacutea cineacutetica cinE
del electroacuten que abandona la sustancia La energiacutea cinE puede sor maacutexima si 0E En esto caso debe cumplirse la relacioacuten
2maxv 2h m (421)
que se llama la ecuacioacuten de Einstein
Fig 421 Aparato para observar
el efecto fotoeleacutectrico
Fig422 Caracteriacutestica voltio-
amperica del efecto fotoeleacutectrico
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Este fue el primer paso para comprender que la materia tiene una doble naturaleza onda y partiacutecula asiacute como que las ondas presentan
tambieacuten comportamiento de partiacuteculas Es lo que se llama dualidad onda partiacutecula y no soacutelo se da en los electrones y demaacutes partiacuteculas
subatoacutemicas se cumple en cualquier cuerpo desde un baloacuten de fuacutetbol pasando por una persona o un edificio y hasta los planetas o el
Sol Lo que ocurre es que la longitud de onda es menor cuanto mayor es el objeto y por tanto es inapreciable a escala mayor que la de
los aacutetomos
41 Radiacioacuten de cuerpo negro Formula de Planck
La radiacioacuten de ondas electromagneacuteticas por los cuerpos (emisioacuten) puede realizarse a cuenta de diferentes tipos de energiacutea Lo
maacutes difundida es la radiacioacuten de calor o sea la emisioacuten de ondas electromagneacuteticas provocada por la energiacutea interna do los cuerpos
Todas las demaacutes variedades de emisioacuten estimulada por otros tipos de energiacutea excepto la interna (caloriacutefica) se unen bajo el nombro
comuacuten de laquoluminiscenciaraquo El foacutesforo que so oxida en el aire resplandece como resultado de la energiacutea que se libera do la
transformacioacuten quiacutemica Esa clase de radiacioacuten se denomina quimioluminiscencia La emisioacuten que surge de diferentes clases de
descargas autoacutenomas en un gas lleva el nombre de electroluminiscencia La luminiscencia de los soacutelidos provocada por el bombardeo
con electrones es denominada catodolumlniscencia y provocada por la absorcioacuten de radiacioacuten electromagneacutetica fotoluminiscencia
La radiacioacuten de calor tiene lugar a cualquier temperatura sin embargo a bajas temperaturas se emiten praacutecticamente soacutelo ondas
electromagneacuteticas largas (infrarrojas)
Rodeemos el cuerpo emisor con una envoltura de superficie reflectora ideal (Fig 411)
Evacuemos el aire de la envoltura La radiacioacuten que se refleja en la misma al caer en el cuerpo se
absorbe por esto (completamente o en parte) Por lo tanto ocurre un intercambio ininterrumpido de
energiacutea entre el cuerpo y la radiacioacuten que llena la envoltura Si la distribucioacuten de la energiacutea entre el
cuerpo y la radiacioacuten permanece invariable para cada longitud de onda el estado del sistema cuerpo-
radiacioacuten seraacute de equilibrio La experiencia muestra que el uacutenico tipo de radiacioacuten que puede
encontrarse en equilibrio con los cuerpos emisores es la radiacioacuten de calor Todas las demaacutes variedades
de radiacioacuten resultan ser desequilibradas
La capacidad de la radiacioacuten de calor de encontrarse en equilibrio-con los cuerpos emisores
estaacute condicionada por que su intensidad crece con el aumento de la temperatura Supongamos que el
equilibrio entre el cuerpo y la radiacioacuten haya sido alterado y el cuerpo emita maacutes energiacutea que la que
absorbe Entonces la energiacutea interna del cuerpo decreceraacute lo que conllevaraacute a la disminucioacuten de la
temperatura Esto a su vez provocaraacute la reduccioacuten de la cantidad de energiacutea emitida por el cuerpo La
temperatura del mismo iraacute decreciendo hasta que la cantidad de energiacutea emitida no sea igual a la de energiacutea absorbida Si el equilibrio
se altera hacia el otro lado o sea la cantidad de energiacutea emitida resulta ser menor que la absorbida la temperatura del cuerpo iraacute
aumentando hasta que se restablezca el equilibrio De esta manera la alteracioacuten del equilibrio en el sistema cuerpo-radiacioacuten provoca
el surgimiento de procesos que lo restablecen De todas las clases de radiacioacuten la uacutenica que puede ser equilibrada es la radiacioacuten de
calor
La intensidad de la radiacioacuten de calor se caracteriza mediante la magnitud del flujo de energiacutea medido en vatios El flujo de
energiacutea R emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en unidad de tiempo en todas las direcciones se denomina luminosidad
energeacutetica del cuerpo La luminosidad energeacutetica es una funcioacuten de la temperatura T La radiacioacuten ademaacutes se compone de ondas de
diferentes frecuencias (o longitudes de onda λ ) El flujo de energiacutea emitida por la unidad de superficie del cuerpo en el intervalo de
frecuencias d entre y d mediante dR es proporcional al ancho de este intervalo
dR T r T d (411)
La magnitud r se llama el poder emisor del cuerpo La radiacioacuten puede ser caracterizada por la longitud de onda λ en vez de la
frecuencia ν En este caso la relacioacuten (411) se reemplaza por la siguiente
dR T r T d
(412)
El intervalo de longitudes de onda d λ
corresponderaacute al sector del espectro d Las magnitudes d λ
y d definen una misma
regioacuten y estaacuten vinculadas por una relacioacuten simple2 2
d c d d c d que se deriva de la foacutermula
c (c es la
velocidad de la luz83 10 c m s 83 10 c m s ) El signo menos en esta expresioacuten no tiene un significado sustancial e indica
solamente que con el aumento de una de las magnitudes la otra disminuye Las magnitudes dR T y dR T deben coincidir
y por eso
2
2
cr T r T r T
c
(413)
Con ayuda de la foacutermula (413) se puede pasar de r T a r T y viceversa
En las investigaciones de la composicioacuten espectral del poder emisor maacutes faacutecil analizar teoacutericamente un cuerpo negro para el
cual se cumple la condicioacuten de igualdad entre la energiacutea emitida y energiacutea absorbida Un cuerpo negro es un objeto ideal que absorbe
toda la luz y toda la energiacutea radiante que incide sobre eacutel Nada de la radiacioacuten incidente se refleja o pasa a traveacutes del cuerpo negro A
Fig 411 Equilibrio entre radiacioacuten y emisioacuten
pesar de su nombre el cuerpo negro emite luz y constituye un modelo ideal fiacutesico para el estudio del emisor de radiacioacuten
electromagneacutetica El nombre cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862 La luz emitida por un cuerpo negro se
denomina radiacioacuten de cuerpo negro Todo cuerpo emite energiacutea en forma de ondas electromagneacuteticas siendo esta radiacioacuten que se
emite incluso en el vaciacuteo tanto maacutes intensa cuando maacutes elevada es la temperatura del emisor La energiacutea radiante emitida por un cuerpo
a temperatura ambiente es escasa y corresponde a longitudes de onda superiores a las de la luz visible (es decir de menor frecuencia)
Al elevar la temperatura no soacutelo aumenta la energiacutea emitida sino que lo hace a longitudes de onda maacutes cortas a esto se debe el cambio
de color de un cuerpo cuando se calienta Los cuerpos no emiten con igual intensidad a todas las frecuencias o longitudes de onda sino
que siguen la ley de Planck que vamos a discutir maacutes adelante A igualdad de temperatura la energiacutea emitida depende tambieacuten de la
naturaleza de la superficie asiacute una superficie mate o negra tiene un poder emisor mayor que una superficie brillante Asiacute la energiacutea
emitida por un filamento de carboacuten incandescente es mayor que la de un filamento de platino a la misma temperatura La ley de
Kirchhoff establece que un cuerpo que es buen emisor de energiacutea es tambieacuten buen absorbedor de dicha energiacutea Asiacute los cuerpos de color
negro son buenos absorbedores y el cuerpo negro es un cuerpo ideal no existente en la naturaleza que absorbe toda la energiacutea
En la naturaleza no existen cuerpos absolutamente negros Sin embargo pueden crearse artificios que por sus propiedades sean
tan proacuteximos como se quiera al cuerpo negro Ese dispositivo puede ser representado por una cavidad
provista de un pequentildeo orificio (Fig 412) La radiacioacuten que penetra hacia el interior a traveacutes del orificio
antes de salir del mismo sufre una reflexioacuten repetida Parte de la energiacutea es absorbida en cada reflexioacuten
como resultado de lo cual toda la radiacioacuten de cualquier frecuencia se absorbe en esa cavidad De acuerdo
con la ley de Kirchhoff el poder emisor de ese dispositivo es muy proacuteximo a la funcioacuten r T de un
cuerpo negro significando T la temperatura de las paredes de la cavidad De esta manera si mantenemos
las paredes de la cavidad a cierta temperatura T del orificio la o saldraacute una radiacioacuten bastante cercana por
su composicioacuten espectral a la del cuerpo negro a esa misma temperatura T
La explicacioacuten teoacuterica de las leyes de la radiacioacuten del cuerpo negro tuvo un significado enorme
en la historia do la Fiacutesica ya que condujo al concepto de los cuantos de energiacutea Durante mucho tiempo
los intentos por obtener la forma teoacuterica do la funcioacuten r T no daban la solucioacuten general del problema
Stefan (1879) analizando los dalos experimentales llegoacute a la conclusioacuten do que la luminosidad energeacutetica R (poder emisor integral)
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta Sin embargo mediciones posteriores maacutes exactas mostraron la
inexactitud de sus conclusiones Boltzmann (1884) partiendo do consideraciones termodinaacutemicas obtuvo en forma teoacuterica el siguiente
valor para la luminosidad energeacutetica del cuerpo negro
4
0
r T d T
R (414)
donde es una magnitud constante y T la temperatura absoluta De esta forma la conclusioacuten a la que llegoacute Stefan para cualquier
cuerpo (eacutel no experimentoacute con cuerpos negros) resultoacute correcta soacutelo para los cuerpos negros La relacioacuten (414) entre la luminosidad
energeacutetica del cuerpo negro y su temperatura absoluta recibioacute el nombre de la ley de Stefan mdash Boltzmann La constante se denomina
constante de Stefan- Boltzmann Su valor experimental es igual a
8 2 457 10 W m K (415)
Ejemplo iquestEn cuaacutentas veces se incrementa la radiacioacuten de un cuerpo negro al subir
la temperatura desde 27degC hasta 327degC
Solucioacuten
Respuesta En 16 veces
Maacutes tarde Wien (1893) utilizando las ideas de la termodinaacutemica y de la
teoriacutea electromagneacutetica mostroacute que las curvas de poder emisor en funcioacuten de la
longitud de onda deben tener una forma de campana que arrancan en origen de las
coordenadas pasan por un maacuteximo y despueacutes tienden a cero para grandes longitudes
de onda asiacute como lo muestra Fig 413 Seguacuten la Ley de desplazamiento de Wien
hay una relacioacuten inversa entre la longitud de onda en la que se produce el maacuteximo
de emisioacuten de un cuerpo negro y su temperatura
max 00028976b
b m KT
(416)
donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y λmax es la longitud de
onda del pico de emisioacuten en metros Las consecuencias de la ley de Wien es que el
maacuteximo de la curva de poder emisor con el aumento de temperatura se desplaza hacia
longitudes de ondas electromagneacuteticas maacutes cortas es decir cuanta mayor sea la
temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite Por ejemplo la temperatura de la fotosfera solar es de
5780 K y el pico de emisioacuten se produce a 475 nm o 4750 Aring Como el rango visible se extiende desde 4000 Aring hasta 7400 Aring esta longitud
de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde Sin embargo debido a la difusioacuten de Rayleigh de la luz azul por la
atmoacutesfera la componente azul se separa distribuyeacutendose por la boacuteveda celeste y el Sol aparece amarillento
44 4 4
1 1 2 2 2 1 2 1 2 16E T E T E E T T
Fig 413 Poder emisor de un cuerpo negro
en funcioacuten de la longitud de onda para
diferentes temperaturas
Fig 412 Modelo de
cuerpo negro
Ejemplo La longitud de onda corresponde al maacuteximo del poder emisor de un cuerpo negro se desplazoacute desde 1 500nm haciacutea
2 400nm iquestEn cuaacutento se incrementoacute la temperatura de superficie
Solucioacuten
1 2 2 1 2 1 2 11 2
9 9 9
00028976 00028976
00028976 100 10 500 10 400 10 1449
T T T T C
K
El siguiente paso en el estudio de la radiacioacuten de un cuerpo negro hicieron
Rayleigh y Jeans los en los comienzos del siglo XX quienes trataron de determinar la
densidad do equilibrio de la radiacioacuten partiendo del teorema de la estadiacutestica claacutesica
sobro la equiacuteparticioacuten de la energiacutea por los grados de libertad Ellos supusieron que a
cada oscilacioacuten electromagneacutetica le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos
mitades de kT una mitad corresponde a la energiacutea eleacutectrica y la otra a la magneacutetica de
la onda (recordamos que seguacuten las concepciones claacutesicas a cada grado de libertad
oscilatorio le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos mitades de kT) La
radiacioacuten de equilibrio en la cavidad no es maacutes que un sistema de ondas estacionarias
Sin tener en cuenta las posibles formas de polarizacioacuten la cantidad de ondas
estacionarias referentes a la unidad de la superficie de la cavidad con las frecuencias
entre y d es igual a 2 22dn c d donde c es la velocidad de la
luz A cada de estas ondas estacionarias Rayleigh y Jeans les atribuyeron una
energiacutea kT Multiplicando esta energiacutea por el nuacutemero de las ondas
estacionarias obtendremos la foacutermula para el poder emisor de un cuerpo negro
2
2
2r T kT
c
(417)
La expresioacuten (417) se llama foacutermula de Reyleigh-Jeans La foacutermula (417) puede ser presentada en una forma diferente para el poder
emisor en funcioacuten de longitud de onda usando las relaciones (413)
2 4
2
c cr T r T kT
(418)
Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900 una derivacioacuten maacutes completa
la cual incluiacutea una constante de proporcionalidad fue presentada por Rayleigh y Sir James Jeans en 1905 Eacutesta agregaba unas medidas
experimentales para diferentes longitudes de onda que concordaban satisfactoriamente con la formula (418) soacutelo para longitudes de
onda muy largas y divergen considerablemente con esta foacutermula para longitudes de onda cortas (veacutease Fig 414 donde la curva
experimental ha sido representada por un trazo continuo y la curva construida seguacuten la foacutermula de Rayleigh -Jeans por una liacutenea de
puntos) Ademaacutes al integrar la expresioacuten (417) por en los liacutemites desde 0 hasta obtendremos para la densidad de equilibrio de
la energiacutea emitida por un cuerpo negro un valor infinitamente grande Este resultado que fue denominado cataacutestrofe ultravioleta
tambieacuten se encuentra en contradiccioacuten con el experimento el cual muestra que el poder emisor se tiende a cero para longitudes de ondas
electromagneacuteticas emitidas muy cortas (ultravioletas) es decir 0 para 0r T
En el antildeo 1900 Planck pudo encontrar una forma para la dependencia de poder emisor de un cuerpo negro r T de la
frecuencia y de temperatura que concordaba exactamente con los datos experimentales Para esto eacutel se vio obligado a hacer una
suposicioacuten completamente ajena a los conceptos claacutesicos que la radiacioacuten electromagneacutetica se emite en forma de porciones aisladas de
energiacutea (cuantos) cuya magnitud es proporcional a la frecuencia de la radiacioacuten
h (419)
El factor de proporcionalidad h se denominoacute posteriormente constante de Planck Su valor experimental es igual a 346626 10h J s (4110)
Si la radiacioacuten se emite en porciones h su energiacutea n deberaacute ser muacuteltiplo de esta magnitud
01 23n n h n (4111)
En estado de equilibrio lo distribucioacuten de las oscilaciones por valores do energiacutea deberaacute cumplir con la ley do Boltzmann seguacuten la cual
la probabilidad nP de que la energiacutea de oscilacioacuten de frecuencia tenga un valor n se determina por la expresioacuten
exp
exp
nnn
n
n
kTNP
N kT
(4112)
Conociendo la probabilidad de los diferentes valores de la energiacutea de oscilacioacuten podemos hallarse el valor medio de esta energiacutea
0 exp 1n n
n
hP
h kT
(4113)
Fig 414 Comparacioacuten de las curvas experimenta-les
del poder emisor de un cuerpo negro en funcioacuten de
longitud de onda con el resultado de la teoriacutea claacutesica
Aquiacute nosotros hemos omitido los caacutelculos de sumas que despueacutes de sustitucioacuten de (4110) y (4111) en (4111) conducen a la formula
(4113) (no son difiacuteciles pero un poco largos) Hay que anotar que cuando 0h (el limite claacutesico cuando cuantos se hacen
muy pequentildeitos y la energiacutea se varia en forma continua) la foacutermula (4113) se convierto en la expresioacuten claacutesica kT Podemos
convencernos de esto haciendo exp 1h kT h kT lo que se cumple maacutes exactamente mientras menor sea h kT De esta
manera si la energiacutea pudiera tomar una serie continua de valores su valor medio seriacutea igual a kT
Ahora podemos corregir la foacutermula de foacutermula de Reyleigh-Jeans (417) reemplazando la energiacutea promedia de las ondas
estacionarias kT por la expresioacuten (4113)
2
2
2
exp 1
hr T
h kTc
(4114)
La expresioacuten (4114) se denomina formula de Planck Esta uacuteltima concuerda perfectamente con los datos experimentales en
todo el intervalo de frecuencias desde 0 hasta La funcioacuten (4114) ademaacutes cumple las leyes de Wien (416) y de Stefan Boltzmann
(414) De esta manera la foacutermula de Planck da una descripcioacuten completa de la radiacioacuten de equilibrio do calor
42 Efecto fotoeleacutectrico
Se denomina efecto fotoeleacutectrico la emisioacuten de electrones por una sustancia bajo lo accioacuten de la luz Esto fenoacutemeno fue descubierto
por Hertz en el antildeo 1887 El observoacute que el paso de una chispa entre las esferas de un chispero do electrodos esfeacutericos se facilita
considerablemente al iluminar una de ellas con rayos ultravioletas 10 antildeos despueacutes (en 1898)
Lenard y Thomson al medir la carga especiacutefica de las partiacuteculas emitidas bajo el efecto de la
luz establecieron que las mismas eran electrones
Lenard y otros investigadores perfeccionaron el experimento colocando los electrodos
en un baloacuten al vacioacute (Fig 421) La luz al pasar a traveacutes de una ventanilla de cuarzo ilumina
el caacutetodo C confeccionado con el material a investigar Los electrones emitidos a consecuencia
del fotoefecto se mueven bajo la accioacuten del campo eleacutectrico hacia el aacutenodo A Como resultado
en el circuito del aparato aparece corriente fotoeleacutectrica que se mide por el galvanoacutemetro C La
tensioacuten entre el aacutenodo y el caacutetodo puede variarse con ayuda del potencioacutemetro P
La caracteriacutestica corriente-tensioacuten obtenida en este aparato (o sea la dependencia
de la corriente fotoeleacutectrica I de la tensioacuten entre los electrodos V se muestra en la Fig 422
Por supuesto dicha caracteriacutestica se obtiene para un flujo de luz invariable En el graacutefico
puede observarse que a cierta tensioacuten no muy alta la corriente fotoeleacutectrica llega a la
saturacioacuten o sea todos los electrones emitidos por el caacutetodo caen sobre el aacutenodo Por
consiguiente la intensidad de la corriente de saturacioacuten sI se define por la cantidad de
electrones emitidos por el caacutetodo en la unidad de tiempo bajo la accioacuten de la luz La caiacuteda
suave do la curva indica que los electrones se arrancan del caacutetodo a diferentes velocidades
Parte de los electrones que responden a la intensidad de la corriente 0I poseen velocidades
suficientes para llegar al aacutenodo laquopor siacute mismosraquo o sea sin la accioacuten del campo Para que la
intensidad do la corriente alcance el valor cero hay que aplicar un potencial de frenado rV
A este potencial ninguno de los electrones incluso aquellos que al salir del caacutetodo tienen la
mayor velocidad maxv puede vencer el campo rV y alcanzar el aacutenodo Por esta razoacuten puede
escribirse que2maxv 2 rm eV
donde m es la masa del electroacuten De esta manera al medir la tensioacuten de retardo Ur so puedo determinar el valor maacuteximo de la velocidad
de los fotoelectrones
Hacia el antildeo 1905 fue establecido que la velocidad maacutexima de los fotoelectrones no depende de la intensidad do la luz sino
soacutelo de su frecuencia o sea el aumento de la frecuencia conlleva al incremento de la velocidad Estas dependencias que fueron
establecidas experimentalmente contradicen los conceptos claacutesicos Por ejemplo la velocidad de los fotoelectrones seguacuten las ideas
claacutesicas debe aumentarse con la amplitud y por consiguiente con la intensidad de la onda electromagneacutetica incidente
En el antildeo 1905 A Einstein mostroacute que todas las leyes del efecto fotoeleacutectrico se explican faacutecilmente si se supone que la luz
se absorbe por las mismas porciones h (cuantos) por las cuales seguacuten Planck la mismo se emite Seguacuten la idea de Einstein la energiacutea
que obtiene el electroacuten lo llega en forma de cuanto h que es asimilado completamente por el mismo Parte de esta energiacutea igual a la
funcioacuten de trabajo (el miacutenimo de la energiacutea necesaria para la salida del electroacuten desde el material) se gasta para que el electroacuten pueda
abandonar el cuerpo Si el electroacuten se libera por la luz no en la superficie misma sino a cierto profundidad parte de la energiacutea igual a
E puede perderse a consecuencia de los choques casuales en la sustancia El resto de la energiacutea se convierte en energiacutea cineacutetica cinE
del electroacuten que abandona la sustancia La energiacutea cinE puede sor maacutexima si 0E En esto caso debe cumplirse la relacioacuten
2maxv 2h m (421)
que se llama la ecuacioacuten de Einstein
Fig 421 Aparato para observar
el efecto fotoeleacutectrico
Fig422 Caracteriacutestica voltio-
amperica del efecto fotoeleacutectrico
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
pesar de su nombre el cuerpo negro emite luz y constituye un modelo ideal fiacutesico para el estudio del emisor de radiacioacuten
electromagneacutetica El nombre cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862 La luz emitida por un cuerpo negro se
denomina radiacioacuten de cuerpo negro Todo cuerpo emite energiacutea en forma de ondas electromagneacuteticas siendo esta radiacioacuten que se
emite incluso en el vaciacuteo tanto maacutes intensa cuando maacutes elevada es la temperatura del emisor La energiacutea radiante emitida por un cuerpo
a temperatura ambiente es escasa y corresponde a longitudes de onda superiores a las de la luz visible (es decir de menor frecuencia)
Al elevar la temperatura no soacutelo aumenta la energiacutea emitida sino que lo hace a longitudes de onda maacutes cortas a esto se debe el cambio
de color de un cuerpo cuando se calienta Los cuerpos no emiten con igual intensidad a todas las frecuencias o longitudes de onda sino
que siguen la ley de Planck que vamos a discutir maacutes adelante A igualdad de temperatura la energiacutea emitida depende tambieacuten de la
naturaleza de la superficie asiacute una superficie mate o negra tiene un poder emisor mayor que una superficie brillante Asiacute la energiacutea
emitida por un filamento de carboacuten incandescente es mayor que la de un filamento de platino a la misma temperatura La ley de
Kirchhoff establece que un cuerpo que es buen emisor de energiacutea es tambieacuten buen absorbedor de dicha energiacutea Asiacute los cuerpos de color
negro son buenos absorbedores y el cuerpo negro es un cuerpo ideal no existente en la naturaleza que absorbe toda la energiacutea
En la naturaleza no existen cuerpos absolutamente negros Sin embargo pueden crearse artificios que por sus propiedades sean
tan proacuteximos como se quiera al cuerpo negro Ese dispositivo puede ser representado por una cavidad
provista de un pequentildeo orificio (Fig 412) La radiacioacuten que penetra hacia el interior a traveacutes del orificio
antes de salir del mismo sufre una reflexioacuten repetida Parte de la energiacutea es absorbida en cada reflexioacuten
como resultado de lo cual toda la radiacioacuten de cualquier frecuencia se absorbe en esa cavidad De acuerdo
con la ley de Kirchhoff el poder emisor de ese dispositivo es muy proacuteximo a la funcioacuten r T de un
cuerpo negro significando T la temperatura de las paredes de la cavidad De esta manera si mantenemos
las paredes de la cavidad a cierta temperatura T del orificio la o saldraacute una radiacioacuten bastante cercana por
su composicioacuten espectral a la del cuerpo negro a esa misma temperatura T
La explicacioacuten teoacuterica de las leyes de la radiacioacuten del cuerpo negro tuvo un significado enorme
en la historia do la Fiacutesica ya que condujo al concepto de los cuantos de energiacutea Durante mucho tiempo
los intentos por obtener la forma teoacuterica do la funcioacuten r T no daban la solucioacuten general del problema
Stefan (1879) analizando los dalos experimentales llegoacute a la conclusioacuten do que la luminosidad energeacutetica R (poder emisor integral)
es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta Sin embargo mediciones posteriores maacutes exactas mostraron la
inexactitud de sus conclusiones Boltzmann (1884) partiendo do consideraciones termodinaacutemicas obtuvo en forma teoacuterica el siguiente
valor para la luminosidad energeacutetica del cuerpo negro
4
0
r T d T
R (414)
donde es una magnitud constante y T la temperatura absoluta De esta forma la conclusioacuten a la que llegoacute Stefan para cualquier
cuerpo (eacutel no experimentoacute con cuerpos negros) resultoacute correcta soacutelo para los cuerpos negros La relacioacuten (414) entre la luminosidad
energeacutetica del cuerpo negro y su temperatura absoluta recibioacute el nombre de la ley de Stefan mdash Boltzmann La constante se denomina
constante de Stefan- Boltzmann Su valor experimental es igual a
8 2 457 10 W m K (415)
Ejemplo iquestEn cuaacutentas veces se incrementa la radiacioacuten de un cuerpo negro al subir
la temperatura desde 27degC hasta 327degC
Solucioacuten
Respuesta En 16 veces
Maacutes tarde Wien (1893) utilizando las ideas de la termodinaacutemica y de la
teoriacutea electromagneacutetica mostroacute que las curvas de poder emisor en funcioacuten de la
longitud de onda deben tener una forma de campana que arrancan en origen de las
coordenadas pasan por un maacuteximo y despueacutes tienden a cero para grandes longitudes
de onda asiacute como lo muestra Fig 413 Seguacuten la Ley de desplazamiento de Wien
hay una relacioacuten inversa entre la longitud de onda en la que se produce el maacuteximo
de emisioacuten de un cuerpo negro y su temperatura
max 00028976b
b m KT
(416)
donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y λmax es la longitud de
onda del pico de emisioacuten en metros Las consecuencias de la ley de Wien es que el
maacuteximo de la curva de poder emisor con el aumento de temperatura se desplaza hacia
longitudes de ondas electromagneacuteticas maacutes cortas es decir cuanta mayor sea la
temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite Por ejemplo la temperatura de la fotosfera solar es de
5780 K y el pico de emisioacuten se produce a 475 nm o 4750 Aring Como el rango visible se extiende desde 4000 Aring hasta 7400 Aring esta longitud
de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde Sin embargo debido a la difusioacuten de Rayleigh de la luz azul por la
atmoacutesfera la componente azul se separa distribuyeacutendose por la boacuteveda celeste y el Sol aparece amarillento
44 4 4
1 1 2 2 2 1 2 1 2 16E T E T E E T T
Fig 413 Poder emisor de un cuerpo negro
en funcioacuten de la longitud de onda para
diferentes temperaturas
Fig 412 Modelo de
cuerpo negro
Ejemplo La longitud de onda corresponde al maacuteximo del poder emisor de un cuerpo negro se desplazoacute desde 1 500nm haciacutea
2 400nm iquestEn cuaacutento se incrementoacute la temperatura de superficie
Solucioacuten
1 2 2 1 2 1 2 11 2
9 9 9
00028976 00028976
00028976 100 10 500 10 400 10 1449
T T T T C
K
El siguiente paso en el estudio de la radiacioacuten de un cuerpo negro hicieron
Rayleigh y Jeans los en los comienzos del siglo XX quienes trataron de determinar la
densidad do equilibrio de la radiacioacuten partiendo del teorema de la estadiacutestica claacutesica
sobro la equiacuteparticioacuten de la energiacutea por los grados de libertad Ellos supusieron que a
cada oscilacioacuten electromagneacutetica le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos
mitades de kT una mitad corresponde a la energiacutea eleacutectrica y la otra a la magneacutetica de
la onda (recordamos que seguacuten las concepciones claacutesicas a cada grado de libertad
oscilatorio le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos mitades de kT) La
radiacioacuten de equilibrio en la cavidad no es maacutes que un sistema de ondas estacionarias
Sin tener en cuenta las posibles formas de polarizacioacuten la cantidad de ondas
estacionarias referentes a la unidad de la superficie de la cavidad con las frecuencias
entre y d es igual a 2 22dn c d donde c es la velocidad de la
luz A cada de estas ondas estacionarias Rayleigh y Jeans les atribuyeron una
energiacutea kT Multiplicando esta energiacutea por el nuacutemero de las ondas
estacionarias obtendremos la foacutermula para el poder emisor de un cuerpo negro
2
2
2r T kT
c
(417)
La expresioacuten (417) se llama foacutermula de Reyleigh-Jeans La foacutermula (417) puede ser presentada en una forma diferente para el poder
emisor en funcioacuten de longitud de onda usando las relaciones (413)
2 4
2
c cr T r T kT
(418)
Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900 una derivacioacuten maacutes completa
la cual incluiacutea una constante de proporcionalidad fue presentada por Rayleigh y Sir James Jeans en 1905 Eacutesta agregaba unas medidas
experimentales para diferentes longitudes de onda que concordaban satisfactoriamente con la formula (418) soacutelo para longitudes de
onda muy largas y divergen considerablemente con esta foacutermula para longitudes de onda cortas (veacutease Fig 414 donde la curva
experimental ha sido representada por un trazo continuo y la curva construida seguacuten la foacutermula de Rayleigh -Jeans por una liacutenea de
puntos) Ademaacutes al integrar la expresioacuten (417) por en los liacutemites desde 0 hasta obtendremos para la densidad de equilibrio de
la energiacutea emitida por un cuerpo negro un valor infinitamente grande Este resultado que fue denominado cataacutestrofe ultravioleta
tambieacuten se encuentra en contradiccioacuten con el experimento el cual muestra que el poder emisor se tiende a cero para longitudes de ondas
electromagneacuteticas emitidas muy cortas (ultravioletas) es decir 0 para 0r T
En el antildeo 1900 Planck pudo encontrar una forma para la dependencia de poder emisor de un cuerpo negro r T de la
frecuencia y de temperatura que concordaba exactamente con los datos experimentales Para esto eacutel se vio obligado a hacer una
suposicioacuten completamente ajena a los conceptos claacutesicos que la radiacioacuten electromagneacutetica se emite en forma de porciones aisladas de
energiacutea (cuantos) cuya magnitud es proporcional a la frecuencia de la radiacioacuten
h (419)
El factor de proporcionalidad h se denominoacute posteriormente constante de Planck Su valor experimental es igual a 346626 10h J s (4110)
Si la radiacioacuten se emite en porciones h su energiacutea n deberaacute ser muacuteltiplo de esta magnitud
01 23n n h n (4111)
En estado de equilibrio lo distribucioacuten de las oscilaciones por valores do energiacutea deberaacute cumplir con la ley do Boltzmann seguacuten la cual
la probabilidad nP de que la energiacutea de oscilacioacuten de frecuencia tenga un valor n se determina por la expresioacuten
exp
exp
nnn
n
n
kTNP
N kT
(4112)
Conociendo la probabilidad de los diferentes valores de la energiacutea de oscilacioacuten podemos hallarse el valor medio de esta energiacutea
0 exp 1n n
n
hP
h kT
(4113)
Fig 414 Comparacioacuten de las curvas experimenta-les
del poder emisor de un cuerpo negro en funcioacuten de
longitud de onda con el resultado de la teoriacutea claacutesica
Aquiacute nosotros hemos omitido los caacutelculos de sumas que despueacutes de sustitucioacuten de (4110) y (4111) en (4111) conducen a la formula
(4113) (no son difiacuteciles pero un poco largos) Hay que anotar que cuando 0h (el limite claacutesico cuando cuantos se hacen
muy pequentildeitos y la energiacutea se varia en forma continua) la foacutermula (4113) se convierto en la expresioacuten claacutesica kT Podemos
convencernos de esto haciendo exp 1h kT h kT lo que se cumple maacutes exactamente mientras menor sea h kT De esta
manera si la energiacutea pudiera tomar una serie continua de valores su valor medio seriacutea igual a kT
Ahora podemos corregir la foacutermula de foacutermula de Reyleigh-Jeans (417) reemplazando la energiacutea promedia de las ondas
estacionarias kT por la expresioacuten (4113)
2
2
2
exp 1
hr T
h kTc
(4114)
La expresioacuten (4114) se denomina formula de Planck Esta uacuteltima concuerda perfectamente con los datos experimentales en
todo el intervalo de frecuencias desde 0 hasta La funcioacuten (4114) ademaacutes cumple las leyes de Wien (416) y de Stefan Boltzmann
(414) De esta manera la foacutermula de Planck da una descripcioacuten completa de la radiacioacuten de equilibrio do calor
42 Efecto fotoeleacutectrico
Se denomina efecto fotoeleacutectrico la emisioacuten de electrones por una sustancia bajo lo accioacuten de la luz Esto fenoacutemeno fue descubierto
por Hertz en el antildeo 1887 El observoacute que el paso de una chispa entre las esferas de un chispero do electrodos esfeacutericos se facilita
considerablemente al iluminar una de ellas con rayos ultravioletas 10 antildeos despueacutes (en 1898)
Lenard y Thomson al medir la carga especiacutefica de las partiacuteculas emitidas bajo el efecto de la
luz establecieron que las mismas eran electrones
Lenard y otros investigadores perfeccionaron el experimento colocando los electrodos
en un baloacuten al vacioacute (Fig 421) La luz al pasar a traveacutes de una ventanilla de cuarzo ilumina
el caacutetodo C confeccionado con el material a investigar Los electrones emitidos a consecuencia
del fotoefecto se mueven bajo la accioacuten del campo eleacutectrico hacia el aacutenodo A Como resultado
en el circuito del aparato aparece corriente fotoeleacutectrica que se mide por el galvanoacutemetro C La
tensioacuten entre el aacutenodo y el caacutetodo puede variarse con ayuda del potencioacutemetro P
La caracteriacutestica corriente-tensioacuten obtenida en este aparato (o sea la dependencia
de la corriente fotoeleacutectrica I de la tensioacuten entre los electrodos V se muestra en la Fig 422
Por supuesto dicha caracteriacutestica se obtiene para un flujo de luz invariable En el graacutefico
puede observarse que a cierta tensioacuten no muy alta la corriente fotoeleacutectrica llega a la
saturacioacuten o sea todos los electrones emitidos por el caacutetodo caen sobre el aacutenodo Por
consiguiente la intensidad de la corriente de saturacioacuten sI se define por la cantidad de
electrones emitidos por el caacutetodo en la unidad de tiempo bajo la accioacuten de la luz La caiacuteda
suave do la curva indica que los electrones se arrancan del caacutetodo a diferentes velocidades
Parte de los electrones que responden a la intensidad de la corriente 0I poseen velocidades
suficientes para llegar al aacutenodo laquopor siacute mismosraquo o sea sin la accioacuten del campo Para que la
intensidad do la corriente alcance el valor cero hay que aplicar un potencial de frenado rV
A este potencial ninguno de los electrones incluso aquellos que al salir del caacutetodo tienen la
mayor velocidad maxv puede vencer el campo rV y alcanzar el aacutenodo Por esta razoacuten puede
escribirse que2maxv 2 rm eV
donde m es la masa del electroacuten De esta manera al medir la tensioacuten de retardo Ur so puedo determinar el valor maacuteximo de la velocidad
de los fotoelectrones
Hacia el antildeo 1905 fue establecido que la velocidad maacutexima de los fotoelectrones no depende de la intensidad do la luz sino
soacutelo de su frecuencia o sea el aumento de la frecuencia conlleva al incremento de la velocidad Estas dependencias que fueron
establecidas experimentalmente contradicen los conceptos claacutesicos Por ejemplo la velocidad de los fotoelectrones seguacuten las ideas
claacutesicas debe aumentarse con la amplitud y por consiguiente con la intensidad de la onda electromagneacutetica incidente
En el antildeo 1905 A Einstein mostroacute que todas las leyes del efecto fotoeleacutectrico se explican faacutecilmente si se supone que la luz
se absorbe por las mismas porciones h (cuantos) por las cuales seguacuten Planck la mismo se emite Seguacuten la idea de Einstein la energiacutea
que obtiene el electroacuten lo llega en forma de cuanto h que es asimilado completamente por el mismo Parte de esta energiacutea igual a la
funcioacuten de trabajo (el miacutenimo de la energiacutea necesaria para la salida del electroacuten desde el material) se gasta para que el electroacuten pueda
abandonar el cuerpo Si el electroacuten se libera por la luz no en la superficie misma sino a cierto profundidad parte de la energiacutea igual a
E puede perderse a consecuencia de los choques casuales en la sustancia El resto de la energiacutea se convierte en energiacutea cineacutetica cinE
del electroacuten que abandona la sustancia La energiacutea cinE puede sor maacutexima si 0E En esto caso debe cumplirse la relacioacuten
2maxv 2h m (421)
que se llama la ecuacioacuten de Einstein
Fig 421 Aparato para observar
el efecto fotoeleacutectrico
Fig422 Caracteriacutestica voltio-
amperica del efecto fotoeleacutectrico
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Ejemplo La longitud de onda corresponde al maacuteximo del poder emisor de un cuerpo negro se desplazoacute desde 1 500nm haciacutea
2 400nm iquestEn cuaacutento se incrementoacute la temperatura de superficie
Solucioacuten
1 2 2 1 2 1 2 11 2
9 9 9
00028976 00028976
00028976 100 10 500 10 400 10 1449
T T T T C
K
El siguiente paso en el estudio de la radiacioacuten de un cuerpo negro hicieron
Rayleigh y Jeans los en los comienzos del siglo XX quienes trataron de determinar la
densidad do equilibrio de la radiacioacuten partiendo del teorema de la estadiacutestica claacutesica
sobro la equiacuteparticioacuten de la energiacutea por los grados de libertad Ellos supusieron que a
cada oscilacioacuten electromagneacutetica le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos
mitades de kT una mitad corresponde a la energiacutea eleacutectrica y la otra a la magneacutetica de
la onda (recordamos que seguacuten las concepciones claacutesicas a cada grado de libertad
oscilatorio le corresponde en promedio una energiacutea igual a dos mitades de kT) La
radiacioacuten de equilibrio en la cavidad no es maacutes que un sistema de ondas estacionarias
Sin tener en cuenta las posibles formas de polarizacioacuten la cantidad de ondas
estacionarias referentes a la unidad de la superficie de la cavidad con las frecuencias
entre y d es igual a 2 22dn c d donde c es la velocidad de la
luz A cada de estas ondas estacionarias Rayleigh y Jeans les atribuyeron una
energiacutea kT Multiplicando esta energiacutea por el nuacutemero de las ondas
estacionarias obtendremos la foacutermula para el poder emisor de un cuerpo negro
2
2
2r T kT
c
(417)
La expresioacuten (417) se llama foacutermula de Reyleigh-Jeans La foacutermula (417) puede ser presentada en una forma diferente para el poder
emisor en funcioacuten de longitud de onda usando las relaciones (413)
2 4
2
c cr T r T kT
(418)
Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900 una derivacioacuten maacutes completa
la cual incluiacutea una constante de proporcionalidad fue presentada por Rayleigh y Sir James Jeans en 1905 Eacutesta agregaba unas medidas
experimentales para diferentes longitudes de onda que concordaban satisfactoriamente con la formula (418) soacutelo para longitudes de
onda muy largas y divergen considerablemente con esta foacutermula para longitudes de onda cortas (veacutease Fig 414 donde la curva
experimental ha sido representada por un trazo continuo y la curva construida seguacuten la foacutermula de Rayleigh -Jeans por una liacutenea de
puntos) Ademaacutes al integrar la expresioacuten (417) por en los liacutemites desde 0 hasta obtendremos para la densidad de equilibrio de
la energiacutea emitida por un cuerpo negro un valor infinitamente grande Este resultado que fue denominado cataacutestrofe ultravioleta
tambieacuten se encuentra en contradiccioacuten con el experimento el cual muestra que el poder emisor se tiende a cero para longitudes de ondas
electromagneacuteticas emitidas muy cortas (ultravioletas) es decir 0 para 0r T
En el antildeo 1900 Planck pudo encontrar una forma para la dependencia de poder emisor de un cuerpo negro r T de la
frecuencia y de temperatura que concordaba exactamente con los datos experimentales Para esto eacutel se vio obligado a hacer una
suposicioacuten completamente ajena a los conceptos claacutesicos que la radiacioacuten electromagneacutetica se emite en forma de porciones aisladas de
energiacutea (cuantos) cuya magnitud es proporcional a la frecuencia de la radiacioacuten
h (419)
El factor de proporcionalidad h se denominoacute posteriormente constante de Planck Su valor experimental es igual a 346626 10h J s (4110)
Si la radiacioacuten se emite en porciones h su energiacutea n deberaacute ser muacuteltiplo de esta magnitud
01 23n n h n (4111)
En estado de equilibrio lo distribucioacuten de las oscilaciones por valores do energiacutea deberaacute cumplir con la ley do Boltzmann seguacuten la cual
la probabilidad nP de que la energiacutea de oscilacioacuten de frecuencia tenga un valor n se determina por la expresioacuten
exp
exp
nnn
n
n
kTNP
N kT
(4112)
Conociendo la probabilidad de los diferentes valores de la energiacutea de oscilacioacuten podemos hallarse el valor medio de esta energiacutea
0 exp 1n n
n
hP
h kT
(4113)
Fig 414 Comparacioacuten de las curvas experimenta-les
del poder emisor de un cuerpo negro en funcioacuten de
longitud de onda con el resultado de la teoriacutea claacutesica
Aquiacute nosotros hemos omitido los caacutelculos de sumas que despueacutes de sustitucioacuten de (4110) y (4111) en (4111) conducen a la formula
(4113) (no son difiacuteciles pero un poco largos) Hay que anotar que cuando 0h (el limite claacutesico cuando cuantos se hacen
muy pequentildeitos y la energiacutea se varia en forma continua) la foacutermula (4113) se convierto en la expresioacuten claacutesica kT Podemos
convencernos de esto haciendo exp 1h kT h kT lo que se cumple maacutes exactamente mientras menor sea h kT De esta
manera si la energiacutea pudiera tomar una serie continua de valores su valor medio seriacutea igual a kT
Ahora podemos corregir la foacutermula de foacutermula de Reyleigh-Jeans (417) reemplazando la energiacutea promedia de las ondas
estacionarias kT por la expresioacuten (4113)
2
2
2
exp 1
hr T
h kTc
(4114)
La expresioacuten (4114) se denomina formula de Planck Esta uacuteltima concuerda perfectamente con los datos experimentales en
todo el intervalo de frecuencias desde 0 hasta La funcioacuten (4114) ademaacutes cumple las leyes de Wien (416) y de Stefan Boltzmann
(414) De esta manera la foacutermula de Planck da una descripcioacuten completa de la radiacioacuten de equilibrio do calor
42 Efecto fotoeleacutectrico
Se denomina efecto fotoeleacutectrico la emisioacuten de electrones por una sustancia bajo lo accioacuten de la luz Esto fenoacutemeno fue descubierto
por Hertz en el antildeo 1887 El observoacute que el paso de una chispa entre las esferas de un chispero do electrodos esfeacutericos se facilita
considerablemente al iluminar una de ellas con rayos ultravioletas 10 antildeos despueacutes (en 1898)
Lenard y Thomson al medir la carga especiacutefica de las partiacuteculas emitidas bajo el efecto de la
luz establecieron que las mismas eran electrones
Lenard y otros investigadores perfeccionaron el experimento colocando los electrodos
en un baloacuten al vacioacute (Fig 421) La luz al pasar a traveacutes de una ventanilla de cuarzo ilumina
el caacutetodo C confeccionado con el material a investigar Los electrones emitidos a consecuencia
del fotoefecto se mueven bajo la accioacuten del campo eleacutectrico hacia el aacutenodo A Como resultado
en el circuito del aparato aparece corriente fotoeleacutectrica que se mide por el galvanoacutemetro C La
tensioacuten entre el aacutenodo y el caacutetodo puede variarse con ayuda del potencioacutemetro P
La caracteriacutestica corriente-tensioacuten obtenida en este aparato (o sea la dependencia
de la corriente fotoeleacutectrica I de la tensioacuten entre los electrodos V se muestra en la Fig 422
Por supuesto dicha caracteriacutestica se obtiene para un flujo de luz invariable En el graacutefico
puede observarse que a cierta tensioacuten no muy alta la corriente fotoeleacutectrica llega a la
saturacioacuten o sea todos los electrones emitidos por el caacutetodo caen sobre el aacutenodo Por
consiguiente la intensidad de la corriente de saturacioacuten sI se define por la cantidad de
electrones emitidos por el caacutetodo en la unidad de tiempo bajo la accioacuten de la luz La caiacuteda
suave do la curva indica que los electrones se arrancan del caacutetodo a diferentes velocidades
Parte de los electrones que responden a la intensidad de la corriente 0I poseen velocidades
suficientes para llegar al aacutenodo laquopor siacute mismosraquo o sea sin la accioacuten del campo Para que la
intensidad do la corriente alcance el valor cero hay que aplicar un potencial de frenado rV
A este potencial ninguno de los electrones incluso aquellos que al salir del caacutetodo tienen la
mayor velocidad maxv puede vencer el campo rV y alcanzar el aacutenodo Por esta razoacuten puede
escribirse que2maxv 2 rm eV
donde m es la masa del electroacuten De esta manera al medir la tensioacuten de retardo Ur so puedo determinar el valor maacuteximo de la velocidad
de los fotoelectrones
Hacia el antildeo 1905 fue establecido que la velocidad maacutexima de los fotoelectrones no depende de la intensidad do la luz sino
soacutelo de su frecuencia o sea el aumento de la frecuencia conlleva al incremento de la velocidad Estas dependencias que fueron
establecidas experimentalmente contradicen los conceptos claacutesicos Por ejemplo la velocidad de los fotoelectrones seguacuten las ideas
claacutesicas debe aumentarse con la amplitud y por consiguiente con la intensidad de la onda electromagneacutetica incidente
En el antildeo 1905 A Einstein mostroacute que todas las leyes del efecto fotoeleacutectrico se explican faacutecilmente si se supone que la luz
se absorbe por las mismas porciones h (cuantos) por las cuales seguacuten Planck la mismo se emite Seguacuten la idea de Einstein la energiacutea
que obtiene el electroacuten lo llega en forma de cuanto h que es asimilado completamente por el mismo Parte de esta energiacutea igual a la
funcioacuten de trabajo (el miacutenimo de la energiacutea necesaria para la salida del electroacuten desde el material) se gasta para que el electroacuten pueda
abandonar el cuerpo Si el electroacuten se libera por la luz no en la superficie misma sino a cierto profundidad parte de la energiacutea igual a
E puede perderse a consecuencia de los choques casuales en la sustancia El resto de la energiacutea se convierte en energiacutea cineacutetica cinE
del electroacuten que abandona la sustancia La energiacutea cinE puede sor maacutexima si 0E En esto caso debe cumplirse la relacioacuten
2maxv 2h m (421)
que se llama la ecuacioacuten de Einstein
Fig 421 Aparato para observar
el efecto fotoeleacutectrico
Fig422 Caracteriacutestica voltio-
amperica del efecto fotoeleacutectrico
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Aquiacute nosotros hemos omitido los caacutelculos de sumas que despueacutes de sustitucioacuten de (4110) y (4111) en (4111) conducen a la formula
(4113) (no son difiacuteciles pero un poco largos) Hay que anotar que cuando 0h (el limite claacutesico cuando cuantos se hacen
muy pequentildeitos y la energiacutea se varia en forma continua) la foacutermula (4113) se convierto en la expresioacuten claacutesica kT Podemos
convencernos de esto haciendo exp 1h kT h kT lo que se cumple maacutes exactamente mientras menor sea h kT De esta
manera si la energiacutea pudiera tomar una serie continua de valores su valor medio seriacutea igual a kT
Ahora podemos corregir la foacutermula de foacutermula de Reyleigh-Jeans (417) reemplazando la energiacutea promedia de las ondas
estacionarias kT por la expresioacuten (4113)
2
2
2
exp 1
hr T
h kTc
(4114)
La expresioacuten (4114) se denomina formula de Planck Esta uacuteltima concuerda perfectamente con los datos experimentales en
todo el intervalo de frecuencias desde 0 hasta La funcioacuten (4114) ademaacutes cumple las leyes de Wien (416) y de Stefan Boltzmann
(414) De esta manera la foacutermula de Planck da una descripcioacuten completa de la radiacioacuten de equilibrio do calor
42 Efecto fotoeleacutectrico
Se denomina efecto fotoeleacutectrico la emisioacuten de electrones por una sustancia bajo lo accioacuten de la luz Esto fenoacutemeno fue descubierto
por Hertz en el antildeo 1887 El observoacute que el paso de una chispa entre las esferas de un chispero do electrodos esfeacutericos se facilita
considerablemente al iluminar una de ellas con rayos ultravioletas 10 antildeos despueacutes (en 1898)
Lenard y Thomson al medir la carga especiacutefica de las partiacuteculas emitidas bajo el efecto de la
luz establecieron que las mismas eran electrones
Lenard y otros investigadores perfeccionaron el experimento colocando los electrodos
en un baloacuten al vacioacute (Fig 421) La luz al pasar a traveacutes de una ventanilla de cuarzo ilumina
el caacutetodo C confeccionado con el material a investigar Los electrones emitidos a consecuencia
del fotoefecto se mueven bajo la accioacuten del campo eleacutectrico hacia el aacutenodo A Como resultado
en el circuito del aparato aparece corriente fotoeleacutectrica que se mide por el galvanoacutemetro C La
tensioacuten entre el aacutenodo y el caacutetodo puede variarse con ayuda del potencioacutemetro P
La caracteriacutestica corriente-tensioacuten obtenida en este aparato (o sea la dependencia
de la corriente fotoeleacutectrica I de la tensioacuten entre los electrodos V se muestra en la Fig 422
Por supuesto dicha caracteriacutestica se obtiene para un flujo de luz invariable En el graacutefico
puede observarse que a cierta tensioacuten no muy alta la corriente fotoeleacutectrica llega a la
saturacioacuten o sea todos los electrones emitidos por el caacutetodo caen sobre el aacutenodo Por
consiguiente la intensidad de la corriente de saturacioacuten sI se define por la cantidad de
electrones emitidos por el caacutetodo en la unidad de tiempo bajo la accioacuten de la luz La caiacuteda
suave do la curva indica que los electrones se arrancan del caacutetodo a diferentes velocidades
Parte de los electrones que responden a la intensidad de la corriente 0I poseen velocidades
suficientes para llegar al aacutenodo laquopor siacute mismosraquo o sea sin la accioacuten del campo Para que la
intensidad do la corriente alcance el valor cero hay que aplicar un potencial de frenado rV
A este potencial ninguno de los electrones incluso aquellos que al salir del caacutetodo tienen la
mayor velocidad maxv puede vencer el campo rV y alcanzar el aacutenodo Por esta razoacuten puede
escribirse que2maxv 2 rm eV
donde m es la masa del electroacuten De esta manera al medir la tensioacuten de retardo Ur so puedo determinar el valor maacuteximo de la velocidad
de los fotoelectrones
Hacia el antildeo 1905 fue establecido que la velocidad maacutexima de los fotoelectrones no depende de la intensidad do la luz sino
soacutelo de su frecuencia o sea el aumento de la frecuencia conlleva al incremento de la velocidad Estas dependencias que fueron
establecidas experimentalmente contradicen los conceptos claacutesicos Por ejemplo la velocidad de los fotoelectrones seguacuten las ideas
claacutesicas debe aumentarse con la amplitud y por consiguiente con la intensidad de la onda electromagneacutetica incidente
En el antildeo 1905 A Einstein mostroacute que todas las leyes del efecto fotoeleacutectrico se explican faacutecilmente si se supone que la luz
se absorbe por las mismas porciones h (cuantos) por las cuales seguacuten Planck la mismo se emite Seguacuten la idea de Einstein la energiacutea
que obtiene el electroacuten lo llega en forma de cuanto h que es asimilado completamente por el mismo Parte de esta energiacutea igual a la
funcioacuten de trabajo (el miacutenimo de la energiacutea necesaria para la salida del electroacuten desde el material) se gasta para que el electroacuten pueda
abandonar el cuerpo Si el electroacuten se libera por la luz no en la superficie misma sino a cierto profundidad parte de la energiacutea igual a
E puede perderse a consecuencia de los choques casuales en la sustancia El resto de la energiacutea se convierte en energiacutea cineacutetica cinE
del electroacuten que abandona la sustancia La energiacutea cinE puede sor maacutexima si 0E En esto caso debe cumplirse la relacioacuten
2maxv 2h m (421)
que se llama la ecuacioacuten de Einstein
Fig 421 Aparato para observar
el efecto fotoeleacutectrico
Fig422 Caracteriacutestica voltio-
amperica del efecto fotoeleacutectrico
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
El efecto fotoeleacutectrico y la funcioacuten de trabajo dependen en gran medida del estado de la superficie del metal (en particular de
los oacutexidos y sustancias adsorbidas en ello) Por esta razoacuten durante mucho tiempo no fue posible comprobar la foacutermula de Einstein con
suficiente exactitud En el antildeo 1916 Millikan creoacute un aparato en el cual las superficies investigadas eran sometidas a una purificacioacuten
al vaciacuteo y luego se mediacutea la funcioacuten de trabajo y se investigaba la energiacutea cineacutetica maacutexima de los fotoelectrones en dependencia de
la frecuencia de la luz (esta energiacutea era determinada por medio de la medicioacuten del potencial de frenado rV Los resultados obtenidos
estaban en completa concordancia con la foacutermula (421)
Millikan determinoacute ademaacutes el valor de la constante de Planck h sustituyendo en la foacutermula (2115) los valores medidos de
y 2maxv 2m V (para una dada) el cual coincidioacute con los valores hallados de la distribucioacuten espectral de la radiacioacuten de equilibrio de
calor
De la foacutermula (421)se deriva que en caso de que la funcioacuten de trabajo sea mayor que la energiacutea del cuanto h los
electrones no pueden salir del metal Por consiguiente para que se produzca el efecto fotoeleacutectrico es necesario que se cumpla la
condicioacuten h o que
0 h (422))
Como c para la longitud de onda se obtiene la condicioacuten respectiva
0 c h (423)
La frecuencia 0 o la longitud de onda 0 se llaman el umbral rojo del efecto fotoeleacutectrico
El nuacutemero de electrones liberados a consecuencia del efecto fotoeleacutectrico debe ser proporcional al nuacutemero de cuantos de luz
que inciden sobre la superficie AI mismo tiempo el flujo luminoso se define por la cantidad de cuantos de luz que inciden sobre la
superficie en la unidad de tiempo De acuerdo con esto la corriente do saturacioacuten sI en Fig 422 debe ser proporcional al flujo
luminoso incidente Esta relacioacuten tambieacuten se corrobora experimentalmente Sentildealemos que soacutelo una pequentildea parte de los cuantos
transmite su energiacutea a los fotoelectrones La energiacutea de los demaacutes cuantos se gasta en el calentamiento del cuerpo que absorbe la luz
Ejemplo La longitud maacutexima de onda para cual puede observarse el efecto fotoeleacutectrico en un metal es 600nm Encueacutentrese a) la
funcioacuten de trabajo para este material b) la velocidad de fotoelectroacuten para la longitud de onda 400nm
Solucioacuten 2 34 8
19max 7
max
6626 10 3 10) 3313 10 207
2 6 10
em Vc c hc hc hca h h J eV
34 819
72 197 5
31 31
6626 10 3 102 3313 102
4 10 332 10) 4 10 6 10
2 91 10 91 10
e
e
ch
m Vcb m h V m s
m
43 Naturaleza dual de la luz Fotones
Como hemos visto en el paacuterrafo anterior para explicar la distribucioacuten de la energiacutea en el espectro de la radiacioacuten de calor de
equilibrio es suficiente suponer que la luz se emite soacutelo en porciones h (hipoacutetesis de Planck) Posteriormente para esclarecer el efecto
fotoeleacutectrico fue necesario admitir que la luz se absorbe en esas mismas porciones (hipoacutetesis de Einstein) Sin embargo Einstein no so
detuvo en esto El propuso una tercera hipoacutetesis de que la luz siempre se propaga en forma de partiacuteculas discretas llamadas inicialmente
cuantos lumiacutenicos Posteriormente en el antildeo 1926 eacutestos recibieron el nombre de fotones La demostracioacuten de existencia de fotones
como las partiacuteculas que transfieren las ondas electromagneacuteticas fue obtenida en el experimento de Bothe
En realidad esto suena un poco extrantildeo cuando se dice que una onda se transfiere a traveacutes de las partiacuteculas Hasta este momento
en la historia de Fiacutesica las partiacuteculas y las ondas se consideraron completamente por separado como dos diferentes formas de materia
siempre adscribiendo ondas a los campos En el caso de ondas electromagneacuteticas seguacuten estos uacuteltimos descubrimientos se aclaroacute que
tiene lugar una dualidad a veces estas se comportan como ondas (interferencia difraccioacuten polarizacioacuten etc) y a veces como partiacuteculas
(radiacioacuten de cuerpo negro efecto fotoeleacutectrico etc) Es decir cuando onda electromagneacutetica se interactuacutea con objetos (obstaacuteculos) de
tamantildeos macroscoacutepicos eacutesta se comporta como ldquobuena muchachardquo similar a una onda con todos atributos correspondientes a las ondas
pero al interactuar con los objetos microscoacutepicos (en nuestro caso con electrones) se comporta como ldquomala muchachardquo parecida a un
flujo de partiacuteculas llamadas fotones Esta dualidad expresamos en forma de un diagrama
ONDA ELECTROMAGNEacuteTICA FLUJO DE FOTONES
Las foacutermulas para la energiacutea y momento lineal (impulso) de un fotoacuten son muy importantes para toda fiacutesica cuaacutentica y les presentamos
a continuacioacuten 34 34 2 2 6262 10 1054 10E h h h J s J s (431)
8 2 2 3 10 p h k k h c m s (432)
La primera de estas foacutermulas llamada formula de Planck a veces se escribe en forma que expresa la energiacutea de fotoacuten a traveacutes de frecuencia
y a veces en teacuterminos de frecuencia angular En el segundo caso en lugar de constante de Planck h se utiliza constante de Planck
ldquocruzadardquo Para entender como aparece la relacioacuten (2119) para el momento lineal hay que saber dos resultados fundamentales que
surgen desde la teoriacutea de relatividad de Einstein El primer de ellos consiste en la afirmacioacuten de que la masa de las partiacuteculas se
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
incrementa con el crecimiento de su velocidad v seguacuten la formula 2 2
0 1 vm m c donde 0m es la masa en el reposo y
83 10 c m s es la velocidad de la luz en vaciacuteo Seguacuten esta foacutermula los fotones que se mueven con la velocidad de luz ( v c ) deben
tener la masa de reposo 2 2
0 1 v 0m m c Es decir a los fotones no les se puede parar ellos siempre se mueven con la velocidad
de luz Lo dicho significa que el fotoacuten es una partiacutecula de caraacutecter especial diferente de tales partiacuteculas como el electroacuten el protoacuten
etc que pueden existir movieacutendose a velocidades menores que c o incluso en reposo
La segunda afirmacioacuten de la teoriacutea de relatividad consiste en que a cada partiacutecula de masa m le corresponde la energiacutea 2E m c
Seguacuten esta uacuteltima formula el momento lineal del fotoacuten debe ser igual a p m c E c c k
Reducimos todas las caracteriacutesticas de correspondencia de propiedades de onda electromagneacutetica y de fotoacuten en una tabla
En este capiacutetulo hemos estudiado una serie de fenoacutemenos en los cuales la luz se comporta como un flujo de partiacuteculas (fotones)
No obstante no se debe olvidar fenoacutemenos tales como la interferencia y la difraccioacuten de la luz los que pueden ser explicados soacutelo a
base do las concepciones ondulatorias De esta manera la luz manifiesta un dualismo corpuscular-ondulatorio en unos fenoacutemenos se
revela su naturaleza ondulatoria y se comporta como una onda electromagneacutetica mientras que en otros se manifiesta su naturaleza
corpuscular y se comporta como un haz de fotones Maacutes adelante veremos que el dualismo corpuscular-ondulatorio estaacute presente no
soacutelo en las partiacuteculas luminosas sino que tambieacuten en las partiacuteculas materiales (electrones protones aacutetomos etc)
Aclaremos en queacute relaciones se encuentran el cuadro corpuscular y el ondulatorio La respuesta puede obtenerse al estudiar
desde ambos puntos de vista la iluminacioacuten de una superficie cualquiera Seguacuten los conceptos ondulatorios la iluminacioacuten en cierto
punto de la superficie es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica Desde el punto de vista corpuscular la iluminacioacuten
es proporcional a la densidad del flujo de fotones Por consiguiente entre el cuadrado de la amplitud de la onda lumiacutenica y la densidad
del haz de fotones existe una proporcionalidad directa El fotoacuten es el portador del impulso y de la energiacutea Esta uacuteltima se desprende en
aquel punto de la superficie en el cual cae el fotoacuten El cuadrado de la amplitud de onda 2A caracteriza la probabilidad de que el fotoacuten
caiga en determinado punto do la superficie Maacutes exactamente la probabilidad de que el fotoacuten se encuentre en los liacutemites del volumen
dV que incluye en s el punto examinado del espacio dado se define por la expresioacuten 2dP A dV donde es un coeficiente de
proporcionalidad y A la amplitud do la onda lumiacutenica
De lo dicho se infiere quo la distribucioacuten de los fotones por la superficie sobre la cual cae la luz debe tener un caraacutecter
estadiacutestico La uniformidad de la iluminacioacuten que se observa en la praacutectica estaacute condicionada por el hecho de que frecuentemente la
densidad del flujo de fotones es muy grande Asiacute por ejemplo a una iluminacioacuten producida por un bombillo 100w de potencia sobre
una pantalla alejada a una distancia 10m para una longitud de onda de 500nm por 1 cm2 de superficie inciden aproximadamente 1810
fotones por segundo (veacutease el ejemplo a continuacioacuten) La fluctuacioacuten relativa del nuacutemero de fotones por unidad de aacuterea es inversamente
proporcional a la raiacutez cuadrada del nuacutemero de partiacuteculas Por esta razoacuten para el valor sentildealado del flujo de fotones la fluctuacioacuten resulta
ser insignificante y la superficie parece estar iluminada uniformemente
Ejemplo Calcuacutelese el nuacutemero de fotones que inciden sobre 22mS de tablero en el tiempo 1t seg alejado de un bombillo de
100P w potencia a la distancia 10R m considerando que la luz de bombillo es monocromaacutetica y corresponde a la longitud de onda
500nm
Solucioacuten
La energiacutea total emitida por el bombillo es igual a E P t Esta energiacutea se emite en forma isotropiacuteca por partes
iguales en todas direcciones Cuando onda electromagneacutetica llega hasta tablero la energiacutea se distribuye en una
forma homogeacutenea sobre una esfera del aacuterea 24 R con la densidad por unidad de aacuterea
2 4P t R La energiacutea
que cae sobre tablero es producto de esta densidad por el aacuterea del tablero es decir 2 4tabE P t S R Por otro
lado la onda electromagneacutetica es un flujo de N fotones y la energiacutea total de los fotones bombardean el tablero es
tabE N h N h c Debe cumplirse la igualdad
2 2 7 2 34 8 17 4 4 100 1 2 5 10 4 314 10 6626 10 3 10 4 10P t S R N h c N P t S R h c
Respuesta 174 10 fotones inciden el tablero
Caracteriacutestica de fotoacuten Caracteriacutestica de onda
electromagneacutetica
Relacioacuten
Energiacutea E Frecuencia angular ω E h h c
Momento lineal p Nuacutemero de onda k p k h
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
44 Naturaleza dual de los electrones Ondas de De Broglie
En el antildeo 1924 fiacutesico franceacutes Louis-Victor de Broglie (1892-1987) formuloacute una hipoacutetesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenoacutemenos oacutepticos solamente sino que tiene un significado universal laquoEn la oacuteptica-escribiacutea el-durante siglos
fue demasiado despreciado el meacutetodo corpuscular de estudio en comparacioacuten con el ondulatorio iquestNo se habraacute cometido el error inverso
en la teoriacutea sobre la materiaraquo Al suponer que las partiacuteculas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con propiedades
corpusculares de Broglie transfirioacute las mismas reglas de traacutensito de un caso a otro que se cumplen para la luz al caso de las partiacuteculas
materiales El fotoacuten tiene una energiacutea
E h (441)
y un momento lineal (impulso)
p k h (442)
Seguacuten la idea de de Broglie el movimiento del electroacuten o de otra partiacutecula cualquiera estaacute relacionado con un proceso ondulatorio cuya
longitud de onda es igual a
vh p h m (443)
y cuya frecuencia es
E (444)
La hipoacutetesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres antildeos despueacutes para los electrones con la observacioacuten de
los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difraccioacuten de electrones en dos investigaciones independientes En la
Universidad de Aberdeen George Paget Thomson pasoacute un haz de
electrones a traveacutes de una delgada placa de metal y observoacute los diferentes
esquemas predichos En los Laboratorios Bell Clinton Joseph Davisson
y Lester Halbert Germer guiaron su haz a traveacutes de una celda cristalina
Davisson y Germer investigaron en el antildeo 1927 la reflexioacuten do electrones
en un mono cristal de niacutequel que teniacutea una estructura cuacutebica Un haz
estrecho de electrones mono-energeacuteticos era dirigido hacia la superficie
del monocristal Los electrones reflejados eran capturados por un
electrodo ciliacutendrico unido con un galvanoacutemetro (Fig 441) La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la corriente
que fluiacutea a traveacutes del galvanoacutemetro La velocidad de los electrones y el
aacutengulo se variaban La Fig 441 ilustra la dependencia de la
intensidad de la corriente medida por el galvanoacutemetro del aacutengulo a
diferentes energiacuteas de los electrones El eje vertical en los graacuteficos sentildeala la direccioacuten del haz incidente La intensidad de la corriente
en la direccioacuten dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la interseccioacuten con la curva
En la figura se aprecia que la dispersioacuten resultoacute particularmente intensa a determinados valores del aacutengulo Este aacutengulo correspondiacutea
a la reflexioacuten en los planos atoacutemicos la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones radiograacuteficas A un aacutengulo dado
la intensidad de la corriente resultoacute particularmente grande para la energiacutea de electrones incidentes 54eV La longitud de onda
correspondiente a esta energiacutea calculada por la formula (433) es igual a 167Aring La longitud de onda de Bragg quo cumple la condicioacuten
2 sind n es igual a 165 Aacute- La coincidencia es tan sorprendente que los experimentos do Davisson y Germer se aprecian como
una brillante corroboracioacuten de las ideas de de Broglie
Viendo la foacutermula (443) se aprecia faacutecilmente que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan disminuye
considerablemente la longitud de onda La ecuacioacuten de De Broglie se puede aplicar a toda la materia Los cuerpos macroscoacutepicos
tambieacuten tendriacutean asociada una onda pero dado que su masa es muy grande la longitud de onda resulta tan pequentildea que en ellos se hace
imposible apreciar sus caracteriacutesticas ondulatorias De Broglie recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1929 por esta hipoacutetesis Thomson
y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental
Ejemplo Calcuacutelese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 05kg y la velocidad 5ms iquestPor queacute no es posible
observar sus propiedades ondulatorias
Solucioacuten 34 34 2405 v 5 v 6626 10 05 5 165 10 165 10m kg m s h m m nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar ya que no existe en el mundo ninguacuten obstaacuteculo
cuyo tamantildeo sea comparable con este valor tan pequentildeiacutesimo Y como la longitud de onda es muchiacutesimo inferior del tamantildeo cualquier
obstaacuteculo existente (incluyendo micropartiacuteculas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia difraccioacuten
etc
Ejemplo Electroacuten en el modelo claacutesico estaacute rotaacutendose alrededor del nuacutecleo con una velocidad de orden 5000kms Encueacutentrese longitud
de onda de De Broiglie correspondiente
Solucioacuten 31 6 34 31 6 1091 10 v 5 10 v 6626 10 91 10 5 10 146 10 0146m kg m s h m m nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamantildeo tiacutepico de los aacutetomos) y por eso electroacuten
al interactuar con los aacutetomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias
Fig441 Experimento de Davisson y Germer
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
45 Espectro de aacutetomo de hidroacutegeno Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 ndash 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la fiacutesica en los uacuteltimos cien antildeos y de eacutel
se ha dicho que era el padre de la fiacutesica nuclear Contribuyoacute sustancialmente en el entendimiento de la
desintegracioacuten radioactiva identificando la partiacutecula alfa como un aacutetomo de helio por lo que recibioacute el
Premio Nobel de Quiacutemica en 1908 (quizaacutes algo iroacutenico porque teniacutea un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Fiacutesica atribuyeacutendole la frase Toda ciencia o es Fiacutesica o es coleccionar sellos)
Quizaacutes su contribucioacuten maacutes importante a las fiacutesicas fue su investigacioacuten sobre la dispersioacuten de rayos alfa y
la naturaleza de la estructura interna del aacutetomo que causa esta dispersioacuten Esta investigacioacuten le condujo a su
concepto del nuacutecleo Seguacuten eacutel praacutecticamente toda la masa del aacutetomo y al mismo tiempo toda su carga
positiva estaacuten concentradas en un pequentildeiacutesimo espacio en el centro Durante su uacuteltimo antildeo en Manchester
descubrioacute que los nuacutecleos de ciertos elementos ligeros como nitroacutegeno podriacutean desintegrarse mediante el
impacto de partiacuteculas alfa de alguna fuente radioactiva y durante este proceso se emiten protones Maacutes tarde
se demostroacute que el nitroacutegeno en este proceso se transforma en un isoacutetopo de oxiacutegeno asiacute que Rutherford
era el primero en transmutar deliberadamente un elemento en otro por una reaccioacuten nuclear
El modelo claacutesico de aacutetomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford en la base experimental en el cual electroacuten esta
giraacutendose alrededor del nuacutecleo cargado positivamente entroacute en contradiccioacuten con las leyes de la mecaacutenica claacutesica y la electrodinaacutemica
En vista de que un sistema de cargas inmoacuteviles no puede encontrarse en estado estable Rutherford inicialmente se vio obligado a
renunciar al modelo estaacutetico del aacutetomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del nuacutecleo describiendo trayectorias circulares
Pero en este caso el electroacuten se moveraacute con aceleracioacuten y por consiguiente seguacuten la electrodinaacutemica claacutesica deberaacute emitir continuamente
ondas electromagneacuteticas El proceso de emisioacuten conlleva a la peacuterdida de energiacutea de manera que el electroacuten deberaacute a fin de cuentas
caer en el nuacutecleo Con el fin de resolver esta contradiccioacuten Rutherford en el mismo antildeo invito al joven fiacutesico daneacutes Nils Bohr quien
encontroacute la solucioacuten del desconcierto creado aunque al precio de introducir suposiciones que contradeciacutean las concepciones claacutesicas
Las suposiciones hechas por Bohr estaacuten contenidas en los tres postulados enunciados por eacutel
1 De la cantidad infinita de oacuterbitas electroacutenicas que son posibles desde el punto de vista de la mecaacutenica claacutesica son estacionarias
soacutelo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuaacutenticas El electroacuten que se encuentre en una de estas oacuterbitas a pesar
de su movimiento con aceleracioacuten no emite ondas electromagneacuteticas
2 Son estacionarias las oacuterbitas para las cuales el momento angular del electroacuten vL r m cumple la condicioacuten
v 1 23M r m n n (451)
3 La radiacioacuten se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energiacutea h al pasar el electroacuten de un estado estacionario
(estable) a otro La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energiacutea de aquellos estados
estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuaacutentico de electroacuten
n mh E E (452)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera faacutecil considerando electroacuten no como
una partiacutecula sino como una onda de De Broiglie y la lsquo0rbita circular como guiacutea para esta onda Una
onda que se propaga a lo largo de una guiacutea puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria circular
cumple las condiciones perioacutedicas seguacuten las cuales la longitud de la circunferencia 2L r es igual
a un nuacutemero entero de las longitudes de onda de De Broiglie L n (ver Fig 451) Esta
condicioacuten enseguida conduce al postulado (451) teniendo en cuenta que la longitud de onda de De
Broiglie es igual a vh m
La foacutermula (451) se llama la regla de cuantizacioacuten de Bohr la cual nos permite encontrar
los paraacutemetros de las oacuterbitas desconocidas tales como los radios de oacuterbitas nr velocidades de
movimiento del electroacuten vn sobre estas oacuterbitas y las energiacuteas nE correspondientes Las dos
ecuaciones que definen valores nr y vn son la regla de cuantizacioacuten (451) y la segunda Ley de
Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atraccioacuten electrostaacutetica dada por Ley de
Coulomb es decir vn nr m n 2 2 2
0y v 4n n nm r e r Aquiacute y en adelante e y m son carga
eleacutectrica y masa de electroacuten Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en teacuterminos del radio vn nn mr y
sustituyendo esta expresioacuten en la segunda se encuentra los radios de las oacuterbitas correspondientes 2 2 2
0 0 0 4 1 23nr n a a me n (453)
Aquiacute el valor 0a se llama el radio de Bohr
1 2 2
9 34 31 19 110 9 10 1054 10 91 10 16 10 53 10 0053a m nm
053Aring (454)
De esta manera el radio de la primera oacuterbita en el modelo de Bohr es 1 0r a de la segunda 2 04r a de la tercera 3 09r a
etc Estos son radios de las oacuterbitas estacionarias que satisfacen las condiciones en la primera cabe solo una onda de De Broiglie en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie etc Ahora definimos las energiacuteas correspondientes a estas oacuterbitas estacionarias para demostrar
que eacutestas pueden cambiarse soacutelo en una forma discreta
Fig 451 Representacioacuten del
movimiento de electroacuten en aacutetomo de
hidrogene en forma de onda de De
Broiglie
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Las velocidades correspondientes a cada oacuterbita son iguales a 0v v n nn mr n donde
34 31 11 60 0v 1054 10 91 10 53 10 2 10 2000 ma m s km s Es decir las velocidades para las oacuterbitas superiores
son menores que de las inferiores el mayor el nuacutemero de oacuterbita menor es la velocidad de electroacuten en ella La energiacutea total de aacutetomo de
hidrogeno estaacute compuesta por dos teacuterminos por la energiacutea cineacutetica que es positiva 2v 2n nK m y la energiacutea potencial originada por
la atraccioacuten electrostaacutetica entre nuacutecleo y electroacuten 2
04n nU e r (negativa) Es decir 2 2
0v 2 4n n n n nE T U m e r
Reemplazando en esta foacutermula nr y vn por las expresiones encontradas se obtiene la formula final
para niveles energeacuteticos de aacutetomo de hidrogeno en el modelo de Bohr 2
18
20 0
2176 10 1368
n
Ry eE Ry J eV
an
(454)
Seguacuten el tercer postulado de Bohr otra la diferencia de energiacutea entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotoacuten) de energiacutea h siendo la frecuencia
de la radiacioacuten emitida o absorbida Se realiza una emisioacuten cuando el aacutetomo pasa de un estado de
mayor energiacutea a uno de menor energiacutea y absorcioacuten cuando es a la inversa (ver Fig 219)
Consideremos una transicioacuten entre orbitas con los nuacutemeros n y m suponiendo que n m
Aplicando las formulas (452) y (454) la energiacutea de fotoacuten (emitido u absorbido)
2 2
1 1m nh E E Ry
m n
(455)
Teniendo en cuenta que c se puede encontrar la longitud de onda de la liacutenea
espectral correspondiente a la transicioacuten n m Adicionalmente si fijamos uno de los dos
nuacutemeros de la oacuterbita (por ejemplo m obtenemos grupos de liacuteneas denominados laquoseries espectralesraquo Por ejemplo para el hidroacutegeno
tenemos las series
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Lyman 1 91 23 4
1 1
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
1 1 1 1 1Serie de Balmer 2 91 3 45
2 2
Rym nm n
h c n n
2 2 2 2
26 6 8
1 1 1 1 1Serie de Pashen 3 91 3 45
3 3
199 10 124 10 91 10 91
Rym nm n
h c n n
h c J m eV m h c Ry m nm
Los liacutemites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen uno
cuando n en estas foacutermulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una magnitud
miacutenima posible Por ejemplo para la serie de Lyman los liacutemites son 91nm n y
121nm 2n para la serie de Balmer los liacutemites son 364nm n y 655nm
3n para la serie de Pashen los liacutemites son 815nm n y 1873nm 4n etc
Cada una de las series representa un nuacutemero infinito de liacuteneas que se van acumulando
una tras otra en la medida que se van acercando al liacutemite inferior de la serie Cuando se
ha llegado al liacutemite la energiacutea alcanza el valor necesario para ionizar el aacutetomo a partir
del nivel m La serie de Lyman cae en el UV lejano La serie de Balmer se halla en
la regioacuten visible del espectro y sus liacuteneas son muy intensas en muchas estrellas por ese
motivo de intensidad de las liacuteneas para los astroacutenomos esta serie se encuentra dentro de
las maacutes importantes
Los niveles posibles de energiacutea de un aacutetomo y las transiciones que dan origen
a las liacuteneas espectrales los podemos representar a traveacutes del diagrama de los niveles de energiacutea Las energiacuteas positivas 0E en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo mientras que las energiacuteas negativas a los estados enlazados y el
espectro es discreto
Fig452 Diagrama de transiciones
electroacutenicas en el modelo de Bohr
Fig453 Diagrama de los niveles
de energiacutea de aacutetomo de hidrogeno
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
46 Ecuacioacuten de Schroumldinger Interpretacioacuten probabiliacutestica de la funcioacuten de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schroumldinger (1887-1961) fiacutesico austriaco quien inventoacute la ecuacioacuten de onda
en 1926 que tiene su nombre la cual es la base de la mecaacutenica cuaacutentica La ecuacioacuten de Schroumldinger describe
matemaacuteticamente el comportamiento de los electrones y los aacutetomos Recibioacute el Premio Nobel de Fiacutesica en 1933
por haber desarrollado esta ecuacioacuten que describe la evolucioacuten temporal de una partiacutecula de tamantildeo
microscoacutepico Es de importancia central en la teoriacutea de la mecaacutenica cuaacutentica donde representa para las partiacuteculas
microscoacutepicas un papel anaacutelogo a la segunda ley de Newton en la mecaacutenica claacutesica Las partiacuteculas microscoacutepicas
incluyen a las partiacuteculas elementales tales como electrones asiacute como sistemas de partiacuteculas tales como nuacutecleos
atoacutemicos
Como hemos visto en las secciones anteriores al comienzo del siglo XX se habiacutea comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpuacutesculo es decir la luz se podiacutea manifestar seguacuten las circunstancias como
partiacutecula (fotoacuten en el efecto fotoeleacutectrico o radiacioacuten de un cuerpo negro) o como onda electromagneacutetica en la interferencia luminosa
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partiacuteculas conocidas Propuso la hipoacutetesis paradoacutejica
en su momento de que a toda partiacutecula claacutesica microscoacutepica se le puede asignar una onda lo cual se comproboacute experimentalmente en
1927 cuando se observoacute la difraccioacuten de electrones La ecuacioacuten de onda unidimensional asociada con la partiacutecula que se propaga a lo
largo de eje X de Broglie presentoacute en la forma
expx t i k x t (461)
Por analogiacutea con los fotones De Broglie asocia a cada partiacutecula libre con energiacutea E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una
longitud de onda λ
2 2
2
E h h
p h k k
(462)
La comprobacioacuten experimental hecha por Davisson y Germer mostroacute que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difraccioacuten seguacuten la foacutermula de Bragg se correspondiacutea con la longitud de onda predicha por la foacutermula de De Broglie Teniendo en
cuenta las relaciones (462) ecuacioacuten de onda (462) se puede reescribir como
expx t i p x E t (463)
Schroumldinger tratoacute escribir una ecuacioacuten diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales 2 2 2
2
2 2
pi E
t m mx
Teniendo en cuenta que la energiacutea mecaacutenica total es una suma de las energiacuteas cineacutetica y potencial
2
2
pE K V r V r
m se obtiene la ecuacioacuten diferencial de Schroumldinger para un movimiento unidimensional
2 2
22i V x
t m x
(464)
El eacutexito de la ecuacioacuten deducida de esta expresioacuten utilizando el principio de correspondencia fue inmediato por la evaluacioacuten de los
niveles cuantificados de energiacutea del electroacuten en el aacutetomo de hidroacutegeno pues ello permitiacutea explicar las rayas de emisioacuten del hidroacutegeno
series de Lyman Balmer Paschen etc La interpretacioacuten fiacutesica correcta de la funcioacuten de onda de Schroumldinger fue dada en 1926 por
Max Born En razoacuten del caraacutecter probabilista que se introduciacutea la mecaacutenica ondulatoria de Schroumldinger suscitoacute inicialmente la
desconfianza de algunos fiacutesicos de renombre como Albert Einstein para quien laquoDios no juega a los dadosraquo
Sin embargo para nuevas aacutereas de ingenieriacuteas que surgieron en siglo XX tales como la energeacutetica nuclear micro- y
optoelectroacutenicas la Mecaacutenica Cuaacutentica sirvioacute como una base teoacuterica y como una rama de Fiacutesica alternativa a la Mecaacutenica Claacutesica que
permite en una forma matemaacuteticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartiacuteculas cuando estas manifiestan su naturaleza
dual En realidad la Mecaacutenica Cuaacutentica deberiacutea con mayor exactitud llamarse la Mecaacutenica Ondulatoria en la cual las partiacuteculas se
describen a traveacutes de sus funciones de onda A partir de esa funcioacuten o funcioacuten de ondas se extraen teoacutericamente todas las magnitudes
del movimiento necesarias
Las suposiciones maacutes importantes de esta teoriacutea son las siguientes
Al ser imposible fijar a la vez la posicioacuten y el momento de una partiacutecula se renuncia al concepto de trayectoria vital en
mecaacutenica claacutesica En vez de eso el movimiento de una partiacutecula queda regido por una funcioacuten de ondas que asigna a cada
punto del espacio y a cada instante la probabilidad de que la partiacutecula descrita se halle en tal posicioacuten en ese instante
La funcioacuten de onda para cualquier sistema se encuentra como una solucioacuten de la ecuacioacuten de Schroumldinger Existen dos tipos
de estas soluciones unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias Las primeras describen los estados
extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados)
Las energiacuteas de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energeacutetico de estos estados
es continuo
Las energiacuteas de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se variacutean a saltos y el espectro energeacutetico de los
estados ligados es discreto
La energiacutea no se intercambia de forma continua en un estado ligado sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes miacutenimos de energiacutea llamados cuantos mientras en los estados no ligados la energiacutea de intercambio se comporta como
un continuo
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Aunque la estructura formal de la Mecaacutenica Cuaacutentica estaacute bien desarrollada y sus resultados son coherentes con los experimentos no
sucede lo mismo con su interpretacioacuten que sigue siendo objeto de investigacioacuten
Actualmente entre los fiacutesicos es convencional la interpretacioacuten probabiliacutestica de la ecuacioacuten de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemaacutetico y cientiacutefico alemaacuten Ganoacute el Premio Nobel de Fiacutesica en
1954 compartido con el fiacutesico alemaacuten Walter Boumlthe Max Born contribuyoacute de forma importante al
desarrollo de la mecaacutenica cuaacutentica llegando a ser quien por primera vez acuntildeoacute este teacutermino La
interpretacioacuten de Born de la mecaacutenica cuaacutentica establece que el uacutenico aspecto observable de la funcioacuten de
onda es su cuadrado y que eacuteste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partiacutecula en una
regioacuten del espacio
A principios de la deacutecada de 1930 Max Born que habiacutea trabajado junto con Werner Heisenberg y
Pascual Jordan en una versioacuten de la mecaacutenica cuaacutentica aprecioacute que la solucioacuten de la ecuacioacuten de
Schroumldinger en cada punto x tiene una caracteriacutestica dada por 2
x y z t que se conserva y que podiacutea
ser interpretada como una densidad de probabilidad Born le dio a la funcioacuten de onda una interpretacioacuten
probabiliacutestica diferente de la que De Broglie y Schroumldinger le habiacutean dado y por ese trabajo recibioacute el premio Nobel en 1954 De ese
modo se abandonoacute el enfoque de la funcioacuten de onda como una onda material y pasoacute a interpretarse de modo maacutes abstracto como una
amplitud de probabilidad Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Fiacutesicos Internacional y es conocido como la
Interpretacioacuten de Copenhague
Seguacuten esta interpretacioacuten la Mecaacutenica Cuaacutentica describe el estado instantaacuteneo de un sistema (estado cuaacutentico) con una funcioacuten
de onda que codifica la distribucioacuten de probabilidad de todas las propiedades medibles u observables Algunos observables posibles
sobre un sistema dado son la energiacutea E posicioacuten r momento p y momento angular L La mecaacutenica cuaacutentica no asigna valores
definidos a los observables sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad Las propiedades ondulatorias de la
materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo Esta evolucioacuten es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolucioacuten es estocaacutestica y se produce mediante colapso de la funcioacuten de onda cuando se realiza una
medida sobre el sistema Por ejemplo una partiacutecula movieacutendose sin interferencia en el espacio vaciacuteo puede ser descrita mediante una
funcioacuten de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posicioacuten media Con el tiempo el centro del paquete puede
trasladarse cambiar de modo que la partiacutecula parece estar localizada maacutes precisamente en otro lugar La evolucioacuten temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuacioacuten de Schroumldinger
Algunas funciones de onda describen estados fiacutesicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo estos
estados se llaman estacionarios que son llamados estados propios y tienen energiacutea bien definida Muchos sistemas que eran tratados
dinaacutemicamente en mecaacutenica claacutesica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios Por ejemplo un electroacuten en un aacutetomo
sin excitar se dibuja claacutesicamente como una partiacutecula que rodea el nuacutecleo mientras que en mecaacutenica cuaacutentica es descrito por una nube
de probabilidad estaacutetica que rodea al nuacutecleo
Cuando se realiza una medicioacuten en un observable del sistema la funcioacuten de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestioacuten Este proceso es conocido como colapso de la funcioacuten
de onda Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la funcioacuten de onda
instantaacutenea justo antes de la reduccioacuten Considerando el ejemplo anterior sobre la partiacutecula en el vaciacuteo si se mide la posicioacuten de la
misma se obtendraacute un valor impredecible x En general es imposible predecir con precisioacuten queacute valor de x se obtendraacute aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas donde la amplitud de la funcioacuten de onda es grande Despueacutes de
que se ha hecho la medida la funcioacuten de onda de la partiacutecula colapsa y se reduce a una que esteacute muy concentrada en torno a la posicioacuten
observada x
Consideremos ahora descripcioacuten cuantitativa que da la interpretacioacuten de la funcioacuten de onda x y z t de M Born Seguacuten
Born el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t define la probabilidad dP de que la partiacutecula sea localizada en los liacutemites del
volumen dV
2
dP x y z t dV x y z t x y z t dV (465)
La integral de la expresioacuten (465) por todo el volumen debe ser igual a la unidad
2
1dP x y z t dV (466)
En efecto esta integral da la probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en uno de los puntos del espacio o sea la probabilidad de un
suceso cierto la cual es igual a la unidad La condicioacuten (466) se denomina condicioacuten de normalizacioacuten La funcioacuten que satisfaga esta
condicioacuten se denomina normalizada En adelante supondremos siempre que las funciones x y z t con las que trataremos esteacuten
normadas De acuerdo con (465) deducimos que el cuadrado del moacutedulo de la funcioacuten x y z t da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partiacutecula en el lugar correspondiente del espacio En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo) la ecuacioacuten de Schroumldinger para la funcioacuten de onda x y z t
es
2
2
x y z ti x y z t V x y z x y z t
t m
(467)
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Como la parte derecha de esta ecuacioacuten no depende de tiempo la solucioacuten de (223) se puede representar en la forma
exp x y z t iEt x y z (468)
Aquiacute el primer factor seguacuten la foacutermula de Planck E es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la energiacutea
E y el segundo factor x y z se llama la funcioacuten de onda independiente del tiempo Al sustituir (468) en (467) y al cancelar el
factor exponencial comuacuten se obtiene la ecuacioacuten diferencial
2
2
x y z V x y z x y z E x y zm
(469)
La ecuacioacuten (469) se llama ecuacioacuten de Schroumldinger independiente de tiempo y el paraacutemetro E en esta ecuacioacuten es la energiacutea
estacionaria mientras que el primer teacutermino es la energiacutea cineacutetica y el segundo la energiacutea potencial
La densidad de probabilidad f x y z t de encontrar una partiacutecula en el punto con la coordenadas x y z t en el momento
de tiempo t es igual a
exp exp ( )f x y z t x y z t x y z t iEt x y z iEt x y z x y z x y z f x y z (4610)
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a 2
y por consiguiente no dependo del tiempo Por esta razoacuten los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (468) fueron denominados estacionarios
Del sentido do la funcioacuten x y z se deduce que la mecaacutenica cuaacutentica tiene un caraacutecter estadiacutestico Ella no permite
determinar la posicioacuten de una partiacutecula en el espacio o la trayectoria de su movimiento Con ayuda de la funcioacuten x y z puede
pronosticarse solamente con queacute probabilidad puede ser localizada la partiacutecula en diferentes puntos del espacio A primera vista puedo
parecer que la mecaacutenica cuaacutentica de una descripcioacuten menos exacta y menos completa del movimiento de la partiacutecula que la mecaacutenica
claacutesica la cual determina laquoexactamenteraquo la posicioacuten y la velocidad de la partiacutecula en cada momento do tiempo Sin embargo eso no es
asiacute La mecaacutenica cuaacutentica pone en claro maacutes profundamente el comportamiento auteacutentico de las micropartiacuteculas Ella no determina
soacutelo lo que no existe en realidad Aplicados a las micropartiacuteculas los conceptos de localizacioacuten fija y trayectoria en la mecaacutenica cuaacutentica
pierden su sentido
La ecuacioacuten de Schroumldinger permite hallar la funcioacuten x y z de un estado dado y por consiguiente determina la
probabilidad de que la partiacutecula se encuentre en distintos puntos del espacio Sin embargo el significado de esta ecuacioacuten no se limita
soacutelo a eso De la ecuacioacuten (469) y de las condiciones impuestas a la funcioacuten x y z se infieren directamente las reglas de
cuantizacioacuten de la energiacutea La funcioacuten x y z en concordancia con su sentido deberaacute ser continua y finita (con la excepcioacuten do
puntos especiales) Ademaacutes deberaacute tener una derivada continua y finita El conjunto de requisitos enumerados se denomina condiciones
estaacutendares La energiacutea total E de la partiacutecula forma parte de la ecuacioacuten de Schroumldinger en calidad de paraacutemetro En la teoriacutea de las
ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (469) no tienen soluciones que satisfagan las condiciones estaacutendares
para todos los valores del paraacutemetro (o sea de la energiacutea E) sino solamente para ciertos valores escogidos Estos uacuteltimos se denominan
valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energiacutea) Las soluciones correspondientes a los valores propios
do E se llaman funciones propias del problema
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud Si este conjunto forma una sucesioacuten discreta el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesioacuten continua el espectro suelo llamarse continuo En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas cuyo espectro de valores propio sea discreto Para un espectro discreto los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas
n 1 2 3 hellip
nE 1E 2E 3E hellip
n 1 2 3 hellip
De esta manera la cuantizacioacuten de la energiacutea se obtiene de los principios fundamentales de la mecaacutenica cuaacutentica sin ningunas
suposiciones complementarias
47 Radiacioacuten y absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas
Seguacuten la teoriacutea de Bohr los procesos de emisioacuten y de absorcioacuten de ondas electromagneacuteticas estaacuten relacionados con dos tipos
de transiciones en los aacutetomos entre los niveles energeacuteticos Las transiciones correspondientes a la emisioacuten espontaacutenea de fotones
suceden cuando electroacuten transita desde niveles superiores hacia inferiores y las que corresponden a la absorcioacuten inducida del fotoacuten
por un sistema atoacutemico cuando electroacuten transita desde niveles inferiores hacia los niveles superiores El primer proceso ocurre cuando
el aacutetomo en el momento inicial se encuentra en un estado excitado n con la energiacutea nE y bajo la influencia de las oscilaciones de
vaciacuteo de campo electromagneacutetico (seguacuten el concepto de mecaacutenica cuaacutentica estado maacutes bajo de cualquier oscilador corresponde a las
oscilaciones de vaciacuteo con la energiacutea 2hv ) transita en una forma espontaacutenea (como lo muestra Fig 471) a un estado inferior m con
la energiacutea mE emitiendo un fotoacuten con la energiacutea
nm n mhv E E (471)
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
El segundo proceso absorcioacuten inducida corresponde a la transicioacuten del electroacuten en la direccioacuten contraria cuando el aacutetomo absorbe un
fotoacuten cuya energiacutea estaacute dada por la formula (471) seguacuten la ley de conservacioacuten de la energiacutea
En el antildeo 1918 Einstein se dio cuenta de que estos dos tipos de transiciones sentildealados no son suficientes para explicar la
existencia del estado de equilibrio entre la radiacioacuten y la sustancia En efecto la probabilidad de las transiciones espontaacuteneas se define
solamente por las propiedades internas de los aacutetomos y por consiguiente no puede depender de la intensidad do la emisioacuten incidente
mientras que la probabilidad de las transiciones laquoabsorbentesraquo depende tanto de las propiedades de los aacutetomos como de la intensidad
de la radiacioacuten incidente Para que sea posible el establecimiento del equilibrio a una intensidad arbitraria de la radiacioacuten incidente
es necesario que existan transiciones laquoemisorasraquo cuyas probabilidades aumenten con el crecimiento de la intensidad de la radiacioacuten
o sea transiciones laquoemisorasraquo provocadas por la radiacioacuten La emisioacuten que surge como resultado de estas transiciones se denomina
forzada o inducida Se puede entender este tipo de emisioacuten si nosotros imaginemos un aacutetomo en un estado excitado cuando la
separacioacuten entre carga positiva y negativa es aumentada formando un dipolo En la presencia de campo electromagneacutetico externo
este dipolo arranca a vibrar produciendo una emisioacuten de una onda electromagneacutetica (un fotoacuten emitido) y perdiendo una parte de su
energiacutea que conduce a transicioacuten a un estado maacutes bajo con la energiacutea y separacioacuten entre cargas positiva y negativa inferiores
Partiendo de las consideraciones termodinaacutemicas Einstein demostroacute que la probabilidad de las transiciones inducidas
(forzadas) que van acompantildeadas de emisioacuten debe ser igual a la de las transiciones que van acompantildeadas de absorcioacuten de la luz De
esta manera las transiciones inducidas pueden ocurrir con igual probabilidad tanto en uno como en otro sentido La emisioacuten inducida
posee una propiedad muy importante La direccioacuten de su propagacioacuten coincide exactamente con la de la radiacioacuten que la provoca o
sea la emisioacuten externa que causa esta transicioacuten Lo mismo se refiere a la
frecuencia la fase y la polarizacioacuten de la emisioacuten forzada y la radiacioacuten que la
provoca Por consiguiente estas dos ondas incidente y emitida en el proceso
de emisioacuten inducida resultan ser rigurosamente coherentes Esta
peculiaridad de la emisioacuten inducida (o forzada) es el fundamento del
funcionamiento de amplificadores y generadores de luz denominados laacuteser
Sea Pnm la probabilidad de la transicioacuten inducida del aacutetomo en la unidad
de tiempo desde el nivel energeacutetico En al Em y Pmn la probabilidad de la
transicioacuten inversa en el proceso de absorcioacuten (ver Fig231) como demostroacute
Einstein que para una misma intensidad de la radiacioacuten Pnm = Pmn La
probabilidad de la transicioacuten inducida es proporcional a la densidad de la
energiacutea mnI v del campo electromagneacutetico que las provoca correspondiente a
la frecuencia mnv de la transicioacuten dada mn n mv E E h Designando el
coeficiente de proporcionalidad por la letra B obtendremos
mn mn mn nm nm mnP B I v P B I v (472)
Las magnitudes mnB y nmB se llaman coeficientes de Einstein Seguacuten lo dicho
anteriormente nm mn
B B Basaacutendose en la igualdad de las probabilidades de las transiciones inducidas n m y m n Einstein
dio una deduccioacuten de la foacutermula de Planck para intensidad de radiacioacuten mnI v de un cuerpo negro bastante simple El equilibrio
entre la radiacioacuten y la sustancia seraacute alcanzado a condicioacuten de que el nuacutemero de aacutetomos mnN que realice la transicioacuten del estado m
al estado n en la unidad de tiempo sea igual al nuacutemero de aacutetomos que realice la transicioacuten inversa Supongamos que n mE E
Entonces las transiciones m n (absorcioacuten) podraacuten ocurrir solamente bajo el efecto de la radiacioacuten mientras que las transiciones
n m (emisioacuten) ocurriraacuten tanto en un proceso inducido como espontaacuteneamente Por consiguiente la condicioacuten de equilibrio tiene
la forma ( ) ( ) ( )inducidos inducidos espontaacuteneos
mn nm nmN N N (473)
Pero teniendo en cuenta que el nuacutemero de las transiciones desde un estado inicial es proporcional al producto del nuacutemero de los
aacutetomos en este estado con la probabilidad de la transicioacuten seguacuten la formula (472) tenemos
( ) ( )inducidos inducidosmn m mn m mn nm nm n nm n nm nmN N P N B I v N N P N B I v (474)
( mN y nN representan el nuacutemero de aacutetomos en los estados m y n)
Designemos la probabilidad de la transicioacuten espontaacutenea del aacutetomo del estado n al estado m en la unidad de tiempo por n mA Entonces
el nuacutemero de aacutetomos que realizan la transicioacuten espontaacutenea n m en la unidad de tiempo se define por la expresioacuten ( )espontaacuteneos
nm nm nN A N (475)
La sustitucioacuten de las expresiones (474) y (475) en la relacioacuten (473) conlleva a la igualdad
m mn nm n nm nm nm nN B I v N B I v A N
De aquiacute se encuentra la intensidad de la onda electromagneacutetica correspondiente al equilibrio
1
1
nmnm
nm m n
AI v
B N N
Fig 471 Transiciones electroacutenicas
correspondientes a lozs procesos de emisioacuten
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
(se utilizoacute la igualdad mn nmB B ) La distribucioacuten de equilibrio de los aacutetomos por estados con diferentes energiacutea se define por la ley
de Boltzmann seguacuten la cual exp exp m n n m B B nmN N E E k T hv k T v v
Por consiguiente llegamos a la formula
1
exp 1
nm
nm B
AI v
B hv k T
(476)
Si uno utiliza para la razoacuten AnmBnm el valor
3
2
2nm
nm
A h
B c
(477)
la relacioacuten (476) se convierte en la foacutermula de Planck (2114)
2
2
2
exp 1
hI
h kTc
48 El laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)
Historia
En 1916 Albert Einstein establecioacute los fundamentos para el desarrollo de los laacuteseres y de sus predecesores los maacuteseres (que emiten
microondas) utilizando la ley de radiacioacuten de Max Planck basada en los conceptos de emisioacuten espontaacutenea e inducida de radiacioacuten En
1928 Rudolf Landenburg reportoacute haber obtenido la primera evidencia del fenoacutemeno de emisioacuten estimulada de radiacioacuten aunque no pasoacute
de ser una curiosidad de laboratorio por lo que la teoriacutea fue olvidada hasta despueacutes de la Segunda Guerra Mundial cuando fue
demostrada definitivamente por Willis Eugene Lamb y R C Rutherford
En 1953 Charles H Townes y los estudiantes de postgrado James P Gordon y Herbert J Zeiger construyeron el primer maacuteser un
dispositivo que funcionaba con los mismos principios fiacutesicos que el laacuteser pero que produce un haz coherente de microondas El maacuteser
de Townes era incapaz de funcionar en continuo Nikolaacutei Baacutesov y Aleksandr Proacutejorov de la Unioacuten Sovieacutetica trabajaron
independientemente en el oscilador cuaacutentico y resolvieron el problema de obtener un maacuteser de salida de luz continua utilizando sistemas
con maacutes de dos niveles de energiacutea Townes Baacutesov y Proacutejorov compartieron el Premio Nobel de Fiacutesica en 1964 por los trabajos
fundamentales en el campo de la electroacutenica cuaacutentica los cuales condujeron a la construccioacuten de osciladores y amplificadores basados
en los principios del maacuteser y el laacuteser Townes y Arthur Leonard Schawlow son considerados los inventores del laacuteser el cual patentaron
en 1960 Dos antildeos despueacutes Robert Hall inventa el laacuteser semiconductor En 1969 se encuentra la primera aplicacioacuten industrial del laacuteser
al ser utilizado en las soldaduras de los elementos de chapa en la fabricacioacuten de vehiacuteculos y al antildeo siguiente Gordon Gould patenta
otras muchas aplicaciones praacutecticas para el laacuteser El 16 de mayo de 1980 un grupo de fiacutesicos de la Universidad de Hull liderados por
Geoffrey Pret registran la primera emisioacuten laacuteser en el rango de los rayos X Cinco antildeos despueacutes se comienza a comercializar el disco
compacto donde un haz laacuteser de baja potencia lee los datos codificados en forma de pequentildeos orificios (puntos y rayas) sobre un
disco oacuteptico con una cara reflectante Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una sentildeal analoacutegica permitiendo la
escucha de los archivos musicales Inmediatamente despueacutes la tecnologiacutea desarrollada se usa en el campo del almacenamiento masivo
de datos En 1994 en el Reino Unido se utiliza por primera vez la tecnologiacutea laacuteser en cinemoacutemetros para detectar conductores con
exceso de velocidad Posteriormente se extiende su uso por todo el mundo Ya en el siglo XXI cientiacuteficos de la Universidad de St
Andrews crean un laacuteser que puede manipular objetos muy pequentildeos Al mismo tiempo cientiacuteficos japoneses crean objetos del tamantildeo
de un gloacutebulo rojo utilizando el laacuteser En 2002 cientiacuteficos australianos teletransportan con eacutexito un haz de luz laacuteser de un lugar a otro
Dos antildeos despueacutes el escaacutener laacuteser permite al Museo Britaacutenico efectuar exhibiciones virtuales En 2006 cientiacuteficos de la compantildeiacutea Intel
descubren la forma de trabajar con un chip laacuteser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicacioacuten
mucho maacutes raacutepidas y eficientes
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
Componentes principales
En Fig 472 se muestran elementos principales de un laacuteser
1 Medio activo para la formacioacuten del laacuteser
2 Energiacutea bombeada para el laacuteser
3 Espejo reflectante al 100
4 Espejo reflectante al 99
5 Emisioacuten del rayo laacuteser
Los laacuteseres constan de un medio activo capaz de generar el laacuteser Este medio activo independientemente es un material gaseoso o soacutelido
debe cumplir una condicioacuten indispensable sus niveles energeacuteticos maacutes bajos deben tener una estructura especiacutefica de tres niveles como
se muestra en Fig 473
En este esquema obligatoriamente deben ser presentes tres niveles 1) estado base de Singlete 2) 1-er estado excitado Singlete con el
tiempo de la vida muy corto(inestable) 3) estado excitado Triplete con el tiempo de la vida larga cuya energiacutea debe ser menor qiue del
estado 2
Hay cuatro procesos baacutesicos que se producen en la generacioacuten del laacuteser sentildealados en Fig 473 y denominados como
1) bombeo 2) emisioacuten estimulada 3) termalizacioacuten 4) acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la
distribucioacuten invertida 5) emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten 6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal 7) formacioacuten
de la cascada de fotones estimulados idealmente horizontales y formacioacuten de un haz de laacuteser
1) Bombeo
Se provoca mediante una fuente de radiacioacuten como puede ser una laacutempara el paso de una corriente eleacutectrica o el uso de cualquier otro
tipo de fuente energeacutetica que provoque una emisioacuten que provoca una transicioacuten del estado base al primer estado excitad Singlete en el
proceso 1 de absorcioacuten inducida
2) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
La mayoriacutea de los electrones excitados en el proceso de bombeo vuelven al estado fundamental y emiten fotones Este proceso (2 en
Fig 472) se realiza bajo la misma radiacioacuten que provoca la absorcioacuten y es un proceso de emisioacuten estimulada Es un proceso aleatorio
y la radiacioacuten resultante estaacute formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distintas generaacutendose una
radiacioacuten monocromaacutetica incoherente
3) Termalizacioacuten
Una parte de los electrones en el estado excitado Singlete transitan al estado Triplete en cual tiempo de la vida (de permanencia) es
mucho maacutes grande que en el estado Singlete Esta tradicioacuten se produce sin emisioacuten de ondas electromagneacuteticas sino con la
transformacioacuten de la energiacutea en calor
4) Acumulacioacuten de los electrones en el estado metastable y formacioacuten de la distribucioacuten invertida
Como el tiempo de la vida en el estado triplete es muy largo electrones poco a poco se acumulan en este nivel (similarmente como en
un flujo de transito se acumulan caros formando un trancoacuten al frente con un semaacuteforo rojo) Al final surge una situacioacuten cuando nuacutemero
de electrones en el estado triplete se hace muy superior que el nuacutemero de electrones abajo en el estado base Esta distribucioacuten de
electrones se llama invertida
Fig 473 Esquema de niveles energeacuteticos de un laser
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados
5) Emisioacuten espontaacutenea de radiacioacuten
Seguacuten las leyes de Mecaacutenica cuaacutentica la transicioacuten de electrones desde estado Triplete hacia el estado base (Singlete) estaacute prohibida y
por eso electrones estaacuten atracados en el estado superior Pero cuando el nuacutemero de esos electrones se
hacen muy grande estos empiezan a transitar hacia abajo en forma espontaacutenea (recuerdan analogiacutea con
un semaacuteforo rojo y conductores imprudentes)
6) generacioacuten de un fotoacuten espontaneo idealmente horizontal
Cada transicioacuten espontaacutenea del electrono desde estado triplete produce a un fotoacuten espontaacuteneo cuya
direccioacuten de propagacioacuten es impredecible En la Fig474 (b) se muestra esquemaacuteticamente como los
aacutetomos excitados (ubicados entre dos espejos y sentildealados con ciacuterculos cerrados) emiten los fotones que
propagan con la velocidad 300000kms en diferentes direcciones y praacutecticamente todos abandonan el
medio activo o en forma instantaacutenea o despueacutes de varios reflexiones desde los dos espejos Pero existe
una pequentildea probabilidad que se genera un fotoacuten dentro del medio activo idealmente horizontal (en Fig
474 (c) que nunca abandona el espacio
7) Formacioacuten de la cascada de fotones estimulados y formacioacuten de un haz de laacuteser
El foton idealmente horizontal haciendo recorrido entre dos espejos y chocaacutendose con los
aacutetomos en el estado excitado de Triplete produce una transicioacuten estimulada acompantildeada por
la emisioacuten otro fotoacuten coherente al inicial Estos dos fotones son como dos gemelos tienen las
mismas energiacutea e impulso la misma direccioacuten de propagacioacuten la misma fase la misma
frecuencia y la misma polarizacioacuten Esta es la propiedad fundamental de la emisioacuten
estimulada
Una vez se forma una compantildeiacutea de dos fotones gemelos estos s siguen el recorrido entre dos
espejos y chocaacutendose con los aacutetomos excitados producen cada uno otros dos gemelos y el
nuacutemero de fotones gemelos se incrementa en una forma exponencial formando una cascada de
fotones gemelos Como el espejo de la derecha es reflejante al 99 (es decir tiene un huequito muy chiquito) entonces llega el momento
se forma un haz de fotones a traveacutes del espejo derecha La emisioacuten estimulada descrita es la raiacutez de muchas de las caracteriacutesticas de la
luz laacuteser No soacutelo produce luz coherente y monocroma sino que tambieacuten amplifica la emisioacuten de luz ya que por cada fotoacuten que incide
sobre un aacutetomo excitado se genera otro fotoacuten
Aplicaciones
El tamantildeo de los laacuteseres variacutea ampliamente desde diodos laacuteser microscoacutepicos (arriba) con numerosas aplicaciones al laacuteser de cristales
de neodimio con un tamantildeo similar al de un campo de fuacutetbol (abajo) usado para la fusioacuten de confinamiento inercial investigacioacuten sobre
armas nucleares de destruccioacuten masiva u otros experimentos fiacutesicos en los que se presenten altas densidades de energiacutea
Cuando se inventoacute en 1960 se denominaron como una solucioacuten buscando un problema a resolver Desde entonces se han vuelto
omnipresentes Se pueden encontrar en miles de variadas aplicaciones en cualquier sector de la sociedad actual Estas incluyen campos
tan dispares como la electroacutenica de consumo las tecnologiacuteas de la informacioacuten (informaacutetica) anaacutelisis en ciencia meacutetodos de diagnoacutestico
en medicina asiacute como el mecanizado soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares
En bastantes aplicaciones los beneficios de los laacuteseres se deben a sus propiedades fiacutesicas como la coherencia la alta monocromaticidad
y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas A modo de ejemplo un haz laacuteser altamente coherente puede ser enfocado
por debajo de su liacutemite de difraccioacuten que a longitudes de onda visibles corresponde solamente a unos pocos nanoacutemetros Cuando se
enfoca un haz de laacuteser potente sobre un punto eacuteste recibe una enorme densidad de energiacutea 4 Esta propiedad permite al laacuteser grabar
gigabytes de informacioacuten en las microscoacutepicas cavidades de un DVD o CD Tambieacuten permite a un laacuteser de media o baja potencia
alcanzar intensidades muy altas y usarlo para cortar quemar o incluso sublimar materiales
El rayo laacuteser se emplea en el proceso de fabricacioacuten de grabar o marcar metales plaacutesticos y vidrio Otros usos son
Fig 474 Generacioacuten de
fotoacuten idealmente horizontal
Fig 475 Formacioacuten de la
cascada de fotones
estimulados