4. pruebas y soluciones 4.1 matemÁtica

Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología 17

4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

4.1 MATEMÁTICA

DECIMOTERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1: (30 puntos)

a. Encuentre la solución de la ecuación:

2 0 2sen sen

b. Resuelva la ecuación:

34

1342

xxx

c. Evalúe el límite:

1

1lim 1

2

x

x x

Problema 2: (10 puntos) Encuentre el área de la región sombreada que se indica. La figura muestra tres

semicírculos y un círculo.



Hallar la ecuación de la recta con pendiente diferente de cero, que es tangente a ambas

graficas de las funciones: 2( 1)y x &

2y x


Encuentre el punto sobre la parábola 21y x en el cual la recta tangente corta los ejes

en el primer cuadrante para formar un triángulo con área mínima.


Un puente levadizo de 100 metros de largo se abre exactamente por la mitad para dar

paso a embarcaciones grandes. Las dos secciones del puente se abren desde la

horizontal hasta un ángulo de 30° en exactamente 5 minutos. Determine la razón dz

dta

la cual crece la distancia entre los extremos de las secciones del puente cuando 15

(Suponga que la velocidad con la que cambia el ángulo de las secciones del puente es

constante; exprésela en rad/min).


a) Trace la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes

1lim ( ) 3,x

f x

1

lim ( ) ,x

f x

(2) 0,f (1) 1,f

lim ( ) 0,

xf x

lim ( ) 1

xf x

(5 pts.)

b) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x .

Determine el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g ,

(1) 1g , (2) 4f y (1) 23F (5 pts.)

z

θ θ


Problema 7: (10 puntos) Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta

tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es Q 5

millones por milla sobre el pantano y Q 3 millones por milla sobre tierra. ¿Cómo debe

construirse la tubería para minimizar el costo de construcción?


Un carro de carga y una pequeña embarcación están conectados por medio de una soga

de 12 metros de longitud como se muestra en la figura. La soga pasa através de una

polea ubicada en el punto P y a 4 metros del punto Q el cual se encuentra entre el carro

y la embarcación (al mismo nivel de los extremos de la cuerda). El carro es jalado a

partir de Q a una rapidez de 1 m/s. ¿Qué tan rápido se mueve la embarcación hacia Q

en el instante en que el carro está a 2 metros del punto Q?

20 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA


a. Encuentre la solución de la ecuación:

2 0 2sen sen


34

1342

xxx

c. Evalúe el límite:

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

(1 +1

2𝑥)𝑥+1

Solución

a. Solución de la ecuación

2 0 2sen sen

Usando la identidad 2 2 cossen sen

2 cos

2 cos 0

(2cos 1) 0

sen sen

sen sen

sen

De donde se obtiene

10 & cos

2sen

Para 1 0sen las soluciones son 0 & 2

Para 1 1cos ( )

2 las soluciones son

3

& 5

3

Entonces la solución de la ecuación para el intervalo indicado es

0 3

5

3

2



34

1342

xxx

12 4 3

4 3x x

x

Se hace la suma y se simplifica

4 22

4 3

xx

x

Elevamos al cuadrado.

2

2 4 22

4 3

xx

x

216 16 44

4 3

x xx

x

Pasamos a multiplicar el denominador

24 (4 3) 16 16 4x x x x

Se simplifica la ecuación

2 216 12 16 16 4x x x x

4 4x

1x


c. Evaluación del límite: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

(1 +1

2𝑥)𝑥+1


(1 +1

2𝑥)𝑥+1

= (1)+∞ forma indeterminada

La estrategia para encontrar el límite de esta expresión es convertir la expresión

en una expresión racional para poder aplicar L’Hôpital

Se aplica logaritmos a la función y propiedades

𝑦 = (1 +1

2𝑥)𝑥+1

𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (1 +1

2𝑥)𝑥+1

𝑙𝑛 𝑦 = (𝑥 + 1) 𝑙𝑛 (1 +1

2𝑥)

Entonces

𝑦 = 𝑒(𝑥+1) 𝑙𝑛(1+1

2𝑥)

𝑦 = 𝑒

𝑙𝑛(1+12𝑥

)

1𝑥+1

Encontrar


𝑙𝑛(1+1

2𝑥)

1

𝑥+1

=0

0 forma indeterminada


Aplicar L’Hôpital


𝑙𝑛 (1 +1

2𝑥)

1

𝑥+1

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

−1

2𝑥−2

1+1

2𝑥

−1

(𝑥+1)2

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

(𝑥 + 1)2

2𝑥2 + 𝑥=+∞

+∞

Aplicar L’Hôpital de nuevo


(𝑥 + 1)2

2𝑥2 + 𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

2(𝑥 + 1)

4𝑥 + 1=+∞

+∞

Aplicar L’Hôpital de nuevo


2(𝑥+1)

4𝑥+1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞ 2

4=

1

2

Por lo anterior se concluye que


(1 +1

2𝑥)𝑥+1

= 𝑒1

2



Encuentre el área de la región sombreada que se indica. La figura muestra tres

semicírculos y un círculo.

Solución

Encontrar una relación con los radios de todas las semicircunferencias y el radio de la

circunferencia sombreada.

Se utiliza el teorema de Pitágoras como sigue:

2 2 2c a b

2 2 2(3 ) (3) (6 )r r

2 26 9 9 12 36r r r r

18 36r


2r

Teniendo el radio es posible determinar el área sombreada del círculo:

2A r

2(2)A

4A



Hallar la ecuación de la recta con pendiente diferente de cero, que es tangente a ambas

graficas de las funciones: 2( 1)y x &

2y x

Solución

Sean a,b y ( , )

los puntos de tangencia correspondientes a cada parábola como se muestra en la

gráfica adjunta. Como se tienen 4 incógnitas, es necesario el planteamiento de 4

ecuaciones.

(a,b)

(

Planteamiento de ecuaciones:

Como el punto a,b pertenece a la gráfica de

2( 1)y x

es obtenida la 1era ecuación: 2( 1)ab

x

y


Como el punto ( , ) pertenece a la gráfica de

2y x

es obtenida la 2da. ecuación:

2

Evaluando la derivada de 2( 1)y x en ax

se tiene :

2(a 1a )y

Evaluando la derivada de 2y x en x

se tiene:

2y

Igualando ambas derivadas, se tiene la 3era ecuación:

2 a 1 2

Ahora, por definición de pendiente, la pendiente de la recta tangente es igual a:

a

b

Igualando la pendiente al término 2 se tiene la 4ta. ecuación:

a2

b


Despejando en la ecuaciones 1era, 2da y 3era cada incógnita en términos de y sustituyendo en la 4ta ecuación, se tiene:

2 2

2( 1)

De donde

1 1 1 2 1 2y

Siendo la ecuación de la recta tangente a ambas parábolas:

1 2( 1 )y x

1 2( 1)y x

2 1y x



Encuentre el punto sobre la parábola 21y x en el cual la recta tangente corta los

ejes en el primer cuadrante para formar un triángulo con área mínima.

Solución

Sea

2( ,1 )a a el punto de tangencia.

Sean

(0, )h y ( ,0)b los puntos donde la recta tangente

intercepta al eje y & al eje x , respectivamente.

Se escribe la ecuación de la recta tangente en la forma

( )o oy y m x x

Sustituir

la pendiente de la recta tangente al evaluar 2dy xdx

en x a

2m a

21

o

o

x a

y a

entonces:

21 2y a a x a

al despejar 22 1y ax a

Ahora se establece en qué puntos la recta tangente intercepta al eje y & al eje x

Intercepta al eje x cuando 0y 20 2 1ax a

Se despeja

2 1

2

ax

a


Si x b se obtiene 2 1

2

ab

a

Intercepta al eje y cuando 0x

2 1y a si

y h Entonces

2 1h a

Sea A el área del triángulo,

2 2 2

21 1 ( 1)1 (1, )

2 2 4

a aA a intervalo

a a

Se deriva respecto a a y se simplifica.

4 2

2

12 8 4

16

a aA a

a

Si

0A a

Se resuelve ecuación para obtener 3

3a y

3

3a

, se selecciona valor positivo

pues el triángulo se forma en el cuadrante I y es parte del dominio.

Se usa prueba primera derivada para determinar si 3

3a genera un valor máximo

para A.

3 3

0 03 3

A y A

Se concluye que 3

( )3

A tiene valor mínimo absoluto. Entonces el punto buscado es

3 2( , )

3 3



Un puente levadizo de 100 metros de largo se abre exactamente por la mitad para dar

paso a embarcaciones grandes. Las dos secciones del puente se abren desde la

horizontal hasta un ángulo de 30° en exactamente 5 minutos.

Determine la razón dz

dta la cual crece la distancia entre los extremos de las secciones

del puente cuando 15 (Suponga que la velocidad con la que cambia el ángulo de

las secciones del puente es constante; exprésela en rad/min).

La siguiente figura ilustra la mitad del puente levadizo, con el fin de visualizar las

variables a relacionar:

Solución

502

zx (1)

La relación entre el ángulo y la variable x está dada por:

cos50

x

50cosx (2)

Se despeja z de (1) y se sustituye x por (2)

100 2 50cosz

100 100cosz

z

θ θ


Al derivar z respecto del tiempo t

100cosdz d

dt dt

Donde:

10012 30

dzsen

dt

2.7104 / mindz

mdt



Solución

Se analiza asíntotas y puntos tendrá la gráfica

a) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x . Determine

el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g , (1) 1g , (2) 4f y

(1) 23F (5 pts.)

Se deriva ( )F x

' ' '( )F x f g x g x


1lim ( ) 3,x

f x

1

lim ( ) ,x

f x

(2) 0,f (1) 1,f

lim ( ) 0,

xf x

lim ( ) 1

xf x

(5 pts.)

b) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x . Determine

el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g , (1) 1g , (2) 4f y

(1) 23F (5 pts.)


1lim ( ) 3,x

f x

1

lim ( ) ,x

f x

(2) 0,f (1) 1,f

lim ( ) 0,

xf x

lim ( ) 1

xf x

(5 pts.)

(1,1)

x=1

(1,3)

y

y=1

y=0

x (2,0)


Se obtiene la segunda derivada de ( )F x

'' ' '' ' '' 'F x f g x g x g x f g x g x

Se evalúa la expresión anterior para 1x

'' ' '' ' '' '1 1 1 1 1 1F f g g g f g g

Se reemplazan todos los valores dados.

' ''23 2 1 3 2 (3)f f

''23 (4)( 1) (3) (2)(3)f

''23 4 9 2f

Se despeja '' 2f

'' 23 4 272

9 9f

'' 2 3f


Problema 7: (10 puntos) Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano

hasta tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es Q

5 millones por milla sobre el pantano yQ 3 millones por milla sobre tierra.¿Cómo

debe construirse la tubería para minimizar el costo de construcción?

Solución

La distancia en tierra la definiremos como

1 4S x

La distancia en el pantano se calcula usando el teorema de Pitágoras

22 16S x

El costo de la construcción es

1 2( ) 3 5C x S S .

2( ) 3 4 5 16C x x x

El problema de optimizaciónes el mínimo

2( ) 12 3 5 16C x x x en el intervalo cerrado 0 4x


Se deriva la función ( )C x

2

5( ) 3

16x

xD C x

x

2

2

3 16 5( )

16x

x xD C x

x

Encontrar números críticos

( ) 0xD C x

23 16 5 0x x

25 3 16x x

2 225 9 144x x

2 9x

3x

único número crítico en el intervalo

3x

Evaluando y comparando en el número crítico y en los extremos del

intervalo.

(3) 3 25 28

(0) 12 5 16 32

(4) 5 16 16 20 2 28.28

C

C

C

El mínimo absoluto es 28 millones y se produce cuando 3x

La tubería debe tocar tierra en un punto que diste 1 milla de los tanques de almacenamiento,



Un carro de carga y una pequeña embarcación están conectados por medio de una soga

de 12 metros de longitudcomo se muestra en la figura. La soga pasa através de una

polea ubicada en el punto P y a 4 metros del punto Q el cual se encuentra entre el

carro y la embarcación (al mismo nivel de los extremos de la cuerda). El carro es jalado

a partir de Q a una rapidez de 1 m/s. ¿Qué tan rápidose mueve la embarcación hacia Q

en el instante en que el carro está a 2 metros del punto Q?

Solución

Nombrando las cantidades que varían con el tiempo

Variables.

1 2, 1 2, , , &l l x x

Constantes:

La longitud de la cuerda l

La distancia PQ y

La velocidad del carro 𝑥2′

Incógnita 𝑥1′

𝑙1 𝑙2

𝑥2 𝑥1


Primer paso

Aplicando Pitágoras al triángulo que se forma con la posición de la embarcación, la

polea y el punto Q

𝑙12 = 42 + 𝑥1

2

Derivando respecto al tiempo esta expresión

𝑙1𝑙1′ = 𝑥1𝑥1

′

De donde obtenemos que:

𝑥1′ =

𝑙1𝑥1

𝑙1′ 𝑒𝑐 1

Segundo paso

Relacionando la incógnita con la razón de cambio conocida, utilizando Pitágoras al

triángulo formado por la posición del carro, la polea y el punto Q

𝑙22 = 42 + 𝑥2

2

Derivando respecto al tiempo esta expresión

𝑙2𝑙2′ = 𝑥2𝑥2

′

despejando 𝑙1′

𝑙2′ =

𝑥2𝑙2𝑥2

′

Tercer paso

Buscar la relación entre 𝑙1 𝑦 𝑙2 12 = 𝑙1 + 𝑙2

Derivando esta expresión tenemos que:

𝑙2′ = −𝑙1

′

Esto implica que

𝑙1′ = −

𝑥2𝑙2𝑥2

′


Sustituyendo este resultado en la ecuación 1 tenemos lo siguiente:

𝑥1′ = −

𝑙1𝑥1

𝑥2𝑙2𝑥2

′

Cuarto paso

Calcular los valores de las variables cuando 𝑥1 = 2. De esto tenemos que 𝑙1 = 2√5 ,

𝑙2 = 12 − 2√5 y 𝑥2 = √148 − 48√5

Entonces

𝑥1′ = −

2

2√5

12 − 2√5

√148 − 48√51

𝑥1′ = −

6 − √5

√5√37 − 12√5𝑚/𝑠

𝑥1′ = −

6 − √5

√5√37 − 12√5𝑚/𝑠

𝑥1′ = −0.52791 𝑚/𝑠


DECIMOTERCERA OLIMPIADA

INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

Acontinuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente en el

cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente es la gráfica de

1r Hallar la ecuación polar para la circunferencia menor, de manera que las áreas

sombreadas del cuadrado es igual al área exterior a 1r e interior a la circunferencia

menor.


Determine si las rectas dadas están contenidas en un mismo plano

2

1

4 2

x t

y t

z t

&

1

2

1 2

x s

y s

z s

𝜃 = 𝜋2

eje polar



Una colina tiene la forma de la superficie dada por 2 26z x y , se requiere perforar

un agujero perpendicular a la superficie en el punto (1, 1,4) de tal forma que pueda

colocarse un panel solar.

a) Determine en qué dirección debe perforarse.

b) Si el plano solar es tangente a la colina en dicho punto, determine la ecuación del

plano.


Suponga que T (grados) es la temperatura de cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la esfera

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y que 𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧. Utilizando multiplicadores determine los puntos

de la esfera en los que la temperatura sea máxima y mínima. Calcule la temperatura

en dichos puntos.

Problema5: (10 puntos)

Sea un sólido generado haciendo girar la región acotada por la curva 𝑦 =𝑥2

2 & la recta

𝑦 = 2, alrededor del eje 𝑦. Se desea perforar un orificio circular, centrado en el eje de

revolución, de manera tal que dicho solido pierda un cuarto de su volumen. Calcular

el diámetro que debe tener dicho orificio.


Un tanque tiene la forma de 2 conos, cada cono tiene su vértice sobre el centro de la

base circular del otro como muestra la figura. Cada cono tiene un radio de 4 pies y

una altura de 8 pies. Hallar el trabajo necesario para llenar de agua (desde el suelo) el

sólido definido por la intersección de ambos conos.

362.4 agualb

pie



Se vierte agua con 0.5 kg de sal por litro a un tanque a razón de 2 litros/min, y la

mezcla homogénea sale al mismo ritmo. Después de 10 min, se para el proceso y se

vierte agua pura a razón de 2 litros/min, con la nueva mezcla saliendo a la misma

razón. Si inicialmente había 100 litros de agua pura en el tanque, Encuentre: a) Las

ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el tanque

en función del tiempo. b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos.


Dos partículas, 1 M y

2 M , se mueven a lo largo de circunferencias concéntricas de radio

R y r respectivamente. La velocidad angular de ambas partículas es igual y constante,

pero de sentido opuesto. ¿Qué figura describe el punto medio del segmento 1 2 M M ? Dé

su respuesta en coordenadas cartesianas.


Exprese la integral dada en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas y

esféricas. Grafique la región que representa la integral.

2 2 2

2 2 2

2 4 8

2 4

x x y

x x y

dzdydx


Verifique el teorema de la divergencia de Gauss al calcular el flujo hacia el exterior del

campo F k , a través del sólido limitado por 2 2z x y & 4z .




La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente es la gráfica de 1r

Hallar la ecuación polar para la circunferencia menor, de manera que las áreas

sombreadas del cuadrado es igual al área exterior a 1r e interior a la circunferencia

menor.

Solución

a. Como es una circunferencia de 1r , la diagonal del cuadrado es 1 , por lo tanto

su área es:

22 1 1

22 2

dA x

b. Si la suposición del cuadrado es válida, entonces la intersección del círculo de

1r con el círculo desconocido cosr a se da en 4

𝜃 = 𝜋2

eje polar


c. Y la expresión del área entre las circunferencias quedará expresada, de la

siguiente manera:

4

2

0

12 1

2A a cos d

4 4 4

2 2 2

0 0 0

1 1( cos 1) cos2

2 2A a d a d d

2 2 2 2

s n2 s n 242 4 8 4 4 4

0

a a a aA e e

2 2

2 2

8 4 4 8 4

a aA a

d. Si las áreas son iguales y es un cuadrado, se tiene lo siguiente:

2 2 1

8 4 2a

𝜃 = 𝜋2

eje polar


2 2 2 4a

2 2 4 2a

2 2 24 2

2 2a

2 2

2

a

a

e. Por lo tanto la ecuación de la circunferencia menor es igual a:

2cosr



Determine si las rectas dadas están contenidas en un mismo plano

2

1

4 2

x t

y t

z t

&

1

2

1 2

x s

y s

z s

Solución

Primero se analizan si son paralelas

Vector director de la primera recta

1 2A

i j k

Vector director de la segunda recta

2 2A

i j k

Analizando los vectores

1 2 1 2A K A A no paraleo a A

Las rectas no paralelas

Segundo si se intersectan

2 1

1 2

4 2 1 2

t s

t s

t s

simplificando

3

3

2 2 3

t s

t s

t s

La solución de las dos primeras ecuaciones es 3 & 0t s

No cumple con la tercera ecuación 6 3

Las rectas no se intersectan

Como las rectas no paralelas y no se intersectan no pueden estar contenidas en un

plano son rectas no coplanares (rectas oblicuas).



Una colina tiene la forma de la superficie dada por 2 26z x y , se requiere perforar

un agujero perpendicular a la superficie en el punto (1, 1,4) de tal forma que pueda

colocarse un panel solar.

a) Determine en qué dirección debe perforarse.

b) Si el plano solar es tangente a la colina en dicho punto, determine la ecuación del

plano.

Solución

a) El gradiente es perpendicular a la superficie.

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 6

𝛻𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘

en el punto (1, 1,4)

𝛻𝐹(1,−1,4) = 2𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

Pero como debe perforar, es en la dirección contraria

−2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘

b) El plano tangente cumple con

∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑉(𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 0

(2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘) ∙ ((𝑥 − 𝑥0)𝑖 + (𝑦 − 𝑦0)𝑗 + (𝑧 − 𝑧0)𝑘) = 0

en el punto (1, 1,4)

(2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘) ∙ ((𝑥 − 1)𝑖 + (𝑦 + 1)𝑗 + (𝑧 − 4)𝑘) = 0

2𝑥 − 2 − 2𝑦 − 2 + 𝑧 − 4 = 0

La ecuación del plano es

2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 8



Suponga que T (grados) es la temperatura de cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la esfera

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y que 𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧. Utilizando multiplicadores determine los puntos

de la esfera en los que la temperatura sea máxima y mínima. Calcule la temperatura

en dichos puntos.

Solución

𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧 restricción 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4

𝛻𝑇 = 𝜆𝛻(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4)

Se tiene que

200𝑦2𝑧 = 2𝑥𝜆

400𝑥𝑦𝑧 = 2𝑦𝜆

200𝑥𝑦2 = 2𝑧𝜆

Al despejar "𝜆" de cada ecuación

𝜆 =100𝑦2𝑧

𝑥

𝜆 =200𝑥𝑦𝑧

𝑦

𝜆 =100𝑥𝑦2

𝑧

Igualando "𝜆" queda

𝑦2𝑧 = 2𝑥2𝑧

𝑦2𝑧2 = 𝑥2𝑦2

Al simplificar las dos ecuaciones anteriores

𝑧(𝑦2 − 2𝑥2) = 0

𝑦2(𝑧2 − 𝑥2) = 0

Con la ecuación de la restricción 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 queda un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas.


La solución da los puntos críticos y se calcula la temperatura en esos puntos

𝑧 = 0 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0

𝑧 = 0 ; 𝑥 = 0; 𝑦 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0

𝑦 = 0 ; 𝑥 = 0; 𝑧 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0

𝑥 = 1 ; 𝑧 = 1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = 400

𝑥 = −1 ; 𝑧 = −1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = 400

𝑥 = −1 ; 𝑧 = 1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = −400

𝑥 = 1 ; 𝑧 = −1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = −400

Temperatura máxima 400 en los puntos (1, √2, 1), (1, −√2, 1), (−1,√2, −1) y

(−1,−√2,−1),

Temperatura mínima 400 en los puntos (1, √2, −1), (1, −√2,−1), (−1, √2, 1) y (−1,−√2, 1).



Sea un sólido generado haciendo girar la región acotada por la curva 𝑦 =𝑥2

2 & la recta

𝑦 = 2, alrededor del eje 𝑦. Se desea perforar un orificio circular, centrado en el eje de

revolución, de manera tal que dicho solido pierda un cuarto de su volumen. Calcular

el diámetro que debe tener dicho orificio.

Solución

Usando el método de las capas cilíndricas, el volumen del sólido sin perforar viene

dado por:

𝑉 = 2𝜋∫ 𝑥ℎ(𝑥)𝑑𝑥2

0

Donde

ℎ(𝑥) = 2 −𝑥2

2.

Entonces, el volumen es:

𝑉 = 2𝜋∫ 𝑥 (2 −𝑥2

2)𝑑𝑥

2

0

= 𝜋∫ (4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥 = 𝜋 [2𝑥2 −𝑥4

4]

2

0

= 4𝜋2

0

x

y

𝑦 =𝑥2

2

r


Sabemos que al ser perforado, el sólido pierde un cuarto de su volumen, es decir 𝜋. En

consecuencia, el volumen 𝑉 del sólido perforado es 3𝜋. La región que genera este

sólido es

𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2: 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥22 ≤ 𝑦 ≤ 2}.

Por lo tanto el volumen 𝑉′ usando el método de las capas cilíndricas es:

𝑉(𝑟) = 𝜋∫ (4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥2

𝑟

= 𝜋 [2𝑥2 −𝑥4

4]𝑟

2

= 𝜋 (4 − 2𝑟2 +𝑟4

4)

Donde 0 ≤ 𝑟 ≤ 2. Para calcular el radio r del orificio, debemos resolver la ecuación

𝜋 (4 − 2𝑟2 +𝑟4

4) = 3𝜋

𝑟4 − 8𝑟2 + 4 = 0

Resolviendo esta ecuación se obtiene lo siguiente:

𝑟 = √4 − 2√3 = √3 − 1

Y su diámetro es:

𝑑 = 2(√3 − 1)



Un tanque tiene la forma de 2 conos, cada cono tiene su vértice sobre el centro de la

base circular del otro como muestra la figura. Cada cono tiene un radio de 4 pies y

una altura de 8 pies. Hallar el trabajo necesario para llenar de agua (desde el suelo) el

sólido definido por la intersección de ambos conos.

362.4 agualb

pie

Solución

Se procede a realizar un esquema, con su sistema de coordenadas, identificando

los puntos o coordenadas importantes a tomar en cuenta para la resolución del

problema:

Se pide hallar el trabajo necesario para llenar de agua desde el suelo, por el

sólido definido por la intersección de ambos conos, es decir, la parte sombreada.

Identificación de constantes y variables

x radio del diferencial de volumen de agua

y distancia que tiene que recorrer el diferencial de volumen de agua


densidad del agua 3 62.4 lb

pie

dy altura o espesor del diferencial de volumen de agua.

Definición de Trabajo W

Trabajo Fuerza Distancia

La fuerza va a ser igual al peso del diferencial de agua.

Y la distancia va a ser igual a la distancia que tiene que recorrer el diferencial de

volumen de agua,desde el suelo hasta llenar por completo el sólido. Esa distancia es

variable y la denominaremos como y .

W Fuerza Distancia

W Fd

Como: F Peso & y d

Sustituyendo:

W Peso distancia

W Peso y

Para encontrar el peso, se utiliza la densidad , que indica:

/ Peso Volumen

Y el Volumen del diferencial de agua dV está dado por:

El producto del área del diferencial o disco de agua 2 r , por su espesor dy .

2 ddV r y

Pero el radio del disco varía respecto a su altura dentro del sólido, por eso

r x

Peso dV

2 ddV x y


Entonces, el peso queda expresado por:

2 Peso V x dy

Y ahora se expresa el trabajo necesario para llenar la porción entre los conos, en

términos de diferenciales.

dW Peso distancia

dW Peso y

2 ydW x dy

Para encontrar la recta2 Y se utilizan los puntos

1 P y 2 P :

1 02

1 0

82

0

4 0

y ym

x x

2 0 2 0 ( )Y y m x x

2 0 2( 0) Y x

2 2Y x

2

2 2

Y yx

Para encontrar la recta1 Y se utilizan los puntos

3 P y 4 P :

1 01

1 0

8 02

0 4

y ym

x x

1 0 2 0 ( )Y y m x x

1 0 2( 4) Y x

1 8 2Y x

11 1

4 42 2

x Y y


Ahora nos interesa encontrar el trabajo total necesario para llenar el sólido, que

intersectan los dos conos.

Para ello es necesario, encontrar los límites de integración, para lo cual, se igualan1 Y y

2 Y .

14

2 2 y

y

4y

Este resultado indica que las rectas se intersectan cuando 4y , entonces se definen

los límites de integración así.

Para2 Y : Límite Inferior 0 ; Límite Superior 4.

Para1 Y : Límite Inferior 4 ; Límite Superior 8.

Para la recta 2 Y , el diferencial de trabajo es:

2 ydW x dy

2

2

ydW ydy

3

4

ydW dy

Para la recta 1 Y , el diferencial de trabajo es:

2 ydW x dy

2

1

42

dW y ydy

Se procede a plantear las integrales.

4 8

2 2

0 4

14

2 2

yW ydy y ydy

4 8

32

0 4

16 44

yW dy y y ydy


4 8

3 32

0 4

4 164 4

y y

W dy y y dy

4 8 8 8

3 32

0 4 4 4

4 164 4

y yW dy dy y dy ydy

Se resuelven las integrales, para encontrar el trabajo necesario total, para llenar el

sólido definido por la intersección de los dos conos.

128

3 W

62.4 4 . 2 67W

8364.2 W lb pie



Se vierte agua con 0.5 kg de sal por litro a un tanque a razón de 2 litros/min, y la

mezcla homogénea sale al mismo ritmo. Después de 10 min, se para el proceso y se

vierte agua pura a razón de 2 litros/min, con la nueva mezcla saliendo a la misma

razón. Si inicialmente había 100 litros de agua pura en el tanque, Encuentre: a) Las

ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el tanque

en función del tiempo. b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos.

Solución

Para este problema habrá dos ecuaciones, según que el tiempo sea menor o

mayor que 10 min.

Primera parte del proceso

Para 100 t

Primero se identifican las variables ( )x Cantidaddesal Kg

(min)tiempot

La ecuación diferencial para mezclas

ssee fcfcdt

dx

Se cuenta con los siguientes datos:

Condición inicial: 0t , 0x

Debido a que el tanque inicialmente tiene agua pura

LKg

ce 5.0

min2 Lfe

min2 Lf s

Y lo único que debe establecerse es la concentración de salida

( )s

Cantidad de sal Kgc

Volumen del tanque

En este problema, el tanque tiene volumen constante, porque el flujo de entrada es

igual al flujo de salida


Por lo que la concentración de salida es:

100

xcs L

Kg

Regresando a la ecuación diferencial

ssee fcfcdt

dx

Se tiene la siguiente ecuación:

min2

100min25.0

L

L

KgxL

L

Kg

dt

dx

100

21

x

dt

dx

Por lo tanto, se obtiene una ecuación diferencial lineal en términos de x

150

x

dt

dx

De donde el factor de integración

tdt

eeFI 50

1

50

1

Y entonces al resolver la ecuación lineal, se tiene

dtexett

50

1

50

1

Para resolver la integral que se tiene del lado derecho, se realiza la siguiente

sustitución

tw50

1

dtdw 50

dwexe wt

5050

1

Cexe wt

5050

1

Regresando a la variable original, se tiene:


Cexett

50

1

50

1

50

Por lo que al despejar la ecuación para la cantidad de sal en el tanque, se tiene:

t

Cex 50

1

50

Para encontrar el parámetro C se sabe que al inicio del proceso en el tanque había

agua pura

Por lo que, para 0t , 0x

C 500

Entonces el parámetro C es:

50C

Por lo que la Ecuación que determina la cantidad de sal en el tanque para 100 t es

la siguiente:

t

etx 50

1

5050

Se determina la cantidad de sal en el tanque a los 10 minutos del proceso

Por lo que, para 10t , ?x

10

50

1

505010

ex

063462346.9x Kg

Segunda parte del proceso

Para 10t

Nuevamente se identifican las variables ( )x Cantidaddesal Kg

(min)tiempot

La ecuación diferencial para mezclas

ssee fcfcdt

dx


Se cuenta con los siguientes datos:

Condición inicial: 0t , 063462346.9x Kg

El tanque en el inicio del segundo proceso cuenta con 9.063462346 kilogramos de sal.

Además vierten agua pura por lo que la concentración de entrada aquí es cero.

También el flujo de entrada es igual al flujo de salida y nuevamente el volumen dentro

del tanque es constante.

0ec

min2 Lfe

min2 Lf s

Y lo único que debe establecerse es la concentración de salida

( )s

Cantidad de sal Kgc

Volumen del tanque

Por lo que la concentración de salida es:

100

xcs

L

Kg

Regresando a la ecuación diferencial

ssee fcfcdt

dx

Se tiene la siguiente ecuación:

min2

100min20

L

L

KgxL

L

Kg

dt

dx

Por las condiciones que se tienen en el segundo proceso la tasa de flujo de entrada se

hace cero.

100

2x

dt

dx

Al simplificar

50

x

dt

dx

Por lo tanto, se obtiene una ecuación de variables separables


dtx

dx

50

1

Al integrar de ambos lados, se obtiene

Ctx 50

1ln

Para dejar la ecuación de forma explícita, se aplica función exponencial a cada lado de

la ecuación

Ctx ee

50

1

ln

Por lo que al despejar la ecuación para la cantidad de sal en el segundo proceso en el

tanque, se tiene:

t

Cex 50

1

Para encontrar el parámetro C se sabe que al inicio del segundo proceso en el tanque

había 9.063462346 kilogramos de sal

Por lo que, para 0t , 063462346.9x

050

1

063462346.9

Ce

Entonces el parámetro C es:

063462346.9C

Por lo que la Ecuación que determina la cantidad de sal en el tanque para 10t es la

siguiente:

t

etx 50

1

063462346.9

Se determina la cantidad de sal en el tanque a los 10 minutos del inicio del segundo

proceso

Por lo que, para 10t , ?x

10

50

1

063462346.910

ex

Kgx 42053.7


Respuesta:

a) Las ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el

tanque en función del tiempo son:

t

etx 50

1

5050 ; 100 t y

t

etx 50

1

063462346.9 ; 10t

b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos es de 7.42053 kilogramos



Dos partículas, 1 M y

2 M , se mueven a lo largo de circunferencias concéntricas de radio

R y r respectivamente. La velocidad angular de ambas partículas es igual y constante,

pero de sentido opuesto. ¿Qué figura describe el punto medio del segmento 1 2 M M ? Dé

su respuesta en coordenadas cartesianas.

Solución

El movimiento de las partículas se muestra en la figura. Las particulas se mueven en

sentidos opuestos.

Se supone que las circunferencias están centradas en el origen de un sistema de

coordenadas cartesiano.

Sea 𝜔 la velocidad angular de las partículas.

Para 1 M :

Las coordenadas cartesianas 1 1( , )x y del punto están dadas por las ecuaciones

paraméticas

1 cosx R t

1 y Rsen t

Para 2 M :

Las coordenadas cartesianas 2 2( , )x y del punto están dadas por las ecuaciones

paramétricas

2 x rcos t

2 y rsen t


el signo negativo de la coordenada 𝑦 indica que la particula 2 se mueve en sentido

opuesto a la partícula 1.

Para M (el punto medio):

Las coordenadas cartesianas ( , )x y del punto medio están dadas por las ecuaciones

1

2 x Rcos t rcos t

1cos

2 x t R r

1

2 y Rsen t rsen t

1

2 y sen t R r

Al despejar las funciones trigonométricas de las ecuaciones anteriores se obtiene

2

cosx

tR r

2y

sen tR r

A partir de la identidad pitagórica y las ecuaciones anteriores se obtiene

22 2

2

1yx

R r R r

Luego se simplificar se obtiene

22

2 21

2 2

yx

R r R r

Por lo tanto, el punto medio describe una elipse centrada en el origen.

En este enlace se puede ver como se forma la elipse

https://www.geogebra.org/m/ryamz8wh

https://www.geogebra.org/m/ryamz8wh



Exprese la integral dada en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas y

esféricas. Grafique la región que representa la integral.

2 2 2

2 2 2

2 4 8

2 4

x x y

x x y

dzdydx

Solución

Coordenadas cilíndricas

22 2 8

0 0

r

r

rdzdrd

Coordenadas esféricas

2 824

0 0 0

sen d d d

y

x

z

S1

Cono

S2

Esfera



Verifique el teorema de la divergencia de Gauss al calcular el flujo hacia el exterior del

campo F k , a través del sólido limitado por 2 2z x y & 4z .

Solución

La siguiente figura muestra el paraboloide acotado por el plano, así como las dos

superficies a considerar

4z

Verificar que el teorema de la Divergencia de Gauss

S V

d dV F S F

La figura muestra en forma aproximada la región acotada por paraboloide y el

plano, se tomará un flujo orientado hacia afuera.

2 2z x y

y

x

z

F

S1

S2


a. Calculando la integral de superficie se tiene que

1 2S S S

d d d F S F S F S

Para 1S 2 2z x y

1 1S S

d dS F S F n

Entonces

1

2 2

0 0

2

0

2 22 2

2

4

S R

R

dydxd x y

x y

dydx

rd dr

rdr

F S k i j ki j k k

Para 2S 4z región 2 20 4x y

2

2 2

0 0

( ) ( )

4

S R

R

dydxd

dydx

rdrd

F S k kk k


Finalmente

1 2

4 4 0

S S S

d d d

F S F S F S

b. Aplicando el teorema de la divergencia y calculando la integral triple en

coordenadas cilíndricas se tiene

(0) (0) (1) 0x y z

F

0

0

V V

dV dV

F

Por lo tanto, se verifica el teorema de la divergencia:

S V

d dV F S F


4.2 FÍSICA


EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


Uno de los juegos más solicitados por los niños en la feria es el llamado “Bungee” el

cual consiste en dos cables elásticos con un arnés de seguridad que sujeta a los niños

por la cintura que le permite oscilar verticalmente.

Si puede modelar los cables como dos resortes con constantes K1 y K2,de los cuales

cuelga un niño de 30.0 kg , y al estirarlos 2.00m y liberarlo, la rapidez máxima es de

6. 26 m/s y la constante de uno de los resortes es K1 = 100 N/m. Determine:

a) La constante K2

b) El período de oscilación

c) Magnitud de la aceleración máxima


Si los cables no se encuentran conectados uno al lado del otro sino uno seguido del

otro, determine

d) Período de oscilación

e) Rapidez máxima

f) Magnitud de aceleración máxima


Dos discos uniformes idénticos de masa

𝑀 = 0.5 𝑘𝑔 y de radio 𝑅 = 5 𝑐𝑚se encuentran

sobre una superficie horizontal sin fricción. El

primer disco se mueve con una velocidad

angular 𝜔0 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en el sentido que se

observa en la figura adjunta y con una

velocidad del centro de masas 𝑣0 = 0.5 𝑚/𝑠, e

instantáneamente su borde P se dirige en línea

recta al borde Q del segundo disco que se

encuentra en reposo sobre la superficie

horizontal. Cuando colisiona el borde del primer

disco que hace contacto con el segundo queda

adherido totalmente al mismo.

Calcule:

a) La velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.

b) La velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.

c) La pérdida de energía del sistema.


En una fábrica hay un contenedor con un fluido altamente denso (su gravedad

específica s =7.5), como se muestra en la figura. El contenedor se conecta a dos tubos

en forma de U los cuales uno se encuentra abierto al exterior (el que contiene el fluido

altamente denso) y el otro se encuentra cerrado en el extremo (el que contiene

mercurio). El contenedor es cerrado y por encima del nivel de la glicerina existe una

mezcla de aire y vapor cuyas presiones manométricas son 200 mbar (para el aire) y

160 mbar (para el vapor). También sobre el contenedor existe un manómetro que

indica la presión interna que hay dentro del contenedor. (Considere 1 mbar = 100 Pa)

Con esta información calcule lo siguiente:

a) Indique la lectura en el manómetro que se encuentra en la parte superior del

contenedor, (en Pa).

b) Calcule la distancia X entre el nivel del fluido y el menisco del tubo abierto.

Se sabe que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es

de 0.5 atm. (Considere 1 atm=1.01x105 Pa y la densidad relativa del mercurio es

13.6)

c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio.



Una empresa dedicada a la fabricación de lubricantes industriales, ha tenido

problemas en sus procesos de manufactura debido a grandes pedidos. En un proceso de

llenado de recipientes se tiene una pequeña falla por parte del operario y se depositan

en un contenedor, dos lubricantes que se comportan como líquidos inmiscibles, pero

debido al movimiento se deja cerrado a una presión manométrica de 105kPa.

Conforme el tiempo, el operario se acerca a supervisar el incidente, pero en ese

momento observa que se activa el dispositivo de seguridad en la parte inferior debido a

la gran cantidad de presión dentro del contenedor, lo que produce el movimiento de los

mismos liberando uno de ellos al sistema de tuberías de desecho en forma espiral,

como muestra la figura, para su pronto desecho por contaminación. El punto que

indica el exceso de líquido y activa el sistema de desecho, posee un área transversal A1

mientras que la parte inferior del sistema de tuberías donde se encuentra un

barómetro posee un cuarto del área transversal del punto de liberación, debido a eso se

produce una variación de la presión que es medida por parte del barómetro dando una

lectura de altura de 5.5m y produciendo una rapidez en ese punto de 25.0 m/s.

Durante el proceso de desecho se determinó la siguiente información: el líquido A

posee una densidad de 1,350kg/m3 y una altura dentro del contenedor de 5.0m, el

líquido B posee una densidad de 1500 kg/m3 y una altura de 10m. Si se sabe que el

h

Y

X

Fluido

Mercurio (Hg)

Vapor de Hg

Aire + Vapor

Manómetro


5.5m

h1

A2

A1

líquido que se libera dentro del sistema de desecho es continuo durante ese proceso

(tomar presión de la atmosfera de 101,325 Pa). Determinar:

a. La presión manométrica en la parte de liberación del contenedor en KPa antes

de iniciar el movimiento.

b. La rapidez con la que es liberado el líquido en el punto 1 de la liberación de la

tubería.

c. La presión manométrica que marca el barómetro durante el proceso en Pa.

d. La altura h1 donde se encuentra el punto de liberación con respecto al punto

más bajo del sistema de tubería de desecho.




Uno de los juegos más solicitados por los niños en la feria es el llamado “Bungee” el

cual consiste en dos cables elásticos con un arnés de seguridad que sujeta a los niños

por la cintura que le permite oscilar verticalmente.

Si puede modelar los cables como dos resortes con constantes K1 y K2,de los cuales

cuelga un niño de 30.0 kg , y al estirarlos 2.00m y liberarlo, la rapidez máxima es de

6. 26 m/s y la constante de uno de los resortes es K1 = 100 N/m. Determine:

a) La constante K2

b) El período de oscilación

c) Magnitud de la aceleración máxima

Si los cables no se encuentran conectados uno al lado del otro sino uno seguido del

otro, determine

d) Período de oscilación

e) Rapidez máxima

f) Magnitud de aceleración máxima

Solución

a) La frecuencia angular puede ser calculada como

𝜔 =6.26

𝑚

𝑠

2.00𝑚 = 3.13

𝑟𝑎𝑑

𝑠


Como 𝜔 = √𝐾

𝑚 , entonces 𝑘 = 𝜔2𝑚, por lo que

𝑘 = (3.13𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

(30.0𝑘𝑔) = 𝟐𝟗𝟒𝑵

𝒎= 𝒌𝒆𝒒𝒖

El valor obtenido representa la constante equivalente del sistema.

Como los resortes se encuentran en paralelo

𝑘𝑒𝑞𝑢 = 𝑘1 + 𝑘2

Por lo que 𝑘2 = 𝑘𝑒𝑞𝑢 − 𝑘1 = 194 𝑁/𝑚

b) El período de oscilación está dado por

𝑇 =2𝜋

𝜔 𝑇 =

2𝜋

3.13 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑻 = 𝟐. 𝟎𝟏 𝒔

c) La magnitud de la aceleración máxima puede calcularse como

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝑥𝑚𝑎𝑥 = (3.13𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

(2.00𝑚)

𝒂𝐦𝐚𝐱 =𝟏𝟗. 𝟔 𝒎/𝒔𝟐

d) Se modela como resortes en serie

𝑘𝑒𝑞𝑢 = 1(1

𝑘1+

1

𝑘2)⁄

Kequ = 1

1

100𝑁/𝑚+

1

194𝑁/𝑚

= 𝑲𝒆𝒒𝒖 = 𝟔𝟔. 𝟎 𝑵/𝒎


Dado que:

𝜔 = √𝑘𝑒𝑞𝑢

𝑚= √

66.0 𝑁/𝑚

30.0𝑘𝑔 = 1.48 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑻 =𝟐𝝅

𝟏. 𝟒𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔= 𝟒. 𝟐𝟒 𝒔

e) 𝑉𝑚𝑎𝑥 = (1.48 rad/s)(2.00m) = 2.96 m/s

f) 𝑎𝑚𝑎𝑥 = (1.48 rad/s)2(2.00m) = 4.38 m/s2



Dos discos uniformes idénticos de masa

𝑀 = 0.5 𝑘𝑔 y de radio 𝑅 = 5 𝑐𝑚se encuentran

sobre una superficie horizontal sin fricción. El

primer disco se mueve con una velocidad

angular 𝜔0 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en el sentido que se

observa en la figura adjunta y con una

velocidad del centro de masas 𝑣0 = 0.5 𝑚/𝑠, e

instantáneamente su borde P se dirige en línea

recta al borde Q del segundo disco que se

encuentra en reposo sobre la superficie

horizontal. Cuando colisiona el borde del primer

disco que hace contacto con el segundo queda

adherido totalmente al mismo.

Calcule:

a) La velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.

b) La velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.


Solución

a) Calculo de la velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.

En esta colisión el momentum angular debe conservarse. Calculamos la inercia

rotacional del disco:

𝐼 =1

2𝑀𝑅2 =

1

2(0.5 𝑘𝑔)(. 05𝑚)2 = 6.25 ∙ 10−4 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2

Calculamos el momentum angular del disco respecto a Q, obtenemos:

𝐿0 = −𝐼𝜔0 +𝑀𝑣0𝑅 = 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠

Por lo que cuando calculamos la velocidad angular de ambos discos luego de la

colisión:

𝐿𝑓 = 𝐿0 = 𝐼𝑇𝜔𝑓 = 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠

No se hace necesario calcular la inercia y se concluye que:

𝜔𝑓 = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠


b) Calculo de la velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.

El momentum lineal de los discos se conserva. La colisión es inelástica.

𝑃0 = 𝑃𝑓

𝑀𝑣0 = (𝑀 +𝑀)𝑣𝑓

𝑣𝑓 =1

2𝑣0 = 0.25 𝑚/𝑠


La energía cinética inicial del sistema es, asociada solo al primer disco:

𝐾0 =1

2𝐼𝜔0

2 +1

2𝑀𝑣0

2

𝐾0 =1

2(6.25 ∙ 10−4 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2) (20

𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

+1

2(0.5 𝑘𝑔) (0.5

𝑚

𝑠)2

= 0.18750 𝐽

La energía cinética final del sistema, asociada a los discos unidos trasladándose

sin rotar:

𝐾𝑓 =1

2(2𝑀)𝑣𝑓

2 =1

2(1𝑘𝑔)(0.25 𝑚/𝑠)2 = 0.03125 𝐽

Por lo que la pérdida de energía cinética está dada por:

∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾0 = −0.15625 𝐽



En una fábrica hay un contenedor con un fluido altamente denso (su gravedad

específica s =7.5), como se muestra en la figura. El contenedor se conecta a dos tubos

en forma de U los cuales uno se encuentra abierto al exterior (el que contiene el fluido

altamente denso) y el otro se encuentra cerrado en el extremo (el que contiene

mercurio). El contenedor es cerrado y por encima del nivel de la glicerina existe una

mezcla de aire y vapor cuyas presiones manométricas son 200 mbar (para el aire) y

160 mbar (para el vapor). También sobre el contenedor existe un manómetro que

indica la presión interna que hay dentro del contenedor. (Considere 1 mbar = 100 Pa)

Con esta información calcule lo siguiente:

a) Indique la lectura en el manómetro que se encuentra en la parte superior del

contenedor, (en Pa).

b) Calcule la distancia X entre el nivel del fluido y el menisco del tubo abierto.

Se sabe que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es

de 0.5 atm. (Considere 1 atm=1.01x105 Pa y la densidad relativa del mercurio es

13.6)

c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio.

h

Y

X

Fluido

Mercurio (Hg)

Vapor de

Hg

Aire + Vapor

Manómetro


Solución

a) Lectura en el manómetro:

El manómetro lee la presión del gas en donde se encuentra colocado, por lo que:

𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒+ 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟

𝑃𝑚𝑎𝑛 = 200 𝑚𝑏𝑎𝑟 + 160 𝑚𝑏𝑎𝑟

𝑃𝑚𝑎𝑛 = 360 𝑚𝑏𝑎𝑟 = 36 𝑘𝑃𝑎

b) Distancia X:

Si se coloca un nivel de referencia en la interfase del fluido denso y el vapor, es

igual a la de la columna de tamaño X del tubo abierto:

𝑃𝑎𝑏𝑠1 = 𝑃𝑎𝑏𝑠2

𝑃𝑎𝑡𝑚+ 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐹𝑔𝑋

𝑋 = 𝑃𝑚𝑎𝑛/𝜌𝐹𝑔 = (36𝑘𝑃𝑎)/(7.5 ∙ 103𝑘𝑔/𝑚3 × 9.8𝑚/𝑠2)

𝑋 = 0.49 𝑚

c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio:

Sabiendo que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es

de 0.5 atm. La presión en el tubo en U, en la interfase del fluido denso y del

mercurio y en el punto a la misma altura en la otra rama del tubo U es la misma,

obtenemos:

𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐹𝑔(𝑋 + 𝑌 + ℎ) = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝐻𝑔 + 𝜌ℎ𝑔𝑔ℎ

ℎ =𝜌𝐹𝑔(𝑋 + 𝑌) − 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝐻𝑔

(𝜌ℎ𝑔 − 𝜌𝐹)𝑔

ℎ = 0.37𝑚


5.5m

h1

A2

A1


Una empresa dedicada a la fabricación de lubricantes industriales, ha tenido

problemas en sus procesos de manufactura debido a grandes pedidos. En un proceso de

llenado de recipientes se tiene una pequeña falla por parte del operario y se depositan

en un contenedor, dos lubricantes que se comportan como líquidos inmiscibles, pero

debido al movimiento se deja cerrado a una presión manométrica de 105kPa.

Conforme el tiempo, el operario se acerca a supervisar el incidente, pero en ese

momento observa que se activa el dispositivo de seguridad en la parte inferior debido a

la gran cantidad de presión dentro del contenedor, lo que produce el movimiento de los

mismos liberando uno de ellos al sistema de tuberías de desecho en forma espiral,

como muestra la figura, para su pronto desecho por contaminación. El punto que

indica el exceso de líquido y activa el sistema de desecho, posee un área transversal A1

mientras que la parte inferior del sistema de tuberías donde se encuentra un

barómetro posee un cuarto del área transversal del punto de liberación, debido a eso se

produce una variación de la presión que es medida por parte del barómetro dando una

lectura de altura de 5.5m y produciendo una rapidez en ese punto de 25.0 m/s.

Durante el proceso de desecho se determinó la siguiente información: el líquido A

posee una densidad de 1,350kg/m3 y una altura dentro del contenedor de 5.0m, el

líquido B posee una densidad de 1500 kg/m3 y una altura de 10m. Si se sabe que el

líquido que se libera dentro del sistema de desecho es continuo durante ese proceso

(tomar presión de la atmosfera de 101,325 Pa). Determinar:

a. La presión manométrica en la parte de liberación del contenedor en KPa antes

de iniciar el movimiento.

b. La rapidez con la que es liberado el líquido en el punto 1 de la liberación de la

tubería.

c. La presión manométrica que marca el barómetro durante el proceso en Pa.

d. La altura h1 donde se encuentra el punto de liberación con respecto al punto

más bajo del sistema de tubería de desecho.


Solución

a) Determinación de la presión manométrica del punto 1 (punto de liberación al

sistema de desecho)

Debido al principio de densidades el líquido más denso es el líquido que se libera

al sistema de desechos, por lo cual el cálculo de columnas de líquido es de la

siguiente forma:

𝑃1 = 𝜌𝐵𝑔ℎ𝐵 + 𝜌𝐴𝑔ℎ𝐴 + 𝑃𝑠𝑢𝑝

𝑃1𝑚𝑎𝑛 = (1,500)(9.8)(10) + (1,350)(9.8)(5) + 105𝑥103

𝑃1𝑚𝑎𝑛 = 318,150 𝑃𝑎 ≈ 318.15 𝐾𝑃𝑎

b) Calculo de la rapidez dentro del sistema de tubería en el punto de desecho.

Debido a que es un fluido continuo durante el proceso de descarga el líquido B se

aplica continuidad entre los puntos 1 y 2 sabiendo las condiciones de cada

punto.

𝑄1 = 𝑄2

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

𝐴1𝑣1 = 𝐴14𝑣2

𝑣1 =25

4𝑚

𝑠⁄ ≈ 6.25 𝑚 𝑠⁄

c) Cálculo de la presión del barómetro debido a que el sistema se encuentra libre a la

atmosfera se plantea que la presión que se encuentra dentro del sistema de tubería

de desecho es igual a la presión de columna de líquido B.

Presión manométrica únicamente incluye los efectos de columnas de líquido

𝑃2𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝐵𝑔𝑌 = (1500)(9.8)(5.5) = 80,850 𝑃𝑎

d) Calculo de altura del inicio del sistema de tubería de desecho

Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 debido a que en el cálculo final lo

que importa es la diferencia de presiones, se pueden emplear las presiones

manométricas, se tomara nivel de referencia en el punto más bajo del sistema

𝑃1𝑚𝑎𝑛 + 𝜌𝐵𝑔ℎ1 + 1

2𝜌𝐵𝑣1

2 = 𝑃2𝑚𝑎𝑛 + 𝜌𝐵𝑔ℎ2 + 1

2𝜌𝐵𝑣2

2


𝜌𝐵𝑔ℎ1 = 𝑃2𝑚𝑎𝑛 − 𝑃1𝑚𝑎𝑛 + 1

2𝜌𝐵𝑣2

2 − 1

2𝜌𝐵𝑣1

2

𝜌𝐵𝑔ℎ1 = 𝑃2 − 𝑃1 + 1

2𝜌𝐵(𝑣2

2 − 𝑣12)

ℎ1 =𝑃2 − 𝑃1 +

1

2𝜌𝐵(𝑣2

2 − 𝑣12)

𝜌𝐵𝑔= 13.75 𝑚



EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


Dos líneas de carga poseen la misma densidad de

carga 𝜆 = +5 𝜇𝐶/𝑚. Están colocadas

paralelamente y separadas una distancia

2𝑅 = 10 𝑐𝑚. Una pequeña partícula de masa

𝑚 = 1 𝑔, y de carga 𝑞 = −1 𝜇𝐶, se encuentra

colocada el eje 𝑦, en plano perpendicular al plano

sobre el cual se encuentran las líneas de carga.

Dicho eje y, biseca a la línea que une a las dos

líneas de carga como se observa en la figura

adjunta.

Calcule:

a) La ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se encuentra

muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.

b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del

punto medio entre las líneas de carga.

c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las

líneas de carga, para que alcance el reposo en el punto P localizado a una

distancia 𝑦 = 𝑅 de O.


En el circuito que se muestra en la figura adjunta,

ambos capacitores se encuentran descargados. En

el tiempo 𝑡 = 0 𝑠, el interruptor se conecta al

punto a. Calcule:

a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1

cuando han transcurrido tres constantes de

tiempo en el proceso de carga.

b) El tiempo para el cual la energía

almacenada en el capacitor 𝐶1 es la mitad


del total que puede almacenar si tarda

conectado mucho tiempo.

Después de que el capacitor 𝐶1, se cargó completamente, el interruptor se conmuta

al punto b, bajo esta condición, calcule:

c) Cuánta energía hay almacenada en el capacitor 𝐶2, después de un tiempo

suficientemente grande después de la conmutación.

Para los cálculos tome 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2 = 1 𝜇𝐹, 𝑅 = 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 1 𝑘Ω y 𝑉𝑜 = 5 𝑉


La figura muestra a dos espiras de alambre de

una sola vuelta que tienen el mismo eje. La

espira pequeña está por encima de la grande a

una distancia 𝑥 que es grande, comparada con el

radio de la espira mayor 𝑅. Por lo tanto con la

corriente 𝐼 indicada en la espira grande, el

campo magnético producido por ésta es

prácticamente constante en la región delimitada

por la superficie de la espira pequeña.

a) Calcule el campo magnético producido por la espira grande a una distancia “x”

de su centro, sobre el eje “x”.

b) Calcule el flujo magnético a través de la espira pequeña.

c) Considérese que la espira pequeña, se mueve con velocidad constante 𝑣 en

sentido del eje de “x” positivo. Calcule la fem inducida en la espira pequeña.

d) En relación con el inciso anterior, indique la dirección de la corriente inducida

en la espira pequeña.


Si se selecciona una unión PN entre dos mitades de una barra semiconductora, que se

extiende en la dirección 𝑥. Se supondrá que la región para 𝑥 < 0 impurezas que la

hacen tipo P y que la región para 𝑥 ≥ 0 es de tipo N. El grado o concentración de

impurezas es idéntico en cada lado de la unión.

Si la distribución de carga se define como:

𝜌𝑣 = 2𝜌𝑣𝑜 sech (𝑥

𝑎) tanh (

𝑥

𝑎)

Donde la carga máxima 𝜌𝑣,max = 𝜌𝑣𝑜

A medida que 𝑥 → ±∞ el Campo eléctrico se aproxima a cero y el potencial cero en el

centro de la unión 𝑥 = 0. La ecuación que gobierna el comportamiento del potencial


cuando se conoce la distribución de carga es la ecuación de Poisson, la cual está dada

por:

∇2𝑉 =𝑑2𝑉

𝑑𝑥2+𝑑2𝑉

𝑑𝑦2+𝑑2𝑉

𝑑𝑧2= −

𝜌𝑣𝜖

El caso que se plantea es en una dimensión, por lo que la solución está dada por 𝑉(𝑥). Calcular:

a) El Campo Eléctrico y

b) El Potencial Eléctrico para la unión PN, con la densidad de carga dada.




Dos líneas de carga poseen la misma densidad de

carga 𝜆 = +5 𝜇𝐶/𝑚. Están colocadas

paralelamente y separadas una distancia

2𝑅 = 10 𝑐𝑚. Una pequeña partícula de masa

𝑚 = 1 𝑔, y de carga 𝑞 = −1 𝜇𝐶, se encuentra

colocada el eje 𝑦, en plano perpendicular al plano

sobre el cual se encuentran las líneas de carga.

Dicho eje y, biseca a la línea que une a las dos

líneas de carga como se observa en la figura

adjunta.

Calcule:

a) La ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se encuentra

muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.

b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del

punto medio entre las líneas de carga.

c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las

líneas de carga, para que alcance el reposo en el punto P localizado a una

distancia 𝑦 = 𝑅 de O.

Solución

a) Se calculará la ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se

encuentra muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.

En primer lugar el campo eléctrico para una línea de carga, está dado por:

𝐸 =𝜆

2𝜋𝜀0𝑟

Y la fuerza resultante sobre la carga, está dada por:

𝐹𝑦 = 2𝐹𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑞𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑞(𝜆

2𝜋𝜀0𝑟)𝑠𝑒𝑛𝜃

El ángulo 𝜃, es pequeño por lo que 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃 ≅ 𝑦/𝑅, además 𝑟 ≅ 𝑅. Por lo tanto

de la segunda ley de Newton:

𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 = −(𝑞𝜆

𝜋𝜀0𝑅)1

𝑅𝑦 = −𝜅𝑦


Reescribiendo: 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ [

𝑞𝜆

𝜋𝜀0𝑚𝑅2] 𝑦 = 0

Es la ecuación de movimiento de la partícula.

b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del punto

medio entre las líneas de carga, se obtiene a partir de la ecuación de

movimiento:

𝜔 = √[𝑞𝜆

𝜋𝜀0𝑚𝑅2] =

2𝜋

𝑇

Por lo que

𝑇 = 2𝜋√[ 𝜋𝜀0𝑚𝑅2

𝑞𝜆] = 2𝜋√

1 ∙ 10−3 × (0.05)2

4(9 ∙ 10−9)(1 ∙ 10−6)(5 ∙ 10−6)𝑠 = 23.41 𝑚𝑠

c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las líneas de

carga, para que alcance el reposo cuando se mueve hasta una distancia 𝑦 = 𝑅, se

puede calcular utilizando conservación de la energía y tomando en cuenta que el

potencial en un punto producido por una línea de carga se puede calcular de la

siguiente manera:

∆𝑉 = −∫ 𝐸(𝑟)𝑑𝑟 = −∫𝜆

2𝜋𝜀0𝑟𝑑𝑟

𝑟

𝑎

𝑟

𝑎

Es importante observar que el potencial es una función 𝑉(𝑟), la cual si se toma

𝑉(𝑎) = 0 𝑉, queda determinada de la siguiente forma:

∆𝑉 = 𝑉(𝑟) − 𝑉(𝑎) = −𝜆

2𝜋𝜀0ln (𝑟/𝑎) 𝑟 ≥ 𝑎

𝑉(𝑟) = −𝜆

2𝜋𝜀0ln (𝑟/𝑎)

Considerando el punto P y el punto Q y aplicando conservación de la energía

obtenemos:

(0 −1

2𝑚𝑣2) + 𝑞(𝑉𝑄 − 𝑉𝑃) = 0


𝑉𝑄 − 𝑉𝑃 = (−𝜆

𝜋𝜀0ln (

√2𝑅

𝑎)) − (−

𝜆

𝜋𝜀0ln (

𝑅

𝑎)) = −

𝜆

𝜋𝜀0ln(√2)

Por lo que la velocidad se calcula de la siguiente manera:

𝑣 = √2𝑞

𝑚(−

𝜆

𝜋𝜀0ln(√2)

𝑣 = √2(−1 ∙ 10−6)

(1 ∙ 10−3)(−4(9 ∙ 109)(5 ∙ 10−6) ln(√2))𝑚/𝑠

𝑣 = 11.17 𝑚/𝑠



En el circuito que se muestra en la figura adjunta,

ambos capacitores se encuentran descargados. En

el tiempo 𝑡 = 0 𝑠, el interruptor se conecta al

punto a. Calcule:

a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1

cuando han transcurrido tres constantes de

tiempo en el proceso de carga.

b) El tiempo para el cual la energía

almacenada en el capacitor 𝐶1 es la mitad

del total que puede almacenar si tarda

conectado mucho tiempo.

Después de que el capacitor 𝐶1, se cargó completamente, el interruptor se conmuta

al punto b, bajo esta condición, calcule:


suficientemente grande después de la conmutación.

Para los cálculos tome 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2 = 1 𝜇𝐹, 𝑅 = 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 1 𝑘Ω y 𝑉𝑜 = 5 𝑉

Solución

a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1 cuando han transcurrido tres constantes

de tiempo en el proceso de carga, se calcula de la siguiente manera:

De la ley de voltajes de Kirchoff, se obtiene la ecuación,

−𝑉 + 𝑖(2𝑅) + 𝑞/𝐶 = 0

Cuya solución es:

𝑖(𝑡) = (𝑉0/2𝑅)exp (−𝑡/(2𝑅𝐶)) 𝑦 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑉0(1 − exp (−𝑡/(2𝑅𝐶))

La constante de tiempo del circuito es 𝜏 = 2𝑅𝐶, por lo que:

𝑣𝐶 = 𝑉0(1 − exp(−3)) = 4.75 𝑉

b) El tiempo para el cual la energía almacenada en el capacitor 𝐶1sea la mitad del

total que puede almacenar si tarda conectado mucho tiempo, se calcula:

1

2(1

2 𝐶(𝑉0)

2) =1

2 𝐶(𝑣𝐶(𝑡))

2=1

2 𝐶(𝑉0(1 − exp (−𝑡/(2𝑅𝐶))2

𝑡 = −2𝑅𝐶 ln (1 −√2

2) = 2.46 𝑚𝑠



suficientemente grande luego de la conmutación

Dado que los capacitores son iguales, la carga se distribuye de manera idéntica,

𝑞2(+∞) = 𝐶𝑉0/2

𝑈𝑓 =1

2𝐶(𝑞2(+∞))

2=

1

2𝐶(𝐶𝑉0/2)

2 =1

4(1

2 𝐶(𝑉0)

2)

𝑈𝑓 =1

4𝑈𝑇 =

1

4(12.5𝜇𝐽) = 3.12𝜇𝐽



La figura muestra a dos espiras de alambre de

una sola vuelta que tienen el mismo eje. La

espira pequeña está por encima de la grande a

una distancia 𝑥 que es grande, comparada con el

radio de la espira mayor 𝑅. Por lo tanto con la

corriente 𝐼 indicada en la espira grande, el

campo magnético producido por ésta es

prácticamente constante en la región delimitada

por la superficie de la espira pequeña.

a) Calcule el campo magnético producido por la espira grande a una distancia “x”

de su centro, sobre el eje “x”.

b) Calcule el flujo magnético a través de la espira pequeña.

c) Considérese que la espira pequeña, se mueve con velocidad constante 𝑣 en

sentido del eje de “x” positivo. Calcule la fem inducida en la espira pequeña.

d) En relación con el inciso anterior, indique la dirección de la corriente inducida

en la espira pequeña.

Solución

a) Utilizando la Ley de Biot-Savart, calcularemos el campo producido por la espira

grande en un punto ubicado a una distancia “x” de su centro:

𝑑�⃗� =𝜇04𝜋

𝐼𝑑𝑙 × �̂�

𝑟2


En la figura se observa que al tomar un diferencial de espira de longitud 𝑑𝑠, que

transporta una corriente 𝐼, produce un diferencial de campo magnético 𝑑𝐵, y por la

simetría la componente resultante del campo solamente tiene componentes en el eje

“𝑥” dado por:

𝑑𝐵 =𝜇04𝜋

𝐼𝑑𝑠 sin 𝜃

𝑟2

En donde, 𝑟 es la distancia del diferencial de espira al punto donde se quiere calcular

el campo magnético

𝑟 = √𝑅2 + 𝑥2𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜑 y sin 𝜃 =𝑅

𝑟=

𝑅

√𝑅2+𝑥2;

por lo que:

𝑑𝐵 =𝜇04𝜋

𝐼𝑅𝑑𝜑 sin 𝜃

𝑟2=

𝜇04𝜋

𝐼𝑅2𝑑𝜑

(𝑅2 + 𝑥2)3

2

Entonces el campo magnético resultante a una distancia “x”, es:

�⃗� = ∫𝜇04𝜋

𝐼𝑅2𝑑𝜑

(𝑅2 + 𝑥2)3

2

2𝜋

0

=𝜇0𝐼𝑅

2

2(𝑅2 + 𝑥2)3

2

𝑖̂

Si se considera que la distancia 𝑥 es grande comparada con 𝑅, entonces:

�⃗� =𝜇0𝐼𝑅

2

2𝑥3𝑖̂

b) Por lo que se indica en el problema el campo magnético a una distancia x es

prácticamente el mismo en la región delimitada por la superficie de la espira pequeña,

por lo tanto el flujo magnético es:

𝜙𝐵 = �⃗� ∙ 𝐴 = 𝐵𝐴 cos 0° = 𝐵𝐴 =𝜇0𝐼𝑅

2

2𝑥3∗ 𝜋𝑎2

c) La fem inducida en la espira pequeña cuando ésta se mueve con velocidad constante

en dirección del eje “x” positivo es:

𝜀𝑖𝑛𝑑 = −𝑁𝑑𝜙𝐵

𝑑𝑡= −(−

3𝜇0𝜋𝑎2𝐼𝑅2

2𝑥4𝑑𝑥

𝑑𝑡) =

3𝜇0𝜋𝑎2𝐼𝑅2

2𝑥4𝑣

d) E l sentido de la corriente inducida es en sentido contrario a las manecillas del reloj.



Si se selecciona una unión PN entre dos mitades de una barra semiconductora, que se

extiende en la dirección 𝑥. Se supondrá que la región para 𝑥 < 0 impurezas que la

hacen tipo P y que la región para 𝑥 ≥ 0 es de tipo N. El grado o concentración de

impurezas es idéntico en cada lado de la unión.

Si la distribución de carga se define como:

𝜌𝑣 = 2𝜌𝑣𝑜 sech (𝑥

𝑎) tanh (

𝑥

𝑎)

Donde la carga máxima 𝜌𝑣,max = 𝜌𝑣𝑜

A medida que 𝑥 → ±∞ el Campo eléctrico se aproxima a cero y el potencial cero en el

centro de la unión 𝑥 = 0. La ecuación que gobierna el comportamiento del potencial

cuando se conoce la distribución de carga es la ecuación de Poisson, la cual está dada

por:

∇2𝑉 =𝑑2𝑉

𝑑𝑥2+𝑑2𝑉

𝑑𝑦2+𝑑2𝑉

𝑑𝑧2= −

𝜌𝑣𝜖

El caso que se plantea es en una dimensión, por lo que la solución está dada por 𝑉(𝑥). Calcular:

a) El Campo Eléctrico y

b) El Potencial Eléctrico para la unión PN, con la densidad de carga dada.

Solución

a) Calculo del Campo Eléctrico.

Sujeta a la distribución de carga 𝜌𝑣

𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= −

2𝜌𝑣𝑜𝜖

sech (𝑥

𝑎) tanh (

𝑥

𝑎)

Integrando una vez se tiene

𝑑𝑉

𝑑𝑥=2𝜌𝑣𝑜𝑎

𝜖sech (

𝑥

𝑎) + 𝐶

Ahora se obtiene la intensidad de campo eléctrico

𝐸𝑥 = −𝑑𝑉

𝑑𝑥= −

2𝜌𝑣𝑜𝑎

𝜖sech (

𝑥

𝑎) + 𝐶

Aplicando condiciones iniciales para determinar la constante, que en este caso

es 𝐶 = 0


𝐸𝑥 = −2𝜌𝑣𝑜𝑎

𝜖sech (

𝑥

𝑎)

b) Calculo del Potencial Eléctrico para la unión PN

Integrando nuevamente,

𝑉 =4𝜌𝑣𝑜𝑎

2

𝜖tan−1 𝑒(

𝑥

𝑎) + 𝐶

Aplicando condiciones iniciales,

0 =4𝜌𝑣𝑜𝑎

2

𝜖

𝜋

4+ 𝐶

Y finalmente se tiene que:

𝑉 =4𝜌𝑣𝑜𝑎

2

𝜖(tan−1 𝑒(

𝑥

𝑎) −

𝜋

4)


4.3 QUÍMICA

DECIMOTERCERA

OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación, se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de

conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo

de la prueba es de 120 minutos.

PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)

Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte

de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. De los siguientes, ¿Cuál es una propiedad extensiva?

a. Densidad

b. Temperatura

c. Temperatura de fusión

d. Masa

e. Temperatura de ebullición

2. Un objeto se hunde en un líquido si la densidad del objeto es mayor a la del

líquido. Si la masa de una esfera es de 9,83 g, la esfera se hundirá en una muestra

de mercurio (densidad del mercurio en su tabla periódica) cuando el volumen de

esta esfera es menor de _____ 𝑐𝑚3

a. 0,725

b. 1,380

c. 134,0

d. 7,480

e. 72,34


3. El número atómico indica:

a. El número de neutrones en el núcleo

b. El número total de neutrones y protones en el núcleo

c. El número de protones o electrones en el átomo neutral

d. El número de átomos en 1 g de un elemento

e. El número de los diferentes isótopos de un elemento

4. En el isótopo 197𝐴𝑢 hay ___ protones, _____ neutrones y _____ electrones.

a. 197; 79; 118

b. 118; 79; 39

c. 79; 197; 197

d. 79; 118; 118

e. 79; 118; 79

5. Según la tabla periódica, la opción correcta es:

a. La electronegatividad aumenta en un período de derecha a izquierda

b. El radio atómico disminuye de arriba hacia abajo en un grupo por el

incremento de los niveles de energía

c. La electronegatividad disminuye en un grupo de abajo hacia arriba

d. La energía de ionización disminuye al descender por un grupo

e. El carácter metálico disminuye de derecha a izquierda

6. Una de las siguientes opciones la posee un elemento del período 3:

a. 8 electrones y 3 niveles de energía

b. 10 neutrones, 10 protones y 3 electrones de valencia

c. 3 niveles de energía y 6 electrones de valencia

d. 5 niveles de energía y 3 electrones de valencia

e. 3 protones y 6 niveles de energía

7. La configuración electrónica de un elemento que termina en 𝑠2𝑝6, corresponde al

siguiente grupo:

a. Halógenos

b. Gases nobles

c. Calcógenos

d. Metales alcalinos

e. Metales alcalinotérreos

8. ¿Cuál es la composición del átomo que presenta la siguiente notación 2760𝐶𝑜?

a. 33 protones, 33 electrones y 27 neutrones

b. 60 protones, 60 electrones y 27 neutrones

c. 27 protones, 27 electrones y 60 neutrones

d. 60 protones, 27 electrones y 87 neutrones

e. 27 protones, 27 electrones y 33 neutrones


9. El nombre del compuesto 𝑀𝑔3𝑁2 es:

a. Nitrato de magnesio

b. Nitruro de magnesio

c. Magnesio (II) de nitrógeno (III)

d. Nitrito de magnesio

e. Magnesio (III) de nitrógeno (II)

10. La fórmula del cloruro áurico es:

a. 𝐴𝑢3𝐶𝑙3

b. 𝐴𝑢𝐶𝑙

c. 𝐴𝑢𝐶𝑙2

d. AuC𝒍𝟑

e. 𝐴𝑢2𝐶𝑙2

11. El nombre del compuesto 𝑁𝑎2𝐶𝑟2𝑂7 es:

a. Dicromato de sodio (I)

b. Hipercromato de sodio

c. Dicromato de sodio

d. Cromato de sodio

e. Cromato (II) de sodio (I)

12. La fórmula del fosfito ferroso es:

a. 𝑭𝒆𝟑(𝑷𝑶𝟑)𝟐

b. 𝐹𝑒 (𝑃𝑂4)2

c. 𝐹𝑒 (𝑃𝑂3)

d. 𝐹𝑒2(𝑃𝑂4)3

e. 𝐹𝑒2(𝑃𝑂3)3

13. En el enlace covalente no se observa la siguiente característica:

a. Se comparten electrones

b. Se forman cationes y aniones

c. Se da en sustancias covalentes

d. La diferencia de electronegatividad entre los átomos que lo forman es de

1,7

e. La diferencia de electronegatividad entre los átomos que lo forman es

mayor a 1,7

14. La diferencia de electronegatividad entre el átomo de fósforo y el de cloro es de 0,9,

lo cual indica que el enlace entre ambos es:

a. Iónico

b. Metálico

c. Covalente polar

d. Covalente no polar

e. Covalente apolar


15. Es la cantidad de producto que, según los cálculos, se forma cuando reacciona todo

el reactivo limitante:

a. Rendimiento teórico

b. Rendimiento porcentual

c. Rendimiento real

d. Rendimiento en exceso

e. Rendimiento limitante

16. Un electrolito débil existe predominantemente como ___ en la solución.

a. Átomos

b. Iones

c. Moléculas

d. Electrones

e. Isótopos

17. Un gas desconocido 𝑋2 tiene una masa de 4 g y hace la misma presión, en el mismo

recipiente y a la misma temperatura que 64 g de 𝑂2 ¿Quién es X?

a. Cl

b. Ne

c. H

d. O

e. Ninguna es correcta

18. Imagine un cilindro rígido el cual contiene vapor de agua, el cilindro se enfría y el

vapor condensa. ¿Qué pasa con la presión dentro del cilindro?

a. Aumenta ya que el agua líquida ejerce una mayor fuerza en la superficie

b. Aumenta ya que el volumen disminuye y son inversamente

proporcionales

c. Disminuye ya que el volumen ocupado por la fase gaseosa queda

vacío

d. Disminuye ya que se genera un choque térmico dentro del cilindro

e. Ninguna de las anteriores

19. Considere un gas ideal confinado en un recipiente rígido y cerrado, con masa molar

MM (g/mol) ¿Qué tendría que hacer para aumentar la densidad del gas?

a. Aumentar la presión del gas

b. Aumentar la temperatura del gas

c. Disminuir la temperatura del gas

d. a y b son correctas

e. a y c son correctas


20. En un secador la presión del gas de salida es de 25 psi; la temperatura 80°C y el

contenido de humedad es de 85 % n/n. El gas de salida es una mezcla de aire y

vapor de agua. ¿Cuál es la presión parcial del 𝑁2 a la salida? (Suponga que el aire

seco es de 21 % n/n 𝑂2 y el resto de 𝑁2?

a. 25,0 psi

b. 5,25 psi

c. 3,75 psi

d. 2,96 psi

e. Ninguna de las anteriores


SEGUNDA SERIE: (50 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo

de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de

todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y

ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el

temario.

Problema 1 (Ciencia y medición)

Se prepara una solución de etanol (𝐶2𝐻5𝑂𝐻) y agua (𝐻2𝑂) con un porcentaje en masa de

69,75 %, el cambio de volumen por mezclado tuvo un descenso de 2 mL y la masa

obtenida de la solución fue de 85,964 g. Determine la densidad de la solución

preparada y el porcentaje en volumen experimental de la mezcla.

Solución

𝝆 =𝒎𝒔

𝑽𝒔

Donde:

ρ: densidad de la solución

V: volumen experimental de la solución

Del porcentaje en masa de la solución se tiene, para el etanol:

𝑚𝑒𝑡 = 0,6975 𝑚𝑠

y para la masa de agua,

𝑚𝑎 = 0,3025 𝑚𝑠

Para el volumen de la solución:

∆ V= Vexp - Videal

Despejando para el volumen experimental,

V exp = ∆V + Videal

Obteniendo la ecuación del volumen ideal en función de la masa y la densidad se

tiene:

𝑉 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝑉 𝑒𝑡 + 𝑉𝑎


𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝑚𝑒𝑡

𝜌𝑒𝑡+

𝑚𝑎

𝜌𝑎

Sustituyendo las ecuaciones de volumen y masa en la ecuación de densidad;

𝜌 =𝑚𝑠

∆𝑉 + 𝑉 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

𝜌 =𝑚𝑠

∆𝑉 + 𝑚𝑒𝑡

𝜌𝑒𝑡+

𝑚𝑎

𝜌𝑎

Sustituyendo los datos:

masa de la solución ; ms=85.964 g

𝜌 =85,964 𝑔

−2𝑚𝐿 + 0,6975∗85,964𝑔

0,789 𝑔/𝑚𝐿+

0,3025∗85,964 𝑔

1,00 𝑔/𝑚𝐿

𝜌 = 0,8596 𝑔/𝑚𝐿

Determinando el porcentaje en volumen:

- Volumen de la solución:

0,8596 =𝑚𝑠

𝑉𝑠

𝑉𝑠 =𝑚𝑠

𝜌𝑠

𝑉𝑠 =85,964 𝑔

0,8596𝑔

𝑚𝐿

𝑉𝑠 = 99,99 𝑚𝐿

- Porcentaje en volumen:

%𝑉

𝑉=

𝑉𝑒𝑡

𝑉𝑠∗ 100

%𝑉

𝑉=

𝑚𝑒𝑡

𝜌𝑒𝑡

𝑉𝑠∗ 100


%𝑉

𝑉=

0,6975∗85,964 𝑔

0,789 𝑔

𝑚𝐿

99,99 𝑚𝐿∗ 100

%𝑉

𝑉= 75,99 % ≈ 76,00%

Respuesta: La densidad de la solución es de 0,8596 g/mL y el porcentaje en volumen es

de 76 %.


Problema 2 (Teoría Atómica)

El litio posee dos isótopos estables, Li-6 y Li-7, con masa de 6,01512 uma y 7,01600

uma, respectivamente. La masa atómica promedio del litio es 6,941 uma. ¿Cuál es el

porcentaje de abundancia de cada isótopo?

Solución

6,01512 𝑢𝑚𝑎 ∗ (𝑥) + 7,01600 𝑢𝑚𝑎 ∗ (1 − 𝑥) = 6,941 𝑢𝑚𝑎

6,01512𝑥 + 7,01600 − 7,01600𝑥 = 6,941

𝑥 = 0,07493

Respuesta:

El porcentaje de abundancia de Li-6 es de 7,493 % y el de Li-7 es de 92,507 %


Problema 3 (Enlace químico)

Para el perreniato de sodio:

a. Realice la estructura de Lewis del compuesto

b. Determine la carga formal del átomo central

c. Describa los tipos de enlace que posee la estructura

Solución

a) Realice la estructura de Lewis del compuesto.

1. Aplicando reglas de nomenclatura se obtiene que la fórmula química del

perreniato de sodio es: NaReO4

2. Realizar el diagrama de los puntos de Lewis para cada elemento utilizando los

electrones de valencia.

3. Determinar el número de oxidación del átomo central.

NaReO4

1(1) + 1(x) + 4(-2) =0

x=7

El número de oxidación del Renio es de 7, por lo cual debe de dar sus 7 electrones

de valencia para formar la estructura.

4. Realizar la estructura de Lewis

b) Determine la carga formal del átomo central

𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑒− 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 − # 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒𝑠 − 𝑒− 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠


𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑅𝑒 = 7 − 6 − 0

𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑅𝑒 = 1

c) Describa los tipos de enlace que posee la estructura

2 enlaces covalentes dobles

1 enlace covalente simple

1 enlace covalente coordinado

1 enlace iónico


Problema 4 (Estequiometría)

Se llevó a cabo en un laboratorio experimental una reacción entre cal hidratada sólida

y 120 g de ácido clorhídrico al 40 % con una densidad de 1,1977 g/mL.

a. Escriba la reacción química balanceada

b. Calcular la cantidad de cloruro de calcio obtenida

c. ¿Cuántos mililitros de HCl al 40 % habría que usar para obtener 50 g de agua?

d. ¿Cuál es el porcentaje de rendimiento, si se obtuvo 100 g de cloruro de calcio en

una experimentación realizada?

Solución

a) Reacción Química Balanceada:

2HCl + Ca(OH)2 CaCl2 + 2 H2O

b) Calcular la cantidad de cloruro de calcio obtenida.

120 𝑔 𝐻𝐶𝑙 40 𝑔 𝐻𝑐𝑙 𝑝𝑢𝑟𝑜

100 𝑔 𝑠𝑙𝑛 𝐻𝐶𝑙 ∗

1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙

36,5 𝑔 𝐻𝐶𝑙 ∗

1 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂

1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙∗

111 𝑔 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂

1 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂ = 145,97 g CaCl2

c) Calcular los mililitros de HCl que habría que usar para obtener 50g de agua.

50 𝑔 𝐻₂𝑂 ∗1 𝑚𝑜𝑙 𝐻₂𝑂

18,02 𝑔 𝐻₂𝑂 ∗

2 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙

2 𝑚𝑜𝑙 𝐻₂𝑂∗

36,5 𝑔 𝐻𝐶𝑙𝑝𝑢𝑟𝑜

1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙∗100 𝑔 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 40%

40 𝑔 𝐻𝐶𝑙 𝑝𝑢𝑟𝑜 *

1𝑚𝑙

1,1977 𝑔 𝐻𝐶𝑙 40% =

211, 4 mL HCl

d) Cuál es el porcentaje de rendimiento, si se obtuvo 100 g de cloruro de calcio en

una experimentación realizada.

% Rendimiento = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 ∗ 100

% Rendimiento = 100 𝑔

145,97 𝑔 ∗ 100 = 68,5%


Problema 5 (Gases)

Una forma de vida extraterrestre, completamente diferente a la nuestra, se encuentra

interesada en estudiar la vida terrícola, es por esto que le secuestran para estudiarlo.

Lo colocan en una esfera de alta tecnología, donde la presión y temperatura son

constantes (1 atm y 20 °C), la esfera tiene un radio de 10 m, el 70 % del volumen de la

esfera es ocupado por una fase gaseosa, el 20 % es agua y el 10 % es tierra. Después de

un tiempo determinado usted muere por falta de oxígeno, la producción de 𝐶𝑂2 por

persona es de 565,36 g/día y la reacción química en la respiración es la siguiente: 𝐶6𝐻12𝑂6 + 6𝑂2 → 6𝐶𝑂2 + 6𝐻2𝑂

Determine el tiempo, en años, en que moriría. (Considere la presión de vapor de agua

a esta temperatura como 17,546 mmHg, la composición del aire seco como 79 % n/n de

𝑁2y el resto de 𝑂2)

Solución

𝑉 = 4/3 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟3 = 4/3 ∗ 𝜋 ∗ (10𝑚)3 = 4 188,79 𝑚3

𝑉𝑔𝑎𝑠𝑒𝑜𝑠𝑜 = 0,7 ∗ 𝑉 = 0,7 ∗ 4 188,79 𝑚3 = 2 932,12 𝑚3 = 2 932 153,14 𝐿

P = 1 atm

T= 20 °C = 293,15 K

𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑃 ∗ 𝑉/𝑅 ∗ 𝑇 = 1 𝑎𝑡𝑚 ∗ 2 932 153,14 𝐿 / (0,08206 (𝐿 ∗ 𝑎𝑡𝑚/ 𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾) ∗ 293,15 𝐾)

𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙

𝑃𝑣𝑎𝑝 = 17,546 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 0,023 𝑎𝑡𝑚

𝑃𝑣𝑎𝑝 = 𝜒𝑣𝑎𝑝 ∗ 𝑃

𝜒𝑣𝑎𝑝 = 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃

𝜂𝑣𝑎𝑝/𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃

𝜂𝑣𝑎𝑝 = 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 ∗ 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃

𝜂𝑣𝑎𝑝 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙 ∗ 0,023 𝑎𝑡𝑚/ 1 𝑎𝑡𝑚 = 2 803,45 𝑚𝑜𝑙 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟

𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝜂𝑣𝑎𝑝


𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 − 𝜂𝑣𝑎𝑝 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙 − 2 803,45 𝑚𝑜𝑙 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 = 119 085,75 𝑚𝑜𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒

Como la reacción química es equimolar entre el 𝑂2 y el 𝐶𝑂2, entonces:

𝜂𝑂2 = 𝜂𝐶𝑂2

De esta forma se calcula los moles máximo que se pueden producir partiendo de la

cantidad de oxígeno disponible

𝜂𝑂2 = 0,21 ∗ 𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0,21 ∗ 119 085,75 𝑚𝑜𝑙 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝑂2 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2

565,36 𝑔𝐶𝑂2/𝑑í𝑎 ∗ 1𝑚𝑜𝑙𝐶𝑂2/44,01 𝑔𝐶𝑂2 = 12,85 𝑚𝑜𝑙𝐶𝑂2/𝑑í𝑎

#𝑑í𝑎𝑠 = 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/12,85 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/𝑑í𝑎

= 1 946,73 𝑑í𝑎

1 946,73 𝑑í𝑎 ∗ 1 𝑎ñ𝑜/365 𝑑í𝑎 =5,33 año


DECIMOTERCERA

OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de

conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo

de la prueba es de 120 minutos.

PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)

Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte

de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. ¿ Si una solución de etanol-agua tiene 90 % v/v, se puede decir que:

a. Hay 90 unidades de volumen de etanol en 100 mL de agua

b. Hay 100 unidades de volumen de solución en 90 unidades de volumen

de etanol

c. Hay 10 unidades de volumen de etanol por 90 unidades de volumen de agua

d. Hay 10 unidades de volumen de agua por cada 90 unidades de volumen de

etanol

e. Ninguna es de las anteriores es correcta

2. Se tiene una solución de hidróxido de potasio 14,8 M ¿Cuántos mL de esta solución

se deben de diluir para preparar 1 L de hidróxido de potasio a 0,250 M?

a. 8,45 mL

b. 16,9 mL

c. 3,7 mL

d. 0,0037 L

e. 250 mL

3. ¿Cuál será la molaridad de una solución 6 N de ácido fosfórico?

a. 6 M

b. 18 M

c. 2 M

d. 3 M

e. 1,5 M


4. ¿Cuál de las siguientes disoluciones de permanganato de potasio es la más

concentrada?

a. 0,011 M

b. 50 g/L

c. 0,5 mol en 750 mL de disolución

d. 250 ppm

e. Ninguna de las anteriores es correcta

5. Indique la fracción de un átomo en cada esquina de una celda cúbica centrada en

la cara

a. 1

b. ½

c. ¼

d. ⅛

e. 1/16

6. Indique la fracción de un átomo en cada cara de una celda cúbica centrada en la

cara

a. 1

b. ½

c. ¼

d. ⅛

e. 1/16

7. De los siguientes, indique ¿Cuál no es un tipo de sólido?

a. Iónico

b. Molecular

c. Supercrítico

d. Metálico

e. De red covalente

8. ¿Cuál es el número mínimo de átomos que pueden estar contenidos en la celda

unitaria de un elemento con una red cúbica centrada en el cuerpo?

a. 4

b. 1

c. 6

d. 2

e. 3


9. Para predecir hacia donde se desplaza el equilibrio al provocar una alteración en el

mismo, usamos el principio de:

a. Incertidumbre de Heisenberg

b. Exclusión de Pauli

c. Máxima multiplicidad de Hund

d. Le Chatelier

e. Acción de masas

10. Uno de los siguientes factores afecta la velocidad de la reacción pero no el

equilibrio

a. Concentración de los reactivos

b. Temperatura

c. Catalizadores

d. Keq = 1

e. Formación de gases

11. Para el siguiente sistema en equilibrio, se afirma: 𝐶𝑠 + 𝐻2𝑂 + 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 ↔ 𝐶𝑂𝑔 + 𝐻2𝑔

a. Corresponde a un equilibrio homogéneo

b. La Keq es dependiente de la concentración de Carbono

c. Corresponde a una reacción exotérmica

d. Si el sistema se enfría aumenta [ CO ]

e. Una disminución en la presión desplaza el equilibrio hacia la

derecha

12. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es correcta?

a. Si se incrementa al doble la concentración de un reactivo, la Keq incrementa

al doble

b. Si Keq > 1 el equilibrio está desplazado a la derecha

c. La disminución de la concentración de productos respecto al tiempo es una

medida de la velocidad de reacción

d. Los catalíticos elevan la energía de activación de una reacción

e. Una colisión requiere energía suficiente aunque la orientación no se la

adecuada

13. Se define como el estudio de la energía, sus formas y transformaciones, así como

sus interacciones con la materia

a. Termodinámica

b. Energía

c. Calor

d. Trabajo

e. Entropía


14. ¿Cuál es la ley que segura que los sistemas A y B están a la misma temperatura

cuando se coloca un termómetro u otro sensor de temperatura en equilibrio térmico

con un cuerpo o sistema A, y en forma similar se coloca un sensor en equilibrio

térmico con el sistema B, y ambos sensores leen la misma temperatura?

a. Primera Ley de la termodinámica

b. Segunda Ley de la Termodinámica

c. Ley cero

d. Ley de conservación de la masa

e. Equilibrio térmico

15. Es la energía transferida a través de las fronteras de un sistema en forma

organizada y cuyo uso exclusivo sea la elevación de un peso. Esta definición

incluye a las que se emplean en mecánica, por ejemplo, es la fuerza de actúa a lo

largo de cierta distancia. En términos matemáticos, la cantidad de trabajo

resultante ϐW por el movimiento a lo largo de una distancia diferencial dS, donde

el punto central lleno representa al producto punto F*dS. El trabajo realizado en

una trayectoria finita entre los puntos S1 y S2. Donde F es la fuerza externa de los

alrededores sobre el sistema en la dirección S en que ocurre el movimiento.

a. Termodinámica

b. Energía

c. Calor

d. Trabajo


16. Es la ley que se enuncia como el balance de energía o cambio en la energía total.

Puede ser cinética, potencial e interna. Es igual al trabajo realizado en la masa de

control más el calor transferido a dicha masa. Matemáticamente se puede expresar

como la convención de signos que indica que toda la energía transferida hacia el

sistema es positiva. No hay referencia a ninguna trayectoria en particular. Por lo

tanto, el cambio de la energía de la masa de control entre el estado 1 y el estado 2,

es igual al calor transferido a la masa de control siguiente cualquier trayectoria,

más el trabajo realizado sobre dicha masa, a lo largo de cualquier trayectoria.

a. Primera Ley de la Termodinámica

b. Segunda Ley de la Termodinámica

c. Ley cero

d. Ley de la conservación de la masa

e. Equilibrio térmico

17. En la reacción de óxido - reducción: 𝐶𝑟𝑎𝑐3+ + 𝐶𝑙𝑎𝑐

− → 𝐶𝑟𝑠 + 𝐶𝑙2𝑔

a. Se oxida primero el cromo

b. Se oxida primero el cloro

c. Se reduce primero el cromo

d. Se reduce primero el cloro

e. La oxidación y la reducción se realizan a la vez


18. Se sabe que la reacción global de un proceso es: 𝐹𝑒𝑎𝑐3+ + 𝐼𝑎𝑐

− → 𝐹𝑒𝑎𝑐2+ + 𝐼2𝑠 La reacción

balanceada que ocurre en el cátodo:

a. 2𝐼− → 𝐼2𝑠 + 2𝑒−

b. 𝟐𝑭𝒆𝒂𝒄𝟑+ + 𝟔𝒆− → 𝟑𝑭𝒆𝒂𝒄

𝟐+

c. 𝐹𝑒𝑎𝑐3+ + 1𝑒− → 𝐹𝑒𝑎𝑐

2+

d. 6𝐼− → 3𝐼2𝑠 + 6𝑒−


19. Se sabe que la reacción global para obtener cloruro de aluminio es: 𝐴𝑙𝑠 + 3𝐶𝑙2𝑔 →

2𝐴𝑙𝐶𝑙3𝑔 La reacción que se lleva a cabo en el ánodo es:

a. 3𝐶𝑙2𝑔 + 6𝑒− → 6𝐶𝑙−

b. 𝟐𝑨𝒍𝒔 → 𝟐𝑨𝒍𝟑+ + 𝟔𝒆−

c. Ninguna de las anteriores

20. Para la reacción 𝐴𝑙𝑠 + 3𝐶𝑙2𝑔 → 2 𝐴𝑙𝐶𝑙3𝑠 el cambio neto de electrones es:

a. 6

b. 3

c. 1

d. 0



Segunda Serie (50 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo

de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de

todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y

ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el

temario.

Problema 1 (Soluciones)

En un planta embotelladora de bebidas, el departamento de investigación se

encuentra desarrollando un producto nuevo. Para ello se requiere preparar una

solución de concentrado de naranja-agua que tenga una densidad de 1,0412 g/mL. Si

se agregan 510 mL de agua, determine el % v/v y % m/m de la solución, si el

concentrado de naranja tiene una densidad de 1,210 g/mL.

Solución

Para dar solución al problema, se utilizará la siguiente nomenclatura:

Sln = Solución A = Concentrado de naranja B = Agua

𝜌𝑠𝑙𝑛 =𝑚𝑠𝑙𝑛

𝑉𝑠𝑙𝑛=𝑚𝐴 +𝑚𝐵

𝑉𝐴 + 𝑉𝐵=𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵𝑉𝐴 + 𝑉𝐵

De la ecuación anterior se procede a despejar 𝑉𝐴

𝜌𝑠𝑙𝑛 =𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵𝑉𝐴 + 𝑉𝐵

𝜌𝑠𝑙𝑛(𝑉𝐴 + 𝑉𝐵) = 𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵

𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 + 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵 = 𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵

𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 − 𝜌𝐴𝑉𝐴 = 𝜌𝐵𝑉𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵

𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 − 𝜌𝐴𝑉𝐴 = 𝜌𝐵𝑉𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵

𝑉𝐴(𝜌𝑠𝑙𝑛 − 𝜌𝐴) = 𝑉𝐵(𝜌𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛)

𝑉𝐴 =𝑉𝐵(𝜌𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛)

(𝜌𝑠𝑙𝑛 − 𝜌𝐴)

Sustituyendo datos en la ecuación despejada

𝑉𝐴 =510𝑚𝐿(1

𝑔

𝑚𝐿− 1.0412

𝑔

𝑚𝐿)

1.0412𝑔

𝑚𝐿− 1.210 𝑔/𝑚𝐿


𝑉𝐴 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 = 124.48 𝑚𝐿

𝑉𝐵 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 510 𝑚𝐿

Determinar el %𝑣

𝑣 de la solución

%𝑣

𝑣=𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑙𝑛∗ 100

%𝑣

𝑣=

124.48 𝑚𝐿

124.48𝑚𝐿 + 510𝑚𝐿∗ 100

19.62 %𝑣/𝑣

Determinar el %m/m de la solución

𝜌𝐴 =𝑚𝐴

𝑉𝐴

𝑚𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝜌𝐴

𝑚𝐴 = (124.48 𝑚𝐿)(1.210𝑔

𝑚𝐿)

𝑚𝐴 = 150.62 𝑔

𝜌𝐵 =𝑚𝐵

𝑉𝐵

𝑚𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝜌𝐵

𝑚𝐴 = (510 𝑚𝐿)(1.00𝑔

𝑚𝐿)

𝑚𝐴 = 510 𝑔

%𝑚

𝑚=𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑙𝑛∗ 100

%𝑚

𝑚=

150.62 𝑔

150.62 𝑔 + 510 𝑔∗ 100

22.80 %𝑚/𝑚


Problema 2 (Sólidos)

El iridio cristaliza en una celda unitaria centrada en las caras que tiene una longitud

de arista de 3,833 Angstrom.

a. Calcule el radio atómico de un átomo de iridio

b. Calcule la densidad del metal de iridio

Solución

(a) 4 r = √2 (a) → r = (√2 x 3.833 A) /(4) = 1.3552 Angstroms =

1.355 Angstroms

(b) Densidad = ((4 átom. Ir) / (3.833 x 10-8 cm)3 ) x (192.22 g Ir/6.02 x 1023atom.)

Densidad = 22.67 g/cm3

Problema 3 (Equilibrio químico)

El valor de la Keq de la siguiente reacción es 0,64

𝐻2𝑔 + 𝐼2𝑔 ↔ 𝐻𝐼𝑔

Calcule el valor de la Keq de la reacción de descomposición del yoduro de hidrógeno.

Solución

2HI (g) H2(g) + I2 (g)

Keq= [H2 ] * [I2 ] / [HI]2

Keq= [HI]2 / [H2 ] * [I2 ] = 0.64

Keq= [H2 ] * [I2 ] / [HI]2 = 1/ 0.64 = 1.56


Problema 4 (Termodinámica)

Tres moles de un gas ideal monoatómico, contenido en un recipiente. Realiza una

compresión isotérmica, desde 5 L hasta 1,5 L, manteniendo la temperatura constante e

igual a 450 K.

a. Calcular el trabajo realizado, si el proceso es reversible

b. Si el proceso es irreversible con una presión externa de 51,2 atm

Solución

a. Si W = − ∫𝑉1

𝑣2𝑃 𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉

En esta ecuación hemos cambiado los límites de integración para hacer énfasis que es

una compresión de 5L a 1.5L. Como el proceso es reversible Pext = Pgas. Por lo

tanto:

𝑊 = − ∫𝑉1

𝑣2

𝑛 𝑅 𝑇

𝑉𝑑𝑉 = −𝑛 𝑅𝑇 ∫

𝑉1

𝑣2

𝑑𝑉

𝑉 = −𝑛 𝑅𝑇 𝑙𝑛 𝑙𝑛

𝑉1

𝑉 2

W = - (3 moles) ( 8.31451 𝐽

𝐾 𝑚𝑜𝑙) (450 K) ln (

1.5𝐿

5 𝐿)

W = + 13,514.099 J

W = + 13.514 kJ

El trabajo de expansión reversible y el trabajo de compresión reversible tienen la

misma magnitud pero de signo contrario. El signo del trabajo indica quién hizo el

trabajo: El sistema en el caso de la expansión, o los alrededores en el caso de la

compresión.

b. Si el proceso es irreversible, Pext = constante, entonces:

W = − ∫ P 𝑉1

𝑣2 𝑑𝑉 = −Pext (V1 – V2)

W = −(51.2 atm) ( 1.01325 𝑋 105

1 𝑎𝑡𝑚 ) ( 1.5L − 5L) (

1𝑚3

103𝐿) = + 18,157.44 J

W = + 18.574 kJ

El trabajo de compresión irreversible es mucho mayor que el trabajo de comprensión

reversible.


Problema 5 (Electroquímica)

Se prepara una solución de cloruro de sodio y se arma una celda electrolítica. Se

colocan en la solución los electrodos que están conectados a una fuente que

proporciona una corriente de 0,8 A. La reacción global es la siguiente: 2𝑁𝑎𝐶𝑙𝑠 + 𝐻2𝑂𝑙 → 𝐶𝑙2𝑔 + 𝐻2𝑔 + 2𝑁𝑎𝑂𝐻𝑎𝑐

a. Escriba la reacción que ocurre en el cátodo

b. Escriba la reacción que ocurre en el ánodo

c. Describe la masa en gramos de hidróxido de sodio obtenido al conectar la fuente

externa durante 45 minutos

Solución

a. Reacción ocurrida en el cátodo → reducción ( gana é)

2 H+ + 2é → H2(g)

b. Reacción ocurrida en el ánodo → oxidación ( pierde é)

2 Cl - → Cl2(g) + 2 é

c.

45 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛∗ 0.8 𝐶

𝑠∗

1 é

1.6022𝑥10−19 𝐶∗

1 𝑚𝑜𝑙 é

6.022𝑥1023 é∗2 𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝑂𝐻

2 𝑚𝑜𝑙 é∗40.00 𝑔 𝑁𝑎𝑂𝐻

1 𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝑂𝐻

= 0.8954 𝑔 𝑁𝑎𝑂𝐻


4.4 BIOLOGÍA

DECIMOTERCERA

OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cuatro series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o

negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder

es de 100 minutos.

PRIMERA SERIE: COMPLETACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Total 30 puntos).

Instrucciones: Responda las siguientes preguntas. En algunos casos debe completar

los espacios en blanco, en otros casos debe resolver problemas de genética.

1. ¿Qué es una hipótesis? (1 p.)

________________________________________________________________________________

2. Una buena hipótesis presenta las siguientes características: (3 p.)

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

3. En un breve párrafo, en el recuadro, explique el proceso que ocurre en la figura

siguiente: (2 p.)

Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

________________________________________

_


4. Los eritrocitos colocados en cloruro de sodio al 0.9% no se contraen ni se hinchan.

¿Qué les sucede si se colocan en una disolución de cloruro de sodio al 1.3%? (1 p.)

____________________________________________________

5. En las reacciones redox de la respiración celular, la glucosa se ___________ y el

oxígeno se ___________. (2 p.)

6. Observe la siguiente figura y responda en los espacios en blanco lo que se le solicita.

(2 p.)


a) Nombre de la molécula: _____________________________

b) Función: __________________________________________

7. ¿En qué etapa de la mitosis se encuentra la siguiente célula? (1 p.)


En la fase llamada: ____________________


8. El mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin

consiste de observaciones en cuatro aspectos del mundo natural. ¿Cuáles son estos

cuatro aspectos? (4 p.)

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

9. Para la evolución química de la vida debieron existir cuatro requisitos. ¿Cuáles son

éstos? (2 p.)

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

10. Compare la figura (a) con la figura (b) y responda lo siguiente: (3 p.)

¿Qué sucede en la figura (b)?

____________________________________________________________________________

¿Cómo se denomina este suceso? ________________________________________________

¿Qué le ocurre al polipéptido que se forma? _______________________________________


(b)


11. Las formas del mango pueden ser larga (FLFL), redonda (FRFR) u oval (FLFR). Si se

cruzan solamente mangos ovales ¿qué proporción fenotípica se espera en la F1? Deje

constancia de su procedimiento. (3 p.)

Proporción fenotípica: ___________________________________

12. Si ambos progenitores son Mm, ¿cuál es la probabilidad de que produzcan un

descendiente que sea mm? (1 p.)

Probabilidad: _______________

13. Si 84% de las plantas de guisante de jardín de una población en equilibrio genético

son altas (TT o Tt), ¿cuál es la frecuencia del alelo dominante (T)? ¿Cuál es la

frecuencia de los heterocigotos? Deje constancia de su procedimiento. (2 p.)

_________

_________

14. Subraye la secuencia correcta de la interfase y de la fase M en el ciclo celular

eucariota: (1 p.)

a) S – G1- G2 – interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

b) G1- G2 –S -interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

c) G1- G2 –S – mitosis- profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

d) G1- S - G2 – profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis


15. El código genético se define como una serie de ___________ en el _________________.

Subraye la respuesta correcta. (1 p.)

a) Codones y anticodones/ ARNt

b) Codones /ARNm

c) Anticodones/ARNm

d) Anticodones /ARNr

16. Grupo que contiene un ancestro común y algunos de sus descendientes, mas no

todos. Subraye respuesta correcta.(1 p.)

a) Grupo unifilético

b) Grupo parafilético

c) Grupo polifilético

d) Grupo monofilético

SEGUNDA SERIE: VERDADERO O FALSO (25 puntos)

Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada respuesta correcta tiene un valor de 1 punto.

Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es

verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada

respuesta correcta tiene un valor de 1 punto.

1. Una diferencia entre los procariotas y eucariotas es la ausencia de ribosomas en

células procariotas y abundancia de ribosomas en células eucariotas.

2. En eucariotas, la membrana nuclear está formada por dos membranas concéntricas

que separan el nucleoplasma del citoplasma.

3. El retículo endoplásmico rugoso sintetiza hormonas de la reproducción, a partir del

colesterol, y además, almacena iones de calcio.

4. Los complejos de Golgi de las células vegetales producen polisacáridos extracelulares

que se utilizan como componentes de la pared celular.

5. Las mitocondrias generan otras mitocondrias por crecimiento y subsecuente división.

6. Cada mitocondria de una célula de mamífero tiene de cinco a 10 moléculas idénticas de

ADN circular, lo que representa hasta el 1% del ADN total de la célula.

7. Los centriolos se conocen como estructuras 9 X 5 ya que están formadas por nueve

grupos de cinco microtúbulos unidos, que se organizan formando un cilindro hueco.

8. En los animales, los cilios se encuentran en las superficies de las células que tapizan

los conductos internos del cuerpo, como las vías respiratorias.

9. Una propiedad física importante de las bicapas de fosfolípidos es que se comportan

como cristales líquidos.

10. Entre las funciones de las proteínas de membrana están el anclaje y el transporte

pasivo.


11. En cada ciclo completo de bombeo, de la bomba de sodio-potasio, la energía de una

molécula de ATP se utiliza para exportar dos iones de sodio (Na+ ) e importar tres

iones de potasio (K+).

12. Las proteínas las simportadoras, mueven dos tipos de sustancias en una misma

dirección.

13. En la respiración anaeróbica, una sustancia inorgánica tal como el nitrato o el sulfato

sustituyen al oxígeno molecular como aceptor terminal de electrones.

14. En ausencia de O2, las levaduras realizan la fermentación alcohólica.

15. La membrana interna del cloroplasto encierra una región llena de fluido llamado

matriz, que contiene la mayor parte de las enzimas requeridas para producir

moléculas de carbohidrato.

16. El dióxido de carbono y el agua son las materias primas de la fotosíntesis.

17. La meiosis implica una división nuclear y dos citoplásmicas, generando hasta cuatro

células.

18. El ligamiento es la tendencia de un grupo de genes, en el mismo cromosoma, de ser

heredados juntos en generaciones sucesivas.

19. Las hembras humanas tienen 21 pares de autosomas y dos cromosomas X.

20. Cada nucleótido de ADN consiste en la pentosa desoxirribosa, un fosfato, y cualquiera

de las tres pirimidinas.

21. La evolución se define como la acumulación de cambios genéticos dentro de las

poblaciones a lo largo del tiempo.

22. Cuando el ser humano elige ciertos caracteres en algunas plantas de cultivo, y cruza

sólo a los individuos que muestran los caracteres deseados, está llevando a cabo

selección natural.

23. Las características estructuralmente similares que no son homólogas pero tienen

funciones semejantes que evolucionaron de manera independiente en organismos con

parentesco distante son homoplásticas.

24. El mismo epíteto específico puede usarse como segundo nombre de especies en

diferentes géneros.

25. Un grupo interno es un taxón que se considera se ramificó más temprano que los

taxones motivo de investigación, los grupos externos.

TERCERA SERIE: APAREAMIENTO (25 pts.)

Instrucciones: Coloque el número del término a la par de la letra correspondiente en

la hoja de respuestas. Debe relacionar cada definición con el término correcto. Algunos

términos no aplican. Cada respuesta correcta tiene un valor de 1.25 puntos.

DEFINICIONES

A. Proyecciones pilosas en procariotas, que son utilizadas para adherirse entre sí o a

las superficies celulares de otros organismos.

B. Membrana de la vacuola.

C. Plastidio sin pigmento que almacena almidón en las células y en muchas semillas,


raíces y tubérculos.

D. Densa red de fibras de proteína que proporciona a las células su resistencia

mecánica y su forma; participa en la división celular.

E. Proteínas transmembrana de canal que permiten que diversos solutos o agua pasen

a través de las membranas.

F. Proceso por el cual la célula ingiere partículas grandes de sólidos como alimento o

bacterias.

G. Serie de reacciones en las que la parte acetil del acetil CoA se degrada a CO2; los

átomos de hidrógeno se transfieren a los portadores; se sintetiza ATP.

H. Serie de reacciones en las que la glucosa se degrada a piruvato; con una ganancia

neta de 2 moléculas de ATP; los átomos de hidrógeno se transfieren a los

portadores.

I. Desdoblamiento fotoquímico del agua en las reacciones dependientes de la luz de la

fotosíntesis; en este proceso se libera oxígeno a la atmósfera.

J. Fijación de carbono que ocurre en el estroma mediante una secuencia de

reacciones.

K. Proteínas reguladoras cuya concentración oscila durante el ciclo celular.

L. Proceso durante el cual los cromosomas homólogos apareados intercambian

material genético.

M. Ubicación de un gen particular en el cromosoma.

N. Enzimas que se unen al ADN en el origen de replicación y rompen los enlaces de

hidrógeno, causando la separación de las dos cadenas.

O. Extremos protectores de los cromosomas que consisten en secuencias de ADN

cortas, simples y no codificadoras que se repiten muchas veces.

P. Secuencia de tres bases nucleótidas consecutivas en el ARNm.

Q. Ensambles parecidos a vesículas de polímeros orgánicos producidos abióticamente.

R. Tipo de evidencia fósil que consiste en rocas con forma de columna compuestas de

capas de células procariotas.

S. Cada punto de ramificación, en un cladograma, que representa la divergencia, o

división, de dos o más grupos nuevos de un ancestro común.

T. Caracteres ancestrales compartidos.

TÉRMINOS

1. ciclinas 11. glucólisis 21. porinas

2. ciclo de Calvin 12. helicasas 22. protobiontes

3. ciclo de Krebs 13. intercinesis 23. sinapomorfias

4. citoesqueleto 14. leucoplasto 24. telómeros

5. codón 15. ligasas 25. tonoplasto

6. entrecruzamiento 16. locus


7. estromatolitos 17. nodo

8. fagocitosis 18. pinocitosis

9. fimbrias 19. plásmidos

10. fotólisis 20. plesiomorfias

CUARTA SERIE: TEMA (20 pts.)

Instrucciones En un máximo de dos páginas desarrolle el siguiente tema con los

subtemas correspondientes. Su texto debe tener un orden lógico, debe ser coherente y

su explicación debe ser clara y concisa. Evite las faltas de ortografía y redacción.

Puede utilizar algún dibujo, si lo cree necesario.

Utilice las hojas adicionales que se adjuntan a este temario.

Tema: Evidencias que apoyan la evolución

Subtemas:

a) Registro fósil

b) Biogeografía

c) Anatomía comparada

d) Comparaciones moleculares

e) Biología del desarrollo


DECIMOTERCERA

OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o

negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder

es de 100 minutos.

PRIMERA SERIE: COMPLETACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Total 30 puntos).

Instrucciones: Responda las siguientes preguntas. En algunos casos debe completar

los espacios en blanco, en otros casos debe resolver problemas de genética.

1. Uno de los experimentos previos al descubrimiento del ADN fue el que realizó el

médico inglés Frederick Griffith. Él realizó cuatro experimentos en ratones,

utilizando dos cepas de neumococos. A continuación se brindan detalles de los

experimentos:

I. Inyección de ratones con células rugosas (R) vivas,

II. Inyección de ratones con células lisas (S) vivas,

III Inyección de ratones con células lisas (S) y muertas por calor, y

IV Inyección de ratones tanto con células vivas rugosas (R) como con células lisas

(S) muertas al ser sometidas al calor.

Observe la figura.



Con respecto al experimento anterior, complete lo que se solicita a continuación:

Pregunta de investigación (2 p):

_____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

La hipótesis planteada fue la siguiente:

La capacidad de las bacterias de neumococo para causar una enfermedad se puede

transmitir de una cepa virulenta (células S o lisas) a una cepa no virulenta (células

R o rugosas).

¿Cuál fue la conclusión? (3 p):

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

2. Los eritrocitos colocados en cloruro de sodio al 0.9% no se contraen ni se hinchan.

¿Qué les sucede si se colocan en una disolución de cloruro de sodio al 1.3%? (1 p)

_______________________________________________

3. En la respiración celular ocurren reacciones redox en las que la glucosa se

_______________ y el oxígeno se ___________________. (2 p)


4. Observe la siguiente figura y responda en los espacios en blanco lo que se le solicita.


a) Nombre de la molécula (1 p): ___________________________________

b) Tipo de organismos donde se encuentra (1 p): __________________ y

________________

c) Función (1 p): ________________________________________________

5. Los cromosomas están hechos de _________________, un material que consiste en

ADN y proteínas asociadas. (1 p)

6. ¿En qué etapa de la mitosis se encuentra la célula de la siguiente figura?

_______________________ . (1 p)



7. El mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin

consiste de observaciones en cuatro aspectos del mundo natural. ¿Cuáles son estos

cuatro aspectos? (2 p)

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

8. Para la evolución química de la vida debieron existir cuatro requisitos. ¿Cuáles son

éstos? (2 p)

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

9. La __________________________________es un proceso anaeróbico que llevan a cabo

las bacterias, y en el cual se convierten los nitratos en nitrógeno gaseoso. (1 p)

10. Compare la figura (a) con la figura (b) y responda lo siguiente:

¿Qué sucede en la figura (b)? (1 p) ______________________________________________

¿Cómo se denomina este suceso? (1 p) ___________________________________________

¿Qué le ocurre al polipéptido que se forma? (1 p) ___________________________________



11. Las formas del mango pueden ser larga (FLFL), redonda (FRFR) u oval (FLFR). Si se

cruzan solamente mangos ovales ¿qué proporción fenotípica se espera en la F1? Deje

constancia de su procedimiento. (3 p)

Proporción fenotípica: ___________________________________

12. Si ambos progenitores son Mm, ¿cuál es la probabilidad de que produzcan un

descendiente que sea mm? (2 p)

Probabilidad: _______________

(b)


13. Si 84% de las plantas de guisante de jardín de una población en equilibrio genético

son altas (TT o Tt), ¿cuál es la frecuencia del alelo dominante (T)? ¿Cuál es la

frecuencia de los heterocigotos? Deje constancia de su procedimiento. (2 p)

__________

__________

14. La ____________________________ representa la mayor población que un ambiente

particular puede mantener por un período indefinido, en el supuesto de que en dicho

ambiente no haya cambios. (1 p)

15. En la sobrevivencia tipo III, la probabilidad de mortalidad es _____________ en la

etapa temprana de la vida. (1 p)

SEGUNDA SERIE: VERDADERO O FALSO (20 pts.)

Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es

verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada

respuesta correcta tiene valor de 0.8 puntos.

1. Una diferencia entre los procariotas y eucariotas es la ausencia de ribosomas

en células procariotas y abundancia de ribosomas en células eucariotas.

2. La mayoría de las células procariotas tiene paredes celulares, que son

estructuras extracelulares que rodean a la cápsula.

3. Los flagelos de procariotas son importantes en la locomoción; son proyecciones

largas de dos microtúbulos centrales y nueve pares periféricos.

4. La membrana nuclear está formada por dos membranas concéntricas que

separan el nucleoplasma del citoplasma.


5. El retículo endoplásmico rugoso sintetiza hormonas de la reproducción, a partir

del colesterol, y además, almacena iones de calcio.

6. Las mitocondrias generan otras mitocondrias por crecimiento y subsecuente

división.

7. La clorofila está presente en las membranas tilacoidales que, al igual que las

membranas mitocondriales internas, están implicadas en la formación de ATP.

8. Un microtúbulo se alarga a medida que se agregan dímeros de tubulina.

9. Los centriolos son estructuras 9 X 5, ya que están formadas por nueve grupos

de cinco microtúbulos unidos, que se organizan formando un cilindro hueco.

10. Una propiedad física importante de las bicapas de fosfolípidos es que se

comportan como cristales líquidos.

11. Entre las funciones de las proteínas de membrana están el anclaje y el

transporte pasivo.

12. En cada ciclo completo de bombeo de la bomba de sodio-potasio, la energía de

una molécula de ATP se utiliza para exportar dos iones de sodio (Na+ ) e

importar tres iones de potasio (K+).

13. Las proteínas simportadoras mueven dos tipos de sustancias en una misma

dirección.

14. En ausencia de O2, las levaduras realizan la fermentación alcohólica.

15. La membrana interna del cloroplasto encierra una región llena de fluido

llamado matriz, que contiene la mayor parte de las enzimas requeridas para

producir moléculas de carbohidrato.

16. El dióxido de carbono y el agua son las materias primas de la fotosíntesis.

17. La meiosis implica una división nuclear y dos citoplásmicas, generando hasta

cuatro células.

18. El ligamiento es la tendencia de un grupo de genes, en el mismo cromosoma, de

ser heredados juntos en generaciones sucesivas.

19. Las hembras humanas tienen 21 pares de autosomas y dos cromosomas X.

20. Cada nucleótido de ADN consiste en la pentosa desoxirribosa, un fosfato, y

cualquiera de las tres pirimidinas.

21. La evolución se define como la acumulación de cambios genéticos dentro de las

poblaciones a lo largo del tiempo.

22. Cuando el ser humano elige ciertos caracteres en algunas plantas de cultivo, y

cruza sólo a los individuos que muestran los caracteres deseados, está llevando

a cabo selección natural.

23. Las características estructuralmente similares que no son homólogas pero

tienen funciones semejantes que evolucionaron de manera independiente en

organismos con parentesco distante son homoplásticas.

24. El mismo epíteto específico puede usarse como segundo nombre de especies en

diferentes géneros.

25. Un grupo interno es un taxón que se considera se ramificó más temprano que

los taxones motivo de investigación, los grupos externos.


TERCERA SERIE: SELECCIÓN MÚLTIPLE (30 pts.)

Instrucciones: Marque con una X la respuesta correcta en la hoja de respuestas. No

hay factor de corrección. (1 punto cada respuesta correcta).

1. La secuencia de la interfase y de la fase M en el ciclo celular eucariota es la

siguiente:

a) S – G1- G2 – interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

b) G1- G2 –S -interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

c) G1- G2 –S – mitosis- profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

d) G1- S - G2 – profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis

2. El código genético se define como una serie de ___________ en el

_________________.

a) Codones y anticodones/ ARNt

b) Codones /ARNm

c) Anticodones/ARNm

d) Anticodones /ARNr

3. Dentro de la jerarquía de clasificación, Anthophyta es un/una:

a) Filo

b) Clase

c) Orden

d) Familia

4. Grupo que contiene un ancestro común y algunos de sus descendientes, mas no

todos.

a) Grupo unifilético

b) Grupo parafilético

c) Grupo polifilético

d) Grupo monofilético

5. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre virus es FALSO?

a) El ADN del virus rodea a los capsómeros.

b) Al inicio del ciclo lítico, el virus se fija a receptores específicos de la célula

huésped.

c) El sistema Baltimore clasifica a los virus con base en el tipo de ácido nucleico

que contienen.

d) De acuerdo a la hipótesis del origen celular, los virus pudieron originarse

como elementos genéticos móviles.

6. Enfermedades como la polio y hepatitis A son causadas por virus ARN sin

envoltura del grupo de los:

a) Picornavirus

b) Togavirus

c) Reovirus

d) Flavivirus


7. ¿Qué diferencia a las bacterias de las arqueas?

a) La envoltura nuclear

b) La presencia de peptidoglucano en la pared celular

c) El número de cromosomas

d) La presencia de ribosomas

8. Las bacterias pueden reproducirse por:

a) Fisión binaria

b) Gemación

c) Fragmentación

d) Todas son correctas

9. Grupo de bacterias fotoautótrofas

a) Clamidias

b) Cianobacterias

c) Actinomicetos

d) Micoplasmas

10. La neumonía es producida por una bacteria del género:

a) Treponema

b) Salmonella

c) Streptococcus

d) Vibrio

11. Seleccione la opción que contenga a los protistas apareados de forma correcta

con el grupo al que pertenecen.

a) Algas rojas-Excavata

b) Mohos mucilaginosos-Rizarios

c) Algas verdes-Archaeplastida

d) Euglenoides-Cromalveolados

12. Las diatomeas se asignan al grupo:

a) Rhizaria

b) Cromalveolados

c) Phaeophyceae

d) Rhodophyta

13. Durante la generación diploide de las plantas, un _____________ multicelular

produce esporas por meiosis.

a) Gametofito

b) Esporofito

c) Gameto

d) Ninguna es correcta


14. Los tres linajes de plantas no vasculares son los siguientes:

a) Musgos, helechos y licopodios

b) Antoceros, licopodios y colas de caballo

c) Psilotáceas, helechos y hepáticas

d) Hepáticas, musgos y antoceros

15. En las plantas vasculares con semilla, las microsporas producen:

a) Óvulos

b) Megaesporas

c) Granos de polen

d) Esporangios

16. En los basidiomicetos:

a) No se forman esporas.

b) Se forman esporas flageladas.

c) La reproducción es exclusivamente asexual.

d) Ocurre cariogamia dentro de los basidios.

17. Un ________________ es un organismo compuesto por un hongo u hongos y una

pareja fotosintética.

a) Quitridio

b) Liquen

c) Ascomiceto

d) Microsporidio

18. En los protostomados, la primera abertura que aparece en un embrión se

convierte en:

a) La boca

b) El celoma

c) La mesodermis

d) El pseudoceloma

19. Grupo de moluscos similares a sus primeros ancestros; poseen un caparazón

dorsal con 8 placas, y todos son marinos:

a) Bivalvos

b) Quitones

c) Cefalópodos

d) Gasterópodos

20. Todos los artrópodos son animales con:

a) Simetría bilateral, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema

circulatorio cerrado.

b) Simetría radial, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema

circulatorio abierto.


c) Simetría bilateral, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema

circulatorio abierto.

d) Asimetría, celoma extenso, tracto digestivo incompleto, sistema circulatorio

abierto.

21. ¿Cuál de las siguientes es una característica de los cordados?

a) Hendiduras branquiales

b) Cordón nervioso hueco paralelo a la notocorda

c) Cola muscular que se extiende más allá del ano


22. Los tunicados son animales que se ubican en el Subphylum:

a) Cephalochordata

b) Urochordata

c) Gnathostomata

d) Hexapoda

23. Animales que constituyen el clado Squamata:

a) Cecílidos y tortugas

b) Ranas y sapos

c) Lagartos y serpientes

d) Salamandras y cocodrilos

24. ¿Cuál de las siguientes NO es una característica de las aves?

a) Reproducción sexual

b) Pico formado de queratina

c) Corazón de tres cámaras

d) Carecen de vejiga urinaria

25. Los mamíferos que ponen huevos son llamados:

a) Marsupiales

b) Monotremas

c) Placentarios

d) Euterios

26. ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO?

a) El hipotálamo se conecta estructural y funcionalmente con la pituitaria, la

cual produce calcitocina.

b) En humanos, la sangre oxigenada regresa al corazón por medio de las venas

pulmonares, las cuales desembocan en la aurícula izquierda.

c) Los glóbulos rojos, cuando maduran, pierden su núcleo y otros organelos y se

convierten en discos flexibles con una depresión en el centro.

d) Los neutrófilos son los leucocitos más abundantes en la sangre y a menudo

son los primeros en responder en un sitio de infección.


27. ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO?

a) La fiebre mejora los pasos de la inmunidad innata y adaptativa, pues

acelera la producción de glóbulos blancos, mientras que reduce la tasa de

replicación viral y la división bacteriana.

b) La IgG es el anticuerpo que cruza la placenta; protege al feto.

c) Cuando una persona inhala, el diafragma se aplana y se mueve hacia

abajo y los músculos intercostales externos se contraen.

d) En la respiración normal, el volumen corriente que entra y sale de los

pulmones es de 0.5 litros, y en las exhalaciones forzadas, los pulmones se

desinflan completamente.

28. Las siguientes son ejemplos de células gliales, EXCEPTO:

a) Astrocitos

b) Oligodendrocitos

c) Células ependimarias

d) Condrocitos

29. Las enzimas pancreáticas incluyen, EXCEPTO:

a) Tripsina

b) Quimiotripsina

c) Amilasa

d) Gastrina

30. ¿Qué tipos de músculo forman parte del estómago?

a) Circular

b) Longitudinal

c) Oblicuo


CUARTA SERIE: APAREAMIENTO (20 pts.)

Instrucciones Coloque el número del término a la par de la letra correspondiente en

la hoja de respuestas. Algunos términos no aplican. Cada respuesta correcta tiene un

valor de 0.8 puntos

DEFINICIONES

A. Proyecciones pilosas en procariotas que son utilizadas para adherirse entre sí

o a las superficies celulares de otros organismos.

B. Membrana de la vacuola.

C. Plastidio sin pigmento que almacena almidón en las células y en muchas

semillas, raíces y tubérculos.


D. Densa red de fibras de proteína que proporciona a las células su resistencia

mecánica y su forma; participa en la división celular.

E. Proteínas transmembrana de canal que permiten que diversos solutos o agua

pasen a través de las membranas.

F. Proceso por el cual la célula ingiere partículas grandes de sólidos como

alimento o bacterias.

G. Serie de reacciones en las que la parte acetil del acetil CoA se degrada a CO2;

los átomos de hidrógeno se transfieren a los portadores; se sintetiza ATP.

H. Serie de reacciones en las que la glucosa se degrada a piruvato; con una

ganancia neta de 2 moléculas de ATP; los átomos de hidrógeno se transfieren

a los portadores.

I. Desdoblamiento fotoquímico del agua en las reacciones dependientes de la luz

de la fotosíntesis; en este proceso se libera oxígeno a la atmósfera.

J. Fijación de carbono que ocurre en el estroma mediante una secuencia de

reacciones.

K. Composición cromosómica de un individuo.

L. Proteínas reguladoras cuya concentración oscila durante el ciclo celular.

M. Proceso durante el cual los cromosomas homólogos apareados intercambian

material genético.

N. Ubicación de un gen particular en el cromosoma.

O. Enzimas que se unen al ADN en el origen de replicación y rompen los enlaces

de hidrógeno, causando la separación de las dos cadenas.

P. Extremos protectores de los cromosomas que consisten en secuencias de ADN

cortas, simples y no codificadoras que se repiten muchas veces.

Q. Secuencia de tres bases nucleótidas consecutivas en el ARNm.

R. Grupo de organismos, con estructura, función y comportamiento similares,

que son capaces de cruzarse naturalmente entre sí y producir progenie fértil.

S. Proceso mediante el cual una nueva especie evoluciona dentro de la misma

región geográfica que la especie progenitora.

T. Cambios evolutivos a pequeña escala debidos a cambios en las frecuencias

alélicas que tienen lugar dentro de una población durante varias

generaciones.

U. Ensambles parecidos a vesículas de polímeros orgánicos producidos

abióticamente.

V. Tipo de evidencia fósil que consiste en rocas con forma de columna

compuestas de capas de células procariotas.

W. Cada punto de ramificación, en un cladograma, que representa la divergencia,

o división, de dos o más grupos nuevos de un ancestro común.

X. Caracteres ancestrales compartidos.

Y. Partícula infecciosa diminuta, compuesta por una cadena circular muy corta

de ARN desnudo.


TÉRMINOS

1. cariotipo 12. estromatolitos 23. microevolución

2. ciclinas 13. fagocitosis 24. nodo

3. ciclo de Calvin 14. fimbrias 25. pinocitosis

4. ciclo de Krebs 15. fotólisis 26. plásmidos

5. citoesqueleto 16. glucólisis 27. plesiomorfias

6. codón 17. helicasas 28. porinas

7. comunidad 18. intercinesis 29. protobiontes

8. entrecruzamiento 19. leucoplasto 30. sinapomorfias

9. especiación

alopátrica 20. ligasas 31. telómeros

10. especiación

simpátrica 21. locus 32. tonoplasto

11. especie 22. macroevolución 33. viroide


4.5 TECNOLOGÍA

DECIMOTERCERA OLIMPIADA

INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DEL ÁREA TECNOLOGÍA

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de problemas, debe de proponer su solución

por medio de un programa de computadora que resuelvan cada problema, puede

resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada

problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que le será

entregado por los jueces, deberá generar su salida y entregarla para su verificación.

Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la

competencia. A menos que se indique otro método, los problemas deberán solicitar el

nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salida N.txt,

donde N corresponde al número de problema.

PROBLEMA 1: (35 puntos)

ESPIRALES.

DESCRIPCIÓN

Se tiene una cuadrícula rectangular de M por N casillas. Iniciando de la casilla en la

esquina superior izquierda, se desea dibujar una espiral en la cuadrícula.

Las reglas para dibujar la espiral son las siguientes:

• La espiral siempre se inicia a dibujar desde la esquina superior izquierda.

• La espiral siempre gira en sentido horario.

• Puedes dejar de dibujar la espiral en cualquier momento.

• Un punto se considera una espiral, de igual forma una línea.

• La espiral nunca pasa dos veces sobre un cuadro

Algunos ejemplos de espirales válidas son:

PROBLEMA


Dadas las dimensiones de una cuadrícula, escribe un programa que cuente el número

total de espirales distintas que pueden dibujarse y escriba ese número módulo

1,000,000,000, es decir, el residuo que se obtiene de dividir el número por

1,000,000,000.

ENTRADA

Tu programa deberá leer de la entrada estándar los siguientes datos:

• En la primera línea dos números enteros separados por un espacio: M y N

que representan el alto y el ancho de la cuadrícula respectivamente.

SALIDA

Tu programa deberá escribir a la salida estándar un único número que indique el

número total de espirales distintas que pueden dibujarse.

CONSIDERACIONES

1 <= N, M<= 1000

Entradas Salidas

6 7 1715

8 8 12869

10 20 30045014

15 10 3268759

7 9 11439

4 4 69



RANGOS.

DESCRIPCIÓN:

Se tiene un renglón con casillas numeradas del 1 al N. Inicialmente cada casilla

contiene el número 0. Los valores en las casillas del renglón se pueden actualizar

utilizando el siguiente mecanismo:

• Se define un rango de casillas del renglón como i,j, donde i < j. Por

ejemplo i=3, j=6.

• Se le suma 1 a la casilla i, 2 a la casilla i+1, 3 a la i+2, y así hasta

llegar a la casilla j.

Por ejemplo, si N=7 se tiene un renglón de 7 posiciones que originalmente está lleno

con 7 ceros {0,0,0,0,0,0,0}, al actualizar el rango 3, 6 el renglón queda {0,0,1,2,3,4,0},

una siguiente actualización al rango 4,7 dejaría el renglón como sigue: {0,0,1,3,5,7,4}.

Después de aplicar actualizaciones al renglón, se requiere poder responder preguntas

del siguiente tipo:

• Se define un rango de casillas del renglón como u, v, donde u < v. Por

ejemplo u=4, v=6.

• Se debe dar como respuesta la suma de los valores de todas las

casillas comprendidas en el rango, módulo 10,000, es decir, el

residuo que se obtiene si se divide el total entre 10,000.

PROBLEMA

Dado el número N y una serie de A rangos de actualización escribe un programa que

sea capaz de contestar P preguntas en el tiempo dado.

ENTRADA

Tu programa deberá leer de la entrada estándar los siguientes datos:

• La primera línea contiene 3 números enteros separados por un

espacio: N, A y P que representan el largo del renglón, el número de

actualizaciones y el número de preguntas respectivamente.

• Las siguientes A líneas contienen 2 números enteros cada una y

representan un rango de actualización.

• Las siguientes P líneas contienen 2 números enteros cada una y

representan el rango de una pregunta.


SALIDA

Tu programa deberá escribir a la salida estándar Plíneas, cada una con un número

entero que representa la respuesta a la pregunta correspondiente.

NOTA: Recuerda que las respuestas a las preguntas deberán ser módulo 10,000.

CONSIDERACIONES

1 <= N <= 1,000,000,000

1 <= A <= 1,000

1 <= P <= 1,000

Entradas Salidas

8 3 3

4 5

1 8

3 7

4 6

3 8

1 8

27

51

54

9 5 2

1 9

2 7

5 9

2 6

2 6

2 7

1 9

84

111

11 4 3

1 11

3 8

4 10

5 10

4 10

5 11

2 8

118

122

81

12 4 2

1 5

5 10

8 12

6 12

1 12

5 12

79

69

20 2 4

1 20

10 20

1 5

1 10

5 20

2 12

15

56

266

83


REQUERIMIENTOS DE EJECUCION.

Para obtener los puntos en este problema, tu programa deberá terminar en un tiempo

menor a 1 segundo.

EVALUACION.

En un subconjunto de los casos de prueba con un valor total de 30 puntos N <= 1000 y

A, P <= 100.

En otro subconjunto de casos de prueba (distinto del anterior) con un valor total de 30

puntos, el rango de cada una de las preguntas nunca tendrá una longitud mayor a

1001. Y A, P <= 100.

INFORMACION UTIL.

La fórmula para calcular la sumatoria de los números desde 1 hasta k es la siguiente:

Suma de todos los números desde 1 hasta k = k * (k + 1) / 2



VUELTAS.

DESCRIPCIÓN

Se tiene un tablero de M filas por N columnas donde M y N son números impares

mayores a uno. Sobre este tablero se desean realizar dos tipos de operaciones: Vueltas

verticales y Vueltas horizontales.

Una Vuelta se refiere a un giro del tablero que utiliza como eje de giro, la fila central

en el caso de las vueltas verticales y la columna central en el caso de las vueltas

horizontales.

Por ejemplo, si sobre un tablero se realiza una vuelta vertical entonces la fila que está

hasta arriba ahora estará hasta abajo y viceversa, lo mismo con la segunda de arriba

hacia abajo quedará ahora como segunda de abajo hacia arriba, etc.

PROBLEMA.

Escribe un programa que reciba como entrada el tablero y la secuencia de vueltas a

realizar sobre él y escriba como salida la configuración final del tablero después de

haber aplicado K vueltas.

Restricciones

1 < M, N < 1,000 Dimensiones del tablero.

1 <= K <= 50,000 Número de vueltas a ejecutar sobre el tablero

1 <= Aij < 1,245 Contenido de la posición (i,j) del tablero.

ENTRADA.

En la primera línea los números M y N que indican el tamaño del tablero.

En las siguientes M líneas habrá N números enteros separados por un espacio

en cada una que indican el contenido del tablero en esa fila.

En la línea siguiente a la última del tablero, el número K que indica la cantidad

de vueltas a aplicar.

En las siguientes K líneas habrá un carácter ‘V’ o ‘H’ (mayúsculas) que indica

una vuelta Vertical u Horizontal. Las vueltas al tablero se aplican en el orden

en el que aparecen en el archivo.

SALIDA.

Tu programa debe escribir a la pantalla los siguientes datos:


M líneas con N enteros separados por un espacio cada uno que indiquen el

estado final del tablero después de haber aplicado las K vueltas en el orden que

se especifica en la entrada.

Entradas Salidas

4 7

2 4 6 8 10 12 14

16 18 20 22 24 26 28

30 32 34 36 38 40 42

44 46 48 50 52 54 56

3

H

V

H

44 46 48 50 52 54 56

30 32 34 36 38 40 42

16 18 20 22 24 26 28

2 4 6 8 10 12 14

2 4

10 20 30 40

50 60 70 80

5

V

V

V

V

H

40 30 20 10

80 70 60 50

5 3

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

3

H

H

V

13 14 15

10 11 12

7 8 9

4 5 6

1 2 3

3 8

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

4

V

V

H

H

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

3 7

10 20 30 40 50 60 70

80 90 100 110 120 130 140

150 160 170 180 190 200 210

7

V

V

V

H

H

H

V

70 60 50 40 30 20 10

140 130 120 110 100 90 80

210 200 190 180 170 160 150



FRACCIONES EGIPCIAS.

DESCRIPCIÓN

Cuando los antiguos egipcios escribían fracciones, solo podían usar unas de la forma 1

/ a , llamadas fracciones unitarias. Un egipcio que quisiera escribir la fracción b / c ,

donde b no era 1, tuvo que escribirla como la suma de fracciones unitarias (diferentes).

Todas las fracciones b / c ( b< c ) se pueden escribir como una fracción egipcia.

Por ejemplo, la fracción 5/6 se escribió como 1/2 + 1/3, y 6/7 se escribió como 1/2 + 1/3 +

1/42. Las fracciones egipcias no son necesariamente únicas: 6/7 también se puede

escribir como 1/2 + 1/4 + 1/14 + 1/28. Dado que las fracciones unitarias deben ser

diferentes, 2/3 se puede escribir como 1/2 + 1/6, pero no 1/3 + 1/3.

Una fracción egipcia que representa b / c es 'mínima' si usa la menor cantidad de

fracciones unitarias posibles. Una fracción egipcia es 'óptima' si es mínima, y la

fracción de unidad más pequeña es lo más grande posible. Puede haber varias

fracciones egipcias mínimas y varias óptimas para un b / c dado.

Por ejemplo, 19/45 no se puede representar como la suma de dos fracciones de unidad,

pero hay 5 formas de representarlo como la suma de 3 fracciones de unidad: 1/3 + 1/12

+ 1/180, 1/3 + 1 / 15 + 1/45, 1/3 + 1/18 + 1/30, 1/4 + 1/6 + 1/180 y 1/5 + 1/6 + 1/18. Estas

cinco fracciones egipcias son todas mínimas. Solo 1/5 + 1/6 + 1/18 es óptimo, ya que

1/18 es mayor que 1/30, 1/45 y 1/180.

PROBLEMA

Escriba un programa que ingrese dos números a y b, y calcule una fracción

egipcia que represente a / b con no más de una unidad de fracciones. Solo se

le darán fracciones con 0 < a < b <1000. Su programa debería generar los

denominadores (partes inferiores) de las fracciones unitarias.

RESTRICCIONES:

Ninguna fracción de unidad deberá ser menor que 1/32000. [Todavía puede generar

denominadores superiores a 32000, siempre que no tengan más de 8 dígitos].



TIEMPO.

DESCRIPCIÓN

Dado un tiempo en números, podemos convertirlo en palabras. Por ejemplo:

ENTRADA Y SALIDA

5:00 →Cinco en punto.

5:10 →Las cinco y diez minutos.

5:15 →Las cinco y cuarto.

5:30 →Las cinco y media.

5:45 →Las seis menos cuarto.

5:47 →Las cinco y cuarenta y siete minutos.

PROBLEMA

Escriba un programa que ingrese dos números (el primero entre 1 y 12, el segundo

entre 0 y 59 inclusive) y luego imprima el tiempo que representan, en palabras. Debe

seguir el formato de los ejemplos anteriores. Su programa debería terminar entonces.



POEMA.

DESCRIPCIÓN

Como cada año, en el colegio de José se organiza todo un evento por el día de la madre.

Comenzar a con un himno, coreografías de bailes, una pequeña obra de teatro, una

banda de estudiantes tocara un tema especialmente dedicado y, por último, un poema,

(a cargo de José). Pero, José está muy nervioso, ha hecho todo lo posible para

memorizar el poema. Sus amigos decidieron ayudar a José quitando todas las vocales

del poema y remplazarlos por guiones, luego dejaron que José lo lea para ver si

realmente lo ha memorizado todo. El problema es que los amigos de José quieren estar

seguros de remplazarlos bien sin arruinar el poema, para lo cual decidieron hacerlo

mediante un programa.

Tu trabajo es ayudar a estos niños.

ENTRADA.

La primera línea tendrá un número entero N (0 < N < 1000) que representa el número

de líneas que tendrá el poema. Cada línea del poema tendrá un máximo de 100

caracteres que contendrá: mayúscula (A-Z), minúscula (a-z), espacios ( ), puntos (.) y

comas (,).

SALIDA.

En la salida se mostrará el poema sin vocales como se muestra en el ejemplo de salida.

4. pruebas y soluciones 4.1 matemÁtica

Documents