3. las máquinas de calcular

Daniel Merchán López. 2013

33 Historia del software en computación aplicado a la informática educativa.

2.4. Las máquinas de calcular.

El ábaco. [15][11]

Históricamente se considera el ábaco como la primera herramienta eficaz para ayudar en el cálculo. El ábaco es un invento que está por encima de las culturas, forzado por una etapa determinada del desarrollo de la especie humana. Fue inventado independientemente entre unas culturas y otras, aunque eso si, en diferentes etapas.

Se cree que el origen del ábaco se encuentra en China, aunque la época de origen es indeterminada. En China su uso todavía es muy común al igual que en Japón. El ábaco chino, también llamado suanpan, estaba dividido en dos partes por una varilla horizontal, en la superior denominada cielo, las fichas representaban 5 unidades (o decenas, centenas, etc., lo que correspondiera) y en la parte inferior, denominada tierra, cada ficha representaba una unidad. El ábaco chino se introdujo en Japón con el nombre de soroban. Llegó a través del comercio, sin embargo su propagación no fue fácil, aun así reemplazó con rapidez a los sistemas anteriores.

En las sociedades mediterráneas, el ábaco ya se utilizaba en la antigua Grecia. Los ábacos griegos eran tableros de varias columnas en los que colocaban piedras o fichas. Las columnas tenían un valor correspondiente a las potencias de 10. Había otras columnas para las fracciones. El ábaco sumaba añadiendo piezas de acuerdo a la posición. Cuando se tenían 5 unidades en la parte inferior, se sustituían por una pieza

en la parte superior, y, de igual manera, 2 piezas en la parte superior se reemplazaban por una pieza en la unidad siguiente. Los romanos utilizaban a modo de ábaco un tablero de metal o de madera con surcos (Fig. 12), donde se colocaban piezas pequeñas o piedras para denotar los números.

Fig. 12. Ábaco romano.

También lo utilizaban comúnmente las sociedades precolombinas. El ábaco azteca se componía de unas varillas metálicas paralelas, sujetas a una pieza de madera, en las que se ensartan las cuentas que les servían para realizar sus cálculos.



El ábaco ha sido uno de los logros más importantes en la historia del cálculo por su gran utilidad y difusión. Además, el ábaco introduce el concepto algebraico de valor posicional, definiéndolo como una representación polinómica de los números.

Neper y los logaritmos. [15][11][23]

En el siglo XVII se aceptó por muchos países de Europa el sistema decimal, lo que hizo que el uso del ábaco se viese relegado a un segundo plano. A pesar de que aún se tardó en comprender y practicar el cálculo, utilizando la notación decimal. En aquellos tiempos la multiplicación y la división necesitaba, casi, de un matemático.

El matemático Juan Napier (1550-1617), en un intento de simplificar las operaciones de multiplicación, división y exponenciación inventó las tablas de Neper y los logaritmos naturales o neperianos.

La primera de ellas, aunque menos importante que la siguiente, fue la invención de una especie de ábaco conocido como <<los huesos de Napier>>, que se publicaron en 1617, y resolvían las dificultades de la multiplicación.

Los huesos de Napier (Fig. 13) constituían una tabla de multiplicar. Consistía en unas tablillas rectangulares divididas en nueve cuadros, apareciendo en el cuadro superior un digito 0, 1…, 9 y en los ocho cuadros siguiente el resultado de multiplicar ese digito por 2 ,3, …, 9 sucesivamente.

Fig. 13. Huesos de Napier.

Para ver su funcionamiento, vamos a multiplicar el número 46.732 por 7.



Colocaríamos las tablas así (Fig. 14):

Fig. 14. Huesos de Napier utilizados para multiplicar 46732 por 7.

Obtenemos de ella los valores correspondientes a la columna del 7, es decir:

2/8 4/2 4/9 2/1 1/4

Sumamos los números contiguos entre las divisiones inclinadas:

2/8 + 4/2 + 4/9 + 2/1 + 1/4

De donde se obtiene:

3 / 2 / 7 / 1 / 2 / 4

Que calculando a mano, o con la calculadora, comprobamos que 46.732 por 7 es 327.124.

Pero los Huesos de Napier no solo ayudan a realizar multiplicaciones. La división de varias cifras por otro se realiza mediante la colocación de las tablillas correspondientes a las cifras del divisor. Entonces, los múltiplos del divisor aparecen en las diferentes líneas de las tablillas, con lo cual el resultado es más fácil de calcular.

La verdadera aportación de Neper al cálculo fue la invención de los logaritmos, en 1614, que permiten reducir las multiplicaciones y divisiones a simples sumas y restas. La exponenciación en una multiplicación y las raíces en divisiones. Esta simplificación fue fundamental para realizar operaciones complejas a mano.

Neper asoció a cada número a otro llamado logaritmo de a, que escribiremos log a. La razón por la que tienen tanta utilidad es que hay una relación entre un número a y su logaritmo, por lo tanto verifica que:

El logaritmo del producto de dos números, log(a*b) es la suma del log(a) y el log(b).



El logaritmo del cociente de dos números, log(a/b) es la resta del log(a) y el log(b).

El logaritmo de la exponenciación de dos números, log(ab) es la multiplicación del exponente por el logaritmo del número, b*log(a).

Fig. 15. Regla de cálculo.

Todos aquellos interesados por el cálculo apreciaron inmediatamente la importancia del descubrimiento de Neper y en seguida se intentó mecanizar esta forma de cálculo. La regla de cálculo (Fig. 15) fue desarrollada por el matemático británico William Oughtred. Utilizaba dos reglas similares a la original que se desplazaban una sobre otra. La precisión de este sistema era limitada, por lo común, se utilizaban tres dígitos más significativos, aunque reglas más precisas, y de tamaño superior, lograban una mayor precisión. El operador debía tener en cuenta las magnitudes, pues éstas se ignoraban al operar con la regla. Las reglas de cálculo fueron utilizadas como herramientas de cálculo hasta la aparición de las calculadoras electrónicas.

La regla del cálculo, fue el primer instrumento de cálculo analógico, así como el ábaco fue el primer instrumento de cálculo digital.

El reloj calculante de Wilhelm Schickard.[7]

Fue la primera máquina de calcular de origen mecánico, la inventó en 1623 Wilhelm Schickard de la universidad de Tübingen, Württemberg (Alemania). Era una calculadora que funcionaba con ruedas dentadas y era capaz de sumar y restar números de hasta seis dígitos. En el caso de la multiplicación y la división la máquina necesitaba de un operador humano para pasos intermedios. No se puedo construir en aquella época porque no había tecnología suficiente.

La calculadora de Wilhelm (Fig.16) no tuvo un gran impacto en la historia de la computación porque, al morirse su inventor, la máquina se perdió y no volvió a ser hallada hasta el siglo XX, construida por ingenieros de IBM. Fue utilizada por su amigo astrónomo Johannes Kepler, y gracias a los bocetos que éste dejó se ha podido reconstruir y comprobar que realmente funcionaba.



Fig. 16. Reloj calculante.

La Pascalina o máquina sumadora de Pascal.[15][11][12]

La máquina de cálculo mecánica construida por Blaise Pascal (1623-1662), en 1642, tenía una estructura similar a la de Wilhelm Schickard. Pascal desarrolló el invento independientemente de las evoluciones de Wilhelm Schickard, de hecho, la Pascalina (Fig 17) era más sencilla y sólo permitía sumar y restar, teniendo en cuenta para la resta el complemento del número a restar, lo cual permitía que las ruedas siempre giraran en el mismo sentido. La primera versión podía operar con 5 dígitos aunque se hicieron versiones posteriores que permitieron operar con más dígitos. Algunas calculadoras se pusieron a la venta pero su alto coste impidió que fuera un éxito comercial.

Las máquinas de cálculo digital cuentan objetos, en el ábaco se hacía mediante cuentas mientras que en las calculadoras mecánicas solo hay que contar los dientes de una rueda dentada.

Fig. 17. Pascalina.



La máquina de Pascal se componía de un grupo de ruedas registradoras de datos y un grupo de ruedas de resultados. Cada rueda registradora de datos estaba conectada a su correspondiente de resultados, formando una cadena de transmisión, de modo que, cuando una rueda giraba completamente sobre su eje, hacía avanzar un grado a la siguiente. Las ruedas representaban el sistema decimal de numeración. Mediante una manivela se hacía girar las ruedas dentadas. Para sumar o restar no había más que accionar la manivela en el sentido apropiado, con lo que las ruedas corrían los pasos necesarios. Cuando una rueda estaba en el 9 y se sumaba 1, ésta avanzaba hasta la posición marcada por un cero. En este punto, un gancho hacía avanzar un paso a la rueda siguiente.

A partir de ella nacieron nuevos modelos, como el propuesto por Samuel Morland (1625-1695) que construyó en 1666. la máquina de cálculo de Morland (Fig. 18) estaba adaptada al sistema de moneda inglés, que no es decimal, con centavos, chelines y libras. A diferencia de la Pascalina, su calculadora no realizaba el acarreo de forma automática, disponía de una rueda de acarreos por unidad, y el propio usuario tenía que acumular los acarreos cuando finalizaban las sumas parciales.

La máquina de Morland era tan pequeña que se podía llevar en un bolsillo, lo cual fue un logro para la época.

Fig. 18. Máquina de Morland.

Rueda escalonada de Leibniz.[24][11][15][6]

El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhem von Leibniz (1646-1716) en 1671 mejoró la máquina de Pascal y construyó una calculadora universal que sumaba, restaba, multiplicaba y dividía automáticamente. También era capaz de extraer raíces cuadradas. Su máquina se caracterizaba por hacer la multiplicación de forma directa en lugar de realizarla por sumas sucesivas como la máquina de Pascal. Incorporaba un mecanismo, llamado en su honor la rueda de Leibniz (Fig. 19), que sobrevivió en todas las calculadoras mecánicas posteriores hasta que estas desaparecieron hacia los años 70 del siglo XX. Se compone de tres clases de ruedas: las de la suma, las del multiplicando y las del multiplicador, tiene dos partes; una para la suma (o resta) y otra para la multiplicación (o división).

Leibniz usó en el diseño de su máquina un sistema de tambores dentados sustentados sobre sus respectivos ejes para representar las cifras correspondientes a las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de mil, etc., los cuales a su vez



estaban articulados a unos discos numerados laterales que representaban ante los ojos del usuario las cifras a operar.

Para realizar las sumas y las restas los engranajes de la parte superior debajo de los discos numerados estaban ensamblados como en una cadena de transmisión, similar a

la usada en la pascalina, de tal manera que un giro completo del disco numerado de las unidades hacia avanzar un paso el disco de las decenas, y a su vez un giro completo del disco numerado de las decenas hacia avanzar un paso el disco de las centenas, y así sucesivamente.

Fig. 19. Rueda de Leibniz.

Basándose en la máquina de Leibniz, un francés, Charles-Xavier Thomas de Colmar (1785-1870),director de una compañía de seguros, construyó el aritmómetro. Era portátil, fácil de usar y sobre todo, funcionaba correctamente, al contrario de la máquina de Leibniz que no era del todo precisa. El aritmómetro fue la primera calculadora que se comercializó con verdadero éxito pues se vendieron más de 1.500 ejemplares en 30 años. Disponía, tanto de un borrador de puesta a cero, como de la capacidad de sintetizar suma, resta y multiplicación.

No tardó en salirle competencia, y en 1849, el francés Timoleón Maurel (1849), diseñó la calculadora Arithmaurel. Esta calculadora introducía las raíces cuadradas, aparte de las operaciones aritméticas básicas. En 1872, el estadounidense Frank Baldwin creó la calculadora de rueda dentada; también desarrollada de manera independiente por el sueco Willgot Odhner. En 1878, el español Ramón Verea García (1833-1899) inventó una calculadora que multiplicaba directamente y no por reiteración, como la de Leibniz.



Fig. 20. Calculadora circular.

En 1885 el inglés Joseph Edmonson construyó la calculadora circular (Fig. 20), basada en el mecanismo de intensificación de la batería.

Las máquinas de Babbage. [15][11][12][9]

Todos los instrumentos de cálculo que hemos mencionado hasta ahora no pueden considerarse verdaderamente automáticos, ya que para realizar cálculos necesitan la continua intervención humana, tanto para introducir datos como para anotar los resultados inmediatos. Es lo que denominamos programa exterior.

Con la industrialización las necesidades de cálculo iban creciendo. Los grandes países necesitaban tablas numéricas destinadas a la navegación, pero la imprecisión de estas tablas causaba muchos naufragios. En este contexto, Carles Babbage (1792-1871), profesor de matemáticas de la universidad de Cambridge, en 1812 diseñó la máquina de diferencias, que utilizando medios de interpolación, preparaba e imprimía como resultado tablas de funciones. La primera de estas máquinas fue llamada máquina de diferencias número 1. Era una versión reducida de una máquina que, utilizando el método de las diferencias inventado por Newton, podía construir tablas aritméticas. Gracias a éste método, todas las operaciones se podían reducir a sumas y hacerlo matemáticamente era factible con la tecnología mecánica y los engranajes que se podían fabricar en aquella época. Calculaba funciones de segundo grado con ocho cifras de precisión. La verdadera máquina de diferencias estaba diseñada para evaluar polinomios de hasta grado seis. Los números se representaban en base 10 y las operaciones se realizaban mediante engranajes mecánicos. Las diferencias eran finitas, para evitar la multiplicación y la división. Se puede considerar a la máquina de diferencias como un computador digital con un programa fijo.



En 1860, los suecos Per Georg Scheutz (1785-1873) y su hijo Edvard (1821-1881), pusieron a punto una máquina de diferencias (Fig. 21) que tabulara funciones y polinomios de cuarto grado con catorce posiciones decimales, después de leer un artículo sobre la máquina diferencial de Babbage. Ésta máquina disponía de un sistema para imprimir los resultados.

Fig. 21. Máquina de diferencias.

Entre 1833 y 1842, Babbage lo intentó de nuevo; esta vez, intentó construir una máquina que fuese programable para hacer cualquier tipo de cálculo, no sólo los referentes al cálculo de tablas logarítmicas o funciones polinómicas. Ésta fue la máquina analítica (Fig. 22). La nueva máquina de Babbage se alimentaba con energía generada por un motor a vapor; como entrada tenía tarjetas perforadas, y como salida, disponía de un sistema de impresión y de otro para perforar nuevas tarjetas. El diseño se basaba en el telar de Joseph Marie Jacquard, el cual usaba tarjetas perforadas para determinar como una costura debía ser realizada. La arquitectura de la máquina no era muy diferente de la de un computador actual.

Lo más importante de la máquina de Babbage son las innovaciones de diseño que incorpora. Cabe destacar el concepto de transferencia condicional, que permitía a la máquina comparar cantidades y, en función del resultado de la comparación, tomar la decisión de saltar a otra instrucción o secuencia. Así se introducía el concepto de programa y su secuencia de control.

También aparece la distinción entre los datos y el programa que los utiliza: disponía de una memoria llamada almacén, que contenía variables numéricas cuyo valor podía ser leído o modificado, esta memoria era capaz de almacenar 1.000 números de 50 dígitos (decimales) y de una unidad aritmética llamada el molino diseñada para llevar a cabo las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Todo ello mediante engranajes mecánicos.

No estaba dedicada a ningún algoritmo en particular. El algoritmo a ejecutar se le proporcionaba por medio de un programa contenido en una secuencia de tarjetas perforadas. Cada tarjeta indicaba la operación a realizar y necesitaba de tres operandos: los dos argumentos y el resultado. Estos consistían en tres direcciones numéricas de la memoria, que designaban tres variables. Dichos argumentos se suministraban mediante otra colección de tarjetas, sincronizadas con las tarjetas de



operación. Gracias a la memoria, el resultado se podía utilizar posteriormente. De esta forma se podía definir cualquier algoritmo. Por esto se considera a la máquina analítica de Babbage como la primera computadora del mundo.

Fig. 22. Máquina analítica en el Science Museum (Londres).

Para el desarrollo de la máquina analítica (Fig. 22), Babbage contó con la ayuda de lady Ada Augusta, condesa de Lovelace (1815-1852) considerada como la primera programadora de la historia. En 1843 publicó sus primeros programas para la máquina analítica, una suma de series y un cálculo recurrente de los números de Bernoulli.

Se iniciaba así la historia del software, y a la vez, se abría el camino a una reivindicación feminista de la segunda mitad del siglo XX, pues el primer programador de la historia fue una mujer. Ada desarrolló conceptos tan familiares en el mundo de los lenguajes de programación como las instrucciones y los bucles o subrutinas. También se preocupaba por encontrar un algoritmo que necesitara el menor número de pasos posibles, es decir, reconocía la importancia de la eficiencia. A finales de los años setenta, y en su honor, se diseñó un nuevo lenguaje de programación denominado ADA.

Torres Quevedo.[9][15]

Nació el 28 de diciembre de 1852, en Santa Cruz de Iguña, Molledo (Cantabria). Es considerado el precursor de la automática española a pesar de que su capacidad inventiva se aplicó a muchos campos.

Con 41 años, en 1893, presentó su primer trabajo científico. Después se instala en Madrid y allí presenta su "Memoria sobre las máquinas algébricas" a la Real Academia



de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. A partir de estos dos trabajos Quevedo se centra en diversos proyectos y patentes internacionales, el sistema de radiocontrol Telekino en 1903, el dirigible España en 1905, y transbordadores como el Spanish Aerocar sobre las cataratas del Niágara, que estuvo operativo desde el año 1916. Respecto al cálculo analógico inventó la máquina para resolver ecuaciones algebraicas y el husillo sin fin para tratar funciones logarítmicas.

En 1911 Quevedo desarrolló su trabajo más conocido y en el que más tiempo empleó, un autómata llamado el ajedrecista (Fig. 23). Jugaba un final de rey y torre contra el rey de un oponente humano de manera muy precisa pero siempre en el número mínimo de movimientos y, por supuesto, resultando victorioso.

Fig. 23. El ajedrecista.

Torres Quevedo, para resolver los problemas mecánicos que se le plantearon a Babbage, introduce dispositivos electromagnéticos en la mecánica de su calculador; lleva a la práctica el gran avance de la inserción de la tecnología eléctrica y del magnetismo, con la posibilidad de la operatoria lógica y la realización de unidades elementales de memoria y cálculo rápido.

Con estos avances, desarrolló el aritmómetro electromecánico (Fig. 24), una máquina calculadora completamente automática que disponía de una máquina de escribir, una entrada de datos denominada inscriptor, un totalizador, un multiplicador, un comparador y un elemento general de coordinación.

Fig. 24. Aritmómetro electromecánico.



Al teclear los números y las operaciones, en el orden que tenían que ser ejecutadas, el cálculo se hacía sin ninguna intervención humana y al finalizar, la máquina de escribir mostraba el resultado.

Se puede decir que esta máquina es una verdadera calculadora digital aunque no es lo que Babbage quería. Faltaban una serie de componentes que el mismo Torres Quevedo diseñó: un tambor rotativo en el que se almacenaba el programa, una memoria decimal con pequeñas reglas deslizantes, un elemento que pudiera leer los datos memorizados a base de una plaqueta móvil y posiciones magnéticas, un sistema de control de los resultados de los cálculos intermedios y un sistema de cálculo aritmético con coma flotante. Es posible que fuera la primera vez que se aplica el concepto de coma flotante en el cálculo automático.

Hollerith y la máquina tabuladora. [25][15][12]

El desarrollo de los estados modernos fue lo que determinó la necesidad de procesar grandes volúmenes de datos. La Oficina de Censos de los Estados Unidos necesitaba realizar un censo de la población cada diez años, pero en 1886 se hizo patente la imposibilidad de obtener resultados del censo de 1880 antes de 1890. Para solucionar este problema la oficina de censos contrató al ingeniero Herman Hollerith (1860-1929) para estudiar un modo mecánico para el tratamiento de los datos recogidos del siguiente censo. Hollerit ideó un sistema de tabulación (Fig. 25) de los datos basado en tarjetas perforadas similares a las del telar de Jacquard.

Hollerith se dio cuenta de que muchas de la preguntas del censo respondían al tipo de respuesta sí o no, que podía corresponder a la ausencia o presencia de perforación en una tarjeta, y que respuestas a preguntas con un espectro más amplio en sus contestaciones podían ser codificadas mediante perforaciones múltiples o ausencia de estas. También tuvo en cuenta que muchas perforaciones podrían ser detectadas por dispositivos eléctricos.

El funcionamiento es el siguiente, en la perforadora manual de tarjetas, se registraban las características de la persona a censar, y una lectora-clasificadora permitía clasificar las tarjetas según una característica dada. La lectura de la tarjeta era automática, pero la clasificación manual; al leerse la tarjeta se abría un casillero en el que el operador dejaba la tarjeta. Cuando estaban todas clasificadas la máquina las contaba automáticamente.



Fig. 25. Máquina tabuladora.

Las perforaciones se realizaban mediante unos punzones gracias a un teclado similar al de una máquina de escribir, correspondiendo cada golpe de tecla a la perforación de una columna. Como añadido de las máquinas clásicas de un equipo de tarjetas perforadas, se encuentra la calculadora perforada y la intercaladora. Estos equipos alcanzan su máximo rendimiento cuando la masa de datos a tratar es extensa, y escaso el cálculo necesario, es decir, cuando es más importante el proceso de datos que el cálculo. A continuación podemos ver como quedaría una tarjeta perforada (Fig. 26):

Fig. 26. Tarjeta perforada.

El equipo diseñado por Hollerit consiguió que disminuyeran los errores en el proceso de realización del censo y un aumento de la velocidad en el procesamiento de los datos que permitió hacer el censo de 1890 más rápido que con el proceso manual. Hollerit, patentó el invento en 1889, fundó su empresa, llamada Tabulating Machine Company, y suministró decenas de máquinas a las oficinas del censo. La oficina cambio de jefes y, a éstos, les pareció cara su máquina, por lo que le encargaron a otro de sus empleados la construcción de una máquina mejor y más barata, este fue James Powers. La diseñó y cuando la patentó fundó también su propia empresa, la Powers Tabulating Machine Company vendiendo sus máquinas a la oficina.



Con el paso del tiempo la empresa de Hollerit, y tras fusionarse varias veces, en 1924 se convirtió en la International Business Machine, más conocida como IBM, hoy día líder mundial en la industria de los computadores. Nacen así, las raíces de las empresas informáticas.

3. las máquinas de calcular

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