COMPENSACIÓN DE ATRASO

Compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales

La configuración del compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales es

igual a la del compensador de adelanto de la figura, analizado anteriormente.

Figura Nº

Si elegimos R2 C2>R1 C1 en el circuito de la figura, éste se convierte en un compensador de atraso.

A partir de la misma figura, la función de transferencia del compensador de atraso se obtiene igual

que el de la red en adelanto.

E0(s)Ei(s)

=R4 C1

R3C2

s+ 1C1 R1

s+ 1C2 R2

=K c

s+ 1T

s+ 1β T

Donde:

K c=R4 C1

R3 C2

1T

= 1C1 R1

1

β T= 1

C2 R2

De donde obtenemos:

β=C2 R2

C1 R1

>1

Por lo que el polo estará a la derecha del cero en plano complejo

Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque del lugar geométrico de las raíces.

Considere el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que

exhiba características:

Satisfactorias de la respuesta transitoria

Insatisfactorias en estado estable.

En este caso la compensación consiste esencialmente en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin

modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto se consigue si se

coloca un compensador de atraso encascada con la función de transferencia de la trayectoria directa

determinada.

Para evitar un cambio notable en los lugares geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de

la red de atraso debe limitarse a una cantidad pequeña. Para asegurar esto, se coloca el polo y el

cero de la red de atraso relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este

modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado sólo se alejarán ligeramente de sus

ubicaciones originales. Por tanto, la característica de la respuesta transitoria cambiará muy poco.

Dado el compensador de atraso, cuya FT es:

E0(s)Ei(s)

=K c

s+ 1T

s+1

β T

=K c βsT +1sβT +1

Si colocamos el cero y el polo del compensador de atraso muy cerca uno del otro; en s=s1 donde s1

es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, las magnitudes del cero y del polo serán por lo

tanto casi iguales, es decir:

|Gc (s1)|=|K c

s1+1T

s1+1

β T|≅ K c

Para hacer que la contribución de ángulo de la parte de retardo del compensador sea pequeña, se

requiere:

−5 °<∠s+ 1

T

s+1

β T

<0°

Esto implica que, si la ganancia K c del compensador de atraso se hace igual a 1, la característica de

la respuesta transitoria no se alterará.

Se debe señalar que el valor de T debe ser grande, pero no es indispensable conocer su valor exacto,

sin embargo, no debe ser demasiado grande, a fin de evitar dificultades al momento de materializar

el compensador de atraso de fase mediante componentes físicos.

Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de error estático. Si la

función de transferencia en lazo abierto del sistema no compensado es G(s), la constante de error

estático de velocidad K v del sistema no compensado es:

K v=lims →0

sG(s)

Si el compensador esta dado como anteriormente la llamamos Gc (s ) .La constante de error estático

de velocidad K̂ v del sistema compensado es:

K̂ v=lims →0

sGc (s )G(s)

K̂ v=lims →0

sGc (s )G(s)=lims →0

(G c (s ) sG(s))=lims → 0 (K c β

sT +1sβT +1 )K v

K̂ v=K c β K v

Procedimientos de diseño para la compensación de atraso mediante el método del lugar

geométrico de las raíces.

El diagrama de bloques correspondiente al sistema y al compensador se muestra en la figura

siguiente:

Figura Nº

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para un sistema mediante el método del

lugar geométrico de las raíces se plantea del modo siguiente:

1. Dibujar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya función

de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta

transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces, del

sistema no compensado.

2. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. (sistema no compensado)

3. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las

especificaciones de desempeño.

4. Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es

E0(s)Ei(s)

=K c

s+ 1T

s+1

βT

=K c βsT +1sβT +1

5. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en

la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las

raíces originales

(Observe que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia

que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la

del polo al origen.)

6. Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado.

Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si

la contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares

geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera

discrepancia entre ellos. A continuación ubique, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los

polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta

transitoria.)

7. Ajuste la ganancia K c del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los

polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.

Ejemplo 4

Dado el sistema del diagrama de bloques de la figura.

Figura Nº

Se requiere que la constante de error estático de velocidad este cerca de 5 seg−1

Solución

La función de transferencia de lazo directo es:

G (s )= 1.06s (s+1 )(s+2)

= 1.06

s3+3 s2+2 s

La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema aparece en la figura.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.92

0.98

0.160.30.460.60.720.84

0.92

0.98

1234567

0.160.30.460.60.720.84

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Figura Nº

La función de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado es:

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s )=

1.06

s3+3 s2+2 s

1+ 1.06s3+3 s2+2 s

= 1.06s3+3 s2+2 s+1.06

= 1.06(s+2.3386)( s+0.3307+ j 0.5864 ) ( s+0.3307− j0.5864 )

De la FT de lazo cerrado determinamos los polos dominantes:

s1,2=−0.3307 ± j 0.5864

La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado:

ωn=√0.33072+0.58642=√0.1094+0.3439

ωn=0.6733 rad / seg

El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado:

cosθ=¿ξ ωn

ωn

=ξ ¿

El ángulo θ:

θ=tan−1 ωd

ξ ωn

¿ tan−1( 0.58640.3307 )=60.58

ξ=cos θ=cos 60.58

ξ=0.4912

La constante de error estático de velocidad es hallada:

K v=lims →0

sG(s)=K v=lims → 0

s1.06

s (s+1 )(s+2)=1.06

2

K v=0.53 seg−1

En resumen, las características del polo dominante de lazo cerrado del sistema sin compensar son:

ωn=0.6733 rad / seg

ξ=0.4912

K v=0.53 seg−1

La especificación de desempeño es:

K v=5 seg−1

Si la FT del compensador en atraso está definida como:

E0(s)Ei(s)

=K c

s+ 1T

s+1

β T

=K c βsT +1sβT +1

La constante de error estático de velocidad K̂ v del sistema compensado es:

K̂ v=lims →0

sGc (s )G(s)=lims →0

Gc (s ) sG(s)=lims→ 0 (K c β

sT+1sβT+1 )K v

K̂ v=K c β K v

Según las especificaciones de desempeño el valor de debe ser K̂ v=5 ósea casi 10 veces el valor de

la constante de error estático de velocidad del sistema K v=0.53

K̂ v=K c β K v=K c β (0.53 )=5

Para lograr este incremento de la constante de error estático de velocidad en un factor de alrededor

de 10, seleccionamos β=10

K̂ v=K c β K v=K c (10) (0.53 )=5

De donde obtenemos:

K c=5

(10) (0.53 )=0.9556

Se ubica el cero y polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen) para T=20:

(se asume un valor de T)

s=−0.05 (cero)

s=−0.005 (polo)

La función de transferencia del compensador de atraso se convierte en:

Gc (s )=K c

s+ 1T

s+1

βT

=0.9556s+0.05

s+0.005

Verificamos la contribución angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante (

s=−0.3307+ j0.5864); de la figura obtenemos:

Figura Nº

El aporte de la red de atraso al polo dominante esta dado por:

∠ z−∠ p=115.5797−119.0488=−3.4691 ≈−3.4691 °

Debido a que el aporte en ángulo de la red de atraso es un valor pequeño, el lugar geométrico de

raíces del sistema compensado no va variar mucho, el sistema compensado será:

Gc (s )G (s )=0.9556(s+0.05)(s+0.005)

1.06s ( s+1 )(s+2)

Gc (s )G (s )= K (s+0.05)s(s+0.005) ( s2+3 s+2 )

= 1.0129 s+0.0504s4+3.005 s3+2.015 s2+0.01 s

Donde K=1.06 K c=0.9556 (1.06 )=1.0129

El lugar geométrico del lugar de raíces del sistema compensado se muestra en las dos figuras, la

segunda figura se aprecia una ampliación en las cercanías del origen.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

0.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.94

0.090.180.280.40.520.66

0.82

0.94

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.090.180.280.40.520.66

0.82

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

El lugar de raíces del sistema no compensado y compensado se muestra en la siguiente figura, se

pude ver que los LGR varían ligeramente uno del otro

-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 System: sysGain: 1.01Pole: -0.311 + 0.552iDamping: 0.491Overshoot (%): 17.1Frequency (rad/sec): 0.634

0.160.340.50.64

0.76

0.86

0.94

0.9850.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.1

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura Nº

El factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerrado no cambian

(ξ=0.4912) por la inclusión del compensador, los polos se obtienen de la grafica del LGR y

corresponden a:

s1=−0.311+ j 0.552

s2=−0.311− j 0.552

La ganancia en lazo abierto K c se puede hallar por la condición de magnitud del sistema

compensado

|Gc (s )G ( s)|=|K c

(s+0.05)(s+0.005)

1.06s (s+1 )(s+2)|−0.311+ j 0.552

=1

|K c−0.2767+ j 0.58510.2707− j0.5761 |=K c

0.64720.6273

=1

De donde obtenemos K c:

K c=0.62730.6472

=0.9693

Por lo tanto la función de transferencia del compensador queda de la siguiente manera:

Gc (s )=0.9693(s+0.05 )

(s+0.005 )

El sistema compensado:

Gc (s )G (s )=0.9693( s+0.05 )

( s+0.005 )1.06

s ( s+1 )(s+2)=1.0275

( s+0.05 )s ( s+0.005 ) (s+1 )(s+2)

= 1.0275 s+0.0514

1.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s

Verificando la constante de error estático de velocidad K v es:

K v=lims →0

sGc (s )G (s )=K v=lims → 0 (s(0.9693)

(s+0.05 )(s+0.005 )

1.06s (s+1 )(s+2))

K v=(0.9693 ) (0.05) (1.06 )(0.005 ) (1 )(2)

=5.1373

Se concluye que se ha obtenido el objetivo de diseño de incrementar la constante de error estático

de velocidad hasta 5.11 seg−1

La FT de lazo cerrado del sistema compensado la hallamos a partir de la FT de lazo abierto del

sistema compensado, si:

Gc (s )G (s )= 1.0275 s+0.0514

1.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s

El LGR del sistema no compensado y compensado se muestra en la figura:

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

System: sysGain: 1.02Pole: -0.312 + 0.545iDamping: 0.497Overshoot (%): 16.6Frequency (rad/sec): 0.627

0.120.220.340.480.60.74

0.88

0.96

0.120.220.340.480.60.74

0.88

0.96

0.250.50.7511.251.51.752

La FT de lazo cerrado:

C(s)R(s)

=Gc (s )G ( s)

1+Gc ( s) G (s )=

1.0275 s+0.0514

1.0360 s4+3.1141s3+2.0881 s2+0.0104 s

1+ 1.0275 s+0.05141.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s

= 1.0275 s+0.05141.0360 s4+3.1141s3+2.0881 s2+1.0379 s+0.0514

La figura siguiente muestra la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitaria del sistema

no compensado y el compensado:

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

La respuesta del sistema y del sistema compensado ante una entrada rampa se muestra en la figura

siguiente:

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Ejemplos

Considere el sistema de control de la figura siguiente. Diseñe un compensador de atraso Gc (s) tal

que la constante de error estático de velocidad K v sea 50 seg−1 sin modificar notablemente la

ubicación de los polos en lazo cerrado originales, que están en s=−2± j 2.4495

Figura Nº

Solución

Dada la función de transferencia de lazo abierto del sistema no compensado:

G (s )= 10s (s+4)

= 10

s2+4 s

La grafica del LGR se muestra a continuación:

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.50.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.511.522.533.544.5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

La función de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado es:

C(s)R(s)

=G (s )

1+G ( s )=

10

s2+4 s

1+ 10s2+4 s

= 10s2+4 s+10

= 1.06(s+2.0000+ j 2.4495)(s+2.0000− j 2.4495)

De la FT de lazo cerrado determinamos los polos dominantes:

s1,2=−2.0000 ± j2.4495

La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado:

ωn=√22+2.44952=√4+6

ωn=3.1623 rad / seg

El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado:

cosθ=¿ξ ωn

ωn

=ξ ¿

El ángulo θ:

θ=tan−1 ωd

ξ ωn

¿ tan−1( 2.44952 )=50.7686

ξ=cos θ=cos (50.7686¿)¿

ξ=0.6325

La constante de error estático de velocidad es hallada:

K v=lims →0

sG(s)=K v=lims → 0

s10

s (s+4)=2.5

K v=2.5 seg−1

En resumen, las características del polo dominante de lazo cerrado del sistema sin compensar son:

ωn=3.1623 rad / seg

ξ=0.6325

K v=2.5 seg−1

La especificación de desempeño es:

K v=50 seg−1

Si la FT del compensador en atraso está definida como:

E0(s)Ei(s)

=K c

s+ 1T

s+1

β T

=K c βsT +1sβT +1

La constante de error estático de velocidad K̂ v del sistema compensado es:

K̂ v=lims →0

sGc (s )G(s)=lims →0

Gc (s ) sG(s)=lims→ 0 (K c β

sT+1sβT+1 )K v

K̂ v=K c β K v

Según las especificaciones de desempeño el valor de K̂ v=50; si K v=2.5, entonces casi 20 veces el

valor de la constante de error estático de velocidad del sistema

K̂ v=K c β K v=K c β (2.5 )=50

Para lograr este incremento de la constante de error estático de velocidad en un factor de alrededor

de 20, seleccionamos β=20

K̂ v=K c β K v=K c (20) (2.5 )=50

De donde obtenemos:

K c=50

(20) (2.5 )=1

Ubicando el cero y el polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen con T alto),

elegimos T=10 entonces tenemos:

s=−1T

=−110

=−0.1 (cero)

s=−1β T

= 1(20 )(10)

=−0.005 (polo)

La función de transferencia del compensador de atraso se convierte en:

Gc (s )=K c

s+ 1T

s+1

βT

=s+0.1

s+0.005

Verificamos la contribución angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante (

s=−2± j 2.4495); de la figura obtenemos:

El aporte de la red de atraso al polo dominante esta dado por:

∠ z−∠ p=127.7996−129.1612=−1.3616 °

Debido a que el aporte en ángulo de la red de atraso es un valor pequeño, el lugar geométrico de

raíces del sistema compensado no va variar mucho respecto al sistema no compensado. El sistema

compensado queda definido:

Gc (s )G (s )=K c

s+ 1T

s+1

β T

G(s)=(s+0.1)

(s+0.005)10

s (s+4 )

Gc (s )G (s )= 10(s+0.1)s (s+0.005 )(s+4)

= 10 s+1s3+4.0050 s2+0.0200 s

El lugar geométrico del lugar de raíces del sistema compensado se muestra en las dos figuras, la

segunda figura se aprecia una ampliación en las cercanías del origen.

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.50.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.511.522.533.544.5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.180.360.520.680.8

0.88

0.95

0.985

0.180.360.520.680.8

0.88

0.95

0.985

0.050.10.150.20.250.30.35

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Un acercamiento del lugar de raíces del sistema no compensado y compensado en las cercanías del

polo deseado se muestra en la siguiente figura, se pude ver que los LGR varían ligeramente uno del

otro. El polo dominantes s=−2+ j 2.4495 y ξ=0.6325 tenemos para el sistema no compensado.

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

30.20.420.60.74

0.83

0.91

0.96

0.99

0.511.522.533.54

System: sysGain: 0.998Pole: -2 + 2.45iDamping: 0.633Overshoot (%): 7.66Frequency (rad/sec): 3.16

System: sysGain: 0.986Pole: -1.95 + 2.38iDamping: 0.633Overshoot (%): 7.64Frequency (rad/sec): 3.08

El factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerrado no cambian

(ξ=0.6325) por la inclusión del compensador, los polos se obtienen de la grafica del LGR y

corresponden a:

s1=−1.95+ j 2.38

s2=−1.95− j 2.38

La ganancia en lazo abierto K c se puede hallar por la condición de magnitud del sistema

compensado, dada la FT del sistema compensado:

Gc (s )G (s )= 10(s+0.1)s (s+0.005 )(s+4)

= 10 s+1s3+4.0050 s2+0.0200 s

|Gc (s )G ( s)|=|K c

(s+0.1)(s+0.005)

10s (s+4)|−1.95+ j2.38

=1

|K c

(−1.95+ j2.38+0.1)(−1.95+ j2.38+0.005)

10−1.95+ j2.38 (−1.95+ j 2.38+4)|=1

|K c

(−0.311+ j 0.556+0.05)(−0.311+ j 0.556+0.005)

1.06−0.311+ j 0.556 (−0.311+ j0.556+1 )(−0.311+ j 0.556+2)|=1

|K c−18.5000+23.8000 i18.2260−23.4582 i |=K c

30.144529.7065

=1

De donde obtenemos K c:

K c=29.706530.1445

=0.9855

Por lo tanto la función de transferencia del sistema compensado queda de la siguiente manera:

Gc (s )G (s )=0.9855( s+0.05 )

( s+0.005 )

El sistema compensado:

Gc (s )G (s )=0.9776( s+0.1 )

( s+0.005 )10

s (s+4 )=9.776

( s+0.1 )s ( s+0.005 ) ( s+4 )

= 9.776 s+0.9776

s3+4.0050 s2+0.0200 s

Verificando la constante de error estático de velocidad K v es:

K v=lims →0

sGc (s )G (s )=K v=lims → 0 (s9.776

(s+0.1 )s (s+0.005 ) (s+4 ) )

K v=9.776(0.1 )

(0.005) (4 )=48.88

Se concluye que se ha obtenido el objetivo de diseño de incrementar la constante de error estático

de velocidad hasta 48.88 seg−1

La FT de lazo cerrado del sistema compensado la hallamos a partir de la FT de lazo abierto del

sistema compensado, si:

Gc (s )G (s )= 9.776 s+0.9776

s3+4.0050 s2+0.0200 s

C(s)R(s)

=Gc (s )G ( s)

1+Gc ( s) G (s )=

9.776 s+0.9776

s3+4.0050 s2+0.0200 s

1+ 9.776 s+0.9776s3+4.0050 s2+0.0200 s

= 9.776 s+0.9776s3+4.0050 s2+9.796 s+0.9776

La figura siguiente muestra la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitaria del sistema

no compensado y el compensado:

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

La respuesta del sistema y del sistema compensado ante una entrada rampa, grafica que se relaciona

con la constante de velocidad dada, se muestra en la figura siguiente:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de