diagrama de algoritmo comp. de atraso
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IEM Carrera acreditada Ingeniería de Control II
M A P A C O G N I T I V O D E A L G O R I T M OConsidere el sistema que se muestra en la figura. Diseñe un compensador de atraso, tal que la constante de
error estático de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de y el margen de ganancia no sea menor que 4 dB. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escalón y rampa unitaria de los sistemas original y compensado.
RESOLUCIÓN:
1. Se aplica un compensador de atraso con la siguiente función de transferencia.
Se define una nueva variable K.
La función de transferencia del compensador queda de la forma siguiente.
Se determina el valor de K a partir de la constante de error estático de velocidad Kv.
Sustituyendo se tiene:
Evaluando el límite se tiene:
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Finalmente el valor de K es:
Enseguida se obtiene el sistema no compensado pero ajustado en ganancia G1(s)
2. Enseguida se trazan en matlab los
diagramas de bode de
Transfer function:
4-----------------s^3 + 0.8 s^2 + s
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se (
deg)
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
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Se obtiene el valor del margen de fase y del margen de ganancia.
Para ello utilizar hacer click derecho sobre la figura y seleccionar la opción Characteristic/ Minimum Stability Margins.
Matlab automáticamente calcula los valores del margen de fase y de ganancia del sistema en cuestión.Dar click sobre el punto para obtener el valor del margen de fase.
El margen de fase de G1(s) es:
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: g1Phase Margin (deg): -54.4Delay Margin (sec): 3.13At frequency (rad/sec): 1.71Closed Loop Stable? NoP
hase
(de
g)
-100
-50
0
50
System: g1Gain Margin (dB): -14At frequency (rad/sec): 1Closed Loop Stable? No
Mag
nitu
de (
dB)
3. A continuación se localiza la frecuencia, en la cual el ángulo de fase de la F. de T. de lazo abierto de
es de:
Se busca en el diagrama de Bode del
ángulo de fase de donde ocurre esta frecuencia y se selecciona este valor como la nueva frecuencia de cruce de ganancia:
Del diagrama de Bode se observa que el ángulo de fase de -118o,
ocurre cuando .
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: g1Frequency (rad/sec): 0.491Phase (deg): -118
Pha
se (
deg)
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
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Por tanto se selecciona este valor como la nueva frecuencia de cruce de ganancia
4. A continuación selecciona la frecuencia esquina del cero del
compensador una década más abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
A partir de ecuación se determina el valor de la constante de tiempo T.
5. A continuación se determina la atenuación necesaria para llevar la
curva de magnitud de a cero en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Del diagrama de la magnitud
logarítmica de , se observa
que en , el valor en decibelios es de 19.6.
Considerando que esta
atenuación es de , de aquí se despeja el valor de del compensador de atraso.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se (
deg)
-100
-50
0
50System: g1Frequency (rad/sec): 0.491Magnitude (dB): 19.6
Mag
nitu
de (
dB)
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Con los datos de se determina la otra frecuencia esquina del compensador, la cual corresponde al polo del compensador de atraso.
6. A continuación se determina el valor de Kc a partir de la siguiente ecuación:
7. Con estos valores ya se puede formar la función de transferencia del compensador de atraso de la forma siguiente:
8. A continuación se obtiene la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado:
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Se expande el denominador para poder introducir la F. de T. en Matlab
El diagrama de bloques para el sistema compensado se muestra en la figura adjunta.
9. Enseguida se trazan los diagramas de bode del sistema compensado para verificar que se cumplen las especificaciones de diseño.
Transfer function:
0.419 s + 0.021----------------------------------------s^4 + 0.805 s^3 + 1.004 s^2 + 0.005141 s
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Las gráficas de Bode se muestran en la figura adyacente y de ella se puede obtener los siguientes valores para el margen de fase y de ganancia.
Estos valores satisfacen los requerimientos de diseño, por tanto se puede dar por terminado el procedimiento.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: g_compPhase Margin (deg): 57.2Delay Margin (sec): 2.02At frequency (rad/sec): 0.494Closed Loop Stable? YesP
hase
(de
g)
-150
-100
-50
0
50
100System: g_compGain Margin (dB): 5.29At frequency (rad/sec): 0.982Closed Loop Stable? Yes
Mag
nitu
de (
dB)
10. A continuación se obtiene la respuesta del sistema original y del sistema compensado para una entrada escalón unitario.
Para obtener la respuesta al escalón unitario se utilizará el comando step.
Primeramente se obtiene la F.de T. de lazo cerrado a partir de la F. de T. de lazo abierto mediante el comando Feedback de acuerdo a la siguiente sintaxis:
a). Cálculo de la respuesta del sistema original.
Para ello se determina la F. de T. de lazo abierto del sistema original.
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Enseguida se aplica el comando feedback para obtener la F. de T. de lazo cerrado
A continuación se obtiene la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario con el comando feedback.
La respuesta se puede observar en la figura siguiente.
Se observa que el sistema es inestable.
Transfer function: 1---------------------s^3 + 0.8 s^2 + s
Transfer function:
1
---------------------
s^3 + 0.8 s^2 + s + 1
0 50 100 150 200 250 300-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
6 Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
b). Enseguida se obtiene la respuesta al escalón unitario del sistema compensado.
Ya se tiene la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado (g_comp) introducida en el paso 9.
Por tanto aplicamos el comando feedback para obtener la F. de T. de
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lazo cerrado como sigue:
A continuación se aplica el comando step para obtener la respuesta al escalón unitario.
La respuesta del sistema compensado se observa en la figura adyacente, en ella se puede observar que el sistema se ha estabilizado y presenta un tiempo de estabilización aproximado de 35 seg.
Transfer function:
0.419 s + 0.021----------------------------------------------s^4 + 0.805 s^3 + 1.004 s^2 + 0.4241 s + 0.021
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
11. Finalmente se obtiene la respuesta del sistema original y del sistema compensado para una entrada rampa unitaria.
En ambos casos se utiliza simulink para obtener tal respuesta.
a) Respuesta del sistema original a la rampa unitaria.
Se implementa el diagrama de bloque en simulín del sistema original como se muestra en la figura adjunta.
La respuesta del sistema se muestra en la figura adjunta
Transfer Fcn
1
s +0.8s +s3 2
To Workspace
rampa
ScopeRamp
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-50
0
50
100
150
200
250Respuesta del sistema compensado a la rampa untaria
Tiempo en seg
Mag
nitu
d d
e la
re
spue
sta
b) Respuesta del sistema compensado.Se arma el diagrama de bloques.
La respuesta para el sistema compensado se muestra en la siguiente figura
Transfer Fcn
0.419 s+0.021
s +0.805 s +1.004 s +0.05141 s4 3 2
To Workspace
rampa
ScopeRamp
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Respuesta del sistema compensado a la rampa unitaria
Tiempo en seg
Mag
nitu
d d
e la
re
spue
sta
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