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2 POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS

P A R A E M P E Z A R

Expresa las siguientes operaciones como un número decimal.

a) 2,5 � 107 b) 3,12 � 10�5

a) 2,5 � 107 � 25 000 000 b) 3,12 � 10�5 � 0,000 031 2

Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias.

a) —2(

3

�

�

94)

5

2

�

�

36

�

3

4

— b) —5(�

�2

2�

51)2

5�

3

3�

03

2

2

—

a) �2(

3

��94)

5

2��36

�

3

4

� � �23

3

4��22

10

3��

33

�

3

4

� � �23

1

1

0

1� b) �5(�

�2

2�51)25�

3 �30

32

2

� � �55

�

4

2

��532

3

��352

3

��232

2

� � �55

3�

3

22�

Calcula las siguientes raíces.

a) �5

243� b) �4

�16� c) �3

39�

a) �5

243� � �5

35� � 3 b) �4

�16� no se puede. c) �4

39� � 3�93

�

� 33 � 27

Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial para el suelo y los seres vi-vos cuando esta presenta un pH inferior a 5.

¿Qué concentración de iones H� se corresponde con esta concentración del pH? Exprésalo en forma depotencia y de número decimal.

pH � �log [H�] ⇒ 5 � �log [H�] ⇒ 5 � log �[H

1�]� ⇒ 105 � �

[H1

�]� ⇒ [H�] � �

1105� � 10�5 � 0,00001

P A R A P R A C T I C A R

Notación científica

Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.

a) Masa del electrón: 1,67 � 10�27 kg

b) Radio medio del Sol: 9,97 � 108 m

c) Tamaño de un virus: 0,000 000 000 235 m

d) Radio medio de la órbita terrestre: 1,49 � 1011 m

a) �27 b) 8 c) �10 d) 11

Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 12 345 678 c) �354 125 000 000

b) Sesenta billones d) 0,0097 � 1023

a) 1,234 567 8 � 107 c) �3,541 25 � 1011

b) 6 � 1013 d) 9,7 � 1020

2.2

2.1

4

3

2

1

Escribe en notación científica estos números:

a) 0,000 000 000 331 c) �0,000 000 001 23

b) Cuarenta y tres milésimas d) 967 � 10�25

a) 3,31 � 10�10 c) �1,23 � 10�9

b) 4,3 � 10�2 d) 9,67 � 10�23

E j e r c i c i o r e s u e l t o

En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los múltiplos y submúltiplos delas unidades de medida.

Expresa en notación científica y en microculombios la siguiente medida de carga eléc-trica: 3 picoculombios

3 picoculombios �� 3 � 10�12 culombios �� 3 � 10�12 � 106 microculombios �� 3 � 10�6 microculombios

Expresa en notación científica y en la unidad indicada:

a) 320 miriámetros en centímetros

b) 6000 nanosegundos en milisegundos

c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios

d) 0,01 gigagramos en decigramos

a) 320 � 104 metros � 320 � 104 � 102 centímetros � 3,2 � 108 centímetros

b) 6000 � 10�9 segundos � 6000 � 10�9 � 103 milisegundos � 6 � 10�3 milisegundos

c) 1,75 � 108 � 103 kilovoltios � 1,75 � 1011 kilovoltios

d) 10�2 � 109 gramos � 107 � 10 decigramos� 108 decigramos

Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a) 0,32 � 1014 � 7,128 � 1012 c) 4,88 � 10�14 � 7,921 � 10�12

b) 3,1109 � 1045 � 2244 � 1040 d) 36,79 � 10�25 � 2244 � 10�28

a) 0,32 � 1014 � 7,128 � 1012 � 32 � 1012 � 7,128 � 1012 � 39,128 � 1012 � 3,9128 � 1013

b) 3,1109 � 1045 � 2244 � 1040 � 3,1109 � 1045 � 0,022 44 � 1045 � 3,088 46 � 1045

c) 4,88 � 10�14 � 7,921 � 10�12 � 0,0488 � 10�12 � 7,921 � 10�12 � 7,9698 � 10�12

d) 36,79 � 10�25 � 2244 � 10�28 � 3,679 � 10�24 � 0,2244 � 10�24 � 3,4546 � 10�24


a) (1,65 � 106) � (0,8 � 109) c) (2,8 � 10�26) � (15 � 1043)

b) (22,1 � 1054) � (8,4 � 100 000) d) (2,3 � 10�15) � (4,5 � 10�11)

a) (1,65 � 106) � (0,8 � 109) � 1,65 � 0,8 � 1015 � 1,32 � 1015

b) (22,1 � 1054) � (8,4 � 100 000) � 185,64 � 1059 � 1,8564 � 1061

c) (2,8 � 10�26) � (15 � 1043) � 42 � 1017 � 4,2 � 1018

d) (2,3 � 10�15) � (4,5 � 10�11) � 10,35 � 10�26 � 1,035 � 10�25

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

Exa 1018

Peta 1015

Tera 1012

Giga 109

Mega 106

Miria 104

Kilo 103

Hecto 102

Deca 101

—— 100

Deci 10�1

Centi 10�2

Mili 10�3

Micro 10�6

Nano 10�9

Pico 10�12

Femto 10�15

Atto 10�18


a) 2,3 � 1029 � 1029 � 512 � 10�2

b) (0,007 37 � 1019) : (1,1 � 10�19)

c) 2,6 � 10�5 � (3,2 � 10�4)2

d) 834 � 10�4 � 0,000 001 2 : (3 � 10�9)

a) 2,3 � 1029 � 1029 � 512 � 10�2 � 2,3 � 1029 � 5,12 � 1029 � 7,42 � 1029

b) (0,007 37 � 1019) : (1,1 � 10�19) � 7,37 � 1016 : (1,1 � 10�19) � 6,7 � 1035

c) 2,6 � 10�5 � (3,2 � 10�4)2 � 2,6 � 10�5 � 1,024 � 10�7 � 2,589 76 � 10�5

d) 834 � 10�4 � 0,000 0012 : (3 � 10�9) � 8,34 � 10�2 � 1,2 � 10�6 : (3 � 10�9) � 8,34 � 10�2 � 4 � 102 � 4,000 834 � 102

P A R A A P L I C A R

Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un mi-llón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usan-do la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.

Ocuparían aproximadamente 0,1 � 106 � 105 milímetros, es decir, unos 100 metros.

Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notacióncientífica.

Cada año dura aproximadamente 365,25 días. Rosa tiene aproximadamente 365,25 � 24 � 60 � 60 segundos, es decir, 3,155 76 � 107

segundos.

El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la se-gunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 � 1 granos de trigo.

a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.

b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.

a) La cantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, más de 18 trillones. El orden de magnitud es 19.

b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 � 1015 kg, aproximadamente, o 3 � 1012 toneladas.

El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada apuesta costara 0,80 euros, ¿cuán-to habría que gastar para rellenar todas las columnas posibles?

Habría que gastar 0,80 � 315� 1,147 912 56 � 107 � 11 479 125,60 euros, unos 11,5 millones de euros.

La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 � 1024 kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?

Harían falta 5,98 � 1024 : (330 � 10�3) � 1,8 � 1025 botes, aproximadamente.

Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 li-tros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?

Tendrá entre 4,3 � 106 � 5000 y 5,9 � 106 � 5000 hematíes, es decir, entre 2,15 � 1010 y 2,95 � 1010 hematíes.

La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es de-cir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.

La respuesta depende del número de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores serán 9,999 999 999 � 1099 y �9,999 999999 � 1099. Los valores más próximos a cero serán 9,999 999 999 � 10�99 y �9,999 999 999 � 10�99.

2.15

2.14

2.13

2.12

2.11

2.10

2.9

2.8

Potencias de exponente fraccionario. Radicales


Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.

a) �5

2� c) �228�

b) �7

25� d) �4 —21

3—�a) 2

�15

�

b) 2�57

�

c) 2�228�

� 214 d) 2��

43�

Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.

a) �212� c) �3

1012�

b) �36� d) �3 —10

112—�

a) �212� � 2�122�

� 26 � 64 c) �3

1012� � 10�132�

� 104 � 10 000

b) �36� � 3�62

�

� 33 � 27 d) �3 �10

112�� 10

��312�

� 10�4 � 0,0001

Calcula las siguientes potencias.

a) 160,5 c) 80,333…

b) 2560,25 d) 1000 0000,1666…

a) 160,5 � 16�12

�

� �16� � 4 c) 80,333… � 8�13

�

� �3

8� � 2

b) 2560,25 � 256�14

�

� �4

256� � 4 d) 1000 0000,1666… � 1000 000�16

�

� �6

1000 0�00� � 10

Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.

a) �5� b) �3

2� c) �5

74�

a) �4

52�, �6

53�, �8

54� b) �6

22�, �9

23�, �12

24� c) �10

78�, �15

712�, �20

716�


Ordena de menor a mayor: �73�, �3

75�, �4

75�.

Primero se reducen a índice común. En este caso, el mínimo común múltiplo de los índices es 12.

�73� � �12

718� �3

75� � �12

720� �4

75� � �12

715�Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El orden pedido es el siguiente.

�4

75� � �73� � �3

75�

Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.

a) �8

213�, �10

217�, �16

223� b) �28�, �3

100�, �4

35�

a) �8

213� � �80

2130�, �10

217� � �80

2136�, �16

223� � �80

2115� ⇒ �16

223� � �8

213� � �10

217�b) �28� � �

12481 89�0 304�, �

3100� � �

12100 00�0 000�, �

435� � �

1214 348� 907� ⇒ �

435� � �

3100� � �28�

2.21

2.20

2.19

2.18

2.17

2.16

Calcula las siguientes operaciones.

a) c) �—53

—� � �—257—� e) �

433� � �

4317�

b) �3

16� : �3

2� d) �5

2� : �5

24� f) �3 —14

—� : �3

2000�

a) ��2�

��

5�10�

� � ��

25�0�

� � ��250�� 4� � 2 c) ��

53

�� 257��

53��257

�� 9� � 3 e) �4

33� � �4

317� � �4

320� � 35

b) �3

16� : �3

2� � �3

8� � 2 d) �5

2� : �5

24� � �5 �22

4�� f) �3 �14

�� : �3

2000� � �3 �80

100��

210�


a) (�4

27�)3b) (�3 � 23� )7

c) ��3

218��

a) (�4

27�)3� �

4221� � 25 �

42� b) (�3 � 23� )7

� �37 � 221� � 33 � 210 �6� c) ��3

218�� 26� � 23


En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) E � mc 2, despeja c.

b) V � —43

— �r 3, despeja r.

a) E � mc2 ⇒ �mE� � c2 ⇒ c � ��

mE��

b) V � �43

� �r3 ⇒ r3 � �43�V� ⇒ r � �3 �

43�V��

En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) v � v0 � t � —12

— a � t 2, despeja a.

b) (a � x)2 � b2 � c2, despeja x.

a) v � v0 � t � �12

� a � t2 ⇒ v � v0 � t � �12

� a � t2 ⇒ �2(v �

t 2v0 � t)� � a

b) (a � x)2 � b2 � c2 ⇒ (a � x)2 � c2 � b2 ⇒ a � x � �c2 � b2� ⇒ a �c2 � b2� � x


Los lados de un corral miden �2� y �32� metros. ¿Puede ser su área un número natural?

Sí, el área es �2� � �32� � �64� � 8 m2.

La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es —34

—, y los volúmenes son 1728 y 4096 metros

cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes y com-párala con la de sus lados.

El lado del primer depósito mide �3

1728� � 12 metros. El lado del segundo mide �3

4096� � 16 metros. La razón es correcta.

La razón de sus volúmenes es �14

70

29

86

� � �26

74� � ��

34

��3

, el cubo de la razón de sus lados.

2.27

2.26

2.25

2.24

2.23

1��

523�

�2� � �10�——�5�

2.22

El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de en-tre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?

El diámetro se calcula a partir de la fórmula del volumen. V � �43

� �r3 ⇒ r � �3 �43�V�� ⇒ d � 2 � �3 �

43�V��. Como el volumen está entre

13 000 y 17 000 cm3, el diámetro está entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones posibles, 30 o 31 cm.

Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.

Dada la arista a, el volumen del cubo es V � a3, y su superficie es S � 6 · a2.

La fórmula pedida es V � a3 � ��6S

��3

.

Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes re-sultados.

a) 5751425457 b) 816302041 c) 15241383936 d) 6195264100 e) 999998000001 f) 1000468054756

Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?

Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Por tanto, se equivocó en a).

Si el número tiene seis cifras, está en el intervalo [105, 106). El cuadrado estará en [1010, 1012), tendrá al menos 11 cifras y menos de13. Por tanto, los números de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeños, y el del f) es demasiado grande.

Se puede comprobar que los números restantes son correctos: 15 241 383 936 � 123 4562 y 999 998 000 001 � 999 9992.

Operaciones con radicales



Calcula las raíces de los siguientes números decimales.

a) �0,81� b) ��0,81� c) �3

�0,12�5�

a) �0,81� � ��18010

��

1801�0�

� � �190� � 0,9

b) El índice es par y el radicando es negativo. No tiene raíces reales.

c) �3

�0,12�5� � �3 ��1102050

�� 3 � �18

��

3

31�8�

� � ��12

� � �0,5

Calcula las raíces de los siguientes números.

a) �0,006�4� b) �0,111�…� c) �0,694�44…�

a) �0,0064� � ��10

60400��

1800� � 0,08 b) �0,111…� � ��

19

�� 13

� � 0,333… c) �0,6944�4…� � ��2356��

56

� � 0,8333…

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a) �23 � 35� � 57� b) �3

a5 � b1�2 � c7�a) �28 � 35�� 57� � 24 � 32 � 53 � �3 � 5� b) �

3a5 � b12� � c7� � a � b4 � c2 � �a2 � c�

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a) �5 —26

5�2

30

1

�2

—� b) �4 —28

8�3

45

—�a) �5 �

26

5�

20312

�� 2

5�

432

� �5

2 � 32� b) �4 �28

8�

345

�� 4 �28

2�

9210

�� 4

29� � 22 � �4

2�

2.34

2.33

2.32

2.31

2.30

2.29

2.28

Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.

a) 23 � 35 � �27� c) —23

5� 34

— � �3 —51

3

1

1

�0

2—�

b) 35 � 7 � �4

3 � 72� d) —acb�2

3

—�—ba3c

3

3—�a) 23 � 35 � �27� � �26 � 310� � 27� � �213 � 31�0� c) �

23

5� 34

� � �3 �51

3

1

1�02

�� 3 �29 � 3

5

1

3

2

��351

1

0

1 ��2��

3210 � 32� � 58�

b) 35 � 7 � �4

3 � 72� � �4

321 � 76� d) �ac�

b2

3

��ba3c

3

3�� ca�

2

4bb

6

3ac

3

3�� a5b3c�

Realiza las operaciones indicadas.

a) �3

a2� � �4

a3� � �6

a5� b) �4 —23

3

7—� � �6 —37

7� 25

—�a) �

3a2� � �

4a3� � �

6a5� � �

12a8� � �

12a9� � �

12a10� � �

12a27� � �

4a9�

b) �4 �23

3

7�� 6 �37

7� 25

�� 12 �32

2

9

1�� 12 �314

7�

221

�0

�� 12 �37

2�

19

72��


a) b) c) �432 � �

5�34��

a) � �12 �22

9

4��

33

3

8�� 12 �23

5

5��b) � � �6 �

yx

9

4��c) �4

32 � �5

3�4�� 4

�5

310 ��34�� 20

314� � �10

37�

Realiza las siguientes operaciones.

a) �8� � 5�2� � �200� d) �3

24� � �2� � 6�3

3� � �32�

b) 2�3

5� � �6

25� � �3 —58

—� e) �50� � �—148—� � �—

7225—�

c) �5a2� � �80a2� � �20a4� f) 10 � �3

0,024� � 5 � �3

0,003�

a) �8� � 5�2� � �200� � 2�2� � 5�2� � 10�2� � 7�2�

b) 2�3

5� � �6

25� � �3 �58

�� 2�3

5� � �3

5� � �12

� �3

5� � �32

� �3

5�

c) �5a2� � �80a2� � �20a4� � a�5� � 4a�5� � 2a2�5� � (2a2 � 3a)�5�d) �

324� � �2� � 6�

33� � �32� � 2�

33� � �2� � 6�

33� � 4�2� � 3�2� � 4�

33�

e) �50� � ��148��

72

25�� 5�2� � �

32

� �2� � �65

� �2� � �4170� �2�

f) 10 � �3

0,024� � 5 � �3

0,003� � 10 � �120� �

33� � 5 � �

110� �

33� � �

52

� �3

3�

2.38

�6

x4y14� � �6

x3y3��

�6

x11y8��

3x2y7� � �xy�

��

6x11y8�

�4

23 � 3��

32 � 32�

�3

x2y7� � �xy�——�6

x11y8��4

23 � 3�—�3

2 � 32�

2.37

2.36

2.35


Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza y

.

En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el denomi-nador.

�25

��

3�2�

� � �25

��

3�2�

�

�

��

2�2�

� � �5

2�

��

6�22�

� � �25

�� 2

6��

�56�

�

En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.

� � � � �5

73�

Racionaliza las siguientes fracciones.

a) —�3

2�— c) —

�7

12

25�— e) —

�3��

�

2��5�—

b) —5�

2

6�— d) —

�4

4

2

017�

— f) —��6

4

2

21

9�1�

—

a) ��32�

� � ��

32��

2�2�

� � �3�

22�

� c) ��

712

25��

�71

2

25��

7

�27

2�22�

� � �12�

2

722�

� � 6�7

22� e) ��3�

��

2��5��

��3��

2��5��

3��3��

5�5�

� � ��1350�

�

b) �5�

26�

� � �25�� 6

6��

�15

6�� d) �

�44

2

017�

� � �4

�04�2

4

2

20�

3��

402�4

523�

� � �5�4

423�

� f) ��6

4

2

21

9�1�

� � ��4

2

�6

9�2

�1

�2�

62�

� � ��12

4219��


P r o b l e m a r e s u e l t o

El profesor asegura que el número �(2 � ��3�)(2 �� 3�)� es entero. ¿Es posible?

Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.

�(2 � ��3�)(2 �� 3�)� � �22 � (��3�)2� � �4 � 3� � �1� � 1

En efecto, el resultado es un número entero.

Comprueba si el número siguiente es un número entero: �3(4 � 2��2�)(4� � 2��2�)�.

�3(4 � 2��2�)(4�� 2�2��)� � �3

42 � (2��2�)2� � �3

16 � 8� � �3

8� � 2

Es un número entero.

Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un núme-

ro inicial y usando repetidamente la tecla . Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tresveces dicha tecla.

20 → → 4,472… → → 2,114… → → 1,454… ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza

en el número 300? ¿Y empezando en el 1000? Indica la operación realizada usando una sola raíz.

Para el número 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene ��30�0�� 16

300�.

Para el número 1000, necesita también 4 pulsaciones. Obtiene ��10�00�� 16

1000�.

��

��

2.43

2.42

2.41

2.40

7 � �5

73��

7

7 � �5

73��

�5

75�7 � �

573�

��

572� � �

573�

7��

572�

7—�5

72�

2�3�—5�5�

2.39

Adivina un número a sabiendo que:

• Su raíz cúbica es mayor que 4.

• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17.

• El número es un entero múltiplo de 10.

El número a cumple:

�3

a� 4 ⇒ a 64

�3

a2� � 17 ⇒ a2 � 173 ⇒ a � �173� � 70,09…

El número está en el intervalo (64, 70,09… ]. Como debe ser entero y múltiplo de 10, la solución es 70.

Logaritmo de un número


Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:

a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 � log 25

b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 � 0,301.

a) log 40 � log 25 � log (40 � 25) � log 1000 � 3

b) log 8 � log 23 � 3 � log 2 � 3 � 0,301 � 0,903


Calcula los siguientes logaritmos.

a) log 10 000 c) log2 256

b) log3 81 d) log3 243

a) log 10 000 � log 104 � 4 c) log2 256 � log2 28 � 8

b) log3 81 � log3 34 � 4 d) log3 243 � log3 35 � 5



a) log2 0,25 c) log4 2

b) log 0,001 d) log9 27

a) log2 0,25 � log2 �14

� � log2 �21

2� � log2 2�2 � �2

b) log 0,001 � log �10

100� � log �

1103� � log 10�3 � �3

c) 4 � 22 ⇒ 2 � �4� � 4�12

�

⇒ log4 2 � log4 4�12

�

� �12

�

d) 9 � 32 ⇒ 3 � �9� � 9�12

�

; 27 � 33 � �9�12

��3

� 9�32

�

log9 27 � log9 9�32

�

� �32

�

2.47

2.46

2.45

2.44


a) log2 0,125 d) log 0,000 01 g) log16 64

b) log3 0,333… e) log16 2 h) log8 4

c) log3 —524— f) log64 2 i) log4 �2�

a) log2 0,125 � log2 �18

� � log2 2�3 � �3 f) log64 2 � log64 �6

64� � �16

�

b) log3 0,333… � log3 �13

� � log3 3�1 � �1 g) log16 64 � log16 26 � log16 (�4

16�)6 � log16 16�64

�

� �32

�

c) log3 �524� � log3 �

217� � log3 �

31

3� � log3 3�3 � �3 h) log8 4 � log8 22 � log8 (�3

8�)2 � log8 8�23

�

� �23

�

d) log 0,00001 � log 10�5 � �5 i) log4 �2� � log4 �4

4� � log4 4�14

�

� �14

�

e) log16 2 � log16 �4

16� � log16 16�14

�

� �14

�


Conociendo los valores aproximados de log 2 � 0,301 y log 3 � 0,477, calcula los siguientes usando laspropiedades de los logaritmos.

a) log 24 b) log 5

a) log 24 � log (23 � 3) � log 23 � log 3 � 3 log 2 � log 3 � 3 � 0,301 � 0,477 � 1,38

b) log 5 � log �120� � log 10 � log 2 � 1 � 0,301 � 0,699

Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior.

a) log 36 d) log —294— g) log 75

b) log 64 e) log 20 h) log 0,2

c) log —23

— f) log 150 i) log 0,8333…

a) log 36 � log (22 � 32) � log 22 � log 32 � 2 log 2 � 2 log 3 � 2 � 0,301 � 2 � 0,477 � 1,556

b) log 64 � log 26 � 6 log 2 � 6 � 0,301 � 1,806

c) log �23

� � log 2 � log 3 � �0,176

d) log �294� � log �

38

� � log 3 � 3 log 2 � �0,426

e) log 20 � log (2 � 10) � log 2 � log 10 � 0,301 � 1 � 1,301

f) log 150 � log �3 �

2100� � log 3 � log 100 � log 2 � 2,176

g) log 75 � log �3 �

4100� � log 3 � log 100 � 2 log 2 � 1,875

h) log 0,2 � log �120� � log 2 � log 10 � 0,301 � 1 � �0,699

i) log 0,8333… � log �56

� � log �11

02� � log 10 � log 12 � 1 � (2 log 2 � log 3) � �0,079

2.50

2.49

2.48

Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos.

a) log3 2 c) log3 32 e) log2 30

b) log2 9 d) log2 10 f) log8 2

a) log3 2 � �lloo

gg

23

� � �00

,,34

07

17

� � 0,631

b) log2 9 � �lloo

gg

92

� � �lloogg

32

2

� � �2lologg23

� � �2

0�,03,04177

� � 3,169

c) log3 32 � �lologg

332

� � �5lologg32

� � 3,155

d) log2 10 � �lologg

120

� � �0,3

101� � 3,322

e) log2 30 � �lologg

320

� � �log 3

lo�g

l2og 10� � 4,907

f) log8 2 � �lloo

gg

28

� � �lloogg

22

3� � �3lologg22

� � �13

�


a) log3 7 � log7 3 c) log7 (log3 (log2 8))

b) �log3 5 � log5 9 d) log4 (log2 (log3 (10 � log 10)))

a) log3 7 � log7 3 � �lloo

gg

73

� � �lloo

gg

37

� � 1

b) �log3 5 � log5 9 � �lloo

gg

53

� �lloo

gg

95

� � ��lloogg

33

2

� � ��2lologg33

� � �2

c) log7 (log3 (log2 8)) � log7 (log3 (log2 23)) � log7 (log3 3) � log7 1 � 0

d) log4 (log2 (log3 (10 � log 10))) � log4 (log2 (log39)) � log4 (log2 2) � log4 1 � 0


Sabiendo los valores de log a � 0,5 y log b � 0,3, calcula log �3 —a2

1�

0b

—�.

Usando las propiedades de los logaritmos,

log �3 �a2

1�0

b��

13

� log �a2

1�0

b� � �

13

� (log (a2 � b) � log 10) �

� �13

� (log a2 � log b � 1) � �13

� (2 log a � log b � 1)

Se sustituyen los valores dados.

log �3 �a2

1�0

b��

13

� (2 � 0,5 � 0,3 � 1) � �13

� � 0,3 � 0,1

Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log —10

�0a�b3—.

log �1�00

a�b3� � log �a� � log 100b3 � log a

�12

�

� (log 100 � log b3) � �12

� log a � 2 � 3 log b � �12

� 0,5 � 2 � 3 � 0,3 � �2,65

2.54

2.53

2.52

2.51


Antes de la invención de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos para operar con números gran-des. En la tabla figuran algunas potencias de 2.

Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, para calcular 32 � 64 bus-caban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y buscaban en la tabla el número correspondiente (2048).Calcula, usando esa tabla, 16 � 128 y 16 384 : 256.

Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto, se suman los exponentes (11) y se busca el valor corres-pondiente, 2048.

Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valorcorrespondiente, 64.

Si log 2 � 0,301, ¿cuánto valdrá log 20? ¿Y log 200? ¿Y log 2000? ¿Qué número tendrá por logaritmo 8,301?

Como 20 � 2 � 10, log 20 � log 2 � log 10 � log 2 � 1 � 1,301. De la misma forma, log 200 � 2,301, log 2000 � 3,301, y así suce-sivamente. El número 8,301 se descompone como la suma de 8 (log 108) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el logaritmo de 2 � 108.

Halla el valor de x en la siguiente expresión, aplicando las propiedades de los logaritmos.

log (x � 1)2 � 6

log (x � 1)2 � 6 ⇒ 2 log (x � 1) � 6 ⇒ log (x � 1) � 3 ⇒ x � 1 � 103 � 1000 ⇒ x � 1000 � 1 � 999

¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número y el de su inverso?

log �1a

� � log 1 � log a � 0 � log a. Son opuestos.

Escribe como un único logaritmo la siguiente expresión: 3 log a � —12

— log b � 1 � 5 log c.

3 log a � �12

� log b � 1 � 5 log c � log a3 � log b�12

�

� log 10 � log c5 � log � log �a3 � �

c5b� � 10�

M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S


Calcula la intensidad de los siguientes sonidos.

a) Música a mucha potencia: 6,4 Pa b) Martillo neumático: 1,1 Pa

a) Np � 20 � log �2 �

61,40�5� � 110,10 db b) Np � 20 � log �

2 �11,10�5� � 94,81 db� 94,81db

Busca información sobre la escala de Ritcher. ¿Qué magnitud mide? ¿Mediante qué fórmula? ¿Se tratade una escala logarítmica?

La escala de Richter mide la energía desprendida en un terremoto.

La fórmula que emplea es M � log A � 3 log (8 � �t) � 2,92, siendo A la amplitud (en mm) de las ondas tipo S y �t el tiempo, ensegundos, transcurrido entre la aparición de ondas tipo P y tipo S. Es por tanto una escala logarítmica.

2.61

2.60

a3 � b�12

�

� 10��

c5

2.59

2.58

2.57

2.56

2.55

Exponente 0 1 2 3 4

Valor 1 2 4 8 16

Exponente 5 6 7 8 9

Valor 32 64 128 256 512

Exponente 10 11 12 13 14

Valor 1024 2048 4096 8192 16 384

A C T I V I D A D E S F I N A L E S

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Escribe en notación científica estas cantidades.

a) 0,000 000 007 71 b) 0,000 041 c) 992 600 000 000 d) 4 840 000 000

a) 0,000 000 007 71 � 7,71 � 10�9 c) 992 600 000 000 � 9,926 � 1011

b) 0,000 041 � 4,1 � 10�5 d) 4 840 000 000� 4,84 � 109

Escribe correctamente en notación científica:

a) 887 � 105 b) 5785,46 � 10�8 c) 0,005 2 � 1012 d) 0,004 � 10�24

a) 887 � 105 � 8,87 � 107 b) 5785,46 � 10�8 � 5,785 46 � 10�5 c) 0,0052 � 1012 � 5,2 � 109 d) 0,004 � 10�24 � 4 � 10�27

En una muestra hay 5,23 � 106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 � 10�10 gramos. ¿Cuál es el pesototal?

5,23 � 106 � 2,5 � 10�10 � 1,3075 � 10�3 gramos.

Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.

a) �7

34� b) 5 c) 8—23

—

a) �7

34� � �14

38� � �21

312� � �28

316� b) 5 � �52� � �3

53� � �4

54� c) 8�23

�

� 4 � �42� � �24� � �3

26�

Ordena de menor a mayor �5

27�, 3, �6

32�.

�5

27� � �30

242� � �30

4,4 � 1�012�; 3 � �30

330� � �30

2 � 101�4�, �6

32� � �30

225� � �30

3,3 � 1�07�El orden es �

632� � �

527� � 3.

Calcula las siguientes raíces.

a) �576� b) �0,008�1� c) �1,777�…�

a) �576� � �26 � 32� � 23 � 3 � 24 b) �0,0081� � ��10

80100��

1900� � 0,09 c) �1,777…� � ��

196��

43

�

Extrae de la raíz todos los factores posibles.

a) �5 —xz

12

1

y00

54

—� b) —23

3

4—�6 —320

5�6

2�10

—� c) �3 —45 �

168

4

�2

� 3—�

a) �5 �xz

12

1y00

54

�� xz

2y20

10

� �5

x2y4�

b) �23

3

4��6 �320

5�

621

�0

�� 23

3�

43�

3

5� 2

��6

32 � 24� � �3

2�

4

5� �

632 � 24� � �

32�

4

5� �

33 � 22�

c) �3 �45 �

168

4

2�� 3�� 3 �2

10 �222

4

��334

4 � 3��

3212 � 3� � 24 � �

33�

2.68

2.67

2.66

2.65

2.64

2.63

2.62


a) �8

25 � 36� � �6

29 � 35� b) —�4

a

�

3�3

�

a2��a�— c) �3 ��

423��

a) �8

25 � 36� � �6

29 � 35� � �24

215 � 31�8 � 236 �� 320� � �24

251 � 33�8�

b) � �12 �aa

9a8

6

�� 12

a7�

c) �3 ��4

23�� 3�2�4�23� � �

82�


a) �75� � �12� � 3�3� c) �3

25� � 9 � �3 —584—�

b) 5�2� � 4�8� � 10�18� d) �0,222�…� � 36 � 20 � �0,125�

a) �75� � �12� � 3�3� � 5�3� � 2�3� � 3�3� � 6�3�b) 5�2� � 4�8� � 10�18� � 5�2� � 8�2� � 30�2� � �17�2�

c) �3

25� � 9 � �3 �584�� 2�

34� � 9�3 �

247�� 2�

34� � �

93

� �3

4� � ��3

4�

d) �0,222…� � 36 � 20 � �0,125� � ��29

�� 36 � 20 � ��18

�� 13

� �2� � 36 � �240� �2� � 7�2�


a) log 100 000 b) log5 625 c) log7 343

a) log 100 000 � log 105 � 5 b) log5 625 � log5 54 � 4 c) log7 343 � log7 73 � 3


a) log2 0,125 c) log81 3 e) log1000 10

b) log4 —438— d) log25 5 f) log1000 100

a) log2 0,125 � log2 �18

� � log2 2�3 � �3

b) log4 �438� � log4 �

116� � log4 4�2 � �2

c) log81 3 � log81 �4

81� � �14

�

Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias.

a) log (25 � 37)4 b) log —25

7�6

34

— c) log �—�ba�—�

a) log (25 � 37)4 � log (220 � 328) � log 220 � log 328 � 20 log 2 � 28 log 3

b) log �25

7�

634

� � log (25 � 34) � log 76 � 5 log 2 � 4 log 3 � 6 log 7

c) log ��b

a�� log � �

14

� log a � �12

� log b�4

a��b�

2.73

2.72

2.71

2.70

�4

a3� � �a��

�3

a2�

2.69

d) log25 5 � log25 �25� � �12

�

e) log1000 10 � log1000 �3

1000� � �13

�

f) log1000 100 � log1000 102 � log1000 ��3

1000��2 � �23

�


a) log2 (log 10 000) b) log3 (log2 (10 � log 0,01))

a) log2 (log 10 000) � log2 4 � 2

b) log3 (log2 (10 � log 0,01)) � log3 (log2 (10 � 2)) � log3 (log2 8) � log3 3 � 1

Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica.

a) 3 millones de kilómetrosb) Una millonésima de milímetro

a) 3 millones de kilómetros � 3 � 106 kilómetros � 3 � 109 metrosb) Una millonésima de milímetro � 10�6 milímetros � 10�9 metrosc) 26 � 10�12 hectómetros � 26 � 10�12 � 102 metros � 2,6 � 10�9 metrosd) 3 trillones de nanómetros � 3 � 1018 nanómetros � 3 � 1018 � 10�9 metros � 3 � 109 metros

El factorial de un número se define:

n! � n · (n – 1) � … � 2 � 1

Por ejemplo:

6! � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720

Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.

a) 15! b) 25! c) 40!

a) 15! � 1,3 � 1012; orden 12 b) 25! � 1,55 � 1025; orden 25 c) 40! � 8,159 � 1047; orden 47

En la siguiente fórmula, despeja cada una de las variables que aparecen.

x3 � —y1

2— � �3

z2� � 1

x3 � �y1

2� � �3

z2� � 1 ⇒ x � �3 �y1

2� � ��3z2� ��1�

x3 � �y1

2� � �3

z2� � 1 ⇒ x3 � 1 � �3

z2� � �y1

2� ⇒ y � ��

3z2� � 1 � x3 � �

y1

2� ⇒ z � ��1 � x�3 � �y1

2��3

�Cualquier número natural se puede expresar como suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos.Esto nos permite representar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teorema de Pitágoras.

Descompón en suma de cuadrados los siguientes números e indica cómo se representarían sus raíces cua-dradas.

a) 41 b) 27 c) 31

a) 41 � 52 � 42. Para representar la raíz se construye el triángulo rectángulo de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide �41�.

b) 27 � 52 � 12 � 12. Se representa primero �2�, usando dos catetos de longitud 1, y después se usan como catetos �2� y 5.

c) 31 � 52 � 22 � 12 � 12. Como en el ejemplo anterior, se representa primero �2�, después �6� y por último �31�.

2.78

1��x3 � 1 � �

3z2�

2.77

2.76

2.75

2.74

14

44

24

44

3

0 1 2–13 = 12 + 12 + 12

32√ 3√

c) 26 � 10�12 hectómetrosd) 3 trillones de nanómetros

¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?

Como 105 � x � 106, la raíz cuadrada cumple que 316,2 � �105� � x � �106� � 103, y la raíz cúbica cumple que 46,4 � �

3105� � x � �

3106� � 100. Por tanto, la raíz cuadrada tiene tres cifras, y la raíz cúbica tiene dos.

Considera las fórmulas del área y del volumen de una esfera de radio r y, a partir de ellas:

a) Halla una fórmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo su volumen.

b) Halla la fórmula que da la longitud de la circunferencia máxima en función del volumen.

Las fórmulas a utilizar son L � 2�r, S � 4�r2, V � �43

� �r3.

a) V � �43

� �r3 � (4�r2) �13

� r � S � �13

� r ⇒ S � �3rV� b) V � �

43

� �r3 � (2�r) �23

� r2 � L � �23

� r2 ⇒ L � �23

rV

2�

Una hoja de papel tiene 0,01 milímetros de grosor. Se dobla ese papel por la mitad, se vuelve a doblar,y así sucesivamente.

Utilizando logaritmos, ¿podrías indicar cuántos dobleces harían falta para obtener un grosor de 100metros?

Como 100 metros son 100 000 milímetros, se trata de hallar el primer valor natural para el que 0,01 � 2x 100 000, donde x indicael número de dobleces.

0,01 � 2x 100 000 ⇒ 2x 107 ⇒ log 2x log 107 ⇒ x �log

72

� � 23,25.

Hay que realizar un mínimo de 24 dobleces.

P A R A R E F O R Z A R

Escribe los siguientes números empleando notación científica.

a) 0,000 000 000 235 b) 5 480 000 000 000

a) 0,000 000 000 235 � 2,35 � 10�10 b) 5 480 000 000 000 � 5,48 � 1012

Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.

a) (3,5 � 1015) � (1,2 � 107) d) (2,67 � 1043) : (1,4 � 1033)

b) (2,24 � 10�15) � (3 � 10�20) e) (5,78 � 10�21) : (2,22 � 10�25)

c) (2 � 1023) � (1,55 � 10�30) f) (9,93 � 107) : (3,12 � 10�7)

a) Orden 22 b) Orden �35 c) Orden �7 d) Orden 10 e) Orden 4 f) Orden14

Despeja x en cada ecuación.

a) a � x2 c) 42 � x3

b) 125 � x3 d) x�3 � 24

a) a � x2 ⇒ x � �a� c) 42 � x3 ⇒ x � �3

42�

b) 125 � x3 ⇒ x � �3

125� � 5 d) x�3 � 24 ⇒ x � �3 �21

4��Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:

a) 320,2 b) 10000,666… c) 625—12050

—

a) 320,2 � 32�15

�

� �5

32� � 2 b) 10000,666… � 1000�23

�

� �3

10002� � 100 c) 625�12050

�

� 625�14

�

� �4

625� � 5

2.85

2.84

2.83

2.82

2.81

2.80

2.79

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

�12

27� �15

29� �18

213�

�12

27� � �180

2105� � �15

29� � �180

2108� � �18

213� � �180

2130�


a) 3�2� � 7�2� � 4�2�

b) —12

— �20� � �75� � 4�45�

a) 3�2� � 7�2� � 4�2� � (3 � 7 � 4)�2� � 0�2� � 0

b) �12

� �20� � �75� � 4�45� � �12

� 2�5� � 5�3� � 4 � 3�5� � �11�5� � 5�3�

Expresa como un único radical:

a) 5�6� d)

b) 2�3� � 7�2� e) �3

2� � �4

2�

c) �3

5� � �3

6� f)

a) 5�6� � �52 � 6� d) � �15�

b) 2�3� � 7�2� � 14�6� � �142 � 6� e) �3

2� � �4

2� � �12

24 � 23� � �12

27�

c) �3

5� � �3

6� � �3

30� f) � �6 �33

4�25

��


a) log4 256 c) log 10 000 000

b) log2 1024 d) log37 1

a) log4 256 � log4 44 � 4 c) log 10 000 000 � log 107 � 7

b) log2 1024 � log2 210 � 10 d) log37 1 � 0


a) log 0,1 c) log2 —1392—

b) log5 0,04 d) log2 (0,57)

a) log 0,1 � log 10�1 � �1 c) log2 �1392� � log2 �

614� � log2 2�6 � �6

b) log5 0,04 � log5 �215� � log5 5�2 � �2 d) log2 (0,57) � log2 2�7 � �7

2.90

2.89

�3� � �6

5��

�3

4�

�45��3�

�3� � �6

5�——�3

4�

�45�—�3�

2.88

2.87

2.86


a) log1 000 000 100 c) log4 8

b) log36 6 d) log8 4

a) log1 000 000 100 � log1 000 000 �3

1 000 0�00� � �13

� c) log4 8 � log4 23 � log4 (�4�)3 � log4 4�32

�

� �32

�

b) log36 6 � log36 �36� � �12

� d) log8 4 � log8 (�3

8�)2 � �23

�

P A R A A M P L I A R

Estudia el método empleado para racionalizar fracciones de la forma .

a) Comprueba que la fracción —�3� �

1

�2�— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador

por �3� � �2�.

b) Comprueba que la fracción —�6� �

1

�2�— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador

por �6� � �2�.

a) ��3� �

1

�2��

�3�3

�

�

�2

2�� 3� � �2�

b) ��6� �

1

�2��

�6�6

��

�2

2��

�6� �4

�2��

Racionaliza las siguientes fracciones.

a) —�7� �

3

�3�—

b) —�3�

��

2��2�

—

a) ��7� �

3

�3��

3(�77�

��

3�3�)

� � �3(�7�

4� �3�)�

b) ��3�

��

2��2�

� � � ��6�

3��

�2

4�� 6� � 2

c) �2�3�

2

� �2��

2(24��3�3

��

�2

2�)� � �

2�3�5� �2��

d) �8 �

5

2�2��

5(8 �56

2�2�)�

5(8 � 2�2�)��(8 � 2�2�)(8 � 2�2�)

2(2�3� � �2�)��(2�3� � �2�)(2�3� � �2�)

�2�(�3� � �2�)��(�3� � �2�)(�3� � �2�)

3(�7� � �3�)��(�7� � �3�)(�7� � �3�)

2.93

�6� � �2��(�6� � �2�)(�6� � �2�)

�3� � �2��(�3�)2 � (�2�)2

1 � (�3� � �2�)��(�3� � �2�)(�3� � �2�)

k——�a� � �b�

2.92

2.91

c) —2�3�

2

� �2�—

d) —8 �

5

2�2�—

Un mago te pide que elijas un número de dos cifras y lo eleves al cubo. Cuando le dices el resultado,lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el número original. ¿Cómo lo hace? Copia y completala tabla, a ver si lo descubres.

Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en la última cifra: 3, e inmediatamente indica la raíz cúbi-ca, 47.

Halla por este método las siguientes raíces cúbicas.

a) �3

13 824� b) �3

195 11�2� c) �3

531 44�1�

a) 24 b) 58 c) 81

El mago averigua la raíz cúbica en dos pasos.En el primer paso, el mago busca en la cuarta columna de la tabla la última cifra del cubo, 3, la columna vecina le proporciona lacifra de las unidades de la raíz cúbica: 7.En el segundo paso, el mago localiza en la tabla el intervalo al que pertenece el cubo, en el caso de 103 823 está en [64 000,125 000), así la columna vecina le da la cifra de las decenas de la raíz cúbica: 4.De este modo, ya tenemos la raíz cúbica: 47.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Crecimiento de poblaciones

Ana y Juan están estudiando el crecimiento de la población de un cultivo de microorganismos y deben ele-gir, entre los siguientes modelos matemáticos:

• El modelo A utiliza como dato el aumento de la población en una semana, que es del 84%.• El modelo B utiliza el crecimiento de la población en un día.• El modelo C considera el crecimiento en una hora.

Se denomina P0 la población inicial, y t, el tiempo en semanas, días u horas, según corresponda.

a) Comprueba, dando valores, que la siguiente es la fórmula del modelo A: P � P0 � 1,84t.

b) Escribe las fórmulas de los modelos B y C.

c) Compara los resultados proporcionados por cada modelo para el caso P0 � 1000 y t � 2 semanas.

a) En una semana: P � P0 � 1,84En dos semanas: P � P0 � 1,842 � P0 � 3,3856

b) El modelo B: P � P0 � 1,097t

El modelo C: P � P0 � 1,0036168t

c) Los resultados son iguales:Modelo A: P � P0 � 1,84t � 1000 � 1,842 � 3386,6Modelo B: P � P0 � 1,097t � P0 � 1,097�2 � P0 � (1,097)2 � P0 � 1,842 � 1000 � 1,842 � 3386,6Modelo C: P � P0 � 1,0036168�t � P0 � 1,0036168�2 � P0 � (1,0036168)2 � P0 � 1,842 � 1000 � 1,842 � 3386,6

2.95

2.94

Ácidos y bases

El pH de una disolución se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de ioneshidrógeno expresada en moles/litro: pH � �log [H�].

Por ejemplo, si la concentración de iones hidrógeno de una disolución es [H�] � 4 � 10�8 mol/L:

pH � �log (4 � 10�8 ) � �log 4 � log 10�8 � �log 4 � 8 � 7,4.

Si el pH es 7, la disolución se considera neutra; si es inferior a 7, ácida, y si es superior, básica.

Copia y completa la tabla de la ilustración y ordena las disoluciones de menor a mayor acidez.

A U T O E V A L U A C I Ó N

Escribe usando notación científica las siguientes expresiones.

a) 24,3 billones c) 3 220 000 � 107

b) 47 diezmilésimas d) 45,2 � 10�27

a) 2,43 � 1013 c) 3,22 � 1013

b) 4,7 � 10�3 d) 4,52 � 10�26

Calcula las siguientes operaciones usando notación científica.

a) 25 000 000 � 48 000 000 c) 42 000 000 � 0,000 09

b) 0,000 000 12 � 0,000 007 d) 3 600 000 : 0,000 004

a) 1,2 � 1015 c) 3,78 � 103

b) 8,4 � 10�13 d) 9 � 1011

Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una única raíz.

a) 2—23

—� 2

—32

—c) �2� � �

37� e) ��3��

b) 30,333… � 3—25

—d) 3

—15

—: �

433� f) �3

�25��

a) 2�23

�

� 2�32

�

� 2�23

� � �32

�

� 2�163�

� �6

213� c) �2� � �3

7� � �6

23 � 72� e) �8

3�

b) 30,333… � 3�25

�

� 3�13

� � �25

�

� 3�1115�

� �15

311� d) 3�15

�

: �4

33� � �20

34� : �20

315� � �20

3�11� � ��20

1

311�� f) �

625�

Ordena de menor a mayor los siguientes números.

5—34

—, �

655�, �

35�

�3

5� � �12

54� � 5�34

�

� �12

59� � �6

55� � �12

510�

2.A4

2.A3

2.A2

2.A1

2.96

Disolución [H�] pH

Lejía común 1,26 � 10�13 12,9

Amoníaco 7,94 � 10�12 11,1

Agua de mar 10�8 8

Agua 10�7 7

Leche 3,16 � 10�7 6,5

Vinagre 1,26 � 10�3 2,9

Zumo de limón 4 � 10�3 2,4

Ácido clorhídrico 1 0

Realiza las siguientes operaciones cuando sea posible.

a) �4

4096� c) ��250� 000�

b) �3 —31224

—� d) �3

�125� 000�

a) �4

4096� � �4

212� � 23 � 8 c) No es posible, el radicando es negativo y el índice, par.

b) �3 �31224

�� 3 �217��

13

� d) �3

�125 0�00� � �3

�23 � 5�6� � �2 � 52 � �50


a) 2�32� � 5�98� � 8�200�

b) �3

27a4� � 5a � �3

8a� � —1a

— �3

1000a�7�

a) 2�32� � 5�98� � 8�200� � 2�25� � 5�2 � 72� � 8�23 � 52� � 2 � 22�2� � 5 � 7�2� � 8 � 2 � 5�2� � 123�2�

b) �3

27a4� � 5a � �3

8a� � �1a

� �3

1000a7� � 3a�3

a� � 10a�3

a� � �1a

� 10a2�3

a� � 3a�3

a�


a) log2 512 c) log2 —18

—

b) log 100 000 000 d) log36 6

a) log2 512 � log2 29 � 9 c) log2 �18

� � log2 �21

3� � log2 2�3 � �3

b) log 100 000 000 � log 108 � 8 d) log36 6 � log36 �36� � �12

�

Sabiendo que log 2 � 0,301, calcula los siguientes logaritmos.

a) log 16

b) log 40

c) log —54

—

a) log 16 � log 24 � 4 log 2 � 1,204

b) log 40 � log (4 � 10) � log 4 � log 10 � 2 log 2 � 1 � 1,602

c) log �54

� � log 5 � log 4 � log �120� � log 22 � log 10 � log 2 � 2 log 2 � 1 � 3 log 2 � 0,097

Un cubo tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Calcula su superficie, expresando el resultado medianteradicales.

V � a3 � 2 ⇒ a � �3

2� ⇒ S � 6a2 � 6�3

22� m2

Una especie duplica su población cada año. Si la población inicial era de 100 individuos, ¿cuántos añospasarán hasta que se supere el millón?

Llamando t al número de años, hay que resolver:

100 � 2t 1 000 000 ⇒ 2t 10 000 ⇒ log 2t log 10 000 � 4 ⇒ t �log

42

� � 13,28. Pasarán 14 años.

2.A10

2.A9

2.A8

2.A7

2.A6

2.A5

E N T R E T E N I D O

La matrícula del taxi

Cuando Ramanujan enfermó, Hardy iba a verle al hospital. Un día, le comentó que había llegado en un taxi dematrícula 1729, un número que Hardy calificó de soso.

Ramanujan le contestó inmediatamente:

—Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubosde dos maneras diferentes.

Comprueba que Ramanujan tenía razón.

Cada número natural parecía ser amigo personal de Ramanujan. Además, debía saberse de memoria los cubos de unos cuantos números.Efectivamente:

Otros números que cumplen esto:

(9, 15) y (2, 16)(15, 33) y (2, 34)(16, 33) y (9, 34)(19, 24) y (10, 27)

Es decir:

93 � 153 � 23 � 163 � 4104153 � 333 � 23 � 343 � 39 312163 � 333 � 93 � 343 � 40 033193 � 243 � 103 � 273 � 20 683

Ramanujan tenía razón… 1729 no es un número soso.

1729 � 103 � 93 1729 � 123 � 13

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