Potencias y Raíces

Sebastián Lavanderos B.

Aritmética II

Definición• Producto de Factores Iguales.• Formada por la base y el

exponente.

• Se lee a elevado a n.

𝑎𝑛=𝑎×…×𝑎⏟𝑛

Propiedades Fundamentales

• Exponente Negativo:

𝑎−𝑛=1

𝑎𝑛

Propiedades Fundamentales

• Exponente Negativo:

(𝑎𝑏 )−𝑛

=(𝑏𝑎 )𝑛

Propiedades Fundamentales

• Exponente Fraccionario:

𝑎𝑏𝑐=

𝑐√𝑎𝑏

Propiedades Fundamentales

• Exponente Cero (0):

𝑎0=1Excepción:

00=∄

Propiedades Fundamentales

• Exponente 1:

𝑎1=𝑎

Operatoria

Multiplicación con igual base

• Se conserva la base y se suman los exponentes:

𝑎𝑚 ∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛

División con igual base• Se conserva la base y se restan los

exponentes:

𝑎𝑚

𝑎𝑛 =𝑎𝑚−𝑛

Producto de una Potencia

• Con igual exponente, multiplicamos las bases:

𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥= (𝑎 ∙𝑏)𝑥

Potencia de una Potencia

• Multiplicamos los exponentes:

(𝑎𝑏 )𝑐=𝑎𝑏 ∙ 𝑐

Propiedad Distributiva• Para separar potencias en dos:

(𝑎 ∙𝑏 )𝑛=𝑎𝑛 ∙𝑏𝑛

(𝑎𝑏 )𝑛

= 𝑎𝑛

𝑏𝑛

¡¡ESTO NO!!

(𝑎+𝑏 )𝑚≠𝑎𝑚+𝑏𝑚

(𝑎−𝑏)𝑚≠𝑎𝑚−𝑏𝑚

Potencias de Base 10• 1 + tantos 0 como sea el orden del

exponente:

…

Potencias Negativas• Exponente Par:

• Exponente Impar:

• Donde n es par y m es impar.

(−𝑎)𝑛=𝑎𝑛

(−𝑎)𝑚=−𝑎𝑚

¡¡NO ES LO MISMO!!

(−𝑎)𝑛≠−𝑎𝑛

(−𝑎 )× (−𝑎)× (−𝑎)×…⏟𝑛

−(𝑎×𝑎×𝑎× ...)⏟𝑛

Potencias Negativas

Base Exponente Potencia

+ Par +

+ Impar +

- Par +

- Impar -

Raíces

¿Qué es una Raíz?• Número que se multiplica por sí

mismo una determinada cantidad de veces para dar un resultado.

• Extraer la raíz = Resolver la raíz.• Operación Inversa de la Potencia.

𝑥𝑛=𝑎↔𝑛√𝑎=𝑥Potencia Raíz

Partes de una Raíz

𝑏√𝑎=𝑥Índice

Cantidad Subradical

Valor

Resolviendo una Raíz• ¿Qué número elevado al índice da

como resultado la cantidad subradical?𝑏√𝑎=𝑥¿Qué número elevado a b da como

resultado a?

Propiedades de las Raíces

Multiplicación de Raíces• Con igual índice:

𝑛√𝑎 ∙ 𝑛√𝑏=𝑛√𝑎 ∙𝑏

División de Raíces• Con igual índice:

𝑛√𝑎𝑛√𝑏

=𝑛√ 𝑎𝑏

Raíz de una Raíz• Se multiplican los índices, se

mantiene la base:

𝑚√𝑛√𝑎=(𝑚 ∙𝑛)√𝑎

Potencia de Radicales

( 𝑏√𝑎)𝑛=𝑏√𝑎𝑛

Simplificación de Raíces• Si los índices son iguales:

𝑛√𝑎𝑛=𝑎

Operatoria de Índices• Simplificación o Amplificación del

índice, haciendo lo mismo dentro de la potencia:𝑚√𝑎𝑛=𝑥 ∙𝑛√𝑎𝑥 ∙𝑛

¡Mismo factor!Multiplicación o

División

Ingresar números a la raíz

• Se ingresa elevado al índice de la raíz:

𝑥 𝑛√𝑎=𝑛√𝑥𝑛 ∙𝑎

Para todas las propiedades

Sólo son válidas en caso de que las raíces estén definidas

en los Números Reales.

Racionalizar

¿Qué es Racionalizar?• Quitar las raíces de un denominador.• Multiplicación del factor conjugado.

𝑎𝑏√𝑐

= 𝑎𝑏√𝑐

∙ √𝑐√𝑐

=𝑎√𝑐𝑏𝑐

Operatoria de Raíces

Suma y Resta• Podemos sumar y restar radicales

solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical).

• Factorización.

3√2+5 √2−√2=√2 (3+5−1 )=7 √2

Factor Común: Factorizamos por

Operaciones Combinadas

3√2+√50−√98

¿QUÉ?

Operaciones Combinadas

• Buscamos una presentación distinta que sí podamos manejar.

• Tratamos de reducir las raíces lo más que se pueda.

3√2+√50−√98

Operaciones Combinadas

√2

Casos Especiales

Raíces que no existen• Raíces Complejas:

𝑛√−𝑎=?Consideraciones:• n es par.• Si n es impar, la raíz tiene solución

real.

¿Dudas?