TEMA 2: Potencias y raíces

2.1 PotenciasEjemplo1. Escribe en forma de potencia las siguientes expresiones:

a. 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 28 �2 base

8 exponente

b. 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 45 � 4514 �45 base

14 exponente

c. 1234567890 � 12345678901 �1234567890 base

1 exponente

d. 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 311 �3 base

11 exponente

2. Desarrolla en forma de producto de factores iguales las siguientes potencias:a. 62 � 6 � 6b. 897 � 89 � 89 � 89 � 89 � 89 � 89 � 89c. 450 � 1d. 12312345 � 123 �. . . . . . . . . 12345 veces. . . . . . . . . �123e. 739 � 7 �. . . . . . . . . . . . . 39 veces. . . . . . . . . . . . . . . . . �7

3. Calcula las siguientes potencias:a. 342 � 1156

34 � 34 �

3 4

x 3 4

1 3 6

1 0 2

1 1 5 6

b. 212 � 40962 � 2 � 44 � 4 � 16 � 24

4 � 16 � 64 � 26

6 4

x 6 4

2 5 6

3 6 4

4 0 9 6

c. 2305 � 643 634 300 000d. 314 � 4782 969e. 2124 � 21 267 647 932 558 653 966 460 912 964 485 513 216

Tareas 3-11-16: todas las tareas de la página 31

2.2 Potencias de base 10 . AplicacionesEjemplo

1

1. Escribe con todos sus ceros las siguientes potencias de 10.a. 108 � 100000000b. 1013 � 10000000000000

2. Escribe en forma de potencia de base 10 los siguientes números.a. 1000000000 � 109

b. 10000000000000000 � 1016

3. Expresa con ayuda de las potencias de base 10 las siguientes cantidades grandes.a. 9000000000 � 9 � 1000000000 � 9 � 109

b. 13000000000000 � 13 � 1000000000000 � 13 � 1012

c. 9823400000000 �redondear con dos cifras significativas�� 9800000000000 � 98 � 100000000000 � 98 � 1011

d. 123456000000000123 �redondear con dos cifras significativas�� 120000000000000000 � 12 � 10000000000000000 � 12 � 1016

4. Descompón en forma polinómica los números siguientes.a. 456 � 4 � 102 � 5 � 101 � 6 � 100

b. 506891 � 5 � 105 � 6 � 103 � 8 � 102 � 9 � 101 � 1 � 100

5. Escribe estos números dados en forma polinómica.a. 7 � 106 � 5 � 104 � 7 � 102 � 5 � 101 � 7050 750b. 8 � 105 � 3 � 104 � 2 � 103 � 6 � 102 � 5 � 101 � 9 � 100 � 832 659

Tareas 07-11-16: todos los ejercicios de la página 32

2.3 Operaciones con potenciasEjemplo1. Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones:

a. 54 � 94 � �5 � 9�4

b. 135 � 195 � �13 � 19�5

c. 23101 � 90101 � �23 � 90�101

d. �2 � 18�7 � 27 � 187

e. �15 � 23�12 � 1512 � 2312

f. �102 � 304�234 � 102234 � 304234

g. �21 � 7�9 � 219 � 79

h. �34 � 17�17 � 3417 � 1717

i. 353 � 53 � �35 � 5�3

j. 329 � 89 � �32 � 8�9

k. 514 � 53 � 514�3 � 517

l. 124 � 128 � 124�8 � 1212

m. 243 � 242 � 243�2 � 241

n. 197 � 195 � 197�5 � 192

o. �73 � 75� � 74 � 73�5 � 74 � 78 � 74 � 78�4 � �74

p. �65�3� 65�3 � 615

q. �835 � 815� � 420 � 835�15 � 420 � 820 � 420 � �8 � 4�20 � 220

r. �32�2 4� 32�2�4 � 316

s. �253 � 53� � �354 � 74�3� �25 � 5�3 � �35 � 7�4 3

� 53 � �54�3�

� 53 � 54�3 � 53 � 512 � 53�12 � 515

t. a0 � 1 siempre que a � 0u. 00 no se sabev. 40 � 1w. �pedro�0 � 1

2

x. 12345678910111213140 � 1Tareas 08-11-16: todos los ejercicios de la página 35

2.4 Raíz cuadradaEjemplo1. Calcula las siguientes raíces cuadradas justificando tu respuesta:

a. 9 � 3 � 32 � 9b. 81 � 9 � 92 � 81c. 144 � 12 � 122 � 144d. 169 � 13 � 132 � 169

2. Calcula las raíces enteras de los siguientes números naturales:a. 56 � 7 pues 72 � 49 � 56 � 82 � 64

7 � 56 � 8b. 132 � 11 pues 112 � 121 � 132 � 122 � 144

11 � 132 � 12c. 329 � 18 pues 182 � 324 � 329 � 192 � 361

18 � 329 � 19d. 629 � 25 pues 252 � 625 � 629 � 262 � 676

25 � 629 � 263. Calcula por tanteo las siguientes raíces cuadradas:

a. 1271Calculamos una serie de cuadrados:� 102 � 100� 202 � 400� 1112 � 12 321� 502 � 2500� 352 � 1225� 362 � 1296

Resulta que 352 � 1225 � 1271 � 362 � 1296.Entonces 1271 � 35

b. 56089Calculamos una serie de cuadrados:� 4002 � 160 000� 1302 � 16 900� 2002 � 40 000� 2502 � 62 500� 2402 � 57 600� 2392 � 57 121� 2372 � 56 169� 2362 � 55 696

Resulta que 2362 � 55696 � 56089 � 2372 � 56169Entonces 56089 � 236

Tareas 15-11-16: todos los ejercicios de la página 37

EjemploCalcula las siguientes raíces cuadradas, aplicando el correspondiente algoritmo:1. 87562

3

8 75 62 295

�4 49 � 9 � 441

4 75 585 � 5 � 2925

�4 41

34 62

�29 25

5 37

La raíz cuadrada entera es 295 con un resto de 5372. 57621

5 76 21 240

�4 44 � 4 � 176

1 76 480 � 0 � 0

�1 76

0 21

�0 00

21

La raíz cuadrada entera es 240 con un resto de 213. 230892

23 08 92 480

�16 88 � 8 � 704

7 08 960 � 0 � 0

�7 04

4 92

�0 00

4 92

La raíz cuadrada entera es 480 con un resto de 492Tareas 15-11-15: todos los ejercicios de la página 38

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1.

e 300 � 1Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 12

d x4 � 160000 � x � 20Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 23

4

d 13x � 2197 � x � 313 � 13 � 169169 � 13 � 2197

Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 34

e 164 � 162 � 162 � 65 536162 � 256

2 5 6

x 2 5 6

1 5 3 6

1 2 8 0

5 1 2

6 5 5 3 6

Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 45

e 993 � 970 299Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 5Tareas 16-11-16: 67

e 1016 � 10 000 000 000 000 000Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 78

d Cien mil billones� �2 � 3 � 12 � 17� � 1017

Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 89

c 62 � 1011 � 6200 000 000 000Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 910

5

c 4000000000 � 4 � 109

Tareas 16-11-16: todos los ejercicios que faltan del 10Tareas 16-11-16: 1112

� El Cairo� 16248530 � 16200000 � 16 2 � 105

Tareas 14-10-15: todos los ejercicios que faltan del 1213

98 � 106 � 17 � 107 � 16 � 108 � 8 � 109 � 9 � 109 � 1010

Tareas 16-11-16: 1415

e �13 � 3�2 � �7 � 3�2 � �15 � 5�2 � 10 � 102 � 102 � 102 � 10 � 102�2 � 102�1 �

� 104 � 103 � 10000 � 1000 � 11 000Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 1516

c 253 � 43 � �25 � 4�3 � 1003 � 1000000f 204 � 54 � �20 � 5�4 � 44 � 256

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 1617

d m3 � m � m9 � m3 � m6 � m9 pues 3 � 6 � 9

6

h m8 � m � m6 � m8 � m2 � m6 pues 8 � 2 � 6

l �m4� � m12 � �m4�3 � m12 pues 3�4 � 12Tareas 17-11-1: todos los ejercicios que faltan del 1718

e Potencia de exponente cero.� unox0 � 1

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 1819

f k6 � k4 � k6�4 � k2

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 1920

f �307 � 57� � �25 � 35� � ��30 � 5�7 � � �2 � 3�5 � 67 � 65 � 67�5 � 62 � 36

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 2021

f �x3 � x2� � �x4 � x3� � x3�2 � x4�3 � x � x7 � x1�7 � x8

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 2123

f �55 � 53� � 253 � 55�3 � �52�3� 58 � 52�3 � 58 � 56 � 58�6 � 52 � 25

Tareas 17-11-16: todos los ejercicios que faltan del 2324

c 1785 �

Calculamos algunos cuadrados de números enteros:� 182 � 324

7

� 562 � 3136� 472 � 2209� 442 � 1936� 402 � 1600� 422 � 1764� 432 � 1849

Entonces una raíz entera que vale 421785 � 42

Tareas 17-11-2016: todos los ejercicios que faltan del 2425

f 33856 � 184Es una raíz exacta

Tareas 17-11-2016: todos los ejercicios que faltan del 25Tareas 17-11-2016: 2627

b 24� 3

2� 50 � 24 � 32 � 1 � 16 � 9 � 1 �

� 4 � 3 � 1 � 6Tareas 17-1-2016: todos los ejercicios que faltan del 2728

25 � 25 � 252 � 625Ha plantado 625 lechugas

Tareas 20-10-2015: 29, 3031

Tenemos tres dimensiones: longitud, altura y anchura. Son iguales.La forma del paquete es un cubo.Tenemos que 103 � 1000Entonces cada dimensión mide 10 cm

Tareas 20-10-2015: 32,3334

8

a. Cada cara, de las seis que tiene el cubo, está formada por5 � 5 � 25 cubitosEntonces quedarán parcialmente pintados 6 � 52 � 150 cubitos

b. El cubo tiene seis caras. Empezamos cubriendo la capa superior y la inferior, paraello necesitamos 2 � 72 � 2 � 49 � 98 cubitosAhora tendríamos que tapar las cuatro caras laterales, para lo cual necesitamos4 � 52 � 4 � 5 � 4 � �52 � 5� � 4 � �25 � 5� � 4 � 30 � 120(serían tapar las cuatro caras laterales añadiéndoles una capa y luego las cuatroaristas verticales)En total 120 � 98 � 218 cubitos verdes

EXAMEN DEL TEMA 2: 30-10-15

9