Funciones

Logarítmicas y

exponenciales

Logaritmos de base a

Definición

Sea a un número real positivo distinto de 1.

el logaritmo base a de x ,

y = loga x

existe, si y solo si,

x = ay

para cada x > 0 y cada número real y.

Forma Logarítmica vs. Forma Exponential

y = loga x

significa

¿cuál es el exponente al cual se eleva a para que el

resultado sea y?

Ejemplos

• A continuación se muestran varios ejemplos de formas

equivalentes:

EjemplosDetermine el número si es posible:

Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.

Para esto, nos hacemos preguntas como:

¿Cuál es la potencia de 10 que da 100?

¿Cuál es la potencia de 2 que da 𝟏

𝟑𝟐?

EjemplosDetermine el número si es posible:

Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.

Para esto, nos hacemos preguntas como:

¿Cuál es la potencia de 9 que da 3?

¿Cuál es la potencia de 7 que da 𝟏?

¿Cuál es la potencia de 3 que da −𝟐?

Gráfica de loga x

• Podemos trazar una gráfica logarítmica punto a punto,

igual que otras funciones.

• Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

4

3

2

1

0

-1

-2

Gráfica de loga x

• Como log2 x es la

función que deshace lo

que hace 2x , la gráfica

de log2 x es una

reflexión de la gráfica de

2x sobre la línea y = x .

• Esto implica si el par

ordenado (a,b) está en

la gráfica de 2x ,

entonces (b,a) está en la

gráfica de log2 x

Esto implica que las funciones son inversas entre sí.

Gráfica de loga x• Ambas gráficas son

crecientes.•Dominio ax : R

Rango: (0,∞)

•Dominio loga x: (0,∞)

Rango: R

• Ambas gráficas tiene

asíntotas.

• ax : asíntota horizontal y = 0

• loga x: asíntota vertical x = 0

• Ambas funciones son uno-a-

uno por que pasan la prueba de

la línea horizontal

Casos Especiales

• Cuando la base a es…

• 10 , llamamos log10 x el logaritmo común de x ;

• normalmente se escribe log x en vez de log10 x .

• e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;

• normalmente escribimos ln x en vez de loge x .

Ejemplo: Determinar x si:

Fórmula para cambiar de base

• Las propiedades de logaritmos se pueden usar para derivar

una fórmula para cambiar de base .

• La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo incluyen

formas para determinar el logaritmo común y el logaritmo

natural.

• Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de 1,

entonces

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Formula para cambiar de base

•Determine el valor, redondeado a 2 lugares

decimales, de

log3100

Usando la fórmula para cambiar de base

log3100 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒐𝒈 𝟑=

𝟐

𝒍𝒐𝒈𝟑≈ 𝟒. 𝟏𝟗

Nota que si utilizamos el logaritmo natural

log3100 = 𝒍𝒏 𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒏 𝟑≈ 𝟒. 𝟏𝟗

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Resolver ecuaciones exponenciales

•Resolver : 5x = 105• Cambiamos a la forma logarítmca

x = log5 105

• log5 105 es la solución exacta.

• Para obtener una aproximación en la calculadora usar

la expresión equivalente:

• log5 105=log 105log 5

Propiedades de loga x

Resolver funciones logarítmicas – uno a uno

• CASO 1: la igualdad de dos expresiones logarítmicas con

base igual

• Resolver:

Resolver

8loglog3 x

log 𝑥3 = log 8

𝑥3 = 8

𝑥 =38

𝑥 = 2VERIFICACION:

Si x = 2:

3 log 2 = log 8

3 log 2 = log 23

3 log2 = 3log2

Aplicar la propiedad (3):

Cambiar a la forma exponencial.

logaxn = nlogax

Resolver

𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1 + 𝑙𝑜𝑔2 3 = 3

𝑙𝑜𝑔2 3 𝑥 + 1 = 3

𝑙𝑜𝑔2 3𝑥 + 3 = 3

3𝑥 + 3 = 23

3𝑥 + 3 = 8

3𝑥 = 5

𝑥 = 53

Prop. (1):

Cambiar a la

forma

exponencial

loga(xy) = logax + logay

Ejemplo

•Resolver: 2x = 3x – 2

log(2x ) = log(3x – 2)

o

ln(2x ) = ln(3x – 2)

x log 2 = (x – 2) log 3

x log 2 = x log 3 – 2 log 3

x log 2 – x log 3= – 2 log 3

x(log 2 – log 3) = –2log 3

x= –2 log 3

(log 2 – log 3)≈ 5.419

Práctica adicional

•Resolver usando la propiedad uno-a-uno

de funciones logarítmicas :

a) log3(2x2) = log3(5x + 3)

b) log2(x2 – 30) = log2(x)