1.2 enunciados matrices,sistemas.problemas sin resolver
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Unidad 1: Matrices.
Calcula A2000, siendo
Dada la matriz ; a) Calcula A2 y A3 , b) Halla una ley
general para calcular An .
Dada la matriz , calcula, si existen las siguientes
matrices: a) Una matriz X tal que . b) Una matriz Y
tal que (PAU).
Dada la matriz encontrar todas las matrices tales
que (PAU Junio 2005-06).
Dada la matriz . Hallar An para todo numero entero
positivo n. (PAU).
Dadas las matrices: , y
comprueba las siguientes igualdades: a) ; b) ; c) ; d) ;e)
Dadas las matrices y Encontrar la regla
de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir An y Bn.
Dadas las matrices , a) Hallar dos constantes y
tales que . b) Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. c) Hallar todas las matrices X que satisfacen . (PAU Septiembre 2004-05).
Dadas las matrices , a) Hallar A10.
b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular k = 0, hallar B10. (PAU Septiembre 2004-05).
Dadas las matrices y . Se pide: a) Encon-
trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que se verifique . b) Para a = b = c = 1, calcular .
(PAU Junio 2006-07).
Dadas las matrices: , , se pide: a) Hallar dos
constantes a y b, tales que . b) Sin calcular explícitamente A3 y A4, y utilizando solo la expresión anterior, obtener la matriz A5. (PAU Junio General 2009-10)
Dadas las matrices y y las ecuaciones
matriciales X – A = B ; Y – A·B = O y Z – B·A = Oa) Señala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la matriz X , Y ó Z. Razona la respuesta. (PAU).
Encontrar un número real , y todas las matrices B de dimension
2x2 (distintas de la matriz nula), tales que
(PAU Junio 2002-03).
Expresar la matriz como combinación lineal de y
Hallar todas las matrices distintas de la matriz tales
que . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular . (PAU Septiembre 2005-06).
Obtener, para todo numero natural n, el valor de:
(PAU Modelo 2009-10).
Probar que las matrices y
conmutan es decir A·B = B·A . Hallar este producto. Aplicarlo para hallar A2, A3 y An , n N.
Resolver el siguiente sistema matricial
(PAU).
Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:
(PAU).
Resuelve los sistemas matriciales:
a) b)
Sea A una matriz cuadrada que verifica que A2 + 2A = I, donde I denota la matriz identidad. a) Demostrar que A es no singular (det(A) I) y expresar A-1 en función de A e I. b) Calcular dos números p y q
tales que . c) Si cumple la relación de partida,
calcular el valor de k. (PAU Modelo 2001-02).
Sea A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn y C otra de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto A·B·C, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la de la matriz A·B·C?. (PAU).
Sea e I la matriz identidad de orden tres.
a) ¿Existe algún valor real, m, que verifique: (A – I ) · (A + mI) = I ? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que
(A – I) · B = I4 . (PAU). Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A-1
en terminos de A. b) Expresar An en terminos de A e I, para cualquier numero natural n. c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz:
(PAU Septiembre 2001-02).
Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B
tal que siendo
(PAU).
Sea la matriz Calcular A10 a partir de la An
(PAU MODELO 2008-09)
Sea la matriz : a) Para cada numero natural n, hallar An.
b) Calcular A22 – 12A2 + 2A. (PAU).
Sea la matriz , con b un parámetro real. a) ¿Para qué
valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales
tiene solo la solución x = y = z = 0?. Justifica la respuesta.
b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema (PAU).
Sea la matriz Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A2 = 0.
b) Hallar An. (PAU MODELO 2004-05).
Sea la matriz y sea n un numero natural . Encontrar el
valor de An para cada n y hallar A350 – A250 . (PAU).
Sea I y A las matrices . Calcular, escribien-
do las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A5. b) Los números reales y para los que se verifica . (PAU).
Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B2.
Sean A y B matrices diagonales de orden tres:
Probar que A·B también es diagonal.
Sean A, I y B las matrices , y
Contestar razonadamente, ¿existe algún valor de
real, tal que la igualdad sea cierta?. En caso afirmativo, hallar dicho valor de . (PAU).
Sean las matrices , , y . Calcular
para que verifique la ecuación (A·Bt + C)·M = E
Se consideran las matrices y
calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , ¿Por qué no coinciden sus resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?.
Se consideran las matrices e I 3x3.
Se pide: a) Hallar (A – I)2. b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior. (PAU MODELO 2005-06)
Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que
A · At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I la matriz identi-dad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si A · B es también una matriz ortogonal. (PAU).
Si una matriz cuadrada A verifica A2 + 7A = I, siendo I la matriz unidad, calcula A-1 en funcion de A
Unidad 2: Determinantes
Averiguar según el valor de a el número de raíces reales que tiene la
ecuación (PAU).
Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la
segunda columna:
Calcula el valor de los siguientes determinantes.
Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la
identidad: PAU Junio 2002-03).
Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican:
Comprueba que
Comprueba que la ecuación tiene solo tres
soluciones sin necesidad de calcular el determinante. ¿Cuáles son?.
Comprueba sin desarrollar que
Dada la siguiente matriz de orden n
, se pide a) Calcular el determinante
de la matriz . b) Calcular el valor del determinante de la matriz . c) Calcular el valor del deter-minante de la matriz . (PAU Junio 2007-08).
Dadas las matrices , a) Comprobar que
y que . b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que ?. Razonar la
respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden dos, tales que: . (PAU Septiembre 2005-06).
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y A·At .
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cuánto vale en ese caso .
El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) – A ; c) - 6A ; d) At ; e) At·A ; f) A·At .
El determinante vale cero para a = 3. Comprobar que es
así sin desarrollarlo.
Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para
deducir:
Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las
igualdades a) ; b)
c) ; d)
Hallar el determinante de la matriz
Hallar en función de a, el valor del determinante:
(PAU Septiembre 1998-99)
Justifica, sin realizar calculo alguno, que:
Obtén el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos
de la primera fila:
Obtén, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para
Obtener en función de a, b y c el determinante de la matriz
(PAU).
Resolver la ecuación :
Resolver la ecuación:
(PAU Modelo 2008-09).
Resolver las ecuaciones:
a) b)
Resolver las ecuaciones siguientes:
a) b) c)
d)
Sabemos que el determinante de la matriz vale 12. Hallar
él determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A ; d) At ; e) A·At ; f) At·A .
Sabiendo que , determina sin desarrollarlos el valor
de los siguientes determinantes. a) , b) ,
c) y d)
Sabiendo que , calcula el valor de
Sabiendo que , determina sin desarrollar el valor de los
siguientes determinantes. a) , b)
c)
Sabiendo que , y utilizando las propiedades de los
determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz ,
b) , c)
(PAU Junio Especifica 2009-10).
Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2Aes igual a 8, ¿Cuánto vale el . b) Calcula para que valores de x se cumple que , siendo la
matriz (PAU).
Sea la matriz , calcular el valor de su
determinante en función de a. (PAU).
Sea la matriz . Para cada numero real definimos la
matriz B = A - I, donde I denota la matriz identidad 2x2. a) Hallar los valores de que hacen que el determinante de B sea nulo.
b) Resolver el sistema para los diferentes valores de .
(PAU Modelo 2001-02).
Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo uso de las propiedades estudiadas, que , a pesar de que en general
Sean las matrices : y Hallar los determinan-
tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ; e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) A·B ; h) B·A ; i) At .
Se considera la función: Sí f(0) = -3 y
f(1) = f(-1), determina a y b. (PAU).
Si , calcula sin desarrollar el valor de
Se considera la funcion , sabiendo que
f(0) = -3 y que f(1) = f(-1), determinar a y b (PAU).
Si es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas , y se sabe que , se pide a) Calcular y .
b) Calcular y , siendo la matriz cuyas columnas son .
(PAU Modelo 2008-09).
Si la matriz tiene determinante n, averigua el valor del
determinante de las siguientes matrices ,
Simplificar sin desarrollar:
Si A es una matriz tal que , a) ¿Cuál es el valor del deter-
minante de A?. b) Calcular un numero k tal que:
(PAU Septiembre 2003-04).
Sin desarrollar los determinantes comprueba que:
=
Unidad 2 . Rangos de matrices
Calcula el rango de A según los distintos valores del parámetro real a
(PAU Junio 2001-02).
Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del
parametro real a: (PAU Junio 2001-02).
Considera la matriz . Halla los valores de m para los
que el rango de A es menor que 3. (PAU).
Determina los valores de x para los que el rango de la matriz
valga 2.
Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a:
Razonar si A es inversible para algún valor
de a.
Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. ¿Para que valores de a es la A inversible?.
Estudiar el rango de la matriz: según los
valores del parametro m. (PAU Junio 2006-07).
Estudiar el rango de las siguientes matrices según el valor del correspondiente parámetro.
; ;
;
Halla el rango de la matriz: según el valor del
parámetro a. (PAU).
Halla el rango de la matriz : según los valores de
los parámetros a y b . (PAU).
Halla el rango de las siguientes matrices:
Halla el rango de las siguientes matrices:
a) ; b) ; c)
d)
Halla el rango o característica de las siguientes matrices:
; ;
Hallar el rango de la matriz
Hallar el rango de las siguientes matrices:
;
Sea la matriz . Determine los valores de m para los
que Rango(A) < 3. ¿Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?. (PAU).
Sea r el rango de la matriz a) Hallar r, b) Señalar
r filas y r columnas linealmente independientes.
Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales
Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo:
, , (PAU).
Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica
X·A2 +B·A = A2, siendo ,
(PAU Septiembre 2006-07).
Considera las matrices y , Calcula la
matriz X que verifica que X·A + B = I. (PAU).
Considera las matrices y . Halla x para que se
cumpla (PAU).
Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que
verifican la siguiente ecuación matricial:
b) Expresa el sistema anterior en forma matricial A·X = B . c) Calcula la matriz inversa de A. (PAU).
Dada la ecuación matricial A · X + B = C, se pide obtener la matriz
X siendo: , , (PAU).
Dada la matriz calcula la expresión: (At · A-1)2 · A
Dada la matriz calcula para que valor de x, posee
inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1. (PAU).
Dada la matriz estudiar para que valores de a tiene
inversa y calcularla siempre que sea posible. ( PAU Junio Especifica 2009-10).
Dada la matriz , obtén los valores de x para los
que posee inversa. Calcular A-1.
Dada la matriz se pide: a) Determinar el rango
de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa par a = 1. (PAU Septiembre 2007-08).
Dada la matriz: , se pide: a) Estudiar el rango de la
matriz A según los valores del parámetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = - 1 (PAU Junio 2008-09).
Dada la matriz a) Determinar el rango de M según los
valores del parámetro a. b) Determinar para que valores de a existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para a = 2. (PAU Junio 2005-06).
Dada la matriz a) Determinar el rango de M según
los valores del parametro . b) Determinar para que valores de exis-te la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para . (PAU Modelo 2006-07).
Dada la matriz: , se pide: a) Determinar los valores
del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determi-nar los valores del parámetro m para los cuales la matriz es inver-tible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa de M. (PAU Septiembre 2008-09).
Dada la matriz inversible hallar:
a) At·A , b) A·At , c) A·A-1 , d) A-1·A , e) At·A-1 , f) A-1·At .
Dadas las matrices: , a) Determinar la
matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que (PAU Septiembre 2003-04).
Dadas las matrices: y . Se pide :
a) Hallar . b) Hallar la matriz X, tal que: (donde At significa matriz traspuesta de A). (PAU Junio 2003-04).
Dadas las matrices: , , obtener una matriz
cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial . (PAU Septiembre 2008-09).
Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X · A2 + B · A = A2
y que: y (PAU).
Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversa
. En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU).
Estudiar para que valores del parámetro a tiene inversa cada una de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos:
a) b)
Halla la matriz inversa de la matriz:
En la matriz del anterior, señala los cambios que ocurren en A-1 si en la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus co-lumnas. ¿Y si se multiplica una de sus filas por un numero p 0?. ¿Y si se multipli-ca por p 0 una columna?.
Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las siguientes condiciones:a) Coincide con su traspuesta.
b) Verifica la ecuación matricial
(PAU).
Hallar la inversa de la matriz y comprueba sí
(A-1)2 = (A2)-1 .
Hallar la matriz inversa de I – A siendo: ;
Hallar las inversas de las matrices:
a) ; b)
Hallar una matriz X tal que A-1·X·A = B, siendo
(PAU Junio 2004-05)
Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo: ;
Resolver la ecuación matricial A2·X – B = A2 siendo:
y (PAU).
Resolver la ecuación matricial B·(2A + I) = A·X·A + B siendo
, e (PAU).
Resuelve la ecuación matricial A·X + C = B, siendo ,
y (PAU).
Sea la ecuación A·X = B con : y
Hallar A-1 y X.
Sea k un numero natural y sean las matrices y
a) Calcular . b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación . (PAU Junio 2000-01).
Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la formula:
(donde I denota la matriz identidad). b) Dada la
matriz hallar la matriz B para la cual se verifica
. (PAU Septiembre 2002-03).
Sean las matrices , , y . Calcular
para que verifique la ecuación (A·Bt +C)·M = E.
(PAU).
Sean las matrices , a) Calcular A-1. b)
Resolver la ecuación matricial A·X = B·A. (PAU Prueba 2001-02).
Sean las matrices: , . a) Hallar una matriz X tal
que . b) Calcular . c) Hallar todas las matrices M que satisfacen . (PAU Modelo 2007-08).
Sean las matrices: , . Hallar una matriz X tal que
.
Se consideran las matrices y , donde es
cualquier numero real. a) Encuentra los valores de para los que A·B es invertible. b) Determina los valores de para los que B·A es invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el
sistema compatible determinado?. (PAU Junio 1998-99).
Unidad 3. Sistemas de ecuaciones
Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. (PAU Junio 2001-02).
De tres números x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1. a) ¿Que puede decirse del valor de k?. b) ¿Cuánto valen esos tres nú-meros?. (PAU).
El capitán Ala Triste tiene a su cargo tres compañías: una de suizos, otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el ca-pitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre las otras dos compañías. Si el primero que sube es suizo, las otras dos compañías recibirán ½ escudo cada una; si el pri-mero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y si el primero que sube es sajón, las otras dos obtienen ¼ de escudo. ¿Cuántos hombres hay en cada compañía?.
El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que esta muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. ¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de agua?.
En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestacio-nes ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.
En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombo-nes envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema.
En una feria, un granjero vendió cada ganso, pollo y codorniz por 10, 5 y 1 € respectivamente. En total vendió 50 animales y recibió 100 €. ¿cuántos animales vendió de cada clase, si vendió la quinta parte de pollos que de codornices?.
La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuel-ta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado, los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campeón habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el equipo campeón?. (PAU).
La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.
Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones:
- La edad del padre es veces la de su hijo.- El doble de la edad del abuelo mas la edad del niño y mas la del
padre es de 182 años.- El doble de la edad del niño mas la del abuelo es 100.a) Establece las edades de los tres suponiendo que = 2.b) Para = 3, ¿que ocurre con el problema planteado?.c) Siguiendo con = 3, ¿que ocurre si en la segunda condición la suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).
Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma canti-dad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres reúnen 60 €. (PAU).
Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuan-tos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C. El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por ca-da 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr de alimentos por día, dicha dieta esta restringida a 840 cal exactas y la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la canti-dad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de ca-da uno de los alimentos.
Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del numero es 16, encuentra dicho numero.
Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.
Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo numero aumenta en 27 unidades. Calcular el numero.
Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. ¿Qué graduación tendra una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino tinto, z a la graduación de la mezcla)
Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno pierde le dará a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos acaban con 40 €. ¿Con cuanto dinero empezó a jugar cada jugador?.
Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss.
Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y además por cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el siste-ma de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno. b) Resolver el sistema.
Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € y un total de 20000 €. Si el número de billetes de 100 es el doble que el nú-mero de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. (PAU Septiembre 1998-99).
Un almacenista dispone de tres tipos de cafés: el A, a 9,80 € / kg; el B, a 8,75 € / kg, y el C, a 9,50 € / kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de 9,40 € / kg. ¿Cuántos kg de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).
Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de pata-tas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg res-pectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de na-ranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para de-terminar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el siste-ma.
Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y 30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la
longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan en-tren sí 192 km?.
Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos los sellos, ¿Cuántos sellos tenis el coleccionista?. (PAU).
Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y ob-tuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la según-da. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss.
Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros euro-peos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comuni-tarios, cobrando por todo ello 12000 €. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comu-nitarios, y cobra 13000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por ra-zones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios, manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. (PAU)
Un número capicúa tiene cinco cifras. a) La suma de sus cifras es 9. b) La cifra de las centenas es igual a la suma de las cifras de las unida-des y de las decenas. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Encuentra dicho núme-ro. (PAU).
Un panadero fabrica por día, un cierto numero de panes de 500 g, con un coste en materias primas de 40 céntimos la unidad. Los costes fijos diarios de producción (impuestos, energía...) son de 200 y se ven-de cada pan a 90 céntimos. Determinar la producción diaria para que: a) que el panadero cubra gastos; b) que obtenga unas ganancias de 100 vendiendo todos los panes fabricados; c) que obtenga unas ga-nancias de 100 sin vender todos los panes fabricados; d) que obtenga unas ganancias mayores de 40 sin vender todos los panes fabricados.
Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unida-des, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 . Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 céntimos la uni-dad: a) encuentra de forma gráfi-ca el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vacía ni contener una so-la clase de dulce, halla to-das las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condicio-nes impuestas por el pastelero.
Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?.
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 €. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras sea la dé-cima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y que un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras que la empresa ha de tener dispo-nible.
Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. El día siguiente compra una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y com-pra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer día pago 6
€, al día siguiente se gasto 6,5 € y en la tercera ocasión pago 3,5 €. Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de 19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuanto cuesta el ba-rril de crudo de cada país?.
UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones linea-les.
Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus tér-minos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indetermina-do; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejem-plo cuando la respuesta sea afirmativa.
Averigüe si el siguiente sistema puede ser compatible
indeterminado para algún valor de m. ¿Es incompatible para algún valor de m?
Clasifica y resuelve el siguiente sistema:
Considera el sistema: a) Añade una ecuación lineal
al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible. b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1, determina para que valores del parámetro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resuélvelo. (PAU).
Considerar el sistema de ecuaciones
a) Discutirlo según los valores del parametro .b) Resolverlo para . c) Resolverlo para . (PAU Septiembre 1999-2000)
Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un
parametro real: Se pide a) Discutir el sistema. b)
Resolver el sistema para a = 1. (PAU Modelo 2004-05).
Dadas las ecuaciones a) Añade una ecuación para
que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedi-miento seguido para añadir la ecuación. (PAU).
Dado el sistema a) Añade una ecuación lineal de
manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).
Dado el sistema a) ¿Cómo ha de ser la ecuación que
debe de añadirse para que sea incompatible?. b) ¿Cómo es la ecua-ción que debe de añadirse para que resulte compatible indetermina-do?. Resuelve el sistema. (PAU).
Dado el sistema , a) escribir una tercera ecuación de la
forma (distinta de las dos anteriores) de manera que el siste-ma de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compati-
ble. b) Dado el sistema , escribir una tercera ecuación de
la forma (distinta de los dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 03-04).
Dado el sistema: si a,b y c son no nulos, el sistema tiene
solución única. Halla dicha solución. (PAU).
Dado el sistema: a) Estudiar la compatibilidad
según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003-04).
Dado el sistema se pide: a) Discutir el sistema según los
valores del parámetro . b) Resolver el sistema cuando sea posible. (PAU Junio 2008-09).
Dado el sistema: se pide: a) Discutirlo para los
distintos valores del parámetro . b) Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) Resolverlo para . (PAU Modelo 2009-10).
Dado el sistema se pide: a) Obtener los valores del
parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para (PAU Septiembre 2008-09).
Dado el sistema de ecuaciones Se pide a) Discutir el
sistema según los valores del parámetro . b) Resolverlo para (PAU Junio 2008-09).
Dado el sistema de ecuaciones: a) Discutirlo
según los distintos valores de m. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004-05)
Dado el sistema de ecuaciones: Se pide: a) Calcular a y
b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4. (PAU Septiembre 2006-07).
Dado el sistema de ecuaciones Se pide: a) Discutirlo
según los valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Junio 2000-01).
Dado el sistema de ecuaciones: se pide: a) Discutirlo
según los valores del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a = 0. (PAU Junio General 2009-10).
Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discu-
tirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU. Septiembre 2006-07).
Dado el sistema de ecuaciones lineales
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m . b) Resolver-lo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2007-08).
Dado el sistema de ecuaciones a) Discutirlo según los
distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indetermi-nado. (PAU Modelo 2005-06).
Dado el sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según
los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1 (PAU Modelo 2006-07).
Dado el sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según los
distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. (PAU Modelo 2008-09).
Dado el sistema de ecuaciones lineales Se pide a) Discutir
el sistema según los valores del parámetro a. b) Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2 (PAU. Junio 2007-08).
Dado el sistema homogéneo Averiguar para que
valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en tales casos. (PAU. Junio 2005-06).
Dado el sistema homogéneo de ecuaciones se pide:
a) Determinar para que valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolverlo para el caso k = 3. (PAU Junio General 2009-10).
Determina, según los valores del parámetro , cuando tiene solución
el sistema:
Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. (PAU).
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro
a. Resuélvelo cuando sea posible. (PAU).
Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro
a. Resuélvelo en los casos de compatibilidad. (PAU).
Discute el sistema de ecuaciones lineales según los
valores de b. (PAU).
Discute el sistema de ecuaciones según los valores
del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para a = 2. (PAU Junio 1998-99).
Discute, en función de a, el sistema (PAU).
Discute, según los valores del parámetro , el sistema de ecuaciones
lineales: Resuélvelo en el caso de que sea compati-
ble indeterminado. (PAU).
Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas:
a) b) c) d)
Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado:
Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solución cuando
a = 0.
Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones
en función del parámetro a (PAU).
Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro . Resolverlo, si es posible, para = 0.
Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente
sistema: (PAU Modelo 2009-10).
Discutir según los valores del parámetro , y resolver en los casos en
que sea posible el sistema (PAU Modelo 2003-04).
Discutir según los valores del parametro , a) el sistema
y b) resolver el sistema anterior en los casos en que
sea compatible. (PAU Modelo 2004-05).
Discutir según los valores del parámetro real el sistema:
y resolver el sistema anterior en el caso
(PAU Septiembre 2003-04).
Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del
parámetro :
Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del
parámetro a:
Encuentra el valor del parámetro a, a , para los cuales el
sistema: es compatible, y, en caso afirmativo,
resuélvelo. (PAU).
Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas y la matriz
inversa de la matriz de los coeficientes (PAU).
Estudie, según los valores del parametro a, el sistema de ecuaciones
lineales siguiente: (PAU).
Hallar para que el siguiente sistema tenga solución distinta de la
trivial. Resolverlo en esos casos.
Hallar para que valores de es incompatible el sistema:
Obtén los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matri-
cial:
Resolver el sistema de ecuaciones . Hallar la solución del
sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4. (PAU. Septiembre 2006-07).
Resolver el siguiente sistema:
(PAU Septiembre 2007-08).
Resuelve el sistema de ecuaciones . Hallar dos constantes
y de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: , el sistema resultante sea compatible indeterminado.
(PAU Junio 2004-05).
Resuelve los siguientes sistemas:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Resuelve los siguientes sistemas:
a) b) c) d)
e) f) g)
Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:
a) b)
Resuelve los sistemas de ecuaciones:
y
Resuelve, utilizando un método algebraico, el siguiente sistema de
ecuaciones:
Sea el sistema de ecuaciones: Hallar los valores de
para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. Resolverlo si = 0
Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = 2. c) Resolver el sistema para a = 1 (PAU Septiembre 2000-01).
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parametro real a: Se pide: a) Discutir el sistema según los
diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema para a = - 1. c) Resolver el sistema para a =2. (PAU Junio 2001-02).
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del
parametro real a: Se pide: a) Discutir el sistema según los
diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003-04).
Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t .
a) Encuentra los valores de para que el rango de la
matriz de los coeficientes del sistema sea 2. b) Resuelve el sistema anterior para = 0. (PAU Junio 1997-98).
Se considera el sistema de ecuaciones
a) Comprobar que es compatible para todo valor de a.b) Describir en terminos geometricos el conjunto de soluciones para a =1 y para a = -2.c) Resolverlo para a = -2 (PAU Junio 1999-2000).
Se considera el sistema de ecuaciones: a) Discu-
tirlo según los valores del parámetro real . b) Resolverlo para . c) Resolverlo para . (PAU. Junio 2000-01).
Se considera el sistema de ecuaciones: se pide:
a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolver el sistema para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).
Se considera el sistema de ecuaciones: Se pide:
a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m. (PAU Junio 2002-03).
Se considera el sistema de ecuaciones: Se pide:
a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002-03).