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APLICACIONES DE LA DERIVADA

Razones o relaciones afines (Razones de Cambio)

Dadas dos (o mas cantidades) relacionadas, si conocemos la razon decambio de una de ellas podemos determinar la razon de cambio de la otra.

ESTRATEGIA• Visualizar el problema (dibujo).• Identificar las variables y la ecuacion que las relaciona.• Describir lo que se busca.• Derivar en cadena para determinar la razon de cambio buscada.

Ej 1: Se infla un globo esferico a una razon de 100cm3/s. Que tan rapidoaumenta su radio en el instante en el que su valor es de 25cm?

() 13 de junio de 2012 1 / 14

Denominamos el radio de la esfera por r = r(t), y su volumen porV = V (t). Estamos interesados en determinar dr

dt = r ′(t), en el instantecuando r = 25. Las dos cantidades se relacionan mediante la ecuacion

3πr3.

La razon a la cual aumenta el volumen de la esfera corresponde adVdt = V ′(t) = 100. Procedemos a derivar en cadena la relacion entre

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

25π cm/s, cuando r = 25.

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

3πr3.

volumen y radio:

dt(r3) =

3π · 3r2 dr

dt= 4πr2 dr

de donde drdt =

4πr2 = 1004π625 = 1

() 13 de junio de 2012 2 / 14

Ej 2: Una escalera de 10 pies se apoya en un muro. Si la parte inferior dela escalera se resbala en el piso alejandose del muro con una rapidez de1pie/s, determinar la rapidez con la que se desplaza sobre el muro la partesuperior de la escalera en el instante en que la parte inferior se encuentra a6 pies del muro.

() 13 de junio de 2012 3 / 14

Denominamos por x y y las longitudes en el piso y en el muro de laspartes inferior y superior de la escalera. Se conoce la razon de variacion dex , e, d, dx

dt = 1, Deseamos encontrar dydt

La ecuacion que relaciona estas cantidades se obtiene de aplicar Pitagorasa la situacion descrita:

100 = x2 + y2.

Derivando implicitamente en la relacion obtenida entre x y y , obtenemos:

0 = 2xdx

dt+ 2y

y por tanto despejando y ′(t)

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

100 = x2 + y2.

0 = 2xdx

dt+ 2y

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

100 = x2 + y2.

0 = 2xdx

dt+ 2y

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

100 = x2 + y2.

0 = 2xdx

dt+ 2y

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

100 = x2 + y2.

0 = 2xdx

dt+ 2y

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

100 = x2 + y2.

0 = 2xdx

dt+ 2y

dt= −

x dxdt

y= −6

8= −3

4pies/s

() 13 de junio de 2012 4 / 14

Ej 3: Una avioneta que sobrevuela con una rapidez de 100m/s a unaaltura de 1000m, se aproxima a una radio-ayuda en el suelo. Determinar lavelocidad a la que la avioneta se acerca a la radio-ayuda en el instante enque esta se encuentra a 2000m de distancia.

() 13 de junio de 2012 5 / 14

Ej 3: Una avioneta que sobrevuela con una rapidez de 100m/s a unaaltura de 1000m, se aproxima a una radio-ayuda en el suelo. Determinar lavelocidad a la que la avioneta se acerca a la radio-ayuda en el instante enque esta se encuentra a 2000m de distancia.

() 13 de junio de 2012 5 / 14

Introducimos las variables: distancia de la avioneta a la radio-ayuda h,distancia proyectada en el piso de la avioneta a la radio-ayuda x .La ecuacion que relaciona estas cantidades nuevamente se obtieneaplicando Pitagoras.

x2 + (1000)2 = h2,

Sabemos que dxdt = −100 y deseamos encontrar dh

dt .Derivando implicitamente la relacion dada entre las variables obtenemos:

dt= 2h

Luego como x2 + (1000)2 = (2000)2, entonces x = 1000√

dt= −1000

2000100 = −50

√3m/s.

() 13 de junio de 2012 6 / 14

x2 + (1000)2 = h2,

dt= 2h

dt= −1000

2000100 = −50

√3m/s.

() 13 de junio de 2012 6 / 14

x2 + (1000)2 = h2,

dt= 2h

dt= −1000

2000100 = −50

√3m/s.

() 13 de junio de 2012 6 / 14

x2 + (1000)2 = h2,

dt= 2h

dt= −1000

2000100 = −50

√3m/s.

() 13 de junio de 2012 6 / 14

INDETERMINACIONES

Hemos encontrado algunas situaciones donde el lımite toma la formaindeterminada “ 0

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

sin xx es de la forma “ 0

0 ”, (Sabemos que es igual a 1!!)

Regla de L’Hopital (Bernoulli )Consideremos funciones f y g tales que lımx→a f (x) = 0, ylımx→a g(x) = 0. Suponemos que f , g son derivables alrededor de a cong ′(x) 6= 0 excepto en a posiblemente. Entonces

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

INDETERMINACIONES

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

INDETERMINACIONES

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

INDETERMINACIONES

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

INDETERMINACIONES

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

INDETERMINACIONES

0 ”, o “∞∞”.Ej 1: lımx→0

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g ′(x).

() 13 de junio de 2012 7 / 14

Notas• Puede ocurrir que la indeterminacion continue, y por tanto debamosaplicar el proceso mas de una vez.• El anterior resultado vale para lımites laterales y para lımites en ±∞Ej 2: Si f (x) = sin x , g(x) = x , sabemos quelımx→0 sin x = 0, lımx→0 x = 0.f , g son derivables siempre y g ′(x) ≡ 1 6= 0.Entonces:

lımx→0

x= lım

1= cos 0 = 1

() 13 de junio de 2012 8 / 14

lımx→0

x= lım

1= cos 0 = 1

() 13 de junio de 2012 8 / 14

lımx→0

x= lım

1= cos 0 = 1

() 13 de junio de 2012 8 / 14

lımx→0

x= lım

1= cos 0 = 1

() 13 de junio de 2012 8 / 14

Ej 3: Encontremos el lımx→0ex−1−x

sin2 x.

En esta situacion f (x) = ex − 1− x , g(x) = sin2 x . Estas funciones sonderivables pero f ′(x) = ex − 1, g ′(x) = 2 sin x cos x se anulan en x = 0nuevamente.Por tanto debemos aplicar L’Hopital mas de una vez:

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 x − 2 sin2 x

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

sin2 x.

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

sin2 x.

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

sin2 x.

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

sin2 x.

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

sin2 x.

lımx→0

ex − 1− x

sin2 x= lım

ex − 1

2 sin x cos x

= lımx→0

2 cos2 0− 2 sin2 0=

() 13 de junio de 2012 9 / 14

Ej 4: Determinemos lımx→1ln xx−1 .Observamos que

lımx→1 ln x = 0, lımx→1 x − 1 = 0.Ademas f , g son derivables en R y g ′(x) ≡ 1 6= 0.Por L’Hopital obtenemos

lımx→1

x − 1= lım

Ej 5: Determinemos lımx→∞ex

x2 “∞∞”.Procedemos a aplicar L’Hopital:

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

lımx→1

x − 1= lım

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

lımx→1

x − 1= lım

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

lımx→1

x − 1= lım

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

lımx→1

x − 1= lım

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

lımx→1

x − 1= lım

lımx→∞

x2= lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 10 / 14

Ej 6: Consideremos lımx→∞x√x2+1

Por L’Hopital:

lımx→∞

x√x2 + 1

= lımx→∞

1x√x2+1

= lımx→∞

√x2 + 1

= lımx→∞

x√x2 + 1

No funciona el metodo, pero sabemos que el lımite es 1.

() 13 de junio de 2012 11 / 14

Por L’Hopital:

lımx→∞

x√x2 + 1

= lımx→∞

1x√x2+1

= lımx→∞

√x2 + 1

= lımx→∞

x√x2 + 1

() 13 de junio de 2012 11 / 14

Por L’Hopital:

lımx→∞

x√x2 + 1

= lımx→∞

1x√x2+1

= lımx→∞

√x2 + 1

= lımx→∞

x√x2 + 1

() 13 de junio de 2012 11 / 14

Por L’Hopital:

lımx→∞

x√x2 + 1

= lımx→∞

1x√x2+1

= lımx→∞

√x2 + 1

= lımx→∞

x√x2 + 1

() 13 de junio de 2012 11 / 14

Productos indeterminadosSi lımx→a f (x) = 0, y lımx→a g(x) =∞, que podemos decir delımx→a f (x)g(x)? “0 · ∞”Debemos transformar el lımite de la siguiente manera:

lımx→a

f (x)g(x) = lımx→a

f (x)1

el cual es de la forma “ 00 ”

Ej 8: Consideremos el lımite lımx→0+ x ln x .En este caso lımx→0 x = 0, y lımx→0+ ln x = −∞.Por tanto el lımite es de la forma “0 · −∞”.Resolvemos el inconveniente transformando la expresion:

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

lımx→a

f (x)1

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

lımx→a

f (x)1

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

lımx→a

f (x)1

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

lımx→a

f (x)1

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

lımx→a

f (x)1

lımx→0+

x ln x = lımx→0+

lımx→0+

−1/x2= lım

x→0+−x = 0.

() 13 de junio de 2012 12 / 14

Si optamos por transformarla de otra manera:

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→0−x(ln x)2.

Este ahora es mas complicado que el lımite original.Diferencias indeterminadas Si tenemos lımx→a f (x) =∞, ylımx→a g(x) =∞, que sentido tiene lımx→a(f (x)− g(x)) “∞−∞”?Ej 9: Determinar lımx→π

2− sec x − tan x .

Transformando la expresion original tenemos:

lımx→π

sec x − tan x = lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

lımx→0

x ln x = lımx→0

1/ ln x=

lımx→0

− 1(ln x)2 1/x

lımx→π

1− sin x

lımx→π

− cos x

− sin x= 0.

() 13 de junio de 2012 13 / 14

Potencias indeterminadas Expresiones del tipo “00”, “∞0”, “1±∞” sontambien indeterminaciones.Ej 10: Determinar lımx→0+ xx .Aplicamos ln a la expresion y nos preguntamos sobre el lımitelımx→0+ x ln x ,el cual ya encontramos y vale 0. Luego

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

Ej 11: Determinar el lımite lımx→∞ x1x .

Nuevamente consideramos el ln de la expresion y estudiamos el lımite

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

Luego, lımx→∞ x1x = e0 = 1.

() 13 de junio de 2012 14 / 14

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 14 / 14

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 14 / 14

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 14 / 14

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 14 / 14

lımx→0+

xx = e lımx→0+ x ln x = e0 = 1.

lımx→∞

ln(x1x ) = lım

x→∞

= lımx→∞

() 13 de junio de 2012 14 / 14

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