1 unidad 2: la derivada pendiente y razones. 2 ¿cómo determina la pendiente de la recta tangente a...
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1
Unidad 2: La derivada
Pendiente y razones
2
¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 o x=2 o en cualquier otro punto?
¡Reflexión!
Empecemos por la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función y = f (x) en x=xo.
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x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
h0
h
hx
)( 0 hxf
44
x
y
0x
)( 0xf)( 0xf
x0
Tangente!!!
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En el límite, cuando h 0, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir que:
Pendiente de la recta tangente
Note que: 0 0
SL
f x h f xm
h
0 0
0 0lim lim
T SL Lh h
f x h f xm m
h
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se llama
razón de cambio promedio de y con respecto a x.
Razón de cambio
El cociente de diferencias
x
y
2
1.5
5
5
Número deoperarios.
Número de docenas de pantalones producidos diariamente.
Si en cada uno de los casos aumentamos un operario, ¿en cuánto aumenta la producción diaria de pantalones por operario?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y
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Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.
x
y
x0
f(x0)
x1
f(x1)
h
xfhxf
x
y )()( 00
Note que si x1 = x0 + hentonces
h
xfhxflímh
)()( 00
0
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La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
0 00
0limh
f x h f xf x
h
ydx
dyxf
dx
dx´f )()(Notación:
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La derivada de una función f en x0 es:
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0
La razón de cambio instantánea de la función f en x0
0 0
0limh
f x h f x
h
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Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = 5 b) f (x) = x c) f (x) = x2
d) f (x) = x-1 e) f (x) = x1/2
Ejemplo
Usando la definición, calcule la derivada de:
f (x) = 2 + 3x - 5x2
¿ Cómo seria la derivada de f (x)=xn ?
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La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es también su razón de cambio (su derivada).
Derivada de una función lineal
Ejemplos: halle dy/dx de2
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y x 2 8y x b)a)
Esto es: dmx b m
dx
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Para deducir la derivada de
f (x) = ex y de f (x) = ln(x),
dé una lectura al artículo:
“Descubriendo derivadas con Winplot”
f ´(x) = ex f ´(x) = 1 / x
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Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda dibujarse una recta tangente.
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Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x
2/3La gráfica de la curva
presenta una cúspide en 0
y x
x
La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x
Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0
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Si un fabricante produce rollos de tela con una ancho fijo y el costo de producir x yardas de tela es C = f (x) dólares,a) ¿qué significado tiene f´(x)?, ¿cuáles son sus unidades?b) en términos prácticos, qué significa decir que f´(1000)=9.
Rpta. a) La derivada denota la razón de cambio instantánea
del costo de producción con respecto al número de yardas producidas y sus unidades son de dólares por yarda.
Rpta. b) f´(1000)=9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tela, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 dólares/yarda.
0'( ) lim
x
Cf x
x
Ejemplo:
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Para la función y = x2, ¿alrededor de cuál de los puntos (1; 1) o (2; 4), su gráfica tiene mayor variación?
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Ejemplo.Dado el gráfico de la función f.
Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1), f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)
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Ejemplo.De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta tangente en x=2.