I. DERIVACIÓN DE FUNCIONES

III.1. INCREMENTOS

(1) Definición .- El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así pues, x = x1 -

x0.Si se da un incremento x a la variable x ( es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x ), la función y = f(x) se verá incrementada en y = f ( x0 + x ) – f(x0 ) a partir del valor y = f(x0 ).

Ejemplo 13: Si se tiene que y = f(x) = x2

Si x0 = 10, entonces fija a y = 100Suponiendo x1 = 12, entonces fija a y = 144

Resulta que x = 2, determina y = 44Suponiendo x1 = 9, entonces fija a y = 81

Resulta que x = -1, determina y = -19

El cociente = recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la

función en el intervalo comprendido entre x = x0 hasta x = x0 + x

III.2. DERIVADAS

(1) Notación usual en las derivadas.- La derivada de una función de una variable es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este ( el incremento x ) tiende a cero. Cuando el límite existe, se dice que la función es derivable o tiene derivada. Matemáticamente:

=

la derivada será el límite del segundo miembro cuando x 0 y se representa que se lee:

“ la derivada de y [ o de f(x) ] con respecto a x “

=

si “u” es una función de “t”

=

las expresiones y deben considerarse como un todo y no como una fracción. Si y = f(x), la

derivada se expresa de diferentes formas, algunas de ellas son:

= f(x) = y = f (x) = y = Dx y = Dx f(x)

18

(2) Regla general de derivación.- Para encontrar la derivada de una función conforme a la definición anterior, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se sustituye en la función x por x + x y se calcula y + y.

II. Se resta el valor inicial de la función del valor obtenido y + y para encontrar el

incremento y.

III. Se divide el incremento de la función (y) sobre el incremento de la variable (x).

IV. Se calcula el límite de este cociente cuando el incremento de la variable (x) tiende a

cero. El límite encontrado es la derivada buscada.

Ejemplo 14:

Encontrar la derivada de y = 3x2 + 5I.- y + y = 3 ( x + x )2 + 5

y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5II.- y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5

y = 3x 2 + 5 . y = 6xx + 3 (x)2

III.- = = 6x + 3x

IV.- = = (6x + 3 x ) = 6x

EJERCICIOS VI

Encuentra la derivada de cada función que se proporciona.

19

a) y = 2 – 3x

b) f(x) = mx + b

c) y = x4

d) =

e) s = at2

+ bt +c

f) y =

g) f(x) = cx3

h) y = 3x – x3

i) y = x2 + 2xj) s = ( a + bt )2

k) y =

l) y = x2 + 2

m)

n)

o)

1

III.3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Geométricamente, la derivada de una función f(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica

de y = f(x) en el punto [ x0, f(x0) ]. En la figura

siguiente:

considerando que: y = f(x)

I.- y + y = f ( x + x ) NQ

II.- y + y = f ( x + x ) NQ y = f(x) MP = NR .

y = f( x + x) - f(x) RQ

III.- = = = tg RPQ = tg = pendiente de la

secante PQ.La razón del incremento y al incremento x es la pendiente de la secante determinada por P ( x, y ) y Q ( x + x, y + y ).

IV.- Si se considera x como fijo, entonces P es punto fijo en la gráfica. Si x varía tendiendo a cero, el punto Q se mueve en la curva y se acerca a P como límite. La recta PQ gira sobre P y se sobrepone a PT.

= inclinación de la secante PQt = inclinación de la tangente PT = t

y = tg = tg t = pendiente de la tangente en P.El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

Ejemplo 15: Hallar la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente

a la curva y = 3x2 + 5 en los puntos (0, 5) y ( , y ).

Por lo anterior: = m

= ( 3x2 + 5 ) = 6x ; m = 6x; resultado del ejemplo 12

para x = 0, m = 6 ( 0 ) = 0 m = 0como m = tg , tg = 0

= arc tg (0) = 00 = 00

20

para (0, 5) y m= 0; la Ec. es y – 5 = 0 ( x – 0 ); y – 5 = 0

para x = , m = 6 ( ) = 2 m = 2

= arc tg (2) = 63.430 = 63.430

para ( , ) y m= 2; la Ec. es y – = 2 ( x – ); 6x – 3y + 14 = 0

EJERCICIOS VII

Encuentra la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente en cada caso:

a) y = x2 – 2 ( 1, -1 ) b) y = 2x - x2 ( 3, y )

c) y = x = 2 d) y = 3 + 3x – x3 x = -1

e) y = x3 – x2 ( -1, -2 )

III.4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Debido a que la aplicación de la regla general de derivación ( por incrementos ) sería muy laboriosa, en su lugar, existen fórmulas de derivación. Para derivar funciones algebraicas, las fórmulas correspondientes son las siguientes:

21

1). = 0 siendo c una constante

2). = 1

3). = + -

4). = c siendo c una constante

5). = u + v

6). = u v + uw + vw

donde u, v, w son funciones derivables de x

7). = n v n – 1

8). = n x n – 1

9). =

10). = siendo c 0

Ejemplo 16: Derivar la función de cada inciso:

a) y = 3x2 + 5x3 + x4

= (3x2 + 5x3 + x4 ) = (3x2 ) + ( 5x3 ) + (x4 ) aplicando 3)

u = 3 (x2 ); v = 5 (x3 ); w = (x4 ); aplicando 4)

u = 3 (2x2-1 ); v = 5 (3x3-1 ); w = 4x4-1); aplicando 8)

y = 6x + 15x2 + 4x3

b) s = ( t2 – 3 )4

= [( t2 – 3 )4 ] ; u = t2 – 3; n = 4

s = 4 ( t2 - 3 )4-1 ( t2 – 3 ); aplicando 7)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ ( t2 ) – ( 3 ) ]; aplicando 3)

s = 4 ( t2 - 3 )3 [ 2t – 0 ]; aplicando 8) y 1)

s = 8t ( t2 - 3 )3

c) f(x) = ; f (x) =

f (x) =

f (x) = aplicando 7)

f (x) = aplicando 9)

f (x) = aplicando 1) y 2)

f (x) = =

f (x) = ; f (x) =

EJERCICIOS VIII

Encontrar la derivada de la función en cada inciso:

a) y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6

b) f(x) = 3x1/2 - x3/2 + 2x-1/2

c) y = +

d) y =

e) f(t) = +

f) y = ( 1 – 5x )6 g) f(x) = ( 3x – x3 + 1 )4

h) f(z) = i) y = 2x2

j) =

k) y =

l) y =

m) z =

n) s =

o) s = t

p) f(t) = ( 2 – 3t2 )3 q) y = x ( a + bx )1/2

r) y =

s) s =

t) r =

u) y =

v) f(x) =

w) f(t) = at5 – 5bt2

x) s = 2t4/3-3t2/3

III.5. DERIVADAS SUCESIVAS

La derivada de una función también es una función, ello nos permite intentar derivarla repetidas veces. Así, f (x), f(x), f(x), f4(x), ..................., fn (x) denotarán la primera, segunda, tercer, cuarta, ........, n-ésima derivada de la función f.

Ejemplo 17:Si f(x) = x5 – 2x3 ; tendremos:

f (x) = 5x4 – 6x2; f (x) = 20x3 – 12x; f (x) = 60x2 - 12,f 4(x) = 120x; f 5(x) = 120

y de ahí en adelante todas las derivadas serán igual a cero. Algunas otras formas de expresar derivadas

sucesivas son: f (x) = f 2(x) = = y ; f = f 3(x) = = y y así

sucesivamente.EJERCICIOS IX

Calcular las derivadas indicadas en cada problema:

a) y = 3x4 – 2x2 + x – 5 y = ?

b) y = y(IV) = ?

c) f(x) = f (x) = ?

d) y = y = ?

e) y = y(V) = ?

f) y = y = ?

g) y = x2 – 4x + 8 y = ?

III.6. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLICITAS

Cuando se da una relación entre “x” y “y” por medio de una ecuación no resuelta para y [ f(x, y) =0], entonces “y” se llama función implícita de “x” ( o también “x” función implícita de “y” ). Por ejemplo:

x2 – 4y = 0A veces, es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto a una de las

variables, obteniendo así una función explícita. Así, puede definirse “y” como función explícita de “x”: y =

x2. Sin embargo, puede ocurrir que la resolución indicada sea imposible o complicada; cuando sucede tal

caso, para calcular la derivada de esta clase de funciones se aplican los siguientes pasos:

1). Derivar término a término con respecto a “x” y donde aparece “y” derivarla como función de “x”.

2). Agrupar términos con en el primer miembro.

3). Despejar

Ejemplo 18: Calcular la derivada de:

15x = 15y + 5y3 + 3y5

(15x) = (15y) + ( 5y3 ) + (3y5 )

15 = 15 + 15y2 + 15y4

[ 1 + y2 + y4 ] = 1; =

Ejemplo 19 Derivar:

x3 – 3axy + y3 = 0

(x3) - (3axy) + ( y3 ) = (0)

3x2 – 3ay – 3axy + 3y2y = 0

y (3y2 – 3ax ) = 3ay – 3x2 ; y =

EJERCICIOS X

1) Encuentra la derivada de cada función implícita que se proporciona:

a) x2 + y2 = 4

b) y3 + xy – 10 = 0

c) x2 + 3y2 – 4 = 0

d) x2 - 2xy + y2 = 6

e) y3 + 3x2y + x2 – 2xy = 3

f) x2 + y2 – 4x + 6y – 24 = 0

g) x =

h) x2 + xy + 2y2 = 28

i) x2/3 + y2/3 = a2/3

j) x + xy + y = 2

k) x2 – xy + y2 = 3

l) x2 – xy2 + x2 + y2 = 0

2) Hallar la pendiente de las curvas indicadas en los puntos señalados:

a) x3 – 2xy + y3 = 5; P( 1, 1 )b) y3 + (y – x )2 = 7 + x y P( 1, 2 )c) x2 + y2 = 4 P( 2,

0 )d) x2 y + xy2 = 12 P( 3, 1 )

e) x2 - y2 = 3 P( 2, 1 )f) 2y3 + 4xy + x2 = 7; P( 1, 1 )g) x3 - y3 = 5xy - 3 P( 2, 1 )h) 2y3 + 4xy + x2 = 7 P( 1, 1 )

III.7. DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

El siguiente grupo de fórmulas de derivación se aplican para derivar funciones trascendentes (llamadas así para distinguirlas de las algebraicas vistas anteriormente). Las funciones trascendentes se dividen en :

(1). Función logarítmica y exponencial.(2). Función trigonométrica o circular.(3). Función trigonométrica inversa o circular inversa.

(1) Funciones logarítmicas y exponenciales.- Las fórmulas para derivar estas funciones son:

11). = =

12). =

13). = a v ln a

14). = e v

15). = v u v-1 + ln u (uv)

Ejemplo 20: Calcular la derivada de la función proporcionada en cada inciso:

a) y = ln ( 4x – 5 ); v = 4x + 5

ln v = ln ( 4x – 5 )

y = (4x – 5 ) aplicando 11)

y = (4 – 0 ) ; y =

b) f(x) = e5x

f(x) = e5x (5x ) aplicando 14)

f(x) = e5x (5 ); f(x) = 5 e5x

c) y = x2 ex

y = ( x2 ) ( ex ) + (ex ) ( x2 )

y = ( x2 ) [ ex (x ) ] + (ex ) [ 2x ] y = x2 ex (1 ) + 2x ex ; y = ex ( x2 + 2x )

d) y =

y = ( ex )

y = ( ex ); y =

e) y = 22x

y = 22xln 2 ( 2x ) aplicando 13)

y = 22xln 2 ( 2 ) y = 2 ( 22x ) ln 2

EJERCICIOS XI

Calcula la derivada de cada función indicada:

a) y = ln ( x2 + a )

b) y = x2 ln x2

c) y = b

d) f(x) =

e) y = ln ( 3x2 + 5 )

f) f(x) = ln ( ln x )

g) s = e-t

h) y =

i) y = ex ln x

j) y = ln ( x2 ex )

k) f(x) =

l) f(x) =

m) y =

n) y = ( ln x2 )3

o) y = ln

p) y =

q) f( x) =

r) s = t et

s) f()=b2

t)

(2) Funciones trigonométricas o circulares.- En la derivación de funciones trigonométricas circulares, las fórmulas que se aplican para resolver estos problemas son:

16). = cos v

17). = - sen v

18). = sec2 v

19). = - csc2 v

20). = sec v tg v

21). = - csc v ctg v

NOTA: El argumento de estas funciones trigonométricas se expresa en radianes.

Ejemplo 21: Calcular la derivada de:

a) y = 4 tg 5x

y = ( 4 tg 5x ) ; y = 4 ( tg 5x )

y = 4 [ sec2 5x ( 5x )] aplicando 18)y = 4 sec2 5x ( 5 ); y = 20 sec2 5x

b) sen y = cos 2x función implícita.

( sen y ) = ( cos 2x )

cos y = - sen 2x ( 2x ) aplicando 16) y 17)

cos y y = -2 sen 2x; y =

c) y = ctg 8x

y = [ - csc2 8x ( 8x ) ] aplicando 19)

y = ( 8 ) ( - csc2 8x ) ; y = - 2 csc2 8x

EJERCICIOS XII1) Encuentra la derivada de cada función que se proporciona:

a) y = sen 3x2

b) f(x) = 3x2 – 4 cos x

c) s = tg 3t

d) y = 4 ctg

e) f(t) = + 7 cos t

f) y = sen ax2

g) f() = 3 cos 2

h) y = tg 3 4x

i) f() = cos3

j) y = sen 2x cos 2x

k) y = a csc bx

l) s = tg -

m) f() =

n) g(x) = sec x tg x

o) y =

p) sen x + cos y = 0

q) f() =

r) s =

s) y = x sen x

t) y =

2) Encuentra la derivada de las funciones implícitas que se proporcionan:

a) 2 sen x + 4 cos y = 4b) sen 2y – cos 2x = 0c) ctg y = x – y

d) sen x + cos y = ey e) cos 2 y = tg 3 x

(3) Funciones trigonométricas inversas o circulares inversas.- La función inversa de x = sen y es y = arc sen x (y = sen-1 x). Para las demás funciones trigonométricas, su función inversa se encuentra de la misma manera. Las fórmulas de derivación de estas funciones son:

22). =

23). = -

24). =

25). = -

26). =

27). = -

Ejemplo 22: Encontrar la derivada en cada caso:

a) y = arc sen ( 2x – 3 )

y = [ arc sen ( 2x - 3 ) ]

y = ( 2x - 3 ) aplicando 22)

y = ( 2 )

y = ; y =

b) y = arc csc 2x

y = [ arc csc 2x ]

y = - (2x ) aplicando 27)

y = - ; y = -

c) y2 sen x + y = arc tg x

( y2 sen x ) + ( y ) = (arc tg x )

y2 ( cos x ) + sen x ( 2y ) y + y = ( x )

y ( 2y sen x + 1) = ; y =

EJERCICIOS XIII

Calcula la derivada de las funciones de cada inciso.

a) y = arc tg 2x2

b) y = arc cos

c) y = arc cot

d) y = arc sec

e) f(x) = arc sen ( 3x – 4x3 )

f) y = x arc sen 2x

g) y = x2 arc cos x

h) y = arc csc mx

i) y = arc sen ( a x2 + b x + c )

j) f ( x ) = x arc tg x

k) y = arc sen

l) encontrar y para cada valor de x

1). y = x arc sen x x =

2). y = x arc cos x x = -

3). y = x = 1

4). y = x2 arc csc x = 2

V ANÁLISIS DE FUNCIONES.

IV.1. LA DERIVADA EN LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

(1) Función creciente.- Una función es creciente si “y” [ f(x) ] aumenta cuando “x” aumenta. Su derivada es positiva.

(2) Función decreciente.- Una función es decreciente si “y” disminuye cuando “x” aumente. Su derivada es negativa.

Gráficamente:

Al variar un punto a lo largo de la curva de izquierda a

derecha, la curva “ sube “; es decir, a medida que “ x “

aumenta, la función ( y ) aumenta. Los incrementos y y

x son del mismo signo.

Al moverse el punto de izquierda a derecha sobre la

curva, esta “ baja “; a medida que “ x “ aumenta, y ( la

función ) disminuye. En este caso los incrementos y y

x son de signos opuestos.

Una función puede ser unas veces creciente y otras decreciente. Con la función:

y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3; cuya gráfica es: asumiendo que un punto se mueve de izquierda a derecha

a lo largo de la curva se pueden hacer las siguientes

consideraciones: hasta llegar a A la curva sube, desde A

hasta B la curva baja, y de B en delante, continua

subiendo. Es decir:

a) Desde x = - hasta x = 1 la función es crecienteb) Desde x = 1 hasta x = 2 la función es decrecientec) Desde x = 2 hasta x = + la función es creciente

Generalizando lo anterior:Una función es creciente cuando su derivada es positiva ( pendiente positiva, ángulo agudo ) y

decreciente cuando su derivada es negativa ( pendiente negativa, ángulo obtuso ).Para la función del caso:

y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 = 6 ( x – 1 ) ( x – 2 )y ´ = 6 x2 – 18 x + 12 = 6 ( x2 – 3 x + 2 ) = 6 ( x – 1 ) ( x – 2 )

Cuando x 1; f (x) es positiva; f(x) es crecienteCuando 1 x 2; f (x) es negativa; f(x) es decrecienteCuando x 2; f (x) es positiva; f(x) es creciente

Resultados congruentes con la representación gráfica.

Ejemplo 23: Para f(x) = 6 – x2 , investigar el intervalo donde la función es creciente y donde es decreciente.

f (x) = - 2x

Para valores negativos de x ( x 0 ), f(x) será positiva ( es decir, creciente ); cuando a x se le asignen valores positivos ( x 0 ), f(x) será negativa ( es decir, decreciente ). Resumiendo:

Cuando x 0; f(x) es positiva; f(x) es crecienteCuando x 0; f(x) es negativa; f(x) es decreciente

La gráfica correspondiente es:

EJERCICIOS XIV

Encuentra los intervalos donde cada función proporcionada sea creciente o decreciente:

a) y = x2 - 9

b) y = x2

c) y = 2x - x2

d) y = 2x2 - x4

e) y = x3 – 6x2 + 9x

f) y = 5x

g) y = ( x – 3 )3

h) y = 3x2 – x3

IV.2. MÁXIMOS Y MINIMOS.

(1) Definición .- El valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una función es un mínimo si es menor que cualquiera de los valores inmediatamente anteriores y posteriores al considerado.

En la gráfica siguiente y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 la función tiene un valor máximo MA ( y = 2 ) en x = 1 y un valor mínimo NB ( y = 1 ) en x = 2.

A los anteriores conceptos se les llama mínimos y máximos locales, ya que en la gráfica se observa que a la derecha de B hay valores de “y” mayores que MA y a la izquierda de A también la función tiene valores menores que el mínimo NB.

En el punto A de la gráfica, y = 0 ( m = 0, tangente del ángulo de cero grados es cero ); en el punto C a la izquierda de A, el ángulo de la tangente es agudo ( pendiente positiva ) y en el punto D a la derecha de A el ángulo de la tangente es obtuso ( pendiente negativa ). En el punto A ( máximo ), la función cambia de creciente a decreciente; la derivada de la función cambia de positiva ( + ) a negativa ( -).

En el punto B, y = 0; en punto D la función es decreciente y en E es creciente. En B ( mínimo ), la derivada de la función cambia de negativa ( - ) a positiva ( + ). Lo anterior se puede resumir de la siguiente forma:

f(x) es un máximo si f (x) = 0 y f (x) cambia de + a –f(x) es un mínimo si f (x) = 0 y f (x) cambia de – a +

Los valores que satisfacen la ecuación f(x) = 0 se llaman valores críticos y determinan puntos de cambio donde la tangente es paralela al eje “x”. En la función del caso, los valores críticos son x = 1 y x = 2. Para determinar el cambio de signo en la derivada, se evalúa la función para valores un poco menores y un poco mayores.

Si y = 6x2 – 18x + 12:

Para x = 1; valor poco menor = 0.5 valor poco mayor = 1.5

y = 6 ( 0.5 )2 – 18 ( 0.5 ) + 12 = 1.5 - 9 + 12 +y = 6 ( 1.5 )2 – 18 ( 1.5 ) + 12 = 37.5 - 27 + 12 –

El cambio es de + a –

Para x = 2; valor poco menor = 1.5 valor poco mayor = 2.5

y = 6 ( 1.5 )2 – 18 ( 1.5 ) + 12 = 37.5 - 27 + 12 –y = 6 ( 2.5 )2 – 18 ( 2.5 ) + 12 = 37.5 - 45 + 12 +

El cambio es de – a + Para x = 1; Máx. = y = 2Para x = 2; Mín. = y = 1

(2) Primer método para calcular máximos y mínimos.- En la aplicación de este método, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se encuentra la primera derivada.

II. Se iguala la primera derivada a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación

resultante. Estas raíces serán los valores críticos de la variable.

III. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera

derivada, en primer lugar para un valor un poco menor ( mayor que cualquier valor

crítico menor al que se analiza ) que el valor crítico y después para un valor un poco

mayor. Si el signo de la derivada es primeramente + y después – , la función tiene un

máximo para este valor crítico de la variable; en caso contrario, tiene un mínimo. Si no

hay cambio de signo, no hay máximo ni mínimo para ese valor crítico.

Ejemplo 24: Calcular máximos y mínimos de

f (x) = x3 – 6x2 + 9xI) f (x) = 3x² - 12x + 9II) 3x² - 12x + 9 = 0

x² - 4x + 3 = 0(x-3) (x-1)= 0

Las raíces son: x = 1; x = 3.(se pueden calcular con la fórmula general)

III) Para el valor crítico x = 1:Valor poco menor = 0; Valor poco mayor = 2.

f (0) = 3(0)² - 12(0) + 9 = 9 +f (2) = 3(2)² - 12(2) + 9 =-3 –

el cambio de signo de la derivada es de + a –; por lo que se concluye que hay un máximo.

Máx. = f (1) = (1)³ - 6 (1)² + 9(1) = 1-6+9 = 4

Para el valor crítico x = 3

Valor poco menor = 2; Valor poco mayor = 4

f (2) = –f (4) = 3(4)²-12(4)+9=9 +

el cambio de signo de la derivada es de – a + ; por lo que se concluye que hay un mínimo.

Mín. = f (3) =(3)³-6(3)²+9(3) = 54 - 54=0

Resumiendo:

Para x = 1; Máx. = 4

Para x = 3; Mín. = 0

La gráfica correspondiente es:

Máximos o mínimos para f (x) continua y f ’(x) se vuelve infinita.- En la gráfica siguiente:

En los puntos B y G (máximos) y en E (mínimo), f(x) es continua pero f ’(x) se vuelve infinita, ya que la tangente en dichos puntos es paralela al eje y. Por lo anterior se deben de incluir como valores críticos los valores de x para los que f ’(x) se vuelve infinita; matemáticamente, los valores de x que satisfacen la ecuación

Obsérvese en la figura que también en el punto A, f(x) se vuelve infinita, pero en la función no hay máximo ni mínimo.

EJERCICIOS XV

Calcula los máximos y mínimos en la función que se proporciona en cada inciso:

a) f(x) = 10 + 12x – 3x2 - 2x3

b) y = 2x3- 9x2 + 12x – 3c) f (x) = x3 + 2x2 - 15x –20d) y = 2x3 + 3x2 + 12x – 4

e) f (x) =

f) y = x4+ 2x3 - 3x2 - 4x + 4

g) f(x) = (x-1)2 (x+1)3

h) y = x2 + 2x – 3i) f ( x ) = 2x3 + 3x2

- 12xj) f ( x ) = 3x4 - 4x3 - 12x2

k) y = ( 2 + x )2 ( 1 – x )2

l) f (x) = x3 +

(3) Concavidad de una curva.- Si el punto P (x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P varia. Cuando la tangente a P queda debajo de la curva (fig. a), el arco es cóncavo hacia arriba, si la tangente queda arriba de la curva (fig. b), el arco es cóncavo hacia abajo.

El criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto es:

La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva; es cóncava hacia abajo (convexo) si esta derivada es negativa.

(4) Segundo método para determinar máximos y mínimos.- Las condiciones para máximos y mínimos de f(x) correspondientes a valores críticos de la variable son:

f(x) es un máx. si f (x) = 0 y f (x) es negativa.f(x) es un mín. si f (x) = 0 y f (x) es positiva.

Y se recomiendan los pasos siguientes en el cálculo de máximos y mínimos con este método:

I. Calcular la primera derivada de la función.

II. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores

críticos de la variable.

III. Determinar la segunda derivada.

IV. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos

obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico

considerado; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.

Si f (x) = 0; se aplica el primer método, puesto que puede existir un máximo o mínimo para el valor crítico respectivo.

Ejemplo 25: Con el segundo método, determinar máximos y mínimos dey = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4

I) f (x) = 4x3 + 6x2 - 6x –4

II) 4x3 + 6x2 -6x –4=0

2 (x+2) (2x+1) (x-1) = 0; valores críticos: x = -2; x = - ; x = 1.

III) f (x) = 12x2+12x-6IV) para x = -2:

f (x) = 12 (-2)2 + 12(-2) – 6 =48 – 24 – 6 +Por ser f (-2) positiva, hay un mínimoMín. = f (-2) = (-2)4 + 2(-2)3 - 3(-2)2 -4 (-2) +4 =0

Para x = -1/2: f (x) = 12(-1/2)2)+12(-1/2)-6 = 3 –6 –6 –Por ser f (-1/2) negativa, hay un máximo

Máx. = f(-1/2) = (-1/2)4+2(-1/2)³-3(-1/2)²-4(-1/2) + 4 =

Para x = 1: f (x) = 12(1)2 + 12(1) –6 = 12 +12-6 +por ser f (x) positiva, hay un mínimo

Mín. = f(1) = (1)4+2(1)3 - 3(1)2 - 4(1) +4 =1+2-3-4+4 = 0

Resumiendo:

Para x = -2; Mín. = 0

Para x = - 1/2; Máx. = 81/16

Para x = 1; Mín. = 0

La gráfica correspondiente es:

EJERCICIOS XVICalcula los máximos y mínimos de las funciones de cada inciso:

m) y = 3 + 2x - x2

n) f (x) = x3 - 6x2 + 9x –8

o) f(x) = (x2 - 4)2

p) y = x4 - 4x2 + 4

q) y = 3x5 - 20x3

IV.3. PUNTOS DE INFLEXIÓN

(1) Definición.- Un punto de inflexión en una curva es el punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa o viceversa. Es el punto que separa arcos que tienen sentido de concavidad opuestos. En la figura, B es un punto de inflexión.

Las condiciones para que exista un punto de inflexión son:

f (x) = 0 o no este definida

f (x) cambie de signo

(2) Determinación de puntos de inflexión.-Para encontrar las coordenadas de los puntos de inflexión de una curva, se recomienda aplicar los siguientes pasos:

I. Encontrar f (x) (segunda derivada)

II. Igualar a cero f (x), resolver la ecuación resultante para considerar las raíces reales

encontradas.

III. Se evalúa f (x), primero para valores de x un poco menores y después un poco

mayores que cada una de las raíces obtenidas en el segundo paso. Si f (x) cambia de

signo, entonces se tiene un punto de inflexión.

IV. Se evalúa la función original para determinar la ordenada del punto de inflexión en el

valor de x considerado.

Hay que recordar que:Si f (x) es positiva, la curva es cóncava hacia arriba.Si f (x) es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.

Ejemplo 26: Determinar intervalos de concavidad y P.I. de la función:

f(x) = x 3 - 6x2 +9x – 8

I) f (x) = 3x2 - 12x +9; f (x) =6x – 12

II) 6x – 12= 06x = 12; x = 2

III) valor poco menor = 1; valor poco mayor = 3

f (1) = 6(1) – 12 = -6f (3)= 6(3) – 12 = 6Por haber cambiado de signo hay P.I.

IV) f(2) = (2)3-6(2)2+9(2) –8 =8 –24+18 – 8 = -6

La gráfica correspondiente es:

P.I. (2,-6)

Para x < 2; cóncavo hacia abajo

Para x > 2; cóncavo hacia arriba

EJERCICIO XVII

Encuentra los puntos de inflexión y la dirección de la concavidad en las funciones de cada caso:

a) f(x) = x2 + 2x – 3

b) f(x) = 3 + 2x – x2

c) y = x3 + 2x2 – 4x - 8

d) f(x) = x3 + 2x2 – 15x - 20

e) y = ( 2 – x )3

f) y = x3 - 3x2 + 3

g) f(x)=(x2–4)2

66

IV.4. APLICACION DE MÁXIMOS Y MINIMOS

(1) Introducción .- En los temas anteriores, se estudió como conocer la forma aproximada de la gráfica de una función mediante la derivada. Estos métodos se usan para resolver cierto tipo de problemas de geometría, física, ingeniería, biología, etc. donde es necesario minimizar o maximizar alguna cantidad.En todos estos problemas, la dificultad estriba en que hay que representar el problema real mediante un modelo matemático estableciendo una relación funcional y = f(x). Una característica de estos problemas es que se refieren a procesos de variación: kilómetros por hora ( Km/hr ), precio por tonelada ( p/ton. ), kilómetros por litro ( Km/l ), etc. Todas son razones o cocientes que expresan la variación de una cantidad con respecto a otra; se le llama razón de cambio.

La aplicación de que hablamos, se detalla mediante los siguientes ejemplos:

a) De un cartón rectangular de 4 dm. por 5 dm. se desea construir una caja abierta cuyas dimensiones le den su máxima capacidad, calcular esas dimensiones.

Con el auxilio de las siguientes figuras

El volumen de la caja es:

( l ) ( a ) ( h );

l = 5 – 2x; a = 4 – 2x; h

= x

el volumen depende de la

longitud “ x “ ( relación

funcional )

V (x ) = ( 5 – 2x ) ( 4 – 2x ) ( x ) dm3 ; V (x ) = 4x3 – 18x2 + 20x

Restricciones: Por ser longitud, x será siempre positivax no debe ser mayor de dos ( la menor dimensión del cartón es cuatro ); 0 < x < 2

La relación funcional establece que el volumen de la caja depende del valor de x. Algunos pares de valores son:

X: 0 1 1 1 1 2

V (x): 0 3 6 6 6 4 3 1 0

La gráfica de esta función es:

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Observando la gráfica, el problema se resuelve encontrando las coordenadas del punto mas alto de la

gráfica. En este punto, la tangente a la curva es horizontal ( pendiente cero ). La derivada de V(x) igualada a

cero y resolviendo la ecuación resultante para x nos da la abscisa. Es un problema de máximos y mínimos.

V (x ) = 12x2 - 36x + 20; 12x2 - 36x + 20 = 0;

aplicando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

x1 = 0.736; x2 = 2.263

x2 2; no cumple con una restricción, x1 es la solución y debe ser un máximo.

V(x) = 24x - 36

Para x = 0.736 V(0.736) = 24 ( 0.736 ) - 36 – Por ser V( x ) negativa, hay un Máx. = 6.5672

Las dimensiones de la caja serán:

l = 5 – 2x = 5 – 2 ( 0.736 ) = 3.5275 dm.; a = 4 – 2x = 4 – 2 ( 0.736 ) = 2.5275 dm.h = x = 0.736 dm.

b) Determinar las dimensiones del pastizal rectangular de área máxima que puede ser circundado por una cerca de 1 000 metros de longitud.

La figura correspondiente es:

El área del rectángulo es: ( l ) ( a )

l = 500 – x; a = x;

el área depende de la longitud “ x “

( relación funcional )

A (x ) = ( 500 – x ) ( x ) m2 ;A (x ) = 500x – x2

Restricciones: 0 < x < 500; Algunos valores de x y del área se dan en la tabla siguiente:

x: 0 10 50 100 150 200 250 300 350 400A (x): [ 1 000] 0 4.9 22.5 40 52.5 60 62.5 60 52.5 40

66

La gráfica de esta función es:

Nuevamente se aprecia que se trata de un

problema de máximos y mínimos ( maximizar )

por lo que se calculan estos:

A (x ) = 500 – 2x ; 500 – 2x = 0; x = 250 ( debe ser un máximo )

A ( 240 ) = 500 – 2 ( 240 ) +

A ( 260 ) = 500 – 2 ( 260 ) –

Con el primer método, pasa de + a – ; hay un Máx. = 62 500 m2

Las dimensiones del rectángulo serán:l = 500 – x = 500 – 250 = 250 m.a = x = 250 m.

c) Se desea proyectar una lata para aceite de forma cilíndrica que deba contener un litro ( 1 000 cm3 ) de aceite. Determinar las dimensiones de la lata de manera que la cantidad de metal que se gaste en su fabricación sea mínima.

De las figuras siguientes:

Se tiene que volumen del cilindro = Area de la base

por la altura = Ab h

Ab = r2 ; V = r2 h

como V = 1 000; entonces r2 h = 1 000;

de donde h =

El menor gasto de material resultará de las menores áreas: lateral, inferior y superior que se utilice en la fabricación:

área del círculo = r2; 2 r2 = áreas superior e inferior

el área lateral es de forma rectangular con l = 2 r, a = h;

66

Atotal = 2 r2 + 2 r h = 2 r2 + 2 r [ ] ; A( r ) = 2 r2 + [ ]

será la relación funcional donde el área depende del radio de la lata cilíndrica.

Una tabulación del área que depende del radio es:

r: 0 1 2 3 4 5 6 7 8A (r): 2 006 1 025 723 600 557 560 593 652

cuya gráfica es:

De la que se concluye que se trata de un problema

de máximos y mínimos ( minimizar ). La solución

es el punto mas bajo de la curva.

A( r ) = 4 r - [ ] ; 4 r - [ ] = 0

4 r3 - 2 000 = 0; r3 = =

r = = 5.4192; que debe ser un mínimo

A( r ) = 4 +

A( 5.4192 ) = 4 + +

Por ser + ; hay un Mín. = 2 ( 5.4192 )2 + [ ] Mín. = 553.57 cm2

Las dimensiones deseadas serán: h = = 10.838 cm.; r = 5.4192 cm.

d) Dentro de un terreno sin barda, una persona construirá un corral rectangular. Si cuenta con 38 metros lineales de material para cercar y si aprovechará una barda del vecino como se muestra en la

66

figura, determina la dimensión “h” del lado del corral que quedará en la barda del vecino y la longitud “b” que proporcionarán la mayor área posible.

longitud a cercar = 2b + h

2b + h = 38; b = m

área del rectángulo es: ( b )( h )

el área depende de “h “:

( relación funcional )

A (h ) = m2 ; A ( h ) = 19 h - h2 ; Restricciones: 0 < h < 19

Algunos valores de h y del área se dan en la tabla siguiente:

h: 0 4 8 12 16 18 19 20 22 24 26 30A (h): 0 68 120 156 176 180 180.5 180 176 168 156 120

La gráfica de esta función es:Nuevamente se aprecia que se trata de un

problema de máximos y mínimos ( maximizar )

por lo que se calculan estos:

A (h ) = 19 – h ; 19 – h = 0; h = 19

( debe ser un máximo )

A ( 18 ) = 19 – ( 18 ) +

A ( 20 ) = 19 – ( 20 ) –

Con el primer método, pasa de + a – ; hay un Máx. = 180.50 m2 Las dimensiones del rectángulo serán:

h = 19 m; b = = = 9.5 m

EJERCICIO XVIII

Resuelve, aplicando máximos y mínimos, los problemas que en cada inciso se plantean.

66

a) Se desea conocer las dimensiones del rectángulo inscrito en un círculo de cinco centímetros de radio y que sea de mayor área.

b) Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener ciento veinticinco metros cúbicos de capacidad, si el costo de las caras laterales es de dos mil pesos por metro cuadrado y el fondo es de cuatro mil pesos por metro cuadrado. Determinar las dimensiones del depósito que den el menor costo de fabricación.

c) Hallar dos números cuya suma sea ciento veinte y de forma que el producto “p” de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

d) Se desea construir una caja rectangular de base cuadrada abierta por arriba. Calcular las dimensiones que debe tener si se quiere que su volumen sea máximo y se construye con mil doscientos centímetros cuadrados de material

e) Se quiere construir un recipiente cilíndrico y de sesenta y cuatro centímetros cúbicos de volumen. Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material usado en su construcción sea mínima.

f) Un mayorista vende zapatos para correr a veinte pesos el par si le piden menos de cincuenta pares. Si le piden mas de cincuenta ( hasta seiscientos ), el precio por par se reduce en .02 pesos multiplicado por el volumen del pedido. ¿Cuál es el pedido que produce el mayor ingreso para el mayorista?

g) Un arquitecto desea diseñar cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un triángulo equilátero ( ver figura ). Si cada ventana tiene un área de tres metros cuadrados, ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que el perímetro sea el menor posible?

h) Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de prisma de base cuadrada cuyo volumen es de ciento ocho centímetros cúbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel de la envoltura ( las dimensiones con que se gastaría menos papel ).

i) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su longitud con el perímetro de su base no exceda de ciento ocho pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja con la base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.