1 modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención

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Modelos matemáticos del proceso de muestreo y

retención

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El muestreador es un dispositivo que convierte una señal analógica en un tren de pulsos de amplitud modulada o en una señal de datos muestreados.

La estructura matemática del muestreador

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Diagrama a bloques de un muestreadorperiódico con una duración de muestrafinita. La duración del pulso de muestreo es p, y T es la duración del periodo de muestreo. La entrada es la señal continua y la salida es un tren de pulsos de ancho finito.


)(tf

)(* tf p

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Otra manera de ver lo anterior es que la entrada está multiplicada por una señal portadora formada por un tren de pulsos periódicos, con amplitud unitaria cada uno.


)(tp

)()()(* tptftf p

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Dado que el tren de pulsos unitarios es una función periódica con periodo T, puede representarse con una serie de Fourier.

Donde es la frecuencia de muestreo


)(tp

n

tjnn

seCtp )(

s

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Los coeficientes complejos de Fourier están dados por

Dado que para se tiene


T tjn

n dtetpT

C s

0)(

1

1)( tp pt 0

2

0

2

)2

(11 p

sjn

s

s

s

psjnp tsjn

n ep

n

pnsin

T

p

Tjn

edte

TC

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De nuevo la señal portadora queda como

Y la salida como


tjnp

jn

ns

ss

s

eep

n

pnsin

Tp

tp

2

2

)2

()(

n

tjnnp

setfCtf )()(*

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La transformada de Fourier de la salida queda como


nsnp

stjn

tjppp

jnjFCjF

jnjFtfe

dtetftfjF

s

)()(

)()]([

)()]([)(

*

***

F

F

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Ahora observaremos unos hechos importantes de la salida muestreada a partir de su transformada de Fourier

La componente de frecuencia que corresponde a n=0 se puede escribir como


T

pC

n

limC n

00

)()()( 00* jF

Tp

jFCjF np

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La ultima expresión nos dice que los componentes en frecuencia de la señal original siguen presentes a la salida del muestreador. Para n0, Cn es una cantidad compleja, que se puede escribir como


2

)2

(

pn

pnsin

Tp

C

s

s

n

11

Y la magnitud de la salida queda como

El espectro de frecuencia de la señal muestreada es la gráfica de los coeficientes de Fourier Cn como función de , tal como se muestra a continuación.


n

snp jnjFCjF )()(*

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Se observa que no es una función continua, el espectro está formado por líneas espaciadas una distancia para n=


sn

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Si el espectro de la función de entrada está limitado en banda como se muestra en (b), entonces el espectro de amplitud de la salida tiene la forma de (c)


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El espectro de la función de salida se esquematizó suponiendo que la frecuencia de muestreo es dos veces mayor que la frecuencia contenida en f(t), ; esto es, Si , entonces aparecerá una distorsión en el espectro de frecuencia en la salida como consecuencia de los traslapamientos de los componentes armónicos.


sc cs 2

cs 2

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La figura (d) muestra este hecho. Alrededor de cero tiene poco parecido con la señal original. En teoría la señal original se puede obtener de (c) con un filtro pasa-bajas ideal con ancho de banda entre y


c cs

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TEOREMA DE SHANNONSi una señal no contiene componentes en frecuencia mayores de , está determinada de manera única si la frecuencia de muestreo es mayor que


c

c2

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Ejemplo de una señal mal muestreada


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El dispositivo de retención es la forma más sencilla del problema general de reconstrucción de datos. Este proceso puede obtenerse como un proceso de extrapolación. Dado que la señal continua se construye con base en la información contenida sólo instantes de muestreo pasados.

Dispositivos de retención

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Por ejemplo, la señal original f(t) entre dos instantes de muestreo consecutivos, kT y (k+1)T, debe estimarse con base en los valores de f(kT), f((k-1)T),..., f(0). Uno de los métodos para generar la aproximación deseada se basa en el desarrollo de la serie de Taylor alrededor de kT, y que sería válido hasta (k+1)T.


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donde

Entre mayor sea el orden de la derivada que se quiera aproximar, mayor será el número de datos que se requieran.


2)(!2)(

))(()()( kTtkTf

kTtkTfkTftf

))1(()(1

TkfkTfT

f

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El dispositivo de extrapolación descrito está formado por una serie de retrasos que depende de la exactitud que se quiera tomar. Por otro lado se sabe que el retraso tiene un efecto adverso sobre la estabilidad de los sistemas de control.


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Se presenta al retenedor de orden cero (ROC) como el dispositivo que sólo toma en cuenta el primer término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)TSe le denomina extrapolador de orden cero, ya que el polinomio utilizado para efectuar esta función es de grado cero.


)()( kTftf

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El efecto del retenedor de orden cero puede verse como la acción de dos escalones

La función de transferencia del ROC se obtiene tomando la transformada de Laplace


)()(0 Ttutub

se

sbTs1)(0

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El espectro de frecuencias se calcula por


js

s

j

s

sTj

e

sin

Tje

b

)(

10

0)(;

0)(;0

)(

)(

)(

0

0

s

s

s

s

s

sin

sin

jb

sin

Tjb

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El el efecto del retenedor más muestreador. La figura (b) muestra una señal acotada en frecuencia y en (c) apreciamos como se generan armónicos por el muestreador y como es la salida del ROC (gráficas azules).

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Se presenta al retenedor de primer orden (RPO) como el dispositivo que sólo toma en cuenta los dos primeros término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)T.


TTkfkTf

kTf

kTtkTfkTftf

))1(()()(

))(()()(

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La función de transferencia del RPO está determinado por la siguiente expresión


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2

1 )(111

)( sbTTs

se

TTs

sbTs

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El espectro de frecuencias se calcula por


js 2

0

11

je

TTj

bTj

ss

s

s

s

tanjb

sin

Tjb

22)(

)(4

1)(

10

2

2

22

0

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Los valores pico del RPO poseen una magnitud mayor que los del ROC, lo cual explica la presencia de componentes tipo rampa en la salida del RPO.

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