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Generatriz
Directriz
Superficie
Prismtica
SUPERFICIE
CILINDRICASUPERFICIE
PRISMTICA
Es la superficie generada por una recta
secante a un plano que se desplazaparalelamente a travs de una
poligonal cerrada contenida en dicho
plano. Directriz
Generatriz
Superficie
Cilndrica
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PRISMA
h
bP
Desarrollo de la " "SUPERFICIE L
del PRISMA
ATERAL
RECTO
B
PRISMA RECTO
ristas Laterales
ristas basales
A
F
B C D E
G H I J
LA =rea Lateral bP h
Area total
TA =
LA B
2( )A
Volumen: BA h
del desarrollo de la
Superficie Lateral
iagonal
B
2 2 2
=Pd + h
d
Es un poliedro comprendido entre dos polgonos
congruentes
(bases) y paralelos, cuyas
caras
laterales
son
regiones
rectangulares
perpendiculares
a
las
bases
.
Perimetro de la Base
V=
iagonal del Prisma
I
J
F
G
D
E
A
BC
H
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1O
2O
r
h h
Desarrollo de la " "SUPERFICIE
del Cil
LATE
in
RAL
dro
Perimetro de Base
dg
CILINDROCILINDRO CIRCULAR
RECTO:
=2r
Area Lateral
.
BP h =2r.g
Es un slido generado por la
rotacin
completa
de
una
regin
rectangular, teniendo como
eje
de
giro
a
una
recta
que
contiene
a
uno
de
sus
lados
6
ABCD: SECCION AXIAL del cilindro
CILINDRO EQUILATERO
LA =
bP
ABCD (SECCION AXIAL)Si
es un cuadrado, osea 2r g =
r
r
ener triz
Eje del
ilindro
Area Total )L B
A + 2(A =T
A = 2r.g+ 22(r )
Volumen
.
BA h=
2
r.gV=
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90
TA = 2( +ab bc+ac)
V=abc
PARALELEPPEDOS
Cubo o Hexaedro Regular
aralelepipedo Recto
Paralelepipedo Rectangular
Rectoedro u Ortoedro)
Romboedros
D = a 3
2
T
A = 6a
3V =a
RegionesParalelogramicas
Todas sus caras sonRegiones Rombales
Todas sus CarasRegiones
Rectangulares
BasesRomboide
Caras LateralesRegiones
Rectangulares
a
bc
2 2 2 2= + bD +a c
22
T aDA = + b+c+
D
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TRONCO DE
PRISMA RECTO
: Medida del entre
los Planos que contiene
Angulo Die
n a las B
dro
ases
L: Suma de las Areas de las caras lateA rales
LT=AA +A+B
V=
= + +
a
1G
2G
e
b
c
1 2
Donde :
G y G : Baricentros de las
bases triangulares.
: Distancia entre los
baricentros de las
e
bases.
.
B.e
B=A .cos
V=B.e
+= B.
3
a b
Es una porcin de prisma recto comprendido entre
una
de
sus
bases
y
una
seccin
planadeterminada
por
un
plano
secante
no
paralelo
base
.
e=3
b+a
Tronco de Prisma Triangular Recto
Area
de la superficie Lateral
(A
L
):
Area
de la superficie Total
(A
T
):
Volumen:
a
be
a
e
V=B.e
=B3
a.
e3
a=
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V= .eBl
.
+ + + d
4
a b c= Bl
Tronco de Prisma recto de Base Cuadrada
a b c d
4
e + + +
=
DA
BC
F
G
E
Ha
b c
d
e
1Bl
Bl
rea de la base inferior
Volumen:
B :l
rea de la base superior1B :l
e=2
d+b
a
2
c+a+c=b+d
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Tronco de Cilindro
Circular recto
L
A (Perm. Base).e
T
A
B
V A .e
Elipse
G
r1O
2O
e
g g gg
G-g
G
= +
Perim. Base=2r
r r
r
2 r.
e
LA
BA ElipseA 2 r.e
2r .a.b
2 2 2
=( - )G g +(r)
Es una porcin de cilindro de revolucincomprendido entre una de sus bases y un
plano no paralelo a dicha base secante atodas sus generatrices.
=
B
V A .e
a
b
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SUPERFICIE PIRAMIDAL SUPERFICIE CNICA
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PIRMIDE
O
A
B C
D
H P
h p
a
PIRMIDE REGULAR
L pA (Semiperimetro Base).a
T L BaseA A A
Base1
V A . h3
: Medida del angulo que forman el apotema
de la piramide con la base
Elementos
O : Vrtice o Cspide
:Caras Laterales
ABCD: Base
OP= ap: Long. Apotema de la PirmideHP:Long. Apotema de la Base
DOC DOA AOB y BOC
: Medida del angulo que forman laarista lateral con la base.
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CONO
CONO CIRCULAR RECTOElementos
Crculo de centro O: Base
Circunferencia de centro O:
Directriz
Regin triangular AVB:
Seccin Axial
V: Vrtice o Cspide
h :Altura
r : Radio de la Baseg : Generatriz
g h
r
h
r
V
O
L
A
A B
2 r
Desarrollo de la
del CONO
Superficie ateral
g g
g
L
A (Semiperimetro Base).g .r g
T L Base
A A A2
.r g r ( )r g r
Base
1V A . h
3
21 ( ).3
r h
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TRONCO DE PIRMIDE REGULAR TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO
h ap
2 2 R LA
1
2 r
h g
R
r
Desarrollo de la Superficie Lateral
del Tronco de Cono
h
R
r
g
L p
Semiperimetro SemiperimetroA = + .(a )
Base Mayor Base Menor
T L B bA A A A
B b B bh
V A A A .A3
T
A
LA
V
( ). R r g
2 2
( ).
R r g R r2 2 2 2
.3
hR r R r
2 2..
3
hV R r R r
SEMEJANZA DE CILINDROS
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SEMEJANZA DE CILINDROS
1Volumen: V
2Volumen: V
r
G
R
Hh
g
BAbA
B
H
2t
2pa
2
2m
BA
H
1Volumen: V
2Volumen: V
h1
B
1t
1p
a
bA
1m
1h
G
R
Hg
h
r
1Volumen: V 2Volumen: V
BA
bA
SEMEJANZA DE PIRAMIDES
SEMEJANZA DE CONOS
...
g r
G R
3 3
1
2
V
V
...
g r
G R
1
2
2 2T
T
A
A
b
B
A
A
1
2
3
T1
2 T
AV
V A
3
1
2
2
T 1
T 2
A V
A V
1
2
1
2
...p
p
a mh
H a m
3 33
1
2
V
V
1
2
...p
p
ah
H a
1
2
22
T
T
A
A
b
B
A
A
1
2
3
T1
2 T
AV
V A3
1
2
2
T 1
T 2
A V
A V
...g r
G R
3 31
2
V
V...
g rG R
1
2
2 2
T
T
AA
b
B
AA
1
2
3
T1
2 T
AV
V A3
1
2
2
T 1
T 2
A V
A V
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Ejemplo 01:Dos cilindros circulares rectos sonsemejantes y las reas de sus superficies totalesson 18 y 50. En qu razn estn sus volmenes?
Ejemplo 02:Las bases de un tronco de pirmideregular tienen reas 16u2 y 9u2, siendo su altura 2u.Halle el volumen de la pirmide deficiente (en u3).
Ejemplo 03: El volumen de un cono de revolucin es27u3, su altura es trisecada por dos planos paralelosa su base, calcular el volumen (en u3) del solidocomprendido entre los dos planos paralelostrazados.
1Volumen: V
2Volumen: V
r R
Hh
T1
A 18 T1
A 50
1
2
3
T1
2 T
AV
V A
18
50
3
1
2
V
V
9
25
3
3 27
5 125
3
2 ap
DV
TV
Piramide
Deficiente
o
Parcial
Piramide Deficiente Piramide Total
B
9
B 16
h h
H
2
b
B
A
A
9
16 2
h
h
2
9
16 2
h
h
3
4 2h
h
6h
1: ( ).( )
3D bPide V A h
1(9).(6)
3DV
318DV u
h
1V 27
2V
h
h
3V
xV
311
3 27 27
hu
h
V
V
33
3
1
VV
V
312 88
3 27 27
hu
h
3
22 2
1
V VV V
V
8
: 8 1
Pide x 2 3V = V - V
3 xV = 7u
-
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ESFERA
Esfera
V =
Superficie
Esfrica
A = 4
RO R
R
Crculo Menor
Crculo Mayor
PlanoSecante
PlanoTangente
360
2R
CIRCULO MAYOR)
=
-
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R R
R R
HUSO ESFRICO CUA ESFRICA
Huso Esfrico
24 R
360
2
Huso Esfrico
A =
9
Cua Esfrica
360
3
Cua Esfrica
V =
27
TOTAL HUSO
ESFERICO
UA ESFERICA
A = A A
2 2
TOTAL
CUA ESFERICA
A = 4
R R
360
-
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ZONA ESFRICA SEGMENTO ESFRICO DE DOS BASES
R h R
a
b
RhhR
3
Segmento
Esfrico
V = a b
6
360
Zona Esfrica
h
PERIMETRO
CIRCULO MAXIMODE UN
360
TOTAL ZONA R=a R=b
SEGMENTO ESFERICO ESFERICA
A = A A A
SEGMENTOESFERICO
2 2
TOTAL
= 2
Rh a b
-
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CASQUETE ESFRICO SEGMENTO ESFRICO DE UNA BASE
h
A
B
h
R
R
2
Segmento
Esfrico
V = 3 -
3
h
R h
R
A
B
360
Casq Esfrico
=
h
PERIMETRO
CIRCULO M XIMODE UN
2
(Casq. Esfrico = AB
h
360
h
R
a
3
Segmento
Esfrico
V = a
6
ZONA ESFRICA DE UNA BASE
TOTAL ZONA R=a
SEG. ESFERICO ESFERICA
A = A A
2
TOTAL
SEE. ESFERICO
A = 2
h a
-
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SOL
IDOS
SECTOR ESFRICO
2
anilloPN HV
6
ECTOR
Esfrico
V =
VILIN RO
ASECTOR BaseEsfrico
2V = .h
3
2
2
SECTOR
Es
SECTOR
Esfrico
frico
V =
2V = R .h
3
ANILLO ESFRICO
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