001 vectores y combinaciones lineales presentacion

Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto

Tema 1: vectores, combinaciones lineales yproducto punto

Matematica II

2012–2013

Indice

1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3

2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores

Vectores y combinaciones lineales

Vectores en R2 y producto por un escalar

Indice

¿Que es un vector?

Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.

Vector columna

)v1 = primera componentev2 = segunda componente

Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.

¿Que es un vector?

Vector columna

¿Que es un vector?

Vector columna

¿Que es un vector?

Vector columna

¿Que es un vector?

Vector columna

Suma de vectores

Podemos sumar dos vectores v y w.La primeras componentes de v y w no se mezclan nuncacon las segundas componentes.

Suma de vectores

)y w =

)suman v + w =

(v1 + w1v2 + w2

La resta de vectores sigue la misma idea, lascomponentes de v−w son v1 − w1 y v2 − w2.

Suma de vectores

)y w =

)suman v + w =

(v1 + w1v2 + w2

Suma de vectores

)y w =

)suman v + w =

(v1 + w1v2 + w2

Multiplicacion por un escalar

La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.

Multiplicacion escalar

(2v12v2

)y − v =

(−v1−v2

Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.

(2v12v2

)y − v =

(−v1−v2

(2v12v2

)y − v =

(−v1−v2

(2v12v2

)y − v =

(−v1−v2

(2v12v2

)y − v =

(−v1−v2

Comentarios sobre la suma y la multiplicacion escalar

Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.

¡Esto es el vector 0 =

), que es distinto del numero 0!

Todas las ideas del algebra lineal se basan en operacionesv + w y cv (suma de vectores y multiplicacion porescalares).El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.

v + w =

)w + v =

v + w =

)w + v =

v + w =

)w + v =

v + w =

)w + v =

Combinaciones lineales de vectores

Indice

¿Que es una combinacion lineal?

Combinando la suma vectorial y la multiplicacion por unescalar se forman combinaciones lineales de v y w.Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d ,y luego sumando cv + dw.

Definicion 1

La operacion cv + dw es una combinacion lineal de v y w.

Hay cuatro combinaciones lineales especiales:suma, resta, cero y multiplo escalar.

1v + 1w = suma de vectores1v− 1w = resta de vectores0v + 0w = vector cerocv + 0w = vector cv multiplo de v

Definicion 1

Comentarios sobre las combinaciones lineales

El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de unacombinacion lineal de vectores.Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores,el vector cero estara incluido.El algebra lineal consiste en trabajar sobre todas lasposibles combinaciones lineales de v y w.

Representacion de vectores en R2

−1 1 2 3 4

2wu=3v+2w

3v + 2w = 3

(3 ·(−1

)+ 2 · 2

3 · 23 + 2 · 1

Vectores en R3

Indice

Vectores en R3

Extension de la idea de vector a mas dimensiones

Podemos pensar tambien en vectores que tengan trescomponentes v1, v2, y v3.El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.Una combinacion lineal de dos vectores en R3 es

2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1

v = (4,2) o w = (1,2,1) son vectores columna, de R2 yR3, representados como numeros separados por comapara simplificar la escritura. ¡No son vectores fila!

Vectores en R3

2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1

Vectores en R3

2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1

Vectores en R3

2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1

Vectores en R3

Representacion de vectores en R3

2v +12

2 · 1 + 12 · 1

2 · 12 + 1

2 · 22 · 1 + 1

2 · 1

Vectores en R3

Repaso de ideas clave

1 Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene doscomponentes v1 y v2.

2 v + w =

(v1 + w1v2 + w2

)y cv =

(cv1cv2

3 Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene trescomponentes v1, v2 y v3.

4 v + w =

v1 + w1v2 + w2v3 + w3

y cv =

cv1cv2cv3

5 Una combinacion lineal de tres vectores u, v y w, encualquier espacio de vectores, es cu + dv + ew.

Vectores en R3

2 v + w =

(v1 + w1v2 + w2

)y cv =

(cv1cv2

4 v + w =

v1 + w1v2 + w2v3 + w3

y cv =

cv1cv2cv3

Vectores en R3

2 v + w =

(v1 + w1v2 + w2

)y cv =

(cv1cv2

4 v + w =

v1 + w1v2 + w2v3 + w3

y cv =

cv1cv2cv3

Vectores en R3

Ejemplo 1

Las combinaciones lineales de estos vectores de R3

llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.

Vectores en R3

Ejemplo 1

Los vectores en el plano corresponden a todas lascombinaciones lineales posibles de la forma

cv + dw = c

cc + d

para numeros cualesquiera c y d pertenecientes a R.

Vectores en R3

Ejemplo 1

Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d ,d).Cuatro vectores particulares de este plano son(0,0,0), (1,2,1), (−2,−1,1) y (−1,0,1).La segunda componente c + d es siempre la suma de laprimera y la tercera.El vector (2,0,1) no es una combinacion lineal de v y w,debido a que 0 6= 2 + 1.

Vectores en R3

Ejemplo 1

Vectores en R3

Ejemplo 1

Vectores en R3

Ejemplo 1

Vectores en R3

Ejemplo 2

Encontrar dos ecuaciones para las incognitas c y d tales que lacombinacion lineal cv + dw sea igual al vector b

(2−1

La ecuacion vectorial del problema es

El sistema de ecuaciones lineales para c y d es

2c − d = −3−c + 2d = 0

Vectores en R3

Ejemplo 2

(2−1

2c − d = −3−c + 2d = 0

Vectores en R3

Ejemplo 2

(2−1

2c − d = −3−c + 2d = 0

Longitud y producto punto

Producto punto

Indice

Producto punto

Una nueva operacion con vectores

En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).

Producto punto

Definicion del producto punto

Definicion 2

El producto punto de dos vectores columna de R2

)y w =

es el numero v ·w

v ·w = v1w1 + v2w2

Producto punto

Ejemplo 3

Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero

v ·w =

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

Producto punto

Ejemplo 3

v ·w =

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

En matematicas, el numero cero suele tener un significadoespecial.Con el producto punto, significa que estos dos vectoresson perpendiculares (simbolizado con ⊥).Osea que el angulo entre ellos es de π

2 radianes (= 90◦).

Producto punto

Ejemplo 3

v ·w =

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

Producto punto

Ejemplo 3

v ·w =

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

Producto punto

Ejemplo 3

v ·w =

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

−1 1 2 3 4

Producto punto

Comentarios acerca del producto punto

El ejemplo mas evidente de vectores ⊥ es i = (1,0), a lolargo del eje x , y j = (0,1), a lo largo del eje y

El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un angulo recto.

Producto punto

Comentarios acerca del producto punto

El ejemplo mas evidente de vectores ⊥ es i = (1,0), a lolargo del eje x , y j = (0,1), a lo largo del eje y

El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un angulo recto.

Longitud y vectores unitarios

Indice

Producto punto de un vector con sı mismo

Un caso importante es el producto punto de un vector consı mismo. En este caso v y w son iguales.Si tenemos v = (1,3,2), el producto con sı mismo esv · v = |v|2 = 14.

Longitud al cuadrado

|v|2 =

= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14

En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El productopunto es 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sı mismo.El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.

|v|2 =

= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14

|v|2 =

= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14

|v|2 =

= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14

Longitud de un vector

Definicion 3

La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v

longitud de v = |v| =√

v · v

En dos dimensiones la longitud es√

v21 + v2

En tres dimensiones es√

v21 + v2

2 + v23 .

En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√

14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.

Definicion 3

v · v

v21 + v2

2 + v23 .

Definicion 3

v · v

v21 + v2

2 + v23 .

Definicion 3

v · v

v21 + v2

2 + v23 .

Definicion 3

v · v

v21 + v2

2 + v23 .

Los vectores unitarios

Definicion 4

Un vector unitario u es un vector cuya longitud es igual a 1.Entonces u · u = 1.

Un ejemplo en R4 es u =(1

2 ,12 ,

Tenemos que |u| = √u · u =√

14 + 1

4 + 14 + 1

4 =√

1 = 1.Para obtener u podrıamos haber dividido el vectorv = (1,1,1,1) por su longitud

|v| =√

12 + 12 + 12 + 12 =√

u =v|v| =

Definicion 4

2 ,12 ,

14 + 1

4 + 14 + 1

4 =√

|v| =√

12 + 12 + 12 + 12 =√

u =v|v| =

Definicion 4

2 ,12 ,

14 + 1

4 + 14 + 1

4 =√

|v| =√

12 + 12 + 12 + 12 =√

u =v|v| =

Definicion 4

2 ,12 ,

14 + 1

4 + 14 + 1

4 =√

|v| =√

12 + 12 + 12 + 12 =√

u =v|v| =

Vectores unitarios en el plano R2

Ejemplo 4

Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).

(cos θsin θ

Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π

2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.

Ejemplo 4

(cos θsin θ

Ejemplo 4

(cos θsin θ

Ejemplo 4

(cos θsin θ

Ejemplo 4

(cos θsin θ

−1 1

cos θ

u|u|=1

−1 1

u =v√2

(1√21√2

Vector unitario

u = v|v| es un vector unitario en la misma direccion que v.

−1 1

cos θ

u|u|=1

−1 1

u =v√2

(1√21√2

Vector unitario

−1 1

cos θ

u|u|=1

−1 1

u =v√2

(1√21√2

Vector unitario

Angulo entre dos vectores

Indice

Teorema 1

El producto punto v ·w = 0 cuando v es perpendicular a w.

Teorema 2

Si v y w son vectores unitarios, entonces

v ·w = cos θ

Teorema 3

Si v y w son un par de vectores no nulos cualesquiera,entonces

v ·w = |v||w| cos θ

1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .

2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v

|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.

4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.

5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de

Utilizacion de la formula del coseno

Ejemplo 5

Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).

El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud

El coseno es 45

cos θ =v ·w|v||w| =

4√5√

Entonces el angulo sera

θ = arc cos(

)≈ 36◦8698 . . .

Ejemplo 5

El coseno es 45

4√5√

θ = arc cos(

)≈ 36◦8698 . . .

Ejemplo 5

El coseno es 45

4√5√

θ = arc cos(

)≈ 36◦8698 . . .

Ejemplo 5

El coseno es 45

4√5√

θ = arc cos(

)≈ 36◦8698 . . .

Ejemplo 5

El coseno es 45

4√5√

θ = arc cos(

)≈ 36◦8698 . . .

Ejemplos con SAGE

Operacion con vectores de Rn

Indice

3 Ejemplos con SAGEOperacion con vectores de Rn

Ejemplos con SAGE

Crear y operar con vectores

# crear el vector u ∈ R3

u = vector((1,1,0))# crear el vector v ∈ R3

v = vector((0,1,1))# producto por un escalar: a =

a = sqrt(2)*u# suma: b = u + vb = u+v# resta: c = v− uc = v-u# combinacion lineal: d = 2u + 3vd = 2*u+3*v# mostrar los resultadosprint a;b;c;d

Ejemplos con SAGE

Producto punto y longitud

# crear el vector u ∈ R5

u = vector((1,1,1,-1,3))# la longitud es |u| =

print u.norm()# crear dos vectores v y w de R2

v = vector((4,2))w = vector((2,-4))# la longitud es |v| = 2

print v.norm()# el producto es v ·w = 0print v.dot_product(w)

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