01 vectores y combinaciones lineales presentacion

13
Matemática II Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto 20122013 Índice Vectores y combinaciones lineales 1 Vectores en R 2 y producto por un escalar 1 Combinaciones lineales de vectores 3 Vectores en R 3 3 Longitud y producto punto 5 Producto punto 5 Longitud y vectores unitarios 6 Ángulo entre dos vectores 8 Trabajo práctico 11 Ejemplos con Sage 12 Operaciones con vectores de R n 12 Representación gráfica de vectores en R 2 y R 3 13 Vectores y combinaciones lineales Vectores en R 2 y producto por un escalar Vector columna de R 2 v = v 1 v 2 v 1 = primera componente v 2 = segunda componente ¿Qué es un vector? Tenemos dos números separados v 1 y v 2 . Este par produce un vector de dos dimensiones v. Vector columna v = v 1 v 2 ! v 1 = primera componente v 2 = segunda componente Escribimos v como una columna, no como una fila. Decimos que v R 2 (tiene dos números reales). Lo importante es que necesitamos una sola letra v para indicar este par de números v 1 y v 2 .

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Page 1: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

Matemática IITema 1: vectores, combinaciones linealesy producto punto2012–2013

Índice

Vectores y combinaciones lineales 1

Vectores en R2 y producto por un escalar 1

Combinaciones lineales de vectores 3

Vectores en R33

Longitud y producto punto 5

Producto punto 5

Longitud y vectores unitarios 6

Ángulo entre dos vectores 8

Trabajo práctico 11

Ejemplos con Sage 12

Operaciones con vectores de Rn12

Representación gráfica de vectores en R2 y R313

Vectores y combinaciones lineales

Vectores en R2 y producto por un escalarVector columna de R2

v =

(v1v2

)v1 = primera componentev2 = segunda componente

¿Qué es un vector?

Tenemos dos números separados v1 y v2.

Este par produce un vector de dos dimensiones v.

Vector columna

v =

(v1

v2

)v1 = primera componentev2 = segunda componente

Escribimos v como una columna, no como una fila.

Decimos que v ∈ R2 (tiene dos números reales).

Lo importante es que necesitamos una sola letra v para indicareste par de números v1 y v2.

Page 2: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 2

Suma de vectores

Podemos sumar dos vectores v y w.

La primeras componentes de v y w no se mezclan nunca con lassegundas componentes.

Suma de vectores

v =

(v1

v2

)y w =

(w1

w2

)suman v + w =

(v1 + w1

v2 + w2

)

La resta de vectores sigue la misma idea, las componentes dev−w son v1 − w1 y v2 − w2.

Suma de vectores columna en R2

v + w =

(v1 + w1v2 + w2

)

Multiplicación de un vector columnade R2 por un escalar c ∈ R

cv =

(cv1cv2

)

Multiplicación por un escalar

La otra operación básica es la multiplicación escalar.

Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o por cual-quier otro número c ∈ R.

Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o (másfácil) multiplicar cada componete por 2.

Multiplicación escalar

2v =

(2v1

2v2

)y − v =

(−v1

−v2

)

Las componentes de cv son cv1 y cv2.

El número c es llamado escalar.

Comentarios sobre la suma y la multiplicación escalar

Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.

¡Esto es el vector 0 =

(00

), que es distinto del número 0!

Todas las ideas del álgebra lineal se basan en operaciones v + w ycv (suma de vectores y multiplicación por escalares).

El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.

v + w =

(15

)+

(33

)=

(48

)w + v =

(33

)+

(15

)=

(48

)

Page 3: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 3

Combinaciones lineales de vectoresCombinación lineal de dos vectorescolumna en R2

cv + dw =

(cv1 + dw1cv2 + dw2

)¿Qué es una combinación lineal?

Combinando la suma vectorial y la multiplicación por un escalarse forman combinaciones lineales de v y w.

Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d, yluego sumando cv + dw.

Definición 1. La operación cv + dw es una combinación lineal dev y w.

Hay cuatro combinaciones lineales especiales: suma, resta, cero ymúltiplo escalar.

1v + 1w = suma de vectores

1v− 1w = resta de vectores

0v + 0w = vector cero

cv + 0w = vector cv múltiplo de v

Comentarios sobre las combinaciones lineales

El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de una combi-nación lineal de vectores.

Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores, el vectorcero estará incluido.

El álgebra lineal consiste en trabajar sobre todas las posiblescombinaciones lineales de v y w.

−1

1

2

3

4

y

−1 1 2 3 4

xv

3v

w

2wu=

3v+

2w

Figura 1: representación deuna combinación lineal de vec-tores columna de R2.

Representación de vectores en R2

v =

(− 1

323

)w =

(21

)

3v + 2w = 3

(− 1

323

)+ 2

(21

)

=

3 ·

(− 1

3

)+ 2 · 2

3 · 23 + 2 · 1

=

(34

)= u

Vector columna de R3

v =

v1v2v3

v1 = primera componentev2 = segunda componentev3 = tercera componente

Vector columna de Rn

v =

v1v2...

vn

v1 = primera componentev2 = segunda componente...vn = n-esima componente

Vectores en R3

Extensión de la idea de vector a más dimensiones

Podemos pensar también en vectores que tengan tres componen-tes v1, v2, y v3.

Page 4: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 4

El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.

Una combinación lineal de dos vectores en R3 es

2

103

+ 4

121

=

2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1

=

6810

v = (4, 2) o w = (1, 2, 1) son vectores columna, de R2 y R3,representados como números separados por coma para simplificarla escritura. ¡No son vectores fila!

Vector fila de R3

a =(a1 a2 a3

) a1 = primera componentea2 = segunda componentea3 = tercera componente

¡Sin separar con comas!Vector fila de Rn

a =(a1 a2 · · · an

)

¡Sin separar con comas!Combinación lineal de dos vectores

columna en R3

cv + dw =

cv1 + dw1cv2 + dw2cv3 + dw3

Representación de vectores en R3

v =

1121

w =

1321

2v +12

w = 2

1121

+

12

1321

=

2 · 1 + 12 · 1

3

2 · 12 + 1

2 · 22 · 1 + 1

2 · 1

=

136

252

= u

Figura 2: representación deuna combinación lineal de vec-tores columna de R3.

Ejemplo 1. Las combinaciones lineales de estos vectores de R3

v =

110

y w =

011

llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector que nosea una combinación lineal de v y w.

Los vectores en el plano corresponden a todas las combinacioneslineales posibles de la forma

cv + dw = c

110

+ d

011

=

cc + d

d

para números cualesquiera c y d pertenecientes a R.

Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d, d).

Cuatro vectores particulares de este plano son (0, 0, 0), (1, 2, 1),(−2,−1, 1) y (−1, 0, 1).

Page 5: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 5

La segunda componente c + d es siempre la suma de la primeray la tercera.

El vector (2, 0, 1) no es una combinación lineal de v y w, debido aque 0 6= 2 + 1.

Figura 3: vectores que pertene-cen al plano cv + dw (verdes),y un vector que no pertenece aeste plano (azul).

Ejemplo 2. Encontrar dos ecuaciones para las incógnitas c y d talesque la combinación lineal cv + dw sea igual al vector b

v =

(2−1

)w =

(−1

2

)b =

(10

)

La ecuación vectorial del problema es

c

(2−1

)+ d

(−1

2

)=

(10

)

El sistema de ecuaciones lineales para c y d es

2c− d = 1

−c + 2d = 0

Repaso de ideas clave

1. Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene dos componentesv1 y v2.

2. v + w =

(v1 + w1

v2 + w2

)y cv =

(cv1

cv2

)

3. Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene tres componentesv1, v2 y v3.

4. v + w =

v1 + w1

v2 + w2

v3 + w3

y cv =

cv1

cv2

cv3

5. Una combinación lineal de tres vectores u, v y w, en cualquierespacio de vectores, es cu + dv + ew.

Longitud y producto punto

Producto puntoEl producto punto de dos vectores deR2 es el número

v ·w = v1w1 + v2w2

El producto punto de dos vectores deR3 es el número

v ·w = v1w1 + v2w2 + v3w3

El producto punto de dos vectores deRn es el número

v ·w = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn

=n

∑i=1

viwi

Una nueva operación con vectores

En la sección anterior no hablamos de multiplicación entre vecto-res.

Ahora definiremos un producto punto entre v y w.

Esta multiplicación implica calcular los productos v1w1 y v2w2,pero no solo eso.

Estos dos números deben sumarse para obtener un único núme-ro v ·w.

El producto punto nos brinda información geométrica (longitud yángulo entre vectores).

Page 6: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 6

Definición del producto punto

Definición 2. El producto punto de dos vectores columna de R2

v =

(v1

v2

)y w =

(w1

w2

)

es el número v ·wv ·w = v1w1 + v2w2

Ejemplo 3. Los vectores v = (−1, 2) y w = (4, 2) tienen productopunto cero

v ·w =

(−1

2

)·(

42

)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0

En matemáticas, el número cero suele tener un significado espe-cial.

Con el producto punto, significa que estos dos vectores son per-pendiculares (simbolizado con ⊥).

Osea que el ángulo entre ellos es de π2 radianes (= 90◦).

1

2

3

4

y

−1 1 2 3 4

xv w

Figura 4: el producto punto dedos vectores perpendiculareses v ·w = 0.

1

y

1

xi

j

Figura 5: i y j son los vectoresestándar o canónicos en R2.

Comentarios acerca del producto punto

El ejemplo más evidente de vectores ⊥ es i = (1, 0), a lo largo deleje x, y j = (0, 1), a lo largo del eje y

El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un ángulo recto.

Longitud y vectores unitarios

Según el contexto, y según la biblio-grafía, los vectores estándar se escribende diversas formas (todas equivalen-tes)

i =~i = ex = e1 = ~ex = ~e1

j =~j = ey = e2 = ~ey = ~e2

Producto punto de un vector con sí mismo

Un caso importante es el producto punto de un vector con símismo. En este caso v y w son iguales.

Si tenemos v = (1, 3, 2), el producto con sí mismo es v · v =

|v|2 = 14.

Longitud al cuadrado

|v|2 =

132

·

132

= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14

En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El producto puntoes 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sí mismo.

El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.

Page 7: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 7

Longitud de un vector

Definición 3. La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raízcuadrada de v · v

longitud de v = |v| = √v · v

En dos dimensiones la longitud es√

v21 + v2

2.

En tres dimensiones es√

v21 + v2

2 + v23.

En el ejemplo la longitud de v = (1, 3, 2) es |v| =√

14.

La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.

La longitud de un vector v ∈ R2 es

|v| = √v · v =√

v21 + v2

2

La longitud de un vector v ∈ R3 es

|v| = √v · v =√

v21 + v2

2 + v23

La longitud de un vector v ∈ R4 es

|v| = √v · v =√

v21 + v2

2 + v23 + v2

4

La longitud de un vector v ∈ Rn es

|v| = √v · v =√

v21 + v2

2 + · · ·+ v2n

=

√n

∑i=1

v2i

Los vectores unitarios

Definición 4. Un vector unitario u es un vector cuya longitud esigual a 1. Entonces u · u = 1.

Un ejemplo en R4 es u =(

12 , 1

2 , 12 , 1

2

).

Tenemos que |u| = √u · u =√

14 + 1

4 + 14 + 1

4 =√

1 = 1.

Para obtener u podríamos haber dividido el vector v = (1, 1, 1, 1)por su longitud

|v| =√

12 + 12 + 12 + 12 =√

4 = 2

u =v|v| =

v2

−1

1

y

−1 1

xcos θ

sin

θ

θ

i

j

u|u| =

1

Figura 6: vectores unitarios enel plano R2.

Vectores unitarios en el plano R2

Ejemplo 4. Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se es-criben i y j. En el plano xy, aquel vector unitario u que forme unángulo θ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).

i =

(10

)j =

(01

)u =

(cos θ

sin θ

)

Si θ = 0 el vector horizontal u es i.

Si θ = π2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.

A cualquier ángulo, las componentes cos θ y sin θ hacen queu · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.

Los puntos que representan estos vectores unitarios forman uncírculo de radio unidad.

Page 8: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 8

Vectores unitarios en el plano R2

Vector unitariou = v

|v| es un vector unitario en la misma dirección que v.

Ángulo entre dos vectores

−1

1

y

−1 1

x

u =v√2

u =

( 1√2

1√2

)v =

(11

)

|u|=

1

|v|=

√ 2

Figura 7: para encontrar unvector u con el mismo sentidoy dirección que v, pero que seaunitario, hay que dividir v porsu longitud.

Teorema 1. El producto punto v ·w = 0 cuando v es perpendicular a w.

wv

−1

1

2

3

4

y

−1 1 2 3 4

x

v w

v+

w

|v|

|v+

w|

|w|

Figura 8: la fórmula de Pitágo-ras aplicada a la suma de dosvectores ⊥.

Demostración:

1. Si v ⊥ w, entonces v y w forman dos catetos de un triángulorectángulo, y la hipotenusa es |v + w|. Por ejemplo

v =

(−1

2

)w =

(42

)v + w =

(34

)

|v|2 = 5 |w|2 = 20 |v + w|2 = 25

2. La fórmula de Pitágoras es a2 + b2 = c2, entonces

|v|2 + |w|2 = |v + w|2(

v21 + v2

2

)+(

w21 + w2

2

)= (v1 + w1)

2 + (v2 + w2)2

v21 + v2

2 + w21 + w2

2 = v21 + 2v1w1 + w2

1 + v22 + 2v2w2 + w2

2

0 = 2v1w1 + 2v2w2

0 = v1w1 + v2w2

0 = v ·w

Teorema 2. Si v y w son vectores unitarios, entonces

v ·w = cos θ

w

v

r=

1

θ

Demostración

1. Tomemos i =

(10

)y u =

(cos θ

sin θ

).

Page 9: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 9

2. El producto punto es i · u = cos θ.

3. Si rotamos ambos vectores un ángulo α obtenemos v = (cos α, sin α)

y w = (cos β, sin β), donde θ = β− α. Sigue siendo cierto que v yw son unitarios.

i

u

θv

w

θ α

β

4. v ·w = cos α cos β + sin α sin β = cos (β− α) = cos θ.La fórmula del coseno

v ·w = |v||w| cos θ

permite encontrar el ángulo entre dosvectores.

Teorema 3. Si v y w son un par de vectores no nulos cualesquiera,entonces

v ·w = |v||w| cos θ

w

v

r=

1

θ

Utilización de la fórmula del coseno

Ejemplo 5. Encontrar cos θ para v = (2, 1) y w = (1, 2).

El producto punto es v ·w = 4.

Tanto v como w tienen longitud√

5.

El coseno es 45

cos θ =v ·w|v||w| =

4√5√

5=

45

Entonces el ángulo será

θ = arc cos(

45

)≈ 36◦8698 . . .

Page 10: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 10

Repaso de ideas clave

1. El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luego sumatodos los viwi.

2. La longitud |v| de un vector es la raíz cuadrada de v · v.

3. u = v|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.

4. El producto punto v · w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.

5. El coseno de θ (el ángulo entre dos vectores v y w no nulos)puede calcularse a partir de

v ·w = |v||w| cos θ

Page 11: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 11

Trabajo práctico

1. Representar gráficamente v =

(41

)y w =

(−2

2

), así como

también v + w y v−w, todos en el mismo plano xy.

2. Dados v =

(21

)y w =

(12

), calcular las componentes de

3v + w y de cv + dw.

3. Calcular los productos punto u · v, u ·w, u · (v + w) y v ·w

u =

(−0, 6

0,8

)v =

(34

)w =

(86

)

Dados dos vectores u y v cualesquiera,siempre se cumple la desigualdad deSchwarz

|u · v| ≤ |u||v|

4. Calcular las longitudes |u|, |v| y |w| de los vectores del ejercicioanterior. Luego comprobar que efectivamente se cumplen lassiguientes desigualdades

a) |u · v| ≤ |u||v|b) |v ·w| ≤ |v||w|

5. Calcular vectores unitarios en las direcciones de los vectores v yw del ejercicio anterior, y el coseno del ángulo θ formado entreellos. Pensar y escribir tres vectores a, b y c que formen 0◦, 90◦ y180◦ con el vector w (representar gráficamente los vectores en elplano xy puede ayudar).

6. Dados un par de vectores unitarios v y w cualesquiera, calcularel valor de los productos punto siguientes

a) v ·w b) (v + w) · (v−w) c) (v− 2w) · (v + 2w)

Pista: se debe trabajar “con letras”, recordando que v = (v1, v2),w = (w1, w2) y que |v| = 1 y |w| = 1 (por ser vectores unitarios).

7. Calcular el ángulo θ, a partir del valor de cos θ, entre estos paresde vectores:

a) v =

(1√3

)y w =

(10

)b) v =

22−1

y w =

2−1

2

c) v =

(1√3

)y w =

(−1√

3

)d) v =

(31

)y w =

(−1−2

)

Page 12: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 12

Ejemplos con Sage. El código Sage en los siguientes

recuadros puede ser seleccionado,copiado y pegado en una hoja detrabajo de Sage, para ejecutarlo y asíobtener los resultados y los gráficos.

Operaciones con vectores de Rn

Hacer combinaciones lineales de vectores# crear el vector u ∈ R3

u = vector((1,1,0))

# crear el vector v ∈ R3

v = vector((0,1,1))

# producto por un escalar: a =√

2ua = sqrt(2)*u

# suma: b = u + vb = u+v

# resta: c = v− uc = v-u

# combinación lineal: d = 2u + 3vd = 2*u+3*v

# mostrar los resultados

print a;b;c;d . Puede utilizar estos ejemplos decódigo Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios deltrabajo práctico.Calcular el producto punto y la longitud

# crear el vector u ∈ R5

u = vector((1,1,1,-1,3))

# la longitud es |u| =√

13print u.norm()

# crear dos vectores v y w de R2

v = vector((4,2))

w = vector((2,-4))

# la longitud es |v| = 2√

5print v.norm()

# el producto es v ·w = 0print v.dot_product(w)

Calcular el vector unitario# crear el vector u ∈ R3

u = vector((1,-2,2))

print u

# la longitud es |u| = 3print u.norm()

# crear el vector U = u|u| unitario

# en la dirección de uU = u/u.norm()

print U

Page 13: 01 Vectores y Combinaciones Lineales Presentacion

tema 1: vectores 13

Calcular el ángulo entre dos vectores

# crear dos vectores de R2

u = vector((2,1))

v = vector((1,2))

print u;v

# calcular cos θ = u·v|u||v|

c = u.dot_product(v)/u.norm()/v.norm()

print c

# resultado en rad (con decimales)

print acos(c).n()

# resultado en grados (con decimales)

print (180/pi*acos(c)).n()

Representación gráfica de vectores en R2 y R3

Graficar vectores en R2

# crear dos vectores de R2

v = vector((-1/3,2/3))

w = vector((2,1))

# calcular u = v + wu = v + w

# crear "flechas" para cada vector

fv = arrow2d((0,0), v, color="red")

fw = arrow2d((0,0), w, color="red")

fu = arrow2d((0,0), u, color="blue")

# crear el gráfico

grafico = fv + fw + fu

# mostrar el gráfico

grafico.show()

Graficar vectores en R3

# crear dos vectores de R3

v = vector((1,1/2,1))

w = vector((1/3,2,1))

# calcular u = v + wu = v + w

# crear "flechas" para cada vector

fv = arrow3d((0,0,0), v, color="red")

fw = arrow3d((0,0,0), w, color="red")

fu = arrow3d((0,0,0), u, color="blue")

# crear el gráfico

grafico = fv + fw + fu

# mostrar el gráfico

grafico.show()