vectores y ecuaciones lineales

Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones linealesAntonio Montes Lozano

1,5 créditosP00/75004/00191

A

a11 a21 … a1n

a21 a22 … a2n

am 1 am 2 … amn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

© FUOC • P00/75004/00191 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales

Índice

Introducción............................................................................................... 5

Objetivos ...................................................................................................... 6

1. Preliminares .......................................................................................... 7

2. Matrices .................................................................................................. 8

2.1. Producto de matrices ......................................................................... 9

2.2. Suma de matrices............................................................................... 10

2.3. Matrices cuadradas ............................................................................ 12

2.4. La transpuesta de una matriz ............................................................ 14

3. Espacios vectoriales ............................................................................. 16

3.1. Dependencia e independencia lineal ................................................ 17

3.2. Bases ................................................................................................... 19

3.3. Subespacios vectoriales y rango......................................................... 24

4. El método de Gauss .............................................................................. 26

5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius .......................................... 34

6. Sistemas homogéneos.......................................................................... 38

7. Determinantes y regla de Cramer.................................................... 41

7.1. Determinantes de segundo orden ..................................................... 41

7.2. Determinantes de tercer orden .......................................................... 43

7.3. Determinantes de orden n ................................................................. 44

7.3.1. Propiedades de los determinantes.......................................... 45

7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n ................................ 49

8. Matriz inversa ....................................................................................... 55

Resumen....................................................................................................... 59

Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 61

Solucionario................................................................................................ 64

Glosario ........................................................................................................ 76

Bibliografía................................................................................................. 77

© FUOC • P00/75004/00191 5 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas

de ecuaciones lineales . Es un tema fundamental para todas las disciplinas que

utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe

una dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen

y a menudo la planteamos en forma de ecuación lineal. Otras veces representa

una buena aproximación al problema objeto de estudio.

En este módulo estudiaremos de forma sistemática los sistemas de ecuaciones

lineales. Pero para profundizar en su conocimiento, abordaremos previamente

el estudio de las matrices y los vectores como tablas de números. Este estudio

nos conducirá a introducir la estructura de espacio vectorial, que tiene valor

por sí misma y se aplica a muchos campos como, por ejemplo, los gráficos 3D.

Estudiaremos a continuación el método de Gauss para resolver efectivamente

los sistemas.

Provistos con las consecuencias de la noción de independencia lineal de vec-

tores, podremos abordar la definición y el cálculo del rango , que nos permite

discutir los sistemas con ayuda del teorema de Rouché-Fröbenius . Finalmen-

te, introduciremos el concepto de determinante , que permitirá dar fórmulas

cerradas para las soluciones de los sistemas y ayudar en la discusión de siste-

mas con parámetros.

Evariste Galois (1811-1832)…

… empezó a interesarse por las matemáticas a los 15 años, y tres años después ya publicó un trabajo importante. Com-prometido en contra de las in-justicias políticas, los sucesos de las revoluciones de 1830 lo condujeron, indirectamente, a una muerte prematura a los 21 años. A pesar de todo, dejó una producción matemática trascendental en el campo de la teoría de las ecuaciones.


Objetivos

Se pretende que, estudiando los conceptos de este módulo y con los ejemplos

y actividades que se incluyen, se alcancen los objetivos siguientes:

1. Dominar el álgebra de matrices.

2. Entender los conceptos de espacio vectorial, independencia lineal y base,

así como aprender a expresar un vector en una base.

3. Saber resolver sistemas por el método de Gauss.

4. Aprender a determinar el rango de una matriz.

5. Conocer las propiedades de los determinantes y la regla de Cramer.

6. Dominar el teorema de Rouché-Fröbenius y saber discutir un sistema con

parámetros.

7. Saber plantear problemas lineales.


1. Preliminares

Empecemos por recordar algunas nociones básicas.

Consideremos los sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas siguientes:

Realizando las gráficas de cada uno de los sistemas de ecuaciones se obtiene:

El primer sistema representa dos rectas que se cortan en el punto (2, 1) y tiene una

solución única. El segundo caso representa dos rectas paralelas y no tiene solu-

ción. El tercero corresponde a dos rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones.

Tratándose de sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas no hay más casos.

En realidad, éstos son los casos emblemáticos para sistemas con más ecuacio-

nes e incógnitas.

En estos términos, los tres casos del ejemplo quedan clasificados de la forma

siguiente: el primero es compatible y determinado; el segundo es incompati-

ble y el tercero, compatible e indeterminado.

Ahora estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales en general y determi-

naremos cuántas soluciones tienen y cómo calcularlas. Pero antes conviene

introducir la notación matricial, que será muy útil.

Denominamos sistema compatible al sistema que admite soluciones,

es decir, si existen valores de x, y que satisfacen el sistema. En caso con-

trario recibe el nombre de incompatible . Decimos que un sistema es

compatible determinado si admite una única solución. En caso con-

trario recibe el nombre de compatible indeterminado .

2x 3y 7=+

2x 3y 1=– ⎭⎬⎫ 2x +3y = 4

2x 3y 6=+ ⎭⎬⎫ 2x 3y+ 6=

4x 6y 12=+ ⎭⎬⎫

a) Rectas secantes b) Rectas paralelas c) Rectas coincidentes


2. Matrices

Introducimos ahora las definiciones y notaciones que utilizaremos.

Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas x1, x2, ..., xno variables con-

siste en un conjunto de m ecuaciones de la forma siguiente:

(1)

donde las aij y las bi son escalares conocidos, y el rango de variación de los índices

es 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. El coeficiente aij es el factor que multiplica xj en la i-ésima

ecuación, y el coeficiente bi es el término independiente de la i-ésima ecuación.

De este modo, los coeficientes aij del sistema de ecuaciones (1) forman una ma-

triz m × n , que denotamos como A y que llamamos matriz del sistema .

Pongamos A = (aij)1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n para indicar que A es la matriz m × n que tiene

por elementos los aij. Cuando sean claros los rangos de variación de i y de j

escribimos simplemente A = (aij).

Designemos por L(m, n ) el conjunto de las matrices m × n , (m filas y n colum-

nas).

Podemos agrupar también las xj en forma de matriz de una sola columna y n

filas, que llamamos vector columna y que denotamos como x. Los términos

independientes bj también pueden ser agrupados en forma de vector columna

de m filas y los llamamos b. De este modo, tenemos:

Una matriz m × n es una tabla de números aij donde se tiene 1 ≤ i ≤ m,

1 ≤ j ≤ n, que dispondremos en m filas y n columnas:

(2)

La noción de matriz…

… fue introducida en 1857 por los matemáticos británicos W. Hamilton y A. Cayley. El pri-mero que utilizó la palabra matriz fue J. J Sylvester para indicar una ordenación deter-minada de números.

a 11x1 a12x2 … a1 nxn+ + + b 1=

a 21x1 a22x2 … a2 nxn+ + + b 2=

a m1x1 a m2x2 … amnxn+ + + b m= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

,

Arthur Cayley (1821 - 1895)

Matemático inglés que desta-có por sus contribuciones a la teoría de matrices, determi-nantes, geometría n-dimensio-nal y, en colaboración con su gran amigo Sylvester, por sus contribuciones a la llamada teoría de los invariantes y las álgebras de dimensión finita.

Aa11 a21 … a 1n

a21 a22 … a 2n

am1 am 2 … a mn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

Advertencia

Para no confundirnos denota-mos las matrices con negrita, con el objetivo de distinguirlas de los números o elementos.

x

x1

x2

xn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

b

b1

b2

b m⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.==

......


2.1. Producto de matrices

Definimos el producto de C, de m filas y k columnas, por una matriz D, de k

filas y n columnas, como la matriz E de m filas y n columnas siguiente:

donde el elemento eij de la i-ésima fila y j-ésima columna del producto E se ob-

tiene multiplicando los elementos de la i-ésima fila de C por los elementos de

la j-ésima columna de D y sumando:

De forma abreviada escribimos:

E = C · D

o bien omitiendo el punto, simplemente E = CD.

La operación de multiplicar matrices es una aplicación:

y, por lo tanto, para poder multiplicar dos matrices es necesario que la matriz

de la izquierda tenga el mismo número de columnas que el número de filas de

la matriz de la derecha.

Con estas notaciones, el sistema (1) se escribe de la forma:

A · x = b. (3)

Ejemplo 1

¿Cuándo es factible la multiplicación de dos matrices? Por ejemplo, hagamos la multiplica-

ción matricial indicada:

Para poder multiplicar A y B es necesario que el número de columnas de A sea igual al de lasfilas de B. En el ejemplo dado el número de columnas de A y de filas de B es el mismo, 4, y

el producto es posible. Cada elemento del producto tendrá 4 sumandos. El resultado es unamatriz de 3 filas (número de filas de A) y 2 columnas (número de columnas de B) que pre-

sentamos a continuación:

e11 … e1n

em 1 … emn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ c11 … c1k

cm 1 … cmk⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ d 11 … d1n

dk1 … dk n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,⋅=...

...

...

...

...

...

eij ci1d1 j c i2d 2j … cikd kj cil dlj .

l 1=

k

∑=+ + +=

En el producto de matrices...

... observamos que el número de columnas de la matriz de la iz-quierda y el de las filas de la ma-triz de la derecha es el mismo (k).

·:L m k ) L k n,( ) L→× m n,( ).,(

3 1– 0 4

1– 0 3 1

2 5 1– 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

2 1–

3 2

4– 0

1 3⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.⋅

7 7

13– 4

23 8⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


Además de la matriz del sistema (2), también utilizamos la matriz ampliada ,

obtenida a partir de la matriz del sistema añadiendo la columna de los térmi-

nos independientes:

(4)

Ejemplo 2

Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

escribimos la matriz del sistema y la matriz ampliada. Escribimos el sistema de la forma queexpresa la ecuación (3).

Matriz del sistema:

Matriz ampliada:

Sistema:

2.2. Suma de matrices

La suma de dos matrices m × n es igual a la matriz m × n que se obtiene suman-

do los elementos correspondientes:

a11 a 12 … a1 n

a21 a 22 … a2n

am 1 am 2 … amn

b1

b2

b m⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

... ......

2x 3y 6z–+ 7=

3y– z+ 1=

x– 4y z–+ 4= ⎭⎪⎬⎪⎫

,

2 3 6–0 3– 1

1– 4 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

2 3 6–

0 3– 11– 4 1–

7

14⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

2 3 6–

0 3– 1

1– 4 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅7

1

4⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

c11 c12 … c1n

c21 c22 … c2n

cm 1 cm2 … cmn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ d11 d12 … d1n

d21 d22 … d2n

dm1 d m2 … dm n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

+ =

...

...

...

...

...

...

c11 d 11+ c12 d12+ … c1n d 1n+

c21 d 21+ c22 d22+ … c2n d 2n+

cm1 d m1+ cm 2 dm2+ … cmn dmn+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

E ,= =

... ......


o, en términos de los elementos:

Ejemplo 3

Hagamos esta suma:

Solución:

Es fácil comprobar que la suma de matrices es asociativa y que la matriz 0, que

tiene todos sus elementos iguales a 0, es el elemento neutro de la suma.

También podemos asociar a cada matriz A su opuesta, −A, que tiene por ele-

mentos los opuestos de los de A. La suma de A y de −A da la matriz 0. Final-

mente, la suma es conmutativa.

Las propiedades que acabamos de mencionar permiten definir la estructura de

grupo.

Así, (L(m,n),+) es un grupo conmutativo.

Resumiendo, la suma de matrices tiene las propiedades siguientes. Para

todo A, B, C:

1) (A + B) + C = A + (B + C) asociativa

2) A + 0 = 0 + A = A elemento neutro (5)

3) A + (−A) = 0 elemento opuesto

4) A + B = B + A conmutativa

Todo conjunto en el que hay definida una operación que tiene las pro-

piedades (1), (2) y (3) recibe el nombre de grupo. Si, además, tiene la

propiedad conmutativa (4), decimos que es un grupo conmutativo.

Propiedades inmediatas

1) Dado un conjunto dotado con una operación interna (que denota-

remos por “+”), si existe un elemento neutro 0 tal que para todo a se ve-

rifica que a + 0 = 0 + a = a, entonces este elemento es único.

eij cij dij.+=

3 1– 0

1– 0 3

2 5 1–

4

1

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

8 1 0 4

3 2 1

5 5– 8

4–

3–

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.+

1 1 9 4

2 2 4

7 0 7

0

2–

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

William Rowman Hamilton (1805-1865)

Matemático nacido en Dublín, fue un niño precoz que a los cinco años, además de inglés, leía latín, griego y hebreo; a los diez, francés, italiano, árabe y sánscrito, y a los catorce persa. Abandonó el estudio de las len-guas para consagrarse a las ma-temáticas. Son importantes sus trabajos sobre números irracio-nales (Algebra as the Science of Pure Time , 1933-1835).


Demostración

1) Supongamos que existe otro neutro 0’ con las mismas propiedades. Por el he-

cho de que el 0 es el elemento neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0. Por el hecho de que 0´

también es neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0’. Por lo tanto, 0 = 0’, y el neutro es único.

2) Supongamos que a tuviese otro opuesto a’’. Siendo la operación asociativa,

tendríamos:

3) Resulta como corolario de los anteriores.

4) De a + (−a) = 0 se deduce que a es opuesto de (−a), y por la unicidad del

opuesto en un grupo, igual a −(−a).

5) Para probarlo sólo tenemos que añadir −c por la derecha a cada lado de la

ecuación y utilizar la propiedad asociativa.

2.3. Matrices cuadradas

Cuando las matrices tienen el mismo número n de filas y de columnas habla-

mos de matrices cuadradas. Si consideramos el conjunto de las matrices cua-

dradas, L(n, n), siempre las podemos sumar de dos en dos y multiplicar de dos

en dos. En este caso, además de la matriz 0 (el elemento neutro de la suma),

debemos introducir la matriz identidad I que está formada por unos en la dia-

gonal principal y ceros en todo el resto:

2) Si en un conjunto como el anterior, además, la operación es asocia-

tiva y cada elemento a tiene un opuesto a’ tal que a + a’ = a’ + a = 0,

entonces este elemento es único.

3) En un grupo el elemento neutro es único, y el elemento inverso (el

opuesto en notación “+”) asociado a cada elemento del grupo también

es único.

4) En un grupo, −(−a) = a.

5) En un grupo siempre se puede simplificar. Es decir,

a c b c a⇒+=+ b .=

a ′ 0 a ′ a″ a+( ) a ′ a ″ a a ′+( ) a ″ 0 a ″ .=+=+=+=+=

O

0 0 … 0

0 0 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

... ... ...


Conviene destacar que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir:

Ejemplo 4

Comprobemos en este ejemplo que A · B ≠ B · A:

Sean A, B, C matrices cuadradas cualesquiera de L(n,n). Además de las

propiedades por la suma (5), el producto de matrices cuadradas cumpli-

rá también las siguientes propiedades:

1) (A · B)· C = A · (B · C) asociativa

2) A · I = I · A = A elemento neutro (6)

3) A · (B + C) = A · B + A · C

(A + B) · C = A · C + B · C distributiva

En general: A · B ≠ B · A.

Un conjunto A dotado con dos operaciones: una suma, con las propie-

dades de grupo conmutativo, y un producto con las propiedades (5) y

(6), es un anillo con unidad. Si, además, el producto es conmutativo,

diremos que A es un anillo conmutativo con unidad .


En un anillo conmutativo se cumplen las relaciones que presentamos a

continuación:

1)

2)

3)

I

1 0 … 0

0 1 … 0

0 0 … 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

...

...

...

A1 3

2– 1⎝ ⎠⎛ ⎞ B

1 1

3 2⎝ ⎠⎛ ⎞ .==

AB10 7

1 0⎝ ⎠⎛ ⎞ BA

1– 4

1– 11⎝ ⎠⎛ ⎞ .==

a 0 0.=⋅

a b–( ) a b⋅( ) a–( ) b .⋅=–=⋅

a–( ) b–( ) a b.⋅=⋅


Demostración

1) Utilizando las propiedades distributiva y elemento neutro de la suma, resulta:

Y, simplificando, resulta a · 0 = 0.

2) Utilizando la propiedad anterior, el opuesto de la suma y la propiedad dis-

tributiva, resulta:

3) Resulta de la anterior y de –(–a) = a.

2.4. La transpuesta de una matriz

Dada una matriz, en ocasiones interesa intercambiar sus filas y sus columnas. La

matriz resultante se llama matriz transpuesta, y la denotaremos como At.

Así pues, si A = (aij) y At = (atij) tendremos at

ij = a ji.

Ejemplo 5

Escribamos una matriz 3 × 4 y su transpuesta.

Es muy sencillo demostrar que:

(A + B)t = At + Bt

(A ⋅ B)t = Bt ⋅ At

Diremos que una matriz cuadrada que sea igual a su transpuesta es simétrica .

Las matrices que son simétricas lo son respecto a la diagonal principal, y no

cambian al intercambiar filas por columnas.

Ejemplo 6

La matriz siguiente:

es simétrica: A = At, es decir: aij = aji ∀i, j.

a 0 a 0 0+( ) a 0 a 0.⋅+⋅=⋅=⋅

a b⋅( ) a b⋅( )– 0 a b⋅( )– a 0 a b⋅( )– a b b–( )+( )=⋅+=⋅+=+=–

a b⋅( )– a b⋅+( ) a b–( ) 0 a b–( ) a b–( ).⋅=⋅+=⋅+=

A

3 1– 0 4

1– 0 3 1

2 5 1– 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

At

3 1– 2

1– 0 5

0 3 1–

4 1 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

A1 2 3

2 5– 6

3 6 7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=


También tienen interés las matrices con la propiedad de que su transpuesta es

igual a su opuesta. En este caso diremos que la matriz es antisimétrica . Las ma-

trices antisimétricas tienen necesariamente ceros en la diagonal principal.

Actividades

1. Sean las matrices siguientes:

Comprobad que A · B ≠ B · A.

2. El producto de una matriz por sí misma se denota en forma de potencia. De este modo,pondremos A · A · A = A 3 , etc.

Dada la matriz A = calculad:

a)

b)

3. Demostrad que (A · B)t = Bt · At.

4. Si A es una matriz 4 × 6:

a) ¿Es posible calcular At · A y A · At?

b) Si es posible hacerlo, ¿cuántas filas y cuántas columnas tiene At · A?

c) Ídem con A · At.

d) ¿Tienen alguna otra característica especial las matrices anteriores?

5. Dada la matriz:

probad que si δ = ad – bc ≠ 0, entonces la matriz

es inversa de A, es decir A · At = At · A = I.

6. Sean:

Probad que:

¿Qué tipo de matriz es A?

7. Dadas tres matrices cuadradas n × n A, B, C, probad la propiedad asociativa de la multipli-cación, es decir, (A · B) · C = A · (B · C).

A 2 51– 3⎝ ⎠

⎜ ⎟⎛ ⎞

B 3 1–4 8⎝ ⎠

⎜ ⎟⎛ ⎞

==

7 2–

1– 2⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

2A3 5A 2– 4A 3 I .+ +

At

A .⋅

A a b

c d⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

At 1δ--- d b–

c– a⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅=

xx

y

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

A=a11 a12 a1

a12 a22 a2

a1 a2 a⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

xt A x a11 x2 2a12x y a22 y2 2a1 x 2a2 y a .+ + + + +=⋅ ⋅


3. Espacios vectoriales

Las matrices admiten también otra operación, que es la multiplicación de un

número o escalar. Estre producto se hace multiplicando cada elemento de la

matriz por el número en cuestión.

Un conjunto dado de una operación interna (que llamaremos suma) con es-

tructura de grupo conmutativo (5) y una multiplicación por escalares (elemen-

tos de un cuerpo) con las propiedades (7) decimos que tiene estructura de

espacio vectorial (sobre el cuerpo de los escalares).

Nos interesa destacar esta estructura de espacio vectorial que tienen las matri-

ces y que también tienen otros muchos conjuntos matemáticos, como por

ejemplo los polinomios.

La estructura de espacio vectorial de las matrices nos permitirá profundizar en

el tratamiento de los sistemas de ecuaciones.

La multiplicación por escalares también tiene propiedades características

y fáciles de demostrar. Para todo A, B, λ, µ se verifican las propiedades que

presentamos a continuación:

1) λ · (µA) = (λµ) · A asociativa

2) 1 · A = A elemento neutro (7)

3) (λ + µ) · A = (λA) + (µA)

λ · (A+B) = (λA) + (λB) distributiva

El conjunto de matrices de L(m,n) con la suma y la multiplicación por

escalares forman un espacio vectorial.


En un espacio vectorial se verifican las relaciones siguientes:

1)

2)

3)

Para representarlos escalares...

... utilizamos las letras griegas λ(lambda) y µ (mu).

0 a 0.=⋅

λ 0 0=⋅

1–( ) a a–=⋅


Demostración

1) En efecto, 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Por lo tanto, añadiendo –0 · a a

los dos miembros y usando la asociatividad, resulta: 0 · a = 0.

2) La demostración es análoga a la anterior.

3) Utilizando las propiedades de espacio vectorial y la propiedad (1) resulta:

−a = −a + 0 · a = −a + (1 + (−1)) · a = −a + (1 · a + (−1) + (−1) · a) =

= (−a + a) + (−1) · a = 0 + (−1) · a = (−1) · a

Ahora estudiaremos de forma detallada las características de los espacios vec-

toriales.

Para fijar ideas y por tratarse del espacio vectorial más natural, consideraremos el

conjunto de vectores-columna (o matrices de n filas y una sola columna).

La suma y la multiplicación por escalares en En están definidas, siguiendo el

apartado anterior, así:

y cumplen las propiedades (5) y (7), que lo configuran como espacio vectorial.

3.1. Dependencia e independencia lineal

Llamamos En o espacio vectorial de n dimensiones sobre los números

reales al conjunto de vectores-columna de n componentes reales:

Dado un conjunto de vectores {v1,v2 ..., vk} de En, decimos que son li-

nealmente independientes si y sólo si la igualdad:

(9)

v

v1

v2

vn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

...

v w

v1

vn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ w1

wn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

+=+

v1 w1+

vn wn+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=... ... ...

λv λv1

vn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

λv1

λvn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=... ...

λ 1v1 λ 2v2 … λ kvk+ + + 0=


Por ejemplo, los vectores siguientes:

(10)

son linealmente independientes, ya que de la ecuación:

se deriva: λ1 = λ2 = ... = λn = 0.

Además, los vectores de (10) verifican la propiedad de que todo vector de En

puede descomponerse de la forma:

(11)

que se expresa diciendo que v es combinación lineal de los vectores u1, ..., un.

Ejemplo 7

Los vectores siguientes:

son linealmente dependientes, ya que podemos comprobar que:

es decir, hay una combinación lineal de ellos igual a 0 donde no todos los escalares son 0.

Observamos que cualquier conjunto de vectores que contiene el vector 0 es li-

nealmente dependiente, ya que λ · 0 = 0 para cualquier λ ≠ 0, y por lo tanto en

la combinación lineal habrá un escalar diferente de 0.

La definición de independencia lineal que hemos visto no tiene en cuenta el

orden en el que se dan los vectores (por la propiedad conmutativa de la suma

de vectores).

se verifica únicamente para

En el caso contrario decimos que son linealmente dependientes.

λ 1 λ 2 … λ k 0.= = = =

u1

1

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, u2

0

1

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, …, un

0

0

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= = =

.........

λ1u1 λ 2u2 … λnun+ + +

λ 1

λ 2

λ n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

0= =

...

v

v1

vn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

v1u1 … vnun+ += =...

v1

1

2–

5⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

v 2

2–

3

1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

v3

5–

7

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= = =

v1 3v2 v3–+ 0,=


Supongamos que tenemos un conjunto de vectores v1, ..., vk linealmente de-

pendiente, es decir, tal que hay constantes reales λi no todas nulas para las que

se verifica (9). Si, por ejemplo, se cumple λi ≠ 0, entonces se puede aislar vi de

la forma siguiente:

Decimos que vi es combinación lineal de los restantes vectores del conjunto

v1, ..., vk.

Recíprocamente, si v es combinación lineal de v1, ..., vk, entonces los vectores

v, v1, ..., vk son linealmente dependientes.

3.2. Bases

Los vectores (10) son una base de En, ya que verifican las dos condiciones an-

teriores, como ya hemos visto. Este conjunto de vectores recibe el nombre de

base canónica de En.

Demostración

En efecto, sea {e1, ..., ek} una base del espacio. Por la segunda condición de la

definición de base, cualquier vector v de En puede ser expresado en esta base,

es decir, existen v1, ..., vk escalares tales que:

Es obvio también que cualquier subconjunto de un conjunto de vecto-

res linealmente independientes es linealmente independiente.

Decimos que un conjunto de vectores {e1, ..., ek} es una base de En si:

1) {e1, ..., ek} son linealmente independientes,

2) todo vector de En puede expresarse como combinación lineal de

{e1, ..., ek}.

Proposición 1

La expresión de un vector en una base es única

viλ1

λi

-----v1– …–λi 1–

λ i

----------v i 1–– …–λk

λi

-----vk.–=

v v1e1 … vkek.+ +=


Si hubiese otra expresión de v en la base dada, por ejemplo la siguiente:

restando las dos ecuaciones obtendríamos:

Como los ei son linealmente independientes (por la primera condición de la

definición de base), esta ecuación implica:

v1 − v’1 = v2 − v’2 = ... = vk − v’k = 0 es decir, v1 = v’1, ..., v k = v’k

y por lo tanto las dos expresiones de v son idénticas. Es decir, la expresión es

única, que es lo que queríamos demostrar.

Ahora analizaremos cómo son las bases de En.

Demostración

Debemos ver que {v, u2, ..., un} cumplen las dos condiciones necesarias para

ser una base:

1) Probamos que son linealmente independientes:

De la ecuación:

(12)

se deriva:

Los coeficientes vi que multiplican los vectores ei de la base se llaman

componentes del vector v en la base {e1, ..., ek}.

Proposición 2

Sean v 1, ..., vn los componentes del vector v en la base canónica (10)

{u1, ..., un}:

Entonces, si v1 ≠ 0, los vectores {v, u2, ..., un} forman una nueva base de En.

v v′1e1 … v′kek+ +=

0 v1 v′1–( )e1 … vk v ′k–( ) ek+ +=

v v1u1 … vnun.+ +=

λ 1v λ2u2 … λnun+ + + 0=

λ 1 v1u1 … vnun+ +( ) λ2u2 … λnun+ + + 0 ,=


que implica:

y por la independencia lineal de los vectores de la base canónica, resulta:

Como por hipótesis se cumple v1 ≠ 0, la primera de las ecuaciones anteriores

implica λ1 = 0 y, sustituyendo esta solución en las otras, se obtiene: λ2 = ... = λn = 0.

Por lo tanto, queda probado que (12) implica que λi = 0 para todo i = 1, ..., n

y los vectores son linealmente independientes.

2) Debemos ver que todo vector w de E n se puede expresar como combinación

lineal de {v, u2, ..., un}.

A partir de la expresión (11) de v en la base canónica, teniendo en cuenta que

v1 ≠ 0, obtenemos:

(13)

Sea ahora w un vector cualquiera, que expresado en la base canónica es:

Empleando (13) obtenemos:

que prueba que cualquier vector de En se puede escribir como combinación li-

neal de los vectores {v, u2, ..., un}

Teorema 1: teorema de Steinitz

Si {e1, ..., ek} son k vectores de En linealmente independientes (con k ≤ n),

entonces podemos sustituir k vectores convenientemente elegidos de la

base canónica (10) {u1,.., un} para formar una nueva base de En.

λ 1v1u1 λ 1v2 λ 2+( )u2 … λ1vn λn+( ) un+ + + 0 ,=

λ 1v1 0, λ 1v2 λ2+ 0, …, λ1vn λn+ 0,= = =

u11v1

-----v1v2

v1

-----u2– …–vn

v1

-----un.–=

w w1u1 … wnun.+ +=

w w11v1

-----v v2

v1

-----u2– …–vn

v1

-----un–⎝ ⎠⎛ ⎞ w2u2 … wnun+ + += =

w1

v1

------v w2w1v2

v1

------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ u2 … wn

w1vn

v1

------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ un+ + +=


Demostración:

Sean {e1, ... ek} linealmente independientes. Por lo tanto, e1 ≠ 0. Ponemos:

Algún componente a1j será diferente de 0, ya que, si no, e1 sería 0. Para fijar

ideas suponemos que es a11 ≠ 0 .

Para la proposición 2 podemos formar la nueva base [e1, u2, ..., un]. Si k > 1,

expresamos e2 en la nueva base:

Necesariamente, alguno de los a22, a23 , ..., a2n debe ser diferente de cero, ya que

si no, la expresión anterior implicaría que {e1, e2} son linealmente depen-

dientes, contra la hipótesis. Supongamos también, para fijar ideas, que sea

a22 ≠ 0. Aplicando nuevamente la proposición 2 pasaremos a la nueva base

{e1,e2,u3 ..., un}.

Continuando por el mismo procedimiento llegaremos a sustituir k vectores

convenientemente elegidos de la base canónica por los vectores {e1, ..., ek}, tal

como queríamos.

De aquí se deducen inmediatamente los teoremas siguientes.

Así, pues, el teorema 2 nos dice que no podemos tener una cantidad de vec-

tores mayor que la dimensión del espacio y que sean linealmente indepen-

dientes.

Ejemplo 8

Dados los dos vectores:

Teorema 2

Todo conjunto {v1, ..., vk} de vectores de E n linealmente independientes

consta de k ≤ n vectores, y es una base si y sólo si k = n.

Teorema 3

El número de vectores de todas las bases de En es n, y decimos que n es

la dimensión de En.

e1 a11u1 … a1nun.+ +=

e2 a 21e1 a22u2 … a2nun.+ + +=

e1

0

3

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

e2

0

1–

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.= =


a) Comprobemos que son linealmente independientes.

b) Formemos una base de E 3 completando {e1, e2} con vectores de la base canónica.

Solución

a) La ecuación λ1e1 + λ2e2 = 0 lleva al sistema 3 λ1 – λ2 = 0, –2λ1 + λ2 = 0, que implicaλ1 = λ2 = 0. Por lo tanto, son linealmente independientes.

b) Siguiendo la construcción del teorema de Steinitz y la proposición 2, empezamos por sus-tituir e1 por un vector conveniente de la base canónica. Como el primer componente de e1

en la base {u1,u2,u3} es 0, no podemos sustituir u1 por e1. En cambio, e1 sí que puede sustituiru2, ya que el segundo componente es diferente de 0. De este modo, tenemos la nueva base{u1,e1,u3}.

Tenemos:

de donde resulta:

Ahora tenemos que expresar e2 en la nueva base. Tendremos:

Como el componte según u3 es diferente de 0, resulta que e2 puede sustituir a u3. De estemodo, finalmente tenemos la base {u1,e1,e2}

Todavía podemos expresar u2 y u3 en la nueva base:

Ejemplo 9

Escribamos la base canónica para el espacio vectorial de las matrices n × m. ¿Qué dimensióntiene?

La base canónica estará formada por cada una de las matrices que tienen un 1 en una posi-ción diferente y todo el resto 0.

e1

0

3

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

3u2 2u3 ,–= =

u213---e1

23---u3 .+=

e2

0

1–

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

u2– u 3+ 13---e1

23---u3+⎝ ⎠

⎛ ⎞– u3+ 13---e1– 1

3---u 3.+= = = =

u 3 e1 3e2+=

u213---e1

23--- e1 3e2+( )+ e1 2e2 .+= =

1 0 … 0

0 0 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,

0 1 … 0

0 0 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, … ,

0 0 … 1

0 0 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

0 0 … 0

1 0 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,

0 0 … 0

0 1 … 0

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, … ,

0 0 … 0

0 0 … 1

0 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

0 0 … 0

0 0 … 0

1 0 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,

0 0 … 0

0 0 … 0

0 1 … 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, … ,

0 0 … 0

0 0 … 0

0 0 … 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

... ...

...

...

... ... ... ...

...

...

... ... ...

... ... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...


Es inmediato comprobar que las matrices anteriores son linealmente independientes y quetoda matriz puede expresarse como combinación lineal de éstas. En consecuencia, formanuna base y la dimensión del espacio vectorial de las matrices n × m es n · m.

3.3. Subespacios vectoriales y rango

Consideremos un conjunto F de vectores de En´ tales que si contiene los vecto-

res v y w también contiene su suma v + w, y con cada vector v contiene tam-

bién el producto para cualquier número λ, es decir, λv.

En un conjunto así, cada vector v contiene su opuesto −v = (−1)v. Por lo tanto,

con cada par de vectores v y w contiene su diferencia v − w y de este modo

contiene el cero. Esto hace que sea un subgrupo del grupo aditivo de los vec-

tores de En. Como además también contiene el producto de cada vector por

cualquier escalar, y las propiedades (5) y (7) continúan siendo válidas, el con-

junto F en cuestión tiene estructura de espacio vectorial, y decimos que es un

subespacio vectorial de En.

Ejemplo 10

El conjunto de múltiplos de un vector v cualquiera es un subespacio vectorial, es decir, tene-mos que:

En particular, si v es el vector 0 , el subespacio se reduce al vector 0, que por sí solo constituyeun subespacio vectorial trivial, que decimos que es de dimensión 0.

Si v ≠ 0 , entonces, el subespacio F1 tiene dimensión 1, ya que v es una base de F1.

De forma análoga podemos definir los generadores de F.

Decimos que un conjunto de vectores F ⊂ En es un subespacio vectorial

de En si, y sólo si:

1) Para cada dos vectores v y w que contiene, contiene también su

suma v + w.

2) Para cada vector v que contiene, contiene también su producto por

cualquier escalar λ, es decir, contiene λv.

Dados k vectores {v1, ..., vk}, el conjunto siguiente:

es un subespacio vectorial de En ’, que llamamos subespacio vecto-

rial generado por los vectores {v1, ..., vk}. Decimos que los vectores

{v1, ..., vk} son un conjunto de generadores de F.

F1 λv λ R } .∈{=

F λ 1v1 … λkvk λ 1 R , …, λk R }∈∈+ +{=


Por el teorema 2, en En no puede haber más de n vectores linealmente inde-

pendientes. Por lo tanto, F no puede contener tampoco más de n vectores li-

nealmente independientes.

De este modo, la dimensión de un subespacio vectorial F de En es menor o

igual que n, y es igual al número de vectores que contiene cualquier base de F.

(Todas tienen el mismo número, según el análogo del teorema 3 para los sub-

espacios).

En particular se tiene que el rango es menor o igual que k.

Actividades

8. Consideremos los vectores e1 = (2, 0, –3) y e2 = (–1, 3, 5):a) Probad que son linealmente independientes.b) ¿Es posible completar con u3 para formar una base de E3? ¿Por qué?c) Expresad un vector cualquiera v = (v1, v2, v3) en la nueva base.d) Expresad u1 y u2 en la nueva base.

9. Consideremos los mismos vectores {e1,e2} de la actividad 8:a) Encontrad una nueva base del subespacio generado por {e1,e2} que esté formadapor e1 y otro vector tal que su primer componente expresado en la base canónicasea 0. ¿Es posible? ¿Por qué?b) Expresad e2 en la nueva base.

10. Decid si son subespacios vectoriales los subconjuntos de R3 siguientes:

a)

b)

c)

11. Sea F(R,R) el conjunto de funciones reales de variable real. Decid si son subespaciosvectoriales los subconjuntos de F(R,R) siguientes:

a)

b)

c)

Llamaremos rango de un conjunto de k vectores {v1, ..., vk} de En a la

dimensión del subespacio que generan.

El rango...

... lo representamos con la letra griega ρ (ro), correspondiente a nuestra r.

En el próximo apartado de este mismo módulo didáctico aprenderemos a determinar el rango de un conjunto de vectores. Lo haremos por el método de Gausss.

e ′2

x y z, ,( ) R 3: 3x– 2y z+ +∈{ 0 } .=

x y z, ,( ) R 3: 5x 2y 7z–+∈{ 3 } .=

x y z, ,( ) R3 : x 0} .≥∈{

f F R , R( ) : f 1( )∈{ k } .=

f F R, R( ) : f 0( )∈{ 2 f 1( ) } .=

f F R , R( ) : f x–( )∈{ f2 x( ) }.=


4. El método de Gauss

Comencemos ahora el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Dado un

sistema de ecuaciones lineales (1), lo que nos interesa es saber si tiene solucio-

nes y cuáles son.

Por ello podemos transformarlo en otro equivalente, en el sentido de que, te-

niendo las mismas soluciones, sea más fácil de resolver. Hay sistemas que tie-

nen una solución inmediata.

Por ejemplo, el sistema:

es inmediato de resolver por sustitución hacia atrás: aislamos la z en la tercera

ecuación, después la sustituimos en la segunda para aislar la y, y, finalmente,

sustituimos la y y la z en la primera y aislamos la x. De este modo, tenemos:

Decimos que un sistema como el del ejemplo está en forma triangular, ya que

la matriz del sistema tiene ceros en la parte inferior izquierda de la diagonal

principal.

En el objetivo de reducir el sistema a otro con las mismas soluciones pero más

sencillo, el método de Gauss utiliza tres tipos de transformaciones que presen-

tamos a continuación.

El método de Gauss consiste en ir transformando el sistema de partida

en otro equivalente, de tal modo que nos acerquemos, paso a paso, a un

sistema como el del ejemplo, con ceros en la parte inferior izquierda. Ya

discutiremos cuál es la forma final más simple que podemos obtener.

3x 2y z+ + 1=

y 2z– 2=

2z 1–= ⎭⎪⎬⎪⎫

z 12---–=

y 2 2z+ 2 2 12---–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ 1= = =

x 13--- 1 2y– z–( ) 1

3--- 1 2–

12---+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 16---–= = =

⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫

.

Karl F. Gauss (1777-1855)...

... llamado Princeps Mathemati-corum (príncipe de los matemá-ticos), ha sido, tal vez, el mayor matemático de la historia. Fue también, como E. Galois, un niño precoz: a los 3 años descu-brió un error de cálculo en la paga de los obreros que tenía su padre (no sabemos si a favor de los obreros o de su padre).


Obviamente la primera y la tercera transformación no modifican las soluciones.

Para probar que la segunda no modifica las soluciones del sistema, debemos

probar que toda solución de (1) es solución del sistema transformado siguiente:

(14)

y recíprocamente.

Pero esto es obvio: toda solución de (1) verifica (14), ya que la única ecuación

diferente, la j-ésima, es una combinación lineal de la i-ésima y j-ésima ecua-

ciones de (1), y recíprocamente, toda solución de (14) lo es de (1), ya que la

ecuación diferente, la j-ésima ecuación de (1), es igual a la j-ésima ecuación de

(14) menos λ por la ecuación i-ésima.

El método de Gauss empieza eligiendo como primera ecuación una de las

ecuaciones del sistema por la que el coeficiente de la x1 sea diferente de cero

(transformación 1, si es necesario). El coeficiente de la x1 de la primera ecua-

ción mencionado será el primer pivote elegido. A partir de aquí dejamos fijada

la primera ecuación:

A continuación reducimos a cero los restantes coeficientes de x1 en las otras

ecuaciones (transformación 2 para cada ecuación), utilizando el pivote elegi-

do. Para ello restamos a cada una de las demás ecuaciones la primera ecuación

multiplicada por el coeficiente de x1 en la misma ecuación y dividida por el

Transformaciones empleadas por el método de Gauss:

a) Transformación 1: permutar dos filas entre sí.

b) Transformación 2: añadir a una fila una paralela previamente multi-

plicada por un número.

c) Transformación 3: multiplicar (o dividir) una fila por un número di-

ferente de cero.

a11x1 … a 1nxn+ + b1=

ai1x1 … ainxn+ + bi=

a j 1 1,– x1 … aj 1 n,– xn+ + bj 1–=

aj1 λai1+( )x 1 … ajn λain+( )xn+ + bj λbi+=

aj 1 1,+ x 1 … aj 1 n,+ xn+ + bj 1+=

am 1x1 … a mnxn+ + bm= ⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫

...

...

...

...

...

...

... ......

a ′11x1 a′12x2 … a ′1nxn+ + + b ′1 .=

⎭⎬⎫

... ... ... ...


pivote. De este modo sustituimos la fila i por la fila i menos la fila 1 multipli-

cada por La nueva fila i será:

De este modo la ecuación resultante tendrá coeficiente de la x1 igual a cero.

Esto lo hacemos para las filas que van de la 2 hasta n.

A continuación seleccionamos, entre las ecuaciones transformadas, una que

tenga el coeficiente de la x2 diferente de cero y la ponemos como segunda

ecuación. Si todas tuviesen coeficiente de la x2 nulo pasaríamos a la x3, etc. To-

mando como pivote el primer coeficiente no nulo de la que hemos elegido

como segunda ecuación, repetimos el proceso con el resto de las ecuaciones y

así sucesivamente.

Procediendo así, acabaremos reduciendo el sistema completamente a una for-

ma que tiene ceros en la parte inferior izquierda de forma escalonada.

Pongamos un ejemplo de ello.

Ejemplo 11

Resolvamos el sistema siguiente:

Fijamos la primera ecuación, ya que el coeficiente de la x es 2 y es diferente de cero.Éste será el primer pivote. Para eliminar la x en la segunda ecuación multiplicamos laprimera por –1/2 y la sumamos a la segunda. Para eliminarla de la tercera, multiplica-mos la primera por –3/2 y la sumamos a la tercera. con estas operaciones, el sistemaqueda reducido a:

A continuación tomamos como pivote el coeficiente de la y en la segunda ecuación, es decir,–7/2. Por lo tanto, dejamos fijada también esta ecuación y eliminamos la y de la tercera. Parahacer esto, debemos multiplicar la segunda ecuación por 1/7 y sumarla a la tercera. El sistemaserá ahora:

Cuando hayamos llegado a este punto, el sistema habrá quedado triangular. Podemos aislarla z de la última ecuación y tendremos:

z = –1.

ai1

a 11

-------.

0 ai2a i1

a 11-------a12–⎝ ⎠

⎛ ⎞ x2 ai3a i1

a11-------a13–⎝ ⎠

⎛ ⎞ x3 … aina i1

a11-------a1 n–⎝ ⎠

⎛ ⎞ xn+ + + + =

biai1

a 11

-------b1.–=

2x 3y z+ + 6=

x 2y– 5z– 5=

3x 5y 3z+ + 8= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

2x + 3 y + z = 6

7 2y⁄– − 11 2z⁄ = 2

1 2y⁄ + 3 2 z⁄ = 1– ⎭⎪⎬⎪⎫

.

2x + 3y + z = 67 2y⁄– − 11 2z⁄ = 2

5 7z⁄ = 5 7⁄– ⎭⎪⎬⎪⎫.


Sustituyéndola en la segunda, podemos aislar la y:

Finalmente, sustituyendo z e y en la primera obtendremos:

Una forma más clara de seguir el procedimiento es utilizar la notación matricial. La matrizampliada del sistema dado es:

En el primer paso hemos elegido como pivote el coeficiente a11 = 2, y lo que hemos hechoha sido multiplicar la primera fila por –1/2 y sumar el resultado a la segunda, y multiplicar laprimera fila por –3/2 y sumar el resultado a la tercera. El resultado es ahora:

En el segundo paso, el pivote elegido es a22 = –7/2. Repetimos la operación multiplicando lasegunda fila por 1/7 y sumando el resultado a la tercera. Con esto obtenemos la matriz trian-gular:

(15)

No todos los sistemas tendrán siempre una única solución, como sucedía en

el ejemplo anterior. Veamos un caso de ello en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 12

Resolvamos el sistema siguiente:

La matriz del sistema es:

Aplicándole el método de Gauss (segunda transformación tres veces) obtenemos la matriz si-guiente:

La matriz final tiene una fila menos que incógnitas, y ahora resulta que tenemos un gradode libertad para elegir la z, que puede tomar cualquier valor; esto se debe a que la tercera ecua-ción, que es la que queda con esta variable, es 0 · z = 0, que se cumple para cualquier valorreal de z. Ponemos, entonces, z = t .

y 27--- 2 11

2------z+⎝ ⎠

⎛ ⎞– 27--- 2 11

2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞– 1.= = =

x12--- 6 3y– z–( ) 1

2--- 6 3– 1+( ) 2.= = =

2 3 1

1 2– 5–

3 5 3

6

5

8⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

2 3 1

0 7 2⁄– 11 2⁄–

0 1 2⁄ 3 2⁄

6

2

1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

2 3 1

0 7 2⁄– 11 2⁄–

0 0 5 7⁄

6

2

5 7⁄–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

x y z–+ 0=

2x– 3z+ 5=

x 5y z+ + 10= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

1 1 1–

2– 0 3

1 5 1

0

5

10⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1 1–

0 2 1

0 4 2

0

5

10⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1 1–

0 2 1

0 0 0

0

5

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.→


Sustituyendo esta expresión en y, y las dos en x, obtenemos que la solución general del siste-ma depende de un parámetro arbitrario t, y es la siguiente:

En la eliminación podemos encontrarnos en la situación de tener que permu-

tar filas (primera transformación), ya que el elemento diagonal que en princi-

pio tomaríamos como pivote se ha anulado.

No hay ningún inconveniente en permutar filas para obtener un pivote diferen-

te de cero y poder continuar así el proceso de eliminación en forma triangular,

pero también puede ocurrir que todos los elementos de la columna sean cero.

Ejemplo 13

Ponemos un ejemplo con cinco variables x1, x2, x3, x4, x5.

Resolvemos el sistema que tiene la matriz ampliada siguiente:

Tomamos como pivote el elemento de la primera fila y primera columna a11 , y reducimos acero los restantes de la primera columna. El resultado es:

Ahora tomamos como pivote el elemento de la segunda columna y tercera fila, y permuta-mos así la segunda fila y la tercera:

De nuevo reducimos a cero los elementos restantes de la segunda columna:

En este ejemplo ha resultado, además, que se han anulado también los restantes elementosde la tercera columna.

z t=

y 1 2 5 z–( )⋅⁄ 1 2 5 t–( )⋅⁄= =

x z y– t 1 2 5 t–( )⋅⁄– 1 2 3t 5–( )⋅⁄= = = ⎭⎪⎬⎪⎫

.

1 1– 2 0 2

1 1– 2 0 3

1 0 2 3 6

1– 2 2– 4 4

2 2– 4 0 5

1 1– 2 0 1

3

5

1

6–

8

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 2 0 2

0 0 0 0 1

0 1 0 3 4

0 1 0 4 6

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1–

3

2

2–

3–

2

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 2 0 2

0 1 0 3 4

0 0 0 0 1

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

3

2–

2

3–

2

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 2 0 2

0 1 0 3 4

0 0 0 0 1

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1–

3

2–

2

1–

2

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


Tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y cuarta columna. Así, permutamos lasfilas tercera y cuarta:

Finalmente, tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y quinta columna y el siste-

ma queda reducido completamente:

(16)

Podemos ahora expresar la solución general de esta forma:

que, como vemos, depende de un parámetro arbitrario t (si bien en este ejemplo algunas in-cógnitas tienen valor fijo, independientemente de t).

En este ejemplo hemos visto que, al reducir a cero los elementos de una co-

lumna (la segunda), se nos han reducido “por azar” los elementos de la si-

guiente. Cuando esto sucede podemos hacer también una permutación de

columnas, con el objetivo de continuar colocando el nuevo pivote en la dia-

gonal principal de la matriz, siempre que permutemos también el orden de las

variables correspondientes. Cuando reducimos con este criterio hablamos de

pivotamiento total. Esto no aporta nada esencial a la solución del sistema,

aparte del motivo estético que supone que los pivotes estén en la diagonal

principal. Por esta razón generalmente no lo haremos.

Pero si queremos, podemos hacerlo. De este modo, partiendo del sistema en la

forma (16), podríamos permutar las columnas tercera y cuarta y obtendríamos:

Hemos tenido suerte, porque la tercera columna ha quedado automáticamen-

te reducida sin necesidad de hacer nada más. Nuevamente debemos permutar

1 1– 2 0 2

0 1 0 3 4

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1–

3

2–

1–

2

2

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 2 0 2

0 1 0 3 4

0 0 0 1 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3

2–

1–

2

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

x5 2=

x4 1– 2x5– 5–= =

x3 t=

x2 2– 3x4– 4x5– 5= =

x1 3 x2 2x3– 2x5–+ 4 2 t–= =

x1 x2 x4 x3 x5

1 1– 0 2 2

0 1 3 0 4

0 0 1 0 2

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3

2–

1–

2

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


la columna cuarta y la quinta para llevar el pivote de la quinta columna a la

diagonal principal. El resultado es:

La cuarta columna también ha quedado automáticamente reducida. Además, el

sistema está ya totalmente reducido. Las filas (o ecuaciones independientes) tie-

nen el pivote en la diagonal principal y las ecuaciones que no eran independien-

tes se han reducido a cero y podemos eliminarlas.

De donde obtenemos la solución:

que, como vemos, coincide exactamente con la solución dada con pivota-

miento parcial.

Las soluciones del sistema pueden ponerse también en forma de vectores co-

lumna:

Veamos ahora otro ejemplo.

Ejemplo 14

Resolvamos el sistema que tiene por matriz ampliada:

Procedemos a reducir la primera columna tomando como pivote el coeficiente a11 = 7. El re-sultado es:

x1 x2 x4 x5 x3

1 1– 0 2 2

0 1 3 4 0

0 0 1 2 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3

2–

1–

2

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

x3 t=

x5 2=

x4 1– 2x5– 5–= =

x2 2– 3x4– 4x5– 5= =

x1 3 x2 2x3–+ 4 2t–= =

x

x1

x2

x3

x4

x5⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 4

5

0

5–

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t

2–

0

1

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.+= =

7 3– 1–

4 2 8

3 5– 9–

0

5

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

7 3– 1–

0 26 7⁄ 60 7⁄0 26 7⁄– 60 7⁄–

0

5

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


Tomamos como pivote el elemento de la segunda fila y segunda columna a22 = 26/7 y redu-cimos la segunda columna:

Ahora el resultado consiste en que la tercera ecuación es imposible y, por lo tanto, el sistemano tiene ninguna solución. Es un sistema incompatible.

Actividades

Resolved los sistemas de ecuaciones siguientes:

12.

13.

14.

15.

16.

7 3– 1–

0 26 7⁄ 60 7⁄0 0 0

0

5

12⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

x y 5z+ + 0=

2x y– 3z+ 1=

3x– 4y z–+ 0= ⎭⎪⎬⎪⎫.

5x 2y z–+ 2=

x y– 3z+ 8=

2x– 3y 2z+ + 3–= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x z t–+ 2=

2x y– z+ 1=

x 3y 4z 7 t–+ + 11=

4x– 3y z– 2 t–+ 1=

2x– 2y t–+ 2= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.

4x 2y– z– 2=

3x 5y 3z+ + 2=

x 7y– 4z– 2= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

2x1 2x2 2x3 4x4– 4x5–+ + 8=

2x4 4x5+ 2–=

x1 4x2 4x3 4x4 4x5+ + + + 1=

x1 3x2 4x+ + 3 x2 4x3 3=

3x1 3x2 3x3 4x4 4x5+ + + + 1= ⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫

.


5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius

Hemos definido en el apartado 3 de este mismo módulo didáctico el rango de

un conjunto de vectores {v1, ..., vk} como la dimensión del subespacio que ge-

neran. Sean los vectores:

El método de Gauss permite determinar su rango.

En efecto, ponemos los componentes de los vectores en forma de vectores-fila

y construimos la matriz correspondiente:

(17)

Aplicamos el método de Gauss. Las transformaciones de Gauss convierten el

conjunto dado de vectores en otro conjunto que genera el mismo subespacio,

ya que la permutación de filas (primera transformación) no altera el conjunto,

y la segunda modifica el vector de la fila j utilizando el de la fila i en una trans-

formación reversible:

cambia {v i, vj} por { , } = {v i, vj + λvi}

y esta transformación se puede invertir:

{vi, v j}={ , − λ }.

Teniendo en cuenta que los restantes vectores no cambian con una segunda

transformación, los subespacios generados por {v1, ..., vi, ... v j, ..., vk} y por

{v1, ..., , ... , ..., vk} son los mismos, ya que toda combinación lineal de

vectores del primer conjunto puede ponerse como combinación lineal de los

vectores del segundo conjunto y recíprocamente.

Por último, la tercera transformación obviamente tampoco altera el subespa-

cio generado.

v1

v11

v12

v1n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v2

v21

v22

v2n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, … , vk

vk1

vk2

vk n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.= = =

...

...

...

v11 v12 … v1n

v21 v22 … v2n

vk1 vk2 … vkn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

... ... ...

v′i v′j

v′i v′j v ′i

v′i v ′j


En consecuencia, podemos utilizar el método de Gauss y reducir la matriz (17).

El resultado será una matriz escalonada, es decir, con la forma siguiente:

(18)

donde los son los pivotes que son estrictamente diferentes de cero y son

números que pueden ser diferentes de cero o no. Los restantes elementos ha-

brán quedado reducidos forzosamente a cero.

Los vectores de la fila que han quedado son, por construcción, un conjunto

de generadores del subespacio que genera {v1, ..., vk}.

Pero además son linealmente independientes, ya que en toda combinación li-

neal nula de los vectores que se obtienen, el primer vector-fila debe estar mul-

tiplicado por cero para que el primer componente de la combinación sea

siempre nulo, y de este modo sucesivamente para todo el resto de vectores-fila.

En consecuencia, los vectores resultantes forman un base del subespacio gene-

rado.

Además, los vectores-fila que quedan forman una base del subespacio genera-

do.

Ejemplo 15

Para encontrar el rango de los vectores siguientes:

El rango de {v1, ..., vk} será, entonces, igual al número de vectores-fila

diferentes de cero que hayan quedado después de la reducción comple-

ta por Gauss.

0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 00 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ...

0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

... ... ... ... ... ... ... ... ...

v1

1

1–

2

0

2

3⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v2

1

1–

2

0

3

5⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v3

1

0

2

3

6

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v4

1–

2

2–

4

4

6–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v5

2

2–

4

0

5

8⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v6

1

1–

2

0

1

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= = = = = =


consideramos la matriz correspondiente de los vectores-fila:

y aplicamos el método de Gauss. Esta matriz es la misma del ejemplo 13, donde hemos vistoque el resultado era:

Por lo tanto, el rango de {v1, ...,v6} es 4 y, además, la reducción gaussiana nos permite deter-minar una base del subespacio que generan:

Consideremos ahora el método de Gauss aplicado a sistemas desde la óptica

anterior. A partir de la matriz ampliada (4) llegaremos, por reducción gaussia-

na, a una matriz de la forma:

donde hemos destacado la columna de los términos independientes. Si en la

ecuación final, de la forma 0 = , resulta que el segundo miembro es estricta-

mente diferente de cero, el sistema resultante será incompatible, ya que con-

tendrá una ecuación imposible. En caso contrario, el sistema será compatible.

Podemos definir ahora el rango de una matriz.

El rango de una matriz es el máximo número de filas linealmente in-

dependientes que contiene, y es igual, a la dimensión del subespacio ge-

nerado por las filas consideradas como vectores-fila.

1 1– 2 0 2 3

1 1– 2 0 3 5

1 0 2 3 6 1

1– 2 2– 4 4 6–

2 2– 4 0 5 8

1 1– 2 0 1 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

1 1– 2 0 2 3

0 1 0 3 4 2–

0 0 0 1 2 1–

0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

v1′

1

1–

2

0

2

3⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v2 ′

0

1

0

3

4

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v 3 ′

0

0

0

1

2

1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, v 4 ′

0

0

0

0

1

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.= = = =

... ... ... ...0 0 ... ... ... ...

0 0 ... 0 0... ... ...

0 0 ... 0 0... 0 0 ... ...

0 0 ... 0 0... 0 0 ... 0 0 ... 0

0 0 ... 0 0... 0 0 ... 0 0 ... 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

0

...

...

...

... ... ... ... ... ...

...

Recordemos que...

... para determinar el rango de una matriz podemos emplear el método de eliminación de Gauss.


Con esta definición ahora podemos continuar la discusión sobre el número de

soluciones del sistema y llegaremos a las conclusiones siguientes:

1) Cuando el rango de la matriz ampliada sea igual al de la matriz del sistema,

no puede aparecer ninguna ecuación incompatible del tipo 0 = .

2) El rango de la matriz ampliada puede, sin embargo, superar el de la matriz

del sistema en una unidad. En este caso, necesariamente quedará la última

ecuación de la forma 0 = y el sistema será incompatible.

3) En lo que respecta al número de parámetros libres que tiene la solución de

un sistema compatible, observemos que las variables a las que no haya queda-

do asociado ningún pivote pueden ser elegidas arbitrariamente, de forma que

las otras quedarán determinadas en función de éstas. Teniendo en cuenta que

queda una ecuación para cada pivote, el número de grados de libertad de la

solución será igual al de incógnitas menos el rango del sistema. Podemos

enunciar ya el teorema de Rouché-Fröbenius.

Actividad

17. Comentad las actividades 10, 11, 12 , 13 y 14 desde el punto de vista del teorema deRouché-Fröbenius.

Teorema 4: teorema de Rouché-Fröbenius

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si el rango de la matriz

del sistema es igual al rango de la matriz ampliada, y es incompatible en

caso contrario.

El número de grados de libertad de un sistema compatible, o número de

parámetros del que depende la solución del sistema, es igual al número

de incógnitas menos el rango de la matriz del sistema.


6. Sistemas homogéneos

Matricialmente se expresa del siguiente modo:

A · x = 0.

Es evidente que todo el sistema homogéneo admite la solución trivial:

o, brevemente, x = 0.

Para los sistemas homogéneos, la matriz ampliada contiene sólo una columna

de ceros más que la matriz del sistema, de forma que el rango de la matriz am-

pliada será igual al rango de la matriz del sistema. La primera parte del teorema

de Rouché, aplicado ahora, nos dice que siempre tendrá solución, algo eviden-

te ya que x = 0 es una solución trivial. Pero en el caso de los sistemas homo-

géneos, las soluciones que interesan son precisamente las que no son triviales.

Para un sistema homogéneo, si hay una solución particular x1 o, detalladamente,

Un sistema homogéneo es aquel en el que el término independiente de

todas las ecuaciones es cero. Un sistema homogéneo de m ecuaciones y

n incógnitas será de la forma:

(19)

Se dice, por abuso de lenguaje, que un sistema homogéneo que única-

mente tenga la solución trivial no tiene soluciones propias.

a11x1 a 12x2 … a1nxn+ + + 0=

a21x1 a 22x2 … a2nxn+ + + 0=

am 1x1 a m2x2 … amnxn+ + + 0= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

...

...

...

x1

x2

xn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

......

x

x1

x2

xn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x11

x12

x1n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= =

... ...


entonces, si t es un parámetro arbitrario, x = t x1 también es solución. Es decir,

también es una solución para todo t.

Si un sistema homogéneo admite un conjunto de soluciones particulares xi,

para 1 ≤ i ≤ s, toda combinación lineal de la forma

será también solución. Si ponemos las solución en forma matricial, será:

(20)

Estas proposiciones son consecuencia inmediata de las propiedades de las ope-

raciones con las matrices dadas en el apartado 2.

Ejemplo 16

Resolvamos el sistema

y pongamos la solución en la forma de la fórmula (20).

Partimos de la matriz del sistema:

Resulta más cómodo tomar el primer pivote de la segunda ecuación y permutar las filas unay dos:

Reducimos a cero la primera columna. El resultado es:

x1

x2

xn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t

x11

x12

x1n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

......

x t1x1 t2x2 … tsxs+ + +=

x1

x2

xn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t1

x11

x12

x1n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t2

x21

x22

x2n⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

… ts

xs1

xs2

xsn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.+ + +=

... ... ... ...

5x 2y z– 2w+ + 0=

x y– 3z 7w–+ 0=

2x 5y 10z– 23w+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

5 2 1– 2

1 1– 3 7–

2 5 10– 23

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 3 7–

5 2 1– 2

2 5 10– 23

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1– 3 7–

0 7 16– 37

0 7 16– 37

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


Ahora reducimos la segunda columna y el resultado es:

El sistema tiene rango dos y dos grados de libertad. La solución es:

Finalmente, puesto en forma vectorial:

Actividades

18. Resolved el sistema de ecuaciones siguiente:




22. Dado un sistema lineal homogéneo de la forma A · x = 2 demostrad, utilizando las pro-piedades de las operaciones con matrices y vectores dadas en el apartado 2 de este mismo mó-dulo didáctico que, si x1, x2, ..., xs son soluciones particulares del sistema, entonces

también es solución del sistema para todo conjunto de valores t1, t2, ..., ts reales.

1 1– 3 7–

0 7 16– 37

0 0 0 0

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

w t1=

z t2=

y 16 7 z 37 7 w⋅⁄–⋅⁄ 16 7 t2 37 7 t1⋅⁄–⋅⁄= =

x y 3z– 7w+ 5 7⁄ t2 12 7 t1⋅⁄+⋅–= = ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.

x

y

z

w⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t1

12 7⁄37 7⁄–

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t2

5 7⁄–

16 7⁄1

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

+ t1′

12

37–

0

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t2′

5–

16

7

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.+= =

2x y– 3z+ 0=

x– 3y 7z+ + 0=

x– 8y 24z+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x y 5z+ + 0=

2x 2y 10z+ + 0=

3x– 3y– 15z– 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x y 5z+ + 0=

4x 7y 3z–+ 0=

x– 3y– 2z+ 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x y 5z 3 t–+ + 0=

2x 3y– z 2 t+ + 0=

4x y– 11z 4 t–+ 0=

x 4y– 4z– t– 0= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.

t1 x1 t2 x2 … ts xs+ + +


7. Determinantes y regla de Cramer

Entre los sistemas de ecuaciones lineales adquieren especial importancia los

que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas, y particularmente

los que son determinados, ya que son los más habituales en muchas aplicacio-

nes científicas y técnicas.

Hemos visto en el apartado anterior cómo se resuelve en la práctica cualquier

sistema de una forma efectiva y con pocas operaciones; pero si lo que desea-

mos es dar una fórmula directa que exprese la solución, entonces aparecen los

determinantes. Este problema interesó a Leibnitz hacia 1678.

7.1. Determinantes de segundo orden

Empezamos por un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

Multiplicando la primera ecuación por a22, la segunda por a12 y restando para

eliminar x2, obtenemos:

Esta fórmula nos sugiere definir el determinante de una matriz 2 × 2 del

modo siguiente:

Con esta definición la ecuación anterior se puede escribir:

Hacemos la misma operación por x2 y resulta:

Gotfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716)...

... hijo de un profesor de filoso-fía de familia acomodada, pronto se interesó por la histo-ria y el derecho. A los 8 años comenzó a estudiar latín y poco tiempo después, griego. Fue bachiller en 1663, y estu-dió geometría euclidiana y ál-gebra con el físico Erhard Weigel, y en 1666 defendió su tesis, De arte combinatoria , con la que obtuvo el título de doc-tor en filosofía. Interesado por las máquinas y por los inge-nios, en 1671 escribió su pri-mera obra sobre la mecánica, Hypothesis physica nova, e in-ventó una máquina de calcular para aligerar el cálculo a los as-trónomos. Por sus trabajos de diplomático (sugirió a Luis XIV que conquistase Egipto y que atacase las colonias holandesas de Asia) viajó a Londres y a Pa-rís, donde Christian Huygens lo inició seriamente en las mate-máticas, algo que lo llevó al descubrimiento del cálculo di-ferencial e integral.

a 11x1 a12x2+ b1=

a 21x1 a22x2+ b2= ⎭⎬⎫

.

a11a22 a21a 12–( ) x1⋅ b1a 22 b2a12 .–=

det C detc11 c12

c21 c22⎝ ⎠⎛ ⎞ c11 c12

c21 c22

c11c22 c12c21 .–= = =

x1det A detb1 a12

b2 a22⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

x2det A deta11 b 1

a21 b 2⎝ ⎠⎛ ⎞ .=


Ahora, si:

(21)

podemos aislar x1 y x2 y obtenemos:

Las fórmulas anteriores reciben el nombre de regla de Cramer . La condición

(21) permite decidir si el sistema es compatible y determinado o no.

Podemos ilustrar así la regla para calcular un determinante de segundo orden:

Ejemplo 17

Dado el sistema siguiente, utilizemos la regla de Cramer para decidir si es o no es compatibley determinado, y obtened en este caso la solución:

El determinante del sistema es:

Por lo tanto el sistema es compatible y determinado, y las soluciones son:

Ejemplo 18

Dado el sistema:

discutid para qué valores del parámetro k el sistema es compatible y determinado, y en estecaso dad la solución.

det Aa 11 a 12

a 21 a 22

0,≠=

x1

b 1 a12

b 2 a22

a11 a 12

a21 a 22

---------------------------------= x2

a 11 b 1

a 21 b 2

a11 a12

a21 a22

---------------------------------.=

La notación...

... de determinante fue intro-ducida por A. Cayley en el año 1839.

2x 5y+ 7=

3x 4y– 4= ⎭⎬⎫

.

∆ 2 5

3 4–23 0.≠–= =

x

7 5

4 4–∆

--------------------------4823------= = y

2 7

3 4∆

------------------------1323------.= =

El uso matemático de DD

Es muy habitual designar el de-terminante del sistema con la le-tra griega delta mayúscula (∆).

3kx 8y+ 2=

4x 7y+ 5–= ⎭⎬⎫


El determinantes del sistema es:

Por lo tanto, si:

el determinante es diferente de cero y el sistema es compatible y determinado. En este caso,la solución es:

7.2. Determinantes de tercer orden

En este subapartado consideramos sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas.

La búsqueda de combinaciones adecuadas de las ecuaciones que eliminen una

variable, para encontrarnos en un caso que ya sabemos resolver, lleva a definir

el determinante de orden tres.

Entonces, definimos el determinante de C de la forma siguiente:

(22)

De la definición anterior, sustituyendo los determinantes de segundo orden,

resulta:

(23)

Dada una matriz:

llamamos menor complementario γij de un elemento cij al determinan-

te de segundo orden que se forma con los elementos de C que se obtienen

suprimiendo la fila y la columna correspondientes al elemento dado.

∆ 3k 8

4 721k 32.–= =

k3221------≠

x

2 8

5– 7∆

---------------------------- 5421k 32–-----------------------= = y

3k 2

4 5–∆

----------------------------15k– 8–

21k 32–------------------------.= =

C

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,=

det C

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

c11 γ11 c21γ21– c31γ31+= = =

c11c22 c23

c32 c33

c21c12 c13

c32 c33

– c31c12 c13

c22 c23

.+=

det C c11c22c23 c12c23c31 c13c21c32 –+ +=

c11c23c32– c12c21c33– c12c21c33– c13c22c31,–


lo cual muestra la simetría de la definición respecto a las permutaciones de ín-

dices, y respecto a filas y columnas, por contraposición a (22), donde destaca

especialmente una columna.

La definición (22) o (23), aunque parezca arbitraria, es de hecho consecuencia

de generalizar, al caso 3 × 3, las fórmulas para aislar las incógnitas que hemos

visto para sistemas 2 × 2.

La regla (23) para calcular un determinante de tercer orden recibe el nombre

de regla de Sarrus y puede ser ilustrada así:

Ejemplo 19

Calculemos el determinante siguiente:

Solución

7.3. Determinantes de orden n

Podemos generalizar los determinantes para un orden n cualquiera. Dada una

matriz n × n:

Definiremos el det A por la fórmula siguiente:

(24)

donde la suma se extiende a todas las permutaciones (i1,i2 ..., in) de los índices

(1, 2, ..., n), y el signo corresponde a la paridad de la permutación.

No pretendemos que entendáis con toda claridad la definición anterior, ya

que todavía no hemos estudiado las permutaciones. No insistiremos, de este

Ved los apartados 7.1 y 7.3 de este mismo módulo didáctico.

∆1 4 3–

3 2– 1

4 1– 5

.=

∆ 1 2–( ) 5 3 1–( ) 3–( ) 1 4 4 4 2–( ) 3–( )– 1 1–( ) 1 3 4 5⋅ ⋅–⋅–⋅ ⋅+ + 68.–= =

a11 a12 … a 1n

a21 a22 … a 2n

an 1 an2 … anm⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

det A 1–( )σa1i1a2i2

… aninσ∑=


modo, sobre esta fórmula. Únicamente la aplicaremos al caso n = 3 para ver

cómo actúa.

Las permutaciones de (1, 2, 3) son:

donde hemos puesto la paridad como subíndice. La paridad de una permuta-

ción es positiva cuando el número de transposiciones o permutaciones de 2

índices que es necesario hacer para llegar a la permutación (1, 2, 3) es par, y

negativa si es impar. De este modo, la fórmula (24) aplicada a los determinan-

tes de orden 3 dará:

que es idéntica a la fórmula (23) dada por la regla de Sarrus.

Las propiedades que ahora daremos de los determinantes son válidas para los

determinantes de cualquier orden. Las demostraciones de estas propiedades,

hechas a partir de la definición (24), son un poco técnicas y no las ponemos

en el texto para no alargarlo innecesariamente. Podéis consultarlas en la bi-

bliografía.

7.3.1. Propiedades de los determinantes

1) Desarrollo por una fila (o columna): adjunto. El valor de un determinan-

te es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila

(o columna) cualquiera, por los menores complementarios correspondientes

afectados de un signo que depende de la posición que ocupe el elemento, se-

gún la regla de signos siguiente:

El signo correspondiente a la posición (i, j) es (–1)i+j. La expresión resultante

equivale a “desarrollar el determinante por los elementos de la fila (o colum-

na) correspondiente”. De este modo, (22) no es más que la expresión del de-

terminante de orden 3 desarrollado por la primera columna.

1 2 3, ,( )+ 1 3 2, ,( )– 2 1 3, ,( )– 2 3 1, ,( ) + , 3 1 2, ,( ) + , 3 2 1, ,( )–, , ,

det A a 11a 22a23 a11a23a 32– a 12a21a33– +=

a12a23a31 a13a 21a32– a13a22a31 ,–+

+ – + …– + – …+ – + …

.

... ... ...


Llamamos adjunto Cij de un elemento cij a su menor complementario dota-

do del signo que le corresponde en el anterior esquema de signos. Para cual-

quier índice de fila (o columna) i, tenemos:

Esta propiedad es muy útil para calcular efectivamente los determinantes, ya

que permite reducir el cálculo de un determinante de orden n al cálculo de de-

terminantes de orden n–1.

2) Transponer. El valor del determinante de una matriz es igual a la de su

transpuesta, es decir, no se altera al intercambiar filas y columnas:

3) Permutar filas o columnas. Al intercambiar entre sí dos filas o bien dos co-

lumnas el valor de un determinante cambia de signo.

Por ejemplo, si intercambiamos la columna i por la j obtenemos:

4) Filas o columnas iguales. Un determinante que tenga dos filas (o colum-

nas) iguales vale 0:

5) Suma de determinantes parecidos. La suma de dos determinantes que ten-

gan las filas (o las columnas) comunes excepto una es igual al determinante que

det C ci1C i1 ci2C i2 … cinC in+ + + c1 iC1i c2 iC2i … cniCni.+ + += =

c11 c12 … c1n

c21 c22 … c2n

cn1 cn2 … cnn

c11 c21 … cn1

c12 c22 … cn2

c1n c2 n … cn n

.=

... ...

... ...

...

...

c11 … c1 i … c1j … c1n

c21 … c2 i … c2j … c2n

cn1 … cni … cnj … cnn

=

... ...

... ...

c11 … c1 j … c1i … c1n

c21 … c2 j … c2i … c2n

cn1 … cn j … cni … cnn

.–=

... ...

... ...

c11 … c1i … c1i … c1n

c21 … c2i … c2i … c2n

cn 1 … cni … cni … cnn

0.=

... ... ... ...


se obtiene con las filas (o columnas) comunes y la fila (o columna) no común

formada por la suma de los elementos correspondientes de los determinantes

que sumamos:

6) Multiplicación de una fila o columna por un escalar. Si multiplicamos

todos los elementos de una fila o columna por un escalar, el determinante

queda multiplicado por el mismo número:

No debemos confundir la operación de multiplicar una fila de la matriz por un

escalar con la operación de multiplicar la matriz por un escalar introducida en

el apartado 4 de este módulo didáctico. Allí todos los elementos de la matriz

quedaban multiplicados por el escalar.

Teniendo en cuenta esto (utilizando esta propiedad para cada una de las n filas

o bien n columnas de A) resultará:

7) Añadir una fila (o una columna) multiplicada por un escalar a una pa-

ralela. Un determinante no varía si añadimos a una fila (o una columna) los

elementos de una paralela multiplicados por una misma constante:

8) Elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de una paralela. La

suma de los elementos de una fila (o una columna) por los adjuntos de una

paralela vale 0:

a11 a12 … a1 n

c21 c22 … c2n

cn1 cn2 … cn n

a 11′ a12′ … a1 n′

c21 c22 … c2n

cn1 cn2 … cn n

+ =

... ... ...

...

... ...

a11 a′11+ a12 a′12+ … a1 n a′1n+

c21 c22 … c2 n

cn 1 cn2 … cnn

.=

... ... ...

λc11 λc12 … λc1n

c21 c22 … c2 n

cn1 cn 2 … cnn

λ

c11 c12 … c1 n

c21 c22 … c2 n

cn1 cn 2 … cnn

.=

... ... ... ... ... ...

det λA( ) λn detA .⋅=

c11 c12 … c1 n λc1j+

c21 c22 … c2 n λc2j+

cn1 cn 2 … cnn λcnj+

c11 c12 … c1n

c21 c22 … c2n

cn1 cn2 … cnn

si j n.≠=

...

... ... ... ... ...

ai1A j1 a i2A j2 … ain A jn+ + + 0 si i j.≠=


9) Determinante de un producto de matrices cuadradas. El determinante

de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada

matriz:

Las propiedades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 que acabamos de enunciar permiten

calcular determinantes sin necesidad de desarrollarlos por la fórmula (24).

Para calcular un determinante podemos ir reduciendo a ceros los elementos de

una fila, como hacíamos en el método de Gauss, ya que la propiedad 7 nos au-

toriza a hacerlo, y después utilizar 1 para desarrollar por aquella fila.

Ejemplo 20

Ved cómo calcular el determinante siguiente:

Para reducir a cero los elementos de la primera columna:

– Multiplicamos la primera fila por 3 y la restamos de la segunda.

– Multiplicamos la primera fila por 2 y la restamos de la tercera.

El resultado es:

Ahora, desarrollándolo por la primera columna, resulta:

Este método es mucho más eficiente para calcular determinantes que (23). La

utilidad de las fórmulas (24) o (23) es más teórica que práctica. Sirve para de-

mostrar resultados u obtener expresiones compactas, pero se utiliza poco para

calcular efectivamente determinantes.

Las propiedades mencionadas también nos permiten asegurar que cierto de-

terminante es cero sin necesidad de desarrollarlo.

Ejemplo 21

Probemos que:

Solución: en efecto, teniendo en cuenta que la tercera columna es la suma de las dos prime-ras, y utilizando primero la propiedad (7) y después la (5) obtenemos que el resultado es 0,

porque se trata de la suma de dos determinantes nulos (es decir, que valen 0).

det A B⋅( ) det A det B⋅=

∆1 2– 4

3 5– 1

2 7 2

.=

∆1 2– 4

0 1 11–

0 11 6–

.=

∆ 1 11–

11 6–6– 121+ 115.= = =

∆1 2– 1–

3 5– 2–

2 7 9

0.= =


7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n

Consideremos ahora un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

Multiplicando la ecuación i por el adjunto Ai1 y sumando por todo i resulta:

Para la propiedad 1 el primer paréntesis vale det A, mientras que para la 8,

los restantes paréntesis valen 0. Por lo tanto, la expresión anterior queda

reducida a:

Podemos repetir el cálculo anterior con los adjuntos de las columnas segunda,

tercera, ..., i-ésima, respectivamente, y si:

(25)

obtenemos las fórmulas de Cramer, también, para las demás variables:

(26)

donde:

a11x1 a12x2 … a1nxn+ + + b1=

a21x1 a22x2 … a2nxn+ + + b2=

an 1x1 an 2x2 … annxn+ + + b n= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.... ... ... ...

a 11A11 a 21A21 … a n1An 1+ + +( )x1 +

a12A 11 a22A 21 … a n2An1+ + +( )x2 …+ + +

a 1nA11 a2 nA21 … annAn1+ + +( )xn+ =

b 1A11 b2A 21 … b nAn1 .+ + +=

x1det A

b1 a12 … a1 n

b2 a22 … a2 n

bn a n2 … a nn

.=

... ... ...

det A 0≠

xi∆i

∆-----=

∆i

a11 … a1 i 1–, b1 a1 i 1+, … a 1n

a21 … a2 i 1–, b2 a2 i 1+, … a 2n

a n1 … a n i 1–, bn a n i 1+, … ann

=

... ... ... ... ...


(27)

Observad que:

a) El determinante ∆i se obtiene cambiando la columna i de ∆ por la columna

de términos independientes.

b) La condición para que el sistema sea compatible y determinado se expresa

en (25).

Veamos un ejemplo de sistema 3 × 3.

Ejemplo 22

Utilicemos la regla de Cramer para discutir y resolver el sistema siguiente:


y, en consecuencia, el sistema es compatible y determinado. Para calcular las variables ten-dremos:

Veamos un ejemplo 4 × 4:

Ejemplo 23

Resolvamos por Cramer el sistema siguiente 4 × 4:

∆

a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2 n

an1 an2 … ann

=

... ... ...

x 2y z–+ 1=

5x– 4y 3z+ + 5=

2x y 2z+ + 6= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

∆1 2 1–

5– 4 3

2 1 2

1 4 2 5–( ) 1 1–( ) 2 3 2 2 4 1–( ) –⋅ ⋅–⋅ ⋅+⋅ ⋅+⋅ ⋅= =

2 5–( ) 2 1 3 1⋅ ⋅–⋅ ⋅– 50 0≠=

x 150------

1 2 1–

5 4 3

6 1 2

4050------ 4

5---= = =

y1

50------

1 1 1–

5– 5 3

2 6 2

4850------

2425------= = =

z1

50------

1 2 1

5– 4 5

2 1 6

8650------

4325------.= = =

x y 3z 2 t–+ + 3=

2x 4y– 7z 2 t+ + 1–=

3x 2y– 9z t–+ 6=

x 3y z– t–+ 0= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.



Empleando como pivote el elemento de la primera fila y la primera columna, reducimos a

cero la primera columna:

Ahora podemos añadir la tercera columna a la primera, utilizando nuevamente la séptimapropiedad de los determinantes.

Obtenemos:

El sistema es de Cramer, y podemos calcular los determinantes ∆1, ∆2, ∆3 y ∆4, que nos deter-minarán x, y, z, t. De este modo:

lo cual permite obtener x:

Procediendo de forma similar, obtenemos:

Finalmente,

Como puede comprobarse, habría resultado mucho más corto hacer los cálculos con el mé-todo de Gauss.

Hemos visto que la teoría de los determinantes permite una formulación com-

pacta para resolver los sistemas n × n . Pero el precio que se paga por este mé-

todo es bastante elevado, ya que para resolver efectivamente un sistema es

mucho menos eficiente que el método de Gauss.

∆

1 1 3 2–

2 4– 7 2

3 2– 9 1–

1 3 1– 1–

.=

∆

1 1 3 2–

0 6– 1 6

0

0

5–

2

0 5

4– 1

6– 1 6

5– 0 5

2 4– 1

.= =

∆0 1 6

0 0 5

3 4– 1

3 5⋅ 15 0.≠= = =

∆1

3 1 3 2–

1– 4– 7 2

6 2– 9 1–

0 3 1– 1–

0 11– 24 4

1– 4– 7 2

0 26– 51 11

0 3 1– 1–

= = =

11– 24 4

26– 51 11

3 1– 1–

61 24 20–

127 51 40–

0 1– 0

= = =

61 20–

127 40–100,= =

x10015----------

203------.= =

∆2 80, ∆3– 51 y ∆4– 89.–= = =

y163------, z–

175------, t–

8915------.–= = =


Podemos afirmar que los determinantes tienen un papel teórico y permiten

sistematizar los resultados, mientras que en el momento de resolver sistemas

concretos, el método eficiente y recomendado con carácter general es el mé-

todo de Gauss.

Incluso cuando debemos calcular un determinante, lo hacemos reduciendo a

cero filas o columnas por el método de añadir a una fila (o columna) otra fila

u otra columna multiplicada por una constante (propiedad 7), y repitiendo la

operación tantas veces como sea necesario, sin utilizar directamente las defi-

niciones. En definitiva, el procedimiento de cálculo regresa nuevamente al

método de Gauss.

Los determinantes permiten también obtener una definición alternativa a la

que ya hemos visto del rango de una matriz.

Con la definición de menor podemos enunciar el teorema siguiente.

Para utilizar este teorema debemos encontrar un menor no nulo de orden tan

grande como seamos capaces, algo que nos indicará que los vectores de la fila

implicados son linealmente independientes. A continuación, vamos amplián-

dolo con una fila y una columna, de modo que el nuevo determinante menor

continúe siendo diferente de cero. Cuando todos los menores orlados del dado

sean nulos, habremos determinado el rango.

Veamos, de este modo, la utilidad teórica de los determinantes ante la poten-

cia práctica del método de Gauss. Los determinantes son un complemento ne-

cesario para discutir y sistematizar el estudio de los sistemas de ecuaciones,

pero para calcular las soluciones utilizaremos el método de Gauss.

Llamamos determinante menor de orden ss de una matriz a todo de-

terminante formado por s filas y s columnas extraídas de la matriz dada.

Si la matriz tiene m filas y n columnas, el menor de orden máximo que

podemos formar será de orden igual al menor de los dos números m, n .

Teorema 5

El rango de una matriz es igual al orden del menor de orden máximo

diferente de cero.

Dada la simetría entre filas y columnas en un determinante, se deduce

fácilmente que en una matriz n × m, el número de filas y el de columnas

linealmente independientes es el mismo.


Actividades

23. Utilizando determinantes, ved qué podemos decir a propósito de un sistema homo-géneo de n ecuaciones y n incógnitas:

(28)

a) ¿Cuál es la condición para que el sistema tenga soluciones no triviales?

b) En el caso de que tenga, y que ésta tenga a su vez 1 grado de libertad, ¿qué expresiónpodemos dar para la solución?

24. ¿Para qué valores de λ el sistema homogéneo siguiente tiene soluciones no triviales?En estos casos, encontradlas.

25. Determinad λ para que el sistema siguiente sea compatible:

26. Discutid las soluciones del sistema siguiente, según los valores del parámetro λ:

27. Determinad λ para que el sistema tenga soluciones no triviales, y dad las solucionescorrespondientes en forma de vectores-columna.

28.a) Demostrad que:

b) Generalizando el método anterior, calculad el determinante siguiente, conocidocomo determinante de Vandermonde:

a11 x1 a12x2 … a 1nxn+ + + 0=

a21 x1 a22x2 … a 2nxn+ + + 0=

a n1 x1 an2 x2 … ann xn+ + + 0= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.

... ... ...

20– λ–( ) x 9y 5z–+ 0=

51x– 23 λ–( )y 12 z–+ 0=

3x y– 2 λ–( )z+ 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

2x 3y– z– 2=

x 2y 3z–+ 4=

x 2y z–+ 3=

λ x 2y– 2z+ 1= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

.

λx y z+ + 1=

x λ y z+ + λ=

x y λ z+ + λ 2= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

λx y z+ + 0=

3x λ y 2z–+ 0=

2x 4y z+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫.

1 x x2

1 y y2

1 z z2

x y–( ) y z–( ) z x–( ).=

1 x1 x12 … x1

n 1–

1 x2 x22 … x2

n 1–

1 xn xn2 … xn

n 1–

.

... ... ... ...

Determinantede Vandermonde

Determinante que tiene unos en la primera fila, mientras que la segunda fila es arbitraria y las siguientes están formadas por las potencias sucesivas de los elementos de la segunda fila. Lo mismo se puede aplicar en lo que respecta a las columnas.


29. Calculad este determinante:

a 11 a12 a13 … a1 n

0 a22 a 23 … a2 n

0 0 a33 … a3n

0 0 0 … an n

.

... ... ... ...


8. Matriz inversa

Teniendo en cuenta que el determinante de un producto de matrices es igual

al producto de los determinantes y que el determinante de I es 1, para que A

tenga inversa es necesario que:

det A ≠ 0. (29)

Esta condición es también suficiente a partir de la primera y la octava propie-

dad de los determinantes. Si se cumple (29), la matriz siguiente:

(30)

formada por los adjuntos de los elementos (transpuestos) divididos por el de-

terminante es inversa de A .

En efecto, si multiplicamos esta matriz por A, los elementos diagonales de la

matriz del producto corresponderán a la suma de productos de los elementos

de una fila por los adjuntos de la misma fila y divididos por det A que, por la

propiedad 1 de los determinantes, es 1.

En cambio, los elementos no diagonales corresponderán a la suma de produc-

tos de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela que, por la

propiedad 8 de los determinantes, es cero. Así pues, la condición necesaria y

suficiente para que A tenga inversa es (29).

La fórmula (39) de la matriz inversa tiene, como siempre, más utilidad teórica

que práctica, ya que resulta muy costoso hacer el cálculo de la inversa a partir

de ésta. Podemos emplear también el método de Gauss.

El método de Gauss nos permite resolver simultáneamente diferentes sistemas

considerando la matriz ampliada con una columna para cada segundo miem-

Diremos que la matriz cuadrada A tiene inversa si hay una matriz, que

denotaremos como A–1, la cual verifica:

A A 1–⋅ A 1– A I.=⋅=

Recordad la novena propiedad de los determinantes

A 1– 1det A---------------

A 11 A 21 … An1

A 12 A 22 … An2

A1n A 2n … Ann⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

... ... ...


bro. Aplicamos el método de Gauss tomando como segundos miembros los

vectores columna:

los cuales, puestos como columnas de la matriz ampliada, forman la matriz

identidad. El sistema será ahora:

o, en forma de matrices:

(31)

y la solución será precisamente X = A−1.

La matriz ampliada del sistema será:

Primero, la reducimos por el método de Gauss a forma triangular. A continua-

ción, dividimos las filas por los elementos diagonales que han quedado, a fin

de convertirlos en unos. Finalmente, reducimos a cero también los elementos

del triángulo superior empleando el método de Gauss de abajo a arriba y to-

mando como pivotes los unos de la diagonal principal. El resultado será:

lo cual nos dará la matriz inversa X.

Ejemplo 24

Queremos encontrar la matriz inversa de A, donde:

1

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,

0

1

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

, …,

0

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

... ... ...

a11 … a 1n

an1 … ann⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x11 … x1n

xn1 … x nn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅1 … 0

0 … 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=... ... ... ... ...

...A X I=⋅

a11 … a1n

an1 … ann

1 … 0

0 … 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.... ... ... ...

1 … 0

0 … 1

x11 … x1 n

xn1 … xnn⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,... ...

... ...

A

1 1 1

5 4 5

2 1– 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=


Para encontrarla, escribimos la matriz ampliada siguiente:

la cual reducimos por el método de Gauss. En la primera triangulación obtenemos:

Podemos continuar su reducción multiplicando la tercera fila por –1 y la segunda tambiénpor –1 para llenar de unos la diagonal principal. Finalmente, reduciremos a cero la parte su-perior de la matriz del sistema. El resultado será:

La matriz inversa es, por lo tanto:

Vemos así que el coste de encontrar la inversa de una matriz n × n por el mé-

todo de Gauss es resolver simultáneamente n sistemas por Gauss con la propia

matriz del sistema, que es muy inferior a n veces el coste de resolver un siste-

ma; esto se debe a que, para cada sistema, únicamente debemos añadir los cál-

culos relativos a la columna correspondiente de la matriz ampliada.

Si hemos calculado la matriz inversa de A, tenemos automáticamente la solu-

ción de cualquier sistema de la forma

A · x = b

ya que multiplicando esta ecuación por A−1 por la izquierda obtenemos lo si-

guiente:

x = A−1 · b

Actividades

30. Calculad, si la hay, la inversa de la matriz siguiente por el método de Gauss:

31.

a) Calculad la matriz inversa de:

1 1 1

5 4 5

2 1– 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 1 1

0 1– 0

0 0 1–

1 0 0

5– 1 0

13 3– 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 2– 1

5 1– 0

13– 3 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

9 2– 1

5 1– 0

13– 3 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

1 2– 4

2 5 3–

3– 1 4⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

αcos senα–

senα αcos⎝ ⎠⎛ ⎞ .


b) Comprobad que A · At = At · A = I.

c) Las matrices que verifican la propiedad anterior reciben el nombre de ortogonales. ¿Esposible conseguir que la matriz siguiente sea ortogonal eligiendo a, b y c de forma adecuada?

3 5⁄ 4 13⁄– a

4 5⁄ 3 13⁄ b

0 12 13⁄ c⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.


Resumen

Hemos visto que, para resolver efectivamente sistemas de ecuaciones lineales,

el método de eliminación de Gauss es el más adecuado. Permite transformar-

los en forma escalonada con un mínimo de operaciones.

Por otro lado, la teoría de los determinantes permite una formulación teórica más

directa, pero los cálculos son mucho más complicados. Para un sistema n × n de-

terminado, las fórmulas de Cramer nos dan una expresión directa de las solucio-

nes. A pesar de ello, en el momento de calcular determinantes también utilizamos

el método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones nos llevan, de forma natural, a introducir el con-

cepto de matriz y sus operaciones, reconociendo en ellas las estructuras de ani-

llo y de espacio vectorial.

El estudio de los espacios vectoriales aplicado a los sistemas de ecuaciones nos

permite introducir el concepto de rango de una matriz, y a partir de esto el teo-

rema de Rouché-Fröbenius da la clave para saber si un sistema es compatible

o no, y si lo es, cuántos grados de libertad tiene la solución general.

Los determinantes resultan también útiles para saber si una matriz tiene inver-

sa, y hemos llegado a la conclusión de que, para ello, es necesario únicamente

que su determinante sea diferente de cero.


Ejercicios de autoevaluación

1. Resolved los sistemas de ecuaciones siguientes:

2. Discutid el sistema siguiente según el valor del parámetro m. Resolvedlo por los valores dem que hacen que sea compatible:

3. Discutid este sistema según los valores de a y b:

4. Consideremos los vectores v1 = (1, 2, 0, –1), v2 = (2, –1, 1, 3), v3= (–1, 3, –2, 2) y v4 = (4, 3, 0, 7).

a) ¿Son linealmente independientes? Escribid esta condición en términos de determinantes.b) Determinad el rango de {v1, v2, v3, v4} y dad una base del subespacio que generan.

c) Sustituid los vectores convenientes de la base canónica {u1, u2, u3, u4} por los vectores

encontrados en el apartado anterior para formar una nueva base de E 4.

d) Expresad los vectores {v1, v2, v3, v4} en la nueva base, y determinad sus componentes

en esta nueva base.

5. Encontrad la inversa de la matriz siguiente:

6. Dada la matriz

3x y 2z+ + 19=

x 2y 3z+ + 27=

4x 2y 5z+ + 42= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

3x y 2z+ + 19=

x 2y 3z+ + 27=

4x 3y 5z+ + 42= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

3x y 2z+ + 19=

x 2y 3z+ + 27=

4x 3y 5z+ + 46= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

3x y 2z+ + 0=

x 2y 3z+ + 0=

4x 2y 5z+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

3x y 2z+ + 0=

x 2y 3z+ + 0=

4x 3y 5z+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x– mz+ m=

x y 3z+ + 5=

2x my+ + 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

a x by z+ + 1=

x aby z+ + b=

x b y a z+ + 1= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

A 15---

9 2– 4–

1 2 1–

12– 1 7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

A2 1–

4 2–⎝ ⎠⎛ ⎞=


encontrad matrices B y C que cumplan A · B = C · A = 0 . ¿Hay alguna matriz D diferente de0 tal que A · D = D · A = 0?

7. Lo mismo que en el ejercicio anterior, suponiendo que ahora A es tal que det(A)≠0.

8. Una empresa tiene dos centros de producción, uno en Lérida y otro en Mataró. En cadauno de los centros se han hecho las compras siguientes:• En Lérida se han comprado 1 tonelada de tinta, 2 toneladas de papel, 3 toneladas de

disolvente y 5 toneladas de madera.• En Mataró se han comprado 2 toneladas de tinta, 6 toneladas de papel, 4 toneladas de di-

solvente y 3 toneladas de madera. Sabiendo que los precios para cada artículo son: tinta 3

u.m. (unidades monetarias), papel 2 u.m., disolvente 5 u.m. y madera 2 u.m.

a)Disponed esta información en dos matrices A y B de forma que A · B nos dé la cantidadtotal que han gastado cada uno de los centros de producción.b) Encontrad otra matriz C, tal que operando convenientemente las tres matrices obtenga-mos el total gastado entre los dos centrosc)Encontrad una matriz H que, operada convenientemente, nos dé la cantidad total decada producto que han comprado entre los dos centros (es decir: 3 toneladas de tinta, 8toneladas de papel...).d)Al cabo de unos cuantos días, una vez agotado todo el material, deciden volver a hacerla misma compra (los mismos productos y las mismas cantidades), pero el vector de pre-cios es ahora (4, 2, 6, 7). Disponed esta información en dos matrices D y E de forma queD · E nos dé por columnas las cantidades totales que han gastado los centros en cada unade las compras que han hecho.e)¿Cómo podemos encontrar la cantidad gastada entre los dos en cada una de las compras?f)¿Cómo encontramos la cantidad total gastada entre los dos?

9. Disponemos de tres aleaciones A, B y C, cuya composición aparece en la tabla siguiente:

Mezclando las tres aleaciones podemos obtener diferentes productos con varias proporcio-nes de plata, cobre y oro.

a) Encontrad una matriz tal que, multiplicándola por los kilogramos de A, de B y de C quemezclemos, nos proporcione los kilogramos de plata, cobre y oro que hay en la mezcla fi-nal. ¿Cuál es la suma de cada una de sus columnas?b) Mezclando 50 kilogramos de A, 20 de B y 20 de C, cuántos kilogramos de plata, cobre y orohabrá en la mezcla resultante? ¿Cuál será la proporción de plata, cobre y oro en la mezcla final?c) Mezclando 0,5 kilogramos de A, 0,2 de B y 0,3 de C, ¿cuántos kilogramos de plata, cobre yoro habrá en la mezcla resultante? ¿Cuál será la proporción de plata, cobre y oro en la mezcla

final?d) ¿Podemos obtener una mezcla con el 20% de plata y el 80% de oro? ¿Qué interpretaciónde la solución podemos dar cuando alguna incógnita toma valor negativo?e) ¿Podemos obtener una mezcla con el 11,5% de plata, el 30,5% de cobre y el 58% de oro?

10. Supongamos que las composiciones de las aleaciones del ejercicio anterior son:

a) ¿Podemos obtener una mezcla con el 20% de plata y el 80% de oro?b) ¿Podemos obtener una mezcla con el 11% de plata, el 27% de cobre y un 62% de oro?Si hay diferentes posibilidades, de las que tienen valores positivos para las tres variables,

¿cuál tiene una proporción menor de plata? ¿Cuál tiene una proporción mayor?

A B C

Plata 5% 10% 15%

Cobre 15% 25% 40%

Oro 80% 65% 45%

A B C

Plata 5% 10% 15%

Cobre 15% 25% 35%

Oro 80% 65% 50%


11. Se mezclan tres aleaciones A, B, C de las características siguientes:

para obtener una mezcla que tenga el 12% de plata, n% de cobre y el resto de oro. Planteadel sistema correspondiente y discutidlo según el valor de los parámetros m y n. Resolvedlocuando sea posible.

A B C

Plata 5% 10% 15%

Cobre 15% 25% m %

Oro 80% 65% 85 − m%


Solucionario

Actividades

1. Tenemos que:

Así pues, efectivamente, A · B ≠ B · A.

2.

3. Como es habitual, escribiremos (A)ij = aij y ( B)jk= bjk donde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n y 1 ≤ k ≤ m´.

También tendremos, por definición de la matriz transpuesta, que (At)ij = aji y (Bt)i j = bji.

Si consideramos ahora la matriz (A · B)t, tenemos que ((A · B)t)ij = (A · B)ji =

Sin embargo:

con lo cual ((A · B)t)ij = (Bt · A t)i j y las matrices (A·B)t y Bt·At son iguales.

4. Tenemos:

y

Por lo tanto, los dos productos se pueden calcular. Observemos que, por las propiedadesde la matriz transpuesta:

y, por lo tanto, B1 es simétrica. Comprobad que B2 también es simétrica.

5.

6.

A B⋅ 2

1–

5

3⎝ ⎠⎛ ⎞ 3

4

1–

8 ⎝ ⎠⎛ ⎞ 26

9

38

25⎝ ⎠⎛ ⎞ .= =

B A⋅ 3

4

1–

8 ⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

1–

5

3 ⎝ ⎠⎛ ⎞ 7

0

12

44⎝ ⎠⎛ ⎞ .= =

2A3

5A2

4A 3 I+ +– 526 194–

97– 41⎝ ⎠⎛ ⎞=

AtA

7

2–

1–

2 ⎝ ⎠⎛ ⎞ 7

1–

2–

2 ⎝ ⎠⎛ ⎞ 50

16–

16–

8 ⎝ ⎠⎛ ⎞ .= =

ajk bk i.k 1=

n∑

BtA

t( ) ij Bt( ) ik

k 1=

n∑ At( )k j bk ia jk

k 1=

n∑ aj kbk i.k 1=

n∑= = =

At

· At

= B1

6 4× 4 6× 6 6×A · A

t= B 2

4 6× 6 4× 4 4×

B 1t

AtA( )

tA

tA( ) t( )

tA

tA B1= = = =

a b

c d⎝ ⎠⎛ ⎞ 1

a d b c–( )-----------------------

d b–

c– a⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞ 1

ad bc–( )-----------------------

a b

c d⎝ ⎠⎛ ⎞ d b–

c– a⎝ ⎠⎛ ⎞= =

1a d bc–( )-----------------------

a d b c– 0

0 a d b c–⎝ ⎠⎛ ⎞=

1 0

0 1⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

x y 1( )

a11 a12 a1

a12 a22 a2

a1 a 2 a⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x

y

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

x y 1( )a11 x a 12y a 1+ +

a12 x a 22y a 2+ +

a1 x a2y a+ +⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= =

a11 x2

2a12 xy a 22 y2

2a1 x 2a 2y a .+ + + + +=


Así, pues, la matriz A es simétrica.

7. Recordemos que ((AB)C)ij se obtiene haciendo el producto de la fila i de la matriz (AB) por

la columna j de C y, por lo tanto, podemos escribir:

Pero cada uno de los elementos de A · B se obtiene haciendo:

sustituyendo los (AB)im por sus valores tenemos:

Haciendo los productos y reorganizando los sumatorios (lo cual puede hacerse por la pro-piedad distributiva del producto respecto a la suma), obtenemos:

8.a) La ecuación λ1e1 + λ1e1 = 0 se escribe:

que, en componentes, lleva al sistema:

La única solución de este sistema es λ1 = λ2 = 0. En consecuencia, e1 y e2 son linealmenteindependientes.

b) Siguiendo el método de la proposición 2 y el teorema de Steinitz, a partir de la base ca-

nónica { u1,u2,u3} empezamos por sustituir u1 por e1. Esto es factible, ya que el componen-te de e1 según u1 en la base canónica es 2 ≠ 0. Tenemos:

y así:

Por lo tanto, {e1,u2, u3} forman una base de E3.Un vector arbitrario v = (v1, v2 , v3) se expresará así en la nueva base:

Podemos continuar la sustitución de vectores de la base canónica. Expresamos e2 en la

base anterior {e1,u2,u3}. Tendremos:

AB( )C( ) ij AB( ) i1C1 j ... AB( ) inCnj+ + A B( ) imCm j.m 1=

n∑= =

A B( ) im ai1 b1m= ai2 b2m ... aim bnm+ + + aikbk m ;k 1=

n∑=

AB( )C( ) ij AB( ) imCm jm 1=

n∑ aikb kmk 1=

n∑⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

m 1=

n∑ cm j .= =

AB( )C( ) ij aikbkm cm jk 1=

n∑⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

m 1=

n∑ aik bkm cm jm 1=

n∑⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

k 1=

n∑= = =

aik B C( ) k j A B C( )( ) ij= .k 1=

n∑=

λ1 2 ,0 , 3–( ) λ2+ 1– ,3 ,5( ) 0=

2λ1 λ2+ 0=

3λ2 0=

3λ1– 5λ2+ 0=

e1 2u1 3u 3–=

u 112---= e1

32---u 3.+

v v1 u1= v 2 u2 v 3u3+ + v 1=12---e1

32---u3+⎝ ⎠

⎛ ⎞ v 2 u2 v 3u 3+ + =

12---= v1 e1 v 2u 2

32---v1 v3+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + u3 .


El componente según u2 es 3 ≠ 0, y de este modo puede sustituir a u2:

Ahora podemos expresar v en la nueva base {e1,e2,u3}:

c) Es la fórmula obtenida en el apartado anterior.d) Utilizando la expresión anterior y aplicándola a u1 = (1,0,0) y a u2 = (0,1,0), resulta:

9.a) El segundo vector debe pertenecer al subespacio generado por {e1,e2}. Por lo tanto, debeser combinación lineal:

Si el primer componente de debe ser 0, resulta 2λ − µ = 0, que, sustituyendo en la ex-presión anterior de , da:

y si queremos podemos elegir λ = 1, obteniendo = (0, 6, 7)

b)

10.

a) Se toman dos elementos del conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3: –3x + 2y + z = 0}:(u1,u2 ,u3) y(v1,v2 ,v3).• Debemos comprobar si se verifica que (u1,u2 ,u3) + (v1 ,v2,v3) = (u1 + v1, u2 + u3+v3) ∈ A.

Para ello, es necesario que veamos que:

Efectivamente:

• Debemos comprobar si k (u1, u2, u3) ∈ A. Para ello es necesario ver que –3ku1 + 2ku2 + ku3 = 0.

Efectivamente:

b) Se toman dos elementos del conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3: 5x + 2y – 7z = 3}: (u1, u2, u3) y(v1, v2, v3).• Debemos comprobar si se verifica que (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v 3) ∈ B . Para ello, es necesario

ver que:

e212---= 1–( )e1 3u 2

32--- 1–( ) 5+⎝ ⎠

⎛ ⎞ u3+ +12---e1 3u2

72---+ + u3 .–=

u 216---e1=

13---e2

76---u 3.–+

v 12---= v 1e1 v 2 u2

32---v 1 v 3+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + u3 =

12---v 1e1= v 2+ 1

6---e1

13---e2

76---u3–+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 32---v 1 v 3+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ u3 =

12---v 1

16---v 2+⎝ ⎠

⎛ ⎞= e113---v2 e2+

32---v 1

76---v 2– v 3+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ u3 .

u 112---e1= 3

2---u 3+

u216---e1

13---e2

17---u3 .–+=

e′2 λ e1= µe2+ λ 2, 0, 3–( )= µ 1, 3, 5–( ).+

e′2

e′2

e ′2 λ 2, 0, 3–( )= 2λ+ 1– , 3, 5( ) λ 0, 6, 7( )=

e′2

e21µ--- e2′ λe1–( ) 1

2---e1–

12---e2′ .+= =

v′2

3– u1 v1+( ) 2+ u2 v 2+( ) u 3 v3++ 0.=

3u1– 2u+ 2 u3 3v 1– 2v 2 v3+ + + 0 porque= 3u1 2u2 u3+ + 0 y=– 3– v 1 2v2 v 3+ + 0=

3ku1– 2ku 2 ku3+ + k 3u1– 2u 2 u3+ +( ) 0.= =


Pero tenemos que:

por lo tanto, el conjunto B no es un subespacio vectorial de R3.

c) Se toman dos elementos del conjunto C = {( x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0}: (u1 , u2, u3) y (v1 , v2, v3).• Debemos comprobar si se verifica que ( u1 + v 1, u2 + v 2u3 + v3) ∈ C. Para ello, es necesario

ver que:

Efectivamente, si u1 ≥ 0 y v1 ≥ 0 entonces (u1+v1) ≥ 0.

• Debemos comprobar si k(u1,u2 ,u3) ∈ C.

Siendo u1 ≥ 0, no necesariamente tenemos que ku1 ≥ 0 por cualquier valor de k .

11.a) Se toman dos elementos del conjunto A = {f ∈ F(R,R) : f(1) = k}:f1 y f2.• Queremos ver si f1 + f2 ∈ A. Para ello es necesario que se verifique que (f1 + f2)(1) = k.

Tenemos

Así pues, sólo se verifica en el caso k = 0. Por lo tanto, en general, A no es subespacio vec-torial de F(R,R).

b) Se toman dos elementos del conjunto B = {f ∈ F(R,R) : f(0) = 2f(1)}: f1 y f2.• Queremos ver si f1 + f2 ∈ B . Para ello es necesario que (f1 + f2)(0) = 2(f1 + f2)(1). Efectiva-

mente:

• Queremos comprobar si kf1 ∈ B. Para ello es necesario ver si (kf1)(0) = 2(kf1)(1). Efecti-vamente:

c) Se toman dos elementos del conjunto C = {f ∈ F(R,R) : f(–x) = f2(x)}:f1 y f2.• Queremos ver si f1+f2∈C. Por ello es necesario que (f1+f2)(–x) = (f1+f2)

2 (x).

Tenemos

Por lo tanto, C no es subespacio vectorial de F(R, R).

12.

y, por lo tanto, el sistema tiene como solución única x = 3; y = 2; z = –1. Podemos compro-bar que el resultado es correcto sustituyendo los valores encontrados por las incógnitas encada una de las ecuaciones, con lo que obtenemos:

13. Observad las permutaciones entre las filas y cómo facilitan los cálculos:

5 u1 v1+( ) 2 u2 v 2+( ) 7 u3 v 3+( )–+ 3.=

5u1 2u2 7u3– 5v 1 2v2 7v3–+ + + 3 3+ 6;= =

u1 v 1+( ) 0.≥

f1 f2+( ) 1( ) f1 1( )= f2 1( )+ k k+ 2k .= =

f1 f2+( ) 0( ) f1 0( )= f2 0( )+ 2 f1 1( ) 2 f2 1( )+ 2 f1 f2+( ) 1( ).= =

k f1( ) 0( ) kf1= 0( ) k2 f1 1( ) 2 kf1( ) 1( ).= =

f1 f2+( ) x–( ) f1 x–( )= f2+ x–( ) f12

x( )= f22

x( )+ f1 f2+( )≠2

x( ).

1 1 5 0

2 1– 3 1

3– 4 1– 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1 5 0

0 3– 7– 1

0 7 14 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1 5 0

0 3– 7– 1

0 0 73---–

73---⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

x y 5z+ + 3 2 5+ += 1–( )⋅ 0 (correcto),=

2x y– 3z+ 2 3⋅= 2– 3+ 1–( )⋅ 1 (correcto),=

3x– 4y z–+ 3–( )= 3⋅ 4 2⋅+ 1–( )– 0 (correcto).=


con lo que obtenemos:

14.

15.

que es un sistema incompatible, ya que la última ecuación se ha transformado en0 · x + 0 · y + 0 · z = –2, y esta ecuación no tiene ninguna solución.

16.

5 2 1– 2

1 1– 3 8

2– 3 2 3–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1– 3 8

5 2 1– 2

2– 3 2 3–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1– 3 8

0 7 16– 38–

0 1 8 13⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1 1– 3 8

0 1 8 13

0 7 16– 38–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1– 3 8

0 1 8 13

0 0 72– 129–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

x3124------, y

43---,–== z

4324------.=

1 0 1 1 2

2 1– 1 0 1

1 3 4 7– 11

4– 3 1– 2– 1

2– 2 0 1– 2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 0 1 1– 2

0 1– 1– 2 3–

0 3 3 6– 9

0 3 3 6– 9

0 2 2 3– 6⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

→

1 0 1 1– 2

0 1– 1– 2 3–

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 0 1 0 2

0 1 1 0 3

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→

x 2 z ;–= y 3 z ;–= t 0;=

4 2– 1– 2

3 5 3 2

1 7– 4– 2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 7– 4– 2

3 5 3 2

4 2– 1– 2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1 7– 4– 2

0 26 15 4–

0 26 15 6–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 7– 4– 2

0 26 15 4–

0 0 0 2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

2 2 2 1– 1– 8

0 0 0 1 1 2–

1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 0 3

3 3 3 4 4 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 2–

2 2 2 1– 1– 8

1 1 1 0 0 3

3 3 3 4 4 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

3–

1–

1

1

1

3–

1–

1

1

2–

6

2

2–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

2–

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

3

2–

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞


de donde podemos aislar x1 y x4 en función de las demás incógnitas, obteniendox1 = 3 – x2 – x3, x4 = –2 – x5 (¡comprobadlo!). Observad que todas las soluciones de este

sistema se pueden expresar así:

17.

18.

19. Teniendo en cuenta que todas las ecuaciones son múltiples de la primera, el sistema se

reduce a (1 1 5 | 0), y la solución es x = –y –5z.

20.

Obtenemos x = 0; y = 0; z = 0. Teniendo en cuenta que la única solución de este sistema

homogéneo es lva trivial, diremos que el sistema homogéneo no tiene solución propia.

21.

22. Si x1, ..., xn son soluciones del sistema A · x = 0, querrá decir que A · x1 = 0, ..., A · xn = 0

y, por lo tanto:

Ejercicio Númerode variables

Rangosistema

Rango matriz ampliada Tipo solución Grados

libertad

10 3 3 3 Determinada 0

11 3 3 3 Determinada 0

12 4 3 3 Indeterminada 1

13 3 2 3 Incompatible -

14 5 2 2 Indeterminada 3

x1 , x2 , x3, x4, x5( ) 3 x2– x3,– x2, x3 , 2– x5 x5,–( )= =

3, 0, 0, 0, 2, 0–( )= x2 1– , 1, 0, 0, 0 ( ) x3 1– , 0, 1, 0, 0 ( ) x5 0, 0, 0, 1, 1–( )·.+ + +

2

1–

1–

1–

3

8

3

7

24

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1–

2

1–

3

1–

8

7

3

24

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1–

0

0

3

5

5

7

17

17

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1–

0

0

3

5

0

7

17

0

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→

x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 16–

17–

5⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t .=

1

4

1–

1

7

3–

5

3–

2

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

1

3

2–

5

23–

7

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

1

3

0

5

23–

253------–

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.→ →

1

2

4

1

1

3–

1–

4–

5

1

11

4–

3–

2

4–

1–

0

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

0

1

5–

5–

5–

5

9–

9–

9–

3–

8

8

2

0

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1

0

0

0

1

5–

0

0

5

9–

0

0

3–

8

0

6–

0

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x

y

z

t⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 16–

9–

5

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

s .=→ →

A t1 x1 t2 x2 ... tnx n+ + +( ) A t1 x1 A t2 x2 ... Atn xn+ + += =

t1A x1 t2 Ax2 ... tn Axn+ + += t1 0 t20 ... tn 0+ + + 0 .= =


23.a) En primer lugar, es necesario que el determinante del sistema sea nulo (det A = 0), ya

que, si es diferente de cero, sería determinado y sólo tendría la solución trivial nula.En segundo lugar, si det A = 0, entonces una solución es:

donde A1 j es el adjunto del elemento a1j, ya que en la primera ecuación, al sustituir las x,

tendremos:

y para las otras aparecerá la suma de productos de los elementos de una fila por los adjun-

tos de una paralela que, por la propiedad 8 de los determinantes, es cero.

Puede suceder, sin embargo, que todos estos adjuntos sean 0, lo cual nos indicaría que:

• el rango es inferior a n – 1 y hay más de una indeterminada.• o bien lo debemos probar con los adjuntos de otra fila que no tenga todos los adjuntos

nulos.

24. Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que el determinante del sis-

tema sea cero, a fin de que el rango sea inferior a 3. La condición es, de este modo:

Buscamos soluciones enteras de la ecuación polinómica y obtenemos λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 2,que serán los únicos valores que darán lugar a soluciones no triviales.

• Busquemos las soluciones para λ = 1. El sistema es:

Según la actividad anterior, la solución será:

o bien:

Para λ = 2, el sistema es:

De forma análoga, la solución es:

o bien:

x1 A11 t ,= x2 A12 t ,= xn A1n t=

a11 A11t a12 A12t ... a1n A1n t+ + + t det A 0= =

20– λ–( )51–

3

9

23 λ–1–

5–

12–

2 λ–

λ3– 5λ 2

8λ– 4+ + 0.= =

21x– 9y 5z–+ 0=

51x– 22y 12 z–+ 0=

3x y z+– 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x1

22

1–

12–

1t 10 t, x2

51–

3

12–

1– t 15 t , x3

51–

3

22

1t= = = = 15 t–= =

x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 2

3

3–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t .=

22x– 9y 5z–+ 0=

51x– 21y 12 z–+ 0=

3x y– 0= ⎭⎪⎬⎪⎫

.

x21

1–

12–

0t 12– t , y

51–

3

12–

0– t 36– t, z

51–

3

21

1–t= = = = 12 t–= =

x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

3

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t .=


25. El determinante de la matriz ampliada del sistema es:

por lo tanto, este determinante se anula sólo en el caso de que λ = –2. Podemos observar

que el rango de A es 3, independientemente del valor del número real λ.Observemos que si λ ≠ –2, el rango de la matriz ampliada será 4 y el rango de la matriz del

sistema será, como máximo, 3 (ya que la matriz del sistema sólo tiene tres columnas). Ten-dremos, de este modo, un sistema incompatible.Para el caso λ = –2, sustituimos este valor en el sistema y lo resolvemos siempre (es un sis-

tema “normal”: no hay parámetros, ni lambdas, ni nada). Os daréis cuenta de que es unsistema compatible indeterminado.

26. El determinante de la matriz del sistema es:

• Por lo tanto, si λ ≠ 1 y λ ≠ –2, el rango de la matriz del sistema es 3 y el sistema serácompatible y determinado (el rango de la matriz ampliada no puede ser 4; por lo tanto,

tendrá que ser 3 y coincidirá con el rango de la matriz del sistema y con el número deincógnitas).

• Para λ = 1 el sistema consta de una única ecuación x + y + z = 1, que es, evidentemente,

un sistema compatible indeterminado.• Para λ = –2, aplicándole Gauss obtenemos:

que nos dice que el sistema es incompatible.

27. El determinante de la matriz del sistema es λ2 + 6λ + 5, cuyas raíces son λ = –1 y λ = –5.

Por lo tanto:

• Para λ = –1 (resolviéndolo por Gauss) obtenemos

• Para λ = –5 (resolviéndolo por Gauss) obtenemos

• Para λ diferente de estos valores el sistema (¡es homogéneo!) tiene únicamente la solu-ción trivial.

28.

a) Observad que:• restando a la segunda columna la primera multiplicada por x,• restando a la tercera columna la segunda multiplicada por x,• desarrollando el determinante por la primera columna,• aplicando la propiedad 6 de los determinantes, para extraer del determinante los esca-

lares que multiplican todos los elementos de las filas segunda y tercera,• calculando el determinante de orden 2 que nos queda y arreglando los signos,

obtenemos:

2

1

1

λ

3–

2

2–

2–

1–

3–

1–

2

2

4

3

1

13λ– 26,–=

λ1

1

1

λ1

1

1

λ

λ33λ– 2+ λ 1–( )2 λ 2+( ) .= =

2–

1

1

1

2–

1

1

1

2–

1

2–

4⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

...

1

0

0

2–

3–

0

1

3

0

2–

3–

4⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

,→ →

x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1 2⁄

1 2⁄–

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t.=

x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 3 7⁄–

1

22 7⁄–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t.=

1

1

1

x

y

z

x2

y 2

z 2

1

1

1

0

y x–

z x–

0

y2 xy–

z2

xz–

y x–

z x–

y 2 x y–

z2

x z–= = =

y x–

z x–

y y x–( )z z x–( )

= y x–( ) z x–( )1

1

y

z= =

y x–( ) z x–( ) z y–( )= x y–( ) z x–( ) y z–( ) .=


b) Para el caso general, los mismos pasos que hemos seguido cuando hay tres columnasnos proporcionan determinantes cada vez menores hasta llegar al valor del determinantegrande, que es:

29. El resultado es a11 · a22 · ... · ann, es decir, el producto de los elementos de la diagonal.

30.

y, por lo tanto, la inversa que nos piden es:

31.a)

(recordad que sin2(α) + cos2(α) = 1.)b) Es una comprobación inmediata.c) Planteamos la ecuación A · A t = I y del sistema que queda aislamos a, después b y, final-mente, c, resultando dos posibilidades:

Ejercicios de autoevaluación

1.

a)

b) Incompatible.

c)

d)

e)

2.• Si m ≠ 0 y m ≠ –1, el sistema es compatible y determinado con soluciones:

x2 x1–( ) x3 x1–( ) ... xn x1–( ) x3 x2–( )... xn x2–( ) ... xn xn 1––( )⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1

2

3–

2–

5

1

4

3–

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

2–

9

5–

4

11–

16

1

2–

3

0

1

0

0

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1

0

0

2–

9

0

4

11–

89 9⁄

1

2–

17 9⁄

0

1

5 9⁄

0

0

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

2–

1

0

4

11– 9⁄1

1

2 9⁄17 89⁄

0

1 9⁄5 89⁄

0

0

9 89⁄⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ → →

1

0

0

2–

1

0

0

0

1

21 89⁄1 89⁄

17 89⁄

20– 89⁄16 89⁄

5 89⁄

36– 89⁄11 89⁄

9 89⁄⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

0

1

0

0

0

1

23 89⁄1 89⁄

17 89⁄

12 89⁄16 89⁄

5 89⁄

14– 89⁄11 89⁄

9 89⁄⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

189------

23

1

17

12

16

5

14–

11

9⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

α( )cos

α( )sin

α( )sin–

α( )cos⎝ ⎠⎛ ⎞

1– α( )cos

α( )sin–

α( )sin

α( )cos⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

a 4865------= b 36

65------–= c 5

13------ o bien a 48

65------–= b 36

65------= c 5

13------– .==

1

4

6⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

11 5⁄65 5⁄

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

t

1 5⁄–

7 5⁄–

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.+

0

0

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

t

1– 5⁄7– 5⁄

1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.

x,y ,z( ) 2mm 1+--------------, 4–

m 1+--------------, m 3+

m 1+--------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=


• Si m = 0 el sistema es compatible e indeterminado con soluciones:

• Si m = –1 el sistema es incompatible.

3.• Si b ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ –2, el determinante de la matriz del sistema es diferente de cero y,

por lo tanto, el sistema es compatible y determinado.• Si b = 0, el sistema es incompatible independientemente del valor de a.• Si a = 1 y b ≠ 1, el sistema es incompatible.• Si a = 1 y b = 1, el sistema es compatible e indeterminado.• Si a = –2 y b ≠ –2, el sistema es incompatible.• Si a = –2 y b = –2, el sistema es compatible e indeterminado.

4.a) Para que la condición λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 + λ4 v4 = 0 implique λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0, elsistema homogéneo:

debería tener como única solución la trivial λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0. Esto implicaría que elsistema fuese determinado con solución única (0, 0, 0, 0). La matriz del sistema es:

por lo tanto, los vectores dados serán linealmente independientes si det A ≠ 0 y linealmen-te dependientes si det A = 0. En los apartados siguientes veremos que estamos en la segun-da opción y, por lo tanto, los vectores dados son linealmente dependientes.b) Para determinar el rango y obtener una base del subespacio generado por {v1,v2,v3,v4},aplicamos el método de Gauss:

En consecuencia, el rango es 3, y una base del subespacio generado es:

c) Sea ahora la base canónica {u1,u2,u3,u4}. Podemos sustituir u1 por e1, ya que su compo-nente según u1 es 1 ≠ 0. Tenemos:

e1 = u1 + 2·u2 – u4, es decir: u1 = e1 – 2u2 + u4

y por lo tanto, un vector cualquiera:

se expresará así en la nueva base:

x,y ,z( ) 0,5,0( ) t 0, 3– ,1( ) .+=

λ 1 2λ2 λ 3– 4λ4+ + 0=

2λ1 λ 2– 3λ3 3λ4+ + 0=

λ2 2λ3– 0=

λ 1– 3λ2 2λ3 7λ4+ + + 0= ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

1

2

0

1–

2

1–

1

3

1–

3

2–

2

4

3

0

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

1

2

1–

4

2

1–

3

3

0

1

2–

0

1–

3

2

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

0

2

5–

5

5–

0

1

2–

0

1–

5

1

11⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ →

1

0

0

0

2

5–

0

0

0

1

1–

1–

1–

5

6

6⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

0

0

0

2

5–

0

0

0

1

1–

0

1–

5

6

0⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.→ →

e1 1, 2, 0, 1–( ) e2 0 , 5 ,1 ,5–( )= e3 0, 0, 1, 6–( ) .==

w w1 u1 w2 u2 w 3u 3 w4 u4+ + +=

w w1 e1 2 u2 u 4+⋅–( )= w2 u2 w 3u 3 w4 u4+ + + =

w1 e1 2– w1 w 2+( )+ u 2 w3 u3 w1 w4+( ) u 4.+ +=


Ahora podemos sustituir u2 por e2, ya que e2 expresado en la nueva base es:

y el componente según u2 es –5 ≠ 0. Tenemos:

Expresemos ahora w en la nueva base {e1,e2,u3,u4}:

A partir de aquí tendremos que e 3, expresado en la base {e1,e2,u3,u4} es:

y el componente según u3 es –1 ≠ 0. Por lo tanto, puede sustituir u3, y tenemos:

De este modo w expresado en la base {e1,e2,u3,u4}, será:

d) Aplicando la fórmula anterior podemos expresar los vectores v1,v2,v3,v4 en la base{e1,e2,u3,u4}:

5.

6.

donde a, b, c y d son números cualesquiera.

7. Teniendo en cuenta que det(A) ≠ 0, A tiene inversa y, por lo tanto, B = A−1 · 0 = 0. Lo mis-mo para C y D .

8.

a)

e2 0 e1⋅= 2– 0 5–⋅( )+ u2⋅ 1 u3⋅ 0 5+( )+ + u 4⋅ 5u2– u 3 5u4+ +=

u 215---– e2

15---u3 u 4.+ +=

w w 1e1 2– w 1 w2+( )+ 15---– e2

15---u 3 u4+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞= w 3u3 w1 w 4+( )u4+ + =

w1 e125---w1

15---w2–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ e2=25---– w1

15---w2 w 3+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ u3 w– 1 w2+ w 4+( )u4.+ +

e3 u3–= 6u 4+

u 3 e3–= 6u 4.+

w w1 e1=25---w 1

15---w 2–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ e225---– w 1

15---w2 w3+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ e3– 6u4+( ) w1– w2 w4+ +( ) u4+ =

w 1e1=25---w1

15---w2–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ e225---w1

15---– w2 w 3–⎝ ⎠

⎛ ⎞e3175------w1–

115------w2 6w3 w 4+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞ u 4.+ +

v1 1, 2, 0, 1( ) e1= =25---

25---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e225---

25--- 0––⎝ ⎠

⎛ ⎞ e3175------

225------ 0 1–+ +–⎝ ⎠

⎛ ⎞ u 4+ + + e1=

v2 2, 1– , 1, 3( ) 2e145---

15---+⎝ ⎠

⎛ ⎞ e2+= =45---

15--- 1–+⎝ ⎠

⎛ ⎞e3345------

115------ 6 3+ +––⎝ ⎠

⎛ ⎞ u4+ + 2e1 e2 .+=

v 3 1, 3, 2– , 2–( ) e1–= =25---–

35---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e225---–

35--- 2+–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e3175------

335------ 12– 2+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ u4+ + + e1 e2 e3.+––=

v 4 4, 3, 0, 7( ) 4e1= = 85--- 3

5---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e285--- 3

5--- 0+–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e3685------ 33

5------ 7+ +–⎝ ⎠

⎛ ⎞u 4+ + + 4e1 e2 e3 .+ +=

A1–

3

1

5

2

3

3

2

1

4⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

Ba

2a

b

2b⎝ ⎠⎛ ⎞= C

2c–

2d–

c

d⎝ ⎠⎛ ⎞= D

2b–

4b–

b

2b⎝ ⎠⎛ ⎞=

A1

2

2

6

3

4

5

3⎝ ⎠⎛ ⎞ y B

3

2

5

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

==


donde en la primera fila de A se encuentran las compras del centro de Lérida y en la se-gunda, las del centro de Mataró, y la matriz B consta de los precios de cada uno de los pro-ductos. Si multiplicamos:

obtenemos que el centro de Lérida ha gastado 32 u.m. y el de Mataró 44 u.m.

b) Si C = (1 1),

c) Nos piden que sumemos por columnas la matriz A. Observemos que:

¿Podríais interpretar ahora las operaciones C · (A · B) y (C · A) · B?

d) En este segundo caso D = A, ya que hacen exactamente la misma compra y

tiene los precios de cada mes en una columna.

nos da el gasto de cada centro en cada compra.

e) (1 1) · (D · E ) = (76 126) es lo que han gastado entre los dos centros cada una de lascompras.

es el gasto total.

9. ¡Quizá sería mejor que avisásemos a un químico!

a) El sistema será:

b) 7,5 kilogramos de plata, 20,5 kilogramos de cobre y 62 kilogramos de oro. Las propor-ciones correspondientes son, aproximadamente, 8,33%, 22,78% y 68,89%.c) 9%, 24,5%, 66,5%d) Si resolvemos el sistema:

obtenemos x = –11, y = 21, z = –9. Directamente no tiene sentido considerar –11 kilos deA, pero sí que podemos considerar que la solución consiste en tomar 21 kilos de B, extraer11 kilos de A y 9 kilos de C. Podéis comprobar que lo que queda tiene el 20% de plata y el80% de oro. Observad que estamos suponiendo que disponemos de un procedimientopara extraer de una mezcla cualquiera de plata, cobre y oro ciertas cantidades de las alea-ciones A, B y C, y esto (¡los químicos lo saben muy bien!, por cierto, ¿aún no ha llegadoel que habíamos avisado?) no siempre es posible.e)

A B⋅1

2

2

6

3

4

5

3⎝ ⎠⎛ ⎞=

3

2

5

2⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅32

44⎝ ⎠⎛ ⎞=

C A B⋅( )⋅ 1 1( )=32

44⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ 76( ) .=

H C A⋅ 1 1( )= =1

2

2

6

3

4

5

3⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ 3 8 7 8( ) .=

E

3

2

5

2

4

2

6

7⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

A E⋅32

44

61

65⎝ ⎠⎛ ⎞=

1 1( ) D · E( )⋅( )1

1⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ 76 126+=

5%

15%

80%

10%

25%

65%

15%

40%

45%⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ Kg. A

Kg. B

Kg. C⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅Kg. plata

Kg. cobre

Kg. oro⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

5%

15%

80%

10%

25%

65%

15%

40%

45%⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ x

y

z⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

⋅0,2

0

0,8⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

0,2; 0,3; 0,5( ).


10. Observad que en este caso la matriz del sistema tiene determinante nulo.

a) El sistema es incompatible; por lo tanto, no hay forma de obtener una mezcla con lascaracterísticas pedidas.b) El sistema es compatible e indeterminado y, por lo tanto, tiene muchas soluciones quese pueden expresar de esta forma:

Observemos que, en la solución, t expresa la proporción de C que habrá en la mezcla final,y en consecuencia, la proporción mínima de C es 0 y la máxima, 3/5, ya que, si t > 3/5, elvalor correspondiente a la cantidad de B (que es la y) sería negativo.

11. Si m ≠ 35, el sistema es compatible y determinado, es decir, para cada m ≠ 35 y cualquiervalor de n el sistema tiene solución única, que es:

Por ejemplo, si n fuese 40 y m fuese 55, la solución sería (0,15; 0,3; 0,55).• Si m = 35 y n ≠ 29 el sistema es incompatible.• Si m = 35 y n = 29 el sistema es compatible e indeterminado con la solución siguiente:

Glosario

adjunto del elemento aij de una matriz cuadradaDeterminante menor complementario del elemento aij con el signo (–1)i+j donde i, j son losíndices de la fila y la columna que ocupa el elemento.

base de un espacio (o un subespacio) vectorialConjunto de vectores linealmente independientes, tales que todo vector del espacio (o elsubespacio) es combinación lineal de estos.

Cramer, regla deFórmulas cerradas, en forma de cociente de determinantes, que dan el valor de las incógnitasen un sistema de n ecuaciones y n incógnitas compatible y determinado.

determinanteDada una matriz cuadrada, el determinante es un número que se calcula a partir de sus ele-mentos y que proporciona información sobre la independencia lineal de sus filas (y de suscolumnas)

dimensión de un espacio (o un subespacio) vectorial:Número máximo de vectores linealmente independientes que contiene este espacio y que esigual al número de vectores de cualquier base del espacio o subespacio).

espacio vectorial sobre un cuerpoConjunto dotado de una operación interna que recibe el nombre de suma con propiedadesde grupo conmutativo y una multiplicación por escalares del cuerpo con ciertas propiedadesespecíficas.

espacio vectorial numérico n-dimensionalEspacio vectorial de los vectores-columna (o fila) de n componentes reales.

generadores de un espacio (o subespacio) vectorial Todo conjunto de vectores tales que todo vector del espacio (o subespacio) se puede ponercomo combinación lineal del conjunto de generadores.

Gauss, método deMétodo de eliminación de incógnitas que permite reducir un sistema lineal de forma escalonada.

independencia lineal de vectoresDado un conjunto {v1, ..., vk} de vectores, es linealmente independiente si la ecuaciónλ1v1 + ... + λkvk = 0 implica λ1 = ... = λk = 0. En caso contrario decimos que son linealmente de-pendientes.

x 5 t 1–5

---------------= , y 6 10t–5

------------------, z t==

x 2m 5 15 n–( )+5 3 5 m–( )

----------------------------------------= , y 7m 5 9 2n–( )+5 m 35–( )

-----------------------------------------, z n 29–m 35–------------------.==

x, y , z( ) 0, 35---, 2

5---⎝ ⎠

⎛ ⎞= t 1, 2– , 1( ).+


matrizTabla de números en forma de n filas y m columnas. Esto será una matriz n × m.

matriz de un sistemaMatriz formada por los coeficientes de las variables x1, ..., xn en cada una de las ecuacionesdel sistema. Cada fila de la matriz corresponde a una ecuación.

matriz ampliada de un sistema Matriz de un sistema de ecuaciones lineales formada mediante la ampliación de la matriz delsistema con la columna de los términos independientes.

matriz inversaAquella que presentan las matrices cuadradas que tienen determinante diferente de cero. Suproducto, tanto por la izquierda como por la derecha, con la matriz dada es la matriz identidad.

menorDada una matriz, se llama menor o determinante menor a cualquier determinante de la matrizcuadrada que se forme con los elementos de la matriz correspondientes a k filas y k columnas,suprimiendo las restantes. Las filas y columnas no deben coincidir necesariamente.

menor complementarioDada una matriz cuadrada, llamamos menor complementario de un elemento aij, al determi-nante menor que se forma suprimiendo la fila i y la columna j.

pivoteElemento diferente de cero que se elige para reducir a cero los restantes coeficientes en unaetapa dada del método de Gauss.

rango de un conjunto de vectoresNúmero máximo de vectores linealmente independientes que contiene.

Rouché-Fröbenius, teorema deTeorema que permite saber si un sistema lineal es compatible o no lo es. En el caso de quesea compatible, permite saber si es determinado o indeterminado, y en el último caso, cuán-tos grados de libertad tiene la solución general.

sistema lineal Conjunto de ecuaciones de primer grado en m variables.

sistema compatibleSistema de ecuaciones que tiene alguna solución. Si no tiene ninguna decimos que es incom-patible. Por abuso de lenguaje, en el caso de un sistema homogéneo, cuando únicamente tie-ne la solución trivial 0, decimos que es incompatible.

sistema determinadoSistema que tiene una única solución. Si tiene más de una, decimos que es indeterminado.

sistema homogéneoSistema de ecuaciones sin términos independientes o, lo que es equivalente, con términosindependientes nulos.

subespacio vectorialSubconjunto de un espacio vectorial que tiene estructura de espacio vectorial.

subespacio vectorial generadoDado un conjunto de vectores {v1, ..., vk}, el subespacio que genera es el conjunto de todoslos vectores que son combinación lineal de los vectores del conjunto.

vectorLlamamos vectores a los elementos de un espacio vectorial. Los vectores del espacio vectorialnumérico n -dimensional están formados por una matriz de una sola columna (o una sola fi-la) de n elementos.

Bibliografía

Anton, H. (1991). Introducción al álgebra lineal . (3.a edición). México: Ed. Limusa.Hace un tratamiento elemental del álgebra lineal para estudiantes de primeros cursos de li-cenciatura no específica. No requiere conocimientos de cálculo, si bien incluye ejerciciospara aquellos estudiantes que sí los tienen. No contiene todas las demostraciones, pero sí las


que considera pedagógicas y elementales; en una parte optativa incluye otras demostracionesno tan elementales. Es un texto bastante básico.

Birkhoff, G.; Mac Lane, S. (1985). Álgebra moderna. (3.a edición). Barcelona: Ed. Vicens-Vives.Es el libro de referencia general para todo el curso. Abarca todo el temario del curso y otrostemas relacionados. Se trata de un libro clásico (1941), traducido al castellano y del que sehan hecho muchas ediciones. Es un texto muy bien hecho que está a un nivel asequible paralos estudiantes que seguís este curso; contiene también muchos ejercicios propuestos.

Grossman, S.I. (1988). Álgebra lineal. (2.a edición). México: Grupo Editorial Iberoamericano. Es un texto parecido al de Anton, pero tiene un cariz más específicamente científico. Hayejercicios, que están señalados, que requieren conocimientos de cálculo (análisis). Además,contiene métodos numéricos para álgebra lineal.

vectores y ecuaciones lineales

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