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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.
1.- Hallar el período de la función: xabSen x f )2
()(
.
Solución:
Si )2()2
(
uSenuSenuSen xab
Sen Si T es el período
)2()22
())(2
()2
(
uSenT ab
xab
SenT xab
Sen xab
Sen
2
2
T ab a bien )( abT el período buscado.
Por ejemplo si xSen x f )5
3()(
y como
3
102
)( Sen x f el período será
3
10.
2.- Probar que si )( x f ,tiene período p; )( x f tiene período
p.
Solución:
pT p x f T x f x f )())(()( ó p
T .
Del mismo modo entonces )(
x f tendrá período pT (Basta cambiar
1 por ).Entonces
el período de xab
Sen
2 será
22
abT
o sea b-a.
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2
Y el período del
xCos
será l
l
22
.
3.- Pruebe que la función :
xSen xSen xSen x f 5513
31)( , es de período 6
Solución.
xSen , tiene periodo 12k
xSen3 “ “3
2 2 k
xSen5 “ “5
2 3 k haciendo 1593 321 k yk k cada una será de período 6 .
Y por lo tanto la función dada.
4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: ...............;............;.........;;1 SenkxCoskxSenxCosx
Solución:
01
CoskxdxCoskx
01 SenkxdxSenkx
0........mxdxSenCosnxmxSennxCos
0.......
mxdxCosnxCosmxCosnxCos
0........
mxdxSennxSenmxSennxSen .
5.- Si la función : t Cost Cost f )( es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
enteros tal :n
m
Solución.
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3
m p pt Cost Cos 2)(
n p pt Cost Cos 2)( . Luego el cuocienten
m
.
6.- Pruebe que la función t Cost Cost f )10()10()( , no es periódica.
Solución.
Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:n
m
10
10 )(10 nm
esto no es posible pues el primer miembro es un entero .
7.- Pruebe que la función : t Cost f 2210)( , es de período .
Solución.
)2
21(10)( 2
t Cost f
= )21(50 t Cos , Como Cos 2t tiene período 2
2
1, la función lo es.
8.- Encontrar el período de la función:43
)( t
Cost
Cost f .
Solución.
3
t Cos es de período 6
4
t Cos es de período 8 , luego ambas lo son de período 24
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
x
x
x
x f
2/0
2/02/
00
)(
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4
Solución.
Los coeficientes serán:
dx x f a )(1
0 =
2/
2
1
dx =……….=
4
.
22
1..........
2
1)(
1 2/
0
Senk k
CoskxdxCoskxdx x f ak
=
)2
1(2
1..........
2
1)(
1 2/
0
Cosk k
SenkxdxSenkxdx x f bk
=
16,12,8,4.......0
...14,10,6,2......1
........2
1
k
k k
impar k k
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función:
x x
x x x f 0..............
0......)(
Solución.
Como lo muestra el gráfico es una función par
luego su Serie será :
1
0
2 Coskxa
a
k , con
00
2 xdxa
impar k k
par k
Cosk k
xCoskxdxak ....2
........0)1(
1........
2
202
La S de F será:
12)12(
)12(2
2 k
xk Cos
11.- Si f(x) = Cos ( x ), ; una constante no entera. Probar que a partir de suSerie de Fourier.
..)..........3
1
2
1
1
1
2
1(2
222222
Sen
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5
Solución.
Se trata de una función par ,luego 0k b y
Sen xdxCosa
21
0
0
2kxdxCos xCosak =
0)()(
1dx xk Cos xk Cos
k
k Sen
k
k Sen
k
xk Sen
k
xk Senak
)()(1)()(1
0
k
Cosk Sen
k
Cosk Senak
1=
k k
Senk
111
Sen
k a
k
k 22
12
.
Luego la representación quedará:
)(
)1(2
1
)(
)1(222
122 k
CoskxSen
k
SenSen xCos
k k
; si x = 0
)(
)1(
2
12
222k Sen
k
.
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
x x
x x f
0
00)(
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:
12
2
)12(
1
8 k
.
Solución.
Fig.
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6
La serie debe ser de la forma:
1
0
2 SenkxbCoskxa
ak k ; donde :
00 2
1 xdxa
0
1 xCoskxdxak
impar k
k
par k
Cosk k ...............
2
...................0)1(
1
22
0
1)1(11 k
k k
xSenkxdxb . Luego la representación será:
2)12(
)12(2
4)(
k
xk Cos x f
+ Senkx
k
k
2
)1( .
En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua
1 2)12(
12
40
k
.
)12(
1
8 1 2
2
k
Sin embargo en converge al valor promedio de los limites laterales o sea a2
y el
resultado es el mismo.
Fig
13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función
2/32/
2/2/)(
x x
x x x f .
Solución.
Fig.
Aquí el intervalo es )2/3,2/( por lo que la serie debe tener la fórmula más generalaunque (b-a) = 2 , luego será de la forma.
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7
SenkxbCoskxaa
k k 20 , siendo
2/
2/
2/3
2/
0 )(1
dx x xdxa = 0
2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(1
xCoskxdxCoskxdx xCoskxdxak ) = 0
2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(1
xSenkxdxSenkxdx xSenkxdxbk ) =
=
par k k
impar k
k par k
impar k
k
k
.........)1(
................0
2
1
................0
........)1(3 1
2
Luego la serie de Fourier para esta función queda:
.2
4
)1()12(
)12(
)1(32
kxSen
k
xk Sen
k
k k
Observación.
Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en 2/ setransforma en una función par cuya serie no es la misma.
14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:
21...............2/310................2/1)(
x x
x x x f
Fig.
Solución.
a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:
xSenk b xk Cosaa
kik 20 ,
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8
con 2
0
1
0
2
1
0 )2/3()2/1()( dx xdx xdx x f a 0
1
0
2
1
)2/3()2/1( dx xk Cos xdx xCosk xak =………
impar k k
par k
....
4
...........0
22
1
0
2
1
)2/3()2/1( dx xk Sen xdx xk Sen xbk =………..
impar k k
par k
......3
...........0
Así la S de F quedará:
)12(
)12(3
)12(
)12(422 k
xk k Sen
k
xk k Cos
b) La extensión par de la función hace que la Serie sea
: xk
Cosaa
k 220 con (b-a) = 4
Donde 2
0
0 )(2
12 dx x f a 0 y
2
0 2)(
2
12 xdx
k Cos x f ak
xdxk
Cos xdxk
xCosdx xk
xCosdx xk
Cosak 2
1
2
1
1
0
1
0 22
3
2222
1 =
…………………….= .)24(..........10,6,2.16
22 k k si
k
La Serie:
22 )24(2
)24(16
k
xk
Cos
.(¿)
15.- Sea la función Senx x f )( a) determine el período. b) Pruebe que es par
c) encuentre la S de F. en 2/,2/ .
Fig.
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Solución.
SenxSenxCosxSenSenxCos xSen )( , período , que el gráfico
también confirma.
b) SenxSenx xSen )( par.
c) La S de F. será : kxCosaa
k 220 ; pues el intervalo es de magnitud ,donde
122
2/
0
0 xdxSena
2/
0 ).14(
22
1
k
k kxdxCosSenxak quedando .
)14(
22
2
1
k
kxkCos
. Como la serie pedida.
16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período l 4 e impar respecto ala recta l x .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:
xl
nCosa n 2
)12(
112
con xl
nCos x f
l a
l
n
0
12 2
)12()(
2
Fig.
Solución.
0nb
l l
l
dx x f l
dx x f l
a
2
0
2
2
0 )(1
)(2
1. Pero
l l
dx x f dx x f
2
0 0
)()( l
l
dx x f
2
)(
= l l
dx x f dx x f 0 0
0)()(
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11
2
0
2
0
0 )(1
)(1
dx x f dx x g A , si hacemos u= u , luego
00)(
1aduu f A
2
0
2
0
)(1
)(1
Coskxdx x f Coskxdx x g Ak
duuCosu f Ak )()(1
duuSenSenCosuCosu f Ak
)()(1
duCosuCosu f A
k )()(1
= k k k
aduuCosu f )1()()()1(1
.
Igualmente para k B .
18.- Sea Rt y ).()( tSenxCos x f
a) Probar que f(x) es par y de período
b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si ,0 x
c) Probar que para )(0 t a se tiene : 0''' 000 taata .
Solución.
a) ;)()()( x x f x f sii par x f
)())(()(()( tSenxCos xtSenCos xtSenCos x f luego es par.
?)()(¿ x f x f
).()()())(())(()( x f tSenxCostSenxCosSenxt Cos xtSenCos x f
b)
00 )(
2dxtSenxCosa
02)(
2kxdxCostSenxCosa k
)(2
0
tSenxCosbk
Sen2kxdx.
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c) Si
0000 ))((
2)(')(
2)( SenxdxtSenxSent adxtSenxCost a
0
20 .)(
2)('' xdxSentSenxCost a
Luego:
dxtSenxtCosSenxtSenxSen xSentSenxtCostaata )()()(2''' 20
000
.
Pero como: tCosxdxtSenxCosdutSenxSenuSi )()(CosxvSenxdxdv Entonces:
xdxCostSenxtCos xdxCostSenxtCosCosxtSenxSenSenxdxtSenxSen 2
0 0
2
0
)()()()(
Reemplazando se cumple.
19.- Si 20)( xe x f x . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en .20 x
Solución.
Fig.
Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 40 x
420
20)(
x
xe x f
x
e
Así g(x) es la extensión par de )( x f e , por lo tanto:
xk
Senb xk
Cosaa
x g k k 442)( 0
;
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Con 4
0
2
0
20 )1(2
1
2
1)(
2
1edxedx x f a
x
impar k k par k
k
e xdx
k Cosea
k
k
x
k
4)1(
1)1(
16
8...........
42
1122
22
0
20.- Probar la relación de Parseval:
)(2
)(1 22
202
k k
p
p
baa
dx x f p
.
Solución.
Si p pSC x f ;)( y x p
k Senb x
p
k Cosa
a x f k k
2)( 0
)()()1(2
)()()( 02 f x p
k Senb f x
p
k Cosa f
adx x f x f x f k
p
p
k
Pero 0)(1 padx x f f p
p
k k pb x p
k Sen f pa x
p
k Cos f
222
02
2)( k k
p
p
baa
pdx x f
21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 2,0 y mediante larelación de Parseval, probar que :
14
2
)12(
1
96 k
.
Solución.
Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2
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14
0a 2
0
2 xdx
impar k
k
par k
xdxk
xCosak 22
2
0
8
0
22
1
Aplicando Parseval:
p
p
dx x f p
dx x38)(1
316 2
2
2
2 y
4
4
44
22
0
)12(
1
96)12(
64
2
4
2 k k a
ak
22.- Si k k b ya son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:
0limlim
k k
k k
ba
Solución.
Siendo:
p
p
k k baa
dx x f p
)(2
)(1 2202 y que la serie es convergente, entonces su
termino general tiende a cero o sea .000)(lim 22
k k k k k
baba
Ejercicios propuestos.
1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:
a) xe x f x)( b) 10)( x xSen x f
c)
x x
x x x f
0
0)( Graficar la extensión periódica d) xe x f )( -1
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CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.
Ejercicios resueltos y propuestos.
1.- Encontrar la integral de Fourier para la función:
0
02/100
)(
xe
x x
x f
x
Solución.
Si la integral converge, escribimos:
0
)()(1
)( dwSenwxw BCoswxw A x f
donde :
dvwvSenv f w BdvwvCosv f w A
)()()()()()(
01
)()()(
20
wwSenwvCoswve
dvwvCosew Av
v =21
1
w
20
2 101
)()()(
w
w
w
wCoswvSenwvedvwvSenew B
vv
Luego:
0
2
1
1)( dw
w
wSenwxCoswx x f
Si x = 0 dw
w
0
2
1
1
2
2.- Demostrar que :
10
14/1
102/11
0 x
x
x
Coswxdww
Senw
Solución.
La integral corresponde a una función par puesto que 0)( w B , luego consideremos la
función extendida par:
10
14/!
102/1
)( x
x
x
x f
Así
00
1)(2/12)( Coswxdw
w
senw x f
w
SenwCoswvdvw A
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17
3.- Demostrar que:
x
xSenxSenwxdw
w
wSen
0
2/1
1
1
02
.
Solución.
La integral representa a una función impar, pues 0)( w A y21
)(w
wSenw B
, luego debemos
considerar la extensión impar :
x
xSenx x f i 0
2/1)(
De ese modo
vSenvSenwvd Senwvdvv f w B yw A 2/1)()(0)(
0 0 )1()1(2
1
)( dvvwCosvwCosvSenvSenwvd w B
0
)1(1
1)1(
1
1
2
1)(
vwSen
wvwSen
ww B
22 1
)1()1()1()1()1(2
1)(
w
SenwwSenwwSenw
ww B
Así
0211)(
Senwxdww
Senw x f i
y corresponde con f(x) si ),0( x
4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo
0
)(1
Coswxdxw A
a la función:
20
212
10
)(
x
x x
x x
x f
Solución .
Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensiónde la función dada. Así
1
0
2
10
)()2()(2)()(2)( dvwvCosvdvwvvCosdvwvCosv f w A usando tablas.
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2
1222)(
w
wCosCosww A y por lo tanto:
Coswxdww
wCosCosw x f
0
2
1222)(
5.- Si f(x) es una función par con su integral
0
)(1
)( Coswxdww A x f
.Demostrar
que:
0
2
22 )()(*)()(*
1)(
dw
w Ad w AdondedwwxCosw A x f x
Solución.
Como
0
2 )()(*1
)( dwwxCosw A x f x
pues es una función par y como
0 0
)()(2)()(1
)( dvwvCosv f w AcondwwxCos x f
Entonces
0 0
22
2
)()(2)()(2 dvwvCosv f vdw
Ad dvwvSenvvf
dw
dA, comparando con
)(* w A
0
2 )()(2 dvwvCosv f v2
2 )()(*
dw
w Ad w A .
Observación:
Para representar la función:
a x
a x x x f
0
0)(
2
Consideramos la extensión par de
a x
a x x f
0
01)( y aplicamos lo anterior en que
w
Senwaw A
2)(
6.- Sea
0 )()(
1
)( dwwxSenw B x f . Hallar la integral de Fourier de la funciónSenx x f x g )()( .
Solución.
-
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Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:
0
)()(1
dwwxCosw A I g
donde
0
)()(2)( dvwvCosv g w A
0
)()(2 dvwvSenvCosv f
0
)1()1()( dvvwSenvwSenv f
0 0
)1()1(2
1)1()()1()()( w Bw BvdvwSenv f vdvwSenv f w A .Luego
bastaría con conocer el coeficiente ).(w B
7.- Si f(x) es una función par con integral:
0
.)()(1
)( dwwxCosw A x f
Entonces
dwwxSendw
dA x xf )(
1)(
0
.
Solución
Para
0
)()(*1
)( dwwxSenw B x xf
donde
0
)()(2)(* dvwvSenvvf w B .Pero como
0
)((2 Senwvdvvvf dw
dA pues
0
)()(2)( dvwvCosv f w A )(* w Bdw
dA .
8.- Probar que si
0
)()()()(1
)( dwwxSenw BwxCosw A x f
. Entonces se cumple:
.)()(1)(0
222 dww Bw Adx x f
Solución.
dw f wxSenw B f wxCosw Adx x f f f )()()()(1
)(0
2
dww Bw A )()(1 2
0
2
.
9.- Aplicando lo anterior probar que:
adw
w
awSen
2
2 )(.
-
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20
Solución.
Si tomamos: )( x f a xa , función par
entonces: 0)(2
)(2)(0
a
wvSenwdvwvCosw A
a
= )(2
waSenw
)(4
)(2
2
22
waSenww A
Por otra parte:
a
a
a
a
adxdx x f 222 2)(
Luego: dww
waSendww Aa
0 0
2
2222 )(41)(
12
dw
w
waSena 0
2
2 )(
2
o bién
dww
waSena
2
2 )(
10.- Probar que :
xdwwxSenw
wCos
w
wSen x 0)(
)()(2
02
Solución.
Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea
x
x x x f
0)(
0
)()(1
)( dwwxSenw B x f
donde
)(2
)(2
)(2)(2
0
wSenw
wCosw
dvwvvSenw B
dwwxSenw
wCos
w
wSen x x f )(
)()(2)(
02
11.- Utilizar la función: 0)( x xe x f x , para deducir que
dwwxSenw
w
dwwxCosw
w
)()1(
2)()1(
1
022
022
.
Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:
0 022
2
22 )1()1( w
dww
w
dw.-
-
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21
Solución.
a) Considerando la extensión par de la función dada:
0
)()(1
)( dwwxCosw A x f p
con:
0 0 22
2
)1(
)1(............)(2)()(2)(
w
wdvwvCosvedvwvCosv f w A v
p
dwwxCosw
w x f p )()1(
)1(1)(
022
2
.
b) Considerando la extensión impar de la función dada.
0
)()(1
)( dwwxSenw B x f i
donde
022 )1(
2.............)(2)(
w
wdvwvSenvew B v luego
0 22 )()1(
21
)( dwwxSenw
w
x f i
Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.
022
022
2
)()1(
2)(
)1(
)1(dwwxSen
w
wdwwxCos
w
w
En a) si x = 0
022
2
0)1(
)1(1dw
w
w
0 022
2
22 )1()1( w
dww
w
dw
-
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Ejercicios propuestos.
1.- Sea: x xe x f )( . Pruebe que:22 )1(
4)(0)(
w
ww Bw A
2.- Sea
10
11)(
x
x x f Verifique que
w
Senww Aw B
2)(0)(
y que
0
)(2
dwwxCosw
Senw
converge a ½ si x =1 ó x = -1.
3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en
cada punto.
a)
x
x x x f
0)( b)
100
10)(
x
xk x f
c)
50
511
152/1
)(
x
x
x
x f d) x xe x f )(
4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y deCosenos para:
a)
100
100)(
2
x
x x x f b)
50
50)()(
x
x xCosh x f
5.- Para 0)( ; xe x f kx , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.
6.-Si 0)( xCosxe x f x Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y lade Cosenos.