CAPITULO 2

CONDUCCION

La conductividad térmica. Los fundamentos de la conducción decalor se establecieron hace más de un siglo y se atribuyen general-mente a Fourier. En muchos sistemas que involucran flujo, tal comoflujo de calor, flujo de fluido o flujo de electricidad, se ha observadoque la cantidad que fluye es directamente proporcional a la diferen-cia de potencial e inversamente proporcional a la resistencia que seaplica al sistema, 0,

Flujo OCpotencial

resistencia (2.1)

En un circuito hidráulico simple, la presión en el sistema es la dife-rencia de potencial, y la rugosidad de la tuberia es la resistencia alflujo. En un circuito eléctrico las aplicaciones mas simples son ex-presadas por la ley de Ohm : el voltaje en el circuito es el potencial y ladificultad con la que los electrones emigran por el alambre, es la re-sistencia. En el flujo de calor a través de una pared, el flujo se llevaa efecto por la diferencia de temperatura entre las superficies calien-tes y frías. Recíprocamente, de la Ec. (2.1), cuando dos superficiesde una pared están a diferente temperatura, necesariamente existeun flujo y una resistencia al flujo de calor. La conductunciu es larecíproca de la resistencia al flujo de calor, y la Ec. (2.1) puedeexpresarse por

Flujo 0: conductancia X potencial (2.2)

Para hacer de la Ec. (2.2) una igualdad, la conductancia debe eva-luarse de tal manera, que ambos lados sean dimensional y numéri-camente correctos. Supóngase que una cantidad medida de calor QBtu ha sido transmitida por una pared de tamaño desconocido en unintervalo de tiempo 0 h con una diferencia de temperatura medidaAt “F. Escribiendo de nuevo la Ec. (2.2)

Q = s = conductanciax At Btu/h (2 .3 )

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2 0 PROCESOS DE TBANSFERENCU DE CALOR

y la conductancia tiene las dimensiones de Btu/(h)( “F). La con-ductancia es una propiedad ponderable de toda la pared, aun cuandose ha encontrado experimentahnente que el flujo de calor está in-dependientemente influido por el grosor y el área de la misma. Esde desearse diseñar una pared que tenga ciertas características res-pecto al flujo de calor, la conductancia obtenida anteriormente noes útil, y es aplicable únicamente a la pared experimental. Parapermitir un uso más amplio a la información experimental, se haconvenido reportar la conductancia únicamente cuando todas lasdimensiones se refieren a valores unitarios. Cuando la conductanciase reporta para una cantidad de material de un pie de grueso con unárea de flujo de un pie2, la unidad de tiempo 1 h y la diferenciade temperatura 1°F, se llama conductividad térmica k. Las corre-laciones entre la conductividad térmica y la conductancia de unapared de grueso L y área A, están entonces dadas por

Conductancia = k $

YQ=l+t (2.4)

donde k tiene las dimensiones resultantes de la expresión QL/A At oBtu/(h) (pie2 de área de flujo) ( “F de diferencia de temperatura)/(pie de grueso de pared) .l

Determinación experimental de le.* Sólidos no metálicos. En laFig. 2.1, se muestra un aparato para la determinación de la conduc-tividad térmica de sólidos no metálicos. Consiste de una placa cale-factora eléctrica, dos especímenes idénticos de prueba a través de loscuales fluye el calor y dos chaquetas de agua con las cuales el calorse elimina. La temperatura en ambas fases del espécimen y a suslados se mide por medio de termocoples. Este aparato está provistode un anillo protector para asegurar que todo el calor medido queentra a las placas pase a través de los especímenes con una pérdidadespreciable por sus lados. Este anillo protector rodea el conjuntode prueba y consiste de un calentador auxiliar intercalado entre lasporciones del material que se prueba. Mientras la corriente entra ala placa protectora, la entrada al calentador auxiliar se ajusta hastaque no haya diferencia de temperatura entre el espécimen y los pun-tos adyacentes en el anillo protector. Las observaciones se hacen

1 En el sistema métrico, la conductividad térmica se reporta como cal/(seg>(cmz)(nC/cm).* Un repaso excelente de los métodos experimentales se podrá encontrar en “Treaöse

on Heat” d e Saha y Srivastava, T h e Indian hess. Calcuta, 1935. Referencias posterioresson Bates, 0. K., Ind. Eng. Chem, 25, 432 (1933); 28, 494 (1936); 33, 375 (1941): 37, 195(1945). BoIIand, J. L. y R. W. Melville, Tmns. Faraday Soc., 33, 1316 (1937). HutcchinSOnE . , Tmns. Faraday Sm., 4 1 . 8 7 (1945) .

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CONDUCCSON 21

cuando la entrada de calor y las temperaturas en ambas fases delespecímen permanecen estables. Ya que la mitad del gasto eléctricomedido tluye a través de cada espécimen y la diferencia de temperatu-ras y dimensiones del espécimen se conocen, 12 se puede computardirectamente de la Ec. (2.4).

Mida ElltNlade ya de mn

C a l e n t a d o rauxiliar

PIIPaletacton

Anillo

’ A n i l l oumtectw

P l a c a2ulclacton7

Calmtadwauxiliar

FIG. 2.1. Aparato de conductividad protegido

FIG. 2.2. Aparatos para conductividad líquida. (Según j. F. D. Smith)

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22 PROCESOS DE TBANSFBBBNCIA DB CALOB

Líquidos y gases. Hay grandes dificultades en la ,determinaciónde conductividades de líquidos y gases. Si el calor fluye a través deuna película gruesa de líquido o gas, se origina convección libre y laconductividad es decepcionantemente alta. Para reducir la convecciónes necesario usar películas muy delgadas y diferencia de temperaturamuy reducida. con los consiguientes errores en la medición. Un mé-todo aplicable a fluidos viscosos consiste de una pequeña barra deconductor eléctrico que pasa a través de un tubo horizontal que sellena con el líquido a probar. El tubo se sumerge en un baño a tem-peratura constante. La resistencia del alambre se calibra contra sutemperatura. Para cierta razón de entrada de calor y para la tem-peratura del alambre obtenida de la medida de la resistencia, laconductividad puede calcularse usando ecuaciones apropiadas. Sinembargo, hay un método más exacto, el de Bridgman y Smith,a con-siste de un anulo de fluido muy pequeño entre dos cilindros de cobresumergidos en un baño a temperatura constante, como se muestraen la Fig. 2.2. El calor suministrado al cilindro interior por laresistencia, fluye a través de la película al cilindro exterior, dondese elimina por el baño. Este aparato, a través del uso del deposito,asegura que el anulo esté lleno de líquido y se adapta también agases. La película es de vGs4 plg de grueso, y la diferencia de tem-peratura se mantiene muy reducida.

Influencia de la temperatura y la presión en k. La conductivi-dad térmica de los sólidos es mayor que la de los líquidos, la quea su vez es mayor que la de los gases. Es más fácil transmitir ca-lor a través de un sólido que a través de un líquido y más fácilpor un líquido que por un gas. Algunos sólidos, tales como los me-tales, tienen altas conductividades térmicas y se llaman cmducto-res. Otros tienen bajas conductividades y son malos conductoresdel calor. Estos son aislantes. En las determinaciones experimentalesdescritas arriba, se supuso que la conductividad térmica es inde-pendiente de la temperatura en cualquier punto del material deprueba. Consecuentemente, los valores reportados de le son los pro-medios del espécimen completo, y el error introducido por esta supo-sición se puede estimar examinando las Tablas 2 a 5 en el Apéndice.Las conductividades de los sólidos pueden, ya sea aumentar o dis-minuir con la temperatura, y en algunos casos pueden hasta invertirsu velocidad de cambio de una disminución a un incremento. Parala mayoría de los problemas prácticos no hay necesidad de introdu-cir un factor de corrección para las variaciones de la conductividad

= Smith, J. F. D. Ind. Eng. Chem., 22. 1246 (1930); Tmns. A.S.M.E., 58, 719 (1936).

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C O N D U C C I O N 23

térmica con la temperatura. Sin embargo, la variación puede usual-mente expresarse por la ecuación lineal siguiente

k = ko + yt

donde le, es la conductividad a “F y 7 es una constante que denotael cambio en la conductividad por grado de cambio en la tempera-tura. La conductividad para muchos líquidos decrece con aumentoen la temperatura, aunque el agua es ‘una excepción notable. Paratodos los gases y vapores comunes, hay un aumento con aumentoen la temperatura. Sutherland 3 dedujo una ecuación a partir de lateoría cinética que es aplicable a la variación de la conductividad delos gases con la temperatura

k = ksz 492 + ck T

(4”

T + ck 492

donde Ck = constante de SutherlandT = temperatura absoluta del gas, “R

le,, = conductividad del gas a 32°F

Parece ser que la influencia de la presión en la conductividadde los sólidos y líquidos es despreciable, y los datos reportados sobregases son muy inexactos debido a los efectos de la convección librey radiación, que no permiten hacer generalizaciones. A partir de lateoría cinética de los gases, se puede concluir que la influencia dela presión deberá ser pequeña, excepto a vacíos muy bajos.

Resistencia de contactu. Uno de los factores que origina error enla determinación de la conductividad térmica, es la naturaleza de launión formada entre la fuente de calor y el fluido o espécimen sólidoque hace contacto con él y transmite el calor. Si un sólido recibecalor haciendo contacto con un sólido, es casi ,imposible excluir lapresencia de aire u otro fluido en el punto de contacto. Aun cuandoun líquido esté en contacto con un metal, la presencia de pequeñasrugosidades puede entrampar permanentemente burbujas infinite-simales de aire, y debe tenerse en cuenta que pueden cauw,r en+res considerables.

Derivación de la ecuación general de la conducción. En las Ecs.(2.1) a (2.4) se obtuvo una idea de la conducción de calor por ob-servaciones no calificadas de las relaciones entre el flujo de calor,potencial y resistencia. Ahora es posible desarrolbu una ecuaciónque tenga una aplicación más amplia y a partir de la cual se

3 Sutherland, W.. Phil Mag. 36, 507 (1893).

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2 4 PROCESOS DE TRANSFERRNCIA DE CALOR

puedan deducir otras ecuaciones para aplicaciones especiales. LaEc. (2.4) puede escribirse en forma diferencial

(2.5)

En este enunciado k es la única propiedad de la materia y se suponeque es independiente de las otras variables, Refiriéndose a la Fig.2.3, un cubo de volumen elemental dv = dx dy dz recibe una canti-dad diferencial de calor dQ’, Btu a través de su cara izquierda yzen un intervalo de tiempo de. Supóngase que todas las caras, menosla izquierda y derecha yz, están aisladas. En el mismo intervalo detiempo, la cantidad de calor dQ: abandona el lado derecho. Es claroque pueden ocurrir cualquiera de estos tres efectos: dQ’, puede sermayor que dQ’,, de manera que el volumen elemental almacenecalor, aumentando la temperatura promedio del cubo; dQ’, puede

YX X+dX

FIG. 2.3. Flujo de calor unidireccional

ser mayor que dQ’,, de manera que el cubo pierda calor; y por últi-mo, dQ’, y dQ’, pueden ser iguales, de manera que el calor simplemente pasará a través del cubo sin afectar el almacenamiento decalor. Tomando cualquiera de los dos primeros casos como másgeneral, se puede definir un término de almacenamiento o deplecionãQ’com0 la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale, 0

dQ’ = dQ: - dQ: (2.6)

De acuerdo con la Ec. (2.5), el calor que entra en la cara izquierdapuede estar dado por

d&: = k dy &de

(2.7)

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COXDUCCCON 25

El gradiente de temperatura - g puede variar, ya sea con el tiempo

ato la posición en el cubo. La variación de - ax como f(x) únicamente

es _ a(atm)ax *

Sobre la distancia dx de x a x + dx, si cEQ2 > cU,, el

cambio total en el gradiente de temperatura será -a(at/ax) ti o

axa2t- dx. Entonces a x el gradiente es - $,ae

y a x + dx el gradiente

de temperatura es

-2z&atax a2

dQ’, a la salida del cubo y en la misma forma como la Ec. (2.7) esdado por

de la cual

dQ' dQ: dQ% = k dy ,&-= - - -do do de (2.9)

El cubo habrá cambiado en temperatura - dt grados. El cambio enla temperatura por unidad de tiempo será dt/dO y en el intervalo detiempo do está dado por (.dt/de) de grados. Puesto que el análisisse basó en un volumen elemental, es ahora necesario definir el calorespecífico volumétrico, c,, Btu/(pie3) (“F)) obtenido multiplicando elcalor específico c Btu/( Ib) ( “F ) por la densidad p. Para elevar el volumen dx dy dz por

requiere un cambio de calor en el cubo dedQ' a tde = cp dx dy dz ae

combinando las Ecs. (2.9 ) y (2.10)

cp dx dy dz ; = k dy dz

(2.10)

(2.11)

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de la cual

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOB

at k a2tãe- ( >- - icp ax (2.12)

la que es la ecuación generul de Fourier, y el término k/cp se llamadifusividad térmica, puesto que contiene todas las propiedades in-volucradas en la conducción de calor y tiene las dimensiones depie2/h. Si se remueve el ais1ant.e del cubo, de manera que el calorviaje a través de Jos ejes X, Y, Z, la Ec. (2.12) se transforma

(2.13)

Cuando el flujo de calor hacia adentro y afuera del cubo es constan-te, como en el estado estable, t no varía con el tiempo, y dt/& = 0en la Ec. (2.12). at/í3x es una constante y íJ%/&? = 0. dQ’, = dB’,y la Ec. (2.5) se reduce a la Ec. (2.5) donde dx dy = dA. SustituyendodQ por dQ’/&, ambos términos tienen las dimensione?s de Btu/h, laecuación del estio estable es

dQ = lc dA $ (2.14)

Esta ecuación se aplica a muchos problemas comunes en ingeniería.

Conductividad térmica por mediciones de conductividad eléctrica.La relación entre ias conductividades térmicas y eléctricas de losmetales demuestra una aplicación de la derivación de Fourier incor-porada en la Ec. (2.9) y es un método muy útil para determinar lasconductividades térmicas de los metales. Una barra de metal aisla-da, como se muestra en la Fig. 2.4, tiene sus extremos transversales

FIG. 2.4. Flujo de calor en un metal

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C O N D U C C I O N 27

expuestos a baños diferentes de temperatura constante t, y tz. Suje-tando terminales eléctricas a las caras izquierda y derecha, respec-tivamente, se puede pasar una corriente de Z amperes en la direcciónindicada, generando calor a través de la longitud de la barra. Lascantidades de calor que salen de ambos lados de la barra en el pro-ceso estable, deben ser iguales a la cantidad de calor recibida comoenergía eléctrica, ZzRw, donde R” es la resistencia en ohms. De laLey de Ohm

EI - E2I = u(L/A)

=AdEu¿G-

donde E, - E, = a la diferencia de voltaje, (I es la resistividad delalambre en ohms-pies y K el recíproco de la resistividad, la conduc-tividad eléctrica.

I=KA!ECEX

(2.15)

õ dx dxRw=T=KA (2.16)

Sustituyendo las Ecs. (2.15) y (2.16) por PRO,

~Q=I~Ru=K~A0g ‘& (2.17)

Pero esto es lo mismo que el calor transferido por conducción dadopor la Ec. (2.9). Cuando t, es igual a t,, e igualando (2.9) y (2.17),

pero

Diferenciando,

kaLdx-K CE ‘ax=oa9 0dX

dt d¿ dE-= - - -ax dE dx

(2.18)

(2.19)

dzt&3 = (2.20)

Si Z y A son constantes para la barra, entonces K(dE/dx) es cons-tante. Puesto que K no varía grandemente con t o x, dE/dx csconstante, cPE/aY = 0, y de la Ec. (2.18) sustituyendo la Ec.(2.20) por &t/&.

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28 PROCESOS DE TBANSFERENCU DE CALOR

I, d”t _ K = 0dE2 ”

d”t K-zz-dE2 k

donde C, y C, son constantes de integración. Puesto que hay tresconstantesen la Ec. (2.23), C,, C, y k/K, se debenmedir tres voltajesy tres temperaturas a través de la barra para evaluarlas. C, y C, sedeterminan de las temperaturas finales, y k se obtiene de k!Kusando el valor de K, la conductividad eléctrica, que es más fácilde determinar.

Flujo de calor a través de una pared. La Ec. (2.14) se obtuvo dela ecuación general cuando el flujo de calor y las temperaturasde entrada y salida de las dos caras opuestas del cubo elementalparcialmente aislado dx dy dz, fueron constantes. Integrando la Ec.(2.14) cuando todas las variables salvo Q son independientes, laecuación del estado estable es

Dadas las temperaturas existentes en las superficies fría y calientede la pared, respectivamente, el flujo de calor puede ser computadousando esta ecuación. Puesto que kA/L es la conductancia, su re-cíproco R es la resistencia al flujo de calor, o R = L/kA(h) ( “F)/Btu.

E JEMPLO 2.1. Flujo de calor a través de una pared. Las caras de una pa-rrd de 6 plg de grueso que miden 12 X 16 pies, deberán mantenerse a 1500y 300”F, respectivamente. La pared está hecha de ladrillo de caolín aislante.&uánto calor se pierde por la pared?

Solución. La temperatura promedio de la pared será de 900°F. De la Tabla 2del Apéndice, la conductividad térmica a 932°F es 0.15 Btu/(h)(pjez)( “F)/(pie). Extrapolando este valor a 900°F no habrá cambio apreciable.

Donde At = 1500 - 300 = 1 2 0 0 ° FA = 16 X 1 2 = 192 pies-L = f& = 0.5 pies

1 9 2Q=0.15~ o5-x 1200 = 69200 Btu/h

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C O N D U C C I O N 2 9

Flujo de calor a través de una pared compuesta: resistencias enserie. La Ec. (2.24) es de interés cuando la pared corAste de va-rios materiales colocados juntos en serie, tales como en la construc-ción de un horno o cámara de combustión. Usualmente se empleanvarios tipos de ladrillo refractario, puesto que aquéllos que son ca-paces de resistir las altas temperaturas interiores son más frágilesy caros que los que se requieren cerca de la superficie externa, dondelas temperaturas son considerablemente menores. Refiriéndonos a laFig. 2.5, se colocan tres diferentes materiales refractarios en serie,indicados por los suscritos a, b, c. Para la pared total

(2.25)

cl

FI G . 2 .5 . Flujo de calora través de una pared

compuesta

El flujo de calor en Btu/h a través del material a debe vencerla resistencia R,, pero al pasar a través del material a el calor tam-bién pasa a través de los materiales b y c en serie. El calor entrandoen la cara izquierda debe ser igual al calor que sale en la cara dere-cha, puesto que el estado estable sanciona el almacenamiento decalor. Si & Ra y R, son diferentes, como resultado de diferenteconductividad y .grosor, la razón de la diferencia de temperatura através de cada capa a su resistencia, deberá ser la misma que larazón de la diferencia total de temperatura a la resistencia total, 0

At AL, AtbQ=R=E=716Z-

Para cualquier sistema compuesto que use

AL-Rc

temperaturas reales

Q = g - to; t1 _ t1 ; tz _ t2 ; f3

a ,b c

Reacomodando y sustituyendo

(2.27)

’ = g = (L,/k,A) + (ii,,,t‘i> + (L,,‘k,A)(2.28)

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30 PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOB

E J E M P LO 2.2 . Flujo de calor a través de paredes compuestas La pared deun horno está construida de tres capas de ladrillo. La interior se construyede 8 plg de ladrillo refractario, k = 0.68 Btu/(h)(piez)( “F/pie). seguida de4 plg de ladrillo aislante, k = 0.15, y’una capa externa de 6 plg de ladrillode construcción, k = 0.40. El horno opera a 1600°F y se sabe que la paredexterna puede ser mantenida a 125°F circulando aire. ACuánto calor se per-derá por pie4 de superficie y cuáles son las temperaturas en las interfases delas capas’

Solución.

Para el refractario, R. = L,/k,A = 8/12 X 0.68 X 1 = 0.98 (h )(“F)/(Btu)Ladrillo aislante, Rb = La/ksA = 4/12 Y 0.15 X 1 = 2.22Ladrillo de construcción. R, = L,/k,A = 6/12 X 0.40 X 1 = 1.25

R = 4.45

Pérdida de cdor/pie- de pared, Q = At/R = (1600 - 125)/4.45 = 332 Btu/hPara las capas individuales,

At =QR y At, = QR., etc.At. = 332 X 0.98 = 325°F tl = 1600 - 325 = 1275°FAtb = 332 X 2.22 - 738°F 22 = 1275 - 738 = 537°F

E J E M P L O 2.3. Flujo de calor a través de paredes compuestas con franja deaire. Para ilustrar la pobre conductividad de un gas, supóngase que se dej6una franja de aire de l/d plg entre el ladrillo aislante y el ladrillo refractario.iCuánto calor se perderá a través de la pared si las temperaturas interioresy exteriores se mantienen constantes?

Solución. De la Tabla 5 del Apéndice, el aire a 572°F tiene una conduc-tividad de 0.265 Btu/ (h) (pi&‘) ( “F/pie), esta temperatura es suficientementecercana a los rangos del problema.

R,¡,,, = 0.25/12 X 0.0265 = 0.79 (h)( “F)/BtuR = 4.45 + 0.79 = 5.24

1600 - 125Q = = 281 Btu/h

524

Se puede observar que en una pared de 18 plg de grueso una franja deaire en reposo, de solamente r/4 plg de grueso, reduce la pérdida de calor en15%.

Flujo de calor a través de la pared de un tubo. En el paso delcalor a través de una pared plana, el área a través de la cual el calorfluye, es constante en toda la trayectoria del flujo de calor. Refi-riéndonos a la Fig. 2.6 que muestra un tubo de unidad de longitud, el

(@F3FIG. 2.6. Flujo de calor

a t r a v é s : tzzared d e

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C O N D U C C I O N 3 1

Area de la trayectoria del flujo de calor a través de la pared del tuboaumenta con la distancia de la trayectoria desde r1 a r2. El área acualquier radio r es dada por 2~~1, y si el calor fluye hacia afueradel cilindro el gradiente de temperatura para el incremento de lon-gitud dr es dt/dr. La ecuación (2.14) se transforma en

q = 2mk Btu/(h)(pie lineal) (2.29)

Integrando

t= -&nr+c, (2.30)

Donde r = ri, y t = ti, y cuando r = ro, y t = t.,; donde i y o serefieren a las superficies internas y externas respectivamente. En-tonces

(2.31)

y si D es el diámetro

ro D-z-z‘i Di

Refiriéndonos a la Fig. 2.7, donde se trata de una resistenciacilíndrica compuesta,

2.7. Resistencia ci-Iíndrica en setie

Sumando,

t1 = tz + 2$a log g (2.32)1

(2.33)

112.3q Dz 2.3q Ds

- t3 = ~$gD; + ge&lofiL)z (2.34)

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3 2 PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALO6

EJEMPLO 2.4. Flujo de calor a través de la pared de un tabo. Un tubo devidrio tiene un diámetro exterior de 6.0 plg y un diámetro interior de 5.0 plg.Se usará para transportar un fluido que mantiene la superficie interna a200°F. Se espera que la parte externa del tubo se mantenga a 175°F. iCuálserá el flujo de calor?

Solución : k = 0.63 Btu/(h)(piez)(‘F/pie)(Apéndice Tabla, 2).

27rk(k - t”) 2 X 3.14 X 0.63(200 - ‘75) = 538 Btu/pie línea1q = 2.3 log D,/»i- = ___--2.3 log 6.0/5.0

Si el diámetro interior del cilindro es mayor que 0.75 del diámetroexterno, se puede usar el promedio de los dos. Entonces, para unpie de longitud

At A t t1 - t2

q=iz=L,/lc,A,= (Dz - Dd/Z(2.35)

?rk,(Lh + D2)/2

donde (D, - D, )/2 es el grueso del tubo. Dentro de las limitacionesestablecidas para la razón DJD,, la Ec. (2.35) diferirá de la Ec.(2.34) por cerca de 1%. De hecho, hay 1.57 pies’ de superficieexterna por pie lineal y 1.31 pie2 de superficie interna. La perdidade calor por pie” es 343 Btu/h basados en la superficie externa y411 Btu/h basados en la superficie interna.

Pérdida de calor de una tubería. En los ejemplos precedentes sesupuso que la superficie externa fría podía mantenerse a unatemperatura definida. Sin esta suposición, los ejemplos serían indeter-minados, puesto que tanto Q y At serían desconocidas e indepen-dientes en una sola ecuación. En realidad, las temperaturas asig-nadas a la pared exterior dependen no solamente de las resistenciasentre las superficies calientes y frfas, sino también en la habilidadde la atmósfera más fría que lo rodea para remover el calor quellega a la superficie externa. Considere un tubo como el que semuestra en la Fig. 2.8, cubierto con un aislante de lana mineral yque lleva vapor a la temperatura t, considerablemente arriba de latemperatura atmosférica, ta. La diferencia total de temperatura queorigina el flujo de calor hacia afuera del tubo es t, - ta. Las resis-tencias al flujo de calor tomadas en orden son ( 1) la resistenciadel vapor al condensarse y dar su calor a la superficie interna deltubo, resistencia que experimentalmente se ha encontrado muy pe-queña, de manera que t, y t;, son casi las mismas; (2) la resistenciadel tubo metálico, que es muy pequeña, excepto para tuberías grue-sas, de manera que ti y ty son casi las mismas; (3) la resistencia del

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aislante de lana mineral, y (4) la resistencia del aire que lo rodeapara eliminar el calor de la superficie externa. Esta última es apre-ciable, aun cuando la remoción de calor se efectúa por convecciónnatural del aire ambiente en adición a la radiación; y tiene comoorigen la diferencia de temperatura entre la superficie- exterior y elaire frío. La convección natural resulta del entibiamiento del aire

FIG. 2.8. Pérdida de calor de untubo aislado

adyacente a la tubería, por lo tanto, reduce su densidad. El aire tibiosube y continuamente se reemplaza por aire frío. Los efectos cum- .binados de la convección natural y la radiación no pueden ser re-presentados por el término convencional de resistencia R, = L,/K,A,puesto que L, es indefinida y la conductancia del aire se suplementasimultáneamente por la transferencia de calor por radiación. Expe-rimentalmente, se puede crear una diferencia de temperatura entreuna superficie exterior conocida y el aire, y el calor que pasa de lasuperficie exterior al aire puede determinarse de mediciones hechasen el flujo que fluye por la tubería. Teniendo Q, A, y At, se obtienela resistencia combinada de ambos efectos como el cociente At/Q.El flujo de calor de una tubería al aire ambiente usualmente es unapérdida y, por lo tanto, es deseable reportar el dato como unidad decmductancia k/L Btu/(h)(pie* de superficie externa) (“F de dife-rencia de temperatura). La conductancia unitaria es el recíprocode la resistencia unitaria L/k, en lugar del recíproco de la resistenciapara la superficie total L/kA. En otras palabras, es la conductanciapor pie cuadrado de superficie de flujo de calor en lugar de la con-ductancia de la superficie total. La resistencia unitaria tiene lasdimensiones de (h) (pie’) ( “F/Btu). El recíproco de la resistenciaunitaria, h,, tiene las dimensiones de Btu/(h)(piez; (“F) y muchasveces se designa como coeficiente superficial de transferencia decalor. En la Fig. 2.9 se han graficado los coeficientes superficialesde transferencia para tubos de diferentes diámetros y temperaturasde superficie hacia aire ambiente a 70°F. Esta gráfica está basada en

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34 PBOCESOS DE TBANSFERENCU D E CALOB

Diferencia de temwatura (t, - 70), l F

FIG. 2.9. Transferencia de calor por convección y radiación de tubos hori-zontales a temperatura t, a aire a 70°F

los datos de Heilman,’ que han sido confirmados por experimentosposteriores de Bailey y Lyell.”

Las cuatro resistencias ya discutidas en forma de ecuación, son:

Condensación del vapor :

q = h*%Dg(t, - ti> (1.2)

Pared del tubo:

Aislante :

2%k,’ = 2.3 log DJD:’ (t:’ - td

(2.31)

(2.31)

’ Heilman, H. El., Ind. Eng. Chem., 16, 445452 (1924).6 Bailey, A., y N. C. Lyell, Engineeting, 147, 60-62 (1939).

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Radiación y convección al aire:

Combinando

3 5

U.2)

El término dentro del paréntesis son. las cuatro resistencias, y deéstas, las primeras dos usualmente se desprecian. La ecuación sereduce a

T(t8 - ta)’ = 2.3 DI 1

zic’c Og 0:’ + h,Dl

De la abscisa de la Fig. 2.9 se ve que h, depende no sólo de la dife-rencia de temperatura, sino de las temperaturas actuales en el ex-terior del aislante y del aire. Su recíproco es también una de lasresistencias necesarias para el cálculo de la diferencia total de tem-peratura, por lo tanto, el coeficiente de superficie h, no puede sercomputado, excepto por métodos de prueba y error.

EJEMPLO 2.5. Pérdida de calor de una tmberia al aire. Un tubo de acero’de 2 plg (dimensiones en la Tabla ll del Apéndice) lleva vapor a 300°F. Serecubre con r/2 plg de lana mineral, k = 0.033, el aire ambiente está a 70°F.LCuál será la pérdida de calor por pie lineal?

Solución. Suponga tl = 150”F, ti - 70 = SO”F, h, =2.23 Btu(h)(pie*)(“F)

q=3.14(300 - 70)

&&3 log % + 2.23 X 3.375,12

~104.8 Btu/(h)(pie lineal)

Check entre t, y t, puesto que At/R = At$R,.

q = 1o4 8 = 2 x 3.14 x 0.033(300 - h)2.3 log 3.375/2.375

tl = 123.5V No check

Suponga tl = 125”F, tl-70=55”F, h,=2.10Btu/(h)(pie2)(“F).

9=3.14(300 - 70) =2.3

% :.375,12

103.2 Btu/(h)(pie lineal)2x log + 2 . 1 0 X

Check entre t, y t,.* = 1o3 2 = 2 x 3.14 x 0.033(300 - II)

2.3 log 3.375/2.375tl = 1258°F Che&

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3 6 PBOCESOS DB TBANSFEBENCIA DE CALOR

La pérdida total de calor q parece no variar significativamente para losdiferentes valores supuestos para t,. Esto se debe a que la mayor resistenciaal flujo de calor la ofrece el aislante y no el pequeño coeficiente de superficie.Cuando la variación de q es considerable para diferentes temperaturas su-puestas de t,, esto indica un aislante insuficiente.

Pérdida máxima de calor a través de un tubo aislado. Podríaaparecer a primera vista que entre más grueso sea el aislante menorserá la pérdida total de calor. Esto es verdadero siempre para ais-lantes planos, pero no para aislamientos curvos. Considérese untubo con capas sucesivas de aislamiento cilíndrico. A medida queel grueso del aislante se aumenta, la superficie de la que el calor de-be ser removido por el aire aumenta y la pérdida total de calorpuede aumentar si el área aumenta más rápidamente que la resis-tencia. Refiriéndonos a la Fig. 2.10, la resistencia del aislante porPie lineal de tubería es

(2.36)

FIG. 2.10. El radio crí-tico

y la resistencia del aire por pie lineal de tubería, aun cuando esfunción de la superficie y de la temperatura del aire, es dada por

La resistencia es un mínimo y la perdida de calor un máximo, cuan-do las derivadas de la suma de la resistencia R con respecto al radior se hace igual a cero.

(2.38)dR=()=d r &cllnk+&di

1 1=--h,2?rr2%&br

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CONDUCCION 37

A la máxima perdida de calor r = r,, el radio crítico, o,

En otras palabras, la máxima pérdida de calor por una tubería tienelugar cuando el radio crítico es igual a la razón de la conductividadtérmica del aislante al coeficiente de superficie de transferenciade calor. Esta razón tiene las dimensiones de pies. Es de desearmantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, de maneraque la aplicación del aislante proporcione una reducción y no unaumento en la pérdida de calor por una tubería. Esto, obviamente,se puede lograr usando un material aislante de baja conductividad,de manera que el radio crítico sea menor que el radio de la tubería,0, re < rl.

Grueso óptimo del aislante.- El grueso óptimo de un aislante sepuede determinar por consideraciones puramente económicas. Siun tubo descubierto fuera a conducir un fluido caliente, habría cier-ta pérdida de calor por hora cuyo valor podría determinarse delcosto de producir los Btu en la planta generadora. A menor pérdidade calor, mayor grueso del aislante y mayor costo inicial, y mayorescargos fijos anuales (mantenimiento y depreciación), los que debenañadirse a la perdida anual de calor. Los cargos fijos en el aislantede la tubería serán de cerca de 15 a 20% del costo inicial del aislanteinstalado. Suponiendo cierto número de gruesos de aislante y su-mando los cargos fijos al valor de la pérdida de calor, se obtendráun costo mínimo y el grueso correspondiente a él será el gruesoóptimo económico del aislante. La forma de este análisis se muestraen la Fig. 2.11. La parte más difícil es obtener datos confiables de

FIG. 2.11. Grueso óptimo de aislante

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38 PROCESOS DE TIUNSFEBENCIA DE CALOR

costos iniciales de instalación, puesto que varían ampliamentede planta a planta y con la cantidad de aislante que se aplique enuna sola vez.

Solución gráfica de los problemas de conducción. Hasta aquí, enel tratamiento de la conducción, se han considerado solamenteaquellos casos en los que la entrada de calor por pie cuadrado desuperficie fue uniforme. También fue característica de esos casos,que la eliminación de calor por pie cuadrado de superficie fue tam-bién uniforme. Asimismo, esto fue cierto en el caso del cilindro, auncuando las áreas internas y externas no fueron iguales. Algunos delos problemas comunes de conducción en el estado estable en sólidos,involucran la remoción o aplicación de calor en forma tal que noes uniforme sobre una superficie, y aun cuando la solución de talesproblemas por análisis matemático es a menudo complicada, es po-sible obtener buenas aproximaciones gráficamente. El método em-pleado aquí es 13 de Awbery y Schofield G e investigadores anteriores.

Considere una sección de pared con marco de metal, como laque se muestra en la Fig. 2.12, con el lado ABC caliente a tempera-

FIG. 2.12. Representación gráfica de conducción de calor

tura uniforme t,. A intervalos regulares DF en el lado frío DEF, atemperatura uniforme tz, se insertan tiras de metal que se sujetanal marco exterior y que alcanzan hasta las dos terceras partes delgrosor de la pared. Puesto que el marco y las tiras de metal tienenuna alta conductividad térmica comparada con el material de la pa-red misma, se puede considerar que tanto las tiras como el marcotienen casi la misma temperatura, Las líneas predominantemente

6 Awbery, 1. y F. Schofield, Pmc. Intem. Congl. Refrig.. 5th Congr. 3. 591-610 (1929).

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C O N D U C C I O N 3 9

horizontales indicadas en el dibujo, representan planos isoternncosPerpendiCUlar’eS al PhIO del dibujo. Consecuentemente, no hay flujode calor que se deba considerar en la dirección perpendicular alplano del dibujo.

Ya que el dibujo es simétrico respecto a la linea vertical BE, con-sidere únicamente la mitad derecha del dibujo limitado por BCFE.Suponga un número arbitrario de isotermas n, en la dirección deB a E, de manera que, si k es constante, At = n, At,. Si k. varía con t,entonces k At, = 1

/2 k dt. Entre mayor sea el número supuesto

n,l

de isotermas, mayor será la precisión de la solucíón. En seguida,considere que el calor fluye de t, al metal a tz a través de n, fajasque ermman de BC y que forman la red Indicada. Ahora refiérasea cualquier pequeña porción de cualquier faja, tal como ab& delongitud x, y espesor medio y, donde y = (ab + Cd)/2 y de profun-didad z = 1 perpendicular al dibujo. El calor que entra a cada fajaen estado estable, es Ql. La ecuación de la conducción es entonces&I = k(yz)At,/x. La diferencia de temperatura de una isotermaa la siguiente, naturalmente es la misma, y puesto que QI es cons-tante para la faja, es evidente de la ecuación de conducción que larazón y/x debe también ser constante, aun cuando x y y puedanvariar. La red del dibujo se construye de manera que, para cadacuadrilátero x = y, donde si x es pequeña se debe a que las isoter-mas se amontonan unas a otras debido a que la tira de metal re-mueve mucho calor. El flujo de calor por faja está dado entonces por

k 01 - tz>-.n.

~1 flujo total de calor desde BC requiere entonces n, = Qn&(h -tP>franjas, donde Q es el flujo tot,al de calor. La Fig. 2.12 se construyóde esta manera empezando con seis isotermas.

Aun cuando las porciones individuales de la red no son ni cua-drados ni rectángulos, sus esquinas están a ángulos rectos, de acuer-do con el principio del estado estable de que el flujo de cakx seefectúa siempre a ángulos rectos a las isotermas que representanla diferencia de temperatura. En la Fig. 2.12 se ve que se obtuvierononce fajas para cada mitad de la sección simétrica. Si las isotermasno fueran distorsionadas por la tira de metal, la porción abcd habríasido entonces cuadrada y el calor entrando por BC hubiera fluidonormal a ella, y se hubieran requerido 8.3 fajas. La franja de metales, por lc tanto, equivalente a aumentar la remoción de calor en un33% . Cuando las tiras se colocan más cercanas unas a otras, la eli-minación de calor aumenta.

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4 0 PROCESOS DE TklANS FERENCU DE CALOR

PROBLEMAS

2.1. Un horno está encerrado por paredes hechas (de adentro hacia afue-ra) de 8 plg de ladrillo refractario de caolín, 6 plg de ladrillo de caolín ais-lante, y 7 plg de ladrillo de arcilla refractarla. iCuál es la pérdida de calorpor pie cuadrado de pared cuando el interior del horno se mantiene a 2 200°Fy el exterior a 200”F?

2.2. La pared de un horno consiste en una serie de 7 plg de ladrillo refrac-tario de caolín, 6 plg de ladrillo de caolín aislante, y suficiente ladrillo dearcilla refractaria para reducir las perdidas de calor a 100 Btu/(h)(pie?)cuando las temperaturas del interior y del exterior son de 1 500°F y lOO”F,respectivamente. ¿Qué grosor de ladrillo de arcilla refractaria deberá usarse?Si se deja una faja de aire de l/s plg de grueso entre el ladrillo aislante y elladrillo de arcilla refractaria sin que esto afecte su soporte estructural, Lquégrosor de ladrillo aislante se requerirá?

2.3. La pared de un horno consiste de tres materiales aislantes en serie,32% de ladrillo al cromo, ladrillo de magnesita y ladrillo refractario común(k = 0.5). Los ladrillos de magnesita no pueden resistir una temperaturamayor de 1500”F, y los ladrillos comunes no mayor de 600°F. ¿Qué grosorde pared dará una pérdida de calor que no exceda a los 1 500 Btu/(h)(pie?)cuando las temperaturas en las caras extremas son de 2 500 y 200”F, respec-tivamente?-

2.4. Un tubo de 6 plg IPS se cubre con tres resistencias en serie formadasdel interior al exterior de 1/2 plg de kapok, 1 plg de lana mineral y 1/2 plg demagnesita molida aplicada como enjarre. Si la superficie interior se mantienea 500°F y la exterior a lOO”F, jcuál es la pérdida de calor por pie cuadrado desuperficie externa del tubo?

2.5. Un tubo de 2 plg IPS de un proceso de refrigeración cubierto conl/! plg de kapok, conduce salmuera con 25% de NaCl R 0°F y con un gasto de30 000 Ib/h. La superficie externa del kapok deberá mantenerse a 90°F. ¿CuáIes la ecuación para el flujo de calor’? Calcule la fuga de calor hacia el tuboy el aumento de temperatura del flujo en 60 pies de longitud de tubo.

2.6. Un horno cilíndrico vertical de 22 pies de diámetro, está envueltoen la parte superior por un domo hemisférico fabricado de ladrillo al cromode 32%, de 8 plg de grueso. Derive una expresión para la conducción a tra-vés del domo. Cuando el interior y el exterior del domo hemisférico se man-tienen a 1 600 y 3OO”F, respectivamente, jcuál es la perdida de calor por piecuadrado de superficie interna del domo? LCómo se compara la pérdida totalde calor por el domo con la pérdida total de calor por un techo plano estruc-turalmente soportado y del mismo material yue se exponga a las mismasdiferencias de temperatura?

2.7. Un tubo de acero de 4 plg de grueso que conduce vapor a 450°F serecubre con 1 plg de kapok recubierto con una plg de magnesita aplicadacomo enjarre. El aire exterior está a 70°F. iCuál es la pérdida de calor deltubo por pie lineal?

2.8. Una tuberia de 3 plg IPS conduce vapor desde la central de fuerzaa la planta de proceso a una velocidad lineal de 8 000 pies/min. El vapor está

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