GUIA DE CÁLCULO III

LCDO. ALEXANDER ÁLVAREZ, Msc

Facultad de IngenieríaFacultad de Facultad de IngenierIngenierííaaFacultad de IngenieríaFacultad de Facultad de IngenierIngenierííaa

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

EJERCICIOS RESPUESTAS

1.- Considera las ecuaciones x = e y = 1 – t a) Complete la tabla

t 0 1 2 3 4

x

y

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla

y esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el

parámetro y restringir su dominio.

,

2.- Considere las ecuaciones x = 4cos2 θ e y = 2 sen θ

a) Complete la tabla

θ -π/2 -π/4 0 π/2 π/4

x

y

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y

esbozar la gráfica de las ecuacioynes paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el

parámetro y restringir su dominio. ,

3.- Dibujar la curva definida por las ecuaciones y

hallar sus ecuaciones rectangulares.

a) x = 3 cos t , y = 3 sen t

b) x = 2 cos t , y = 3 sen t

c) ) x = 1 + 2 cos t , y = -2 + 2 sen t

d) ) y = 3 cos t , x = 2 sen t

e) x = -1 + 2t , y = 3t o

f) x = 4 + 3t , y = 2 – 4t

g) x = 1 + t , y = t2 + 2

h) x = 2 – t , y = t2 + 1

i) x = t2 – 1 , y = 2t

j) x = 1 + , y = t – 1

k) x = tan2 θ , y = sec2 θ

TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y ÁEAS DE SUPERFICIES EJERCICIOS RESPUESTAS

1.- Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor de t.a) x = 2 cos t , y = 2 sen t en t = π/4b) x = sen 2πt , y = cos 2πt en t = -1/6c) x = 4 sen t , y = 2 cos t en t = π/4

d) x = cos t , y = cos t = 2π/3

e) x = t , y = en t = ¼

f) x = sec2 t – 1 , y = tan t en t = - π/4

g) x = sen t , y = tan t en t = π/6h) x = - , y = en t = 3

i) x = 2t2 +3 , y = t2 en t = -1

j) x = t – sen t , y = 1 – cos t en t = π/3

k ) x = 1/t , y = -2 + ln t en t = 12.- Encuentre la longitud de curva en el intervalo indicado.a) x = cos t , y = t + sen t en 0≤ t ≤ π L = 4u

b) x = t3 , y = 3t2/2 en 0≤ t ≤ L = 7u

c) x = t2 , y = , en 0≤ t ≤ 4 L = 9,24u

d) x = , y = t + t2/2 en 0≤ t ≤ 3 L =

e) x = 8 cos t + 8t sen t , y = 8 sen t – 8t cos t en 0≤ t ≤ π/2

L =

f) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤

π/3

L = 0,69u

g) Hipocicloide : x = a cos3 θ , y = a sen3 θ L = 6ah ) Arco de cicloide x = a (θ – sen θ ) , y = a ( 1 – cos θ )

L =

i) Involuta de circunferencia : x = cos θ + θ sen θ , y = sen θ – θ cos θ

L =

3.- Encuentre el área de las superficies generadas al girar las curvas respecto a los ejes indicados.a) x = cos t , y = 2 + sen t en 0≤ t ≤ 2π en eje x A = 8 u2

b) x = , y = 2 en 0≤ t ≤ en eje y A = u2

c) x = t + , y = en - ≤ t ≤ en eje x

e y

A = 17,85u2 y A = 9,37u2

d) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3 en eje x

A = u2

e) x = t , y = 2t en 0≤ t ≤ 4 en eje x y en eje y A = 224,68u2 A = 112,34u2

f) x = a cos θ , y = b sen θ en 0≤ t ≤ 2π en eje x y en eje y.

Resp. En términos de a y b

COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS.

1.- Grafica los conjuntos de puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y desigualdades siguientes.

a) r = 2 b) r ≥ 1c) 0 ≤ r ≤ 2d) 1 ≤ r ≤ 2e) o ≤ θ ≤ π/6 , r ≥ 0

f) θ = 2π/32.- Sustituya las ecuaciones polares por sus respectivas ecuaciones cartesianas equivalentes.a) r cos θ = 2b) r sen θ = 0c) r = 4 csc θd) r sen θ = -1e) r cos θ = 0f) r = -3 sec θg) r2 = 1h) r2 = 4r sen θ

i) r =

j) r2 sen 2θ = 22.- Reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones polares equivalentes.a) x = 7b) x – y = 3c) x = yd) x2 + y2 = 4

e)

f) x2 + xy + y2 = 1LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIE EN COORDENADAS POLARES.1.- Determinar la longitud de la gráfica sobre el intervalo indicado. a) r = 2a cos θ en -π/2 ≤ t ≤ π/2 L = b) r = 1 + sen θ en 0≤ θ ≤ 2π L = 8u c) r = 5( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ 2π L = 40u d) r = θ2 en 0≤ θ ≤

L =

e) r = a sen2 en 0≤ θ ≤ π , a >0L =

f) r = en π/2 ≤ θ ≤ πL =

2.- Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de la recta dada. a) r = 2 cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del eje polar

A = 8 u2

b) r = 2a cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del θ = π/2

A = 8 u2

c) r = a( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ π , alrededor del eje polar. A = u2

d) r = en 0≤ θ ≤ π/2, alrededor del eje x A = u2

DERIVADAS PARCIALES Y RECTAS TANGNTES, REGLA DE LA CADENA, DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS Y DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

1.- Halla en cada una de las funciones que se dan a continuación.

a) f(x,y) = 2x – 3y + 5 ;

b) z = x ;

c) z = x2

;

d) f(x,y) = ln (x2 + y2 );

e) f(x,y) = x2 – 3y2 + 7 ;

f) f(x,y) = x ;

g) z = tg ( 2x – y )

h) f(x,y) = ;

i) z = cos 3y sen 3x ;

j) z = ln ;

k) f(x,y) = ;

l) z = sen xy;

m) f(x,y) = ;

n) f(x,y) = ;

ñ) f(x,y) = sen2 (x – 3y) ;

o) z = tg-1(y/x) ;

2.- Calcular la pendiente de la superficie en las direcciones de x e y en el punto indicado. a) g(x,y) = 4 – x2 – y2 , (1,1,2) figura 29 ; b) f(x,y) = x2 – y2 , (-2,1,3) ; c) z = cos y , (0,0,1) ; d) z = ½ sen ( 2x –y ) , (π/4, π/3,1/2)

;

e) z = , (2,3,6) ;

3.- Verificar que las derivadas parciales cruzadas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.a) f(x,y,z) = xyz fxyy = 0

b) f(x,y,z) = x2 – 3xy + 4yz + z3 fxyy = 0

c) f(x,y,z) = sen yz fxyy =

d) f(x,y,z) =

4.- En cada uno de los siguientes ejercicios halla dw/dt.a) w = x2 + y2 , si x = e y =

b) w = , si x = sen t e y =

c) w = x sec y , si x = e y = π – t

d) w = ln , si x = cos t e y = sen t

e) w = x2 + y2 + z2 , si x = cos t , y = sen t , z =

f) w = xy +xz +yz , si x = t – 1, y = t2 – 1, z = t

g) w = xy , si x = 2 sen t , y = cos t

5.- Utilizando la regla de la cadena halla o , según sea el caso y luego

evaluarlas en los valores de s y t que se indican.

a) w = x2 + y2 , x = s + t , y = s – t en s = 2 y t = -1 ;

b) w = -3yx2 + y3 , x = , y = en s = 0 y t = 1 ;

c) w = x2 - y2 , x = s cos t , y = s sen t en s = 3 y t = π/4 ;

d) w = sen (2x + 3y ) , x = s + t , y = s – t en s = 0 y t = π/2 ;

e) w = xy + yz + xz , x = u + v, y = u – v , z = uv ;

INTEGRALES MÚLTIPLES: Iteradas, dobles y triples.1.- Calcula las siguientes integrales iteradas.

a) = 3

b) =

c) =

d) =

e) = -80

f) = 4

g) = 0,073

h) =

i) = 4,42

j) =

2.- Dibuja un esbozo de la región R cuyas áreas vienen dadas por las integrales que sen dan a continuación, y luego cambia el orden de integración y prueba que ambos ordenes dan el mismo valor.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3.- Calcula el área de la región entre las dos curvas usando una integral iterada.

a) y = 4 – x2 e y = x + 2.

b) y = 4 – x2 en 0≤ y ≤ 3 y 0≤ x ≤ 2

c) y = ; x = 2 y x = 5

d) x2 + y2 = 4 en 0≤ y ≤ 2 y 0≤ x ≤ 2e) La parábola x = -y2 y la recta y = x + 2f) Las parábolas x = y2 y x = 2y – y2

g) Las curva y = y las rectas y = 0, x = 0 y x = ln24.- Escribe una integral para cada orden de integración y utiliza el más conveniente para evaluar la integral sobre la región R.

a) ; R : rectángulo de vértices (0,0), (0,5),

(3,5), (3,0)

b) ; R: región acotada por y = x, y =

2x, x = 2

c) ; R: sector circular en el primer

cuadrante acotado por y = , 3x – 4y = 0, y = 05.- Usar una integral doble para calcular el volumen de los sólidos que se te dan a continuación.

Resp. = 4 u3 Resp. = 32 u3

Resp. = 4 u3

Resp. = 12 u3

Resp. = 3/8 u3 Resp. = 12 u3

Resp. = 4 u3

Resp. = 12 u3

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.1.- Calcula el área de la región sombreada utilizando una integral doble.

Resp. = 1 u3

2.- Calcula las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

MASA Y CENTRO DE MASA.1.- Hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas.a) , y = 0 , ρ = kb) , y = 0, x = 4 y ρ = kxyc) , x = 0 y ρ = kxd) , y = 0 y ρ = kINTEGRALES TRIPLES, VOLUMEN Y MOMENTOS DE INERCIA.1.- Calcula las siguientes integrales triples.

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Haga un esbozo de la región sólida cuyo volumen representa la integral triple que se te da a continuación y reescribe la integral en el nuevo orden de integración que se especifica.

a) ; usar el orden

dydxdz

b)

c)