ecuaciones paramétricas
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Ecuaciones paramétricas, ecuaciones simétricas. CicloideTRANSCRIPT
2.1 Ecuaciones paramétricas
• Si f y g son funciones continuas definidas con un intervalo común I, entonces las ecuaciones paramétricas son aquellas que están definidas por x=f (t ) y y=f ( t ) en donde t recibe el nombre de parámetro.
• El conjunto C de las coordenadas (x , y) en base a t se denomina curva plana o curva paramétrica
Grafica de la curva C
x=t 2 , y=t3 ,−1≤ t ≤2
Intervalo [-1,2]
t -1 0 1 2
X 1 0 1 4
y -1 0 1 8
El punto inicial de la curva C es ¿ que es (1, -1)
El punto final de la curva C es ¿ que es (4, 8)
La dirección a la cual se dirigen las flechas se llama orientación de la curva C
Curva cerrada
Si tenemos ¿ = ¿
Entonces C es una curva cerrada
Si C es cerrada pero no se cruza a si misma entonces es una curva cerrada simple
Encuentre la parametrizaciòn de un círculo x2+ y2=a2
Siendo a > 0
t= ángulo
Ecuación de parametrización es
x=a cos t, y=a sin t, 0 ≤ t ≤2π
El punto inicial cuando t=0 es (a, 0)
El punto final cuando t=2π es (0, a)
La curva C definida por las ecuaciones es una curva cerrada
Eliminación del parámetro
Considere la curva C definida paramétricamente por:
x sent , y cos2 t ,0≤ t ≤π2
.
Elimine el parámetro y obtenga una ecuación rectangular para C.
Solución Al utilizar la fórmula del ángulo doble cos 2 t = cos2 t - sen2 t, es posible escribir:
y=cos2 t−se n2 t
¿ (1−se n2t )−se n2t
¿1−2 sen2 t←sustituir sent=x
¿1−2 x2
En este caso la curva C descrita por las ecuaciones paramétricas no consiste en la parábola completa, esto es: y=1−2x2 , −∞<x<∞. Esto significa que C es sólo aquella porción de la parábola para la cual las coordenadas de un punto P(x, y) satisfacen 0≤ x≤1 y−1≤ y ≤1. Una ecuación rectangular para C es y=1−2x2 con el dominio restringido 0≤ x≤1.
Parametrización de una cicloide
Suponga que un punto P(x, y), marcado sobre un círculo de radio a, está en el origen cuando su diámetro yace a lo largo del eje y. Conforme el círculo rueda a lo largo del eje x, el punto P traza una curva C que recibe el nombre de cicloide.
Encuentre una parametrización de la cicloide que se muestra:
Solución Un círculo de radio a cuyo diámetro inicialmente yace a lo largo del eje y rueda a lo largo del eje x sin deslizamiento. Tomamos como parámetro el ángulo ∅ (en radianes), a través del cual ha rotado el círculo. El punto P(x, y) empieza en el origen, lo cual corresponde a ∅=¿0. Conforme rueda el círculo a lo largo de un ángulo∅ , su distancia desde el origen es el arco PE=OE=a∅ , vemos entonces que la coordenada x de P es:
x=OE−QE=a∅−a sen∅
Y la coordenada y de P es:
y=CE−CD=a−acos∅
En consecuencia sus ecuaciones paramétricas para la cicloide son:
x=a∅−asen∅ , y=a−acos∅
2.2 Cálculo y ecuaciones paramétricas
Introducción Al igual que con las gráficas de funciones y = f (x), podemos obtener información útil acerca de una curva C definida paramétricamente al examinar la derivada dy/dx.
Pendiente Sean x = f (t) y y= g (t) las ecuaciones paramétricas de una curva suave C. La pendiente de la recta tangente en un punto P(x, y) sobre C está dada por dy/dx. Para calcular esta derivada, se usa la definición de la derivada:
dydx
= lim∆ x→0
∆ y∆ x
Teorema 2.2.1 Pendiente de una recta tangente
Si x= f (t), y= g (t) define una curva suave C, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto P(x,y) sobre C es:
dydx
=
dydtdxdt
=g' (t )f ' (t )
siempre que f ' (t )≠0
Ejemplo 1. Recta tangente.
Encuentre una ecuación de una recta tangente a la curva x = t2 - 4t - 2, y = t5 - 4t3 - 1 en el punto correspondiente a t = 1.
Solución Primero determinamos la pendiente dy/dx de la recta tangente. Puesto que
dxdt
=2t−4 y dydt
=5 t 4−12t 2
Se deduce de (1) que dydx
=3 t2−32t
De tal modo, es t=1 tenemos
Al sustituir t = 1 de nuevo en las ecuaciones paramétricas originales, encontramos que el puntode tangencia es (-5, -4). En consecuencia, una ecuación de la recta tangente en ese punto es
y− (−4 )=72
(x− (−5 ) )o y=72x+ 27
2
Ejemplo 2. Gráfica de una curva paramétrica.
Grafique la curva que tiene ecuaciones paramétricas x = t2 — 4, y = t3 — 3t.
Solución: Intersecciones con el eje x: y = 0 implica t(t2 — 3) = 0 en t = 0, t = - √3 yt = √3 .
Intersecciones con el eje y: x = 0 implica que t2 — 4 = 0 en t = -2 y t = 2.
Tangentes horizontales: dydy
=3 t2−3 ; dydt
=0 implica que 3 (t 2−1 )=0 en t= -1 y t=1
Tangentes verticales: dxdy
=2 t ; dxdt
=0 implica 2t= 0 y t= 0.
Los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a estos valores del parámetro se resumen en la tabla siguiente:
T -2 -√3 -1 0 1 √3 2
X 0 -1 -3 -4 -3 -1 0
Y -2 0 2 0 -2 0 2
Ejemplo 3. Dos rectas Tangentes en un punto.
Se observó que para t=−√3 y t=√3 obtenemos un solo punto (-1,). Esto quiere decir que la curva se intersecta a sí misma en (-1,0). En este caso, de x=t 2−4 , y=t 3−3 tobtenemos:
dydx
=3 t2−32t
Y
Por consiguiente, concluimos que hay dos rectas tangentes en (-1,0):
y=−√3 ( x+1 ) yY=√3 ( x+1 ) .
Teorema 2.2.2 Longitud de Arco.
Si x=f ( t ) yY=g ( t ) , a≤ t ≤b ,defineaunacurva suaveCqueno seinterseca a simisma en
a< t<b , entonces lalongitud Lde Ces
L=∫a
b
√ [ f ' ( t ) ]2+ [g ' ( t ) ]2dt=∫a
b
√( dxdt )2
+( dydt )2
dt
Ejemplo 5. Longitud de una curva.
Determine la longitud de la curva dada por x=4 , y=t 2 ,0≤ t ≤2.
Solución. Puesto que f’(t) = 4 y g’(t) = 2t, produce