FUNCIONES PARAMETRICAS y VECTORIALESContenido1. Funciones Paramtricas.!. Funciones Vectoria"es.#. An$"isis de "as %unciones &ectoria"es.a' (ominio) ran*o y *r$%ico+,' L-mites y continuidadc' (eri&aci.n) /ro/iedades. Inter/retaci.n *eomtrica.d' Inte*raci.n. Lon*itud de arco. Re+/arametri0ac.n.e' 1ondades de "a re+/arametri0aci.n.%'Vector tan*ente) Cur&atura) Vector Norma" y 1inorma"+*'La Torsi.n.2'F.rmu"as de Frenet+Serret3. A/"icaciones a "a din$mica. FUNCIONES PARAMETRICAS y VECTORIALESFUNCI4NPARAM5TRICA6Es"a%ormadere/resentaruna %unci.ndeunaom$s&aria,"es)en%unci.ndeunoom$s /ar$metros. Si "a %unci.n esy 7 %89'una %orma /aramtrica es6En dondet : ;a) ,ue es e" /aso intermedio /ara e9/resardic2a%unci.nen%orma&ectoria")ydeesemodose %aci"itae"estudiodestas%unciones.Sunecesidadse2ace mani%iestocuando>ueremosestudiarcur&asene"es/acio tridimensiona")comomencionamosunacur&aene"es/aciose re/resentaen%ormacartesianacomo"aintersecci.ndedos su/er%icies)>ueen%ormaa"*e,raicasee9/resacomoun sistemadedos%uncionesdedos&aria,"es)comosemuestraa continuaci.n6E" caso m$s senci""o y conocido es e" de una "-nea recta) >ue se e9/resa en %orma /aramtrica as-6Forma /aramtrica de "a recta L8P) A'7') , () , (21y x f zy x f z'+ + + 3 32 21 1ta p zta p yta p x(eesto/odemos&er>ue"astres&aria,"esde/endende" /ar$metro ?t@. Esto es6 9 7 98t')y 7 y8t')0 7 08t' Otro eAem/"o conocido es e" /"ano6 (e%inido /or un /unto de /asoPy dos &ectores*eneradoresA y 1) en donde A B c 1.Las ecuaciones /aramtricas son6(e modo sinttico6' + + + + + + ) , () , () , (3 3 32 2 21 1 1t s z sb ta p xt s y sb ta p yt s x sb ta p xFUNCIONES VECTORIALES(EFINICI4N6 una %unci.n &ectoria" es una "ey >ue asi*na a cada&a"ordeun/ar$metro?t@deunconAunto(de nCmeros rea"es un Cnico &ector de Vn. Esto es % 6 (DR E Teniendoencuenta"osdoseAem/"osanteriores)&amosa deducir "as %unciones &ectoria"es) corres/ondientes) &eamosForma /aramtrica de "a recta 81'Como L8P) A' 7FGHy G 7 8 98t') y8t') 08t' '8!'Reem/"a0ando 81' en 8!' o,tenemos "a %unci.n &ectoria" de "a rectaes6 G8t' 7 r8t'7 8#''+ + + 3 32 21 1ta p zta p yta p xLa re/resentaci.n *eomtrica de dic2a recta ser$6Podemoso,ser&ar>ue"a%unci.n&ectoria"esun2a0de &ectores)>uetienensuco"aene"ori*enysus%"ec2asest$n so,re"arecta)de%iniendouncaminodiri*ido)demodo>ue cuando t7I)r8I'7P y cuando tJI) en nuestro *r$%ico)r8t' tiene sus%"ec2asa"aderec2adeP ycuandotKI2acia"ai0>uierda de P . Otracaracter-sticaim/ortante>uede,emosresa"taren"a %unci.n &ectoria") es >uesus com/onentes son %unciones rea"es o esca"ares.P=r(0)0ytxt=0r(t)t0 LAVeamos a2ora "a ecuaci.n &ectoria" de" /"ano6Forma /aramtrica6Esto es6 en donde t:R ys:RLue*o"a %unci.n &ectoria" se /uede re/resentar6r8s) t' 7 r8s) t' 7 ' + + + + + + ) , () , () , (3 3 32 2 21 1 1t s z sb ta p xt s y sb ta p yt s x sb ta p xEn este caso "a %unci.n &ectoria" de%ine un 2a0 de &ectores de V#) >uetienensuco"aene"ori*enysu%"ec2aseencuentraen cua">uier /unto de" /"anoM. Como se muestra en "a %i*uraG:MFORMAS PARAM5TRICAS de FUNCIONES ESPECIALES1' (e una circun%erenciaForma Paramtrica6X M YR-R-R 0 RrtX=(x, y)'Rsent yt R x cos!. C/ara todo 07cLa ecuaci.n anterior cuando es ""e&ada a" es/acio V#) deAa de ser "aecuaci.ndeunacircun%erenciaysecon&ierteen"aecuaci.n de un Ci"indro Circu"ar Recto.Cuya %orma /aramtrica es6#. (e una E"i/se6 Laciendo un cam,io de &aria,"e6Cuya %orma /aramtrica es6' R s s zRsent yt R x cos12222 +byax'bsent yt a x cos1 ;2 22222 +

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v ubyvaxu3. Ci"indroE"-/tico Recto6 /aratodo 0 7 cCuya %orma /aramtrica es6M. Li/r,o"a6Cuya %orma /aramtrica es6En donde6sen2N. Ci"indro Li/er,."ico Recto6 /aratodo 0 7 c'bsenht yt a x cosh12222 +byax12222 byax12222 byax

Cuya %orma /aramtrica es6O. Par$,o"a6 Cuya %orma /aramtrica es6P. Ci"indro Para,."ico Recto6 /ara todo0 7 0Cuya %orma /aramtrica es6 ' R z z zbsenht yt a x cosh'ctxt y42' R z z zt yctx42CURVAS ESPECIALES6Cic"oide6es"acur&a*enerada/orun/unto%iAoPdeuna circun%erencia >ue rueda ) sin res,a"ar) /or e" eAe GG.

(e "a %i*ura se deduce >ue e" se*mentoOQ 7 Arco PQ7 Rt Si P:Cic"oide)entonces "a cur&a est$ dada /or e" conAunto de todos "os /untos F P HCuya %orma /aramtrica es6xxRttQC = (0, R)P = (x, y)0xRyC = (0, R)O=PTENIEN(OLAFORMAPARAMETRICAVAMOSA O1TENER LA F. VECTORIALSi tenemos "a %orma /aramtrica de una cur&a C) dic2a %unci.n estar$ dada /or e" conAunto de todos "os /untos F G H) ta" >ue "as coordenadas de dic2os /untos satis%a*anC7 de modo >ue G 7 898t') y8t') 08t''Como G tam,in me re/resenta un &ectorEntonces6G 7 898t') y8t') 08t'' 7 98t'i R y8t'A R 08t'S Si 2acemos G 7 r8t'7 98t'i R y8t'A R 08t'So,tenemos "a %unci.n &ectoria"r8t')>ueser-ae"&ector/osici.n)comosemuestraen "a %i*ura.z X=(x, y, z)=r(t)0 y x') () ( ) (t z zt y yt x x(e"oseAem/"osanteriores)si*uiendoe"mtododescrito) &amos a o,tener "a %unci.n &ectoria" corres/ondiente61. Circun%erencia6r8t' 7!. Ci"indro circu"ar recto6 r8t) c'7#. E"i/se6r8t'73. Ci"indro E"-/tico Recto6r8t) c' 7j Rsent i t R Rsent t R + cos ) , cos (k c j Rsent i t R c Rsent t R+ + cos ) , , cos (j bsent i t a bsent t a + cos ) , cos (k c j bsent i t a c bsent t a+ + cos ) , , cos (M. L5LICEForma /aramtrica6Forma Vectoria"Tr8t' 7 Cuando6t7I6r8I'7 8R) I) I'Tt7UV!6r8UV!'78I. R) UV!'T t7U6r8U'7 8+R. I) U')*ra%icando tenemos6(-R. 0, )(0. R, /2)(R. 0, 0)Cilinr!"#li$%'t zRsent yt R x cosk t j Rsent i t R t Rsent t R + + cos ) , , cos ((OMINIO=RANWO(EUNAFUNCIONVECTORIAL (E VARIA1LE REAL(ada "a %unci.n &ectoria"r8t'7 E" (ominioder8t') son todos"os &a"ores de t >ue 2acen >ue r8t' e9ista.Esto es) >ue e9istan todas sus com/onentes.Estos &a"ores ser$n6Ran*o)a"conAuntode&ectoresdeVn)>ueresu"tande sustituirtodos "os &a"ores de ?t@ de" dominio en r8t'.EAem/"os i"ustrati&os6(eterminare"dominiode"as%unciones&ectoria"es si*uientes6a' r8t' 7 ,'r8t'7 )) ( ........, ), ( ), ( (2 1t x t x t xn) ( ) ( ) ( ) (..........2 1t x t x t x t rnD D D D )13, , 1 (2tte tt) 3 , 3 2 , (2 2 t t tALWE1RA (E FUNCIONES VECTORIALES(adas "as %unciones &ectoria"es r8t') s8t' de dominios (r y (s) y "a %unci.n esca"ar %8t'de dominio (%) se tiene6Xa' r8t' Y s8t'sit : (rX (s,' r8t' . S8t' sit : (rX (sc' r8t' 9 S8t'sit : (rX (sd' %8t' r8t'sit : (%X (se' r;%8t'ue VVr8t'+LVVK :siem/re >ueIKVt+toVK Z)t: (r8t'.Es decir6TEOREMASea "a %unci.n &ectoria" de &aria,"e rea"t) entonces s- y s."o s- /ara todo i 7 1) !) #) [[) n. (onde L 7 L t rt t) ( lim0L t rt t) ( lim0( ) ) ( , .......... ), ( ), ( ) (2 1t r t r t r t rni it tL t r ) ( lim0( )nL L L L , .......... , , ,3 2 1 < < < > > L t r t t L t rot to) ( 0 / 0 , 0 ) ( limNuestra tesis ser-a6= /ara >ue esto sea as- 6(emostraci.n6Por 2i/.tesis sa,emos >ue e9iste entonces se tiene >ue6"ue*o6 E"e&ando a" cuadrado6 L t rt t) ( lim0 < < < > > L t r t to) ( 0 / 0 , 0i it tL t r ) ( lim0 < + + + 2 23 322 221 1) ) ( .........( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) (n nL t r L t r L t r L t r L t r < < < > > i i oL t r t t ) ( 0 / 0 , 0( )) 1 ( ) ) ( .( ........ ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( :) ) ( .........( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) (2 2 22 221 1222 23 322 221 12 < + + + + + + n nn nL t r L t r L t r L t r tiene SeL t r L t r L t r L t r L t r(e "a tesis se tiene >ue6Lue*o6Por tanto6 /ara todo i 7 1) !) #) [[) nEste teorema se /uede e9/resar de un modo m$s /r$ctico6Lue*o"a%unci.n&ectoria"tiene"-mitecuandottiendeatosi todas "as com/onentes de r8t' tienen "-mite cuando t tiende a to.( ) 2) ( ) (i i i iL t r L t r ( )< < < L t r L t r que afirmar puede se to PorL t r L t rque afirmar puede se con ComparandoL t r L t r cuadrado al Elevandoi ii ii i i i) ( ) ( : tan) ( ) (: ) 2 ( ) 1 () 2 ( ) ( ) ( :2 22222 < < < > > i i oL t r t t ) ( 0 / 0 , 0) ) ( lim ......., ),........ ( lim ), ( lim ), ( lim ( ) ( lim3 2 1t r t r t r t r t rnt t t t t t t t t to o o o o i it tL t r ) ( lim0Pro/iedades6(emostraci.n de a'A/"icando "a desi*ua"dad trian*u"ar6NOTA6 (e modo an$"o*o /odemos demostrar "as dem$s /ro/iedades&er Es/ino0a Ramos.E\EMPLO6Sea r8t'7 y s8t'7 [ ] + < + + + +2 2) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) (t s L t rt s L t rL t s t r[ ] ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim : tan) ( ) ( ) ( ( 0 / 0 , 00 0 0t s t r t s t r to lo Por L t s t r t t Lue!ot t t t t to + +< + + < < > > ) 3 , 3 2 , (2 2 t t tA/"icando6En r8t' y en s8t'6A/"icando "as /ro/iedades6) 2 , , 1 (13, , 1 lim ) ( lim222 2ette t t rtt t

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) 1 , 1 , 4 ( ) 3 , 3 2 , ( lim ) ( lim2 22 2 t t t t st tCONTINUI(A( (E UNA FUNCI4N VECTORIAL(e%inici.n6 una %unci.n &ectoria" r8t' es continua en e" /unto to : (r8t') si se tiene >ue6Tam,in se dice >ue es continua en to si ri 8t' es continua en to : (r8t'/ara todoi71) !) #) [..) n) esto es6( ) ) ( , .......... ), ( ), ( ) (2 1t r t r t r t rn(ERIVA(A (E UNA FUNCION VECTORIAL(e%inici.n6seaLa deri&ada de r8t' ser$6ht r h t rt rt h) ( ) (lim ) (0 +

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+ + +

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+ + + + + + + + ht r h t rht r h t rht r h t rt rl"mite de definici#n la $plicandoht r h t rht r h t rht r h t rht r h t rEntoncest r h t r t r h t r t r h t r t r h t rComon nh h hn nn n) ( ) (lim .., ,) ( ) (lim ,) ( ) (lim ) (:) ( ) (,....,) ( ) (,) ( ) ( ) ( ) (:) ) ( ) ( ...., , ) ( ) ( , ) ( ) ( ( ) ( ) (:02 201 102 2 1 12 2 1 1) ) ( ' .., ),........ ( ), ( ), ( ( ) ( : tan3 2 1t r t r t r t r t r to PornINTERPRETACI4N WEOM5TRICA (E LA (ERIVA(A r]8t'Considerando"a%unci.n&ectoria"r8t'enV#)/ara/oder"a re/resentar en un es>uema *eomtrico.Vemos >ue e" &ectorr8tR2'+r8t'es secantea "a cur&a)de modo >ue cuando 2 tiende a cero "a %"ec2a deeste &ector sedes"i0a 2acia"aI0>uierda)siendo su"-mitee" &ector tan*ente a "a cur&a en tPor tanto /odemos a%irmar>uer]8t'ese"&ectordedirecci.nde"atan*enteencua">uier /unto de "a cur&a /erteneciente a sudominio.0 yr(t)rt&')(%$)nt%*%$t!r +)n,%nt%-r.(t)zxE\ERCICIO ILUSTRATIVO(ada "a cur&a C de%inida /or r8t'78cost) sent) t') se /ide6a' E" &ector tan*ente unitario,' La recta tan*entea "a cur&a C en e" /unto P78I)1) UV!'a'Porde%inici.nr]8t'ese"&ectordedirecci.nde"arecta tan*enteen cua">uier /unto de "a cur&a) /or tanto 2a""amos "a deri&ada6r]8t' 7 8+sent) cost) 1',' ComoP: r8t'6Lue*o6 8cost) sent) t') 7 8I)1) UV!'(e donde6cost 7 ITsent7 1Tt 7 UV!"ue*ot 7 UV! La""amosr]8 UV! ' 7 8 +sen UV! ) cos UV! ) 1'7 8 +1) I) 1'Que &iene a ser e" &ector de direcci.n de "a tan*ente a C en P.Lue*o6T 7 F8I)1) UV!' R t 8 +1) I) 1'H

1 2:120 11:yx ztzy xcartesiana forma EnPROPIE(A(ES (E LA (ERIVA(AS (E F. VECTORIALES(adas "as %unciones &ectoria"es r8t' y s8t' y "a %unci.n rea" %8t') se tiene6(emostraci.n de ,'[ ][ ][ ][ ] lqqd t r t f t r t f t r t fdtdto Port fht r h t rh t rht f h t fhh t r t f h t r t f t r t f h t r h t ft r t fdtdresi#n la "e no que para h t r t f restamos y sumamos Leht r t f h t r h t ft r t fdtd#n Demostracit r t f t r t f t r t fdtdh hhhhh) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (: tan) ( lim)] ( ) ( [lim ) ( lim)] ( ) ( [lim) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ) (: exp var ), ( ) () ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ) (:) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (0 00000+ 1]1

+ + +1]1

+ + + + ++1]1

+ ++ Re*"a de "a CadenaEAem/"o6 sear8t' 7 [ ] [ ] )] ( [ ' . ) ( ' ) ( t f r t f t f rdtd[ ]

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sentt sensent t sen t f r3, 3 2 , ) (22(eri&ando res/ecto a t6A/"icando "a /ro/iedad tendr-amos6) cos3, cos 2 , cos 2 ( )3, 2 , 2 ( cos )] ( [)3, 2 , 2 ( )] ( [ ' )) 3, 2 , 2 ( ) ( 'cos ) ( ' ) ()] ( [ ' ) ( ' )] ( [22222222tt sent sent t sentt sent sensent t t f rdtddo reemplazant sent sensent t f r donde dettt t rt t f sent t ft f r t f t f rdtd++++ INTEWRALES IN(EFINI(AS (E F. VECTORIALES(ada "a %unci.n &ectoria"La inte*ra" inde%inida de r8t' se de%ine6PROPIE(A(ES (E LA INTEWRAL IN(EFINI(ASean r8t') s8t' dos %unciones &ectoria"es) c un nCmero rea" y C un &ector constante.EAem/"o(eterminar"a%unci.n&ectoria"m$s*enera"cuyaderi&ada es6[ ]dt t r dt t r ddt t r C dt t r C cdt t r c dt t r c bdt t s dt t r dt t s t r a t t) ( ) ( )) ( . ) ( . )) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )R c ct!tttt r

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+ ,11,1 1) ( '22dt t r t drdtt drt r Como ) ( ' ) () () ( ' Lue*o6Por tanto6

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+ dt t ct!tdttdtt rdt t r t dr %nte!rando,1,1) () ( ' ) ( :22( ) ) , , ( ln , , ) (3 2 1c c c sent sent arc t!t arc t r + INTEWRALES (EFINI(AS (E F. VECTORIALES (ada "a %unci.n &ectoria"En dondet : ;a) ,ue "a %unci.n en %orma &ectoria"ser$r8t' 7 8t) %8t'' en donde t:;a),< (i&idimose"inter&a"o;a) ,ue"a "on*itud de" arco en e" inter&a"o ;a) ,< se a/ro9imar$ como6Vemos>uecuandonse2acein%initamente*rande)seda"a i*ua"dad6S7Como97tyy7%8t'endonder8t'78t)%8t''yr]8t'78dt) %]8t'dt'Por tanto6d97dt)dy7%]8t'dt)Lue*o62 2i iy x h + + 102 2n iii iy x S+ + ban iii indy dx y x2 2102 2limdt t r dt t f dt dy dx ds ) ( ' ) ) ( ' (2 2 2 2 + + /x/yPor tanto6Si "o &emos en V#En donde "a cur&a &iene dada /orr8t'7898t') y8t') 08t''Lue*o6 r]8t'7 89]8t') y]8t') 0]8t''(e"a%i*uraene"tri$n*u"orect$n*u"ode2i/otenusa^2) catetos ^r y ^0 se tiene6 /z/(/' /r + bababadt t r dy dx ds S ) ( '2 22 2 22 22 2: ei i ii ii iz y x hemplazandoy x rz r h + + + + La "on*itud de arco se a/ro9ima como6La i*ua"dad se da en e" "-mite6Teniendo en cuenta "o anterior6+ + + + bani i indz dy dx z y x s2 2 2102 2 2lim[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] + + + + + + + + + + bababadt t x t x t x dz dy dx sdt t x t x t x sdt t x dt t x dt t x dz dy dx s2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 2) ( ' ) ( ' ( ) ( ') ( ' ) ( ' ( ) ( ') ( ' ) ( ' ( ) ( 'dt t r ds donde De dt t r s Lue!oba) ( ' ) ( ' : E\EMPLO6Encontrar "a "on*itud de "a cur&a C de%inida /or r8t'78acost) asent) ct')deA78a) I) I' 2asta 178a) I) !Uc'Como T r]8t' 7 8+asent) acost) c'ComoA:r8t'6a7acostTI7asentT I 7 ct"ue*ot7IComo1:r8t'6a7acostTI7asentT! Uc 7 ct"ue*ot7! Ubadt t r s ) ( '2 2202 22 2 2 2 2 2 22: ecos ) ( 'c a dt c a semplazandoc a c t a t sen a t r+ + + + + RE+PARAMETRI_ACI4N(ELAFUNCI4NVECTORIAL RESPECTO A LA LONWITU( (E ARCO?S@Este/roceso*enera"mentenosiem/rees/osi,"e)yserea"i0a medianteunacom/osici.nentre"a%unci.n&ectoria") /arametri0adaen?t@comor8t')conuna%unci.nesca"art7 `8s' >ue se o,tiene a /artir de6 7 %8t' (e modo >ue e9/"icitando t6t 7 `8s' Laciendo"acom/osici.n6r;`8s'>d!' Esta/ro/iedadnos/ermiteca"cu"ardirectamente)e" &ector norma" a "a tan*ente. Esto es r]]8s' 7 N[ ] ) ( ' ) ( ' ) ( ' s r s s r ) ( '1) ( ' ) (t r dsdts s t Como [ ][ ] 1 ') ( '1) ( ': e) ( ' ) ( ' ) ( ' : ) ( ' t rt rs remplazandos r s s r s r de 'orma la (allamos (emostraci.n6E" &ector norma" unitario ser$6 8A') ( ' ') ( ' 's rs r'''u CURVATURA?a@= VECTORNORMAL6(e%inici.n6 "a cur&atura nos da e" *rado de &ariaci.n >ue su%re "adirecci.nde"atan*enteunitaria)res/ectoa"a"on*itudde arco)estoesVVdTuVdsVV)otam,incomo"aVVr]]8s'VV.(ado>ue como Tu7r]8s') entonces dTuVds 7 dr]8s'Vds 7 r]]8s'.La ma*nitud de "a cur&atura nos in%ormaacerca de "a %orma de "a cur&a) si es sua&e o es /ronunciada.En "a %i*ura se muestra *r$%icamente"o >ue 2emos mencionado antes.Cuando a es /e>ueba "a cur&a esSua&e cuando a es *rande "a cur&a es muy /ronunciada.Y

23%45%6) 2,r)n%CcLCULO (E LA CURVATURA ?a@ EN FUNCI4N (E r8t'6Por de%inici.n sa,emos >uea 7 VVdTuVdsVV.C$"cu"o de dTuVds6

'orma de definici#n port r t r t r que sabemosdtt r dde C&lculo ) 1 ( ) ( ' . ) ( ' ) ( ' ;) ( '2

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dtt r dt r t r t rt r t rdtt r dt r t rdtt drt r dsd)t rt rdtdt r dsdtt rt rdtdt rt rdsddsd)uu) ( ') ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '1) ( ') ( ') ( ' ) ( ') ( ') ( '1) ( ') ( ') ( '1) ( ') ( ') ( ') ( '3 2Rem/"a0ando6( ) ( ) ) ( ) ( ' ' . ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '1) ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '1243a t r t r t r t r t rt rdsd)t rt r t rt r t r t rt rdsd)uu

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dsd)dsd)dsd)Comou u u. :2E%ectuando y sim/"i%icando6/or "a I.(e La*ran*eVECTOR NORMALPartiendo de 8a'6( ) ( )( )) ( ' ') ( ') ( ' ' ) ( ') ( ' ' ) ( ') ( '1) ( ' ' . ) ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '132!222!22s rt rt r x t r*dsd)t r x t rt rdsd)t r t r t r t rt rdsd)uuu ( ) ( ) ) ( ' ' . ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '1) ( ' '24t r t r t r t r t rt rs rdsd)u O/erando6Comor]]8s'7N)y"oscoe%icientesder]]8s'yder]8t'son esca"ares) "a e9/resi.n se /uede escri,ir6r]]8t' 7 C1 N R C! r]8t'

Lue*o r]8t') N y r]]8s' son co/"anares.Laciendo un es>uema *eomtrico6Si mu"ti/"icamos &ectoria"mente r]8t' con r]]8t') tenemos un &ector>ue &aa ser /er/endicu"ar a" /"ano .C78 r..(t)C2r.(t)r.(t)xr..(t)( )) ( ') ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ' ' ) ( ' ' ) ( '22t rt rt r t rt r s r t r11]1

E" &ector r]8t'9r]]8t'es /er/endicu"ar a r]8t' y a N) de,ido a >ue este&ector es/er/endicu"ar a"/"anoy/or tanto/er/endicu"ar a todo &ector >ue se encuentre en e".Por todo "o mencionado /odemos a%irmar >ue e" &ector Norma"N 7 ; r]8t' 9 r]]8t' < 9 r]8t'Lue*o e" &ector Norma" Unitario ser$68I'dsd)' * s r que afirmar puede se Entoncess r * que ys rs r' que sabemos Perouuu ) ( ' ' :) ( ' ') ( ' ') ( ' 'VECTOR 1INORMALSe de%ine como un &ector unitario >ue es /er/endicu"ar a Tu y a Nu) y /or tanto1 7 Tu 9 Nu(e" es>uema anterior se /uede deducir >ue1 VV r]8t' 9 r]]8t'Por tanto 6 Como 1 7 Tu 9 Nu

) ( ' ' ) ( ') ( ' ' ) ( 't xr t rt xr t r+La!ran!e de % ' ) ' ) ' x ) +cuadrado al elevando ' x ) +u u u u u uu u. / ) . (22 22 2 10 . 1 + Entoncess orto!onale ser por ' ) y ' )u u u uRectas y P"anos >ue se nacen a ra-0 de esta terna de &ectores entorno de un /unto P cua">uiera de "a cur&a.Rectas6Recta Tan*ente 7 F P R t Tu HRecta Norma" 7 F P R t Nu HRecta 1inorma" 7 F P R t 1 HP"anos6P"ano Oscu"ador 7 F PRsTuRtNuHP"ano Norma" 7 F P R sNuRt1 HP"ano Recti%icante 7 F PRsTuRt1HHH+598PR%$t)8!r:)lR%$t)+)n,%nt%R%$t) 9in!r:)l 85 +59

CdRCULO OSCULA(OREs"acircu"o>ueseencuentraso,ree"/"anooscu"adorysu radio es i*ua" a "a in&ersa de "a cur&atura) esto es)R 7 1Va y ,esa a "a cur&a en e" /unto P.Como se muestra en "a %i*ura.Como e" c-rcu"o oscu"ador estan*ente a "a cur&a en P) en+tonces e" centro C de" c-rcu+"o se encuentra en "a rectaNorma") de "a %i*ura se tiene6C 7 P R PCComoVVPCVV 7 RentoncesPC 7 RNuPor tanto6C 7 P R RNuO P R= //PC//C 8+5r(t)C;r$5l!O($5l)!rTORSION(e%inici.n6es"ara/ide0con>ue"acur&asea"eAade"/"ano oscu"ador) esta medida est$ re"acionada con e" &ector 1inorma") e 7VVd1VdsVV 7 VV1]VV.Se sa,e >ue 1 7Tu9Nu(eri&ando6d1Vds 78dTuVds'9Nu R Tu98dNuVds' ComodTuVds 7 r]]8s' y r]]8s' VV Nuentonces8d TuVds'9Nu7 ILue*o6 1] 7 Tu98dNuVds' 8a'Sa,emos >ue VV1 VV 7 1entonces 1.1]7I "ue*o1]) Nu y Tu son co/"anares.Por8a'tenemos>ue1]Tuysa,emos>ueNuTu "ue*o1] VVNuentonces1] 7 cNu"omo por $e%inici&n//'(// ) *+//'(// ) /c///,- // ) /c/entonces c) *+ por tanto:'( ) *,-.-e/o: '( . ,- ) * ,-.,-entonces * ) '(. ,- ) '( .(1)Rem/"a0ando 81' en 8,' y o/erando6.-e/o:

) ( ' ') ( ' 's rs r2 2) ( ' ' ' ). ( ' ' ) ( ') ( ' ') ( ' ' ' ). ( ' ' ) ( '*s r s r x s rs rs r s r x s r La Torsi.n en %unci.n de r8t'Tenemos >ueVamos a e9/resar r]8s'9r]]8s' . r]]8s'en %unci.n de r8t'62) ( ' ') ( ' ' ' ). ( ' ' ) ( 's rs r s r x s r ( )[ ] ( )) () ( ') ( ' ' ) ( ') ( ' ' ) ( '0 ) ( ' ) ( ') ( ' ' . ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ' ;) ( ') ( ') ( ' ' ) ( ' :) ) ( ' ' . ) ( ' ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ') ( '1) ( ' ' ;) ( ') ( ') ( ':32424Ct rt r x t rs r x s rt r x t r Comot r t r t r t r t r xt rt rs r x s r Lue!ot r t r t r t r t rt rs r que yt r t rs rque Sabemos C$"cu"o de r]]]8s'en %unci.n de r8t'6(eri&ando r]]8s'res/ecto a ?s@6[ ][ ][ ] [ ]) ( '1) ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ') ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ' ') ( '1) ( ') ( ' ) ( ' ' ) ( ' ) ( ' ' ') ( ' ' ') ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ') ( ') ( ' ') ( ' ' '4 442 24 2t rt rt r t rdtdt rt rt r t rt rt rt rt rdtdt r t r t rs rdsdtt rt r t rt rdtddsdtt rt rdtds r11]1

)'+)'1111]1

11]1

11]1

O/erando6 8(]'Ca"cu"ando6 r]8s' 9 r]]8s' . r]]]8s'se o,tendr-an "os si*uientes /roductos mi9tos6a' r]8t' 9 r]]8t' . r]]]8t' B I,' r]8t' 9 r]]8t' . r]]8t' 7 Ic' r]8t' 9 r]]8t' . r]]8t' 7 Id' r]8t' 9 r]]8t' . r]8t' 7 I[ ] 0202) ( ') ( ' ) ( ' ') ( ') ( ' ) ( ' ' ') ( ' ' 't rt rdtdt rt rt r t rs r[ ] [ ])'+)'4 0) ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ') ( ') ( ') ( ' ' . ) ( ') ( ' 't rt r t rdtdt r t rt rt r t rt rLue*or]8s' 9 r]]8s' . r]]]8s' ser$681'

Rem/"a0ando en "a e9/resi.n 8!' de "a torsi.n81' y 8#'6 8!' 8#' !) ( ') ( ' ' ' . ) ( ' ' ) ( ') ( ' ' ' . ) ( ' ' ) ( 't rt r t r x t rs r s r x s r F4RMULAS (E FRENET+SERRETEstas %.rmu"as /ertenecen a "a Teor-a de "as Cur&as. Introducidas /or \ean Frderic Frenet y \ose/2 Serret.La,asees/acia"de%inida/ore"&ectorTan*ente)Norma"y 1inorma"triedrom.&i")esconocidotam,incomoe"triedrode Frenet+SerretEstas%.rmu"asdescri,en"as/ro/iedadescinem$ticasdeuna /art-cu"a>uesemue&ea"o"ar*odeunacur&acontinua) di%erencia,"e en tres dimensiones.Entrar a Woo*"e6 T-tu"o6 F4RMULAS (E FRENET+SERRET85 9 9 +5 +5

85Las F.rmu"as de Frenet+SerretSon"as>ueseo,tienena"deri&arres/ectoa?s@"atan*ente unitaria Tu) e" &ector norma" unitario Nu y e" &ector 1inorma"161'!'#'(educci.n61' (e6 sa,emos >ue/orde%inici.n) /or otro "ado sa,emos>uer]] 8s' r]8s'7Tu"ue*or]]8s'7N7 uu' *dsd)uu' *dsd)+ *)dsd'uu + *dsd)udsd)u 8a'!'Sa,emos >ue 1 7 Tu 9 Nu"ue*o deri&ando res/ecto a ?s@61] 7 Tu]9 Nu RTu 9 Nu]81'ComoNuNuf)entoncesTu)1yNu]sonco/"anares)/or tanto6 Nu] 7 c Tu R c] 18!'endondec y c]son esca"ares)/eroTu]VV Nu/or tanto Tu]9 Nu 7 I0://> c si c ' cdsd)norma la Sacando' cdsd)'dsd)uuuuuuuu' *dsd)to Por* c Lue!o: tanLue*o6 1] 7 Tu9Nu]8#'Rem/"a0ando 8!' en 8#'61] 7 Tu9Nu] 7 Tu98c Tu R c] 1 ' Como Tu VVTu Tu 9 Tu 7 IEntonces6 1] 7 Tu9Nu] 7 Tu 9 c] 1 7 c]8 Tu 91 'Lue*o61] 7 +c] NuSacando norma6VV1]VV 7 V+c]V VVNuVV 7 e"ue*o c]7e Por tanto61] 7 + e Nu 8,'85=9x+5 +5 9+5x9= -85#' Nuf 7aTu + e Nu.ComoTu)Nuy1)de%inenuna1aseOrto*ona"enV#) *eneran a todo &ector de dic2o es/acio.Portanto6Nuf7rTuRsNuRt1)8I'endonder)sytson esca"ares y nuestro /ro,"ema se tras"ada a" c$"cu"o de r) s y t.C$"cu"o de ?s@6Mu"ti/"icando 8I' esca"armente /or Nu se tiene6 6Nu].Nu 7 rTu.NuR s Nu.NuR t 1.NuComoVVNuVV7Nu Nu] entonces Nu.Nu]7I T Tu.Nu 7Iy 1.Nu7IEntonces6s 7 IC$"cu"o de ?r@6Mu"ti/"icando 8I' esca"armente /or Tu se tiene6 Nu].Tu 7 rTu.TuR s Nu.TuR t 1.TuComoTu.Nu 7I)1.Tu7IyTu.Tu 7 1entoncesNu].Tu 7 rComo6Tu . Nu 7 Ideri&ando este /roducto6Tu].Nu RTu.Nuf 7 I entonces6 Tu.Nuf7 +Tu].Nu 7 + 8aNu'.Nug V 8a'Lue*o6 Tu . Nuf 7 +a E Portanto6r 7 + aC$"cu"o de ?t@6Mu"ti/"icando 8I' esca"armente /or 1 se tiene6 6Nu].1 7 rTu.1 R s Nu.1 R t 1.1 ComoTu.17I)1.Nu7Iy1.1 7 1entoncesNu].1 7 tComo 61 . Nu7I deri&ando este /roducto1]. Nu R 1 .Nuh7I"ue*o6 + 1]. Nu 7 1 .Nuf Por tanto6t 7 + 1]. Nu 7 +8+ e Nu'.Nu 7 eentoncest7 eRem/"a0ando en 8I'6 Nuf 7+aTu R INu R e17 +aTu R e1Lue*o6Nuf 7 +aTu R e1u' + u u' ) APL%,Mn%l%(45%:)l)($!ni$i!n%(ini$i)l%( 3)r) t=0, (%rEn-C!:! %l 3r!y%$til 3)rt% %l !ri,%nr(0)= (0, 0, 0),y$!:!l)D%l!$i)ini$i)l%(tE)!3!r *(0) $5y) n!r:) %( //*(0)//- *(0) = (//*(0)//$!(N, //*(0)//(%nN, 0)Y*y *(0)':)x0 *x =//*(0)//$!(N xRCEl$5l! %l D%$t!r D%l!$i)-CEl$5l! %l D%$t!r 3!(i$iCn r(t)-C!:!