viga dos luces
DESCRIPTION
Predimensionamiendo de viga de dos lucesTRANSCRIPT
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-01
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b
= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00
Seccin de viga bc 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
aab 1071.88 1071.88 -1.000
-1.00Factor de distribucin de un nudo
W2W1
W1W2L1L2
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki
Ci = -1.000
Ki Ci
h
b
d
-
bba 1071.88 2786.88 -0.385
-1.000bc 1715.00 2786.88 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1715.00 1715.00 -1.000
-1.00 en el nudo es igual a -1.000.
14.654 -14.6540.000 -0.003 -0.004 0.0000.005 0.003 0.004 0.008
-0.005 -0.011 -0.017 -0.0080.021 0.011 0.017 0.034
-0.021 -0.042 -0.067 -0.0340.084 0.042 0.067 0.135
-0.084 -0.168 -0.269 -0.1350.337 0.168 0.269 0.538
-0.337 -0.673 -1.077 -0.53811.115 5.558 -3.808 -7.615-0.449 -0.897 -1.436 -0.718
-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000
a b c
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 14.654 6.17 -9.83 bc 4.00 5.00 10 -10 -14.654 0.000 12.93 -7.07
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
-
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -14.65
11; 6.25
21; 0.001; 0.001; 0.00
11; 9.51
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.17 2.00 3.08 3.08 1.00 0.00 12.93 4.00 3.23 11.23 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.17 0.00 6.17 0.00 6.17 0.00 12.93 4.00 12.93 8.000.31 6.17 2.00 5.55 0.31 5.55 0.32 12.93 4.00 11.64 8.320.62 6.17 2.00 4.93 0.62 4.93 0.65 12.93 4.00 10.34 8.65
Dar valores entre: 0.93 6.17 2.00 4.32 0.93 4.32 0.97 12.93 4.00 9.05 8.971.23 6.17 2.00 3.70 1.23 3.70 1.29 12.93 4.00 7.76 9.29
X = 0.00 1.54 6.17 2.00 3.08 1.54 3.08 1.62 12.93 4.00 6.47 9.62X = 3.08 1.85 6.17 2.00 2.47 1.85 2.47 1.94 12.93 4.00 5.17 9.94
2.16 6.17 2.00 1.85 2.16 1.85 2.26 12.93 4.00 3.88 10.262.47 6.17 2.00 1.23 2.47 1.23 2.59 12.93 4.00 2.59 10.592.78 6.17 2.00 0.62 2.78 0.62 2.91 12.93 4.00 1.29 10.91
-
Vx=0, Punto de inflexin 3.08 6.17 2.00 0.00 3.08 0.00 3.23 12.93 4.00 0.00 11.233.58 6.17 2.00 -0.98 3.58 -0.98 3.41 12.93 4.00 -0.71 11.414.07 6.17 2.00 -1.97 4.07 -1.97 3.59 12.93 4.00 -1.41 11.59
Dar valores entre: 4.56 6.17 2.00 -2.95 4.56 -2.95 3.76 12.93 4.00 -2.12 11.765.05 6.17 2.00 -3.93 5.05 -3.93 3.94 12.93 4.00 -2.83 11.94
X = 3.08 5.54 6.17 2.00 -4.92 5.54 -4.92 4.12 12.93 4.00 -3.53 12.12X = 8.00 6.03 6.17 2.00 -5.90 6.03 -5.90 4.29 12.93 4.00 -4.24 12.29
6.53 6.17 2.00 -6.88 6.53 -6.88 4.47 12.93 4.00 -4.95 12.477.02 6.17 2.00 -7.87 7.02 -7.87 4.65 12.93 4.00 -5.66 12.657.51 6.17 2.00 -8.85 7.51 -8.85 4.82 12.93 4.00 -6.36 12.828.00 6.17 2.00 -9.83 8.00 -9.83 5.00 12.93 4.00 -7.07 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 0.00 0.00 6.17 0.00 0.00 0.000.31 0.00 2.00 6.17 1.81 0.31 1.810.62 0.00 2.00 6.17 3.42 0.62 3.420.93 0.00 2.00 6.17 4.85 0.93 4.851.23 0.00 2.00 6.17 6.09 1.23 6.091.54 0.00 2.00 6.17 7.13 1.54 7.131.85 0.00 2.00 6.17 7.99 1.85 7.992.16 0.00 2.00 6.17 8.66 2.16 8.662.47 0.00 2.00 6.17 9.13 2.47 9.132.78 0.00 2.00 6.17 9.42 2.78 9.423.08 0.00 2.00 6.17 9.51 3.08 9.513.58 0.00 2.00 6.17 9.27 3.58 9.274.07 0.00 2.00 6.17 8.55 4.07 8.554.56 0.00 2.00 6.17 7.34 4.56 7.345.05 0.00 2.00 6.17 5.65 5.05 5.655.54 0.00 2.00 6.17 3.47 5.54 3.476.03 0.00 2.00 6.17 0.81 6.03 0.81
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
6.53 0.00 2.00 6.17 -2.33 6.53 -2.337.02 0.00 2.00 6.17 -5.95 7.02 -5.957.51 0.00 2.00 6.17 -10.06 7.51 -10.068.00 0.00 2.00 6.17 -14.65 8.00 -14.65
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.17 2.00 0.00 6.17
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 6.17 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -14.65 4.00 12.93 -14.65 8.00 -14.650.32 -14.65 4.00 12.93 -10.68 8.32 -10.680.65 -14.65 4.00 12.93 -7.13 8.65 -7.130.97 -14.65 4.00 12.93 -3.99 8.97 -3.991.29 -14.65 4.00 12.93 -1.28 9.29 -1.281.62 -14.65 4.00 12.93 1.02 9.62 1.021.94 -14.65 4.00 12.93 2.90 9.94 2.902.26 -14.65 4.00 12.93 4.37 10.26 4.372.59 -14.65 4.00 12.93 5.41 10.59 5.412.91 -14.65 4.00 12.93 6.04 10.91 6.043.23 -14.65 4.00 12.93 6.25 11.23 6.253.41 -14.65 4.00 12.93 6.18 11.41 6.18
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
3.59 -14.65 4.00 12.93 6.00 11.59 6.003.76 -14.65 4.00 12.93 5.68 11.76 5.683.94 -14.65 4.00 12.93 5.25 11.94 5.254.12 -14.65 4.00 12.93 4.69 12.12 4.694.29 -14.65 4.00 12.93 4.00 12.29 4.004.47 -14.65 4.00 12.93 3.19 12.47 3.194.65 -14.65 4.00 12.93 2.25 12.65 2.254.82 -14.65 4.00 12.93 1.19 12.82 1.195.00 -14.65 4.00 12.93 0.00 13.00 0.00
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -14.65 12.93 4.00 1.47 5.00
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.47 0.00 13.00 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 6.170.31 5.550.62 4.930.93 4.32
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
1.23 3.701.54 3.081.85 2.472.16 1.852.47 1.232.78 0.623.08 0.003.58 -0.984.07 -1.974.56 -2.955.05 -3.935.54 -4.926.03 -5.906.53 -6.887.02 -7.877.51 -8.858.00 -9.838.00 0.008.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.17
10.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
Lamina
MC-01
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular
Cij = - Kij/ Ki
Ci = -1.000
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
14.654 -14.6540.000 -0.084 -0.135 0.0000.168 0.084 0.135 0.269
-0.168 -0.337 -0.538 -0.2690.673 0.337 0.538 1.077
-0.673 -1.346 -2.154 -1.07710.667 5.333 -4.167 -8.333
-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000
a b c
-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -14.65
11; 6.25
21; 0.001; 0.001; 0.00
11; 9.51
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.08 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.23 m. 6.17 9.83 12.93 7.07 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.1710.26 3.8810.59 2.5910.91 1.29
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
-
11.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-02
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b
= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00
Seccin de viga bc 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado
Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 0.75 803.90625 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
W2W1
W1W2L1L2
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki Ki Ci
h
b
d
-
aab 803.91 803.91 -1.000
-1.00Factor de distribucin de un nudo
bba 803.91 2090.16 -0.385
-1.000bc 1286.25 2090.16 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1286.25 1286.25 -1.000
-1.00 en el nudo es igual a -1.000.
14.654 -14.6540.000 0.000
-1.346 -2.15410.667 5.333 -4.167 -8.333
-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000
a b c
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 14.654 6.17 -9.83 bc 4.00 5.00 10 -10 -14.654 0.000 12.93 -7.07
Ci = -1.000
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.17 2.00 3.08 3.08 1.00 0.00 12.93 4.00 3.23 11.23 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.17 0.00 6.17 0.00 6.17 0.00 12.93 4.00 12.93 8.000.31 6.17 2.00 5.55 0.31 5.55 0.32 12.93 4.00 11.64 8.320.62 6.17 2.00 4.93 0.62 4.93 0.65 12.93 4.00 10.34 8.65
Dar valores entre: 0.93 6.17 2.00 4.32 0.93 4.32 0.97 12.93 4.00 9.05 8.971.23 6.17 2.00 3.70 1.23 3.70 1.29 12.93 4.00 7.76 9.29
X = 0.00 1.54 6.17 2.00 3.08 1.54 3.08 1.62 12.93 4.00 6.47 9.62X = 3.08 1.85 6.17 2.00 2.47 1.85 2.47 1.94 12.93 4.00 5.17 9.94
2.16 6.17 2.00 1.85 2.16 1.85 2.26 12.93 4.00 3.88 10.262.47 6.17 2.00 1.23 2.47 1.23 2.59 12.93 4.00 2.59 10.592.78 6.17 2.00 0.62 2.78 0.62 2.91 12.93 4.00 1.29 10.91
Vx=0, Punto de inflexin 3.08 6.17 2.00 0.00 3.08 0.00 3.23 12.93 4.00 0.00 11.233.58 6.17 2.00 -0.98 3.58 -0.98 3.41 12.93 4.00 -0.71 11.414.07 6.17 2.00 -1.97 4.07 -1.97 3.59 12.93 4.00 -1.41 11.59
Dar valores entre: 4.56 6.17 2.00 -2.95 4.56 -2.95 3.76 12.93 4.00 -2.12 11.765.05 6.17 2.00 -3.93 5.05 -3.93 3.94 12.93 4.00 -2.83 11.94
X = 3.08 5.54 6.17 2.00 -4.92 5.54 -4.92 4.12 12.93 4.00 -3.53 12.12X = 8.00 6.03 6.17 2.00 -5.90 6.03 -5.90 4.29 12.93 4.00 -4.24 12.29
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -14.65
11; 6.2521; 0.001; 0.00
1; 0.00
11; 9.51
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
6.53 6.17 2.00 -6.88 6.53 -6.88 4.47 12.93 4.00 -4.95 12.477.02 6.17 2.00 -7.87 7.02 -7.87 4.65 12.93 4.00 -5.66 12.657.51 6.17 2.00 -8.85 7.51 -8.85 4.82 12.93 4.00 -6.36 12.828.00 6.17 2.00 -9.83 8.00 -9.83 5.00 12.93 4.00 -7.07 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 0.00 0.00 6.17 0.00 0.00 0.000.31 0.00 2.00 6.17 1.81 0.31 1.810.62 0.00 2.00 6.17 3.42 0.62 3.420.93 0.00 2.00 6.17 4.85 0.93 4.851.23 0.00 2.00 6.17 6.09 1.23 6.091.54 0.00 2.00 6.17 7.13 1.54 7.131.85 0.00 2.00 6.17 7.99 1.85 7.992.16 0.00 2.00 6.17 8.66 2.16 8.662.47 0.00 2.00 6.17 9.13 2.47 9.132.78 0.00 2.00 6.17 9.42 2.78 9.423.08 0.00 2.00 6.17 9.51 3.08 9.513.58 0.00 2.00 6.17 9.27 3.58 9.274.07 0.00 2.00 6.17 8.55 4.07 8.554.56 0.00 2.00 6.17 7.34 4.56 7.345.05 0.00 2.00 6.17 5.65 5.05 5.655.54 0.00 2.00 6.17 3.47 5.54 3.476.03 0.00 2.00 6.17 0.81 6.03 0.816.53 0.00 2.00 6.17 -2.33 6.53 -2.337.02 0.00 2.00 6.17 -5.95 7.02 -5.957.51 0.00 2.00 6.17 -10.06 7.51 -10.068.00 0.00 2.00 6.17 -14.65 8.00 -14.65
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.17 2.00 0.00 6.17
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 6.17 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -14.65 4.00 12.93 -14.65 8.00 -14.650.32 -14.65 4.00 12.93 -10.68 8.32 -10.680.65 -14.65 4.00 12.93 -7.13 8.65 -7.130.97 -14.65 4.00 12.93 -3.99 8.97 -3.991.29 -14.65 4.00 12.93 -1.28 9.29 -1.281.62 -14.65 4.00 12.93 1.02 9.62 1.021.94 -14.65 4.00 12.93 2.90 9.94 2.902.26 -14.65 4.00 12.93 4.37 10.26 4.372.59 -14.65 4.00 12.93 5.41 10.59 5.412.91 -14.65 4.00 12.93 6.04 10.91 6.043.23 -14.65 4.00 12.93 6.25 11.23 6.253.41 -14.65 4.00 12.93 6.18 11.41 6.183.59 -14.65 4.00 12.93 6.00 11.59 6.003.76 -14.65 4.00 12.93 5.68 11.76 5.683.94 -14.65 4.00 12.93 5.25 11.94 5.254.12 -14.65 4.00 12.93 4.69 12.12 4.694.29 -14.65 4.00 12.93 4.00 12.29 4.004.47 -14.65 4.00 12.93 3.19 12.47 3.194.65 -14.65 4.00 12.93 2.25 12.65 2.25
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
4.82 -14.65 4.00 12.93 1.19 12.82 1.195.00 -14.65 4.00 12.93 0.00 13.00 0.00
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -14.65 12.93 4.00 1.47 5.00
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.47 0.00 13.00 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 6.170.31 5.550.62 4.930.93 4.321.23 3.701.54 3.081.85 2.472.16 1.852.47 1.232.78 0.623.08 0.00
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
3.58 -0.984.07 -1.974.56 -2.955.05 -3.935.54 -4.926.03 -5.906.53 -6.887.02 -7.877.51 -8.858.00 -9.838.00 0.008.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.17
10.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00
-
Lamina
MC-02
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular ==
0.38 b + 16.000 0.60 b - 12.500
b = -3.590Mba = 14.6538
Mbc = -14.654
Mba = 3EI(b)/L1 + W1. L12/8 3EI(b)/L1 + W1. L12/8Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8 3EI(b)/L2 - W2. L22/8
Cij = - Kij/ Ki
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
14.654 -14.65414.654 -14.654 0.000 0.865 1.385
0.000 -0.673 -1.077 0.000 1.474 0.737 -2.98711.115 5.558 -3.808 -7.615 -1.474 -2.949 -4.718-0.449 -0.897 -1.436 -0.718 10.667 5.333
-10.667 10.667 -8.333 8.333 -10.667 10.667 -8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000 -1.000 -0.385 -0.615
a b c a b
Ci = -1.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.08 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.23 m. 6.17 9.83 12.93 7.07 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.1710.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.24
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.93
22; -7.07
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.17
12; 0.00
22; -9.83
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -14.65
11; 6.2521; 0.001; 0.00
1; 0.00
11; 9.51
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
12.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
-14.6541.385 0.000
-2.987 -5.974-4.718 -2.359
-8.333 8.333-0.615 -1.000
c
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-03
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b
= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00
Seccin de viga bc 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
aab 1071.88 0.00 0.000
0.00Factor de distribucin de un nudo
W2W1
W1W2L1L2
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki
Ci = -1.000
Ki Ci
h
b
d
-
bba 1071.88 2786.88 -0.385
-1.000bc 1715.00 2786.88 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1715.00 1715.00 -1.000
-1.00 en el nudo es igual a -1.000.
11.500 -11.500-10.250 0.001 0.001 0.000
0.000 -0.002 -0.0040.003 0.005 0.009 0.004
0.000 -0.014 -0.0280.017 0.035 0.055 0.028
0.000 -0.090 -0.1800.113 0.225 0.360 0.180
0.000 -0.586 -1.1720.732 1.464 2.343 1.172
0.000 -3.808 -7.615-0.449 -0.897 -1.436 -0.718
-10.667 10.667 -8.333 8.3330.000 -0.385 -0.615 -1.000
a b c
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
-
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15
20
2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.07 11.07 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.61 12.30 4.00 9.84 8.61
Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23
X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.84 12.30 4.00 4.92 9.84
2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77
-
Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.07 12.30 4.00 0.00 11.074.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46
Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.84 12.30 4.00 -3.08 11.84
X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23
6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.52 7.18 -6.52 4.61 12.30 4.00 -6.16 12.617.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.86
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
6.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 7.84 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.61 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.61 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.84 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.84 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.07 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.07 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.34
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
3.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.84 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.84 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.61 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.61 2.674.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.15 0.00 13.00 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.49
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
1.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.004.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.527.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.61 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.84 4.92
10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.07 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.84 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.61 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
Lamina
MC-03
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular
Cij = - Kij/ Ki
Ci = -1.000
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15
20
2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.07 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.61 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.84 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.23
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
-
11.07 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.84 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.61 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-04
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b
= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00
Seccin de viga bc 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado
Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
W2W1
W1W2L1L2
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki Ki Ci
h
b
d
-
aab 1071.88 0.00 0.000
0.00Factor de distribucin de un nudo
bba 1071.88 2358.13 -0.455
-1.000bc 1286.25 2358.13 -0.545 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1286.25 1286.25 -1.000
-1.00 en el nudo es igual a -1.000.
11.500 -11.500-10.250 0.000
0.417 0.833 1.000-4.167 -8.333
-10.667 10.667 -8.333 8.3330.000 -0.455 -0.545 -1.000
a b c
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70
Ci = -1.000
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.08 11.08 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.62 12.30 4.00 9.84 8.62
Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23
X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.85 12.30 4.00 4.92 9.85
2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77
Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.08 12.30 4.00 0.00 11.084.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46
Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.85 12.30 4.00 -3.08 11.85
X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.53 7.18 -6.53 4.62 12.30 4.00 -6.16 12.627.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.866.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 7.84 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.62 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.62 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.85 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.85 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.08 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.08 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.343.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.85 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.85 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.62 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.62 2.67
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
4.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.15 0.00 13.00 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.491.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.00
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
4.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.537.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.92
10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
-
Lamina
MC-04
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular
0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500
b = 1.667Mba = 11.500
Mbc = -11.500
Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8
Cij = - Kij/ Ki
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
Ci = -1.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.08 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.62
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
12.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-05
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b
= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00
Seccin de viga bc 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado
Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij Mji M'jiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333 -12.500
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
W2W1
W1W2L1L2
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki Ki Ci
h
b
d
-
aab 1071.88 0.00 0.000
0.00Factor de distribucin de un nudo
bba 1071.88 2358.13 -0.455
-1.000bc 1286.25 2358.13 -0.545 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1286.25 1286.25 -1.000
-1.00 en el nudo es igual a -1.000.
11.500 -11.500-10.250 0.000
0.417 0.833 1.000
-10.667 10.667 -12.5000.000 -0.455 -0.545 -1.000
a b c
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70
Ci = -1.000
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.08 11.08 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.62 12.30 4.00 9.84 8.62
Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23
X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.85 12.30 4.00 4.92 9.85
2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77
Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.08 12.30 4.00 0.00 11.084.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46
Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.85 12.30 4.00 -3.08 11.85
X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.53 7.18 -6.53 4.62 12.30 4.00 -6.16 12.627.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.866.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 7.84 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.62 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.62 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.85 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.85 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.08 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.08 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.343.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.85 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.85 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.62 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.62 2.67
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
4.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.15 0.00 13.00 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.491.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.00
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
4.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.537.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.92
10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
-
Lamina
MC-05
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular
0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500
b = 1.667Mba = 11.500
Mbc = -11.500
Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8
Cij = - Kij/ Ki
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
Ci = -1.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.08 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.62
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-10
-5
0
5
10
15 2; 12.30
22; -7.70
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 7.84
12; 0.00
22; -8.16
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -11.50
11; 7.41
21; 0.001; 0.00
1; -10.25
11; 5.13
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
12.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
-
ING. Lamina
J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-06
Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:Seccin de viga
Datos:
= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c d = 4.00 Tn/m Tramo b
= 2.00 Tn/m cmL1 L2 L3 = 8.00 m. ab 30.00
= 5.00 m. bc 30.00= 6.00 m. cd 30.00
Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular
ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00cd 30.00 70.00 857,500.00
Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij
Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas
Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos
Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado
Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado
Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.
CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij Mji M'jiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m Tn-m
ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 0.75 803.90625 -10.667 10.667 16.000bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333cd 2.00 6.00 857,500.00 1429.1667 0.75 1071.875 -6.000 6.000 -9.000
Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"
W2W1 W3
W1W2W3L1L2L3
1. MOMENTO DE INERCIA ( I )
I = bh3/12
2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
Mij = Wij. L2ij
3. FACTORES DE DISTRIBUCION
Cij = - Kij/ Ki Ki Ci
h
b
d
-
aab 803.91 803.91 -1.000
-1.000Factor de distribucin de un nudo
bba 803.91 2518.91 -0.319
-1.000bc 1715.00 2518.91 -0.681 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
ccb 1715.00 2786.88 -0.615
-1.000 en el nudo es igual a -1.000.
cd 1071.88 2786.88 -0.385
c -1.000dc 1071.88 1071.88 -1.000
13.194 -13.194 7.594 -7.5940.000 0.000
-0.004 -0.0080.011 0.022 0.014
-0.034 -0.072 -0.0360.000 0.106 0.211 0.132 0.000
-0.322 -0.686 -0.3431.008 2.016 1.260
-2.447 -5.220 -2.61016.000 -8.333 8.333 -9.000
-1.000 -0.319 -0.681 -0.615 -0.385 -1.000
a b c d
Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij
Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji
FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.
ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 13.194 6.35 -9.65 bc 4.00 5.00 10 -10 -13.194 7.594 11.12 -8.88 cd 2.00 6.00 6 -6 -7.594 0.000 7.27 -4.73
Ci = -1.000
4. DIAGRAMA DE ITERACIONES
5. FUERZAS CORTANTES
6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
152; 11.12
22; -8.88
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.35
12; 0.00
22; -9.65
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)
Ubicacin del punto de inflexin del cortante
Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.35 2.00 3.18 3.18 1.00 0.00 11.12 4.00 2.78 10.78 0.00
Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.
X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.
Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.35 0.00 6.35 0.00 6.35 0.00 11.12 4.00 11.12 8.000.32 6.35 2.00 5.72 0.32 5.72 0.28 11.12 4.00 10.01 8.280.64 6.35 2.00 5.08 0.64 5.08 0.56 11.12 4.00 8.90 8.56
Dar valores entre: 0.95 6.35 2.00 4.45 0.95 4.45 0.83 11.12 4.00 7.78 8.831.27 6.35 2.00 3.81 1.27 3.81 1.11 11.12 4.00 6.67 9.11
X = 0.00 1.59 6.35 2.00 3.18 1.59 3.18 1.39 11.12 4.00 5.56 9.39X = 3.18 1.91 6.35 2.00 2.54 1.91 2.54 1.67 11.12 4.00 4.45 9.67
2.22 6.35 2.00 1.91 2.22 1.91 1.95 11.12 4.00 3.34 9.952.54 6.35 2.00 1.27 2.54 1.27 2.22 11.12 4.00 2.22 10.222.86 6.35 2.00 0.64 2.86 0.64 2.50 11.12 4.00 1.11 10.50
Vx=0, Punto de inflexin 3.18 6.35 2.00 0.00 3.18 0.00 2.78 11.12 4.00 0.00 10.783.66 6.35 2.00 -0.96 3.66 -0.96 3.00 11.12 4.00 -0.89 11.004.14 6.35 2.00 -1.93 4.14 -1.93 3.22 11.12 4.00 -1.78 11.22
Dar valores entre: 4.62 6.35 2.00 -2.89 4.62 -2.89 3.45 11.12 4.00 -2.66 11.455.11 6.35 2.00 -3.86 5.11 -3.86 3.67 11.12 4.00 -3.55 11.67
X = 3.18 5.59 6.35 2.00 -4.82 5.59 -4.82 3.89 11.12 4.00 -4.44 11.89X = 8.00 6.07 6.35 2.00 -5.79 6.07 -5.79 4.11 11.12 4.00 -5.33 12.11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
152; 11.12
22; -8.88
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.35
12; 0.00
22; -9.65
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -13.19
11; 2.26
21; -7.59
1; 0.001; 0.00
11; 10.08
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
6.55 6.35 2.00 -6.75 6.55 -6.75 4.33 11.12 4.00 -6.22 12.337.04 6.35 2.00 -7.72 7.04 -7.72 4.56 11.12 4.00 -7.10 12.567.52 6.35 2.00 -8.68 7.52 -8.68 4.78 11.12 4.00 -7.99 12.788.00 6.35 2.00 -9.65 8.00 -9.65 5.00 11.12 4.00 -8.88 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00
CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b
CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 0.00 0.00 6.35 0.00 0.00 0.000.32 0.00 2.00 6.35 1.92 0.32 1.920.64 0.00 2.00 6.35 3.63 0.64 3.630.95 0.00 2.00 6.35 5.14 0.95 5.141.27 0.00 2.00 6.35 6.45 1.27 6.451.59 0.00 2.00 6.35 7.56 1.59 7.561.91 0.00 2.00 6.35 8.47 1.91 8.472.22 0.00 2.00 6.35 9.18 2.22 9.182.54 0.00 2.00 6.35 9.68 2.54 9.682.86 0.00 2.00 6.35 9.98 2.86 9.983.18 0.00 2.00 6.35 10.08 3.18 10.083.66 0.00 2.00 6.35 9.85 3.66 9.854.14 0.00 2.00 6.35 9.15 4.14 9.154.62 0.00 2.00 6.35 7.99 4.62 7.995.11 0.00 2.00 6.35 6.36 5.11 6.365.59 0.00 2.00 6.35 4.26 5.59 4.266.07 0.00 2.00 6.35 1.70 6.07 1.706.55 0.00 2.00 6.35 -1.32 6.55 -1.327.04 0.00 2.00 6.35 -4.81 7.04 -4.817.52 0.00 2.00 6.35 -8.77 7.52 -8.778.00 0.00 2.00 6.35 -13.19 8.00 -13.19
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)
-
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.35 2.00 0.00 6.35
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
0.00 0.00 6.35 0.00
VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c
CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.
0.00 -13.19 4.00 11.12 -13.19 8.00 -13.190.28 -13.19 4.00 11.12 -10.26 8.28 -10.260.56 -13.19 4.00 11.12 -7.63 8.56 -7.630.83 -13.19 4.00 11.12 -5.31 8.83 -5.311.11 -13.19 4.00 11.12 -3.30 9.11 -3.301.39 -13.19 4.00 11.12 -1.60 9.39 -1.601.67 -13.19 4.00 11.12 -0.21 9.67 -0.211.95 -13.19 4.00 11.12 0.87 9.95 0.872.22 -13.19 4.00 11.12 1.64 10.22 1.642.50 -13.19 4.00 11.12 2.11 10.50 2.112.78 -13.19 4.00 11.12 2.26 10.78 2.263.00 -13.19 4.00 11.12 2.16 11.00 2.163.22 -13.19 4.00 11.12 1.87 11.22 1.873.45 -13.19 4.00 11.12 1.38 11.45 1.383.67 -13.19 4.00 11.12 0.69 11.67 0.693.89 -13.19 4.00 11.12 -0.20 11.89 -0.204.11 -13.19 4.00 11.12 -1.29 12.11 -1.294.33 -13.19 4.00 11.12 -2.57 12.33 -2.574.56 -13.19 4.00 11.12 -4.05 12.56 -4.05
Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)
X=(( ^2+21. ))/ 1
-
4.78 -13.19 4.00 11.12 -5.72 12.78 -5.725.00 -13.19 4.00 11.12 -7.59 13.00 -7.59
CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS
UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0
Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -13.19 11.12 4.00 1.72 3.84
COORDENADAS FINALES
X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.
9.72 0.00 11.84 0.00
X' Vxm. Tn.
0.00 0.000.00 6.350.32 5.720.64 5.080.95 4.451.27 3.811.59 3.181.91 2.542.22 1.912.54 1.272.86 0.643.18 0.00
X=(( ^2+22. ))/ 2
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
3.66 -0.964.14 -1.934.62 -2.895.11 -3.865.59 -4.826.07 -5.796.55 -6.757.04 -7.727.52 -8.688.00 -9.658.00 0.008.00 0.008.00 11.128.28 10.018.56 8.908.83 7.789.11 6.679.39 5.569.67 4.459.95 3.34
10.22 2.2210.50 1.1110.78 0.0011.00 -0.8911.22 -1.7811.45 -2.6611.67 -3.5511.89 -4.4412.11 -5.3312.33 -6.2212.56 -7.1012.78 -7.9913.00 -8.8813.00 0.00
-
Lamina
MC-06
Seccin de viga
Dimensiones de la vigab hcm cm
30.00 70.0030.00 70.0030.00 70.00
Vigas de seccion rectangular
0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500
b = 1.667Mba = 11.500
Mbc = -11.500
Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8
Cij = - Kij/ Ki
-
Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin
Ci = -1.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
152; 11.12
22; -8.88
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.35
12; 0.00
22; -9.65
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
-
CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS
CoordenadasVxm.
0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2
3.18 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m2.78 m. 6.35 9.65 11.12 8.88 2.00 4.00
X' Vxm. Tn.
8.00 0.008.00 11.128.28 10.018.56 8.908.83 7.789.11 6.679.39 5.569.67 4.459.95 3.3410.22 2.2210.50 1.1110.78 0.0011.00 -0.8911.22 -1.7811.45 -2.6611.67 -3.5511.89 -4.4412.11 -5.33
Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi
Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2
Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-15
-10
-5
0
5
10
152; 11.12
22; -8.88
23; 0.001; 0.001; 0.00
2; 6.35
12; 0.00
22; -9.65
DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES
V(Tn)
L(m.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1; 0.00
1; -13.19
11; 2.26
21; -7.59
1; 0.001; 0.00
11; 10.08
DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES
M(Tn-m)
L(m.)
-
12.33 -6.2212.56 -7.1012.78 -7.9913.00 -8.8813.00 0.00
-
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
-15.00-10.00-5.000.005.00
10.0015.00
-
V-1-aV-1-bV-2-aV-2-bV-2-cV-3-aHoja1