S I N G I R E S U S . R A O

Q U I N T A E D I C I N

V I B R A C I O N E S M E C N I C A S

VIBRACIONESMECNICAS

VIBRACIONESMECNICAS

QUINTA EDICIN

Singiresu S. Rao University of Miami

TRADUCCINRodolfo Navarro SalasIngeniero MecnicoUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

REVISIN TCNICADavid Seplveda Garca Escuela Superior de IngenieraMecnica y ElctricaUnidad Profesional AzcapotzalcoInstituto Politcnico Nacional

Ricardo Rodrguez Figueroa Departamento de Ingeniera MecatrnicaInstituto Tecnolgico de Coacalco

Gabriela del Valle Daz Muoz Departamento de Ciencias BsicasUniversidad Autnoma MetropolitanaUnidad Azcapotzalco

Authorized translation from the English language edition entitled Mechanical Vibrations, 5th Edition, by Singiresu S. Rao, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2011. All rights reserved.

ISBN 9780132128193

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Mechanical Vibrations, 5 edicin, por Singiresu S. Rao, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2011. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Direccin general: Laura KoestingerDireccin de Educacin Superior: Mario ContrerasEditor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearson.comEditor de desarrollo: Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Juan Jos Garca Guzmn Gerencia editorial

Educacin Superior Latinoamrica: Marisa de Anta

QUINTA EDICIN, 2012

D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electrop-tico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus re-presentantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0952-6 ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0953-3ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0954-0

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

www.pearsoneducacion.net

RAO, SINGIRESU S.Vibraciones mecnicasQuinta edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012

ISBN: 978-607-32-0952-6

rea: Ingeniera

Formato 20 25.5 cm Pginas: 776

A Lord Sri Venkateswara

Prefacio xiii

Reconocimientos xviii

Lista de smbolos xviii

CAPTULO 1

Fundamentos de vibracin 21.1 Comentarios preliminares 31.2 Breve historia del estudio de la vibracin 4

1.2.1 Orgenes del estudio de la vibracin 41.2.2 De Galileo a Rayleigh 61.2.3 Contribuciones recientes 9

1.3 Importancia del estudio de la vibracin 101.4 Conceptos bsicos de la vibracin 13

1.4.1 Vibracin 131.4.2 Partes elementales

de sistemas vibratorios 131.4.3 Cantidad de grados de libertad 141.4.4 Sistemas discretos y continuos 15

1.5 Clasificacin de la vibracin 161.5.1 Vibracin libre y forzada 161.5.2 Vibracin no amortiguada

y amortiguada 161.5.3 Vibracin lineal y no lineal 161.5.4 Vibracin determinstica y aleatoria 16

1.6 Procedimiento del anlisis de la vibracin 171.7 Elementos de resorte 21

1.7.1 Resortes no lineales 221.7.2 Linealizacin de un resorte no lineal 231.7.3 Constante de resorte

de elementos elsticos 251.7.4 Combinacin de resortes 281.7.5 Constante de resorte asociada

con la fuerza de restauracin producida por la gravedad 36

1.8 Elementos de masa o inercia 371.8.1 Combinacin de masas 38

1.9 Elementos de amortiguamiento 421.9.1 Construccin de amortiguadores

viscosos 431.9.2 Linealizacin de un amortiguador

no lineal 491.9.3 Combinacin de amortiguadores 49

1.10 Movimiento armnico 511.10.1 Representacin vectorial del movimiento

armnico 521.10.2 Representacin por medio

de nmeros complejos del movimiento armnico 53

1.10.3 lgebra compleja 551.10.4 Operaciones con funciones armnicas 551.10.5 Definiciones y terminologa 58

1.11 Anlisis armnico 611.11.1 Expansin de la serie de Fourier 611.11.2 Serie de Fourier compleja 631.11.3 Espectro de frecuencia 641.11.4 Representaciones en el dominio

del tiempo y la frecuencia 651.11.5 Funciones par e impar 651.11.6 Expansiones de medio rango 671.11.7 Clculo numrico de coeficientes 68

1.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 721.13 Literatura acerca de la vibracin 75 Resumen del captulo 76 Referencias 76 Preguntas de repaso 78 Problemas 81 Proyectos de diseo 111

CAPTULO 2

Vibracin libre de sistemas de un solo grado de libertad 1142.1 Introduccin 1162.2 Vibracin libre de un sistema traslacional

no amortiguado 1182.2.1 Ecuacin de movimiento basada en la segunda

ley del movimiento de Newton 1182.2.2 Ecuacin de movimiento utilizando otros

mtodos 1202.2.3 Ecuacin del movimiento de un sistema

de resorte-masa en posicin vertical 1212.2.4 Solucin 1232.2.5 Movimiento armnico 124

2.3 Vibracin libre de un sistema torsional no amortiguado 1352.3.1 Ecuacin de movimiento 1362.3.2 Solucin 136

CONTENIDO

Contenido vii

2.4 Respuesta de sistemas de primer orden y constante de tiempo 139

2.5 Mtodo de la energa de Rayleigh 1412.6 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso 146

2.6.1 Ecuacin de movimiento 1462.6.2 Solucin 1472.6.3 Decremento logartmico 1522.6.4 Energa disipada

en amortiguamiento viscoso 1542.6.5 Sistemas torsionales

con amortiguamiento viscoso 1562.7 Representacin grfica de races caractersticas

y soluciones correspondientes 1622.7.1 Races de la ecuacin caracterstica 1622.7.2 Representacin grfica de races

y soluciones correspondientes 1632.8 Variaciones de parmetros y representaciones

del lugar geomtrico de las races 1642.8.1 Interpretaciones de vn, vd, z y t

en el plano s 1642.8.2 Lugar geomtrico de las races

y variaciones de parmetro 1672.9 Vibracin libre con amortiguamiento

de Coulomb 1732.9.1 Ecuacin de movimiento 1742.9.2 Solucin 1752.9.3 Sistemas torsionales

con amortiguamiento de Coulomb 1772.10 Vibracin libre con amortiguamiento

histertico 1792.11 Estabilidad de sistemas 1852.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 189 Resumen del captulo 195 Referencias 196 Preguntas de repaso 196 Problemas 201 Proyectos de diseo 237

CAPTULO 3

Vibracin armnicamente excitada 2403.1 Introduccin 2423.2 Ecuacin de movimiento 2423.3 Respuesta de un sistema no amortiguado sometido

a una fuerza armnica 2433.3.1 Respuesta total 2473.3.2 Fenmeno de batido 247

3.4 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a una fuerza armnica 2503.4.1 Respuesta total 2543.4.2 Factor de calidad y ancho de banda 255

3.5 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F(t) = F0eiVt 257

3.6 Respuesta de un sistema amortiguado sometido al movimiento armnico de la base 2593.6.1 Fuerza transmitida 2613.6.2 Movimiento relativo 262

3.7 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a desbalance rotatorio 265

3.8 Vibracin forzada con amortiguamiento de Coulomb 269

3.9 Vibracin forzada con amortiguamiento de histresis 273

3.10 Movimiento forzado con otros tipos de amortiguamiento 275

3.11 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad 2763.11.1 Anlisis de estabilidad dinmica 2763.11.2 Inestabilidad dinmica provocada

por el flujo de un fluido 2793.12 Mtodo de la funcin de transferencia 2853.13 Soluciones obtenidas utilizando transformadas

de Laplace 2883.14 Funciones de transferencia de frecuencia 291

3.14.1 Relacin entre la funcin de transferencia general T(s) y la funcin de transferencia de frecuencia T(iv) 293

3.14.2 Representacin de las caractersticas de respuesta de frecuencia 294

3.15 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 297 Resumen del captulo 302 Referencias 302 Preguntas de repaso 303 Problemas 307 Proyectos de diseo 328

CAPTULO 4

Vibracin en condiciones forzadas 3304.1 Introduccin 3314.2 Respuesta bajo una fuerza peridica general 332

4.2.1 Sistemas de primer orden 3334.2.2 Sistemas de segundo orden 339

4.3 Respuesta bajo una fuerza peridica de forma irregular 345

4.4 Respuesta bajo una fuerza no peridica 3474.5 Integral de convolucin 347

4.5.1 Respuesta a un impulso 3484.5.2 Respuesta a una condicin forzada

general 3514.5.3 Respuesta a excitacin de la base 352

4.6 Espectro de respuesta 359

viii Contenido

4.6.1 Espectro de respuesta para excitacin de la base 361

4.6.2 Espectros de respuesta a sismos 3654.6.3 Diseo bajo un ambiente de choque 368

4.7 Transformada de Laplace 3714.7.1 Respuestas transitoria

y de estado estable 3714.7.2 Respuesta de sistemas

de primer orden 3724.7.3 Respuesta de sistemas

de segundo orden 3744.7.4 Respuesta a una fuerza gradual 3794.7.5 Anlisis de la respuesta escalonada 3854.7.6 Descripcin de una respuesta

transitoria 3864.8 Mtodos numricos 392

4.8.1 Mtodos de Runge-Kutta 3934.9 Respuesta a condiciones

forzadas irregulares obtenida aplicando mtodos numricos 396

4.10 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 400

Resumen del captulo 403 Referencias 404 Preguntas de repaso 404 Problemas 407 Proyectos de diseo 428

CAPTULO 5

Sistemas de dos grados de libertad 4305.1 Introduccin 4315.2 Ecuaciones de movimiento

para vibracin forzada 4355.3 Anlisis de vibracin libre de un sistema

no amortiguado 4365.4 Sistema torsional 4445.5 Acoplamiento de coordenadas

y coordenadas principales 4495.6 Anlisis de vibracin forzada 4555.7 Sistemas semidefinidos 4585.8 Autoexcitacin y anlisis

de estabilidad 4615.9 Mtodo de la funcin de transferencia 4625.10 Soluciones obtenidas aplicando

la transformada de Laplace 4645.11 Soluciones obtenidas utilizando funciones

de transferencia de frecuencia 4725.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 475 Resumen del captulo 481

Referencias 481 Preguntas de repaso 482 Problemas 484 Proyectos de diseo 507

CAPTULO 6

Sistemas de varios grados de libertad 5086.1 Introduccin 5106.2 Modelado de sistemas continuos

como sistemas de varios grados de libertad 5106.3 Uso de la segunda ley de Newton para derivar

ecuaciones de movimiento 5116.4 Coeficientes de influencia 516

6.4.1 Coeficientes de influencia de rigidez 5176.4.2 Coeficientes de influencia

de flexibilidad 5216.4.3 Coeficientes de influencia de inercia 525

6.5 Expresiones de energa potencial y cintica en forma matricial 527

6.6 Coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas 529

6.7 Uso de las ecuaciones de Lagrange para derivar ecuaciones de movimiento 530

6.8 Ecuaciones de movimiento de sistemas no amortiguados en forma matricial 534

6.9 Problema de valor eigen 5356.10 Solucin del problema

de valor eigen 5376.10.1 Solucin de la ecuacin

caracterstica (polinomial) 5376.10.2 Ortogonalidad

de los modos normales 5426.10.3 Valores eigen repetidos 545

6.11 Teorema de expansin 5476.12 Sistemas no restringidos 5476.13 Vibracin libre

de sistemas no amortiguados 5516.14 Vibracin forzada de sistemas no amortiguados

mediante anlisis modal 5546.15 Vibracin forzada de sistemas viscosamente

amortiguados 5616.16 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad 5666.17 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 568 Resumen del captulo 576 Referencias 576 Preguntas de repaso 577 Problemas 581 Proyectos de diseo 601

Contenido ix

CAPTULO 7

Determinacin de frecuencias y modos naturales 6027.1 Introduccin 6037.2 Frmula de Dunkerley 6047.3 Mtodo de Rayleigh 606

7.3.1 Propiedades del cociente de Rayleigh 607

7.3.2 Clculo de la frecuencia natural fundamental 609

7.3.3 Frecuencia fundamental de vigas y flechas 610

7.4 Mtodo de Holzer 6137.4.1 Sistemas torsionales 6137.4.2 Sistemas de resorte-masa 616

7.5 Mtodo de iteracin matricial 6177.5.1 Convergencia a la frecuencia

natural ms alta 6197.5.2 Clculo de frecuencias naturales

intermedias 6197.6 Mtodo de Jacobi 6247.7 Problema de valor eigen estndar 626

7.7.1 Descomposicin de Choleski 6277.7.2 Otros mtodos de solucin 629

7.8 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 629 Resumen del captulo 632 Referencias 632 Preguntas de repaso 633 Problemas 636 Proyectos de diseo 643

CAPTULO 8

Control de la vibracin 6448.1 Introduccin 6468.2 Nomgrafo de vibracin

y criterios de vibracin 6468.3 Reduccin de la vibracin en la fuente 6508.4 Balanceo de mquinas rotatorias 651

8.4.1 Balanceo en un plano 6518.4.2 Balanceo en dos planos 654

8.5 Remolineo de flechas rotatorias 6598.5.1 Ecuaciones de movimiento 6598.5.2 Velocidades crticas 6618.5.3 Respuesta del sistema 6618.5.4 Anlisis de estabilidad 663

8.6 Balanceo de motores reciprocantes 6658.6.1 Fuerzas desbalanceadas debido

a fluctuaciones en la presin de gas 665

8.6.2 Fuerzas desbalanceadas debido a inercia de las partes mviles 667

8.6.3 Balanceo de motores reciprocantes 6698.7 Control de vibracin 6718.8 Control de frecuencias naturales 6718.9 Introduccin al amortiguamiento 6728.10 Aislamiento de la vibracin 673

8.10.1 Sistema de aislamiento de vibracin con cimiento rgido 676

8.10.2 Sistema de aislamiento de vibracin con movimiento de la base 685

8.10.3 Sistema de aislamiento de vibracin con cimiento flexible 692

8.10.4 Sistema de aislamiento de vibracin con cimiento parcialmente flexible 693

8.10.5 Aislamiento contra choques 6948.10.6 Control de vibracin activo 698

8.11 Absorbedores de vibracin 7028.11.1 Absorbedor de vibracin dinmico no

amortiguado 7038.11.2 Absorbedor de vibracin dinmico

amortiguado 7088.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 712 Resumen del captulo 718 Referencias 718 Preguntas de repaso 720 Problemas 722 Proyecto de diseo 735 Respuestas a problemas seleccionados 736 ndice 744

Los captulos 9 al 12 y apndices se encuentran (en espaol) en el sitio web de este libro.

CAPTULO 9

Sistemas continuos 9-19.1 Introduccin 9-39.2 Vibracin transversal de una cuerda o cable 9-3

9.2.1 Ecuacin de movimiento 9-39.2.2 Condiciones iniciales y lmite 9-59.2.3 Vibracin libre de una cuerda uniforme 9-69.2.4 Vibracin libre de una cuerda con dos

extremos fijos 9-69.2.5 Solucin de la onda viajera 9-10

9.3 Vibracin longitudinal de una barra o varilla 9-119.3.1 Ecuacin de movimiento

y solucin 9-119.3.2 Ortogonalidad de funciones normales 9-13

x Contenido

9.4 Vibracin torsional de una flecha o varilla 9-189.5 Vibracin lateral de vigas 9-21

9.5.1 Ecuacin de movimiento 9-219.5.2 Condiciones iniciales 9-239.5.3 Vibracin libre 9-239.5.4 Condiciones lmite 9-249.5.5 Ortogonalidad de funciones normales 9-269.5.6 Vibracin forzada 9-299.5.7 Efecto de una fuerza axial 9-319.5.8 Efectos de inercia rotatoria

y deformacin por cortante 9-349.5.9 Otros efectos 9-38

9.6 Vibracin de membranas 9-389.6.1 Ecuacin de movimiento 9-389.6.2 Condiciones iniciales y lmite 9-40

9.7 Mtodo de Rayleigh 9-419.8 Mtodo de Rayleigh-Ritz 9-439.9 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 9-46 Resumen del captulo 9-48 Referencias 9-49 Preguntas de repaso 9-50 Problemas 9-53 Proyecto de diseo 9-65

CAPTULO 10

Medicin de vibracin y aplicaciones 10-110.1 Introduccin 10-210.2 Transductores 10-4

10.2.1 Transductores de resistencia variable 10-410.2.2 Transductores piezoelctricos 10-710.2.3 Transductores electrodinmicos 10-810.2.4 Transductor de transformador diferencial

variable lineal 10-910.3 Detectores de vibracin 10-10

10.3.1 Vibrmetro 10-1110.3.2 Acelermetro 10-1310.3.3 Velmetro 10-1510.3.4 Distorsin de fase 10-17

10.4 Instrumentos de medicin de frecuencia 10-1910.5 Excitadores de vibracin 10-21

10.5.1 Excitadores mecnicos 10-2110.5.2 Agitador electrodinmico 10-22

10.6 Anlisis de seales 10-2410.6.1 Analizadores de espectros 10-2410.6.2 Filtro pasabanda 10-2510.6.3 Analizadores de ancho de banda

de porcentaje constante y de ancho de banda constante 10-27

10.7 Prueba dinmica de mquinas y estructuras 10-28

10.7.1 Uso de las mediciones operacionales de deflexin 10-28

10.7.2 Uso de una prueba modal 10-2810.8 Anlisis modal experimental 10-29

10.8.1 La idea bsica 10-2910.8.2 Equipo necesario 10-2910.8.3 Procesamiento de seales digitales 10-3110.8.4 Anlisis de seales aleatorias 10-3310.8.5 Determinacin de datos modales a partir

de picos observados 10-3510.8.6 Determinacin de los datos modales

con la grfica de Nyquist 10-3810.8.7 Medicin de modos 10-39

10.9 Monitoreo y diagnstico de la condicin de una mquina 10-4210.9.1 Criterios de severidad de vibracin 10-4210.9.2 Tcnicas de mantenimiento

de mquinas 10-4210.9.3 Tcnicas de monitoreo de la condicin

de mquinas 10-4410.9.4 Tcnicas de monitoreo de vibracin 10-4510.9.5 Sistemas de instrumentacin 10-5010.9.6 Seleccin del parmetro de monitoreo 10-50

10.10 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 10-51 Resumen del captulo 10-54 Referencias 10-54 Preguntas de repaso 10-55 Problemas 10-58 Proyectos de diseo 10-64

CAPTULO 11

Mtodos de integracin numrica en el anlisis de vibracin 11-111.1 Introduccin 11-211.2 Mtodo de diferencia finita 11-311.3 Mtodo de diferencia central para sistemas

de un solo grado de libertad 11-411.4 Mtodo de Runge-Kutta para sistemas

de un solo grado de libertad 11-711.5 Mtodo de diferencia central para sistemas

de varios grados de libertad 11-811.6 Mtodo de diferencia finita para sistemas

continuos 11-1211.6.1 Vibracin longitudinal de barras 11-1211.6.2 Vibracin transversal de vigas 11-16

11.7 Mtodo de Runge-Kutta para sistemas de varios grados de libertad 11-20

11.8 Mtodo de Houbolt 11-22

Contenido xi

11.9 Mtodo de Wilson 11-2511.10 Mtodo de Newmark 11-2811.11 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 11-31 Resumen del captulo 11-37 Referencias 11-37 Preguntas de repaso 11-38 Problemas 11-40

CAPTULO 12

Mtodo de los elementos finitos 12-112.1 Introduccin 12-212.2 Ecuaciones de movimiento de un elemento 12-312.3 Matriz de masa, matriz de rigidez y vector

de fuerza 12-512.3.1 Elemento de una barra 12-512.3.2 Elemento de torsin 12-712.3.3 Elemento de una viga 12-8

12.4 Transformacin de matrices y vectores de un elemento 12-11

12.5 Ecuaciones de movimiento del sistema completo de elementos finitos 12-13

12.6 Incorporacin de condiciones lmite 12-1512.7 Matrices de masa consistente

y de masa concentrada 12-2412.7.1 Matriz de masa concentrada para un elemento

de una barra 12-2412.7.2 Matriz de masa concentrada para un elemento

de una viga 12-2412.7.3 Matrices de masa concentrada en comparacin

con matrices de masa consistente 12-2512.8 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 12-27 Resumen del captulo 12-30 Referencias 12-30 Preguntas de repaso 12-31 Problemas 12-33

APNDICE A

Relaciones matemticas y propiedades de materiales A1

APNDICE B

Deflexin de vigas y placas A4

APNDICE C

Matrices A6

APNDICE D

Transformada de Laplace A13

APNDICE E

Unidades A21

APNDICE F

Introduccin a MATLAB A24

Material en ingls en sitio webCAPTULO 13

Nonlinear Vibration 13-1

CAPTULO 14

Random Vibration 14-1

Cambios en esta edicinEste libro presenta el tema de ingeniera de vibraciones a nivel de licenciatura. Las reacciones favorables de profesores y estudiantes a la cuarta edicin me motivaron a preparar esta quinta edicin. Conserv el estilo de las ediciones anteriores en la presentacin de la teora, los aspectos de clculo y la aplicacin de la vibracin de la manera ms sencilla posible, con especial nfasis en las tcnicas de anlisis por computadora. Se ofrecen amplias explicaciones de los fundamentos en las que se recalca la importancia y la interpretacin fsica que acrecientan las experiencias adquiridas en cursos previos de mecnica y se utilizan numerosos ejemplos y problemas para ilustrar principios y conceptos.

En esta edicin se modificaron algunos temas y se volvieron a escribir otros, se agregaron muchos ms y se introduje-ron nuevas caractersticas. La mayora de esas adiciones y modificaciones fueron a sugerencia de los usuarios y revisores del texto. Entre los cambios importantes destacan los siguientes:

1. Al principio de cada captulo se presenta un esquema y los objetivos de aprendizaje.2. Al final de cada captulo se ofrece un resumen de repaso. 3. La presentacin de algunos temas se ha modificado para ofrecer una mayor cobertura y mejor claridad. Estos temas

incluyen los componentes bsicos de la vibracin: elementos de resorte, elementos de amortiguacin y elementos de masa o inercia, as como aislamiento y control activo de la vibracin.

4. Muchos temas nuevos se presentan con detalles y ejemplos ilustrativos, entre ellos la respuesta de sistemas de primer orden y la constante de tiempo; representacin grfica de las races y soluciones caractersticas; variaciones de parmetros y la representacin del lugar geomtrico de las races; la estabilidad de los sistemas; el mtodo de funcin de transferencia para problemas de vibracin forzada; el mtodo de la transformada de Laplace para solu-cionar problemas de vibracin libre y forzada; el mtodo de la funcin de transferencia de frecuencia; el diagrama de Bode para sistemas de un solo grado de libertad; la respuesta gradual y la descripcin de la respuesta transitoria, y los impactos elsticos y no elsticos.

5. Se agregaron 128 ejemplos, 160 problemas, 70 preguntas de repaso y 107 ilustraciones. 6. Se eliminaron los ejemplos y problemas basados en los programas C++ y Fortran, que en la edicin anterior se

presentaban al final de cada captulo.

Caractersticas sobresalientes del libro Cada tema de este libro es independiente; todos los conceptos se explican perfectamente y las derivaciones se presentan

con todos sus detalles.

A lo largo del texto se recalcan los aspectos de clculo asistidos por computadora. En la ltima seccin de cada captulo en-contrar ejemplos basados en MATLAB, as como varios programas MATLAB de uso general con ejemplos ilustrativos.

Algunos temas se presentan de una forma un tanto no convencional; en particular en los captulos 8, 10 y 11. La ma-yora de los libros de texto abordan los puntos de los aisladores, los absorbedores y el balanceo en captulos diferentes. Sin embargo, dado que uno de los objetivos principales del estudio de las vibraciones es controlar la respuesta a stas, todos los temas relacionados con el control de la vibracin se presentan en el captulo 8. Los instrumentos de medicin de vibracin, junto con los excitadores de vibracin, el procedimiento de anlisis modal experimental y el monitoreo de la condicin de mquinas, estn juntos en el captulo 10 (en el sitio web). Asimismo, todos los mtodos de integracin numrica aplicables a sistemas de uno y varios grados de libertad, al igual que los sistemas continuos, se encuentran en el captulo 11 (en el sitio web).

PREFACIO

xiv Prefacio

Otras caractersticas sobresalientes son las siguientes:

Ms de 240 ejemplos ilustrativos para complementar la mayora de los temas. Ms de 980 preguntas de repaso para que los estudiantes revisen y prueben su comprensin del texto. Estas pregun-

tas son de diferentes tipos: de opcin mltiple, con respuestas breves, de verdadero o falso; de correspondencia de descripciones, y de completar espacios en blanco.

Cada captulo ofrece un extenso conjunto de problemas (ms de 1150 en todo el libro) que resaltan varias aplicacio-nes del material explicado en el texto. (Las respuestas se proporcionan en el de soluciones para el profesor).

Al final de algunos captulos se presentan problemas del tipo proyecto de diseo (ms de 30 a lo largo del texto), muchos sin solucin nica.

Ms de 25 programas MATLAB para ayudar a los estudiantes en la implementacin numrica de los mtodos estu-diados en el texto.

Informacin biogrfica (al inicio de cada captulo y en los apndices) de alrededor de 20 cientficos e ingenieros que contribuyeron al desarrollo de la teora de vibraciones.

Los programas MATLAB y las respuestas a los problemas y a las preguntas de repaso que se presentan en el texto se encuentran disponibles para los profesores en el sitio web de este libro en www.pearsoneducacion.net/rao.

El Manual de soluciones de todos los problemas y sugerencias para disear proyectos est disponible para los profeso-res que adopten este libro como texto en sus cursos. Consulte a su representante de Pearson.

Unidades y notacinEn los ejemplos y problemas de este libro hemos utilizado tanto unidades del Sistema Internacional (SI) como del Sistema Ingls. Despus de los Reconocimientos aparece una lista de smbolos junto con las unidades asociadas en estos siste-mas. En el Apndice E se analiza brevemente la aplicacin de las unidades SI en el campo de las vibraciones. Hemos uti-lizado flechas sobre los smbolos para indicar los vectores de columna y parntesis rectangulares (corchetes) para indicar las matrices.

Organizacin del materialEste libro est organizado en 8 captulos. Adicionalmente en el sitio web encontrar material en espaol sobre temas avan-zados de vibraciones mecnicas (captulos 9 a 12) y apndices (tambin en espaol), as como un par de captulos en ingls (13 y 14). Se asume que el lector tiene conocimientos bsicos sobre esttica, dinmica, resistencia de materiales y ecuaciones diferenciales. Aun cuando es deseable un cierto conocimiento de la teora de matrices y la transformada de Laplace, en los apndices C y D (en el sitio web) se hace un repaso general de estos temas.

El captulo 1 inicia con una breve semblanza de la historia e importancia de las vibraciones, y aborda el modelado de sistemas prcticos para el anlisis de la vibracin junto con los diversos pasos implicados. Se describen las partes elementa-les de un sistema sometido a vibracin, como son rigidez, amortiguamiento y masa (inercia). Se presentan los conceptos b-sicos y la terminologa que se utiliza en el anlisis de vibraciones. El captulo 2 aborda la vibracin libre de sistemas de unsolo grado de libertad sometidos a traslacin y torsin viscosamente amortiguados y no amortiguados. Se analiza, adems, la representacin grfica de las races caractersticas y las soluciones correspondientes, las variaciones de parmetro y las representaciones del lugar geomtrico de las races. Aun cuando el mtodo del lugar geomtrico de las races se utiliza en sistemas de control, su uso en la vibracin se ilustra en este captulo. Tambin se considera la respuesta bajo amortiguacin histertica y de Coulomb. En el captulo 3 se estudian las respuestas amortiguada y no amortiguada de sistemas de un solo grado de libertad a excitaciones armnicas. Se delinean los conceptos de fuerza y transmisibilidades de desplazamiento y su aplicacin en sistemas prcticos. Tambin se presenta el mtodo de funcin de transferencia, la solucin mediante la transformada de Laplace de problemas de vibracin forzada, la respuesta de frecuencia y el diagrama de Bode.

El captulo 4 se ocupa de la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad bajo una funcin forzada general. Los roles de la expansin de la serie de Fourier de una funcin peridica, la integral de convolucin, la transformada de Laplace y los mtodos numricos se describen con ejemplos ilustrativos. Tambin se analiza la especificacin de la respuesta de un

Prefacio xv

sistema subamortiguado en funcin de tiempo pico, tiempo de elevacin y tiempo de asentamiento. En el captulo 5 se considera la vibracin libre y forzada de sistemas de dos grados de libertad. Se analiza la vibracin autoexcitada y la estabi-lidad del sistema. El mtodo de la funcin de transferencia y la solucin por medio de la transformada de Laplace tambin se presentan con ejemplos ilustrativos. En el captulo 6 veremos la vibracin de sistemas de varios grados de libertad y los mtodos de anlisis matriciales que se utilizan para presentar la teora. En este mismo captulo se describe el procedimiento de anlisis modal para la solucin de problemas de vibracin forzada. Los diversos mtodos para determinar frecuencias naturales y formas de modo de sistemas discretos se delinean en el captulo 7. Los mtodos de Dunkerley, Rayleigh, Hol-zer, Jacobi e iteraciones matriciales se explican aportando ejemplos numricos. El captulo 8 aborda los diversos aspectos de control de vibracin, entre ellos los problemas de eliminacin, aislamiento y absorcin. El nomgrafo de vibracin y los criterios de vibracin, los cuales indican los niveles aceptables de vibracin, tambin se presentan aqu. El balanceo de m-quinas rotatorias y reciprocantes y la formacin de remolinos de flechas se consideran. Tambin se describen las tcnicas de control activas para controlar la respuesta de sistemas vibratorios.

Material en espaol en el sitio webMientras que las ecuaciones de movimiento de sistemas discretos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales ordi-narias, las de los sistemas continuos y distribuidos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales parciales. El anlisis de la vibracin de sistemas continuos, como cuerdas, barras, flechas, vigas y membranas, se presenta en el captulo 9. El mtodo de separacin de variables se presenta para la solucin de ecuaciones diferenciales parciales asociadas con sistemas continuos. Los mtodos de Rayleigh y Rayleigh-Ritz para encontrar las frecuencias naturales aproximadas tambin se des-criben con ejemplos. Los mtodos experimentales que se utilizan para medir la respuesta de la vibracin se consideran enel captulo 10, y se describen tcnicas de anlisis de seales y el equipo de medicin de vibracin. Tambin se presentan tcnicas de monitoreo y diagnstico de la condicin de mquinas.

El captulo 11 presenta varias tcnicas de integracin numricas para determinar la respuesta dinmica de sistemas discretos y continuos. Se analizan e ilustran los mtodos de diferencia central, los de Runge-Kutta, Houbolt, Wilson y Newmark. El anlisis de elementos finitos, con aplicaciones que implican elementos unidimensionales, se aborda en el captulo 12. Se utilizan elementos de barra, varilla y viga para el anlisis esttico y dinmico de armaduras, varillas some-tidas a torsin y vigas. En este captulo tambin se aborda el uso de matrices de masa concentrada y de masa consistente en el anlisis de vibracin. Los problemas de vibracin no lineal regidos por ecuaciones diferenciales no lineales presentan fenmenos que no aparecen en los problemas linealizados correspondientes.

Los apndices A y B se enfocan en las relaciones matemticas y en la deflexin de vigas y placas. Los fundamentos de la teora de matrices, la transformada de Laplace y las unidades SI se tratan en los apndices C, D y E. Por ltimo, el apndice F ofrece una introduccin a la programacin con MATLAB.

Material en ingls en el sitio webEn el captulo 13 se proporciona un tratamiento introductorio de vibracin no lineal, con un anlisis de oscilaciones subar-mnicas y superarmnicas, ciclos lmite, sistemas con coeficientes dependientes del tiempo y caos. La vibracin aleator ia de sistemas de vibracin lineal se considera en el captulo 14. En este captulo tambin se aplican los conceptos de proceso aleatorio, proceso estacionario, densidad espectral de potencia, as como autocorrelacin y procesos de banda ancha y an-gosta, sin dejar de considerar la respuesta de vibracin aleatoria de sistemas de uno y varios grados de libertad.

Temario tpicoEl libro proporciona opciones flexibles para diferentes tipos de cursos sobre vibracin. Los captulos 1 a 5, el captulo 8, y partes del 6, constituyen un curso bsico de vibracin mecnica. Puede darse diferente nfasis y orientacin al curso si se hace una cobertura adicional de diferentes captulos como se indica a continuacin:

El captulo 9 para sistemas continuos o distribuidos. Los captulos 7 y 11 para soluciones numricas. El captulo 12 para anlisis de elementos finitos.

xvi Prefacio

Qu esperar de este cursoEl material que se presenta en el texto ayuda a lograr algunos de los resultados especificados por la ABET (Accreditation Board for Engineering and Technology):

Capacidad de aplicar el conocimiento de matemticas, ciencia e ingeniera: El tema de vibracin, tal como se presenta en el libro, aplica conocimientos de matemticas (ecuaciones diferenciales, lgebra matricial, mtodos vectoriales y nmeros complejos) y cien-cia (esttica y dinmica) para resolver problemas de vibracin de ingeniera.

Capacidad de identificar, formular y resolver problemas de ingeniera: Numerosos problemas ilustrativos, problemas de prctica y proyectos de diseo ayudan al estu-diante a identificar varios tipos de problemas de vibracin prcticos y a desarrollar, analizar y resolver modelos matemticos para hallar la respuesta e interpretar los resultados.

Capacidad de utilizar las tcnicas, habilidades y herramientas modernas necesarias para la prc-tica de ingeniera.

La ltima seccin de cada captulo ilustra la aplicacin del moderno software, MATLAB, para la solucin de problemas de vibracin. Los fundamentos de programacin MATLAB se resu-men en el apndice F.

El uso de la moderna tcnica de anlisis, el mtodo del elemento finito, para la solucin de pro-blemas de vibracin se aborda en un captulo aparte (captulo 12). El mtodo de los elementos finitos es una tcnica de amplio uso en la industria del modelado, anlisis y solucin de sistemas vibratorios complejos.

Capacidad de disear y realizar experimentos, as como de analizar e interpretar datos:

Los mtodos experimentales y el anlisis de datos relacionados con la vibracin se presentan en el captulo 10. Tambin se analiza el equipo que se utiliza en la realizacin de experimentos de vibracin, y se aborda el anlisis de seales e identificacin de los parmetros del sistema a partir de los datos.

Quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos estudiantes, investigadores y profesores cuyos comentarios me han ayudado a mejorar el libro. Me siento sumamente agradecido con las siguientes personas por sus comentarios, sugerencias e ideas:

Ara Arabyan, University of Arizona; Daniel Granger, Polytechnic School of Montreal, Canad; K.M. Rao, V.R.S. Engineering College Vijayawada, India; K. S. Shivakumar Aradhya, Gas Turbine Research Establishment, Bangalore, India; Donald G. Grant, University of Maine; Tom Thornton, Analista de Esfuerzo: Alejandro J. Rivas, Arizona State University; Qing Guo, University of Washington; James M. Widmann. California Polytechnic State University; G. Q. Cai, Florida Atlantic University; Richard Alexander, Texas A & M University; C. W. Bert, University of Oklahoma; Raymond M. Brach, University of Notre Dame; Alfonso Diaz-Jimenez, Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Colombia; George Doyle, University of Dayton; Hamid Hamidzadeh, South Dakota State University; H. N. Hashemi, Northeastern University; Zhikun Hou, Worchester Polytechnic Institute; J. Richard Houghton, Tennessee Technological University; Faryar Jabbari, University of California, Irvine; Robert Jeffers, University of Connecticut; Richard Keltie, North Carolina State University; J. S. Lamancusa, Pennsylvania State University; Harry Law, Clemson University; Robert Leonard, Vir-ginia Polytechnic Institute and State University; James Li, Columbia University; Sameer Madanshetty, Boston University; Masoud Mojtahed, Purdue University, Calumet; Faissal A. Moslehy, University of Central Florida; M. G. Prasad, Stevens Institute of Technology; Mohan D. Rao, Michigan Tech; Amir G. Rezaei, California State Polytechnic University; F. P. J. Rimrott, University of Toronto; Subhash Sinha, Auburn University; Daniel Stutts, University of Missouri-Rolla; Massoud Tavakoli, Georgia Institute of Technology; Theodore Terry, Lehigh University; David F. Thompson, University of Cincinnati;Chung Tsui, University of Maryland, College Park; Alexander Vakakis, University of Illinois, Urbana, Champaign; Chuck Van Karsen, Michigan Technological University; Aleksandra Vinogradov, Montana State University; K. W. Wang, Penn-sylvania State University; Gloria J. Wiens, University of Florida, y William Webster, GMI Engineering and Management Institute.

Quiero dar las gracias a la Universidad de Purdue por permitirme utilizar el Boilermaker Special en el problema 2.104. Mis sinceras gracias al Dr. Qing Liu por ayudarme a escribir algunos de los programas MATLAB. Por ltimo, deseo darle las gracias a mi esposa, Kamala, sin cuya paciencia, motivacin y apoyo esta edicin nunca se hubiera podido terminar.

SINGIRESU S. RAOsrao@miami.edu

RECONOCIMIENTOS

LISTA DE SMBOLOS

Smbolo Significado Sistema ingls Sistema Internacional

[a]A

c,

c

[c]

dD[D]e

e

EE[x]ff

F0

F, Fd

f', f

e!x, e

!y

C, C1, C2, C1 , C2

cij

ci

cc

c, c0, c1, c2, c'

B!B, B1, B2,

b, b1, b2, A, A0, A1,

aij

a, a0, a1, a2, constantes, longitudescoeficiente de flexibilidad matriz de flexibilidad reaconstantesconstantes, longitudes constantespeso de balanceo coeficiente de amortiguacin viscosa constantesvelocidad de onda constante de amortiguacin viscosa crtica constante de amortiguacin del amortiguador i-simocoeficiente de amortiguacin matriz de amortiguacin constantesdimetro, dimensin dimetromatriz dinmica base de logaritmos naturales excentricidadvectores unitarios paralelos a las direcciones x y yMdulo de Young valor esperado de xfrecuencia lineal fuerza por unidad de longitud impulso unitario fuerzaamplitud de fuerza F(t)

pulg/lbpulg/lbpulg2

Iblb-s/pulg

pulg/slb-s/pulglb-s/pulglb-s/pulglb-s/pulg

pulgpulgs2

pulg

lb/pulg2

Hzlb/pulglb-sIbIb

N/mN/m

N

s/m

m

m

m

aP

zHm/N

NN

N # s

s2

N # s/mN # s/mN # s/mN # s/m

N # s/m

m2

Lista de smbolos xix

Smbolo Significado Sistema ingls Sistema Internacional

gg(t)Gh

iI[I]

)(mIjJ

k,

[k]

[m]MM

n

n

NNpp(x)P(x)P

r

r!

Qj

q!#q!qj

Mt0

Mt, Mt1, Mt2,

mij

mi

m, m'

l, li

kij

kt

ki

k'

J, J0, J1, J2,

H1iv2

F' , FF!Ft

Ft, FT fuerza transmitida fuerza que acta en la masa i-simavector de fuerza impulsoaceleracin debida a la gravedad funcin de respuesta al impulso mdulo de cortante constante de amortiguacin de histresis funcin de respuesta de frecuencia 1-1momento de inercia de rea matriz identidad parte imaginaria de () enteromomento polar de inercia momento de inercia de masa constante de resorte constante de resorte del resorte i-simoconstante de resorte torsional coeficiente de rigidez matriz de rigidez longitudmasamasa i-simacoeficiente de masa matriz de masa masamomento de flexin par de torsinamplitud de Mt(t)un entero nmero de grados de libertad fuerza normal total de escalones de tiempo presinfuncin de densidad de probabilidad de xfuncin de distribucin de probabilidad de xfuerza, tensin coordenada generalizada j-simavector de desplazamientos generalizados vector de velocidades generalizadas fuerza generalizada j-simarelacin de frecuencia v/vnvector radio

IbIbIblb-spulg/s2

lb/pulg2

lb/pulg

pulg4

pulg4

lb-pulg/s2

lb/pulglb/pulglb-pulg/radlb/pulglb/pulgpulglb-s2/pulglb-s2/pulglb-s2/pulglb-s2/pulglb-s2/pulglb-pulglb-pulglb-pulg

Ib

lb/pulg2

Ib

pulg

NNN

m/N

m/Nm/N

dar/m-Nm/Nm/N

m

kggkgkgk

kg

N

N

m

N/m2

N # mN # mN # m

kg # m2m4

m4

N/m2

m/s2N # s

xx Lista de smbolos

Smbolo Significado Sistema ingls Sistema Internacional

RRRs

t

TT

U

[U]

VV

WWW

W(x)x, y, z

x!$i

x!#i

x!i

x!xp

xh

x#j

xj

xj

x#0, x

# 102x0, x102

Wi

wn

w#

0

w0

w, w1, w2, vi

Vi

v, v0

U!

U, Ui

uij

Td, Tf

Ti

ti

Sx1v2Sa, Sd, Sv

R1t2Re1 2 parte real de ( )

funcin de autocorrelacin resistencia elctrica funcin de disipacin de Rayleigh cociente de Rayleigh raz de ecuacin, variable de Laplace aceleracin, desplazamiento, espectro de velocidad espectro de xtiempoestacin de tiempo i-simopar de torsin energa cintica energa cintica de la masa i-simadesplazamiento, transmisibilidad de fuerza un elemento de matriz [U]desplazamiento axial energa potencial peso desbalanceado matriz triangular superior velocidad lineal fuerza cortante energa potencial energa potencial del resorte i-simodeflexiones transversales valor de w cuando t 0 valor de w

# cuando t 0

modo ensimo de vibracin peso de una masa energa total deflexin transversal valor de W cuando t tiuna funcin de xcoordenadas cartesianas, desplazamientos valor de x cuando t 0 valor de x

# cuando t 0

desplazamiento de la masa j-simavalor de x cuando t tjvalor de x

# cuando t tj

parte homognea de x(t)parte particular de x(t)vector de desplazamientos valor de cuando t tivalor de x

! cuando t ti

valor de x!# cuando t ti

ohmlb-pulg/s1/s2

sslb-pulgpulg-lbpulg-lb

pulgpulg-lbIb

pulg/sIbpulg-lbpulg-lbpulgpulgpulg/s

Ibpulg-lbpulgpulg

pulgpulgpulg/spulgpulgpulg/spulgpulgpulgpulgpulg/spulg/s2

mho

s

s

m-NJJ

m

JN

s/mNJJm

m

s/m

NJm

m

m

m

s/mm

m

s/mm

m

m

m

s/mm/s2

1/s2N # m/s

Lista de smbolos xxi

Smbolo Significado Sistema ingls Sistema Internacional

X

[X]

yYz

Z

t

s

sx

hr

mx

m

m

[l]l

iu#0

u0

ui

u

z

e

e

WtxFdij

dest

d1, d2,d

g

b

b

a

Z1iv2

X!r

Xi1j2X!1i2Xj

x!1i21t2 modo i-simo

amplitud de x(t)amplitud de xj(t)vector modal i-simocomponente i-simo de modo j-simomatriz modal aproximacin r-sima a un modo desplazamiento de base amplitud de y(t)desplazamiento relativo, x yamplitud de z(t)impedancia mecnica ngulo, constante ngulo, constante constante de amortiguamiento de histresis peso especfico decremento logartmico deflexionesdeflexin esttica delta Kronecker determinanteincremento de Fincremento de xincremento del tiempo tenerga disipada en un ciclo una pequea cantidad deformacinrelacin de amortiguamiento constante, desplazamiento angular desplazamiento angular i-simovalor de u cuando t 0 valor de u cuando t 0 amplitud de u (t)amplitud de ui(t)valor eigen 1/v2

matriz de transformacin viscosidad de un fluido coeficiente de friccin valor esperado de xdensidad de masa factor de prdida desviacin estndar de xesfuerzoperiodo de oscilacin, tiempo, constante de tiempo

pulgpulgpulgpulgpulg

pulgpulgpulgpulglb/pulg

lb/pulg3

pulgpulg

Ibpulgspulg-lb

radradrad/sradrads2

lb-s/pulg2

lb-s2/pulg4

lb/pulg2

s

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m/mN

m

m

Nm

s

s

J

dardar

s/d//ardardar

N/m2

kg/m3

kg/m # s

s2

N/m3

xxii Lista de smbolos

Smbolo Significado Sistema ingls Sistemas Internacional

vd

vn

vi

v

fi

f

t esfuerzo cortante ngulo, ngulo de fase ngulo de fase en el modo i-simofrecuencia de oscilacin frecuencia natural i-simafrecuencia natural frecuencia de vibracin amortiguada

lb/pulg2

radradrad/srad/srad/srad/s

dardar

s/dars/dars/dars/dar

N/m2

Smbolo Significado

crieqiLmxn

R0t

valor crtico valor equivalente valor i-simoplano izquierdo valor mximo correspondiente a la frecuencia natural plano derecho valor especfico o de referencia torsional

Smbolo Significado

1 2#

1 2$

1:2[ ][ ]-1

[ ]T

1 21 2-11 2

d1 2dt

d21 2dt2

vector columna ( )

matriz

inversa de [ ]

transpuesta de [ ]

incremento de ( )

transformada de Laplace de ( )

transformada inversa de Laplace ( )

Operaciones

Subndices

VIBRACIONESMECNICAS

2CAPTULO 1 Fundamentos de vibracin

Galileo Galilei (1564-1642)

Este astrnomo italiano, filsofo y profesor de matemticas en las universidades de Pisa y Padua, fue, en 1609, el primer hombre que apunt un telescopio hacia el cielo. En 1590, escribi el primer tratado de dinmica moderna. Sus obras respecto a las oscilaciones de un pndulo simple y la vibracin de las cuerdas son de importancia fundamental en la teora de las vibraciones. [Cortesa de Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics (2a. ed. rev.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948].

Esquema del captulo

Objetivos de aprendizaje 31.1 Comentarios preliminares 3 1.2 Breve historia del estudio de la vibracin 4 1.3 Importancia del estudio de la vibracin 10 1.4 Conceptos bsicos de la vibracin 13 1.5 Clasificacin de la vibracin 16 1.6 Procedimiento del anlisis de la vibracin 17 1.7 Elementos de resorte 211.8 Elementos de masa o inercia 37 1.9 Elementos de amortiguamiento 42

1.10 Movimiento armnico 511.11 Anlisis armnico 61 1.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 72 1.13 Literatura acerca de la vibracin 75 Resumen del captulo 76 Referencias 76 Preguntas de repaso 78 Problemas 81 Proyectos de diseo 111

1.1 Comentarios preliminares 3

Este captulo presenta el tema de las vibraciones en una forma relativamente sencilla. Empieza con una breve historia del tema y luego presenta un examen de la importancia de la vibracin. Los conceptos bsicos de grados de libertad y de sistemas continuos y discretos se ofrecen junto con una descripcin de las partes elementales de los sistemas vibratorios. Se indican las diversas clasificaciones de vibracin, a saber: vibracin libre y forzada; vibracin no amortiguada y amorti-guada; vibracin lineal y no lineal, y vibracin determinstica y aleatoria. Se delinean y presentan asimismo las definiciones y los conceptos esenciales de vibracin.

Se describe el concepto de movimiento armnico y su representacin por medio de vectores y nmeros complejos. Se aportan las definiciones y terminologa bsicas como ciclo, amplitud, perio-do, frecuencia, ngulo de fase y frecuencia natural, relacionadas con el movimiento armnico. Al final se describe el anlisis armnico, que tiene que ver con la representacin de cualquier funcin peridica en trminos de funciones armnicas, utilizando la serie de Fourier. Asimismo, se anali-zan en detalle los conceptos de espectro de frecuencia, representaciones en el dominio del tiempo y frecuencia de funciones peridicas, as como las expansiones de mediano intervalo y el clculo numrico de coeficientes de Fourier.

Objetivos de aprendizaje

Al terminar este captulo, usted deber ser capaz de realizar lo siguiente:

Describir brevemente la historia de la vibracin.

Indicar la importancia del estudio de la vibracin.

Proporcionar varias clasificaciones de la vibracin.

Enunciar los pasos implicados en el anlisis de la vibracin.

Calcular los valores de constantes de resorte, masas y constantes de amortiguamiento.

Definir el movimiento armnico y diferentes posibles representaciones de movimiento armnico.

Sumar y restar movimientos armnicos.

Realizar la expansin de la serie de Fourier de funciones peridicas dadas.

Determinar los coeficientes de Fourier numricamente, aplicando el programa MATLAB.

El tema de la vibracin se presenta aqu en una forma relativamente sencilla. El captulo empieza con una breve historia de la vibracin y contina con un examen de su importancia. Se perfilan los diversos pasos que intervienen en el anlisis de la vibracin de un sistema de ingeniera y se presentan las definiciones y conceptos esenciales de la vibracin. Aqu aprendemos que todos los sistemas me-cnicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos sistemas, como en un automvil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden identificar como componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensin y el amortiguador en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no apare-cen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de un avin, la masa est distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta una notable deformacin durante el vuelo, de modo que puede modelarse como un resorte. Adems, la deflexin del ala introduce un efecto de amortiguamiento producido por el movimiento relativo entre componentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la friccin interna producida por de-fectos microestructurales del material. En el captulo se describe el modelado de elementos de resorte,

1.1 Comentarios preliminares

4 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

masa y amortiguamiento, sus caractersticas y la combinacin de varios resortes, masas o elementos de amortiguamiento que aparecen en un sistema. De all se deriva una presentacin del concepto de anlisis armnico, el cual puede utilizarse para el anlisis de movimientos peridicos generales. En este captulo no se pretende agotar los temas; los captulos siguientes desarrollarn con ms detalle muchas de las ideas.

1.2.1

Orgenes del estudio de la vibracin

El inters en la vibracin surge cuando se crean los primeros instrumentos musicales, probable-mente silbatos o tambores. Desde entonces, tanto msicos como filsofos han buscado las reglas ylas leyes de la produccin del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos musicales, y las han pasado de generacin en generacin. Ya en el ao 4000 a.C. [1.1], la msica haba alcan-zado un alto nivel de desarrollo y era muy apreciada por chinos, hindes, japoneses y, quiz, los egipcios. Estos pueblos antiguos observaron ciertas reglas definidas que de alguna manera estaban relacionadas con el arte de la msica, aunque su conocimiento no lleg a nivel de ciencia.

Es probable que los instrumentos musicales de cuerda se hayan originado en el arco del cazador, arma favorecida por los ejrcitos del antiguo Egipto. Uno de los instrumentos de cuerda ms primi-tivos, la nanga, se parece a un arpa de tres o cuatro cuerdas, y cada cuerda produce slo una nota; enel Museo Britnico se encuentra un ejemplar que data de 1500 aos a.C. Ah mismo se exhibe un arpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de resonancia en forma de cabeza de toro, la cual se encontr en Ur en una tumba real que data de aproximadamente 2600 aos a.C. En los muros de tumbas egipcias con una antigedad de 3000 aos a.C. se hallaron pinturas de instrumentos de cuerda semejantes a arpas.

Nuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilizacin griega antigua. Se considera que el filsofo y matemtico griego Pitgoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investig el sonido musical con una base cientfica (figura 1.1). Entre otras cosas, Pitgoras realiz experi-mentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio. En el ejemplo que se muestra en la figura 1.2, los puentes de madera 1 y 3 estn fijos. El puente 2 es movible en tanto que la tensin en la cuerda se mantiene constante mediante el peso colgante. Pitgoras obser-v que si se someten a la misma tensin dos cuerdas similares de diferentes longitudes, la ms corta emite una nota ms alta; adems, si la cuerda ms corta es de la mitad de la longitud de la ms larga, la ms corta emitir una nota una octava arriba de la otra. Pitgoras no dej ningn documento de su

Figura 1.1 Pitgoras. (Reimpreso con permiso de I.E. Navia, Pitgoras: An Annotated Bibliography, Garland Publishing, Inc., Nueva York, 1990).

1.2 Breve historia del estudio de la vibracin

1.2 Breve historia del estudio de la vibracin 5

trabajo (figura 1.3), pero ha sido descrito por otros. Aunque en el tiempo de Pitgoras se desarroll el concepto de tono, la relacin entre el tono y la frecuencia no se entendi sino hasta el tiempo de Galileo, en el siglo xvi.

Hacia 350 a.C, Aristteles escribi tratados sobre msica y sonido e hizo observaciones como La voz es ms dulce que el sonido de los instrumentos, y El sonido de la flauta es ms dulce que el de la lira. En 320 a.C., Aristgenes, alumno de Aristteles y msico, escribi una obra en tres volmenes titulada Elementos de armona. Estos libros son quiz los ms antiguos de que se disponga sobre la msica y escritos por los investigadores mismos. Alrededor de 300 a.C., en un libro llamado Introduccin a la armona, Euclides escribi brevemente sobre la msica pero sin hacer referencia alguna a la naturaleza fsica del sonido. Los griegos no lograron ms avances en el conocimiento cientfico del sonido.

Parece que los romanos recibieron todo su conocimiento musical por parte de los griegos, excep-to Vitruvio, famoso arquitecto romano que escribi alrededor del ao 20 a.C. sobre las propiedades acsticas de los teatros. Su tratado De Architectura Libri Decem (Diez libros sobre arquitectura), estuvo perdido durante muchos aos, y se habra de redescubrir slo hasta el siglo xv. Al parecer, durante casi 16 siglos no hubo despus del trabajo de Vitruvio ningn desarrollo en las teoras del sonido y la vibracin.

1 2 3Cuerda

Peso Figura 1.2 Monocordio.

Figura 1.3 Pitgoras como msico. (Reimpreso con permiso de D.E. Smith, History of Mathema-tics, Vol. I, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1958).

6 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

En la antigedad, China experimentaba muchos sismos. Zhang Heng, que se desempe como historiador y astrnomo en el siglo ii, percibi la necesidad de desarrollar un instrumento para medir los sismos con precisin. En el ao 132 invent el primer sismgrafo del mundo [1.3, 1.4], el cual estaba hecho de fino bronce fundido, con un dimetro de ocho chi (un chi equivale a 0.237 metros) y tena la forma de una jarra de vino (figura 1.4). Dentro de la jarra haba un mecanismo que con-sista en un pndulo rodeado por un grupo de ocho palancas que apuntaban en ocho direcciones. Enla parte externa del sismgrafo haba ocho figuras de dragn, cada una con una bola de bronce en las fauces. Debajo de cada dragn haba una rana con la boca abierta hacia arriba. Un sismo fuerte en cualquier direccin inclinara el pndulo en esa direccin y activara la palanca en la ca-beza del dragn. Esto abra la boca del d ragn y la bola de bronce se soltaba y caa en la boca de la rana con un sonido metlico. As, el sismgrafo permita al personal de vigilancia saber tanto el tiempo como la direccin de la ocurrencia del sismo.

Se considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia experimental moderna. De hecho, a menudo al siglo xvii se le considera como el siglo del genio puesto que los cimientos de la filosofa y la ciencia modernas se sentaron durante ese periodo. Lo que motiv a Galileo a es-tudiar el comportamiento de un pndulo simple fue la observacin de los movimientos de vaivn de una lmpara en una iglesia de Pisa. Un da, mientras se aburra durante un sermn, Galileo miraba hacia el techo de la iglesia. Una lmpara oscilante capt su atencin. Comenz a medir el periodo de los movimientos de pndulo de la lmpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que el tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones. Esto lo llev a realizar ms expe-rimentos con el pndulo simple. En su obra Discorsi e dimostrazione matematiche in torno a due nuove scienze (Dilogos sobre dos nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analiz los cuerpos vibratorios. Describi la dependencia de la frecuencia de la vibracin en la longitud de un pndu-lo simple, junto con el fenmeno de vibraciones simpticas (resonancia). Los escritos de Galileotambin indican que entenda con claridad la relacin entre la frecuencia, la longitud, la tensin y la densidad de una cuerda vibratoria tensa [1.5]. Sin embargo, el primer informe correcto publicado de la vibracin de cuerdas lo proporcion el matemtico y telogo francs Mario Mersenne (1588-1648) en su libro Harmonie universelle (Armona universal), publicado en 1636. Mersenne tambin midi, por primera vez, la frecuencia de vibracin de una cuerda larga y a partir de ello pronostic la frecuencia de una cuerda ms corta de la misma densidad y tensin. Muchos consideran a Mersenne como el padre la acstica. A menudo se le acredita el descubrimiento de las leyes de las cuerdas vibratorias porque public los resultados en 1636, dos aos antes que Galileo. Sin embargo, el

Figura 1.4 El primer sismgrafo del mundo inventado en China en el ao 132 de nuestra era. (Reimpreso con permiso de R. Taton (ed.), History of Science, BasicBooks, Inc., Nueva York, 1957).

1.2.2

De Galileo a Rayleigh

1.2 Breve historia del estudio de la vibracin 7

crdito le pertenece a Galileo, puesto que escribi las leyes muchos aos atrs y su publicacin fue prohibida por rdenes del Inquisidor de Roma hasta 1638.

Inspirada en el trabajo de Galileo, en 1657 se fund la Academia del Cimento en Florencia; a sta le siguieron las formaciones de la Royal Society of London en 1662, y la Paris Academie desSciences en 1666. Ms tarde, Robert Hooke (1635-1703) tambin realiz experimentos para determinar una relacin entre el tono y la frecuencia de vibracin de una cuerda. Sin embargo, Joseph Sauveur (1653-1716) investig a fondo estos experimentos y acu la palabra acstica para la ciencia del sonido [1.6]. Sauveur en Francia y John Wallis (1616-1703) en Inglaterra obser-varon, de manera independiente, el fenmeno de las formas de modo, y encontraron que una cuerda tensa que vibra puede no tener movimiento en ciertos puntos, y un movimiento violento en puntos intermedios. Sauveur llam nodos a los primeros puntos y bucles a los segundos. Se encontr que tales vibraciones tenan frecuencias ms altas que la asociada con la vibracin simple de la cuerda sin nodos. De hecho, se encontr que las altas frecuencias son mltiplos integrales de la frecuencia de vibracin simple, y Sauveur llam armnicos a las altas frecuencias y frecuencia fundamental a la frecuencia de una vibracin simple. Sauveur tambin encontr que una cuerda puede vibrar sin varios de sus armnicos presentes al mismo tiempo. Adems, observ el fenmeno del pulso cuando dos tubos de rgano de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. En 1700, Sauveur calcul, mediante un mtodo un tanto dudoso, la frecuencia de una cuerda tensada a partir de la comba medida de su punto medio.

Sir Isaac Newton (1642-1727) public en 1686 su obra monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemticos de filosofa natural), que describe la ley de la gravitacin universal, as como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. La segunda ley del movimiento de Newton es un lugar comn en libros sobre vibraciones para derivar las ecua-ciones de movimiento de un cuerpo que vibra. Brook Taylor (1685-1731), matemtico ingls, hall en 1713 la solucin terica (dinmica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez present el famoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. La frecuencia natural de la vibracin obtenida con la ecuacin de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales ob-servados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la introduccin de derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento por Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean DAlembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783).

La posibilidad de que una cuerda vibre con varios de sus armnicos presentes al mismo tiempo (si el desplazamiento de cualquier punto en cualquier instante es igual a la suma algebraica de los desplazamientos de cada armnico) se comprob con las ecuaciones dinmicas de Daniel Bernoulli en sus memorias, publicadas por la Academia Berlinesa en 1755 [1.7]. Esta caracterstica se conoce como el principio de la coexistencia de pequeas oscilaciones lo cual, en terminologa actual, es el principio de superposicin. Se comprob que este principio es ms valioso en el desarrollo de la teora de vibraciones y condujo a la posibilidad de expresar cualquier funcin arbitraria (es decir, cualquier forma inicial de la cuerda) utilizando una serie infinita de senos y cosenos. Debido a esta implicacin, DAlembert y Euler dudaron de la validez de este principio. Sin embargo, J. B. J.Fourier (1768-1830) en su obra Analytical Theory of Heat en 1822 comprob la validez de este tipo de expansin.

Joseph Lagrange (1736-1813) present la solucin analtica de la cuerda vibratoria en sus me-morias publicadas por la Academia de Turn en 1759. En su estudio, Lagrange supuso que la cuerda se compona de una infinidad de partculas de masa idntica equidistantes, y estableci la existencia de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partculas de masa. Cuando se per-miti que la cantidad de partculas fuera infinita se encontr que las frecuencias resultantes eran las mismas que las frecuencias armnicas de la cuerda tensa. El mtodo de establecer la ecuacin diferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuacin de onda), presentado en la mayora de los libros actuales sobre teora de la vibracin, lo desarroll por primera vez DAlembert en sus memorias publicadas por la Academia de Berln en 1750. La vibracin de vigas delgadas apoyadas

8 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

y sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho por primera vez por Euler en 1744 y Daniel Bernoulli en 1751. Su mtodo se conoce como teora de vigas delgadas o de Euler-Bernoulli.

Charles Coulomb realiz estudios tanto tericos como experimentales en 1784 sobre las oscila-ciones torsionales de un cilindro de metal suspendido de un cable (figura 1.5). Al suponer que el par de torsin resistente del alambre torcido es proporcional al ngulo de torsin, dedujo la ecuacin demovimiento para la vibracin torsional del cilindro suspendido. Integrando la ecuacin de mo-vimiento, encontr que el periodo de oscilacin es independiente del ngulo de torsin.

Hay un interesante relato en cuanto al desarrollo de la teora de vibracin de placas [1.8]. En 1802, el cientfico alemn E. F. F. Chladni (1756-1824) desarroll el mtodo de colocar arena so-bre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observ la belleza y complejidad de los patrones modales de las placas vibratorias. En 1809 la Academia Francesa invit a Chladni a que hiciera una demostracin de estos experimentos. Napolen Bonaparte, quien asisti a la reunin, se impresion muchsimo y don 3 000 francos a la academia para que se otorgaran a la primera persona que elaborara una teora matemtica satisfactoria de la vibracin de placas. Cerca de la fecha lmite de la competencia, en octubre de 1811, slo un candidato, Sophie Germain, haba entrado al concurso. Pero Lagrange, que era uno de los jueces, descubri un error en la derivacin de su ecua-cin diferencial de movimiento. La academia abri de nuevo la competencia, con una nueva fecha lmite para octubre de 1813. Sophie Germain entr de nuevo al concurso y present la forma co-rrecta de la ecuacin diferencial. Sin embargo, la academia no le otorg el premio porque el juez deseaba una justificacin fsica de las suposiciones hechas en su derivacin. La competencia se abri una vez ms. En 1815, en su tercer intento, Sophie Germain obtuvo por fin el premio aun cuando los jueces no se sintieran del todo satisfechos con su teora. De hecho, ms tarde se encontr que la ecuacin diferencial era correcta pero las condiciones lmite eran errneas. En 1850, G. R. Kirchhoff (1824-1887) dio las condiciones lmite correctas para la vibracin de las placas.

Mientras tanto, el problema de vibracin de una membrana flexible rectangular, lo cual es im-portante para entender el sonido emitido por tambores, fue resuelto por primera vez por Simeon Poisson (1781-1840). La vibracin de una membrana circular fue estudiada en 1862 por R. F. A. Clebsch (1833-1872). Despus de esto, se realizaron estudios de vibracin en varios sistemas

R

C

B

(a)

(b)

BD

S E

M

M

m

mA

A

0

90

180K A

ab

C

PcC

p

p

p

Figura 1.5 Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibra-cin torsional. (Reimpreso con permiso de S.P. Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Com-pany, Inc., Nueva York, 1953).

1.2 Breve historia del estudio de la vibracin 9

mecnicos y estructurales prcticos. En 1877 Lord Baron Rayleigh public su libro sobre la teora del sonido [1.9], obra considerada un clsico en materia de sonido y vibracin incluso en la actua-lidad. Notable entre las muchas contribuciones de Rayleigh es el mtodo de encontrar la frecuencia de vibracin fundamental de un sistema conservador al aplicar el principio de conservacin de la energa, ahora conocido como mtodo de Rayleigh. Este mtodo result ser una tcnica til para la solucin de problemas de vibracin difciles. Una extensin del mtodo, la cual puede utilizarse para descubrir mltiples frecuencias naturales, se conoce como mtodo de Rayleigh-Ritz.

En 1902, Frahm investig la importancia del estudio de la vibracin torsional en el diseo de fle-chas de hlice de buques de vapor. El absorbedor de vibracin dinmica, el cual implica la adicin de un sistema de resorte y masa secundario para eliminar las vibraciones de un sistema principal, tambin fue propuesto por Frahm en 1909. Entre los contribuyentes modernos a la teora de vi-braciones, los nombres de Stodola, De Laval, Timoshenko y Mindlin son notables. Aurel Stodola (1859-1943) contribuy al estudio de vibracin de vigas, placas y membranas. Desarroll un m-todo para analizar vigas vibratorias que tambin es aplicable a aspas de turbina. Dndose cuenta de que todos los propulsores principales producen problemas de vibracin, C. G. P. De Laval (1845-1913) present una solucin prctica al problema de la vibracin de un disco rotatorio desbalan-ceado. Despus de observar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utiliz una caa de pescar de bamb como flecha para montar el rotor. Observ que este sistema no slo eliminaba la vibracin del rotor desbalanceado sino que tambin sobreviva a velocidades hastade 100 000 rpm [1.10].

Stephen Timoshenko (1878-1972), al considerar los efectos de la deformacin producida por inercia y cortante rotatorios, present una teora mejorada de vibracin de vigas, la cual se conoce como teora de Timoshenko, o de vigas gruesas. R. D. Mindlin present una teora parecida para analizar la vibracin de placas gruesas, incluidos los efectos de deformacin por inercia y cortante rotatorios.

Se sabe desde hace mucho tiempo que los problemas bsicos de mecnica, entre ellos los de las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales adoptados son bastante satisfactorios en la mayora de los casos, no son adecuados en todos. En sistemas no lineales pueden ocurrir fenmenos que son tericamente imposibles en sistemas lineales. La teora matemtica devibraciones no lineales comenz a desarrollarse en los trabajos de Poincar y Lyapunov a fines del siglo xix. Poincar desarroll el mtodo de perturbacin en 1892 en relacin con la solucin aproximada de problemas de mecnica celestial no lineales. En 1892, Lyapunov sent los cimientos de la teora de estabilidad moderna, la cual es aplicable a todos los tipos de sistemas dinmicos. Despus de 1920, los estudios emprendidos por Duffing y van der Pol presentaron las primeras soluciones definidas a la teora de vibraciones no lineales y sealaron su importancia en el campo de la ingeniera. En los ltimos 40 aos, autores como Minorsky y Stoker se han esforzado por reunir en monografas los resultados ms importantes en relacin con las vibraciones no lineales. La mayora de las aplicaciones prcticas de la vibracin no lineal implicaban el uso de algn tipo de mtodo de teora de la perturbacin. Nayfeh investig los mtodos modernos de la teora de la perturbacin [1.11].

En diversos fenmenos como sismos, vientos, transporte de mercancas sobre vehculos de rue-das y el ruido producido por cohetes y motores de reaccin, se presentan caractersticas aleatorias. Se hizo necesario idear conceptos y mtodos de anlisis de vibracin de estos efectos aleatorios. Aunque en 1905 Einstein consider el movimiento browniano, un tipo particular de vibracin aleatoria, nin-guna aplicacin se investig sino hasta 1930. La introduccin de la funcin de correlacin por Taylor en 1920, y la densidad espectral por Wiener y Khinchin a principios de la dcada de 1930, permi-tieron el avance de esta teora. Artculos de Lin y Rice, publicados entre 1943 y 1945, allanaron el

1.2.3

Contribuciones recientes

10 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

camino para la aplicacin de vibraciones aleatorias a problemas prcticos de ingeniera. Las mo-nografas de Crandall y Mark, as como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la teora de vibraciones aleatorias [1.12, 1.13].

Hasta hace aproximadamente 40 aos, los estudios de vibracin, incluso los que tienen que ver con sistemas de ingeniera complejos, se realizaron utilizando modelos brutos, con slo unos cuantos grados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de computadoras de alta velocidad en la dcada de 1950 hicieron posible tratar sistemas moderadamente complejos y generar soluciones aproximadas en forma semidefinida, con mtodos de solucin clsicos y la evaluacin numrica de ciertos tr-minos que pueden expresarse en forma cerrada. El desarrollo simultneo del mtodo del elemento finito permiti a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el anlisis de vibracin numricamente detallado de sistemas mecnicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de grados de libertad [1.14]. Aun cuando el mtodo del elemento finito no fue nombrado as hasta hace poco, el concepto se ha utilizado desde hace siglos. Por ejemplo, los matemticos antiguos encontraron la circunferencia de un crculo aproximndolo como un polgono, donde cada lado de ste, en notacin actual, puede llamarse elemento finito. El mtodo del elemento finito tal como se le conoce en la actualidad fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexin con el anlisis de estructuras de avin [1.15]. La figura 1.6 muestra la idealizacin del elemento finito de la carrocera de un autobs [1.16].

Figura 1.6 Idealizacin del elemento finito de la carrocera de un autobs. (Reimpresa con permiso de 1974 Society of Automotive Engineers, Inc.).

1.3 Importancia del estudio de la vibracin

La mayora de las actividades humanas implican vibracin en una u otra forma. Por ejemplo, omos porque nuestros tmpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiracin est asociada con la vibracin de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (peridico) de piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua) [1.17]. Los eruditos antiguos en el campo de la vibracin concentraron sus esfuerzos en la compren-sin de los fenmenos naturales y el desarrollo de las teoras matemticas para describir la vibracin de sistemas fsicos. En aos recientes, muchas aplicaciones de la vibracin en el campo de la inge-niera han motivado a los investigadores, entre ellas el diseo de mquinas, cimientos, estructuras, motores, turbinas y sistemas de control.

1.3 Importancia del estudio de la vibracin 11

La mayora de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al des-equilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseo defectuoso o a una fabricacin deficiente. El desequilibrio en motores diesel, por ejemplo, puede provocar ondas te-rrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en reas urbanas. Las ruedas de algunas locomotoras pueden alzarse ms de un centmetro de la va a altas velocidades debido al desequilibrio. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecnicas espectaculares. Los ingenie-ros an no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos en turbinas. Naturalmente, las estructuras diseadas para soportar mquinas centrfugas pesadas como motores y turbinas, o mquinas reciprocantes como motores de vapor y de gasolina, tambin se ven sometidas a vibracin. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o mquina sometido a vibracin puede fallar debido a fatiga del material producida por la variacin cclica del esfuerzo inducido. Adems, la vibracin provoca un desgaste ms rpido de las partes de la mquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En mquinas, la vibracin puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibracin puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie.

Siempre que la frecuencia natural de la vibracin de una mquina o de una estructura coincide con la frecuencia de la excitacin externa se presenta un fenmeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas provocadas por resonancia y vibracin excesiva de los componentes y sistemas (vea la figura 1.7). Debido a los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en mquinas y estructuras, las pruebas de vibracin [1.18] se volvieron un procedimiento estndar en el diseo y desarrollo de la mayora de los sistemas de ingeniera (vea la figura 1.8).

En muchos sistemas de ingeniera, un ser humano acta como una parte integral del siste-ma. La transmisin de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y prdida de eficiencia.

Figura 1.7 El puente Tacoma Narrows durante la vibracin inducida por el viento. El puente se inaugur el 1 de julio de 1940 y colaps el 7 de noviembre del mismo ao. (Fotografa de Farquharson, de la Histo-rical Photography Collection, University of Washington Libraries).

12 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

La vibracin y el ruido generados por moto res molestan a las personas, y en ocasiones producen da-os a las propiedades. La vibracin de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcio-namiento o dificultad para leer los medidores [1.19]. Por lo tanto, uno de los propsitos importantes del estudio de la vibracin es reducirla mediante el diseo apropiado de mquinas y sus montajes. En este sentido, el ingeniero mecnico trata de disear el motor o mquina de modo que se reduzca el desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de disear la estructura de soporte de modo que el efecto del desequilibrio no sea daino [1.20].

A pesar de los efectos perjudiciales, la vibracin puede utilizarse con provecho en varias apli-caciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incre-mentado considerablemente en aos recientes [1.21]. Por ejemplo, la vibracin se pone a trabajar en transportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes elctricos, taladros de dentista, relojes y unidades de masaje elctricas. La vibracin tambin se utiliza en el hincado de pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos elec-trnicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9). Se ha visto que la vibracin mejora la eficiencia de ciertos procesos de maquinado, fundicin, forja y soldadura. Se emplea para simular sismos en la investigacin geolgica y tambin para estudiar el diseo de reactores nucleares.

Figura 1.8 Prueba de vibracin del transbordador espacial Enterprise.(Cortesa de la NASA).

Figura 1.9 Proceso de acabado vibratorio. (Reimpreso por cortesa de Manufacturing Engineers, 1964 The Tool and Manufacturing Engineer).

1.4 Conceptos bsicos de la vibracin 13

Cualquier movimiento que se repite despus de un intervalo de tiempo se llama vibracin u osci-lacin. El vaivn de un pndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibracin. La teora de la vibracin tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.

Por lo comn un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energa cintica (masa o inercia) y un medio por el cual la energa se pierde gradualmente (amortiguador).

La vibracin de un sistema implica la transformacin de su energa potencial en energa cin-tica y de sta en energa potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energa se disipa en cada ciclo de vibracin y se le debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga un estado de vibracin estable.

Como un ejemplo, consideremos la vibracin del pndulo simple que se muestra en la figura 1.10. Soltemos la lenteja de masa m despus de desplazarla un ngulo u. En la posicin 1 la veloci-dad de la lenteja y por consiguiente su energa cintica es cero. Pero tiene una energa potencial de magnitud mgl(1 2 cos u) con respecto a la posicin de referencia 2. Como la fuerza de la gravedad mg induce un par de torsin mgl sen u con respecto al punto O, la lenteja comienza a oscilar hacia la izquierda de la posicin 1. Esto imparte a la lenteja una cierta aceleracin angular en el sentido de las manecillas del reloj y en el momento en que llega a la posicin 2 toda su energa potencial se convierte en energa cintica. De ah que la lenteja no se detenga en la posicin 2 sino que continuar oscilando a la posicin 3. Sin embargo, al pasar por la posicin media 2, un par de torsin en sentido contrario al de las manecillas del reloj debido a la gravedad que acta en la lenteja la desacelera. La velocidad de la lenteja se reduce a cero en la posicin extrema izquierda. En este momento, toda la energa cintica de la lenteja se convierte en energa potencial. De nueva cuenta, debido al par de torsin producido por la gravedad, la lenteja adquiere velocidad en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por consiguiente, la lenteja comienza a oscilar de regreso con una velocidad pro-gresivamente creciente y de nuevo pasa por la posicin media. Este proceso contina repitindose, el pndulo tendr movimiento oscilatorio. Sin embargo, en la prctica, la magnitud de la oscilacin (u) se reduce gradualmente y por fin el pndulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento) ofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energa se disipa en cada ciclo de vibracin debido a la accin de amortiguamiento del aire.

1.4 Conceptos bsicos de la vibracin1.4.1

1.4.2

Vibracin

Parteselementalesde sistemas vibratorios

O

3 1m2

l

Posicin de referencia

x

mg

y

l (1 cos .)

.

Figura 1.10 Un pndulo simple.

14 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

El mnimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del siste-ma. El pndulo simple que se muestra en la figura 1.10, as como cada uno de los sistemas dela figura 1.11, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento del pndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en funcin del ngulo u o en funcin de las coordenadas cartesianas x y y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento, debe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Estn relacionadas entre s me-diante la relacin x2 1 y2 5 l 2, donde l es la longitud constante del pndulo. Por lo tanto cualquier coordenada puede describir el movimiento del pndulo. En este caso vemos que la seleccin de u como coordenada independiente ser ms conveniente que la seleccin de x o de y. Para la correde-ra que se muestra en la figura 1.11(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coorde-nada x para describir el movimiento. En la figura 1.11(b) se puede usar la coordenada lineal x para especificar el movimiento. Para el sistema torsional (barra larga con un pesado disco en el extremo) que se muestra en la figura 1.11(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento.

Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.12 y 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x1 y x2. La figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede especificarse en funcin de u1 y u2. El movimiento del sistema que se muestra en la figura 1.12(c) puede describirse por completo con X o u, o con x, y y X. En el segundo caso, x y y estn restringidas como x2 1 y2 5 l 2 donde l es una constante.

Para los sistemas que se muestran en las figuras 1.13(a) y 1.13(c), se pueden utilizar las coor-denadas xi(i 5 1, 2, 3) y ui (i 5 1, 2, 3), respectivamente, para describir el movimiento. En el caso del sistema que se muestra en la figura 1.13(b), ui (i 5 1, 2, 3) especifica las posiciones de las masas

1.4.3

Cantidadde grados de libertad

mk

x

x

(b) Sistema de resorte y masa(a) Mecanismo de manivela corrediza y resorte

(c) Sistema torsional

uu

Figura 1.11 Sistemas de un grado de libertad.

Figura 1.12 Sistema de dos grados de libertad.

m1

k1

x1

m2

x2k2

(a) (b) (c)

J2

J1 2

1m

X

x

yl

u

uu

1.4 Conceptos bsicos de la vibracin 15

Figura 1.13 Sistema de tres grados de libertad.

m1 m3m2

k1 k2 k3 k4

x1 x2

(a)

(c)

(b)

x3

J1J2 J3

1

1

2

2

3

3

y1

m1

m2

m3

y2

y3x2

x1

x3

l1

l2

l3

u

u

u

u

uu

mi (i 5 1, 2, 3). Un mtodo alterno de describir este sistema es en funcin de xi y yi (i 5 1, 2, 3); pero en este caso se tienen que considerar las restricciones xi

2 + yi2 = li2 (i 5 1, 2, 3). Las coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema constituyen un con-

junto de coordenadas generalizadas. stas se suelen indicar como q1, q2,... y pueden representarse como coordenadas cartesianas y/o no cartesianas.

x1x2x3etc.

Figura 1.14 Una viga en voladizo (sistema de una infinitud de grados de libertad).

Por medio de una cantidad finita de grados de libertad se puede describir un buen nmero de sis-temas prcticos, como los sistemas simples que se muestran en las figuras 1.10 a 1.13. Algunos sistemas, sobre todo los que implican miembros elsticos continuos, tienen una infinitud de grados delibertad. Como un ejemplo simple, consideremos la viga en voladizo de la figura 1.14. Como la viga tiene una infinitud de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especi-ficar su configuracin de deflexin. La infinitud de coordenadas define la curva de deflexin. As entonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad. La mayora de los sistemas de estructuras y mquinas tienen miembros deformables (elsticos) y por consiguiente tienen una infinitud de grados de libertad.

Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas discretos o de parmetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos.

La mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada como sistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando el tratamiento de

1.4.4

Sistemasdiscretosy continuos

16 Captulo 1 Fundamentos de vibracin

un sistema como continuo da resultados exactos, el mtodo analtico disponible para ocuparse delos sistemas continuos se limita a una escasa seleccin de problemas como vigas uniformes, va-riables esbeltas y placas delgadas. De ah que la mayora de los sistemas prcticos se estudian tratndolos como masas concentradas finitas, resortes y amortiguadores. Por lo comn se obtienen resultados ms precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir, aumentando la cantidad de grados de libertad.

1.5 Clasificacin de la vibracin

La vibracin se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son las siguientes.

Vibracin libre. Si se deja que un sistema vibre por s mismo despus de una perturbacin inicial, la vibracin resultante se conoce como vibracion libre. Ninguna fuerza externa acta en el sistema. La oscilacin de un pndulo simple es un ejemplo de vibracin libre.

Vibracin forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibracin resultante se conoce como vibracin forzada. La oscilacin que aparece en mquinas como motores diesel es un ejemplo de vibracin forzada.

Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condicin conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avin se han asociado a la ocurrencia de resonancia.

Si no se pierde o disipa energa por friccin u otra resistencia durante la oscilacin, la vibracin seconoce como vibracin no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energa se llama vibracin amortiguada. En muchos sistemas fsicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequea que pue-de ser ignorada en la mayora de las aplicaciones de ingeniera. Sin embargo, la consideracin del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios prximos a la resonancia.

Si todos los componentes bsicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibracin resultante se conoce como vibracin lineal. Pero si cualquiera de los componentes bsicos se comporta de manera no lineal, la vibracin se conoce como vibra-cin no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente. Si la vibracin es lineal el principio de superposicin es vlido y las tcnicas matemticas de anlisis estn bien desarrolla-das. Para vibracin no lineal, el principio de superposicin no es vlido y las tcnicas de anlisis son menos conocidas. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con amplitud de oscilacin creciente, es deseable un conocimiento de la vibracin no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios.

Si el valor o magnitud de la excitacin (fuerza o movimiento) que acta en un sistema vibratorio seconoce en cualquier tiempo dado, la excitacin se llama determinstica. La vibracin resultante se conoce como vibracin determinstica.

En algunos casos la excitacin es no determinstica o aleatoria; el valor de la excitacin en un momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilacin de registros de la excita-cin puede presentar cierta regularidad estadstica. Es posible estimar promedios como los valores

1.5.1

Vibracin libre y forzada

1.5.2

Vibracin no amortiguaday amortiguada

1.5.3

Vibracinlinealy no lineal

1.5.4

Vibracindeterminsticay aleatoria

1.6 Procedimiento del anlisis de la vibr