vectorial trabajo 01

7/21/2019 Vectorial Trabajo 01

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ALUMNO : CCAÑA SISA

WILSON CARLOS

CURSO : CÁLCULO VECTORIAL

DOCENTE : MG. DORIS

TUPAYUPANQUI

CARRERA : INGENIERÍA CIVIL

CICLO : 3 – SECCIÓN 01

AREQUIPA

201



COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN:COMPO N E N TES T A NGENC I AL Y NOR M AL

En muchas ocasiones el análisis del movimiento es más sencillo utilizando el

sistema de referencia que constituye la propia trayectoria. En este sistema dereferencia la posición viene establecida por la distancia, s, a un origen C,medida sobre la propia curva, tal y como se indica en la Figura 1.

Figura 1.- El sistea !e re"ere#$ia s%&re la 'r%'ia tra(e$t%ria

a velocidad se define como!

y se e"presa en el sistema de referencia elegido como!

d

t

donde!

Ec. 1

v=ds/dt es la rapidez con la que cambia la posición, esto es la celeridad#es positiva cuando s es creciente y negativo en caso contrario. ds esel arco infinitesimal de curva recorrido.

T es un vector unitario tangente a la curva

r dr lím

t dt v

ds T vT v



C%'%#e#tes i#tr)#se$as !e la a$elera$i*#

a aceleración se define como!

y, utilizando la ecuación 1, podemos obtener la aceleración en el sistemade referencia elegido, que se e"presa en dos componentes, en la forma!

dt dt

dt

Ec. $

A$e l era$ i *# ta#ge# $i al!

El primer t%rmino de la ec.$

T

dt

Ec. &

se denomina ac ele r ac i ón t a ng e n cia l , es un vector tangente a la trayectoriacuya magnitud es la rapidez con la que cambia el módulo de la velocidad.'efle(a el cambio en la celeridad de la part)cula.

A$e l era$ i *# #%ral % $ e #tr ) 'eta

El segundo t%rmino de la ec. $ Ec. * N

se denomina a c eler a c i ón norm a l o c e n t r )p e t a, refle(a el cambio en ladirección del movimiento y es un vector perpendicular al vector tangente

apuntando a la parte interior, lado cóncavo, de la curvatura.

Calculando la rapidez con la que cambia la dirección del vectortangente unitario, que se verá a continuación, se deduce la ecuación +, que esla ecuación que permite estimar de forma práctica la aceleración normal.

donde!

v dv

límt dt

a

d (vT ) dv T v

dT a

dvT a

a

dT va

2v

dT v N



ρ : es el radio de giro, esto es el radio del elemento infinitesimal deaquella circunferencia que a(usta e"actamente a la curva trayectoria-enel punto donde estamos calculando

N ! es un vector unitario, perpendicular al vector tangente, y que apuntahacia el lado cóncavo, esto es el interior de la curvatura.

Esta aceleración aparece siempre que cambia la dirección del movimiento, loque sucede cuando el movimiento es curvil)neo. epende tanto de la rapidezcon que se mueve, al ser proporcional al cuadrado de la celeridad v, como dela trayectoria, al ser inversamente proporcional al radio de curvatura.

El cálculo de la aceleración normal es de gran importancia en aplicacionesprácticas en el dise/o de los tramos curvos de carreteras, ferrocarriles, en elmovimiento de fluidos sobre superficies curvas, en el dise/o de mecanismos quegiren.

0s) pues, en el sistema de referencia elegido, la aceleración de un punto se

descompone en las componentes tangencial y normal, como se puede ver enla Figura $, en la forma

dt Ec. 2

a

Figura +.- C%'%#e#tes ta#ge#$ial ( #%ral !e la a$elera$i*# !eu#%,iie#t% $ur,il)#e%

La a$ elera$i *# #%ra l. De!u$$i *# !e la e $ ua$ i *#

as ecuaciones anteriormente presentadas 31 a 24 son totalmente generales,incluso para el caso de movimiento tridimensional. 5in embargo es usual

presentar la deducción de la ec. +, y de la geometr)a necesaria para ello, en e lcaso de mov im i en to pl ano para facilitar su comprensión.

2

dv v aT a

N T N a

(a2

a2 )

T N



ara hacerlo hemos d rapidez con la que cambia el vectorunitario tangente,

d

dt Consideremos pues una part)cula que se mueve en un movimiento curvil)neo

plano, como se indica en la Figura &.a en la que se representa cómo lapart)cula cambia de posición y velocidad en su movimiento a lo largo de unatrayectoria curva.

Componentes intr)nsecas de la aceleración

Figura .-a/ M%,iie#t% $ur,il)#e%. &/ C%#$e't% !e ra!i% !e $ur,atura

El concep to de 'a dio de Curvatura

6n concepto geom%trico básico es que, en cualquier curva, si consideramosun elemento infinitesimal de arco de curva %ste puede ser visto como unelemento infinitesimal de arco de circunferencia, de tal forma que la longitudde ese arcode curva, ds, y de circunferencia sean iguales

El radio del elemento de circunferencia que enca(a e"actamente en el arco de lacurva es el denominado r adi o d e c u rva tu ra.

odemos aplicar a ese arco de circunferencia infinitesimal, construido en laforma que se indica en la figura &.b, la relación geom%trica básica para unacircunferencia entre arco, ángulo y radio en la forma!

e estimar la

T



y por tanto

ds

dt dt

vdt

a Ec. 7 e"presa la relación básica entre la velocidad 3lineal4 de un punto, larapidez con la que gira, esto es la velocidad angular, 8, y el radio de lacircunferencia, 9, para un punto que se mueve en una trayectoria circular.

La ! er i,a!a te'%ral ! el ,e $t%r u# itari% ta#ge#te. d

0! e r i ,a!a !e u# ,e$t%r r%ta #te !e *!u l % $%# s ta#t e dt

Cuando la part)cula pasa de la posición a la de :, el vector unitario tangentecambia de dirección como se indica en la Figura *. Ese cambio de direcciónse refle(a en el ángulo que forman las l)neas de dichos vectores unitarios, quese observa es igual al ángulo formado por los radios de curvatura en el arcode curva que estamos considerando, como se aprecia en la construccióngeom%trica indicada en la Figura *.

icho cambio de dirección, que no de módulo pues este es constante y de valor1, es descrito por el giro del vector T un ángulo ;<. a punta del vector Tdescribe una circunferencia de radio unidad.

Figura 2.- Deri,a!a !e u# ,e$t%r girat%ri% !e *!ul% $%#sta#te

0s) pues, cuando ;< tiende a cero, haciendo uso de la relación arco=ángulo x radio, podemos escribir

lí m

d

d

T d



a dirección en la que apunta el cambio del vector unitario tangente cuando elintervalo temporal tiende a cero es, (ustamente, la dirección de un vectorperpendicular a T, esto es la denominada d ir ec c ión norm a l , refle(ada por un

vector unitario N3 y como se puede observar en la construcción geom%trica,

dirigida hacia el interior de la curva, esto es la parte cóncava.

or ello, la de ctor unitario tangente respecto al tiempo es!

d

dt dt

Finalmente, utilizando las ec. 7 y =, y reemplazando en la Ec. *, obtenemosel

resultado e"presado en la Ec. +, esto es

N

dt

T res ! i e# si % #es

a ecuación 2 es aplicable sin modificación al movimiento en un espacio de tresdimensiones.

En este caso es necesario definir con precisión la tangente a la curva, ya que enel movimiento en tres dimensiones en un punto de la trayectoria no hay una sola tangente sino que hay infinitas, pues en un punto hay un planotangente ala curva. e entre las infinitas l)neas que conforman ese plano, la dirección de latangente la define el plano osculador >?el plano que contiene a la curva, quela besa, 3del lat)n ósculo, beso4@>, Este plano se define mediante la l)nea queune un punto y el siguiente, separados entre s) un infinit%simo y la proyecciónde esa l)nea sobre el plano tangente. Esa proyección es (ustamente ladirección tangente

Es tambi%n en ese plano osculador donde está contenido el vector normal, N,el cual tiene dirección perpendicular a la tangente, T# finalmente ladirección perpendicular a dicho plano osculador indica la dirección

binormal, 4. os tres vectores unitarios, T3 N ( 4 constituyen eldenominado triedro intr)nseco o de Frenet.

rivada del ve

T d

N

2

vdT v

N a



C5R6AT5RA

1. I#tr%!u$$i*#

Auestra e"periencia cotidiana nos dice que la geometr)a está relacionada conproblemas relativos a mediciones de distancias, longitudes, ángulos, a%reas,

volBmenes, etc. 0 fin de poder hacer estas mediciones, hemos de disponer de lasherramientas básicas para desarrollar dicha tarea. Esta herramienta nos laproporciona la teor)a de variedades 'iemannianas! variedades diferenciablesequipadas con productos interiores en sus espacios tangentes, lo que nospermite medir magnitudes como distancias, ángulos, a%reas, etc.

ado que la forma del producto escalar considerado podrá variar de unospuntos a otros, es esperable que lo mismo suceda con las magnitudes quepretendemos medir.

0s), un mismo segmento podrá tener distinta longitud dependiendo de su

posición en la variedad considerada o un mismo parche encerrara distinta áreadependiendo del lugar en que lo situemos. 0 fin de entender estas variacionesestudiaremos la curvatura del espacio. Como veremos, este ob(eto es elresponsable Bltimo de las variaciones mencionadas.

6n e"perimento sencillo nos permite confirmar las afirmaciones anteriores.

maginemos una rosquilla o un donut- y cortemos un trozo peque/o de suporción e"terior conve"a. 5i lo aplastamos sobre una mesa. El trozo se agrieta y abre conforme se le va aplastando, de modo muy parecido a como lo hace lacorteza de una naran(a.

6n disco geod%sico sobre la esfera y su correspondencia plana.

Este hecho nos permite confirmar e"perimentalmente que dicha región de larosquilla encierra un área menor que la correspondiente región del plano.

el proceso inverso saben mucho los sastres, que recurren a %l cuando han deformar una parte de una prenda que haya de adaptarse a una forma conve"a,como el busto de un vestido. 5e corta del te(ido un trozo puntiagudo, llamadosisa, y se cosen los dos lados de la abertura que queda.

a situación opuesta se produce cuando se corta un trozo peque/o de lasuperficie de una rosquilla pró"imo al agu(ero. 0l aplastarlo sobre una mesa, se



arruga y se solapa consigo mismo, mostrando que el área de dicha región esmayor que el de la región correspondiente en el plano.

6n disco geod%sico sobre una superficie de curvatura negativa y sucorrespondencia plana.

e nuevo esta situación es familiar a los sastres! un sastre puede invertir elproceso haciendo un corte en el te(ido y cosiendo en el mismo un parche oremiendo puntiagudo. Este recurso se usa a menudo para hacer una falda quesea a(ustada por deba(o de las rodillas y con vuelo en la parte inferior-.

+. Cur,aturas e7tr)#se$as e i#tr)#se$as

En general, e"isten dos tipos importantes de curvaturas! la e"tr)nseca y laintr)nseca. a curvatura e"tr)nseca de una curva en el espacio &>dimensional-

fue la primera en ser estudiada, dando lugar a las formulas de Frenet, queescriben completamente una curva en el espacio en t%rminos de su ?curvatura@,torsión, el punto inicial y la dirección.

Dras haber sido abordado el estudio de las curvas en el espacio, le toco el turno alas superficies. as principales curvaturas que surgieron de este estudio fueronla curvatura media y la curvatura de auss. nicialmente, la curvatura media fuela más estudiada, siendo auss el primero en reconocer la importancia de lacurvatura que lleva su nombre.

+.1. Cur,as e# el 'la#% Eu$li!e%

a curvatura de una curva está definida por, la longitud de su vector aceleracióncuando se considera de velocidad unitaria.

eom%tricamente, la curvatura tiene la siguiente interpretación para curvasplanas! ado un punto, e"isten muchos c)rculos tangentes a en p los c)rculoscuya velocidad en p sea la misma o equivalentemente, aquellos c)rculos cuyocentro se encuentre en la recta que pasa por p y es ortogonal en p. Entre estosc)rculos hay e"actamente uno cuya aceleración en p es la misma, consideramosuna recta en vez del c)rculo y lo interpretamos como un c)rculo con radioinfinito-.

+.. Algu#as su'er"i$ies !e $ur,atura $%#sta#te '%siti,a



0 continuación, pondremos de manifiesto algunos e(emplos de superficies concurvatura de auss constante positiva. Como se observara, tan solo en el caso dela esfera la curvatura media es asimismo constante.

+.2. Cur,atura e7tr)#se$a: el $ate#%i!e

Cuando se considera una variedad inmersa en otra, la curvatura e"tr)nseca secorresponde con las curvaturas de la variedad que dependen del embebimientoutilizado.

os e(emplos más básicos de curvaturas e"tr)nsecas son la curvatura y la torsiónde una curva en el espacio &>dimensional.

En el caso de superficies, la curvatura media es e"tr)nseca, al igual que lascurvaturas principales. El estudio de las superficies con curvatura mediaconstante sigue unos m%todos y conclusiones muy distintos al estudio de lageometr)a de la curvatura de auss.



5implemente a modo de e(emplo, se/alaremos que la Bnica superficie derevolución m)nima curvatura media cero- (unto con el plano es el catenoide.

. Cur,atura e# !ie#si%#es su'eri%res

0 partir de 'iemann, con el desarrollo de la geometr)a de variedades, lacurvatura de auss fue generalizada a otras muchas, dando lugar a la curvaturaseccional, curvatura escalar, el tensor de 'iemann, la curvatura de 'ica, etc. En

general, las curvaturas no se refle(aran ya como nBmeros, sino que tomaranformas más comple(as como grupos, aplicaciones, campos de tensores, etc.

En esta sección describiremos brevemente la curvatura desde estos tres puntosde vista! como grupo holonomia-, como función curvatura seccional- y comocampo de tensores tensor de curvatura-.

2. I#"lue#$ia !e la $ur,atura

El ob(etivo de esta Bltima sección es poner de manifiesto algunos aspectos de lainfluencia de la curvatura, tanto a nivel geom%trico como topológico. as queenumerar estas propiedades, hemos decidido centrar nuestra atención en dos

que nos parecen especialmente significativas! el Deorema de auss>Gonnetcomo el resultado por e"celencia que relaciona la curvatura y la topolog)a y elhecho de que la curvatura hace variar el volumen de las esferas geod%sicas,propiedad esta que, a su vez, permite determinar la curvatura.



TORSIÓN

1/ INTROD5CCIÓN:

El efecto de torsión se presenta en una sección transversal de un elementoestructural cuando la recta de acción de la carga contenida en el plano dedicha sección no pasa por el centro de gravedad , como se puede observaren la figura 1.

Figura 1

5i se efectBa una traslación de la carga al baricentro de la sección , elnuevo sistema que tendremos, estará compuesto por la carga más unmomento, cuyo valor será igual al producto de por su brazo de palanca z.

Este momento que actBa en el plano de la sección se denomina ?omentotorsor@ t-, pues tiende a distorsionar la pieza.

a torsión como esfuerzo, en el caso más general, se presenta en lasestructuras combinado con alguno, e inclusive en determinadascircunstancias, con todos los restantes esfuerzos caracter)sticos momentoflector f-, corte H-, y a"il A-# y por otra parte, no se presenta con tantafrecuencia como estos Bltimos, pero cuando e"iste debe ser tenido en cuentaen el dise/o.

En el caso de elementos de hormigón armado genera roturas frágiles si no sehan previsto armaduras adecuadas, convenientemente dispuestas, que seránlas encargadas de dar ductilidad al con(unto. 6n elemento dBctil, antes de llegara la rotura sufre grandes deformaciones, avisa que s va a romper, aparecenfisuras, etc. que nos están indicando el agotamiento de la capacidad portante y nos dan tiempo para tomar las medidas de seguridad correspondientes.

6n elemento frágil rompe bruscamente, sin preaviso, es un tipo de rotura máspeligrosa que se debe tratar de evitar.

+/ ALG5NOS E8EMPLOS DE ELEMENTOS ESTR5CT5RALES

SOLICITADOS POR TORSIÓN.encionaremos algunos de los casos más frecuentes en los que este efecto



adquiere importancia.

2 - a) Ménsula en voladizo. Torsión en unaviga. Caso de momento torsor concentrado-.

5i se efectBa una traslación de la carga al punto G, vemos que apareceademás de , un momento torsor t I " z. as solicitaciones para este casoserán!

> Fle"ión y corte en 0C provocadas por .

> Dorsión en 0C provocada por t.

> 0"il en las columnas 0 y CE provocadas por .

> Fle"ión en las columnas 0 y CE provocada por tJ$momento de empotramiento de la viga 0C.

2 b) Losa en voladizo sin solución de continuidad. Caso de momentotorsor distribuido a lo largo de la viga-.

ara que e"ista equilibrio la losa debe estar empotrada en la viga 0G, apareceun momento de empotramiento de la losa y una reacción. a reacción ' setransmite a la viga como carga repartida ' tJm-, y el momento deempotramiento se transmite como momento torsor para la viga, distribuidoen tonelámetros por cada metro de viga.

2 c) Casos de vigas en ochavas.

Cuando las vigas se interceptan, en ochavas de edificios por e(emplo, unafle"iona y la otra torsiona



5i por un momento consideramos que la m%nsula b- está empotrada en lam%nsula a-, vemos que al fle"ionar a-, en su sección e"trema s>s se produceun giro que provoca torsión en la m%nsula b-.

El mismo análisis lo hacemos considerando a- empotrada en b-, y llegamos ala conclusión que al girar el e"tremo de b-, por fle"ión provoca torsión en a-.Este es un t)pico caso de torsión inducida por fle"ión. a importancia delefecto torsor depende de la facilidad que tengan las m%nsulas para girar, que asu vez depende de la rigidez de las m%nsulas y de las cargas que actBan, y serámayor en m%nsulas relativamente largas grandes voladizos- y con cargas

importantes.-/ F5NCIONAMIENTO DE ELEMENTOSESTR5CT5RALES SOMETIDOS A TORSIÓN.

Conceptos básicos.

5i tomamos una pieza en equilibrio, de sección rectangular y de hormigónsimple, sin armaduras-, y la sometemos a un momento torsor queincrementamos hasta la rotura, se generarán una serie de fisuras inclinadas a*+K respecto del e(e de la pieza. as mismas tienen continuidad en todas lascaras, asimilando sus trayectorias a un helicoide. Leamos cuáles son lascausas que dan origen a estas fisuras.

5i se analiza un elemento como el 1- de la figura &>a que puede estarubicado en cualquiera de las caras de la viga, veremos que está sometido atensiones Dt-, tensiones tangenciales provocadas por la torsión. Ler figura &> b-.

Figura &a



Figura &b

ado que conocemos el sentido de D en la cara sobre la cual actBa t, porrazones de equilibrio podemos deducir el sentido de las mismas sobre lasrestantes caras del elemento.

a composición de las Dt en los puntos 0 y G Fig. &b b- &b c-, nos permitenobtener las resultantes de tracción 't y compresión 'c respectivamente, dedonde concluimos que la diagonal G se encuentra comprimida y la 0Ctraccionada. Esta tracción es la que (ustifica la fisura indicada en la figura &ba-, dada la escasa resistencia a tracción de Mo.

b) !istribución de tensiones T para di"erentes secciones.

Como sabemos el momento torsor, al igual que el esfuerzo de corte generatensiones tangenciales Dt, ver figura & a. a ley de variación de estastensiones depende de la forma de la sección y de la l)nea de contorno de lamisma. as Bnicas secciones que se mantienen planas ante un giro relativoson las de contorno circular, todas las demás se alabean, los puntos de lasección sufren corrimientos segBn el e(e longitudinal de la pieza. En el casode piezas de contorno circular, la variación de tensiones tangenciales en lasección se puede ver en la figura &c. El D má"imo se da en correspondenciacon ' má"imo, en los e"tremos, mientras que es nulo en el centro.

á"imo I tJNt

t! momento torsor

Nt! módulo resistente de la sección, se puede obtener de tabla 1 enfunción de la forma-.

Figura &c1 Figura &c$

gualdad de material 51 I 5$- las secciones huecas tienen un móduloresistente mayor que las macizas. as secciones más eficientes a la torsiónson las huecas y continBas pues a igualdad de material empleado aumenta elmomento resistente. En el caso de secciones rectangulares las má"imassecciones rectangulares las má"imas tensiones tangenciales se dan en lospuntos medios de las aristas largas Figura &d-.



Figura & d

En tanto, para las piezas de hormigón armado se ha llegado a demostrarmediante ensayos que sólo hay una capa activa en la zona perif%rica Figura &e-.

5e concluye que en el dise/o de piezas de hormigón armado sometidas atorsión trataremos de tener secciones huecas y cerradas# huecas para un me(oraprovechamiento de material, siempre que la importancia del elementoestructural as) lo requiera, caso de viaductos de planta curva y cerradas por sumayor eficiencia frente a las abiertas tanto desde el punto de vista de laresistencia como de las deformaciones.



APLICACIONES DE TORSIÓN Y C5R6AT5RA EN LA MEC9NICA

Concepto de esfuerzo y deformación! tracción, compresión, cizalladura y

torsión. eformación elástica! aneslasticidad. eformación plástica.

ropiedades de tracción! fluencia y l)mite elástico, resistencia a la tracción,

ductilidad, resilencia, tenacidad. Densión y deformación reales. ureza.

I#tr%!u$$i*#

uchos materiales, cuando prestan servicio, están sometidos a fuerzas o cargas#

e(emplos de ello son las aleaciones de aluminio con las cuales se construyen las

alas de los aviones y el acero de los e(es de los automóviles. En tales situaciones

es necesario conocer las caracter)sticas del material y dise/ar la pieza de tal

manera que cualquier deformación resultante no sea e"cesiva y no se produzca

la rotura. El comportamiento mecánico de un material refle(a la relación entre la

fuerza aplicada y la respuesta del material o sea su deformación-. 0lgunas d laspropiedades mecánicas más importantes son la resistencia, la dureza, la

ductilidad y la rigidez.

as propiedades mecánicas de los materiales se determina realizando ensayos

cuidadosos de laboratorio que reproducen las condiciones de servicio hasta

donde sea posible. os factores que deben considerarse son la naturaleza de la

carga aplicada, su duración, una compresión o una cizalladura, y su magnitud

puede ser constante con el tiempo o bien fluctuar continuamente. El tiempo de

aplicación puede ser de sólo una fracción de segundo o durar un per)odo de

varios a/os. a temperatura de servicio puede ser un factor importante.

El papel del ingeniero de estructuras es determinar las tensiones tambi%n

denominados esfuerzos- y las distribuciones de tensiones en los componentes

que están su(etos a cargas bien definidas. Esto puede lograrse mediante t%cnicas

e"perimentales yJo mediante análisis de tensiones por medios matemáticos

teóricos. Estos temas se tratan en los libros de te"to tradicionales dedicados al

análisis de tensiones y a la resistencia de materiales.

os ingenieros de materiales y los metalBrgicos, por otro lado, dirigen sus

esfuerzos a producir y conformar materiales que puedan soportar lascondiciones de servicio predichas por el análisis de tensiones. Esto

necesariamente implica un conocimiento de la relación entre la microestructura

es decir, los detalles internos- de los materiales y sus propiedades mecánicas.

os materiales elegidos para aplicaciones estructurales tienen combinaciones

deseables de caracter)sticas mecánicas. El cap)tulo presente se centra

principalmente en el comportamiento mecánico de los metales# los pol)meros y

las cerámicas son tratados aparte porque son mecánicamente bastante

diferentes de los metales. En este cap)tulo se analiza el comportamiento

esfuerzo>deformación de los metales y las principales propiedades mecánicasrelacionadas, y se e"aminan otras caracter)sticas mecánicas que son



importantes. os estudios que tratan la relación entre los aspectos

microscópicos de ropiedades ecánicas de los etales los mecanismos de

deformación y los m%todos para aumentar la resistencia y controlar el

comportamiento mecánico de los metales se difieren a cap)tulos posteriores.

C%#$e't% !e es"uer% !e"%ra$i*#

5i una carga es estática o bien cambia de forma relativamente lenta con el

tiempo y es aplicada uniformemente sobre una sección o superficie de una

pieza, el comportamiento mecánico puede ser estimado mediante un simple

ensayo esfuerzo>deformación. Con metales, este ensayo se realiza

normalmente a temperatura ambiente. E"isten tres principales maneras de

aplicar la carga, a saber! tracción, compresión y cizalladura

Figuras 1a, b, c-. En las aplicaciones de ingenier)a, muchas cargas son

torsionales más que de cizalladura pura# este tipo de carga se ilustra en la figura1d.

Figura 1.> a- lustración esquemática de cómo una carga de tracción produce un

alargamiento y una deformación lineal positiva. as l)neas discontinuas

representan las formas antes de la deformación# las l)neas sólidas, despu%s de ladeformación. b- lustración esquemática de cómo una carga de compresión



produce una contracción y una deformación lineal negativa. c- representación

esquemática de la deformación de cizalladura, d- 'epresentación esquemática

de una deformación torsional o sea, ángulo de giro producido por un par

aplicado D.

Pr%'ie!a!es Me$;#i$as !e l%s Metales

E#sa(%s !e tra$$i*#

6no de los ensayos mecánicos esfuerzo>deformación más comunes es el

realizado a tracción. Dal y como se e"pondrá más adelante, el ensayo de tracción

puede ser utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que

son importantes para el dise/o. Aormalmente se deforma una probeta hasta la

rotura, con una carga de tracción que se aumenta gradualmente y que es

aplicada unia"ialmente a lo largo del e(e de la probeta. En la Figura $, se

muestra una probeta de tracción normalizada. eneralmente la sección de laprobeta es circular, pero tambi%n se utilizan probetas de sección rectangular.

urante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del

centro, la cual tiene una sección uniforme a lo largo de su longitud. El diámetro

normalizado es apro"imadamente igual a 1$.= mm O.+ pulg.-, mientras que la

longitud de la sección reducida debe ser igual a por lo menos cuatro veces su

diámetro, siendo usual 2O mm. a longitud de prueba se utiliza en el cálculo de

la ductilidad, el valor normalizado es +O mm $.O pulg.-. a probeta se monta

con sus e"tremos en las mordazas de la máquina de ensayos Figura &-. Esta se

dise/a para alargar la probeta a una velocidad constante, y para medir continua

y simultáneamente la carga instantánea aplicada con una celda de carga- y el

alargamiento resultante utilizando un e"tensómetro-. El ensayo dura varios

minutos y es destructivo, o sea, la probeta del ensayo es deformada de forma

permanente y a menudo es rota.

Figura $.> robeta de tracción normalizada con sección recta circular.



2.- Pr%'ie!a!es Me$;#i$as !e l%s Metales

Figura &.> Esquema del aparato utilizado para realizar ensayos de tracción. a

probeta es alargada por el cabezal móvil# la celda de carga y el e"tensómetro

miden, respectivamente, la carga aplicada y el alargamiento.

El resultado del ensayo de tracción se registra en una banda de papel como

carga en función del alargamiento. Estas caracter)sticas de carga>deformación

dependen del tama/o de la probeta. or e(emplo, se requerirá el doble de carga

para producir el mismo alargamiento si el área de la sección de la probeta seduplica. ara minimizar estos factores geom%tricos, la carga y el alargamiento

son normalizados para obtener los parámetros tensión nominal y deformación

nominal, respectivamente. a tensión nominal se define mediante la relación

PI F J 0O 1-

En donde F es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección

de la probeta, en unidades de neQtons A- o libras fuerza lbf-, y 0O es el área

de la sección original antes de aplicar la carga m$ o pulg$-. as unidades de

tensión nominal de aqu) en adelante denominada simplemente tensión- son

libras fuerza por pulgada cuadrada, psi unidades del sistema 6.5.- o bien

megapascales, a 5-# 1 a I 1O2 AJm$.

a deformación nominal se define como

RI 3li S lO-J lO4 I PlJlO $-

En donde lO es la longitud original antes de aplicar la carga, y li es la longitud

instantánea. 0lgunas veces la cantidad li S lO se indica simplemente mediante

%l, y es el alargamiento producido por deformación, o cambio en longitud en un

instante determinado, con respecto a la longitud inicial. a deformaciónnominal a partir de ahora llamada simplemente deformación- no tiene



unidades, aunque a menudo se utiliza pulgadas por pulgada o bien metros por

metro# el valor de la deformación obviamente es independiente del sistema de

unidades. 0 veces, la deformación se e"presa como porcenta(e, esto es, el valor

de la deformación multiplicado por 1OO.

<.- Pr%'ie!a!es Me$;#i$as !e l%s Metales

Ensayos de compresión

os ensayos de compresión>deformación se realizan si las fuerzas que operan en

servicio son de este tipo. 6n ensayo de compresión se realiza de forma similar a

un ensayo de tracción, e"cepto que la fuerza es compresiva y la probeta se

contrae a lo largo de la dirección de la fuerza. as ecuaciones 1 y $ se utilizan

para calcular el esfuerzo de compresión y la deformación, respectivamente. or

convención, una fuerza de compresión se considera negativa y, por tanto,

produce un esfuerzo negativo. 0demás, puesto que lO es mayor que li, lasdeformaciones de compresión calculadas a partir de la ecuación $ son tambi%n

necesariamente negativas. os ensayos de tracción son mucho más comunes

porque son más fáciles de realizar# por otra parte, para la mayor)a de los

materiales utilizados en aplicaciones estructurales, se obtiene muy poca

información adicional a partir del ensayo de compresión. os ensayos de

compresión se utilizan cuando se desea conocer el comportamiento del material

ba(o deformaciones permanentes grandes o sea, plásticas-, tal como ocurre en

los procesos de conformación, o bien cuando tiene un comportamiento frágil a

tracción.

E#sa(%s !e $ialla!ura ( !e t%rsi*#

En los ensayos en los que se utiliza simplemente una fuerza de cizalladura tal

como se muestra en la Figura 1c, la tensión de cizalladura se calcula de

acuerdo con

TI FJ0O &-

onde F es la carga o fuerza impuesta paralelamente a las caras superior e

inferior, cada una de las cuales tiene un área 0O. a deformación de cizalladura

se define como la tangente del ángulo de deformación, tal como se indica en la

figura. as unidades de tensión y deformación de cizalladura son las mismas que

las correspondientes de tracción.

a torsión es una variación de la cizalladura pura, mediante la cual un

miembro estructural es deformado de la forma mostrada en la Figura 1d# las

fuerzas de torsión producen un movimiento rotacional alrededor del e(e

longitudinal de un e"tremo del miembro al otro e"tremo. E(emplos de

torsión se encuentran en el caso de e(es de máquinas y e(es impulsores, y

tambi%n en brocas. os ensayos de torsión generalmente



5e realizan sobre cilindros sólidos, o bien sobre tubos. a tensión de cizalladura

T es una función del par aplicado D, mientras que la deformación de cizalladura

T está relacionada con el ángulo de giro P de la Figura 1.d.

vectorial trabajo 01

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