trabajo electromagnetismo (calculo vectorial)

5/21/2018 Trabajo Electromagnetismo (Calculo Vectorial)

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

AUTORCHRISTIAN CEDILLO

PROFESOR

ING. FERNADO SOTO

TEMA

CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5

(TEORIA ELECTRO MAGNETICA)

AO2013-2014


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CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5

(TEORIA ELECTRO MAGNETICA)

1. CAMPOS VECTORIALESLos campos vectoriales son un conjunto de vectores en el espacio, los cuales

representan fenmenos fsicos presentes en una regin, por ejemplo: la intensidad y

direccin de una fuerza, tal como la electromagntica, que cambia de un punto a otro;

modelar la velocidad y direccin de un lquido mvil en el espacio.

Matemticamente se pueden describir como una funcin construida por el clculo

vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio, cuya magnitud y direccin

dependen de dos o ms variables, ya sea en el plano o en el espacio. Cuando solo

dependen de una sola variable, las funciones vectoriales describen una trayectoria en el

espacio[1].

Importante tener en cuenta.

Comnmente el vector se denota mediante una letra remarcada por una flecha . La magnitud de un vector se denota mediante . El vector unitario es un vector cuya magnitud es la unidad y cuya direccin

coincide con la de. La magnitud de un vector en el espacio se expresa de la siguiente manera

(1) Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiaran tendrn tres

vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se

utilizaran para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales

Un vector unitario en la direccin es

Una de las formas generales analticas de escribir un

campo vectorial es: Donde M es la componente de los vectores del campo

en el eje x, N la componente en el eje y, P la

componente en el eje z, y multiplicados por los

vectores unitarios i,j,k.Por ejemplo, la Grafica 1 del campo vectorial cuadrtico

Grafica 1Grafica 1 (Campo Vectorial cuadrtico inverso)


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inverso ( gravitacional) est dada por:

El campo vectorial se la definido como una funcion vectorial de un vector posicion. En

general, la magnitud y direccion de la funcion cambiaria conforme se este moviendo

atravez de la region, y el valor de la funcin vectorial debe determinarse a partir de los

valores de las coordenadas del punto en cuestion, se espera que el vector sea una

funcion de las variables x,y, y z

Si se presenta el vector pocision como r entonces el campo vectorial G se puedeexpresar en notacion funcional como G(r).

Ejemplo

Un campo vectorial S puede expresarse en coordenadas rectangulares como { } a) Evaluar S enP(2,4,3). b) Determinar un vector unitario proporcione la direccion de S en P. c)

Especificar la superficie en la que 1.1Producto Punto

Dados dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar, se define como elproducto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del angulo entre ellos ||||

El signo del componete es positivo si 0 90 y negativo cuando 90 1801.2Producto Cruz

Dados dos vectores A y B, el producto cruz o producto vectorial, este determina alplano que contiene a ambos se define como el producto de la magnitud de A, lamagnitud de B y el seno del angulo mas pequeo entre ellos. Sin embargo, en la mayor

parte de las aplicaciones se trabajara con vectores definidos en el mismo punto

Como ecuacion, se puede escribir |||| 1.3Integrales Triples En Coordenadas Cilndricas

En el sistema de coordenadas cilndricas un punto P en espacio tridimensional est

representado por el triple ordenado , donde r y son coordenadas polares de laproyeccin de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.


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Grafica 2(Coordenadas Cilndricas)

Para convertir de coordenadas cilndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones

(6)

Suponiendo que E es una regin cuya proyeccin D en el plano xy se describe

convenientemente en coordenadas polares.

|

Donde D est dada en coordenadas polares por

| Se tiene por entendido que

Y al combinar esta expresin con coordenadas polares tenemos:

La expresin dada es la frmula para integracin triple en coordenadas cilndricas, esta

dice que se convierte en una integral triple de coordenadas rectangulares a cilndricas al


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escribir x=rcos,y=rsin,dejar a z como es, usar los lmites de integracin apropiadospara z ,r y , y reemplazar el dV por rdzdrd.Es importante usar esta frmula cuando E es una regin slida descrita fcilmente en

coordenadas cilndricas, y en particular cuando la funcin f(x,y,z)tiene que ver con la

expresin

[2].

1.4Coordenadas EsfricasEs en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene

representado por un tro ordenado

Grafica 3(Sistema de Coordenadas Esfricas)

La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar uno a otro

deben usarse las formas siguientes:

Esfricas a rectangulares: Rectangulares a esfricas:

Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las

formulas siguientes:

Esfricas a cilndricas (r > 0): Cilndricas a esfricas (r> 0):


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1.5Clasificacin de los campos vectoriales de acuerdo a la conservacin de laenerga:

Los campos vectoriales se pueden clasificar en campos conservativos y

campos no conservativos.

Los campos conservativos se hacen

referencia a los campos en donde

fsicamente se mantiene el principio

de conservacin de la energa. Se

definen por ser campos en los cuales

si un cuerpo se mueve de un punto a

otro, la energa total usada para

desplazarse es la misma para cualquier

trayectoria. Matemticamente pueden

expresarse como el gradiente de unafuncin escalar. Adems cualquier

integral de lnea que se haga de un

punto a otro da el mismo valor sin

importar la curva o trayectoria que se

escoja para integrar, cuando se escoja un punto A que sea igual al punto B,

la energa usada y el valor de cualquier integral de lnea sobre el campo es cero.

En este caso la integral del campo vectorial gradiente depender solamente del

valor del campo escalar correspondiente en los extremos del vector.

Ejemplo: (denota al campo rotacional) Vista Grafica 4 Los campos no conservativos no siguen el principio de conservacin de energa,

por lo tanto la cantidad de energa de un punto a otro tiene diferente valor segn

la trayectoria. Adems cuando se escoge un punto Atal que sea igual al punto

B, la integral de lnea no es necesariamente cero.

1.6Clasificacin de los campos vectoriales de acuerdo con su rotacinPodemos clasificar los campos vectoriales en dos grupos, atendiendo a su rotacional (Se

entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a

inducir rotacin alrededor de un punto. Tambin se define como la circulacin del

vector sobre un camino cerrado del borde de un rea con direccin normal a ella misma

cuando el rea tiende a cero) y su divergencia (La divergencia de un campo vectorial

mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que

encierra un elemento de volumen dV. Si el volumen elegido solamente contiene fuentes

o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La

divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define comoel flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del

Grafica 4(Campo Conservativo rotacional)


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punto tiende a cero):

Campos irrotacionales: Se verifica rotacional en todos los puntos del campo.Adems la circulacin a lo largo de cualquier

lnea cerrada es nula. Son campos potenciales

(existe un potencial escalar del cual derivan) y

las lneas de campo son abiertas. Hay

manantiales y sumideros. Ejemplo: campo

electrosttico.

Campos solenoidales: Se verifica E = 0 (E =0) en todos los puntos del campo. Adems el

flujo a travs de cualquier superficie cerrada esnulo. Son campos potenciales que derivan de

un potencial vector. Las lneas de campo son cerradas y no hay manantiales ni

sumideros. Ejemplo: campo magntico de la Grafica 5. Sin embargo, no todos

los campos vectoriales son o bien irrotacionales o bien solenoidales, ya que un

campo vectorial puede tener tanto su

divergencia como su rotacional

distintos de cero.

1.7Aplicacin de los camposmagnticos en la ingenieraelctrica.

Campo magntico

Se trata de un campo que

ejercefuerzas (denominadas magnticas) sobre los materiales. Al igual que el campo

elctrico tambin es un campo vectorial, pero que no produce ningn efecto sobre

cargas en reposo (como s lo hace el campo elctrico en dnde las acelera a travs de la

fuerza elctrica). Sin embargo el

campo magntico tiene influenciasobre cargas elctricas en

movimiento.

Si una carga en movimiento

atraviesa un campo magntico, la

misma sufre la accin de una fuerza

(denominada fuerza magntica).

Esta fuerza no modifica el mdulo

de la velocidad pero s la trayectoria (ver fuerza magntica). Sobre un conductor por el

cual circula electricidad y que se encuentra en un campo tambin aparece una fuerza

magntica.[3]

Grafica 5(Representacin de un campo

Magntico)

Grafica 6 (Campo Magntico)

Grafica 7(Fuerza Magntica)
http://www.fisicapractica.com/fuerzas.phphttp://www.fisicapractica.com/fuerzas.php


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El campo magntico est presente en los

imanes. Por otro lado, una corriente

elctrica tambin genera un campo

magntico. El campo magntico se

denomina con la letra B y se mide en Tesla.

Campo electrosttico.

Hay regiones del espacio en que cada

carga elctrica puntual sufre una

fuerza proporcional a la propia carga,

que depende del punto en el que estla carga. Lo mejor para describir ese

efecto es conocer la fuerza que

corresponde a cada unidad de carga

cuando se site en cada punto; porque

entonces sabremos de antemano

cunta fuerza sufrir una carga puntual cualquiera si la situramos en ese punto. Esa

fuerza por unidad de carga en cada punto se llama campo elctrico en el punto que se

considere.

Ejemplos de Campos Electroestticos

Grafica 10(Campos Electroestticos)

Campo gravitacional. La ley de la gravitacin de Newton establece que lanorma eucldea (la magnitud se dice en fsica) de la fuerza (no olvides que la

fuerza es un vector) de atraccin gravitacional, F, entre dos objetos demasas m yM es

Grafica 8( Campo Magntico visto desde la Tierra)

Grafica 9 (Campo electro esttico)


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9

Donde es la distancia eucldea entre dichos objetos y G es la constante gravitacionaluniversal. Si el objeto demasa M se encuentra en el origen y el objeto de masa m se

encuentra en un punto , entonces . Como, adems, la fuerzaejercida por el objeto de masa M sobre el objeto de masa m est dirigida desde ste

hacia el origen y un vector unitario en dicha direccin es

, deducimos que dicha

fuerza viene dada por Esta igualdad vectorial puede escribirse tambin en la forma:

Campo elctrico producido por una carga. La ley de Coulomb establece quela norma eucldea (la magnitud se dice en fsica) de la fuerza (no olvides que lafuerza es un vector), F, ejercida entre dos cargas elctricas q y Q es

||Donde r es la distancia eucldea entre dichas cargas y es una constante. Si la carga Qse encuentra en el origen y la carga se encuentra en un punto entonces . Como, adems, la fuerza ejercida por la carga Q sobre la carga q acta en ladireccin del segmento de recta que une ambas cargas y es atractiva o repulsiva segn

que ambas cargas sean de distinto o de igual signo, y un vector unitario en la direccindel vector es , deducimos que dicha fuerza viene dada por La fuerza ejercida por unidad de carga es, por definicin, el campo elctrico, E, creado

por la carga Q que viene dado por

Campos de gradiente. Sea donde A es un subconjunto de uncampo escalar de variables. El gradiente de dicho campo escalar en un punto es, por definicin, el vector

La aplicacin que a cada hace corresponder el gradiente def en se llama campo vectorial gradiente def .


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1.8Resolucin de Aplicaciones1.8.1 Campo Elctrico Y Potencial

CodigofunctionCampoElwctricoPotencialclear all%creamos el rango para el eje X-Y[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);%definimos el potencialV=x.*exp(-x.^2-y.^2);%calculamos el gradiente[px,py]=gradient(V,.2,.15);% representacion del potencial y el campo electrico E=-grad(V)

hold oncontour(x,y,V);quiver(x,y,-px,-py);axis imagetitle('Campo Electrico y Potencial')xlabel('Eje X','FontSize',12);ylabel('Eje Y','FontSize',12);colorbarhold offend

Grafica 11(Campos Elctricos Y Potencial)

Las lneas de campo elctrico siempre son perpendiculares a las lneas

equipotenciales, adems en la Grafica 11 podemos observar que van de derecha

a izquierda lo que no quiere decir que la Grafica 11 la parte derecha es una carga

positiva y la de la izquierda una carga negativa

1.8.2 Dibujar el potencial y el campo elctrico dentro de la esfera

Codigo%Constantes


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a=5e-3;p=1e-6;e0=1/(4*pi*9e9);%rangos de los ejes x-y%plano x-y[x,y]=meshgrid(-a:a/20:a, -a:a/20:a);

z=0;%posicion de la esfera el el plano esfericorr=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2);%verificando los puntos que esta dentro y fuera de la esferaid_fuera=(rr>a);id_dentro=(rr


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Grafica 13(Campos de una carga en 3D)

1.8.4. Calculo de un Campo Gradiente Codigo

[X,Y] = meshgrid(0:.4 :2);U = -X/2;V = Y/2;W = 1+0*X;subplot(1,2,1)forz = [-1,0,1]Z = z +0*X;quiver3(X,Y,Z,U,V,W)hold onendaxis image

Grafica 14(Campos Gradiente)

1.8.5Muestre en una figura las representaciones que tiene su punto inicial en (x,y), de losvectores del campo vectorial: %para definir los valores que va a utilizar 'x' , 'y' y 'z'[x,y,z]=meshgrid(-7:2:7);%se definen los vectores U , V y Wu=-y;


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v=x;w=2*z;%se grafica el campo vectorialquiver3(u,v,w,x,y,z)%se titula el campo , se activa la malla y se da la nomenclaturanecesaria

%para su interpretacinaxis square, grid ontitle('campo vectorial')xlabel('eje x')ylabel('eje y')zlabel('eje z')

Grafica 15(Interpretacin grafica del Campo Vectorial dado por el ejercicio 1.8.5)

2. INTEGRAL DE LINEA2.1Integral de lnea de un campo escalar

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10

-15

-10

-5

0

5

10

15

eje x

campo vectorial

eje y

eje

z


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Definicin. Sea una curva con derivada continua y sea uncampo escalar continuo definido en un conjunto que contiene a la imagen de ,esto es, [4]La integral de lnea de

sobre la curva

es el nmero

() Para n= 2, poniendo ( ), la integral (/) se expresa en la forma

Para n= 2, poniendo , la integral (/) se expresa en laforma

Suelen usarse distintas notaciones para las integrales de lnea de campos esdcalares. Es

frecuente la notacin

En la cual el smbolo ds indica que se integra respecto al elemento diferencial de

longitud de arco.

Cuando la funcines constante es iguala a 1 se entiende que

Cuando la curva es una curva cerrada a algunos les gusta usar alguno de los smbolos

El centro de masa del alambre es el punto de coordenadas ( dada por


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2.1.1 Ejercicio:Determine la masa de un alambre con la forma de la curva y=x^2 entre(-2,4) y (2,4) si la densidad est dada por ||Resolucin:

%definimos limites del parametro tt=0:.001:2*pi;%ecuacion en xx=t-sin(t);%ecuacion en yy=1-cos(t);%orden para graficarplot(x,y)%activar rejillagrid on

syms t%intoducimos las ecuaciones paramtricas de la curvax=t;y=t.^2;

%definimos como simbolo a ksyms k%utilizando simetra realizamos el clculo de la masa%resolvemos utilizando el mtodo de reemplazo de paramtricas enla%ecuacin del campo y multiplicamos por la raiz cuadrada de lasuma de los%cuadrados de las derivadas de las paramtricas%.............................................. m=2*int(k*abs(x)*sqrt((diff(x,t).^2)+(diff(y,t).^2)),t,0,2)

%el resultado de la masa es:

m = (k*(17*17^ (1/2) - 1))/6

Grfico:

Grafica 16(Interpretacin grafica de la integral de lnea del ejercicio 2.1.1)

2.2Integral de lnea de un campo vectorialSea Rn una curva suave y sea un campo vectorial continuodefinido en un conjunto que contiene a la imagen de , esto es,

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Grafico Ejercicio 1 de integral de lnes

eje x

eje

y


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La componente tangencial de F sobre g en un punto es la proyeccin ortogonaldel vector sobre el vector tangente unitario a en el punto , es decir, es elvector | donde . Es usual representar por elcampo escalar que a cada punto de la curva

hace corresponder el producto escalar

|La integral de lnea de F sobre se define como la integral de lnea del campo escalar sobre , esto es, el numero dado por |

()

Expresando el campo vectorial y la curva por medio de sus funciones

componentes F(x) = ( , tenemos que [5] ()

Para estas integrales suelen emplearse las notaciones

En la forma diferencial podremos decir que la integral de lnea de un campo

Vectorial es:

Los comandos utilizados en matlab para Resolver una intergal de lnea son:

Diff: Deriva la expresin a con respecto a nDiff(a,n)

Variante de Int: Se interpreta como la integral definida de la funcin n conrespecto a d desde a hasta b

int(n,d,a,b)

Sqrt:Obtiene la raz cuadrada de la matriz internaSqrt(n)

Dot:Obtiene el producto punto entre u y v


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Dot(u,v)

2.2.1 Ejercicio: Dado el siguiente campo vectorial

el cual

representa un campo de fuerzas

a) Reproduzca usando software matemtico la representacin grfica del campo

vectorial para 0


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C2 el segmento de recta que une el punto B(2.0) con C(2,2)

Calcule el trabajo realizado por Fpara trasladar una partcula desde A hasta Bpor C1 y desde B a C por C2

Resolucin:

%definimos como simbolo a tsyms t%parametricas de la primera rectax1=t;,y1=0;%parametrica de la segunda rectax2=2;,y2=t;%campo vectorial reemplazando la primera paramtrica

F1=[x1.^2+y1,-(x1+1).*y1];%campo vectorial reemplazando la segunda paramtricaF2=[x2.^2+y2,-(x2+1).*y2];%trayectoria 1r1=[t,0];%trayectoria 2r2=[2,t];%trabajo a travs de C1W1=int(dot(F1,diff(r1,t)),t,0,2)%Trabajo a travs de c2W2=int(dot(F2,diff(r2,t)),t,0,2)%trabajo total

W=W1+W2

W1 =8/3

W2 =-6

W =-10/3

2.3. Ejemplos de Aplicaciones de integral de lnea

Trabajo. Consideremos un camino cuya imagen est en unaregin en la que est definido un campo vectorial que acada punto asigna un vector F(x) que interpretamos como una fuerza queacta en x. El trabajo, W, realizado por el campo de fuerzas F al desplazar una

partcula a lo largo del camino r viene dado por la integral de lnea de F sobre elcamino r


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Ley de Ampre. Se comprueba experimentalmente que un largo alambre rectoque lleva una corriente estacionaria I produce un campo magntico B. Larelacin entre la corriente Idel conductor y el campo magntico (densidad de

flujo magntico) B producido por la misma, viene dada por la ley de Ampreque establece que la integral de lnea de B sobre cualquier curva de Jordan

suave r que rodee al conductor es igual a

Intensidad de corrienteLa densidad de corriente es una medida adecuada de loque ocurre en cada punto de un material, de si las cargas se estn moviendo o no

y hacia a donde lo hacen.

En la mayora de las aplicaciones, en particular en la teora de circuitos, interesams el efecto global del movimiento de las cargas.

Supongamos que tenemos un material conductor en forma de cilindro (un cable,

por ejemplo) por el cual est circulando una corriente. Nos preguntamos

entonces cuanta carga atraviesa una seccin del conductor en la unidad de

tiempo. Esta cantidad es la intensidad de corriente definida como el flujo de la

densidad de corriente travs de una seccin del conductor

De forma que la carga que pasa en un tiempo dt es igual a

La intensidad de corriente es una magnitud escalar con signo. El signo de la

intensidad de corriente nos dice para dnde va la corriente respecto de la

orientacin de la superficie. Cuando se traza la superficie S, su vector normal

tiene dos posibles sentidos. Si al hallar el flujo resulta una cantidad positiva

quiere decir que las cargas positivas se mueven en el sentido elegido. Si la

intensidad resulta negativa, quiere decir que se mueven en el sentido contrario alelegido (con las cargas negativas sera al revs).[6]

Grafica 18(Intensidad de Corriente de una Superficie S)
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Intensidad-corriente-02.pnghttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Intensidad-corriente-01.pnghttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Intensidad-corriente-02.pnghttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Intensidad-corriente-01.png


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La unidad de medida de la intensidad de corriente es el amperio (A), que es una de las

unidades fundamentales del Sistema Internacional. Un amperio es una medida razonable

para las corrientes existentes en la industria. Un aparato electrnico, como un ordenador

tiene corrientes del orden de los mA. Una red elctrica domstica o una mquina puede

tener corrientes de varios amperios. Una red de alta tensin puede llegar hasta los kAcirculando por los cables.

En trminos del amperio, la unidad de carga, el culombio (C), se define como 1C =

1As

2.3Campos ConservativosRecuerda que una integral de lnea de un campo vectorial depende de dos funciones: el

campo vectorial

y el camino

; hay que conocer dichas funciones para poder calcular

la integral. Para ello, todo lo que necesitas es obtener una primitiva, G, de la funcin

|Teorema. Sea , donde A es un conjunto abierto en , un campo vectorialcontinuo.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

a) Para todo camino cerrado en A se verifica que b) La integral de lnea de F es independiente del camino, es decir, cualesquiera

sean los caminos

y

en A con los mismos puntos inicial y final se verifica

que

c) F es un campo de gradiente, es decir, existe un campo escalar conderivadas parciales continuas tal que para todo Si el campo F verifica alguna de estas afirmaciones, en cuyo caso las verifica todas, se dice quees un campo conservativo (en A).[7]

Otra de las formas para saber si un campo es conservativosus derivadas cruzadas de la funcinsean iguales, de la siguiente manera

Todo campo vectorial es conservativoy si solo si Los comandos utilizados en matlab para comprobar la conservacin de un campo

vectorial son:


La funcin operadores:Solicitando nicamente el valor del rotacional, vlido

solo para 3D


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La funcin cons: Resuelve las derivadas cruzadas de el campo, solamente en

caso que de 0, el campo es conservativo, aplicable solo para 2D, presentado a

continuacin:

function[cons]=cons(F)

syms xyu=F(1);v=F(2);%realizamos la diferencia de las derivadas cruzadas de lascomponetnes del%vectorFr1=diff(u,y)-diff(v,x);%solo en caso que sea=0 significa que esconservativocons=[r1];

2.3.1 Ejercicio: Verificar si son campos conservativos los siguientes vectores:

Resolucin:

%definimos como simbolos a x y zsyms xyz%campo vectroial en 3DF=[5*x,3*y,2*z];%campo vectorial en 2DG=[2,7*x];%obtenemos el rotacional de F para comprobar si es conservativo[rot]=operadores(F)

rot =10%se obtuvo un valor diferente de 0, por lo tanto no lo es

%a traves de la funcin cons verificamos si el campo de 2D esconservativo[cons]=cons(G)

cons =

-7%se obtuvo un valor diferente de o, por lo tanto no es

conservativo

Con esto hemos demostrado que los campos vectoriales mostrados no son conservativos

2.4FUNCIN POTENCIALLey de conservacin de la energa: si una partcula se mueve de un punto a otro en un

campo vectorial de fuerza conservativo, entonces la suma de las energas potencial y

cintica permanece constante, es decir, la energa total no cambia (se conserva).

Dado que el potencial siempre es aplicable nicamente a campos conservativos,debemos verificar si el campo es conservativo.


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Dado el campo

Calculamos potencial de y: De donde Sustituyendo potencial de y en la primera ecuacin, obtenemos la funcin

potencial.

Los comandos utilizados en matlab para obtener la funcin potencial son:


La funcin Poten: genera la funcin potencial de un campo conservativo,

detallada a continuacin:

function[pot]=Potencial(F)syms xyu=F(1);v=F(2);Ix=int(u,x);%calculamos Ix

g=int(v-diff(Ix,y),y);%calculamos potencial de ypot=Ix+g;

Int: Integra la funcin u con respecto a nInt(u,n)

2.4.1 Ejercicio:Obtener el potencial del siguiente campo vectorial: Resolucin:

%definimos como simbolos a x y%introducimos el campo vectorialsyms xy ,F=[exp(x)*y^2+3*x^2*y,2*y*exp(x)+x^3];%comprobamos la conservacin del sistema[cons]=cons(F)

cons =0

%dado que el campo es conservativo, calculamos la funcinpotencial[pot]=Poten(F)%por lo tanto la funcin potencial es

pot = y*(y*exp(x) + x^3)


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3. INDEPENDENCIA DE TRAYECTORIASuponga que y son curvas suaves a trozos (que se llaman trayectorias) que tieneel mismo origen A y extremo B. Se sabe que, en general

Se puede decir que las integrales de lnea de campos vectoriales conservativos son

independientes de la trayectoria. Una curva se llama cerrada si su extremo coincide con

su origen si

Mediante la independencia de trayectoria se puede sacar el trabajo de una funcin

vectorial sin necesidad de conocer la curva, comprobando si es conservativo aplicando

sus derivadas parciales cruzadas deben ser iguales. [8]

3.1 Ejercicio:Considere el siguiente campo vectorial de un protn a) Se puede asegurar que el campo es conservativo?

b) Dada la integral en el cual F es el campo vectorial dado y C estformado por 2 segmentos de lnea y un cuarto de circunferencia. El primer

segmento une los puntos (pi,0) y (2,5), el segundo segmento comienza en (2,5) y

termina en (5pi,0), luego el arco se extiende desde ste punto hasta (0,5pi)

efecte el clculo de la integral

Resolucin:%parametrica de la primera recta%parametros de tt1=2:.001:pi;%ecuacion en 'x' y 'y'x1=t1;, y1=-4.38*t1+13.76;%parametrica de la segunda recta%parametros de tt2=2:.001:5*pi;%ecuacion en 'x' y 'y'x2=t2;, y2=-0.36*t2+5.73;%parametrica del cuarto de circunferencia%parametros de tt3=0:0.001:pi/2;%ecuacion en 'x' y 'y'x3=5*pi*cos(t3);,y3=5*pi*sin(t3);%matriz de puntos en x,y[x,y]=meshgrid(0:0.5:17);%parametrica de campo vectorialu=2*sin(2*x+y);%parametrica de campo vectorialv=sin(2*x+y);%graficar campo vectorialquiver(x,y,u,v)%mantener grafica de campo vectorialhold on%graficar las rectas y el cuarto de circunferenciaplot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)


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Grfico:

Grafica 19(Interpretacin grafica de un campo Vectorial no Conservativo del ejercicio 3.1)

%definimos como simbolos a x y

syms xy%ingresamos el campo vectorial FF=[2*sin(2*x+y),sin(2*x+y)]

F =

[ 2*sin(2*x + y), sin(2*x + y)]

%comprobamos si el campo es conservativo a traves de la funcioncons[cons]=cons(F)

cons =

0

%punto a demostrado, el campo es conservativo%obtenemos la funcin potencial[pot]=Poten(F)

pot =

-cos(2*x + y)

%dado que los puntos de las trayectorias son: (pi,0)a(2,5),(2,5)a(5pi,0)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


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25

%y de (5pi,0)a(0,5pi) reemplazamos los puntos resolviendo laintegral y%la funcin potencial[-cos(2*2+5)+cos(2*pi+0)]+[-cos(2*5*pi+0)+cos(2*2+5)]+[-cos(2*0+5*pi)+cos(2*5*pi+0)]

ans =

2

%Resolviendo de esta manera se simplifica inmensamente elclculo ya que%no hay que resolver tantas integrales de linea (una por cada

trayectoria)

4. TEOREMA DE GREENLa versin ms elemental del teorema de Green relaciona una integral de lnea sobre

una curva cerrada y simple en y una integral doble sobre la regin acotada por lacurva. Se dice que una curva cerrada y simple en est orientada positivamentecuando se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. En otras palabras, cuandorecorremos la curva en el sentido que indica su vector tangente en cada punto, laregin interior de queda siempre a nuestra izquierda. Observa que estamos usando unresultado, conocido como teorema de la curva de Jordan, que afirma que una curva encerrada y simple divide al plano en dos regiones disjuntas cuya frontera comn es lacurva. Una de las regiones est acotada y se llama interior de y la otra se llamaexterior de . Este resultado tan intuitivo es muy difcil de demostrar. Nos apoyamos enl ms que nada por comodidad de lenguaje pues para lo que estamos haciendo puede

evitarse su uso.

Una definicin matemtica ms precisa de lo que se entiende por orientacin positiva es

la siguiente. Sea una curva suave cerrada y simple; llamemosD a la regin interior dey sea un punto de . La curva tiene en dos vectores normales unitarios queson opuestos entre s.

La siguiente grfica 4 muestra un ejemplo de una curva cerrada simple positivamente

orientada. Observa que el giro que lleva el vector tangente (en azul) al vector normal

interior (en verde) es siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.

Grafica 20(Ejemplo de una curva cerrada orientada positivamente)


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26

4.1 Teorema (Teorema de Green). Sea un camino cerrado y simple en R2 que estorientado positivamente y sea D la regin del plano limitada por . Sean P, Q camposescalares con derivadas parciales de primer orden continuas definidos en un abierto

que contiene a D. En estas condiciones se verifica que la integral de lnea del campo sobre el camino es igual a la integral doble de lafuncin

Una aplicacin del teorema de Green es para calcular reas. Como el rea de la reginD

viene dada por

podemos transformar esta integral doble en una integral de

lnea sobre la frontera sin ms que elegir funciones P, Q tales que Hay muchas posibilidades pero las ms sencillas son ; ; porlo que obtenemos las siguientes expresiones para el rea:

4.2 Teorema (Teorema de Green para dominios con agujeros). . Sea un campo de clase definido en un abierto . Sean , curvas de Jordan en A disjuntas dos a dos tales que: se encuentran en el interior de g. se encuentra en el exterior de para Todas las curvas , estn orientadas positivamente (sentido

antihorario)

Sea D la regin obtenida por la interseccin del interior de

con el exterior de

cada una de las curvas

En estas hiptesis se verifica que

En particular, si el campo es localmenteconservativo en un abierto que contiene a D, se verifica que


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27

Observa que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvas tienen

orientacin antihoraria y por eso, en la igualdad (13), las integrales sobre las curvas

interiores se restan en lugar de sumarse. La igualdad (14) es muy til porque permite

reducir el clculo de una integral de lnea de un campo conservativo sobre una curva que puede ser complicada, al clculo de una o varias integrales sobre curvas sencillas

(por ejemplo, circunferencias).

La siguiente grfica 21 muestra un ejemplo de un dominio como el que se considera en

el enunciado del teorema.

Grafica 21(Ejemplo de Teorema de Geen para dominios con Agujeros)

Naturalmente, la razn de considerar dominios con agujeros es porque se supone que en

esos agujeros el campo tiene algn tipo de singularidad. Con frecuencia un agujero est

producido por un punto en el que el campo se hace infinito.

Los comandos utilizados en matlab para el teorema de Green son:


Subs: cambia la variable de una funcin por otras, til para el cambio decoordenadas

Subs(f,old,new)


int(n,d,a,b)

4.2.1 Ejercicio: Hallar el trabajo realizado por una partcula sometida al campo defuerzas que recorre la circunferencia unitariaen sentido contrario a las agujas del reloj

Resolucin:

El trabajo W, es:

aplicando el Teorema de

Green:


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28

%parametros de tt=0:.001:2*pi;%ecuacion parametrica de xx=cos(t);%ecuacion parametrica de xy=sin(t);%graficar ecuaciones x,yplot(x,y)%relacion de aspecto 'ejes iguales'axis square%rejilla activadagrid on

Grfico:

Grafica 22(Interpretacin grafica de la circunferencia del ejercicio 4.2.1 para hallar el trabajo de la partcula)

%definimos como simbolos a x y%definimos las parametricas de la trayectoriasyms xy, u=exp(x)-y^3; v=cos(y)+x^3;f=diff(v,x)-diff(u,y) %calculamos el integrando

f =

3*x^2 + 3*y^2

%cambio a coordenadas polares para resolver la integraldoblesyms rt, simplify(subs(f,{x,y},{r*cos(t),r*sin(t)}))

ans =

3*r^2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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29

%calculamos el trabajo como la integral doble de elintegrandoW=int(int(3*r^2,r,0,1),t,0,2*pi)%resultado del trabajo

W =2*pi

5. INTEGRALES DE SUPERFICIEAqu solo se consideran superficies de dos lados de modo que tenga sentido hablar de

un fluido que fluye a travs de la superficie de un lado a otro, como si la superficie

fuese una pantalla.

A dems se supone que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector

normal unitario Nque vara en forma continua. Siendo G tal superficie suave con doslados, y se supone que se sumerge en un fluido con un campo vectorial continuo

si es el rea de una pequea parte de G, entonces casi es constante ah, y elvolumen del fluido cruza este pedazo en la direccin del vector normal unitario Nes:

Lo cual el flujo a travs de G es:

Si G es una superficie suave con dos lados, dada por z=f(x,y), donde (x,y) est en R, sea

N el vector normal unitario hacia arriba. Si f tiene primeras derivadas parcialescontinuas y F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial continuo, entonces el flujo de F atravs de G est dado por:

Comandos utilizados en matlab para obtener integrales de flujo:



int(n,d,a,b)

Subs: cambia la variable de una funcin por otras, til para el cambio decoordenadas

Subs(f,old,new)


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30

Ejercicio en rectangulares:

5.1Ejercicio:Evaluar el flujo para el campo vectorial a travs de laparte G del paraboloide

que est arriba del plano xy, considerando

a Ncomo el vector normal hacia arriba.

%grafica de parabola z=1-(x.^2)-(y.^2)ezsurf('1-(x.^2)-(y.^2)','circ')hold on%para definir los valores que va a utilizar 'x' , 'y' y 'z'[x,y,z]=meshgrid(-10:5:10,-10:5:10,-80:10:0); %se definen los vectores U , V y Wu=x;v=y;w=z;%se grafica el campo vectorialquiver3(u,v,w,x,y,z)

%se titula el campo , se activa la malla y se da la nomenclaturanecesaria%para su interpretacinaxis square, grid ontitle('campo vectorial')xlabel('eje x')ylabel('eje y')zlabel('eje z')

Grfico:

Grafica 23(Interpretacin grafica del flujo del campo vectorial dado en el ejercicio 5.1)

Resolucin:

%definimos como simbolos a x y zsyms xyz%trayectoriaf=1-x^2-y^2;%derivada de F respecto a xfx=diff(f,x)

fx =

-2*x

-10 -5

0 5

10

-10

0

10

-80

-60

-40

-20

0

eje x

campo vectorial

eje y

eje

z


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31

%derivada de F respecto a yfy=diff(f,y)

fy =

-2*y

%realizamos los cambio de variable necesarios para mantener elformato de%matlabu=x;,v=y;,w=z;%planteamos el integrando de la forma -Ufx-Vfy+WI=-u*fx-v*fy+w

I =

2*x^2 + 2*y^2 + z

%siendo:z=1-x.^2-y.^2;

%el integrando se transforma enI=2*x^2+2*y^2+1-x^2-y^2

I =

x^2 + y^2 + 1%cambiamos de sistema para que sea mucho ms sencillo integrarsyms rt, If=simplify(subs(I,{x,y},{r*cos(t),r*sin(t)}))

If =r^2 + 1%integramos la funcinint(int(If*r,r,0,1),t,0,2*pi)

ans =

(3*pi)/2

6. TEOREMA DE DIVERGENCIA6.1 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Se puede derivar un campo vectorial de dos maneras, una de las cuales es una derivada

escalar y la otra una vectorial.

6.1.1 Divergencia: Dado un campo vectorial

Puede ser representado por la expresin .Se define la divergencia de F como elescalar:


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32

6.1.2 Rotacional: Dado un campo vectorial F(x,y,x)=u(x,y,z)i+ v(x,y,z)j+ w(x,y,z)kPuede ser representado por la expresin . Se define el rotacional de F como elvectorrot= i j k

x

y

zu v w

= wy

x,y,z vz

x,y,z i uz

x,y,z wx

x,y,z vx

x,y,z uy

x,y,z Los comandos utilizados en matlab para representar un campo vectorial son:

Simplify: Trata de simplificar lo ms posible la expresin que contiene

Simplify(n)


Programa operadores.mes necesario para obtener la divergencia y el

rotacional de un vector:

%divergencia y rotacional de un campo vectorial%.............................................. %datos: las coordenadas de F=[u,v,z]

%.............................................. %resultados: la divergencia(div) y el rotacional (rot)%algoritmofunction[div,rot]=operadores(F)syms xyzu=F(1);v=F(2);w=F(3);div=simplify(diff(u,x)+diff(v,y)+diff(w,z)); r1=diff(w,y)-diff(v,z);%primera componente del rotacionalr2=diff(u,z)-diff(w,x);%segunda componente del rotacionalr3=diff(v,x)-diff(u,y);%primera componente del rotacionalrot=[r1,r2,r3];

6.1.3Ejemplo: Calcular el rotacional y la divergencia del campo vectorial de unelectrn .Resolucin:Definimos como smbolos a x, y y z y a un vector F en funcin de xyz

%definimos como simbolo a x y z%definimos el vector Fsyms xyz, F=[2,2*x,2*y];%a traves de la funcin operadores obtenemos la divergencia y elrotacional[div,rot]=operadores(F)

%divergenciadiv =0


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33

%rotacionalrot =[ 2, 0, 2]

6.1.4Ejercicio: Encuentre el valor exacto de Donde C es igual a

%definimos parametros de tt=meshgrid(0:.001:2*pi);%parametrica de xx=exp(-t).*cos(4*t);%parametrica de yy=exp(-t).*sin(4*t);%parametrica de zz=exp(-t);%graficar funcinplot3(x,y,z)%activar rejillagrid on

Grafica 23(Interpretacin grafica de la curva parame trizada del ejercicio 6.1.4)

Resolucin:

%definimos como simbolo a tsyms t%parametrica de la grafica en xx=exp(-t).*cos(4*t);%parametrica de la grafica en yy=exp(-t).*sin(4*t);%parametrica de la grafica en zz=exp(-t);%IntegrandoI=x;%diferencial de sds=sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2)

ds =

(exp(-2*t) + (cos(4*t)*exp(-t) + 4*sin(4*t)*exp(-t))^2 +

(4*cos(4*t)*exp(-t) - sin(4*t)*exp(-t))^2)^(1/2)

-0.5

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


34/47

34

%simplificamos el diferencial de s para que no nos quede unaexpresin tan%largasimplify(ds)

ans =

3*2^(1/2)*exp(-2*t)^(1/2)

%asignamos el diferencial de s a una variableds1=ans

ds1 =

3*2^(1/2)*exp(-2*t)^(1/2)

%realizamos la integral, simplificando el resultado de lamultiplicacin del integrando por el diferencial de s

s=simplify(int(I*ds1,t,0,2*pi))

s =

%respuesta:(3*2^(1/2))/10 - (3*2^(1/2)*exp(-4*pi))/10

6.2 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

Sea un campo vectorial tal que M, N y P tienen primeras derivadasparciales contnuas en un slido Q con frontera S, si N denota el vector normal unitario,entonces, el flujo de F a travs de una frontera de una regin cerrada en el espacio

tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre la regin.

Comandos utilizados en Matlab para la divergencia de Gauss:



int(n,d,a,b)

Programa operadores.m es necesario para obtener la divergencia y el



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35

6.2.1 Ejercicio: Sea E la regin en R3acotada por la superficie z=x^2+y^2 y el plano

z=1, aplique el teorema de la divergencia para calcular la siguiente integral , con S orientada hacia el exterior.Grfica

%grafica de parabola z=x.^2+y.^2

>> ezsurf('x.^2+y.^2','circ')

Grafica 24(Interpretacin grafica de la curva parame trizada del ejercicio 6.1.4)

Resolucin:

%definimos como simbolo a x y z

syms xyz%ingresamos el vector FF=[y,x,z^2];%obtenemos la divergencia del vector F[div]=operadores(F)

div =

2*z

%parametrizando la superficie obtenemos:syms rtzg=r.^2;%realizamos la integral triple de la divergencia analizando conun

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

100

20

40

60

80

x2+y2

y

z


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36

%diferencial de volumenI=int(int(int(div,z,r^2,1)*r,r,0,1),t,0,2*pi)

%resultadoI =

(2*pi)/3

7. TEOREMA DE STOKESSea S la superficie, C una curva cerrada suave por partes y N vector normal,

F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial donde M, N y P tienen primeras derivadas parciales

continuas en S y su frontera C. Si T denota el vector tangente unitario a C, entonces:

La integral de Lnea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez

en la orientacin positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente

normal de rot F.

( ) El teorema de Stokes relacina una integral de superficie sobre una superficie S con una

integral de lnea alrededor de la curva frontera de S, que es una curva en el espacio.

Comandos utilizados en Matlab



int(n,d,a,b)

Dot:Obtiene el producto punto entre u y vDot(u,v)

Programa operadores.mes necesario para obtener la divergencia y el


7.1 Ejercicio: Aplicar el teorema de Stokes siendo: ; S es elhemisferio y N es el vector normal superior.Grfica:

%limites de thetau=linspace(0.2*pi,50);%limite de phi

v=linspace(0,pi,40);%matriz de grafica en 3D[U,V]=meshgrid(u,v);


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37

%rho=1a=1;%parametrica en esfericas de hemisferio en xx=a*cos(V).*cos(U);%parametrica en esfericas de hemisferio en yy=a*cos(V).*sin(U);

%parametrica en esfericas de hemisferio en zz=a*sin(V);%graficar superficiesurf(x,y,z)

Grafica 25(Interpretacin grafica del hemisferio parame trizado con el que se va a demostrar el teorema de Stokes

ejercicio 7.1)

Resolucin:

%definimos como simbolo a tsyms t%parametricas de la trayectoriax=cos(t);,y=sin(t);,z=0;%planteamos como vector a la trayectoriar=[cos(t),sin(t),1];%obtenemos el diferencial drdr=diff(r,t)

dr =

[ -sin(t), cos(t), 0]

%en este caso nos conviene transformar de una integral doble a

una simpleF=[x^2,y^2,z^2];%I es el integrando, que es el producto punto entre el campo F yel%diferencial de RI=dot(F,dr)

I =

sin(conj(t))^2*cos(t) - cos(conj(t))^2*sin(t)

%realizamos la integral de Iint(I,t,0,2*pi)

%respuesta


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38

ans =0

7.2 Ejercicio: Sea S la parte del paraboloide para , sea C latraza de S en el plano Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial

Grfica:

%grafica de z=9-x^2-y^2ezsurf('9-x^2-y^2','circ')

Grafica 26(Interpretacin grafica de la superficie parame trizada S siendo parte de un Paraboloide 7.2)

Resolucin:

%En este ejercicio no necesitamos obtener el unitario del vectorN%ya que se simplificar con lo obtenido en dS%definimos como simbolos a x, y ,zsyms xyz%eescribimos la funcion de la trayectoriag=z-9+x^2+y^2;%se obtiene el vector normalN=gradient(g,[x,y,z])%Rotacional del campo vectorialG=[3*z,4*x,2*y];[div, rot]=operadores(G)

%obtenemos el vector normalN =

2*x2*y

1

%obtenemos la divergencia del campo Gdiv =

0

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-80

-60

-40

-20

0

20

x

9-x2-y2

y

z


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39

%obtenemos el rotacional del campo Grot =

[ 2, 3, 4]

%I, es el integrando que es el producto punto entre el vectornormal y el%rotacional del campo GI=dot(N,rot)

I =

4*conj(x) + 6*conj(y) + 4

8. Ms Aplicaciones de electromagnetismo con implementacin de la teora(Divergencia, teorema de Gauss, Green, Stokes etc.)[9]

8.1 Aplicar la ley de Gauss en su formal integral para demostrar que un campo dedistancia inversa en coordenadas esfrica, D=Aa/r donde A es una contante requiere que

cada circula esfrico de 1m de ancho contenga 4coulombs de carga Esto indica unadistribucin de carga? si es as encontrar la variacin de la densidad de carga con r.

Digite la funcin a integrar =(1/x)*x^2*sin(y)

ingrese limite a inferior ): 0

ingrese limite b superior) :pi

ingrese limite c inferior ): 0ingrese limite d superior): 2*pi

F =4*pi^2

Digite la funcin a integrar =x*z*z^3*sin(y)

ingrese limite respecto z inferior): 0

ingrese limite respecto z superior): z

ingrese limite respecto y inferior): 0

ingrese limite respecto y superior): piingrese limite respecto x inferior): 0

ingrese limite respecto x superior): 2*pi

F =(4*pi^2*z^5)/5

>> 4*((4*pi^2*z^5)/5)


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40

8.2 Una densidad de carga volumtrica uniforme de 80uC/m^3 est presente en laregion 8mm (164*10^-12)/(4*pi*(0.01)^2)

ans = 1.3051e-007

>> (164*10^-12)/(4*pi*(0.02)^2)

ans = 3.2627e-008

8.3Un cubo est definido por a) aplique ley de gauss para encontrar el flujo total que abandona la superficie cerrada

del cubo

b) Evaluar en el centro del cuboc) estime la carga total encerrada dentro del cubo.

a)

Resultado usando mathlab

Digite la funcin a integrar =2*(1.2)^2*y


ingrese limite b superior : 1.2

ingrese limite c inferior ): 1

ingrese limite d superior): 1.2


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41

F =396/3125

>> 396/3125

ans = 0.1267

b)

c) 12.85*(0.2)^3

ans = 0.1028

8.4Sea D= 5.00e^2 mC/m^2 para y D=0.205/r^2 C/m^2 para r a)Encontrar p para r=0. b) Qu densidad de superficie de carga podr ubicarse en

r=0.08m para que D=0 en r>0.08m?

a)

b) Digite la funcin a integrar =20*z*z^2*sin(y)

ingrese limite respecto z inferior ): 0

ingrese limite respecto z superior): 0.08

ingrese limite respecto y inferior): 0ingrese limite respecto y superior): pi

ingrese limite respecto x inferior): 0

ingrese limite respecto x superior): 2*pi

F =(64*pi)/78125

>> (64*pi)/78125

ans =

0.0026


42/47

42

Ps=

>> -((2.57)/(4*pi*(0.08)^2))

ans = -31.9553

8.5 En una regin del espacio libre se encuentra el volumen 2 125/36

ans =3.4722

b)

Digite la funcin a integrar =-4*x*y/9


ingrese limite b superior : 3


ingrese limite d superior): 3

F =-25/9

>> -25/9


43/47

43

ans =-2.7778

Digite la funcin a integrar =-4*x*y/4





F =-25/4

>> -25/4

ans =-6.2500

-2.7778+6.2500 = 3.47

8.6Dada la densidad de flujo D=

; utilizar dos mtodos diferentes par

encontrar la carga total dentro de la regin

Digite la funcin a integrar =-((16/r)*cos(2)*sin(1))





ans =

5.6028 - 9.5097=-3.91 C


44/47

44

[ ] Digite la funcin a integrar =16*(cos(2*y)*cos(y)-2*sin(2*y)*sin(y))

ingrese limite respecto z inferior ): 1

ingrese limite respecto z superior): 2

ingrese limite respecto y inferior ): 1

ingrese limite respecto y superior): 2

ingrese limite respecto x inferior ): 1

ingrese limite respecto x superior): 2

F =

8*sin(1) - 8*sin(2) - 8*sin(3) + 8*sin(6)

>> 8*sin(1) - 8*sin(2) - 8*sin(3) + 8*sin(6)

ans =

-3.9069

9.

APLICACIONES INTEGRALES DE LINEA

9.1 Calcular el valor de para G=2y con A(1,-1,2) y P(2,1,2) utilizando latrayectoria: a) segmentos de lnea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a B(1,1,2) a P(2,1,2);

b)segmentos de lnea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a C(2,-1,2) a P(2,1,2).

a) El cambio en x ocurre cuando y=1

int(2,x,1,2)

ans =


45/47

45

2

b) El cambio en x ocurrido cuando y=-1

int(-2,x,1,2)

ans =2

9.2 Determine el trabajo realizado en llevar una carga de 2-uC de (2,1,-1) a (8,2,-1) enel campo , a lo largo de a) la parbola , b) la hiprbola z=8/(7-3y);c) la lnea recta x=6y-4.

int(sqrt(x/2),x,2,8)+int(2*y^2,y,1,2)

ans =14*-2^(-6)=28uJ

La hiprbola x=8/(7-3y), y=7/3-8/3x entonces el trabajo es:

* +int((7/3)-(8/3*x),x,2,8)+int(8/(7-3*y),y,1,2)

ans =(16*log(2))/3 - 66

>> (16*log(2))/3 - 66*2^-6

ans = 28 uJ.


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46

10.CODIGOS DE LOS PROGRAMAS DE RESOLUCION ECHOS ENMATLAB10.1 Cdigo Doble Integral Usado

clear%comando que limpia la ventanaclc%syms x y;%variables de sistema , en este caso correponde a r, ? paraintegrarlas

f=input('Programa de la Doble Integral dydx');%mensaje de ingreso dela funcionf=input ('Digite la funcin a integrar con variables x y y =')F=inline(char(f));%transformada a variable char la funcion ingresadaa= input('ingrese el lmite superior a de la integral interna):');%variable ab=input('ingrese el lmite inferior b de la integral interna:');%variable bc= input('ingrese el lmite superior c de la integral externa):');%variable cd= input ('ingrese el lmite inferior d de la integral externa:');%variable dinput ('Esta es la respuesta')F=int(int(f,y,a,b),x,c,d)%resolucion de la doble integral dydx?.

10.2 Cdigo de la Triple Integral% comando que limpia la ventana%syms xyz;%variables de sistema , en este caso correponde a x, y paraintegrarlasf=input('Programa de Triple integral dzdydx');%mensaje de ingreso dela funcionf=input('Digite la funcin a integrar con variables x, y, z=');%mensaje de ingreso de la funcionF=inline(char(f));%transformada a variable char la funcion ingresadaa= input('ingrese limite inferior z de la integral interna: ');%b=input('ingrese limite superior z de la integral interna: ');%

c= input('ingrese limite inferior y de la integral interna): ');%d= input ('ingrese limite superior y de la integral interna');%e=input ('ingrese limite inferior x de la integral externa ');h=input ('ingrese limite superior x de la integral externa: ');i=input('Esta es la respuesta');F=int(int(int((f),z,a,b),y,c,d),x,e,h) %resolucion de la tripleintegral dzdydx.

10.3 Cdigo de la Triple Integral Cilndrica

syms r yz;%variables de sistema , en este caso correponde a x, ypara integrarlasf=input('Programa de Triple integral cilindrica dzdtdy');%mensaje def=input('Digite la funcin a integrar =');%mensaje de ingreso de lafuncion


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47

F=inline(char(f));%transformada a variable char la funcion ingresadaa= input('ingrese limite respecto inferior z): ');%b=input('ingrese limite respecto superior z: ');%c= input('ingrese limite respecto inferior r): ');%d= input ('ingrese limite respecto superior r: ');%e=input ('ingrese limite respecto inferior teta: ');

h=input ('ingrese limite respecto superior teta: ');F=int(int(int((f)*r,z,a,b),r,c,d),y,e,h) %resolucion de la tripleintegral dzdydx.

11.BIBLIOGRAFIA[1]O, Santamara,L Damian S,F. Huancas,P Julca C., Introduccion a lageometra diferencial de curvas y superficies,Editorial MOSHERA, febrero,2008.

[2] Luis Y. Garay, Notas de geometra diferencial clasica,Madrid, junio 2006.

[3] Javier Dafuente Lopez., Geometra Diferencial de curvas y superficiesen el espacio eucldeo, febrero de 2002.

[4] Misael Avendano Gamacho., Teorema fundamental de superficies y el criterio de Frobenius, 2003.

[5] Paulo Ventura Araujo., Geometra Diferencial,Instituto de Matematica yCiencias Afines, IMCA, 2003.

[6] Martin M. LIPSCHUTZ, Ph.D, Geometra Diferencial , Universidad de

Bridgeport.

[7] Mara del Carmen Suarez Rodrguez, Calculo integral y aplicacionescon Matlab,Pearson Educacion, 2004.

[8] Robert Ipanaque Chero, Ricardo Velesmoro Leon., Breve manual de

[9]Nota: Link Ejercicios de resolucin de Electromagnetismo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.htm

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/electromagnetismo/campo_electrico.html

trabajo electromagnetismo (calculo vectorial)

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